Prob Proble leme me de fiz fizic ic˘ ˘ a
Emil Emil Petre etresc scu u
Daniela iela Bu Buzzatu
14 octombrie 2005
Cuprins ˘ 1 OPTICA 1.1 Unde electromagnetice 1.2 Interferent¸˘ ¸a ˘ . . . . . . . 1.3 Difract¸ie ¸ie . . . . . . . . . 1.4 Polarizare . . . . . . . .
1
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
2 15 34 52
Capitolul 1 ˘ OPTICA 1.1 1.1
Unde Unde elec electr trom omag agne neti tice ce
¸si ale unei unde eleca se scrie expresiile vectorilor E si B 1.1.1 S˘ tromagne tromagnetice tice plane plane care se propag˘ propag˘ a pe direct¸ia ¸ia Oz dac˘ a ea Oz,, dac˘ este liniar liniar polarizat polarizat˘ a˘ avˆand a nd planul de polarizare la un unghi o ¸a˘ de planul Oyz ın vid α = 45 fat¸˘ Oy z . Propagarea undei are loc ˆın (vezi Fig.1.1). Solut ¸ie ¸ie
Dac˘a not˘ am a m cu E o modulul amplitudinii intensit˘at a¸ii ¸t ii cˆampului ampului electric, electric, atunci: o = E o sin αex + E o cos αey E Deoarece α = π/4 π/4 rezult˘a: a: o = E
√2 2
E oex + 2
√2 2
E oey
˘ OPTICA
CAPITOLUL 1.
3 x r
E 0 x r
E 0
r
e x a
O e z
z
r
r
e y r
y
E 0 y
Fig. Fig. 1.1
Astfel, Astfel , unda armonic˘ armon ic˘a plan˘a va avea expresia: E (z, t) =
√2 2
E o (ex + ey )cos(ωt )cos(ωt
kz ) − kz)
unde k = ω/c, ω/c , k fiind modulul vectorului de und˘ a iar ω - pulsat¸ia. ¸ia. Deoarece propagarea undei are loc ˆın ın vid: = µo H B
unde
= H
εo (u µo
× E )
¸iei de propagare, care ˆın cazul nostru este u este versorul direct¸iei ez . Astfel, induct¸ia ¸ia cˆ ampului ampului magnetic este: = B
√ε µ (e × E ) = 1 (e × E ) c o
o
z
z
Pentru amplitudini este valabil˘a relat¸ia: ¸ia: o = 1 (ex B c
× E ) o
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
4
Atunci: ex
× E = o
¸si si
ex ey ez 0 0 1 E o sin α E o cos α 0
=
−E cos αe o
x
+ E o sin αey
− E c cos αe + E c sin αe = B cos(ωt T ¸ inand aˆnd cont c˘a B cos(ωt − kz) kz ) ¸si si ca˘ α = 45 , rezult˘a: a: = E √ [e + e ]cos(ωt B ]cos(ωt − kz) kz ) c 2 o = B
o
o
x
y
o
o
o
x
y
a electromagnetic˘ electromagnetic˘ a plan˘ a care are frecvent¸a ¸a ν = 16 1.1.2 O und˘ Hz se propag˘a ˆın vid dup dup˘ a˘ direct¸ia ¸ia axei Oz ¸si si are amplitudine amplit udineaa intensit˘ at a¸ii ¸t ii cˆampului ampului electric electric E x = 2 V/m. a se determine amplitudinea, viteza de faz˘ a, a, lungimea de a. S˘ und˘a ¸si si vectorul vectoru l de und˘a. a. a se determine amplitudinea ¸si si direct¸ia ¸ia de oscilat¸ie ¸ie a intenb. S˘ sit˘at a¸ii ¸t ii cˆampului ampului magnetic. magnetic. Solut ¸ie ¸ie
a ˆın vid, viteza a. Deoarece unda electromagnetic˘a se propag˘ de faz˘ a este c = 3
8
× 10
m/s.
c 3 108 = = 0, 3 m ν 109 2π k = = 20, 20, 9 m−1 λ
λ =
×
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
5
b.
= H
εo (u µo
× E )
ˆIn cazul nostru, u = ez iar E = E xex . Intens Intensit itate ateaa cˆ ampului ampului magnetic magnetic devine: = H = H
εo (ez ex )E x µo εo E xey µo
×
oscileaz˘a dup˘a axa Oz iar modulul s˘au Vectorul H au va avea valoarea: H =
εo E x = 5, 3 µo
× 10
−3
A/m
ampului electric al unei unde elecampului 1.1.3 Vectorul intensitate a cˆ tromagnetice plane este: = E o exp i[9 E i[9,, 42
× 10 t − π3 ( 14
√
12x 12x + 2y 2y ) 107 ] V/m
unde = E
√ −3 × 10 e + 3 3 × 10 e 4
x
4
y
S˘a se determine: ¸ia dup˘ a care oscileaz˘ a intensitatea cˆ ampului ampului electric a. direct¸ia
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
6 x
r
E 0 a r
e x O e y r
y
Fig. Fig. 1.2
¸ia de propagare a undei b. direct¸ia arimea amplitudinii intensit˘at arimea a¸ii ¸t ii cˆampului ampului electric c. m˘ a d. lungimea de und˘ ¸ia ¸si si frecven fre cvent¸a ¸ta undei e. pulsat¸ia f. viteza de propagare Solut ¸ie ¸ie
am am ˆın sistemul siste mul de axe xOy amplitudinea amplitudinea cˆ ampului ampului a. Reprezent˘ electric (vezi Fig. 1.2). Deoarece E x = tg α =
4
−3 × 10 V/m |E | = √1
√
E y = 3 3
x
E y π α = 6
3
o cu axa Ox este: Atunci, unghiul ϕ f˘acu ac ut de E ϕ=
π 2π +α= 2 3
× 10
4
V/m
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
7
b.
E o =
E x2 + E y2 = 6
× 10
4
V/m
¸ie: c. Din expresia de definit¸ie: = E o exp i( E i(ωt
− kr)
rezult˘a: a:
√
π kr = kx x + ky y + kz z = ( 12x 12x + 2y 2y ) 107 3 ¸si si kx = ky kz
√12π 12π
× 10
7
m−1
3 2π = 107 m−1 3 = 0
×
Atunci: k = ux uy
kx2 + ky2 + kz2 =
√
4π 3
× 10
7
m−1
kx 3 = = k 2 ky 1 = = k 2
iar vectorul direct¸iei ¸iei de propagare va avea expresia: u = uxex + uy ey =
√3
1 ex + ey 2 2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
8
d.
λ=
2π = 1, 5 k
−7
× 10
m
e.
ω = 9, 42 1014 rad/s ω = 1, 5 1014 Hz ν = 2π
×
×
f.
v ν v = λν = 2, 25
λ = vT =
7
× 10
m/s
ampului electric al unei unde electromagnetampului 1.1.4 Intensitatea cˆ ice care se propag˘ a ˆın dire di rect ct¸ia ¸ia Ox ˆın vid este: est e: = E oey sin πz cos(ωt E cos(ωt kz) kz ) zo
−
Cunoscˆand and viteza luminii ˆın vid c, zo ¸si si ω s˘a se determine modulul vectorului de und˘ a. a. Solut ¸ie ¸ie
Consider˘am am ecuat¸ia ¸ia undelor undelor: 1 ∂ 2 E E = 2 2 c ∂t
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
9
scris˘a pentru componenta E y : ∂ 2 E y ∂ 2E y ∂ 2 E y 1 ∂ 2 E y + + = ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c2 ∂t 2 unde: E y = E o sin
πz cos(ωt cos(ωt zo
kx) − kx)
iar derivatele de ordin doi vor avea expresiile: ∂ 2 E y ∂x 2 ∂ 2 E y ∂y 2 ∂ 2 E y ∂z 2 ∂ 2 E y ∂t 2
=
−E k o
2
sin
πz cos(ωt cos(ωt zo
kx ) − kx)
= 0 π2 πz cos(ωt cos(ωt E o 2 sin zo zo πz E o ω2 sin cos(ωt cos(ωt zo
=
−
kx ) − kx)
=
−
kx ) − kx)
Atunci: 2
−k −
π2 = zo2
−
ω2 c2
Rezult˘a: a: ω k = c
− 1
cπ zo c
2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
10
ultraviolet pulsuri de 2 ns cu diametrul diametrul 1.1.5 Un laser emite ˆın ultraviolet de 2, 5 mm. Fiecare puls are energia de 6 J. a se determine lungimea ˆın spat¸iu ¸iu a pulsului emis de laser a. S˘ a se determine densitatea de energie emis˘ a de laser b. S˘ Solut ¸ie ¸ie a.
