1
2
3
1.1 NOTACI ON INDICIAL
´
En Mecanica de Medios Continuos los objetos matemáticos mas empleados son los escalares, vectores y tensor es en R3 . Para trabajar con vectores se define una base de vect or es or tonor males B 1 = {e1 , e2 , e3 } de forma que todo vector v ∈ R3 se puede expresar como la siguiente combinacion lineal v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3. Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuacion previa de una forma más compacta: 3 v = X vp ep. P=1 Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el síi mbolo de sumatorio e indicar sus l´ımites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguiente convencion: v = vp ep . En esta expresion, y en to da aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo ´ındice repetido, se entender ´a que vp ep significa v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 . En vez del sub´ındice p se po dr ´ıa haber empleado cualquier otro, y as´ı vp ep = vq eq = vi ei , por lo que el ´ındice repetido se denomina mudo. Se dice que la expresion emplea not acion indicial o tambi´en el convenio de Einstein. Dos vectores a y b son iguales si ap ep = bp ep . Esta igualdad se puede reescribir como (ap − b p )ep = 0. Como los vectores de la base ´ ltima expresion requiere que cada son linealmente independientes la u componente se anule, es decir, a p − bp = 0, o de otra maner a ap = bp . De este simple ejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca un mismo ´ındice en varios lugares, pero no multiplic´and ose, quiere decir que la igualdad es valida cuando el ´ındice toma el valor 1,2 ´o 3. Un ´ındice de este tipo se denomina libre y puede inter cambiar se por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra Por ejemplo, la identidad quiere expr essar parte de la igualdad. a1 = b 1 a2 = b2 a3 = b3 4
´n ´ındice mudo, Notese que en la identidad anter ior (5) no hay ningu pues aun que p aparezca en ambos lados de la igualdad las comp onentes spondientes cor re no multiplicando. esta n
5
Cuando se trabaja con tensor es de segundo orden tambi´en se emplea una base tensor ial de nueve tensor es: B 2 = {e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 , e3 ⊗ e1 , e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 } , y to do tensor T se puede escribir como T = T11 e1 ⊗ e1 + T12 e1 ⊗ e2 + T13 e1 ⊗ e3 + T21 e2 ⊗ e1
+... En este caso se observa
au ´ n más clar amente que r esulta muy tedioso
escribir y trabajar con las nueve comp onentes de un tensor .
Se po dr ´ıa
escribir la expresion previa como 33 T = X X Tpq ep ⊗ eq ,
p=1 q=1 ´ltima pero igual que con los vectores, se adopta la convencion de que esta u expresion se puede escribir simplemente como T = Tpq ep ⊗ eq .
Como en el caso de los vectores, los ´ındices repetidos cuyos objetos cor re spondientes se multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´ındice tomand o valores 1,2 y 3.
Tambi´en como en el caso de los vectores, aquellos ´ındices libres que aparecen repetidos en varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes cor re spondientes no se multiplican indican que la igualdad es valida cuando los ´ındices toman valores 1,2 y 3. As´ı por ejemplo Tij + Rij = 7 quiere decir que la suma de cualquier comp onente del tensor T de segu ndo orden más la misma comp onente del tensor de segundo orden R es igual a 7. Las consideraciones aquí pr esentad as son válidas tambi´en para tensor es ejemplo: de mayor or den. Por Aij k v j = Ai1k v1 + Ai2k v2 + Ai3k v3, Spq r Tir = Spq1 Ti1 + Spq2 Ti2 + Spq3 Ti3 .
6
Empleo de notaci´on indicial en igualdades Cuando se expresan igualdades de cantidad es vectoriales o tensor iales se puede emplear notacion compacta, indicial o matricial. De esta manera, por ejemplo, la igualdad de dos tensor es A y B se puede indicar de tr es cualquiera de estas maner as: A11 A12 A = B , ⇔
A13 ⇔
Sin embargo escr ibir :
B12 B11 A = B ij , ni
Aij = Bij ,
A21 B23 A31 A33
no es correcto
Aij
=
B13 B23 , 33
B2 3
31
A22
B11 B12 = B21 A23
A32
B31
ni tamp oco A
B32
= 3
B12 B22 32
B13 B22 . B33
.
