1
Número Primo:
2
Así consecutivamente hasta n . Los múltiplos de n. (“n” es el número primo menor o igual a . √ Los números no tachados son los números primos, excepto el 1.
Llamado también, número primo absoluto. Es aquel número entero positivo que tiene solo dos divisores: la unidad y el mismo número.
Número Compuesto: Son aquellos números enteros positivos que tienen más de dos divisores. Ejemplo: 4 ....... sus divisores son 1; 2; 4 12....... sus divisores son 1; 2; 3; 4; 6; 12
Números Primos entre sí: (PESI) Dado un conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí, cuando el único divisor común de todos ellos sea la unidad. Ejemplo: Sean los números: 8; 12 y 15 8 1;2;4;8 12 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 15 1 ; 3 ; 5 ; 15 Observamos que su único divisor común es la unidad, entonces 8; 12 y 15 son números primos entre sí (PESI).
Tabla de números
Descomposición Canónica: Consiste en descomponer a un número mayor que la unidad, como el producto de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos.
Ejemplo: 520 260 130 65 13 1
2 2 2 5 13
3
520 = 2 . 5 . 13
En general, todo número compuesto “N”, puede ser expresado de la forma:
N=A .B .C
También llamada Criba de Eratóstenes. Sirve para determinar los números primos desde el 1 hasta el número 100, aunque puede ser hasta que estime o considere considere necesario. necesario.
Donde: A ; B ; C Son números primos absolutos diferentes. ; ; Son números positivos
Se procede de la siguiente manera: Se escriben los números a partir del 1.
Principales Fórmulas:
2
A partir del 2 múltiplos de 2.
A partir del 3 múltiplos de 3.
A partir del 5 se eliminan todos los múltiplos de 5, etc.
2 2
Aritmética
se eliminan todos los se eliminan todos los
1. Cantidad de divisores (C.D.) Dado el número: N = A . B . C C.D.(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1)
Ejemplo: Sea el número: 180 = 2 2 . 32 . 5 C.D.(180) = (2+1) (2+1) (1+1) = 18 divisores
2
2. Suma de divisores (S.D.) Dado el número: N = A . B . C S.D.(N) =
.
.
El siguiente grupo de divisores resulta del 3 3 .
31 3 33 32 9 33 27
Ejemplo: Sea el número: 120 = 2 3 . 3 . 5 2
4
1 2 1
S.D.(120) = S.D.(120) = 360
3
.
2
3
1 1
5
.
2
5
1
1
OBSERVACIONES: 1. Para todo número entero positivo, se cumple que: Total divisores
primos
1 3 9 27
1
= Total divisores Total divisores
de un número
Cada uno de estos valores (3 , 9 y 27) se multiplican por los divisores hallados hasta el momento (1 , 2 y 4). De esta manera, el grupo de divisores hallado será como sigue:
compuestos
2. El número uno (la unidad), no es primo ni compuesto por tener un solo divisor (él mismo).
3. La serie natural de los números primos es ilimitada. 4. La descomposición canónica de un número es única.
4
Primer grupo: originados por el factor rimo 2
3 9 27
6 18 54
12 36 108
Segundo grupo: originados or el factor rimo 3
5 15
10 30
20 60
. 540 22 33 5
Sumando 1 a cada exponente y multiplicando los resultados para obtener la cantidad de divisores tenemos: (2 1) (3 1) (1 1) 3 4 2 24 divisores. Procedimiento: El primer grupo de divisores resulta del
2 2
.
21 2 2 2 2 2 4
El 1 (uno) siempre será el primer divisor y le continúan los encontrados en la nota anterior. Así el primer grupo de divisores será: 1 Aritmética
2
4
.
2
.
Calculo de los divisores de un número:
Hallar los divisores de 540:
4 12 36 108
El tercer grupo de divisores resultan del 5, si hubiese sido 5 elevado a algún exponente, se procedería igual que los pasos anteriores, pero como NO es el caso, el 5 va a multiplicar a todos los divisores hallados hasta el momento. El conjunto final de divisores será así: 1
5. Los divisores primos de un número, son las bases de la descomposición canónica.
2 6 18 54
Tercer grupo: originados or el factor rimo 5
Ejercicios para la clase 1. ¿Cuántos de los siguientes números son primos? 2; 7; 4; 17; 18; 21; 41 2. ¿Cuántos números primos hay del 5 al 30? 3. Descomponer en factores primos el 108 4. Hallar la suma de los números primos contenidos en 140 5. En cuántos ceros termina: N=2