l = cT = 3
8
−9
× 10 × 2 × 10
= 0, 6 m
b.
w=
W W 4W = = = 106 W/m3 2 2 V lπd lπ d /4 πld πl d
and argumente energetice s˘ and a se arate c˘ a amplitudinea 1.1.6 Utilizˆ unei unde sferice descre¸ste ste cu r. Solut ¸ie ¸ie
Consider˘am am dou˘a sfere sfe re concentr co ncentrice ice (ˆın ın centrul cent rul sferei sf erei se afl˘ afla˘ sursa) de raze r1 ¸si si alta de raz˘a r > r1 . Energia care trece ˆın ın unitatea un itatea de timp prin cele dou˘ a sfere este aceea¸si. si. Atunci: 4πr12I 1 = 4πr 2 I unde 1 I 1 = 2
ε 2 E µ 1
1 I = 2
ε 2 E µ
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
11
E 1 ¸si si E 2 fiind intensit˘at a¸ile ¸tile cˆampului ampulu i electric elec tric al undei und ei pe p e suprafat supr afat¸a ¸a celor dou˘ a sfere. Astfel: r12 E 12 = r 2 E 2 E =
E 1 r1 r
∼ 1r
and argumente energetice s˘ and a se arate c˘ a amplitudinea 1.1.7 Utilizˆ unei unde cilindrice descre¸ste ste cu
√r .
Solut ¸ie ¸ie
Consider˘am am doi cilindrii, unul avˆand a nd ca ax˘a sursa filiform˘a a undelor cu raza r1 fix˘a, a, ¸si si altul de raz˘a r > r1 . Energia care traverseaz˘ a cilindrii pe o port¸iune ¸iune de lungime l prin cele dou˘ a suprafet¸e ¸e ˆın unitatea unita tea de timp este aceea¸ acee a¸si: si: 2πlr πl r1 I 1 = 2πlrI unde I 1
1 = 2
ε 2 E µ 1
1 I = 2
ε 2 E µ
E 1 ¸si si E sunt intensit˘at a¸ile ¸tile cˆampului ampului electric al undei pe suprafat¸a ¸a lateral˘a a celor doi cilindri. Astfel: r1 E 12 = rE 2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
12
Rezult˘a: a: E =
√r E 1 √r ∼ √r 1
1
a electromagnetic˘ electromagnetic˘ a plan˘a cade la incident incide nt¸˘ ¸a˘ normal˘a 1.1.8 O und˘ pe o lam˘a cu fet¸e ¸e plan-paralele de grosime d (vezi (vezi Fig Fig.. 1.3). 1.3). Substant¸a ¸ a din care este confect¸ionat˘ ¸ionat˘ a lama este nemagnetic˘ a (µr = 1), iar permi p ermitiv tivitat itatea ea electric electric˘ a˘ relati rel ativ˘ v˘a descre¸ des cre¸ste ste dup dup˘ a˘ legea: εr (x) = ε1 e−2ax S˘a se determine timpul total t otal ˆın ın care unda str˘ abate abate lama cu fet¸e ¸e plan-paralele. Solut ¸ie ¸ie
Viteza undei la distant¸a ¸a x de suprafat¸a ¸a lamei este: v =
1 1 =√ √εµ εεµ √cε e o
v =
r o o
ax
1
Timpul ˆın care c are unda str˘ abate abate port¸iunea ¸iunea dx de la distant¸a ¸a x este: dx dt = = v
√ε
1
c
e−ax dx
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
13 O x
d
dx
x
Fig. Fig. 1.3
Atunci timpul total va fi:
√ d
t=
0
ε1 −ax e dx = c
−
√ε
√
ε1 1 −ax d e 1 0 = c a ac 1
|
e−ad
−
a electromagnetic˘ a plan˘a se propag˘ propa g˘ a ˆın vid astfel 1.1.9 O und˘ ˆıncat aˆt cˆampul ampul electric are expresia: = E o ei(ωt− kr) E ıntr-un sistem de coordonate Oxyz cu versorii ex , ey ¸si si ez . Vectorul de und˘ a ¸si si amplitudinea undei au expresiile: k = 3ex + 4 4ez m o = 2ey V/m E
−1
a se determine direct¸ia ¸ia de propagare a undei u ndei ¸si si lungimea de a. S˘
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
14
und˘a a se determine intensitatea cˆ ampul ampul magnetic magnetic H b. S˘ a se determine intensitatea undei c. S˘ Solut ¸ie ¸ie
¸ia de propagare a undei este dat˘ a de vectorul k care, a. Direct¸ia conform expresiei lui se afl˘a ˆın planu pl anull xOz. xOz . Unghiul Unghiul θ f˘acut acut de direct¸ia ¸ia de propagare cu axa Oz este: tg θ =
kx 3 = kz 4
Rezult˘a: a: λ= b.
= H =
εo (u µo εo ( k
µo
2π 2π = m 5 kx2 + kz2
× E ) × E ) = 5, 3 × 10 (−8e k −4
x
+ 6 6ez )ei(ωt−kr)
unde u este versorul direct¸iei ¸iei de propagare a undei; se observ˘ a oscileaz˘a ˆın planu c˘a H pl anull xOz. xOz . c.
I =< E
>= 1 H 2
| × |
εo 2 E o u W/m2 µo
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
15 x
4a p
O
/3
a
y
2a
Fig. Fig. 1.4
1.2 1.2
Inte Interf rfer eren ent ¸ t˘ a
a se determine amplitudinea oscilat¸iei ¸iei care se obt¸ine ¸ine prin 1.2.1 S˘ compunerea a trei oscilat¸ii: ¸ii: u1 = a cos ωt u2 = 2a sin ωt u3 = 4a cos(ωt cos(ωt + π/3) π/ 3)
Solut ¸ie ¸ie
Exprim˘am: am: u2 = 2a sin ωt = 2a cos(ωt cos(ωt
π/ 2) − π/2)
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
16
Din Fig. 1.4 se observ˘ ob serv˘a c˘a putem scrie componentele amplitudini di niii mi¸sc˘ sc ˘arii arii rezultante: rezultante: Ax = a + 4a 4a cos π/3 π/ 3 = 3a Ay = 4a sin π/3 π/3 2a = 2 3a
√
−
− 2a
Atunci, amplitudinea rezultant˘ a va fi: A=
Ax2 + Ay2 =
√
9a2 + 4( 3
2 2
− 1) a
= 3, 3a
¸ie se obt¸ine ¸ine prin suprapunerea a N oscilat¸ii ¸ii coe1.2.2 O oscilat¸ie rente pe aceea¸ acee a¸si si direct d irect¸ie ¸ie ¸si si care sunt de forma: uk = a cos[ωt cos[ωt + (k (k
1)θ] − 1)θ
unde k este num˘arul arul oscilat oscila¸iei ¸tiei (k (k = 1, 2, .... ....N N ), ), θ este defazajul ˆıntre ıntr e oscila osc ilat¸ia ¸tia k ¸si si osci os cila lat¸ia ¸tia k + 1. S˘ a se determine amplitudinea rezultant˘ a. a. Solut ¸ie ¸ie
Reprezent˘ am am oscilat¸iile ¸iile sub form˘a comp co mple lex˘ x˘a: a: uk = a exp[iωt exp[iωt + (k (k
1)θ] = ae a ˜e − 1)θ
iωt
unde a ˜ = a exp(k exp(k
1)θ − 1)θ
Amplitudinea complex˘a a oscilat¸iei ¸iei rezultante este: N
A˜ =
N
˜=a a
k=1
k=1
(k−1)θ
e
eiN θ 1 = a iθ e 1
− −
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
17
Amplitudinea real˘a este egal˘ a cu modulul amplitudinii complexe: iN θ
|e − 1| A=a |e − 1| iθ
Se va ¸ine ¸t ine cont c˘ a: a: iα
| e − 1|
=
| cos α + i sin α − 1| =
= 2 si s in α/ α/22
(cos2 α
− 1)
2
+ sin2 α
Rezult˘a: a: A=a
sin(N sin(N θ/2) θ/2) sin(θ/ sin(θ/2) 2)
a unde coerente plane au direct¸iile ¸iile de propagare ce fac 1.2.3 Dou˘ ˆıntre ele un unghi α foarte mic, c˘azˆ azˆand and aproape normal pe un ecran. ecran. S˘ a se determine distant¸a ¸a dintre dou˘ a maxime vecine pe ecran (interfranja). (interfranja). Solut ¸ie ¸ie
Fie cele dou˘a unde coerente:
− k r) A cos(ωt cos(ωt − k r )
y1 = A cos(ωt cos(ωt
1
y2 =
2
Defazajul dintre cele dou˘ a unde este: ∆φ = ( k1
− k )r 2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
18 r
k 1
r
r m
r
r m +1 r
k 2
Fig. Fig. 1.5
Pentru maximul de ordin m, defazajul va fi: ( k1
− k )r 2
m
= 2πm
iar pentru maximul de ordin m + 1 defazajul va fi: ( k1
− k )r 2
m+1
= 2π(m + 1)
Din cele dou˘a ecuat ecua¸ii ¸tii rezult˘a: a: ( k1
)(r − k )( 2
m+1
− r
m)
= 2π
Deoarece incident inciden¸a ¸ta este aproape normal˘ a pe ecran (vezi Fig. 1.5):
| k − k ||r 1
2
− r | = 2π kα × i = 2π
m+1
m
Cum k = 2π/λ, π/λ, rezult˘a: a: i=
λ α
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
19 P
r 1 S 1
r q
r 2
d
O S 2
Fig. Fig. 1.6
a surse punctiforme punctiforme S 1 ¸si si 1.2.4 Un sistem este format din dou˘ S 2, care emit unde coerente. coerente. Sursele Sursele se afl˘ a ˆıntr-un ıntr -un plan pla n ¸si si oscilez˘a perpendicul perpendicular ar pe planul planul respectiv. respectiv. Distant Distant ¸a dintre surse este d iar lungimea de und˘a este λo . Sursa S 2 este defazat˘ a cu ϕ ˆın urma sursei surse i S 1 . S˘a se determine unghiul θ ce caracterizeaz˘ a direct¸ia ¸ia dup˘a care intensitatea radiat¸iei ¸iei este maxim˘a (Fig. 1.6).
