Nizovi i redovi

ˇ ki nizovi i redovi 1. Numeriˇ Numericki c

ˇ Cesto u svakodnevnom govoru koristimo termine ”niz” i ”red”, a da pri tome i ne razmiˇ razmisljamo sˇ ljamo o njihovom konkretnom znaˇ znacenju. cˇ enju. Kada kaˇ kazemo zˇ emo niz, podrazumijevamo skupinu objekata uredenih po principu da medu njima znamo ko je prvi, drugi, stoti itd. Znaˇ Znacenje cˇ enje rijeˇ rijeci cˇ i red iz svakodnevnog govora nema ni sliˇ slicno cˇ no znaˇ znacenje cˇ enje toj rijeˇ rijeci cˇ i u matematiˇ matematickom cˇ kom govoru jer rijeˇ rijecˇ red u matematici znaˇ znaci cˇ i sumiranje objekata. objekata. Termin ”numericki”, cˇ ki”, odnosi se na to da cemo c´ emo mi u ovoj glavi posmatrati isklju civo cˇ ivo nizove brojeva i sumiranja brojeva. Konkretnije, posmatrat cemo c´ emo samo nizove ralnih brojeva i njihova sumiranja, pa bi ovdje jo sˇ precizniji termin bio ”realni numeri cki cˇ ki nizovi i redovi”. Nizovi i redovi u matematici imaju jako dugu istoriju joˇ josˇ iz doba Arhimeda1 i njegovog djela ”Method of Exhaustion”, u kome se on koristi tim pojmovima u pribli znom zˇ nom izraˇ izracunavanju cˇ unavanju broja π i u izraˇcunavanju cunavanju povrˇsina sina geometrijskih figura.

ˇ ki nizovi 1.1 Numeriˇ Numericki c 1.1.1

Definicija i osnovni osnovni pojmovi pojmovi Pod nizom realnih brojeva podrazumijevamo beskona cnu cˇ nu uredenu uredenu listu listu realnih realnih brojev brojeva, a, koje koje nazivamo ˇ nazivamo ˇclanovima clanovima niza i koji su indeksirani prirodnim brojevima. Ovu neformalno iskazivanje uobliˇ uoblicavamo cˇ avamo formalnom definicijom niza.

→

R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, Definicija 1.1.1 Svako preslikavanje a : N nazivamo nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim preslikavanjem preslikavanjem dodjeljuje dodjeljuje prirodnom broju n oznacavamo cˇ avamo sa a (n), ili ce cˇ esˇ ce c´ e sa a n i nazivamo ga n -ti clan cˇ lan niza. Pri tome broj n u oznaci a n nazivamo indeksom ˇclana clana niza. Ako je specificirana zavisnost a n od n , onda se a n naziva opˇ opstim sˇtim clanom cˇ lanom niza. 1

Arkhimedes iz Sirakuze, oko 287.-212. pne., gr cki cˇ ki fiziˇ fizicar, cˇ ar, astronom i jedan od najve cih c´ ih matematiˇ matematicara cˇ ara starog vijeka.

ˇ ki nizovi i redovi Poglavlje 1. Numeriˇ Numericki c

2

Za niz ciji cˇ iji su clanovi cˇ lanovi a 1 , a2 ,..., an ,... koristit cemo c´ emo oznaku ( an )n∈N , ( an )n∞=1 ili kratkoce c´ e radi samo (an ). 

Primjer 1.1 Niz 1, 2, 3,..., n, n + 1,...

je niz prirodnih brojeva i kra ce c´ e ga zapisujemo sa ( n)n∈N . Ili, ( xn )n∈N , ciji cˇ iji je op sti sˇ ti clan cˇ lan zadat sa xn = n. Niz 1, 3, 5,..., 2n + 1,... je niz neparnih prirodnih brojeva brojeva sa zapisom ( 2n 1)n∞=1 ili ( an )n∞=1 sa opˇ opstim ˇ sˇtim ˇclanom clanom a n = 2n Niz 1, 4, 9, 16, 25,...

−

je niz kvadrata prirodnih brojeva sa zapisom (n2 )n∈N ili ( zn )n∈N sa opˇstim stim clanom cˇ lanom z n = n2 .

− 1. 