Otr o ejemplo: si el vector t viene definido por t = σ n donde σ es un tensor de segundo or den n un vector, entonces podemos reescribir dicha definicion de cualquiera de estas maner as:
ti =
ij n j ,
σ
ti ei = σij n j ei , {t} = [σ]{n} ,
t2
t1
σ11 σ13 = σ21 σ23 σ31 σ33
t3
Sin embargo, escr ibir :
σ32
σ22
n1 n2
. n3
σ32
es incorrecto
t = σij n j , σ31
σ12
σ22 σ33
y tambi´en
23
σ
7
σ11
n σ12 σ13 t = σ21 n2
1
. n3
Cuadro resum en En el siguiente cuadro se resumen las operaciones mas comunes en algebra y c´alculo tensor ial y sus expresiones en notacion indicial. En toda la tabla φ es una función escalar , a, b, c son vectores y R, S, T son tensor es de orden dos.
Op er aci´on Notaci´on indicial
Notaci´on tensorial
Igualdad de vectores ap = bp
a = b
Igualdad de tensor es Tpq = Spq
T = S 1
si i =
j
0
Tensor de permutación
−
si i = j si ijk = 123, 231 ´o 321 si ijk = 213, 132 ´o 312 ´ n ´ındice si hay algu
a
Producto escalar
ij k ap bp
·
Producto vect or ial
a = b ∧c
ai =
Suma de vector es
a =b+ c
ai = b i +
Suma de tensor es
R=S +T
Rij = S ij + bi =
b = T ·a
Producto tensor , vect or
ipq
b = TT ·a
bi
=
Producto tensor , tensor
R = S ·T
Rij
=
Producto exter no
T = a ⊗b
Producto
tensor trans.,
Tij = ai b j
Doble contr accion
S :T
Traza de un tensor
tr(T )
Tpp
det(T )
Deter minante
Spq Tpq
Gr adiente de f. escalar
a = grad [φ]
ij k T1i T2 j ai = φ,i
Gr adiente de f. vector
T = grad [a]
Tij = ai,j
Divergencia de un vect or
φ = div [a]
φ = ai,i
Divergencia de un tensor
a = div [T ]
ai = Tip,p
8
b = rot [a]
Rotacional de un vector
9
bi
=
ij k
Resumen de reglas pr ´acticas de operación indicial 1) Un ´ındice, por ejemplo p, repetido P3 sumatorio de los términos en la multiplicacion:
en una
multiplicacion, indica un p=1
ap bp = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . 2)
El par de ´índices repetidos y multiplicándo se se pueden cambiar de letra, siempre que no se utilice en otra parte de la expr esión: ap bp + ck = aq bq + ck = ar br + ck .
3) Cuando uno de los ´índices repetidos en una multiplicación per tenece a una delta de Kronecker basta con reemplazar el ´índice repetido por el ´índice libre en la delta:
aipδpj aij . 4)
=
Un ´ındice que est ´a repetido, pero no entr e los factores que se multiplican, no se sustituye por un sumator io bi + ci = b1 + c1 + b2 + c2 + b3 + c3 .
Uno o más ´índices libres (que no estan multiplicados por otros factores que tengan esos mismos ´índices) indican 3 ecuaciones independientes por cada ´ındice: v1 = a1 + 3 vi = ai + 3 ⇒ v2 = a2 + 3 = + v3 a3 3 5)
1
6)
Un ´ındice nunca puede aparecer repetido más de una vez en una multiplicación. Puede aparecer más de dos veces si es en sumandos distintos, pero no es recomendable pues puede llevar a conf usión: vi SpiW j i ⇒ Incorrecto!! vi SpiW j k + ai bi ⇒ Correcto, pero no r ecomendab le cto vi SpiW j k + ambm ⇒ Cor re
7) Un tensor or togonal es aquel que tiene la propiedad AAT = AT A = 1. En ´ındices: Aip A j p
= Api Apj
= δij
¿ Qué es un tensor? En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. En adelante utilizaremos el convenio de sumación de Einstein. Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz. La palabra "tensor" se utiliza a menudo como abreviatura de campo tensorial, que es un valor tensorial definido en cada punto en una variedad. El primero en utilizar esta palabra fue William Rowan Hamilton en 1846, empleándola para lo que actualmente se conoce como módulo y fue Woldemar Voigt en 1899 quien la empleó en su acepción actual. La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere 'estirar, extender'. El nombre se extendió porque la teoría de la elasticidad fue una de las primeras aplicaciones físicas donde se usaron tensores. Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarrolló la notación actual con el nombre de geometría diferencial absoluta, y se popularizó con la publicación de Cálculo Diferencial Absoluto de Tullio Levi-Civita en 1900. Con la introducción de la teoría de la relatividad general por parte de Albert Einstein alrededor de 1915 se encontró su aplicación más pragmática. La Relatividad General es netamente tensorial. Einstein había aprendido del mismo Levi-Civita el uso de tensores con gran dificultad.