Solut ¸ie ¸ie
Fie un punct P situat la o distant¸˘ ¸a˘ r de surse. r22 r12
2
= r + 2
= r +
d 2
2
d 2
2
−
¸ia θ fat¸˘ ¸a˘ d, pe direct¸ia
+ rd cos θ rd cos θ
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
20
Sc˘ Sc ˘adem ad em cele ce le dou˘ do u˘a ecua ec uat¸ii: ¸tii: (r2 ¸si ¸inem ¸tin em cont co nt c˘a r2
)(r + r ) = 2rd cos θ − r )(r + r 2r. Rezult˘a: a: ∆r = r − r rd cos θ 1
2
1
2
2
1
Astfel, Astfel, defazajul dintre dintre undele care ajung ˆın punctul P se datoreaz˘a o dat˘a defaza d efaza jului init¸ial ¸ial ¸si si apoi defazajului defaza jului obt¸inut ¸inut din diferent¸a ¸a de drum 2π 2π ∆r/λ. r/λ. Rezult˘a: a: ∆ϕ = θ +
2πd cos θ λ
Maximul Maximul de interferent interferent¸˘ ¸a˘ se obt¸ine ¸ine pentru ∆ϕ ∆ϕ = 2kπ: kπ : θ+
2πd cos θ = 2kπ λ
¸si si
−
θ λ 2π d
cos θ = k
a cu un 1.2.5 Una din fantele dispozitivului Young este acoperit˘
strat de mic˘ a cu indicele de refract¸ie ¸ie n = 1, 58. ˆIn punctul central de pe ecran se g˘ase¸ as e¸ste st e a 7 a franj˘a luminoas˘a. a . Ca Care re este este grosimea lamei dac˘ a lungimea de und˘ a a luminii folosite este ˚ λ = 5500 A(Fig. A(Fig. 1.7).
−
Solut ¸ie ¸ie
˘ OPTICA
CAPITOLUL 1.
21
F 1 2l
P
r 1
x r 2
M
S
O
O F 2 D
Fig. Fig. 1.7
Conform Fig. 1.7, Conform 1.7, diferen diferent¸a ¸ta de d e drum ˆıntre razele care interfer˘ a ˆın pu punc nctu tull P este: δ = (r1
− e) + ne − r
2
Dar, Dar , ˆın pun punctu ctull O , r1 = r2 . Atunci: δ = (n
1)e − 1)e
Din condit¸ia ¸ia de maxim δ = kλ rezult˘a: a: (n
1)e = kλ − 1)e
Astfel grosimea e este: e=
kλ = 6, 64 µm n 1
−
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
22
a, a, studiul fenomenului fenomenului de interfernt interfernt¸˘ a nu se reali1.2.6 ˆIn practic˘ zeaz˘a utilizˆand and surse luminoase monocromatice. S˘ a se determine relat¸ia ¸ia dintre ∆λ ∆λ, l˘argimea argimea spectral˘ a a radiat¸iei ¸iei folosi fol osite te ¸si si ordi o rdinul nul de inteferent¸˘ ¸a˘ k la care figura de interferent¸˘ ¸a˘ nu se mai observ obs erv˘˘a. a. Solut ¸ie ¸ie
Figura de interferent interferent¸˘ a nu se mai observ˘ a cˆand and maximul de ordin k al radiat¸iei ¸iei cu lungimea de und˘ a λ + ∆λ ∆ λ cade peste maximul de ordin k + 1 al radiat¸iei ¸iei cu lungimea de und˘ a λ, adic ad ic˘˘a: a: δ = k(λ + ∆λ ∆λ) = (k + 1)λ 1)λ Atunci: ∆λ =
λ k
¸a˘ cu oglinz oglinzii Lloyd (vezi (vezi Fig. 1.8), 1.8), o und˘ a 1.2.7 ˆIntr-o experient¸˘ luminoas˘a care provine direct de la surs˘ a interfer˘ a direct cu unda reflectat˘a de oglinda O. Franjel ranjelee de interf interfere erent nt¸˘ a se obt¸in ¸ in pe ecranul E perpendicular pe planul oglinzii. oglinzii. Distant ¸a dintre surs˘ a ¸si si ecran ecr an este est e d, iar interfranja este i. Dac˘a distant¸a ¸a dintre surs˘a ¸si si ogli og lind nd˘a˘ se modific˘a cu ∆h ∆h, interfranja se m˘are¸ ar e¸ste st e de η ori. S˘a se determine lungimea de und˘a a luminii folosite. folosit e.
Solut ¸ie ¸ie
Putem considera c˘ a interferent¸a ¸a pe ecranul E este datorat˘ a undelor ce provin de la sursa S ¸si si de la imaginea lui S ˆın ogli og lind ndaa
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
23
l S
P h
R
h E
S '
Fig. Fig. 1.8
O, S . Distant¸a ¸a dintre cele dou˘ a surse, una real˘ a (S ) ¸si si cealal cea lalt˘ t˘a virt vi rtua ual˘ l˘a (S ) este 2h 2h. Interfranja este: i=
2λh d
Cˆand and sursa se dep˘ arteaz˘ arteaz˘ a, a, noua interfranj˘ a este: iη =
2λ(h
− ∆h) d
De aici rezult˘a: a: λ=
i(η 1)d 1)d 2∆h 2∆h
−
prezentat˘ tat˘ a experient¸a ¸a de interferent¸˘ ¸a˘ cu 1.2.8 ˆIn Fig. 1.9 este prezen oglinz oglinzii Fresnel. resnel. Unghiu Unghiull dintre dintre cele dou˘ a oglinzi este α = 12 ,
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
24 Dl
E 1
O'
E 2
S a a
O
S ' ' O' '
S '
2a
Fig. Fig. 1.9
distant¸a ¸a dintre muchia comun˘ a a oglinzilor ¸si si ecran este b = 130 cm. Lungimea de und˘ a a luminii este λ = 0.55 µm. S˘a se determine interfranja interfr anja ¸si si num˘ arul de maxime ce se obt¸in arul ¸in pe ecran.