Niz je potpuno odreden svojim op stim sˇ tim clanom cˇ lanom i tada ka zemo zˇ emo da je niz zadat u eksplicitnoj n formi. formi. Naprimje Naprimjer, r, ako je opsti sˇ ti clan cˇ lan niza dat sa xn = n+1 , clanovi cˇ lanovi niza su 12 , 23 , 34 ,..., a njegova potpuna odredenost se ogleda u tome da ako zelimo zˇ elimo odrediti stoti clan cˇ lan ovog niza, jednostavnim 100 izraˇ izracunavanjem cˇ unavanjem za indeks niza n = 100 dobijamo dobijamo x 100 = 101 . niz sa opˇ opstim ˇ sˇtim ˇclanom clanom a n = cos π 3n . Prvi ˇ Prvi ˇclan clan niza je a 1 = cos π 3 = 12 , drugi ˇ drugi ˇclan clan Primjer 1.2 Dat je niz 2 π 1 ˇ 60 π je a 2 = cos 3 = 2 . Sezdeseti clan cˇ lan niza je a 60 = cos 3 = 1. Prostim izracunavanjem cˇ unavanjem clanova cˇ lanova ovog niza vidimo da su oni, 

−

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − , −1, − , , 1, , − , −1, − , , 1, , − , −1, − , , 1,. . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,

Primjetimo Primjetimo da dati niz ima samo ˇ samo ˇcetiri cetiri razliˇ razlicite cˇ ite vrijednosti tojest, kodomen preslikavanja je skup 1 1 1, 2 , 2 , 1 , ali dati niz ima beskona cno cˇ no mnogo clanova. cˇ lanova. 

− − 

Skup vrijednosti nekog niza ( xn )n∈N je skup xn n N i treba ga razlikovati od samog 1, 1 (koniza. niza. Napri Naprimje mjer, r, za niz sa op stim sˇ tim clanom cˇ lanom xn = ( 1)n , skup vrijednosti niza je domen preslikavanja), ali niz je predstavljen sa beskona cno cˇ no mnogo clanova cˇ lanova koji se ponavljaju, 1, 1, 1, 1, 1, 1,.... Nizovi su ˇ su ˇcesto cesto zadati u formi gdje neki ˇ neki ˇclan clan niza izraˇ izracunavamo cˇ unavamo preko nekih mu predhode´ predhodecih c´ ih cˇ lanova niza. Ovakav nacin clanova cˇ in nazivamo rekurentno zadavanje niza. Jedan od najpoznatijih nizova je tzv. Fibonaccijev2 niz koji se zadaje u formi

−

−

{ | ∈ } −

{− }

−

xn+2 = x n+1 + xn , x1 = 1 , x2 = 1 (n

∈ N , n ≥ 3) .

Dakle, svaki clan cˇ lan niza odredujemo kao zbir njemu prethode ca c´ a dva clana cˇ lana niza (datu jedna cinu cˇ inu nazivamo rekurentna ili diferentna jedna cina), cˇ ina), a to uslovljava da moramo ta cno cˇ no odrediti ˇ odrediti ˇsta sta su prva dva clana cˇ lana niza. Pokazuje se da je u ovom sluˇcaju caju moguće ce doći ci i do eksplicitnog eksplicitnog oblika ovog niza, xn =

1

√ 5

 √   − √  1+

2

5

n

1

− √ 5

1

5

2

n

, (n

∈ N) .

Zbog njihove ˇceste ceste primjene (mnoge pojave opisane su ovakvim vezama), ispitivanje nizova ovako zadatih se izdvojilo u posebnu oblast koja se naziva diferentne jednaˇ jednacine. cˇ ine. Za odredivanje odredivanje niza nije neophodno da postoji formula kojom se eksplicitno odreduje op sti sˇ ti clan cˇ lan x n u zavisnosti od n. Naprimjer, ako je x n n -ti po redu prost broj, niz ( xn ) je korektno definisan, iako ne znamo formulu za odredivanje n -tog clana cˇ lana tog niza. Isto tako mo zemo zˇ emo govoriti da je niz 2

