1
IDEPUNP/CICLO REGULAR / ENERO-MARZO 2008
SEMANA Nº 04 TEMA: DIVISIBILIDAD NÚMEROS PRIMOS COORDI NADOR: LI CENMA MAT. SEGUNDO BASI LI O CORREA ERAZO RESPONSABLE:LI C EN MAT. SEGUNDO BASI LI O CORREA ERAZO
1.
DIVISIBILIDAD Se dice que un númer en!er " A # e$ di%i$i&'e en!re !r !r númer númer en!er en!er ($i!i ($i!i% % " B # '')m)d '')m)d m*du' m*du'++ cu)n cu)nd d ') di%i di%i$i $i*n *n en!e en!er) r) de " A # en!r en!re e " B # e$ e,)c!) E$quem.!ic)men!e $e !iene
o
Se) N un númer 4 n un mú'!i(' de ;'+ en!nce$ $e cum('e que o
2.
P)r) un) $u$!r)cci*n n− n = n P)r) un) mu'!i('ic)ci*n
o
o
k. n =
4.
!.
1 A = mB Notación dada por "Gauss# 4 Notación dada por "Leibnitz #
A$5 (ue$ de '$ e3em('$ d)d$ )n!erirmen!e (dem$ decir que o
o
63 = 9 + 72 = 8 + −72 = 12 + 625 = 5 −96 = 8
O&$er%)ci*n Si " A # n e$ mú'!i(' de " B # 6 $i A n e$ di%i$i&'e en!re B 7 en!nce$ $e %eriic) que o
DIVIS DIVISIB IBIL ILIDA IDAD D EN EL BIN BINOM OMIO IO DE DE NE(T NE(TON ON..
o k k n° − r = n+ r , si k es par ÷ o n− r k , sik esimp simpar &.
"RIT "RITER ERIO IOS S DE DIV DIVIS ISIB IBIL ILID IDAD AD L')m)m$ cri!eri$ de di%i$i&i'id)d ) cier!)$ (r.c!ic)$ (rcedimien!$ que )('ic)d$ ) ')$ cir)$ de un numer)' numer)' (ermi!en (ermi!en $u di%i$i&i'i di%i$i&i'id)d d)d re$(ec! re$(ec! ) cier! cier! m*du'
=
5+ 2
o
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
=
2⇔
=
2
2
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
=
4 ⇔ a2 a1
=
<
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
=
8 ⇔ a3 a2 a1
=
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
=
5 ⇔ a1
>
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
=
25 ⇔ a2 a1
?
K a6 a5 a4a3a2a1
125 ⇔ a3a2a1 = 125
@
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
= 3 ⇔ a + a + a + K = 3
8
K a6 a5 a4 a3 a2 a1
= 9 ⇔ a + a + a + K = 9
K a6 a5 a4 a3 a2 a1 = 7 Si
Pr e3em(' o
o
1
o
A = B + r 9 A = B − r 1 17 = 15 + 2
° ° P)r) un) (!enci) n÷ = n dnde k ∈ ∈ ¢ k
Cuando Cuando decimos decimos que A = k .B se puede resumir en dos dos nota notaci cion ones es dada dadas s por por dos dos gran grande des s matemáticos que aportaron mucho en este campo.
o
o
= n + k . n.m = n + Dnde
n° + r = n° + r k + dnde k ∈ ∈ ¢ ÷
Observacioes. 1 E' "0# "0# e$ e$ di%i$ di%i$i&' i&'e e (r (r cu)'qu cu)'quier ier núme númer r 2 Un númer númer en!e en!er r ne)! ne)!i% i% "(ue "(uede de## $er $er mú'! mú'!i( i(' ' de un numer en!er ne)!i% cm ' n!) en e' e3em(' )n!erir
o
o
o
k
63 E$ mú'!i(' de 9 + (ue$ 63 = 7(9) 72 E$ mú'!i(' de 8 + (ue$ 72 = 9(8)
o
o
n + n .k
o
,
k ∈ ¢
A = B
o
o
k m∈¢
de' e$quem) u$!ed &ien $)&e que A = k .B +
2
o
P)r) un) )dici*n n + n = n
3.
o
o
1.
a1
o
o
4
o
o
o
=
o
=
5
o
o
=
25
o
=
8
o
o
2 17 = 18 − 1 = 3− 1 !.