Solut ¸ie ¸ie
Sursele care furnizeaz˘ a lumin˘a coerent˘ a sunt imaginile sursei S ˆ S ˆın oglinzi. ogli nzi. Se observ˘ ob serv˘a c˘a sursa S ¸si si imagin ima ginile ile ei S ¸si si S ” se afl˘a pe un cerc de raz˘ a r. Distant¸a ¸a dintre planul surselor sur selor ¸si si ecran este: D = b + r sin α
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
25
Distant¸a ¸a dintre surse S S ” = 2rα. rα . Atunci: i = i
λD λD λ(b + r sin α) = = S S ” 2rα 2rα λ(b + r ) = 1, 1 mm 2rα
Lungimea ∆l ∆l pe care se obt¸ine ¸ine interferent¸a ¸a este: ∆l = 2bα = 8, 3 mm Astfel, num˘arul arul de maxime este: ∆l 2bα2 bα2rα 4brα2 N = +1 = +1 = +1=9 i λ(b + r ) λ(b + r)
a fascicule se utilizeaz˘ a linia 1.2.9 ˆIntr-un interferometru cu dou˘ galben˘ a a mercurului care este constituit˘ a din dou˘ a lungimi de ˚ ¸si ˚ und˘a λ1 = 576, 576, 97 A si λ2 = 579, 579, 03 A. A . Care este ordinul minim de interferent¸˘ ¸a˘ astfel ca maximele determinate de cele dou˘a radiat¸ii ¸ii s˘a se disting˘a. a. Solut ¸ie ¸ie
Cele dou˘ a maxime de interferent¸˘ ¸a˘ se disting atunci cˆand and maximul radiat¸iei ¸iei λ1 de ordin k se suprapune peste minimul radiat¸iei ¸iei de ordin k 1. Deoarece ˆın acel ac el punct pu nct diferent¸a ¸a de drum optic pentru ambele radiat¸ii ¸ii este aceea¸si, si, rezult˘ rezul t˘ a: a:
−
δ = kλ 1 = (2k (2k
− 1) λ2
2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
26
¸si si k=
λ2 2(λ 2(λ2
− λ ) = 140 1
a de ap˘a (n = 1, 3) aflat˘ a ˆın aer are grosimea 1.2.10 O pelicul˘ ˚ d = 3200 A. A. Dac˘a lama este iluminat˘ a la incident¸˘ ¸a˘ normal˘a, a, care va fi culoarea predominant˘ a ˆın lumi lu mina na refle re flect ctat at˘˘a. a. Solut ¸ie ¸ie
Deoarece lama este iluminat˘ a la incident¸˘ ¸a˘ normal˘ norma l˘a, a, diferent difer ent¸a ¸a de drum este: δ = 2nd
λ/2 − λ/2
Condit¸ia ¸ia de maxim este: δ = 2nd
λ/2 = kλ − λ/2
k = 1, 2, 3,...
Atunci: λ=
2nd 8500 ˚ = A k + 1/ 1/2 k + 1/ 1/2
Pentru: k = 0 k = 1 k = 2
⇒ λ = 17000 ˚A ⇒ λ = 5700 ˚A ⇒ λ = 3400 ˚A
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
27
S
( 2) D
(1 )
A
C
n
d
B
Fig. Fig. 1.10 1.10
ˆIn regiunea vizibil˘a a spectrului se g˘ase¸ ase¸ste ste maximul max imul pentr p entru uk =1 care corespunde luminii galben verzui.
a alb˘a paralel cade pe o lam˘ a cu 1.2.11 Un fascicul de lumin˘ fet¸e ¸e plan-paralele din mic˘a (n = 1, 33) sub unghiul de incident¸˘ ¸a˘ o i = 52 (vezi Fig. 1.10). Pentru ce grosime a lamei lumina reflectat˘a va prezenta un maxim pe culoarea galben˘ a (λ = 600 µm).
Solut ¸ie ¸ie
Diferent¸a ¸a de drum dintre razele care interfer˘ a este: δ = 2nd cos r
− λ2
Dar, conform legii Snell-Dscartes: sin i = n sin r
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
28
rezult˘a
cos r =
1
−
sin2 i n2
Atunci:
−
δ = 2d n2
sin2 i
λ/2 − λ/2
Condit¸ia ¸ia ca radiat¸ia ¸ia cu lungimea de und˘ a λ s˘a prezinte un maxim este: δ = kλ
k = 0, 1, 2, 3,...
Astfel
−
2d n2 ¸si si
d = (2k (2k + 1)
sin2 i
λ/2 = kλ − λ/2
× 0, 6 µm
k = 0, 1,...
a se determine grosimea minim˘ a a unei pelicule cu in1.2.12 S˘ dicele de refract¸ie ¸ie n = 1, 33 pentru care lumina cu λ = 0, 64 µm va prezen prezenta ta un maxim maxim prin reflexie reflexie.. Unghiu Unghiull de inciden incident¸˘ ¸ta˘ este o egal cu 30 . Solut ¸ie ¸ie
Utiliz˘am am formula obt¸inut˘ ¸inut˘a ˆın problema pro blema prece p recedent˘ dent˘ a ˆın care punem k = 0: λ d= = 0, 13 µm 4 n2 sin2 i
−
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
29
A2
O I I '
e I 1
A1 r
Fig. Fig. 1.11 1.11
a cu fet¸e ¸e plan-paralele 1.2.13 Pe dispozitivul format dintr-o lam˘ pe care se afl˘ a o lentil˘a plan-convex˘a de raz˘a R = 2, 4 m, cu indicele de refract¸ie ¸ie n = 4/3, se trimite un fascicul paralel de lumin˘a perpendicular pe acesta, cu lumgimea de und˘ a λ = 600 nm. Care este raza celui de-al 19-lea inel luminos.
Solut ¸ie ¸ie
Diferent¸a ¸a de drum dintre razele (1) ¸si si (2) (vezi Fig. 1.11) este: δ = 2e
− λ2
unde e I I 1 ¸si si se determ det ermin˘ in˘a cu ajutorul ajut orul teoremei ˆın˘ alt alt¸imii ¸imii din A1 A2 I . A2 este punctul diametral opus punctului A1 , fat¸˘ ¸a˘ de
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
30
centrul cent rul de curbur cur bur˘˘a O al p˘art art¸ii ¸ii convexe. I I 2 = I A1 I A2
·
Notˆand and prin: r = A1 I 1 = I I atunci: r 2 = (2R (2R
− e)e 2Re
Rezult˘a c˘a: a: r2 e= 2R Condit¸ia ¸ia de maxim este: δ = kλ ¸si si rk2 R
− λ2 = kλ
unde rk este raza inelului luminos de ordin k : rk =
k+
1 Rλ 2
Deoarece inelele se num˘ar˘ ar˘a de la inelul cu k = 0, atunci al k lea inel luminos este inelul luminos de ordin k 1:
−
rk−1 =
− k
1 Rλ = 5, 15 mm 2
−
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
31
Fabri-Perrot rrot const˘ a din dou˘a oglinzi plane 1.2.14 Un rezonator Fabri-Pe cu coeficientul de refelexie R = 0, 99 care se afl˘ a la distant¸a ¸a de ¸a˘ de alta. alta. O und˘ unda˘ monocromatic˘ a plan˘a este l = 10 cm una fat¸˘ incident˘ a pe interferometru interferometrull care, ˆın ın acest caz este utilizat ca o cavitate cavitate rezonant˘ rezonant˘ a. Sa˘ se estimeze, la rezonant¸˘ ¸a, a˘, frecvent¸a ¸a (ˆın MHz) unei rezonant¸e, ¸e, precum ¸si si intervalul intervalul de frecvent¸e ¸e dintre dou˘a rezonant¸e ¸e vecine. Solut ¸ie ¸ie