Leonardo Fibonacci - (1170-1250) italijanski matematiˇ matematicar cˇ ar

ˇ ki nizovi 1.1 Numeri Numeriˇ c

3

(an ) zadat tako da je a n n -ta cifra u decimalnom razvoju broja

√ 2, mada formulu za n-tu cifru tog

razvoja ne znamo eksplicitno. Znati konaˇ konacno cˇ no mnogo prvih ˇclanova clanova niza nije dovoljno za jednozna cno cˇ no odredivanje niza. Naprimjer, ako je dato prvih pet ˇclanova clanova nekog niza: 0 , 7, 26, 63, 124, pravilo po kome su konstruisani ovi ˇ ovi ˇclanovi clanovi moˇ moze zˇ e ali i ne mora da va zi zˇ i za ˇ za ˇsesti, sesti, sedmi i dalje ˇclanove clanove ovog niza. Primjer 1.3 Odgovoriti na pitanje koje se stalno pojavljuje u testovima inteligencije, ”nastavite niz”: 1. 0, 1, 0, 1, 0, ? 2. 3, 5, 5, 7, ? 3. 1, 2, 2, 3, 4, 4, ? Odgovor na postavljeno pitanje u sva tri slu caja cˇ aja moˇ moze zˇ e biti 10, a moˇ mozda zˇ da i bilo koji drugi broj! Iako je ”logiˇ ”logican” cˇ an” odgovor odgovor da je nastavak nastavak prvog niza broj 1, ako posmatramo niz sa opˇ opstim ˇ sˇ tim ˇclanom clanom 

xn =

5n5 24

4

− 8324n

+

521 n3 24

2

n − 1525 24

+

1021n 12

− 40 ,

prvih sest sˇ est njegovih clanov cˇ lanovaa je 0, 1, 0, 1, 0, 10. Dakle, Dakle, bez obzira koliko koliko duga cak cˇ ak konacan cˇ an niz brojeva imamo, moˇ moze zˇ e se na´ naci c´ i pravilo da sljede´ sljedeci ˇ c´ i ˇclan clan niza bude bilo koji broj. U drugom zadatom nizu ”logiˇ ”logican” cˇ an” odgovor odgovor je broj 9, ali ako posmatramo posmatramo opˇ opsti ˇ sˇti ˇclan clan xn =

n3

2

− n 6

+

23 n 6

,

opet ´ opet ćemo cemo primjetiti primjetiti da su prva tri ˇ tri ˇclana clana 3, 5 i 7, ali je ˇcetvrti cetvrti opet 10. Pokuˇsati sati odrediti odrediti opˇ op sti sˇ ti clan cˇ lan niza koji ce c´ e imati prvih cetiri cˇ etiri clana cˇ lana kao u 3., a da peti bude 10.



Definicija 1.1.2 Kazemo zˇ emo da skoro svi clanovi cˇ lanovi niza ( xn ) imaju neku osobinu P ako postoji n0 N, tako da za svako n n0 , x n ima osobinu P .

∈

≥

Drugaˇ Drugacije cˇ ije reˇ receno, cˇ eno, skoro svi ˇclanovi clanovi niza imaju osobinu P ako je imaju svi ˇ svi ˇclanovi clanovi niza po cev cˇ ev od nekog indeksa ili ˇsto sto je isto kao da ka zemo zˇ emo da tu osobinu imaju svi ˇclanovi clanovi niza osim njih kona cno cˇ no mnogo. sa opˇ opstim ˇ sˇtim ˇclanom clanom x n = 2n−1 . Tada je x 1 = 1, 1, x 2 = 2, 2, x 3 = 4, 4, x 4 = 8 Primjer 1.4 Neka je zadat niz sa itd. Primjetimo da su svi ˇclanovi clanovi ovog niza parni brojevi osim prvog ˇclana. clana. Dakle, poˇ pocev cˇ ev od indeksa n0 = 2 svi ˇclanovi clanovi niza su parni brojevi, te kazemo zˇ emo da su skoro svi ˇclanovi clanovi ovog niza parni brojevi. Posmatrajmo niz ( n 5)n∈N . Skoro svi clanovi cˇ lanovi ovog niza su pozitivni jer za n = 1 , 2, 3, 4, 5 vrijednosti su negativne i nula, a za sve n 6 = n0 vrijednosti su pozitivne.  

−

≥

n

Primjer 1.5 Za niz sa opstim sˇ tim clanom cˇ lanom a n = n (−1) ne mozemo zˇ emo reci c´ i da su mu skoro svi clanovi cˇ lanovi veci c´ i od 1. To jeste tacno cˇ no za beskona cno cˇ no mnogo clanova cˇ lanova niza (svi clanovi cˇ lanovi na parnim mjestima, a2n = 2 n), ali za beskona cno cˇ no mnogo njih to nije ta cno cˇ no jer svi clanovi cˇ lanovi na neparnim mjestima su 1 oblika a 2n−1 = 2n−1 te su kao takvi manji ili jednaki 1.  

