IVB / ARITMÉTICA / 4º
Teniendo en cuenta su cantidad de divisores, los números enteros positivos se clasifican en:
Ejemplo: Nro. Compuesto
4 12 30 25 40
El uno (1) tiene un solo divisor Los números primos tienen solo 2 divisores
Z+
NÚMEROS SIMPLES
Los números compuestos tienen más de 2 divisores
1.
3.
Divisores
1, 2, 4 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 1, 5, 25 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
NÚMER ÚMERO OS PRI PRIMO MOS S ENT ENTRE RE SÍ (PE (PES SI)
Es aquel conjunto de dos o más números, cuyo único divisor en común es la unidad.
NÚMEROS PRIMOS
Son aquellos que tienen solo 2 divisores. Ejemplo: Ejemplo: Números Primos
Números Divisores
2 3 5 7 11 13 :
2.
1, 2 1, 3 1, 5 1, 7 1, 11 1, 13 :
NÚMEROS CO COMPUESTO
Son todos aquellos números que tienen
6 15 20
Divisores
1 , 2, 3, 6 1 , 3, 5, 15 1 , 2, 4, 5, 10, 20 Único divisor en común
Para que 2 o + número sea PESI solo deben tener en común a la unidad como divisor.
más de 2 divisores.
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4. TEOREMA ARITMÉTICA
FUNDAMENTAL
DE
LA
Cualquier número compuesto puede ser expr expres esad adoo como como la mult multip iplilica caci ción ón indi indica cada da de sus facto actorres primo rimoss elev elevad ados os a exp exponen onente tess ente entero ross y positivos (Descomposición Polinómica).
Para la cantidad total de divisores aumentamos una unidad a cada exponente de su descomposición canónica
NOTA:
Ejemplo:
Total de divisores = Div. Primos + Div. Compuestos + 1 de un número
Descomponer 1600 canónicamente. 1600 800 400 200 100 50 25 5 1
2 2 2 2 2 2 5 5
Factores primos de 1600 1600 = 26 x 52
6. SUMA DE DIV DIVISORES DE UN NÚ NÚMERO (SD)
Para Para este este caso caso util utiliz izar arem emos os la sigu siguie ient ntee fórmula: SD(N) =
5. CANTIDAD NÚMERO (CD)
DE
DIVISORES
DE
Aα 1 1 A 1
Bβ 1 1 B 1
Cδ 1 1 C 1
UN
Un méto método do prác prácti tico co para para dete determ rmin inar ar la canti antida dadd de divi divissores ores de un núme númerro es utilizando su descomposición canónica. Veamos: Hallar la cantidad de divisores de 120 120 60 30 15 5 1
2 2 2 3 5
120 = 2 3 x 3 1 x 5 1 Luego: CD(120) = 4 x 2 x 2 CD(120) = 16
1. ¿Qué ¿Qué gru grupo po de de núme número ross son son PESI PESI?? a) 12, 15, 16 d) 20, 27, 49
c) 7, 13, 39
2. Indic Indicar ar cuál cuál de los sigui siguien ente tess núme número ross tien tienee mayor cantidad de divisores. I. 240 II. 72 III. 128 a) Solo I d) Solo I y II
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b) 21, 70, 105 e) 100, 13, 17
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b) Solo II c) Solo III e) Solo I y III
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3. Indi Indica carr la suma de la cant cantida idadd de diviso divisore ress de 24 y 60. a) 16 d) 24
b) 18 e) 12 2
c) 20
3
a) 3 d) 5
1
4. Dado Dado el núme número ro N = 2 x 3 x 5 ¿Cuántos divisores tiene? a) 20 d) 36
b) 22 e) 30
c) 24
5. Del Del prob proble lema ma ante anteri rior or,, ¿Cuá ¿Cuánntos tos divi diviso sore ress simples tiene N? a) 2 d) 4
b) 3 e) 1
c) 8
6. ¿Cuán ¿Cuántos tos diviso divisores res más más tiene tiene el númer númeroo 360 que que el número 100? a) 15 d) 13
b) 10 e) 14
c) 12
b) 16 e) 10
b) 85 e) 84
c) 12