T ¸ inem in em cont co nt c˘a: a: I (ϕ) =
I o 1 + M M sin sin2 ϕ/2 ϕ/2
unde M =
4R (1 R)2
−
Punem condit¸ia ¸ia ca I (ϕ) = I o /2 pentru a deduce ϕ1 ¸si si ϕ2 care ˆındeplinesc ındep linesc aceast˘ aceas t˘a condit¸ie: ¸ie: I o I o = 2 1 + M M sin sin2 ϕ/2 ϕ/2 Deoarece unghiul ϕ este foarte mic, rezult˘a: a: ϕ=
± √2M
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
32
Astfel ∆ϕ =
√4M = 2(1√−RR)
Dar ∆ϕ = ∆
2π δ λ
=∆
2πν 2l c
Atunci, din ultimele dou˘a ecuat¸ii ¸ii rezult˘a: a: 1
∆ν =
−R · R
c 2πl
∼ 4, 8 MHz
La rezonant¸˘ ¸a: a˘: ϕ=
2π 2l = 2mπ λ
cu m=ˆıntre ınt regg
·
Rezult˘a: a: ν m =
mc 2l
¸si si pentru pe ntru dou dou˘ a˘ rezonant¸e ¸e vecine: ∆ν = ν m+1
− ν
m
=
c = 1500 MHz 2l
a se determine raportul dintre intensitatea luminoas˘ a 1.2.15 S˘ ˆın punctele de pe ecranul ecranul unui dispozitiv Young (iluminat cu radiat¸ie ¸ie monocromatic˘ a) a) corespunz˘ atoare maximelor luminoase atoare ¸si si intensitatea luminoas˘ a ˆın pu punct nctel elee de pe ecran ecran aflate aflate la o
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
33
distant¸˘ ¸a˘ de aceste maxime egal˘ a cu un sfert dintr-o interfranj˘ a. a. Solut ¸ie ¸ie
Intensitatea rezultant˘ a ˆıntr-un ıntr-un punct pun ct de pe ecran este: I = I 1 + I 2 + 2
I 1 I 2 cos∆ϕ cos∆ϕ
unde ∆ϕ ∆ϕ este defazajul dintre cele dou˘ a unde. Deoarec Deoarecee intenintensitatea celor dou˘ a fascicule fascic ule este egal˘a: a: I 1 = I 2 = I o Atunci I = 2I o (1 + cos ∆ϕ) ˆIn cazul maximelor ∆ϕ ∆ϕ = 2kπ ¸si si ˆın partic par ticula ularr ˆın cazul caz ul maximul max imului ui de ordin k = 0, ∆ϕ ∆ϕ = 0 ¸si I = 4I o . Vom considera punctul la distant¸a ¸a x = i/4 i/4 fat¸˘ ¸a˘ de maximul central. Deoarece 2πδ ∆ϕ = λ iar diferent¸a ¸a de drum δ , ˆın cazul dispozitivului Young este: δ=
2xl D
atunci ∆ϕ =
2π 2l x λ D
· ·
Dar cum x = i/4 i/4 = λD/8 λD/8l rezult˘a: a: ∆ϕ =
π 2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
34
Astfel I = 2I o (1 + cos π/2) π/ 2) = 2I 2I o I = 2 I o
1.3
Difrac¸ie ¸ t ie
su rs˘˘a lumi lu mino noas as˘ a˘ punctual˘ a care emite lumin˘a cu lungimea 1.3.1 O surs de und˘ a λ = 0, 5 µm, este situat˘ situa t˘a la distant dista nt¸a ¸a a = 1, 2 m ˆın fat fa¸a ¸ta unei diafragme ce prezint˘ a o deschidere circular˘ a de raz˘a r = 1 mm. S˘a se g˘aseasc˘ aseasc˘a distant¸a ¸a b care separ˘ a diafragma de punctul de observat¸ie ¸ie corespunz˘ atoare atoare unui num˘ ar impar de zone Fresnel. ar Solut ¸ie ¸ie
ˆIn Fig. 1.12 1.12 este prezenta prezentat˘ t˘ a situat¸ia ¸ia din problem˘ probl em˘a, a, unde S este sursa iar P este punctul se observat¸ie. ¸ie. Se obse ob serv rv˘˘a c˘a: a: R = a+h r = b h
a − b
Suprafat¸a ¸a unei zone Fresnel este: S =
πrλR (R + r )
(aπabλ + b)
Suprafat¸a ¸a deschiderii este πr 2 . Atunci, num˘arul arul de zone Fresnel este: πr 2 r2 (a + b) n = = S abλ
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
35 b
R
S
r P
a
h
Fig. Fig. 1.12 1.12
Rezult˘a: a: r2 a b = (naλ r2 )
−
a cu deschiderea circular˘ a de raz˘ a a, variabil˘a, a, 1.3.2 O diafragm˘ este plasat˘a ˆıntre o surs˘ s urs˘a luminoas˘ luminoas˘ a ¸si si un ecran. ecra n. Distant Distan¸ele ¸tele de la diafragm˘a la surs˘a ¸si si respectiv ecran sunt a = 1 m ¸si si respectiv b = 1, 25 m. S˘a se determine lungimea de und˘a a luminii pentru care se obt¸ine ¸ine un maxim de intensitate intensitate ˆın ın centrul centrul imaginii imaginii de difract¸ie, ¸ie, pentru o raz˘ a r1 = 1 mm a deschiderii, iar urm˘ atorul atorul maxim se obt¸ine ¸ine pentru o raz˘a r2 = 1, 5 mm. Solut ¸ie ¸ie
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
36
T ¸ inand aˆnd cont de rezultatul de la problema precedent˘ a, ˆın punctul punct ul central se obt¸ine ¸ine un maxim de luminozitate dac˘a suprafat¸a ¸a fantei cuprinde un num˘ ar impar de zone Fresnel: ar r12 (a + b) 2n + 1 = abλ Urm˘atorul atorul maxim se obt¸ine ¸ine pentru un num˘ ar ar 2n + 3 de zone Fresnel: r22 (a + b) 2n + 3 = abλ Dac˘a sc˘adem adem cele dou˘ a ecuat¸ii ¸ii rezult˘a: a: (a + b)(r )(r22 2 = abλ
−r )
2 1
(a + b)(r )(r22 λ = 2ab
−r )
Atunci: 2 1
a λ cade la incident¸˘ ¸a˘ nor1.3.3 Lumina cu lungimea de und˘ mal˘a pe o fant˘ a dreptunghiular˘ a de l˘argime argime b. S˘a se s e determine dete rmine distribut¸ia ¸ia unghiular˘ a a intensit˘at a¸ii ¸t ii luminii difractate. difractate. Solut ¸ie ¸ie
ˆImp˘art art¸im ¸im fanta fant a ˆın N port¸iuni ¸iuni ∆x ∆x foarte mici (N (N ∆x = b)(vezi Fig. 1.13).
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
37
z j
dx
b
z '
x j
Fig. Fig. 1.13 1.13
Diferent¸a ¸ a de drum dintre dou˘ a raze care pornesc de la dou˘ a port¸iuni ¸iuni vecine, sub un unghi α, este: δ = ∆x sin α iar diferent¸a ¸a de faz˘a este: ∆ϕ =
2π (∆x (∆x sin α) λ
Astfel, undele care vor interfera sunt de forma: E d E d E d
o
1
2
E d
n
= = = . . =
E cos E cos ωt E cos( E cos(ωt ωt + ∆ϕ ∆ϕ) E cos( E cos(ωt ωt + 2∆ϕ 2∆ϕ)
E cos( E cos(ωt ωt + N ∆ N ∆ϕ)
Compunerea Compunerea acestor unde o vom face fazorial, fazorial, ca ˆın ın Fig. 1.14.
