Representación de números enteros y decimales en notación científica
Introducción: En ocasiones las cifras de números enteros muy grandes, o las decimales extremadamente pequeñas, se representan en forma más simplificada. Veamos Veamos algunos ejemplos: Podemos decir que la velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o también de 300. 300.000 000.0 .000 00 m/se m/seg g . Si habla hablamo moss de gran grandes des canti cantidad dades es de byte bytes, s, se puede puede deci decirr que que la capac capacid idad ad de almacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, una cantidad equivalente a 500.000 000.000.000 bytes. Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cósmicos, se podría decir que su medida es inferior a 0,000000000000001 metros. Sin embargo, en los textos científicos o técnicos las cifras no aparecen escritas de forma tan grandes, sino más bien simplificadas, utilizando un procedimiento matemático denominado “notación científica”. Por tanto, las cifras del párrafo anterior seguramente aparecerían escritas en textos de cienc ia y técnica de la forma siguiente: “La velocidad de la luz es de 3 x 108 m/seg ...”. “La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 x 1014 bytes ...” y “la longitud de onda de los rayos cósmicos es inferior a 1 x 10-14 metros...” La practicidad es notable. Veamos ahora una tabla donde aparecen expuestos diferentes valores numéricos, sus equivalentes en notación científica y la representación numérica de cada uno: Valor Numérico Miltrillonésima Trillonésima Milbillonésima Billonésima Milmillonésima Millonésima Milésima Centésima Décima Uno D ie z Cien Mil Millón Mil millones Billón * Mil billones Trillón Mil trillones
Notación Científica 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1
Representación numérica 0,000 000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 001 0,000 001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000 1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000
* En Estados Estados Unidos de Norteaméri Norteamérica ca 109 se denomina “billón”. Para el resto de los países de habla. hispana 109 equivale a “mil millones”, mientras que el billón se representa como 1012.
Igualmente, en los países de habla hispana 109 recibe también el nombre de “millardo” (palabra proveniente del francés “millard”), además de “mil millones”. Por tanto, lo que para los estadounidenses es “one billon dollars or euros“ (un billón de dólares o de euros), para los hispanohablantes sería “un millardo de dólares o de euros” o “mil millones de dólares o de euros”. Por otra parte, en español 104 (10 000), también se denomina “miríada”.
Representación de números enteros y decimales en notación científica:
Método para representar un número entero en notación científica Cualquier número entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras que posea, se puede reducir empleando la notación científica. Veamos Veamos en la práctica algunos ejemplos:
529 745 386 = 5,29 x 108 (la coma se desplazó 8 lugares a la izquierda y se truncó) b) 450 = 4,5 x2 10 (la coma se desplazó 2 lugares a la izquierda) 11 c) 590 587 348 584 = 5,9 x 10 (la coma se desplazó 11 lugares a la izquierda y se truncó) d) 0,3483 = 3,5 x 10-1 (la coma se desplazó 1 lugar a la derecha y se redondeó) e) 0,000987 = 9,87 x 10-4 (la coma se desplazó 4 lugares a la derecha) a)
Como se podrá observar la notación científica se compone siempre de un solo número entero y el resto pueden ser uno o varios decimales, según la mayor o menor exactitud que requiera una representación numérica determinada. La cantidad de decimales se puede recortar a uno o dos números solamente por medio de la aproximación o redondeo de la cifra, pues el objetivo de emplear la notación científica es, precisamente, acortar las cifras largas, ya sean de números enteros o decimales. Para convertir en notación científica el número 529 745 386 (“a” en la tabla anterior), será necesario contar de derecha a izquierda los espacios que existen entre el último número de la serie numérica a partir del “6” hasta llegar al primero (“5” en este caso). Después de contar veremos que hay ocho espacios, por lo que la notación científica de ese número entero la podemos escribir así: 5,29 x 108. (El superíndice 8 representa los espacios que hemos contado desde el “6” hasta h asta el “5”). Si queremos redondear esa cifra para que la notación sea aún más simplificada, podemos escribirla también como 5,3 x 108 . Igualmente se pueden representar más cifras decimales empleando los propios números que forman el número entero como, por ejemplo, 5,2975 x 108 . Para convertir de nuevo la cifra representada en notación científica en el número entero que le dio origen, realizamos la operación inversa. Por ejemplo, si el número entero 529 745 386 se redondeó originalmente para que su representación decimal en notación científica fuera 5,3 x 108 y queremos restaurar ahora el número original, en este caso será necesario multiplicar multiplicar 5,3 x 100 000 000 (los ocho ceros se corresponden con el superíndice 108 ). El resultado de la operación será 530 000 000 en lugar de 529 745 386, que como se podrá comprobar difiere algo del número entero original debido a la aproximación o redondeo que se realizó anteriormente. 2
El procedimiento para convertir un número decimal en otro número en notación científica es parecido al anterior. Tomemos por ejemplo el número 0,000987, correspondiente a la “e” en la tabla del ejemplo. Para realizar la conversión, sencillamente desplazamos la coma hacia la derecha los cuatro espacios que la separan del “9”, con lo que obtendremos el siguiente número decimal: 9,87 . Por tanto, la notación final quedará de la siguiente forma: 9,87 x 10-4 Si queremos acortar más la notación podemos redondear y escribirla también como 9,9 x 10-4 . En el caso de la conversión de decimales a notación científica, el superíndice del “10” llevará el signo “menos” para indicar que esta notación corresponde a un número fraccionario en lugar de uno entero. Para convertir de nuevo la notación científica de este ejemplo en decimal, movemos la coma tantos lugares a la izquierda como número nos indique el superíndice negativo, agregando los correspondientes ceros para completar la cifra.