TI P OS D E T E N S O R E S Producto tensorial y producto exterior. Dados dos tensores se puede definir entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores originales. El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de los componentes de un tensor y es llamado producto exterior. Por ejemplo:
Subir y bajar índices En una variedad riemanniana existe la posibilidad de definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en una variedad cualquiera. Esa operación permite sustituir en los cálculos un tensor de tipo
por otro de tipo
con tal que . Esta operación se denomina usualmente ley de subir o bajar índices. Esa operación se basa en la existencia de un isomorfismo entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado. Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices":
Contracción La contracción de tensores es una operación que reduce el orden total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo ( n , m ) a otro tipo ( n − 1 , m − 1 ). En términos de componentes, esta operación se logra sumando el índice de un tensor contravariante y un covariante. Por ejemplo, un tensor (1,1)
, puede ser contraído
a un escalar a través de ; donde el convenio de sumación de Einstein es empleado. Cuando el tensor (1,1) se interpreta como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza.
La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el índice de cada tensor. La contracción puede también entenderse en términos de la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio V , con el espacio V*, descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores más simples, y posteriormente aplicando un factor de V*, a un factor de V . Por ejemplo puede ser escrito como la combinación lineal de La contracción de T, en el primero y último espacio es entonces el vector
Producto Interno El producto interno de dos tensores se produce al contraer el producto exterior de los tensores. Por ejemplo, dados dos tensores . Igualando índices,
y
su producto externo es
se obtiene el producto interno:
.
1.3.- MÉTODOS PARA EL CALCULO VECTORES PROPIOS
DE VALORES Y
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario
.
.
Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario . Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:
Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este
escalar recibe el nombre valor propio,autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio
es el conjunto de vectores propios con un valor propio común
Formal.mente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Sea A: V → V un operador lineal en un cierto -espacio vectorial V y v un vector no nulo en V. Si existe un escalar c tal que entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c . Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de ves también un vector propio con el valor propio c . De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V , el espacio propio para el valor propio c . Observe además que un espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.
En todo lo que sigue A es una matriz cuadrada. 1.
Propiedades b´asicas.
Definicio´ n: • El escalar λ es valor propio de A si existe v ≠0 tal que A v • El vector v es vector propio de A asociado a λ si A v λ v .
.
λ v
=
=
Teorema: (m´etodo par a calcular valor es y vector es propios para matrices concretas) • El escalar λ es valor propio de A si y s´olo si det( A − λI ) = 0 • El vector v es vector propio de A asociado a
λ
si
Demostracion (solo la parte 2): Av = λv
Obs´ervese que Av = λv qu´e?
⇐⇒
⇐⇒
Av − λv = 0
Av − λv
=
0
.
( A − λI ) v = 0
⇐⇒
⇐⇒
.
( A − λI )v = 0. ( A − λ)v =
0
es incorrecto. ¿Por
Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la A= 4 -5
matriz
2 -3
´ n: Primero se calculan los valores propios: Solucio
det( A − λ I ) =
4 − λ 2
−5 = (4 − λ)(−3 − λ) + 10 =2 −3 λ λ
Con lo cual obtenemos dos valores propios:
λ1
− λ −
2
⇒
λ
=
−1,
λ
= 2.
= −1, λ2 = 2.
Buscamos ahora los correspondientes vectores propios: • Para λ = −1:
[ A − (−1)I )]v = 0 →
5
-
x
5
2
Y
=
0
x=y
múltiplosde 1
0
-2
El sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones. ´ltiplos de [5, 2]t . Nuevamente el sistema • Para λ = 2 (Ejercicio). Debe salir mu obtenido tiene una infinidad de soluciones.
Observaciones: • Se puede demostrar que det( A −λ I ) es un polinomio cuyo grado coincide con el taman˜o de la matriz A; sea n. Se llama polinomio caracter´ıstico. Como mucho tiene n ra´ıces distintas.
• Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio le corresponden una infinidad de vectores propios. En otras palabras: si λ es valor propio, el sistema ( A − λI )v = 0 tiene siempre infinitas soluciones.
2.
Diagonalizaci ´on.
Definicion: Una matriz A de orden n es diagonalizable si existen v1, . . . ,
vn
vectores propios linealmente independientes.