"ON" "ON"EP EPT TOS E#$ E#$IV IVA ALENT LENTES ES :ue un númer " A # $e) di%i$i&'e (r !r " B # (uede !ener ')$ $iuien!e$ in!er(re!)cine$ A es divisible por B Aes Aes A es multiplo de B o A = B B es divisor de A B divide a A B es factor de A
Observaci%. La unidad es divisor de todo número entero.
&.
PRIN PRIN"I "IPI PIOS OS '$ND '$NDA AMENT MENTA ALES LES
o
o
1
2
3
o
o
1
2
3
o
2
−
−
3
1
−
2
3
1 o
a1
+
3a2 + 2a3 − a4
−
3a5 − 2 a6
+ K =
o
10 K a6 a5 a4 a3 a2 a1 −1 1 −1 1
= 11 Si
−1 1
o
a1
− a2 + a3 − a4 +
a5
−
a6
+ K =
11
7
2
IDEP$NP RE)$LAR * ENERO + MAR,O !00-
&.
o
11 K
a
6 4
a
5 3
a
4 1
a
−
−
a
3 4
−
2 3
a
=
1 1
13 Si
E' (rduc! de di%i$re$ e$!) deinid (r
P.D =
K N ( a +1).( b+1).( c +1).( d +1).
o
a1
4.
−
3a2
−
4 a3 − a4
+
3a5 + 4a6
+ K =
13
Es 6ecir:
NÚMERO PRIMO ABSOL$TO
P.D
Sn )que''$ númer$ que )dmi!en únic)men!e d$ di%i$re$ $iend ;$!$ ') unid)d 4 ;' mi$m Por ee/o.
-.
=
N
#D
NÚMEROS PRIMOS ENTRE S@ PESI L')m)d$ !)m&i;n númer$ (rim$ re')!i%$+ $n )que''$ que ($een un solo divisor común y que
2,3,5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31, K
es la unidad.
2.
7.
NÚMERO "OMP$ESTO
Por ee/o.
Sn )que''$ que )dmi!en m.$ de d$ di%i$re$+ inc'u4end ') unid)d 4 ;' mi$m Por ee/o: 1. E 3/ero 1- 5iee or 6ivisores a: 1 ! & 7 8 9 e /is/o 1-. !. E 3/ero ! 5iee or 6ivisores a: 1 & 8 9 e /is/o !.
1.
"12# 4 "<># $n PESI+ (ue$ 12 = 22.31 4 35 = 51.71 e$! $iniic) que ) "12# $e 'e (uede $)c)r
# $' $e 'e (uede $)c)r <#>i5a= 9 eGo >es
!.
"22# 4 "1># $n PESI
&.
"># 4 "@# $n PESI
4.
"<# 4 "22# $n PESI
TEOREMA '$NDAMENTAL DE LA ARITM;TI"A
N
= Aa .B b .C c .Dd .E e K
A ()r!ir de e$!) de$cm($ici*n $e (uede &!ener mucB) inrm)ci*n cn re$(ec! )' númer+ !)' cm "a5i6a6 6e 6ivisores 6ivisores ri/os s>/a 6e 6ivisores s>/a 6e iversas 6e os 6ivisores ro6>c5o 6e 6ivisores e5c. Observaci%. A?>eos 6ivisores ?>e o sea ri/os se es a/a 6ivisores co/>es5os 6e 3/ero. P)r) cu)'quier númer $e !iene que
# D = # Dp + # Dc + 1 Si N
=
a b c d e A .B .C .D .E .K En!nce$
# D = (a + 1)(b + 1)( c + 1)( d + 1)( e + 1) K .
OTRAS 'ORM$LITAS IDEP$NP A menud en e' ni%e' Pre-Uni%er$i!)ri $e )('ic)n rmu'i!)$+ !)'e$ cm /a 6e 6ivisores= c5o 6e 6ivisores= 9 /a 6e iversas 6e 6ivisores= en!nce$ e$ nece$)ri que !sted e$!e &ien (re()r)d ()r) e$! Cient"fico enunci)rem$ c)d) rmu'i!) 4 e$(er (ue$ que !r)!e de )n)'i)r')$ #ado el número N = Aa .B b .C c .Dd .E e K Entonces se cumple que
1.
L) $um) de di%i$re$ $e c)'cu') (r
A + −1 S .D = ÷ . − A 1 a 1
!.