Ejercicios de notación científica, potencias y radicales:
Ejercicio nº 1 Realiza las siguientes operaciones expresadas en notación científica: (2,65·1 ,65·10 2 )·(3 )·(3,42· ,42·104 ) −
b)
a) (3,5·1 ,5·108 )·(2 )·(2,8·104 ) c) 2,3·1 ,3·108
+
4,5·10 ,5·108
−
3,65·1 ,65·108
2,3·108
d ) (2, 5 ·1 ·103
−
1, 5· 5 ·103 ) · 2, 2, 6 ·1 ·102
Solución: a ) 9,8 ·10
b)
12
9,063 ·10 2 2,3 ·10
c) ( 2,3 + 4,5 − 3,65) ·10 8
=
8
=
3,94 ·10
−
6
d ) 10 3 · 2,6 ·10 2
3,15 ·10 8
=
Ejercicio nº 2 Halla el valor de las siguientes potencias: a)
1 4
c)
2
−
b) 4
2
−
1
d ) 10
10 3
5
−
Solución: a) 4
2
=
16
b)
1 42
=
1 16
c)
1 1.000
=
0,001
d ) 0,00001
3
2,6 ·10 5
Ejercicio nº 3 Ordena de menor a mayor las siguientes potencias: 1
3
2
2
1
8 , 4 ,16 4
Solución: 1
a) 8
2
=
(2 )
=
( 2)
3
1
3
2
2
3 2
b) 4
=
3
2
c) 16
=
3
2
2 =
1 4
2
1
(2 ) 4
4
=
2
1
1
4
2
Por tanto: 16
<
8
3 <
42
Ejercicio nº 4 Ordena de menor a mayor las siguientes raíces: 4
72 ,
49 ,
3
343
Solución: 2 4
a) 7
2
=
7
1
4
72
=
2
b) 49=
2
7
c) 343 = ( 7 5
Por tanto:
3
4
72
=
1
3
5
=
7
5
5
343 <
=
)
72
<
7
49
Ejercicio nº 5 Racionaliza: a)
22 11
b)
6 1+ 3
c)
7 7−2
4
Solución: 22
a)
11
b)
6
7 7 −2
=
11· 11 =
1+ 3
c)
22· 11
=
(1
22· 11 112
(
6· 1 − 3
)
22· 11
=
11
(
6· 1 − 3
=
)
)( ) 1 ( 3) 7 ·( 7 2 ) 7 ·( 7 2 ) ( 7 2)·( 7 2) ( 7 ) 2 3 · 1− 3
+
+
=
2
−
+
=
−
2
+
2
−
(
6· 1 − 3
=
2
)
1− 3
(
6· 1 − 3 −
72
=
=
+
2 7
7−4
2
=
)
3+3 3
=−
7+2 7 3
Ejercicio nº 6 Realiza las siguientes operaciones con radicales: 3· 3 5
a)
7:3 2
4
b)
c)
3
5
2
5
Solución: 3
a)
3· 5
b)
4
3
=
7: 2
1
1
3
2
3
6
3 ·5
=
7
5
c)
( 5) 3
2
=
3 ·5 6
1
3
4
12
7
=
1
2
=
= 12
=
4
3
5 3
2
12
212 52
=
15
52
6
33 ·6 5 2
73
= 12
24
=
15
=
73 2
6
33 ·52
= 12
4
=
6
675
343 16
25
Ejercicio nº 7 Ordena de menor a mayor los siguientes radicales: a) 3 7 ; 4 7 ; 7
b) 15 ;
3
6
39 ;
129
Solución: 4
a) 7 ; 7 ; 7 3
b) 15 ; 6
3
→
6
1
1
1
4
3
6
3
4
2
12
12
12
7 ,7 ,7
39 ; 129
→
3375 , 6 1521, 6 129
→
7 ,7 ,7
6
4
7
1
1
1
3
2
2
3
6
6
6
129
<
15 , 39 ,129
→
→
3
→
<
3
7
7
<
1
15 , 39 ,129 6
→
6
39 < 15
5
153 , 6 39 2 , 6 129
→
Ejercicio nº 8 Realiza las siguientes operaciones con radicales: 3
a ) 2 2 · 23 · 9 2 Solución a) b) c)
3
2
3 9
2 · 2 · 2 3
7
5 :
4
5
3
b)
=
=
57 : 4
c)
20 + 2 125 + 3 45
2
3
1
2 3 1
41
3
2
9
3 2 9
18
2 ·2 ·2 6
5
7
8
5 : 5
20 + 2 125 + 3 45
=
=
=
2
+
+
=
2
=
7
1
7 1
6
8
6 8
5 :5
=
5
2 2 ·5 + 2 53
18
25
−
+
2 41
=
5 24
=
24
525
3 32 ·5 = 2 5 + 10 5 + 9 5
=
21 5
Ejercicio nº 9 Racionaliza: a)
5
6
b)
3
5
c)
7− 2
5+ 2
Solución a) b) c)
5 3
=
5· 3 3· 3
6 7− 2 5 5+ 2
=
=
=
5· 3 3
(
6· 7 + 2
(
)(
)
7− 2· 7+ 2
(
5· 5 − 2
(
)(
)
5+ 2 · 5− 2
)
)
=
(
6· 7 + 2 7
=
2
2
−
)
2
=
5· 5 − 5· 2 5
2
−
2
2
(
6· 7 + 2 7−2 =
5 − 10 5− 2
)
=
=
(
6· 7 + 2 5
)
=
6 7 +6 2
5 − 10 3
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6
5