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
38 R
N
F
R
O
Dj
Fig. Fig. 1.14 1.14
Amplitudinea Amplitudinea rezultant˘ rezultant˘ a este egal˘ a cu segmentul ON ON .. Daca˘ num˘arul arul N este foarte mare, segmentul ON reprezint˘a o coard˘ a ˆıntr-un cerc de raz˘a R v˘azut˘ azut˘a sub un unghi Φ: Φ = N ∆ N ∆ϕ =
2π 2πb sin ϕ N ∆ N ∆x sin ϕ = λ λ
Atunci: E (α) = 2R sin
Φ 2
ˆIn cazul ˆın care α = 0, ∆ϕ ∆ϕ = 0 iar amplitu amplitudin dinea ea rezultan rezultant˘ t˘ a E o se obt¸ine ¸ine prin suprapunerea celor N segmente de m˘arime arime E . Lungimea total˘ a a acestor segmente este egal˘ a chiar cu lungimea arcului de cerc ON ON .. Deci: Φ (0) = RΦ = 2R E o = E (0) 2 Atunci: Φ I (α) = 4R2 sin2 2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
39
¸si si I o = 4R
2 2Φ
2
Intensitatea rezultant˘ a va fi: I (α) = I o
sin2
Φ 2 Φ 2 2
a pe o fant˘ a dreptunghiular˘ a de 1.3.4 Pentru lumina difractat˘ l˘argime argime b s˘a se determine direct¸iile ¸iile dup˘a care se obt¸in ¸in minimele ¸si si maximele maxime le de difract difra ct¸ie. ¸ ie. S˘ a se calculeze raportul intensit˘ at a¸ilor ¸tilor primelor trei maxime. Solut ¸ie ¸ie
Minimele de difract¸ie ¸ie se obt¸in ¸in cˆand an d: I (α) = 0 adic˘ adi c˘a atunci atu nci cˆand: and: Φ = pπ 2 unde p este un num˘ ar ar ˆıntreg ıntreg diferit diferit de zero. zero. Cˆ and a nd Φ deoarece: sin2 Φ/2 lim =1 Φ→0 (Φ/ (Φ/2)
→
0,
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
40
dup˘a aceast˘ a direct¸ie ¸ ie se obt¸ine ¸ine maximul central de intensitate ¸ inand aˆnd cont de rezultatul din problema precedent˘ a, a, condit¸ia ¸ia I o . T de obt¸inere ¸inere a minimelor de difract¸ie ¸ie este: 2πb sin ϕ = pπ λ Rezult˘a: a: sin ϕ =
pλ b
Pentru obt¸inerea ¸inerea maximelor de interferent¸˘ ¸a˘ facem schimbarea de variabil˘a u = Φ/2, astfel c˘a: a: sin2 u I (u) = I o 2 u Punem condit¸ia ¸ia ca: dI (u) =0 du
⇒ tg u = u
Aceast˘a ecuat¸ie ¸ie este una transcendental˘ a ¸si si ea se rezolv˘ a numeric. Se obt¸ine: ¸ine: u1 = 4, 493 u2 = 7, 725 Cu aceste valori vom obt¸ine ¸ine intensit˘at a¸ile ¸tile I 1 ¸si si I 2 : I 1 = I (u1 ) = 0, 047 I o I 2 = I (u2 ) = 0, 016 I o
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
41
a se determine semil˘argimea argimea ∆θ ∆θ a maximului central de 1.3.5 S˘ difract¸ie ¸ie Fraunhofer pe o singur˘ a fant˘a de l˘argime argime b = 0, 5 mm pe care cade lumina cu λ = 0, 5 µm. Semil˘argimea argimea este unghiul dintre dintre dou˘ a puncte de pe figur˘ a unde intensitatea este jum˘ atate atate din cea din centrul figurii de difract¸ie. ¸ie. Solut ¸ie ¸ie
Distribut¸ia ¸ia intensit˘at a¸ii ¸t ii luminoase date de o fant˘ a este: sin2 u I = I o 2 u unde u=
πb sin ϕ λ
cu b l˘ argimea argimea fantei iar ϕ este direct¸ia ¸ia dup˘ a care se calculeaz˘a intensitatea. Punem condit¸ia: ¸ia: I o sin2 u = I o 2 I = 2 u de unde se obt¸ine ¸ine ecuat¸ia: ¸ia: 2sin2 u = u2 Ecuat¸ia ¸ia este una transcendental˘ a iar solut¸ia ¸ia ei se obt¸ine ¸ine numeric: u = 1, 39 Atunci: sin ϕ =
uλ πb
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
42
j
d
j d
Fig. Fig. 1.15 1.15
iar semil˘argimea argime a este: ∆θ = 2 arcsi arcsin n
uλ = 0, 44 πb
−3
× 10
rad = 45”
¸ inand aˆnd cont de rezultatele de la problemele precedente 1.3.6 T s˘a se determine distribut¸ia ¸ia intensit˘ at a¸ii ¸t ii obt¸inut˘ ¸inut˘a cu o ret¸ea ¸ ea de difract¸ie ¸ie care cont¸ine ¸ine N fante, constanta ret¸elei ¸elei fiind d (vezi Fig. 1.15).
Solut ¸ie ¸ie
Amplitudinea undei ce pleac˘a de pe o fant˘ a ˆın direct dir ect¸ia ¸ia determinat˘ min at˘a de ung unghiu hiull α este: E = E o
sin u u
u=
πb sin α λ
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
43 R
N DF
N DF
R
O
Fig. Fig. 1.16 1.16
Dac˘a α = 0, amplitudinea celor N unde se adun˘ a ¸si si rezult rez ult˘ a: a˘: E (0) (0) = N E o iar intensitatea intensitatea corespunz˘ atoare atoare este: I o = E 2 (0) = N 2 E o2 Dac˘a α = 0, utili utiliz˘ z˘ am am construct¸ia Fre Fresn snel el.. Din Din Fig. Fig. 1.16 1.16 se se observ˘a c˘a diferent¸a ¸a de drum dintre dou˘ a unde succesive este:
δ = d sin α iar diferent¸a ¸a de faz˘a: a: ∆Φ =
2π d sin α λ
Amplitudinea rezultant˘ a este, conform Fig. 16: E (α) = 2R sin
N ∆Φ ∆Φ 2
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
44
Se obse ob serv rv˘˘a c˘a E este: E = 2R sin
∆Φ 2
Atunci: sin N ∆Φ N ∆Φ//2 E (α) = E = E o sin sin ∆Φ/ ∆Φ/2
sin u u
sin(N sin(N ∆Φ/ ∆Φ/2) sin sin (∆Φ/ (∆Φ/2)
iar intensitatea va fi: 2
2
I = E (α) = E o
sin2 u u2
sin2 (N ∆Φ N ∆Φ//2) sin2 (∆Φ/ (∆Φ/2)
sau: sin2 u sin2 (N δ ) I = I o 2 u N 2 sin2 δ
·
unde: δ=
∆Φ πd = sin α 2 λ
a se determine criteriul de separare spectral˘a Rayleight. R ayleight. 1.3.7 S˘ La limita de separare, maximul principal de ordin m al radiat¸iei ¸iei cu lungimea de und˘ a λ+∆λ +∆ λ coincide cu primul minim al radiat¸iei ¸iei cu lungimea de und˘a λ ce apare dup˘ a maximul principal de ordin m. Solut ¸ie ¸ie
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
45
Condit¸ia ¸ia pentru obt¸inerea ¸inerea maximului principal de ordin m pentru radiat¸ia ¸ia cu lungimea de und˘a λ + ∆λ ∆λ este: N δ = mN π
πd sin α = mπ λ + ∆λ ∆λ
sau
de unde rezult˘ a: a: sin α =
m(λ + ∆λ ∆λ) d
Condit¸ia ¸ia de obt¸inere ¸inere a primului minim al radiat¸iei ¸iei cu lungimea de und˘ a λ dup˘a maximul principal de ordin m este: N δ = (N m + 1)π 1)π adic˘a dπ N sin α = (N m + 1)π 1)π λ Rezult˘a: a: sin α =
1 λ m+ N d
Egalˆand and expresiile expre siile celor dou˘a sinusuri rezult˘a: a: m(λ + ∆λ ∆λ) = d
Astfel: ∆λ =
1 λ m+ N d
λ mN
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
46
¸ea de difract¸ie ¸ie cu lungimea L = 5 cm, cu constanta 1.3.8 O ret¸ea par alel de lumina cu lungimea n = 500 linii/mm este iluminat˘a paralel de und˘ a λ = 0, 5 µm. Se cere: a. b. c. d.