+
−1 ÷ . B − 1 b 1
B
+
− 1 ÷ C −1 c 1
C
.K
L) $um) de ')$ in%er$)$ de '$ di%i$re$ $e deine (r
S .I .D =
S .D N
OBSERVA"IHN. &"'ese (ien por favor para que dos o mas números sean )E*+ no es necesario que cada uno de los números que se están estudiando sean primos la condición es simplemente que no se les pueda sacar algo en común y un claro e'emplo esta dado en los e'emplos <= y <- =
3
IDEP$NP RE)$LAR * ENERO + MAR,O !00Car lFi edri ch Gauss( 17771855)maes t r ode t odosl ost i emposconoci docomoelpr í nci pe de l as mat emát i cas con mucha modest i a di j o:“ Siot r os hubi er an r eflexi onado sobr e l as ver dades mat emát i cas t an prof unda y cont i nuament e como yo l o he hecho, se gur ament e hubi er an l l egado a hacer mi s des cubri mi ent os” , por es o nunca dej es de cul t i var esa vi r t ud que t odos debi ér amos poseer l a…Humi l dad.
2
&7 2 e7 >
c7 < o
)7 @ d7 2
&7 > e7 =
c7 8
11 Si $e cum('e que o
= 500+ 13a = ( x + 1)( y + 1)( y + 3)( x + 1) yyxz
C)'cu')r ') $um) de cir)$ de " #
De!ermine e' m5nim %)'r de " a # ()r) que e' numer)' 124a31 $e) di%i$i&'e (r < )7 1 d7 =
&7 101 e7 =
10 eniend en cu)n!) que x 4 x 2 y = 71 )'')r ') m.,im) dierenci) ($i!i%) en!re " x e y #
2
"$ESTIONARIO 1
)7 11 d7 2
)7 1? d7 22
&7 1> e7 1
12 )'')r e' re$! de di%idir 31287
c7 <
)7 2 d7 ?
C)'cu')r e' m.,im %)'r de " x #+ $i $e cum('e que
c7 1@
÷7
&7 = e7 11
c7 >
o
5712 x12 = 7 )7 @ d7 > <
&7 8 e7 =
1< )'')r e' re$! de di%idir 3487 2419 ÷ 5 c7 ?
)7 1 d7 >
C)'cu')r ') $um) de '$ %)'re$ que (uede !m)r " a #+ $i $e cum('e que o
=
c7
Si e' numer)' 135 x12 e$ di%i$i&'e (r 1< C)'cu')r e' %)'r de " x + 3 # )7 > d7
>
&7 ? e7 1<
&7 10 e7 8
c7 @
Si 123 x23 y = 56 De!erm5ne$e e' %)'r de " x + y # o
)7 2 d7 8
&7 < e7
c7 >
1, 2,3, 4, K ,800
@
&7 e7 1=
c7 ?
)'')r e' re$! en ') $iuien!e (er)ci*n
15213216489489 ÷ 7 )7 1 d7 = 8
&7 2 e7 >
c7 <
)'')r e' re$! en ') $iuien!e (er)ci*n
2959378895478 ÷11 )7 > d7 2
&7 = e7 1
c7 <
)'')r e' m)4r )c!r de ') $um) xyzw + zxwz +
yzyx 4 wwxy D)r c*m re$(ue$!) ') $um) de $u$ d5i!$
FCu.n!$ !;rmin$ n $n mú'!i('$ de < ni mú'!i('$ de > )7 =2< d7 =><
&7 >>1 e7 =>=
c7 =2@
1> En ') c)3) uer!e de' &)nc "SHCER LAINO# B)4 cier!) c)n!id)d de &i''e!e$ que $um)n en !!)' 11>0J dnde B)4 &i''e!e$ de > 4 20 Si ') c)n!id)d de &i''e!e$ de 20 e$ ') m.,im) ($i&'e FCu.n!$ &i''e!e$ de > B)4 en dicB) c)3) uer!e )7 1 d7 =
&7 2 e7 1>
c7 <
NÚMEROS PRIMOS
