Números primos Introducción: Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita. Las investigaciones de los matemáticos griegos les condujeron rápidamente al concepto de número primo, basándose en el cual ERATÓSTENES construyo su famosa criba para encontrar los números primos en la serie de los números naturales. Considerando el campo de los números enteros positivos se clasificara de acuerdo a la cantidad de divisores del siguiente modo. 1. Divisor: Se denomina divisor de un número a cualquier valor que divide exactamente mediante una división entera. OBSERVACIÓN: Sea N un número entero, si “d” es divisor de N entonces:
TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 200 2
3
5
3
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101 103
107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 179 181 191 193 197 199
OBSERVACIÓN: a) No existe fórmula para hallar todos los números primos. b) La serie de los números primos es ilimitada, osea que para más grande que sea el número primo, siempre hay otro número primo mayor. c) Si “P” es un número mayor que 2
d) Si “P” es un número mayor que 3
OBSERVACIÓN: Divisor propio: Es todo aquel divisor de N, menor que dicho número. Ejemplo: ⏟,
,
e) número simple: ,⏟, , , f) Número compuesto: es aquel número que tiene más de 2 divisores. Ejemplo: ⏟
,
(6 posee 4 divisores) g) Todo número primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de los factores. 2. La unidad: Es el único número que tiene un sólo divisor que es el mismo. 3. Número primo: Es aquel divisor que tiene únicamente 2 divisores: el mismo número y la unidad. 2
1 2
; 3
1
;
3
; P
1 P
4. Números primos relativos o primos entre sí (pesi): Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo 1: Número divisores 10 1 ; 2 ; 5 ; 10 21 1 ; 3 ; 7 ; 21
P : número primo( Prof. Alfredo Raúl Cordero Rodríguez
1
Ejemplo 2: Sean los números : 20 ; 18 y 15 Número divisores 20 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 18 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 18 15 1 ; 3 ; 5 ; 15 20 ; 18 y 15 son PESI también llamados coprimos. 5. Números primos entre sí dos a dos (pesi 2 a 2): Un conjunto de números resultara ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí. Ejemplo: ¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2?
Si en ningún momento de los casos es divisible, se dice que el número es primo. Ejemplo: ¿Es 853 número primo? a. √ , b. Los números primos menores que , 2 ; 3 ; 5 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 c.
Descomposición canónica 8: 1;2;4;8 9: 1;3;9 8 ; 9 ( pesi) 8: 1;2;4;8 25: 1 ; 5 ; 25 8 ; 25 (pesi) 9: 1;3; 9 25: 1 ; 5 ; 25 9 ; 25 (pesi)
OBSERVACIÓN: A) Dos números enteros consecu Tivos siempre son PESI. B) Dos números impares consecutivos también son PESI.
Criterio para reconocer si un número entero es primo : Para saber si un número dado es primo o no, se debe seguir los siguientes pasos: a) Extraer la raíz cuadrada, aproximamente por defecto. b) Enumerar los números primos meno- res a esta aproximación. c) Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos.
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(Teorema fundamental de la aritmética o teorema de gauss) Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposición es única. Ejemplo: 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 1 Sea “N” el número compuesto: , , , , Estudios de los divisores de un número a. Cantidad de divisores [ ] El número total de divisores de un número es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1. Ejemplo:
2
Cantidad de formas de descomponer “N” como el producto de 2 factores:
OBSERVACIÓN:
b. Suma de divisores: [
] Ejemplo: Sea:
Ejemplo:
S 3 formas de descomponer 18 como el producto de 2 factores.
IMPORTANTE:
IMPORTANTE:
Forma práctica:
Todo número que tenga un número impar de divisores es un número cuadrado perfecto. Ejemplo: ⏟ c. Suma de las inversas de los divisores: [ ]
Ejemplo:
Descomposición canónica factorial de un número:
del
Consideremos: 0!=1!=1 2!=1x2=2 3!=1x2x3=6 4!=1x2x3x4=24 5!=1x2x3x4x5=120 6!=1x2x3x4x5x6=720 7!=1x2x3x4x5x6x7=5040 8!=1x2x3x4x5x6x7x8=40320
, , d. Producto de divisores de un nùmero: [ ] √ Ejemplo: √
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n!=1x2x3x x(n-2)(n-1)x n Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 12! 12!= 12!= 12 2 12 3 12 5 6 2 4 3 2 3 2 1 1
3
a)3 d)7
12!=
b)4 e)8
c)6
9) Hallar “n” para que el numero tenga 33 divisores más que 2448. a)4 b)5 c)6 d)7 e)8 10) Sabiendo que tiene ¿Cuántos divisores tendrá?