ordinul maxim de difract¸ie ¸ie unghiurile de difract¸ie ¸ie pentru primele dou˘ a maxime dispersia unghiular˘ unghiular˘ a ˆın prime pr imele le dou˘ do u˘a maxim ma ximee puterea de rezolut¸ie ¸ie pentru maximul de ordin 1
Solut ¸ie ¸ie
and a nd cu d constanta ret¸elei, ¸elei, condit¸ia ¸ ia de obt¸inere ¸inere a unui a. Notˆ maxim este: d sin α = kλ Cum d = 1/n vom obt¸ine: ¸ine: sin α = nkλ Pentru obt¸inerea ¸inerea ordinului maxim de difract¸ie ¸ie facem ca α π/2. π/2. Atunci: kmax =
1 =4 nλ
¸inem: b. Pentru k = 1 obt¸inem: sin α1 = nλ = 0, 25 Rezult˘a: a: α1 = 14o
→
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
47
Pentru k = 2 obt¸inem: ¸inem: sin α2 = 2nλ = 0, 5 Rezult˘a: a: α2 = 30o ¸ine dispersia unghiular˘ a diferent¸iem ¸iem relat¸ia ¸ia 1/n 1/n sin α = c. Pentru a obt¸ine kλ: kλ :
1 cos α dα = k (dλ) dλ) n
Dispersia Dispersia unghiular˘ unghiular˘ a va fi, conform definit¸iei: ¸iei: D
kn tg α = = ≡ dα dλ cos α λ
Pentru cele dou˘ a ordine de difract¸ie ¸ie vom avea: dα1 tg α1 = = 5, 16 dλ λ dα2 tg α2 = = 106 dλ λ
5
× 10
¸ie a ret¸elei ¸elei este: d. Puterea de rezolut¸ie R=
λ = mN ∆λ
unde m este ordinul maximului iar N este num˘ arul arul total de fante ˆ ale ret¸elei. ¸elei. In cazul nostru N = nL ¸si: R1 = mnL = 25000
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
48
¸iile maximelor principale de ordin 1.3.9 Intervalul dintre direct¸iile I ¸si si II este ∆ϕ = 21o . Dispersia Dispersia unghiular˘ unghiular˘ a a ret¸elei ¸ele i ˆın ordinul ord inul ˆıntai aˆi este: D=
dϕ dλ
= 1, 1 min/nm
Se cere lungimea de und˘ a a radiat¸iei ¸iei folosite. Solut ¸ie ¸ie
Maximele de ordin I ¸si si II se obt¸in ¸in atunci cˆand: and: d sin ϕ1 = λ d sin ϕ2 = 2λ Punˆand and ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ ∆ϕ: sin ϕ2 sin(ϕ sin(ϕ1 + ∆ϕ ∆ϕ) = =2 sin ϕ1 sin ϕ1 Atunci: tg ϕ1 =
sin∆ϕ sin∆ϕ 2 cos∆ϕ cos∆ϕ
−
Deoarece dispersia unghiular˘ a este: D1 =
dϕ dλ
=
tg ϕ1 λ
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
49
atunci: 1 2 cos∆ϕ cos∆ϕ = Dλ sin∆ϕ sin∆ϕ
−
¸si si λ =
sin∆ϕ sin∆ϕ = 1050 D (2 cos∆ϕ cos∆ϕ)
−
× 10
−9
m
¸ea de difract¸ie ¸ie de lungime L = 4 cm avˆand and 1.3.10 Fie o ret¸ea n = 500 fante/mm iluminat˘a ˆın ın domeniul verde al spectrului cu o radiat¸ie ¸ie cu λ = 560 nm. S˘ a se determine: ¸ie ˆın ın spectrul de ordinul 2 a. puterea de rezolut¸ie ¸a ∆λ ˆın spectrul de ordin 2 b. diferent¸a unghiular˘ a a ret¸elei ¸elei ˆın ın spectrul de ordin 2 c. dispersia unghiular˘ Solut ¸ie ¸ie a.
R=
λ = mN = mnL = 4 ∆λ
b.
∆λ =
λ = 1, 4 nm R
c.
D=
dϕ dλ
× 10
4
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
50
Din condit¸ia ¸ia de maxim: 1 sin ϕ = mλ n obt¸inem ¸inem prin diferent¸iere: ¸iere: 1 cos ϕdϕ = mdλ n Atunci: D=
mn sin ϕ = = cos ϕ λ cos ϕ λ
1
1 sin2 ϕ
−1
Deoarece sin ϕ = nmλ, nmλ, dispersia unghiular˘a devine: D=
√1 −nm nmλ 2
2 2
= 1, 2
× 10
6
¸ea de difract¸ie ¸ie are 104 linii echidistante pe 2, 2, 54 cm 1.3.11 O ret¸ea ¸si si este est e ilum i lumina inat˘ t˘a la incident¸˘ ¸a˘ normal˘a cu lumin˘a galben˘ a dintro lamp˘a cu vapori vapori de sodiu. Aceast˘ Aceast˘ a lumin˘a cont¸ine ¸ine dou˘ a linii foarte apropiate de lungimi de und˘ a λ = 589 nm ¸si si λ = 589, 589, 59 nm (dubletul de sodiu). a. care este unghiul pentru care apare maximul de prim or-
din al acestor lungimi de und˘a? a? ¸a unghiular˘ ung hiular˘a dintre maximele de ordin I ale b. care este diferent¸a acestor linii? linii? Solut ¸ie ¸ie
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
51
¸ia pentru obt¸inerea ¸inerea maximului de ordin I este: a. Condit¸ia l sin α = λ unde l = N/L este constanta ret¸elei. ¸elei. Rezult˘a: a: λL = 13o 20 N ¸ia dispersiei: dispersiei: b. Pornim de la definit¸ia α = arcsin
D
≡ dα dλ
¸si si ˆın locul lo cul difere dif erent nt¸ialelor ¸ialelor dλ ¸si si dα vom utiliza valorile finite (care sunt foarte mici) ∆λ ∆λ ¸si ∆α.Atunci: D=
∆α tg α = ∆λ λ
Rezult˘a: a: ∆α =
tg α ∆λ = 2, 4 λ
×0
−4
rad = 49, 49, 5”
ate ate linii trebuie s˘a aibe o ret¸ea ¸ea pentru a rezolva duble1.3.12 Cˆ tul sodiului (λ (λ1 = 589 nm ¸si si λ2 = 589, 589, 59 nm) pentru ordinul al treilea. Solut ¸ie ¸ie
Puterea de rezolut¸ie ¸ie trebuie sa˘a fie: R=
λ 589 = = 1000 ∆λ 0, 59
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
52
Deoarece R = mN
1.4 1.4
→ N = mR = 330 linii
Polar olariz izar are e
a se determine unda polarizat˘ a eliptic care se propag˘ a 1.4.1 S˘ de-a lungul axei Oy, Oy , axa mare a a elipsei fiind de trei ori mai mare decˆ at at axa mic˘a iar defazajul este egal cu π/2. π/ 2. Solut ¸ie ¸ie
Componentele E z ¸si si E x ale cˆampului ampului electric au expresiile: E z = 3E o cos(ωt cos(ωt ky) ky ) E x = E o cos(ωt cos(ωt ky + π/2) π/ 2) =
− −
sin(ωt − ky) ky ) −E sin(ωt o
Rezult˘a atunci, pentru unda polarizat˘ a expresia: = 3E o cos(ωt E cos(ωt
ky )e − E sin(ωt sin(ωt − ky) ky )e − ky) z
o
x
a se arate c˘ a pentru un unghi de incident¸˘ a egal cu unghiul 1.4.2 S˘ Brewster, unghiul dintre raza reflectat˘ a ¸si si cea c ea refrac ref ractat tat˘ a˘ este π/2. π/ 2. Solut ¸ie ¸ie
Din legea refract¸iei: ¸iei: sin iB = n sin r
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
53
¸si si legea lui Brewster: Brews ter: tg iB = n rezult˘a: a: sin r = cos iB r = π/2 π/ 2
−i
B
Astfel: r + iB =
π 2
a cade pe suprafat¸a ¸a sticlei sub unghiul 1.4.3 Lumina natural˘ Brewster. S˘a se determine, cu ajutorul formulelor Fresnel: a. factorul de reflexie b. gradul de polarizare al luminii refractate Solut ¸ie ¸ie
and lumina cade sub unghiul Brewster: and a. Atunci cˆ i + r = π/2 π/ 2 iar tg i = n ˆIn lumin˘ lumi n˘a refle r eflecta ctat˘ t˘a I ⊥ = 0 ¸si: I RII RII = I II II i
·
sin2 (i r) sin2 (i + r)
−
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
54
unde I II a intens intensita itatea tea lumini luminiii pentru pentru care vector vectorul ul II i reprezint˘ cˆamp amp electric este paralel cu planul de incident¸˘ ¸a. a˘. Deoarec Deoarecee lumina natural˘ natu ral˘a este es te nepo n epolariz larizat˘ at˘ a, a, atunci I II II i = I o /2. Atunci: I o sin2 (i r ) I II II = 2 sin2 (i + r)
−
·
Deoarece i + r = π/2 π/ 2 atunci: I o I RII sin2 (i RII = 2
−
I o tg 2(i r) r) = 2 1 + tg 2 (i r)
−
·
−
Dar: tg (i
− r) = 1tg+i tg− itgtgrr
Pentru incident¸˘ ¸a˘ Brewster rezult˘a: a: tg i = n tg r = tg (π/ (π/22
− i) = cot i = n1
Rezult˘a: a: tg (i
− r)
=
n2
−1
2
ceea ce conduce la expresia factorului de reflexie: R
≡
I RII 1 (n2 1)2 RII = I o 2 n2 + 1)2
−
a transmis˘a: a: b. ˆIn lumin˘ I II II =
I o 2
˘ OPTICA
CAPITOLUL 1.