Predstavljanje nizova Predstavljati nizove moˇ mozemo zˇ emo na dva naˇ nacina. cˇ ina. Iz samog opisa niza kao liste brojeva dobijamo dobijamo prvi nacin, cˇ in, predstavljaju predstavljajuci c´ i clanove cˇ lanove niza na realnoj pravoj. pravoj. Tako bi niz ( 2, 4, 6,..., 14), naznacavaju cˇ avajuci c´ i taˇ tackama ˇ cˇ kama ˇclanove clanove niza, bio predstavljen na narednoj slici x1

-1

0

1

x2

x3

x4

x5

7 2 3 4 5 6 8 9 10 11 Slika 1.1: Predstavljanje niza na realnoj pravoj

x6

12

x7

13

14


4

Predstavljati beskona cne cˇ ne nizove na ovaj na cin cˇ in bio bi problem jer bi se ˇcesto cesto gubila predstava o nizu. ,...) slikom bi bile predstavljene samo dvije ta cke, Tako za niz ( 1, 1, 1, 1,...) cˇ ke, a oznakama a 2n i a2n−1 bi sugerisali parne i neparne pozicije ˇclanova clanova naˇseg seg niza.

−

−

a2n−1

a2n

-3 -2 -1 0 1 2 n Slika 1.2: Niz a n = ( 1) predstavljen na realnoj pravoj.

−

Joˇ Josˇ te ze zˇ e bi bilo predstaviti niz smo samo naznaˇcili cili taˇckama. ckama.



1 ∞ . n n=1

Oznaˇ Oznacili cˇ ili bi prvih nekoliko ˇ nekoliko ˇclanova clanova niza, a dalje ˇ dalje ˇclanove clanove bi

a4a3

a2

a1

0 1 Slika 1.3: Neprakti Nepraktiˇcnost cˇ nost predstavljanja niza na realnoj pravoj.

Bolja, preglednija varijanta predstavljanja niza proizilazi iz ˇcinjenice cinjenice da niz mozemo zˇ emo shvatiti i kao preslikavanje (ˇ (cak cˇ ak je i definisan tako). Ovdje pod preslikavanjem shvatamo ˇ shvatamo ˇcinjenicu cinjenicu da ˇ da ˇclanove clanove ∞ niza numeriˇsemo semo po njihovim pozicijama. Tako niz ( xn )n=1 mo zemo zˇ emo predstaviti tabelom n xn

1 x1

2 x2

3 x3

... ...

k xk

... ...

−→

R, gdje dogovorno koristimo oznaku Ovo znaci cˇ i da niz posmatramo kao preslikavanje x : N uobicajenu cˇ ajenu oznaku za funkcije x (n). Domen ovog preslikavanja je skup prirodnih brojeva xn , a ne uobiˇ i kad god je domen preslikavanja skup N, takvo preslikavanje preslikavanje nazivamo nazivamo niz. Ovo zna ci cˇ i da niz moˇ mozemo zˇ emo predstaviti u obliku grafa. Tako bi niz (2, 4, 6,..., 14,...) ,...), predstavljen grafom izgledao kao na sljedećoj coj slici 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

7

6

Slika 1.4: Grafiˇ Graficki cˇ ki predstavljen niz sa opˇ opstim sˇ tim clanom cˇ lanom x n = 2n. Ovo je sada puno pogodniji naˇ nacin cˇ in za predstavljanje beskonacnih cˇ nih nizova. Grafiˇ Graficki cˇ ki predstavljen niz 1 ∞ ( 1, 1, 1, 1,...) ,...) dat je na donjoj slici (lijevo), a niz n n=1 predstavljen je donjom slikom (desno).

−



−

2 1 1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 0

-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Slika 1.5: Grafi cki cˇ ki predstavljen niz sa Slika Slika 1.6: 1.6: Grafi Graficki cˇ ki predstavljen niz sa op stim sˇ tim n 1 opˇstim stim clanom cˇ lanom x n = ( 1) . clanom cˇ lanom x n = n . Primjetimo da sada nemamo potrebu za pisanjem ˇ pisanjem ˇclanova clanova niza. Jednostavnim ˇ Jednostavnim ˇcitanjem citanjem sa lijeva u desno oˇ ocitavamo cˇ itavamo ˇclanove clanove niza: prvi, drugi, tre´ treci c´ i itd.