Ejercicios 1) Si tiene 63 divisores compuestos. Calcule “ ” a)4 b)5 c)6 d)8 e)7 2) Hallar “x” si divisores. a)2 b)3 d)5 e)1
tiene 40 c)4
3) Si: tiene 75 divisores compuestos Hallar “k” a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 4) Hallar el valor de “n” sabiendo que : tiene divisores. a)11 b)12 c)13 d)14 e)15 5) ¿Cuántos ceros debe tener: Para que divisores? a)4 d)7
el b)5 e)8
resultado
tenga
56
c)6
6) Calcular la cantidad de divisores de , si : tiene 28 divisores menos que . a)27 b)36 c)45 d)63 e)54 7) Hallar el valor de “n” si el número de divisores de : es 2/3 del número de divisores de : . a)2 b)3 c)4 d)5 e)1 8) Hallar “k” sabiendo que: tiene 291 divisores que no son primos. Prof. Alfredo Raúl Cordero Rodríguez
a)238 d)294
b)272 e)296
divisores.
c)298
11) ¿Cuál es el menor número por el que se debe multiplicar a 648 para obtener 40 divisores? a)5 b)7 c)8 d)16 e)12 12) Si N tiene 21 divisores y es de 3 cifras, entonces la suma de sus cifras es : a)12 b)16 c)18 d)14 e)15 13) Si : tienen 77 divisores. Hallar : a.b a)6 b)8 c)10 d)12 e)14 14) ¿Cuántos números de la forma tienen 8 divisores? a)4 b)5 c)8 d)6 e)3 15) Al dividir el mayor número de la forma , que tienen 12 divisores, entre 5, se obtiene como residuo: a)6 b)2 c)3 d)4 e)1 16) Sabiendo que: tiene el doble de la cantidad de divisores de Hallar el valor de “n” a)3 b)4 c)7 d)5 e)6 17) ¿Cuántos números primos absolutos de 2 cifras existen en el sistema quinario? 4
a)4 d)3
b)6 e)7
c)5
d)
e)
18) ¿Cuántos números positivos de 3 cifras tienen exactamente 3 divisores? a)6 b)7 c)15 d)20 e)22
27) Si: compuestos a)3 d)6
19) Hallar un número primo mayor que 3 tal que su cuadrado, disminuido en la unidad, dividido por 8, da por cociente un número primo. a)13 b)11 c)5 d)7 e)17 20) Si : tiene 65 divisores.¿cuantos divisores tiene : ? a)42 b)35 c)68 d)63 e)28
28) Hallar “ ” si : divisores. a)8 b)6 d)3 e)9
21) Si el número “P” tiene compuestos. Hallar : a)12 d)14
b)10 e)13
divisores
c)11
22) Si: tiene 30 divisores más que ¿Cuántos divisores tiene ? a)15 b)16 c)18 d)19 e)21 23) Si:
.