55
doarece toate componentele paralele cu planul de incident¸˘ ¸a˘ sunt transmise trans mise ˆın al doilea mediu: mediu : I o I o (n2 + 1)2 (n2 1)2 I ⊥ = 2 2 n2 + 1)2 4n2 I o I ⊥ = (n2 + 1)2 2
−
−
−
Gradul de polarizare al luminii refractate este: P
≡
I II I ⊥ (n2 + 1)2 4n2 II = 2 I II (n + 1)2 + 4n 4n2 II + I ⊥
−
−
a se determine coeficient¸ii ¸ii de reflexie ¸si si transmisie (r ¸si si 1.4.4 S˘ t) precum prec um ¸si si factorii fact orii de reflexie refle xie ¸si si transmisie tran smisie (R ¸si si T ) T ) ˆın cazul ˆın care o und˘a electromagnetic˘a cade aproape normal pe sticla cu indicele de refract¸ie ¸ie n. Solut ¸ie ¸ie
La incident¸˘ ¸a˘ normal˘a ˆınse ın seam amn˘ n˘a i 0 ¸si si legea refract refra ct¸iei ¸iei se scrie i = nr. nr . Deoarece unghiurile unghiurile implicate implicate sunt mici vom folosi formulele mulele de aproximare: aproximare:
→
sin α cos α Coeficient¸ii ¸ii de reflexie sunt:
tg α 1
α
tg (i r) i r i/r 1 n 1 = = = tg (i + r) i+r i/r + 1 n+1 sin(i sin(i r) i r n 1 = = = sin(i sin(i + r) i+r n+1
−
rII = r⊥
−
−
−
−
−−
− −
−
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
56
Factorii de reflexie sunt: 2
RII = rII = 2
R⊥ = r⊥ =
n 1 n+1
2
n 1 n+1
2
− −
Coeficient¸ii ¸ii de transmisie sunt: 2cos i sin r 2r 2 = sin(i sin(i + r)cos(i )cos(i r ) i+r n+1 2sin r cos i 2r 2 = = sin(i sin(i + r) i+r n+1
tII = t⊥
−
iar factorii de transmisie sunt: cos r 2 2n tII = cos i n+1 cos r 2 2n = n t⊥ = cos i n+1
T II II = n T ⊥
a natural˘ a cade pe o suprafat¸˘ ¸a˘ de 1.4.5 Un fascicul de lumin˘ sticl˘a cu n = 1.5 sub un unghi de incident¸˘ ¸a˘ egal cu 45o . S˘a se determine, cu ajutorul formulelor lui Fresnel, gradul de polarizare al luminii reflectate. Solut ¸ie ¸ie
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
57
Deoarece lumina natural˘ a este nepolarizat˘ a: a: I II II I ⊥
I o tg 2 (i r ) = 2 tg 2 (i + r ) I o sin2 (i r) = 2 sin2 (i + r)
−
−
Din legea refract¸iei ¸iei sin i = n sin r rezult˘a: a: r = arcsin
sin sin 45o 1, 5
= 28o
Atunci: I II II I ⊥
I o tg 2 17o I o = = 0 , 0087 2 sin2 73o 2 2 o I o sin 17 I o = = 0 , 0934 2 sin2 73o 2
Gradul de polarizare va avea expresia: P =
I ⊥ I II II = 0, 78 I II II + I ⊥
−
a de intensitate I o cade pe un sistem 1.4.6 Lumina monocromatic˘ format din doi polarizori p olarizori ˆıntre care se afl˘ a o lam˘a cri c rist stal alin˘ in˘a t˘ taiat˘ a˘iat˘a paralel cu axa optic˘ a. a. Lama determin˘a aparit¸ia ¸ia unui defazaj egal cu δ ˆıntre raza ordinar˘ ordin ar˘ a ¸si si raza extraordinar˘a. Sa˘ se arate c˘a intensitatea luminii emergente se poate exprima: I =
I o [cos2 (α 2
sin2α sin2β sin2β sin sin − β ) − sin2α
2
δ/2] δ/ 2]
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
58
Direcþiaprimuluipolarizor E 0 E 0 sin a
a
b
Axaopticã
E 0 cos a
Fig. Fig. 1.17 1.17
unde α ¸si si β sunt unghiurile pe care axa optic˘ a a cristalului le face cu direct¸iile ¸iile principale ale polaroizilor (vezi Fig. 1.17)
Solut ¸ie ¸ie
Pe al doilea polarizor ajung undele ordinar˘ a ¸si si extraordin extra ordinar˘ ar˘a de forma: E ord ord = E o sin α cos ωt cos(ωt E extr extr = E o cos α cos(ωt
− δ)
La ie¸sirea sirea din cel de-al doilea polarizor vom avea undele: E 1 = E o sin α sin β cos β cos ωt E 2 = E o cos α cos β cos( β cos(ωt ωt
− δ)
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
59
Compunˆand and cele dou˘ a unde rezult˘ rezul t˘a amplitu a mplitudinea dinea:: E 2 = E o2 cosα cos2 β + β + E o2 sin2 α sin2 β + β + 2E o2 cos α cos β sin β sin α sin β cos β cos δ Ultima ecuat¸ie ¸ie conduce la expresia final˘ a: a: E 2 = E o2 [cos2 (α
sin2α sin2β sin2β sin sin − β ) − sin2α
2
δ/2] δ/ 2]
unde E o este amplitudinea undei care trece de primul polarizor. din lumina Aceasta este suma tuturor proiect¸iilor ¸iilor vectorilor E natural˘a, a, paralele cu direct¸ia ¸ia celui de-al doilea polarizor. Atunci 2 E o = I o /2 ¸si: I =
I o [cos2 (α 2
sin2α sin2β sin2β sin sin − β ) − sin2α
2
δ/2] δ/ 2]
a se particularizeze rezultatul obt¸inut ¸inut la problema prece1.4.7 S˘ dent˘ a: a: and cei doi polarizori sunt paraleli and a. cˆ and cei doi polarizori sunt perpendiculari and b. cˆ Solut ¸ie ¸ie
and cei doi polarizori sunt paraleli, α = β : and a. Cˆ I II II =
I o [1 2
− sin
2
2α sin2 δ/2] δ/ 2]
CAPITOLUL 1.
˘ OPTICA
60
and cei doi polarizori sunt perpendiculari, β = π/2 and π/ 2 b. Cˆ I o [cos2 (2α (2α π/2) π/ 2) 2 I o = sin2 2α cos2 δ/2 δ/ 2 2
I ⊥ = I ⊥
−
sin2α sin(π sin(π − 2α)sin − sin2α
2
− α: δ/2 δ/ 2
Bibliografie a , Editur [1] Corneli Corneliaa Motoc – Fizic˘ E dituraa All. Al l. Bucure¸ B ucure¸sti sti 1994 a , Editura didactic˘ [2] Ion M. Popescu – Fizic˘ a ¸si si Pedagog Peda gogic˘ ic˘a, a, Bucure¸ Buc ure¸sti, sti , 1982 198 2
[3] Ion M. Po Popescu pescu,, Gabriel Gabrielaa Con Cone, e, Gheorghe Gheorghe Stanciu Stanciu – Probleme rezolvate de fizic˘ a , Editura didactic˘ a ¸si si Peda Pe dago gocg cgic ic˘˘a, a, Bucure¸ Buc ure¸sti, sti , 1993 199 3 [4] I. Irodov, Iro dov, I. Sav´ eliev, eliev, O. Zamcha –Recueil de problemes de phys ph ysiq ique ue g´en´ en´ eral eralee, Edition Mir, Moscou, 1976 [5] [5] L. Grec Grechk hko, o, V.I. V.I. Sug Sugak akov ov,, O.F. O.F. Tomasec omasecic ich, h, A.M. A.M. Fedorchenko –Problems in theoretical physics, Mir Publishers, Moscow, Moscow, 1977 [6] I. Irodov–Culegere Culegere de probleme de fizic˘ a atomic˘ a , Editura Tehnic˘a, a, Bucuret¸i, ¸i, 1961 [7] Eugene Hecht– Hecht–Optics, Addison-Wesley, 1998
61