? C)'cu')r e' m.,im %)'r de " a + b # $i )' di%idir e' numer)' 13a25b91b en!re 11 $e &!iene < de re$idu )7 @ d7 8
c7 =
1= En ') $iuien!e $uce$i*n
( a −1) ( 2a −8 ) ( a − 4 ) ( 3a −14 ) ( a + 3 ) ( a + 3 ) 3 = 9 )7 < d7 11
&7 2 e7 <
1? Si $e $)&e que e' númer N = 14n.354.3n ($ee <1> di%i$re$ De!erm5ne$e e' %)'r de " n # )7 1 d7 =
&7 < e7 >
c7 2
1@ Si N = 9 n.22 4 !iene @1 di%i$re$ cm(ue$!$ )'')r ') $um) de di%i$re$ de " N # D)r cm re$(ue$!) ') cir) de ')$ cen!en)$ de e$!) $ um) )7 < d7
&7 2 e7 11
c7 >
18 Si e' numer)' N = 10n +1.252.14 ($ee >0 di%i$re$ mú'!i('$ de 12> C)'cú'e$e e' %)'r de " n + 5 # )7 10 d7
&7 8 e7 11
c7 @
1 Si e' numer)' N = 3 x.15125.17 y !iene @2 di%i$re$ mú'!i('$ de 8> De!ermin)r e' %)'r de " x − y #+ cnci;nd$e que " N # e$ e' m)4r ($i&'e
IDEP$NP RE)$LAR * ENERO + MAR,O !00)7 -1 &7 1 c7 2 d7 -< e7 = 20 Si N = 35n.22 2 n.18 ($ee >= di%i$re$ (rim$ re')!i%$ cn @@ De!erm5ne$e e' %)'r de " n # )7 1 d7 8
&7 = e7 2
c7 <
21 Si $e $)&e que
N = 4 × 4 2 × 43 × 4 4 × K × 4 n FCu.n!$ di%i$re$ di%i$i&'e$ en!re 20 !iene " 5 N # )7 n( n + 1) − 2
&7 n 2 d7 n 2
c7 n − 2n + 1 e7 n( n − 1) + 2 2
+ n −1 − n +1
22 S)&iend que e' (rduc! de '$ di%i$re$ de un numer e$ " 3 18.212 # C)'cu')r ') $um) de '$ in%er$$ de '$ di%i$re$ de' númer )7 2,5825926
&7 2,5925926
c7 2,5725926
d7 2,5625926
e7 2,6025926 2< FCu.n!$ númer$ menre$ que 11<=00 $n (rim$ cn e' )7 2>20 d7 2>=0
&7 2>10 e7 2>0>
c7 2><0
2= FEn cu)n!$ cer$ !ermin) 185!+ 93! )7 1 d7 2
&7 20 e7 =>
c7 21
2> FCu.n!$ di%i$re$ di%i$i&'e$ (r 21 ($ee e' numer =?>@?8 )7 2@ d7 2@
&7 <2 e7 ?=
c7 =8
TRABAO PRJ"TI"O 1
C)'cu')r e' %)'r de " n + 3 # $i N = 82 n !iene >> di%i$re$ )7 11 d7 12
&7 10 e7 1
c7 1>
2 De!erm5ne$e e' re$! de di%idir " # en!re 11+ $i $e $)&e que PE!" 2008
"NP 2 PN 1
= 7827 )7 1 d7 = <
c7 <
o
Si a 72bb = 55 )'')r e' m)4r %)'r de " a + b # )7 > d7 12
=
&7 2 e7 ?
&7 e7 1=
c7 10
Si N = 62 n.5n ($ee 12 di%i$re$ cm(ue$!$ FEn cu)n!)$ cir)$ cer !ermin) N )7 1
&7 2
c7 <
4 d7 = >
e7 >
FCu.n!$ númer$ menre$ que 2= $n (rim$ cn e' )7 ? d7 =
&7 8 e7 10
c7 12
5
IDEP$NP RE)$LAR * ENERO + MAR,O !00-
Cur$ ARIMKICA Sem)n) 0= Preun!)
C')%e
01 02 0< 0= 0> 0? 0@ 08 0 10 11 12 1< 1= 1> 1? 1@ 18 1 20 21 22 2< 2= 2>
) & d e c e ) d c c c d e c & c ) c d e & & ) c e
iem( 6min7 2 2 2 2 < 2 2 2 2 < < < < < < 2 2 2 2 2 2 < 2 < <
Diicu'!)d M M M M M M M M M M
TRABAO PRJ"TI"O Preun!)
C')%e
01 02 0< 0= 0>
d e c c &
iem( 6min7 2 > 2 < 2
Diicu'!)d D M