Factorizacion espectral: Supongamos que A
es diagonalizable y sean v1, . . . , vn vectores propios linealmente independientes asociados a λ1, . . . , λn respectivamente (observe que Avi = λi vi ). Formamos
| S=
|
v1 . . vn |
. matriz n × n,
D=
|
λ1
···
...
. .
0
. ···
0 .
(diagonal
..
λn
Ahora se tiene (matrices por bloques) AS = A [ v1 . . . vn ] = [Av1 . . . A vn ] = [ λ1v1 . . .
λnvn ]
y
Í
l
SD = [ v1 . . . vn ]
.
λ1
···
..
.
. .
.. . 0
0
…
Í
= [ λ1v1
...
λn
Luego AS = SD. Se puede probar que S es siempre invertible, luego A
−1
SDS
=
λnvn
l
]
Teoremas: • Una matriz A es diagonalizable si y s´olo si m.a.( λ) = m.g.( λ) para todo valor propio λ. • m.g.( λ) ≤ m.a.( λ) para todo valor propio λ. 3.
Diagonalizaci ´on de matrices sim´etricas.
Una matriz sim´etrica de orden n tiene valores propios reales y n vectores propios ortog- onales que siempre se pueden convertir en ortonormales (se pueden demostrar estas afirma- ciones). Se puede probar que si las columnas de S son ortonormales, entonces S−1 = St (una matriz que cumple esta propiedad se llama matriz ortogonal). Por tanto: A
= SD S t
1.4.-GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.
Gradiente.
En calculo
vectorial
el gradiente
un campo vectorial. El vector gradiente de dominio de
,
de
un campo
evaluado en un punto genérico
( ), indica la dirección en la cual el campo
rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de dicho
vector
diferencial nabla
escalar
gradiente.
El
gradiente
se
representa
es del
varía más
en la dirección de con
el
operador
seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con
la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante la
notación
campos
.
La
generalización
del
concepto
de
, o usando gradiente
a
vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de
contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
Interpretación del gradiente. De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese
(,),(,,), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos
ejemplos son:
Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto ∅(,,), la temperatura es ∅(,,). Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.
Considere una montaña en la cual su altura en el punto (,) se define como (, ). El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un
mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente. Propiedades. El gradiente verifica que:
Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
Divergencia. La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero. Divergencia de un campo vectorial. La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:
Donde símbolo
es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El representa el operador nabla.
Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico. Se llaman fuentes escalares del campo
al campo escalar
que se obtiene a partir de la divergencia de
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.
1.
Coordenadas cartesianas. Cuando la definición de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,
El resultado es sencillo:
2.
Coordenadas ortogonales. Sin embargo, para un caso más general de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de coordenadas ortogonales es:
Donde los
son los factores de escala del sistema de coordenadas, relacionados
con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas. Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (
) se reduce
a la expresión anterior. -Para coordenadas cilíndricas (
) resulta:
-Para coordenadas esféricas (
3.
Coordenadas
) resulta
generales.
En
sistemas
de
coordenadas
generales, no necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede expresarse en términos de las derivadas parciales respecto a las coordenadas y el determinante del tensor métrico:
Rotacional.
En
el cálculo
vectorial,
el rotacional o rotor es
un operador
vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:
Aquí,
es el área de la superficie apoyada en la curva
, que se reduce a un
punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a
y orientada según la
regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares. 4.
Fuente vectorial y escalar. Al campo vectorial, J, que se obtiene calculando el rotacional de un campo F en cada punto, =∇×
Se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las que se obtienen mediante la divergencia). Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el campo deriva de un potencial:
Expresión en formas cartesianas. Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es
Que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar fácilmente la expresión del rotacional. En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:
Propiedades:
Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,
Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.
En particular, el campo electrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.
El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal , esto es, su divergencia siempre es nula:
Ejemplos:
En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el ojo, y posiblemente en otras partes (véase verticidad).
En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en todas las partes del disco.
Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles sería diferente de cero.
La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de las ecuaciones de Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando el rotacional. La primera indica que el rotacional de un campo eléctrico es igual a la tasa de variación de la densidad del flujo magnético, con signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda indica que el rotacional de un campo magnético es igual a la suma de la densidad de corrientes y la derivada temporal de la densidad de flujo eléctrico.
CONCLUSIONES
Bibliografia http://teoriaelectromagneticated502.pbworks.com/w/page/20548734/Operadores%2 0Diferenciales%3AGradiente,%20divergencia%20y%20rotacional http://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente http://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1ticas)
http://w3.mecanica.upm.es/mmc-ig/Apuntes/indices.pdf