b) 25 e) 100
a) A d) A y B
b) B e) A y C
c) C
12. Si: A = 2n x 33 x 54 tiene 100 divisores, calcular “n” a) 4 d) 9
b) 6 e) 2
c) 8
b) 2 e) 5
c) 3
14. Si M = 23 x 71 x 114n tiene 40 divisores. Hallar “n” a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
c) 81 15. Si P = 74 x 16 1 6 x 9n tiene tiene 171 diviso divisores res compuestos. Calcular “n”
9. La edad edad de Juan Juanit itaa es la suma suma de todos todos los los divisores de 36. ¿Cuál es la edad de Juanita? Juanita? a) 36 d) 90
c) 4
11. ¿Qué número tiene mayor can cantida tidadd de divisores? A = 22 x 33 x 51 B = 24 x 32 x 72 C = 2400
a) 1 d) 4
8. Calcul Calcular ar la suma suma de diviso divisores res comp compues uestos tos de 36. 36. a) 80 d) 79
b) 2 e) 6
13. Si N = 24 x 3n x 51 x 71 tiene 48 divisores. Calcular el valor de “n”
7. Sea: A : Cantidad de divisores de 20. B : Cantidad de divisores de 42. Hallar “A + B” a) 18 d) 14
10. Sea: A = Cantidad de divisores de 36 B = Cantidad de divisores de 30 Calcular la cantidad de divisores de A + B
a) 1 d) 4
b) 2 e) 6
c) 3
c) 91
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a) 27 d) 18
b) 24 e) 9
c) 21
9. Si M = 12 12 . 20n tiene 24 divisores más que 672 280. Hallar el valor de “n” 1. Hall Hallar ar el el núm númer eroo tota totall de divi diviso sore ress que que tien tienee el producto de los 3 primeros números capicúas de dos cifras. a) 10 d) 16 2.
b) 12 e) 18
c) 14
Si 42n tiene 81 divisores, hallar el valor de “n” a) 20 d) 25
b) 10 e) 30
b) 5 e) 8
b) 10 e) 13
c) 6
b) 4 e) 8
b) 15 e) 21
b) 12 e) 15 n
c) 5
2n2 + 2n + 1 n2 + n + 1 (2n2 + 2n + 1)2 (n2 + n + 1)2 (n2 +1)2 12. 12. Calc Calcul ular ar el el valo valorr de P si si M = 180 180 x 12p x 452 tiene 88 divisores divisible por 8 pero no por 5. b) 3 e) 6
c) 4
13. 13. ¿Cuá ¿Cuánt ntos os divi diviso sore ress del núm númer eroo N = 174 636 000 son primos con 12? a) 18 d) 30
b) 20 e) 36
c) 24
14. ¿Cuán ¿Cuántos tos ceros ceros se debe debenn poner poner a la la derech derechaa de 9 para para que que el resu result ltad adoo teng tengaa 239 divi diviso sore ress compuestos?
c) 9 a) 6 d) 5
c) 13
8. Si N = 42 . 3 tiene 3 divisores menor que 900 hallar dicho número y dar como respuesta la suma de sus cifras.
60
b) 4 e) 7
c) 5
7. Hall Hallar ar el valo valorr de de “n” “n” sabi sabien endo do que que 15 15 n . 75 tiene (7n + 174) divisores. a) 11 d) 14
a) 3 d) 6
a) 2 d) 5
6. Hallar un un nú número N = 12n . 15n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de cifras de “N” a) 18 d) 27
10. Si A = 12 12 . 30 30n tiene el doble de la cantidad de divisores dará B = 12n . 30. Halla el valor de n.
c) 11
5. Si N = 15 x 30n tiene 294 divisores. Hallar el valor de “n” a) 3 d) 6
c) 4
11. 11. ¿Cuá ¿Cuánt ntos os divis divisor ores es tend tendrí ría: a: 2 3 4 N = 36 x 36 x 36 x 36 x … x 36n?
4. Si 4k+2 – 4k tiene 92 divisores. Hallar el el valor de “k -1” a) 3 d) 12
b) 3 e) 6
c) 15
3. Hallar el valor de “n” para que el número N = 9 x 12n tenga 150 divisores. a) 4 d) 7
a) 2 d) 5
b) 8 e) 4
c) 9
15. Si se mult multip iplilica ca los los 200 200 prime rimero ross núme númerros primos y el resultado se dividen entre cuatro. ¿Cuál será el resto? a) 0 d) 3
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b) 1 e) 4
c) 2