6
5
3
×
8
5
×
2
7
×
3
6. Hallar la suma de las cifras de N= 2
3
2
3
×
4
5
×
2
7
A) 2
×
×
3 2
7. Hallar el número de divisores de 360.
D) 2× 3
8. ¿Cuántos divisores primos tiene 588? 9. Halla el número de divisores compuestos de 300 10. Sí “a” es un número primo., ¿Cuántos divisores 6
2
×
×
2
11. Un número tiene dos factores primos cuyos exponentes son 3 y 4. ¿Cuántos divisores tiene el número. 12. “N” es igual al producto de dos factores 3
primos. ¿Cuántos divisores tiene N ? 13. ¿Cuántos factores primos puede tener un número si tiene 21 divisores? 14. ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene 360? 15. Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar a 1080 para convertirlo en cuadrado perfecto. 16. Hallar el menor número que hay que multiplicar al 300 para convertirlo en un cubo perfecto. 17. Determinar algunos factores primos de (8a)(8b)(8c)(8a)(8b)(8c) si abc no es primo 18. Sí “a” es el número de divisores de 638 y “b” es el número de divisores de aaa . Hallar a b 19. ¿Cuántos divisores tiene el número si se sabe que ab es primo.
ababab ?,
20. Hallar “n” si 2 × 10n tiene 56 divisores. .
21. Hallar “n” si 200n tiene la misma cantidad de divisores que 15 × 12n .
Ejercicios para la casa 1. ¿Cuántos de los siguientes números no son primos? 0; 1; 5; 8; 9; 17; 31; 21; 51 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 2. ¿Cuántos números primos hay del 1 al 32? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 3. Son números primos entre si (PESI): A) 15; 27; 3 B) 9; 3; 12 C) 4; 8; 6 D) 4; 20; 5 E) 11; 22; 3
2
5
B) 2
×
2
5
E) 3
×
3× 5 5
C) 2
3
×
3
2
2
5. Hallar la suma de los números primos contenidos en 1512 A) 10 B) 12 C) 17 D) 19 E) 5 6. En cuántos
tiene a ?
Aritmética
4. Descomponer en factores primos el 72
5
N=2 A) 2
3
×
2
ceros termina: la expresión: 2
3
5 ×7 B) 4
×
11 C) 6
×
D) 8
E) 0
7. Hallar la suma de las cifras de N= 6
4
2 ×5 A) 20
7×211 B) 24
×
C) 26
D) 28
E) 22
8. Hallar el número de divisores de 450. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21 9. ¿Cuántos divisores primos tiene 1050? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 5 10. Halla el número de divisores compuestos de 840 A) 15 B) 18 C) 25 D) 27 E) 30 11. Si “b” es un número primo., ¿Cuántos 5
divisores tiene b ? A) 2 B) 4 C) 6
D) 8
E) 7
12. Un número tiene dos factores primos cuyos exponentes son 2 y 3. ¿Cuántos divisores tiene el número. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21 13. “N” es igual al producto de dos factores 5
primos. ¿Cuántos divisores tiene N ? A) 25 B) 30 C) 35 D) 36
E) 42
14. ¿Cuántos factores primos puede tener un número si tiene 77 divisores? A) 1 B) 2 C) 1 o 2 D) 1 o 3 E) 3 15. ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene 2160? A) 5 B) 4 C) 6 D) 8 E) 7
4
16. Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar a 1200 para convertirlo en cuadrado perfecto. A) 16 B) 18 C) 25 D) 6 E) 3
número 475 para que tenga en total 66 divisores compuestos? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 3
17. Hallar el menor número que hay que multiplicar al 1452 para convertirlo en un cubo perfecto. A) 182 B) 165 C) 216 D) 198 E) 250
27. Hallar cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 1320. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21 28. ¿Cuántos números que no son múltiplos de 20 tiene el número 2680? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
18. Determinar algunos factores primos de (2a)(2b)(2a)(2b) si ab no es primo A) 2, 101, D) 37
B) 2, 101 E) 5, 101
ab
C) 2, 101
19. Sí “a” es el número de divisores de 676 y “b” es el número de divisores de aaa . Hallar a × b A) 81 B) 45 C) 90 D) 72 E) 99 20. ¿Cuántos divisores tiene el número abab ?, si se sabe además que ab es primo. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 21. Hallar “n” si 420 × 12n tiene 180 divisores. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 .
22. Hallar “n” si 300n tiene la misma cantidad de divisores que 16 × 90n A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 .
23. ¿Cuántos rectángulos de área 2400m 2 existen, tales que sus lados sean números enteros? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21 24. Dado el número 16, ¿cuántas veces habrá que multiplicarlo por sí mismo para obtener otro número que tenga 17 divisores? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 7 25. Determinar la suma de las cifras de un número que tiene como único divisor primo al 7, sabiendo que si se le multiplica por 36 su número de divisores aumenta en 40. A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 26. ¿Cuántos ceros hay que agregar a la derecha del Aritmética
29. Hallar la suma de todos los valores de “a”, si el número aaa tiene 8 divisores. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 21
5
Aritmética