esta descompuesto
canónicamente y además tiene divisores. Hallar: a)13 b)12 c)15 d)14 e)11 24) Al multiplicar por 33 al numeral se duplica su cantidad de divisores Hallar : “n ” a)2 b)3 c)4 d)5 e)6 25) Si el número de divisores de 14. Hallar : “ ” a)8 b)9 c)12 d)11 e)10
es
26) Si : tiene “P” divisores ¿Cuántos divisores tiene ? a)
b)
c)
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tiene 114 divisores Hallar “k” b)4 c)5 e)7 tiene 60 c)7
29) Hallar “n” si el numero: tiene 80 divisores. a)2 b)4 d)3 e)6
c)5
30) ¿Cuántos números de 3 cifras tienen 14 divisores? a)2 b)1 c)5 d)4 e)6 31) ¿Cuántos divisores de 1176 tienen 2 divisores? a)10 b)8 c)12 d)10 e)7 32) ¿Cuántos divisores tiene primo? a)2 b)4 d)9 e)10
si
es
c)6
33) ¿Cuál es el menor número que tiene 15 divisores? a)120 b)36 c)18 d)148 e)144 34) Si “P” es un número primo absoluto ¿Cuál es el único número cuadrado perfecto cuya diferencia con “P” es otro cuadrado perfecto? a) c) b) d)
e)
35) ¿Cuántos primos absolutos existen entre 339 y 361? a)1 b)2 c)3 5
d)4
e)5
36) ¿Cuántos divisores tiene como minimo? a)24 b)16 c)64 d)8 e)32 37) Hallar “ ” sabiendo que el numero de divisores de N es el doble del número de divisores de M.
a)6 b)9 c)7 d)5 e)11 38) Al multiplicar N por 27 su número de divisores aumenta en 90. Hallar “ ” a)3 d)5
b)4 e)7
Tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de Hallar : “a b” a)8 b)7 c)5 d)10 e)9 45) Si : canónica) y √ a)3 b)5 d)6 e)7
(descomposición Hallar “n” c)4
46) Si: “n” divisores ¿Cuántos tiene : ?
a)
b)
d)
e)
tiene
c)
c)6
39) ¿Cuántos divisores tiene si el cuadrado de este posee 37 divisores más? a)12 b)18 c)28 d)20 e)24 40) ¿Cuántos divisores tendrá “N”? a)2n2+2n+ b)(2n2+2n+1 1 )2 d)n2+2n+1 e)(n2+n+1)2
c)n2+n+ 1
41) Si se multiplica los 200 primeros números primos y el resultado obtenido lo divide entre 4. ¿Cuál será el residuo? a)2 b)0 c)1 d)3 e)4 42) ¿Cuántos números de la forma exiten tales que poseen 6 divisores? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 43) Hallar el valor de “a” si el número a a es divisible por 30 números pares. a)4/3 b)2 c)3 d)7 e)9/2
47) Si el número tiene 54 divisores y “n” es un número primo, decir ¿en cuántos ceros terminara “N”? a)2 b)5 c)3 d)4 e)6 48) Un número natural “N” admite factores primos que son a la vez 2 números consecutivos Si “N” posee divisores impares y 15 divisores 18. Hallar la suma de cifras. a)9 b)17 c)19 d)18 e)16 49) Hallar el menor número que posea 31 divisores compuestos y 4 primos. a)6942 b)6912 c)6412 d)6712 e)6914 50) Un número divisible por 15 que tiene 6 divisores cumple que la media aritmética de sus divisores es . ¿Cuál es la suma de cifras del complemento aritmético del número? a)6 b)7 c)8 d)9 e)10 51) Se tiene el número y la suma de sus divisores es Hallar “ ” a)2 b)1 c)4 d)3 e)5
44) Si : Prof. Alfredo Raúl Cordero Rodríguez
6
52) Hallar “n” si: tiene 120 divisores que no son múltiplos de 21. a)5 b)3 c)4 d)6 e)7 53) Hallar el valor de “a” si se sabe que el número N=189a tiene 133 divisores. a)6 b)9 c)15 d)22 e)7 n tiene 28 54) eterminar “n” si: divisores diferentes de múltiplos de 6. a)6 b)7 c)8 d)5 e)9
55) ¿Cuántos divisores de 900 son múltiplos de 2 ò 3 pero no de los juntos? a)10 b)11 c)13 d)14 e)12 56) Hallar : (a+b+c) si : N=14a.nb Tiene divisores y “n” es primo con 14 y además es el menor posible. a)16 b)17 c)18 d)15 e)19 57) Si :
tiene 3 divisores. ¿Cuántos
divisores tiene ? a)2 b)4 d)6 e)10
c)5
58) Dados: N1=14.30n N2=21.15n Donde la suma de los números de sus divisores es Hallar “n” a)3 b)5 c)8 d)5 e)4
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