−


5

ˇ enost niza 1.1.2 Ograniˇ Ogranicenost c Definicija 1.1.3 Za niz ( xn ) ka zemo zˇ emo da je ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo ako vrijedi: vrijedi:

( M

∃ ∈ R)(∀n ∈ N) x ≤ M . . n

cˇ en odozdo ako vrijedi: Definicija 1.1.4 Niz je ograni cen

( m

∃ ∈ R)(∀n ∈ N) x ≥ m . n

U grafiˇ grafickom cˇ kom predstavljanju niza, ograni cenost cˇ enost odozgo zna ci cˇ i da postoji horizontalna linija iznad koje nema vrijednosti ˇclanova clanova naˇ naseg sˇeg niza. Analogno, ograni cenost cˇ enost odozdo znaˇ znaci cˇ i da moˇ mozemo zˇ emo povu´ povuci c´ i horizontalnu horizontalnu liniju ispod koje nema vrijednosti vrijednosti clanova ˇ niza.

1

2

3

4

5

7

6

8

9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

1

2

Slika 1.7: Niz ograniˇcen cen odozgo.

4

5

6

7

8

9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

Slika 1.8: Niz ograniˇcen cen odozdo.

Primjer 1.6 Niz je zadat op stim sˇ tim clanom cˇ lanom y n = n N, 

∈

3

√

( 1)n n+ n 2 n2 +n+1

−√

(n

∈ N). Tada imamo za proizvoljno proizvoljno

√

( 1)n n + n 2 yn = n2 + n + 1 n n+ 2 n2 + n + 1 n+2 n+2

− √

√

≤ √

≤ √ ≤ n2 2

= 1 +

≤ √ n n++n2+ 1 2

n

3 . n = 3). Dakle, svi ˇ svi ˇclanovi clanovi naˇ naseg sˇ eg niza su manji ili jednaki 3, te je niz ograni cen cˇ en odozgo ( M = 

≤

Primjer 1.7 Niz je zadat op stim sˇ tim ˇclanom clanom x n = n

( 1)

−

−1 + (− ) 1 n

n

(n



∈ N). Kako za svako n ∈ N vrijedi

2, zakljucujemo xn = 1 + n cˇ ujemo da su svi clanovi cˇ lanovi naseg sˇ eg niza veci c´ i ili jednaki 2, te je niz ograniˇcen cen odozdo (m = 2). 

−

≥−

Za niz koji je ograni cen cˇ en i odozgo i odozdo jednostavno ka zemo zˇ emo da je ograniˇ ogranicen cˇ en niz, ili formalno, Definicija 1.1.5 Za niz ( xn ) kazemo zˇ emo da je ogranicen cˇ en ako je skup svih elemenata tog niza xn M za svako n N. Ovo ograni cen, cˇ en, tj. ako ako postoj postojii realan realan broj M 0 takav da je x zapisujemo sa ( M 0)( n N) x . xn M .

≥ ≥ | | ≤ ∈ ∃ ≥ ∀ ∈ | |≤ Primjer 1.8 Neka je niz zadat op stim sˇ tim clanom cˇ lanom x = ( −1) (n ∈ N). Kako je | x x | = |(−1) | = 1, zakljuˇcujemo cujemo da je za sve n ∈ N, | x cen. x | ≤ 1, te je ovaj niz ograniˇcen. 

n

n

n

n



n

ˇ Nizovi u opˇ opstem sˇ tem sluˇ slucaju cˇ aju ne moraju biti ograniˇ ograniceni cˇ eni niti u kojem smislu. Cinjenicu da niz nije ograni cen cˇ en odozgo ili odozdo dobijamo negacijom odgovaraju ceg c´ eg pojma. Tako imamo da je niz neograniˇ neogranicen cˇ en odozgo ako vrijedi vrijedi

( M

∀ ∈ R)(∃n ∈ N) x 0

, n0 > M ,


6

a za neograniˇ neogranicenost cˇ enost odozdo

( m

∀ ∈ R)(∃n ∈ N) x 0

n0 < m .

n

Primjer 1.9 Niz zadat opˇ opstim ˇ sˇtim ˇclanom clanom x n = n(−1) nije ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo. Zaista, neka je M R proizvoljan. Prema Arhimedovom aksiomu postoji prirodan broj n 0 > M . Bez umanjenja opˇ opstosti sˇtosti

∈



( 1)n0

−

= n 0 > M . Dakle, za proizvoljno neka je n 0 paran broj. Tada je x n0 = n 0 proizvoljno izabranu (veliku) (veliku) vrijednost, postoji ˇ postoji ˇclan clan naˇ naseg sˇ eg niza koji ju ”preskoˇ ”preskoci”, cˇ i”, te niz nije ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo. Primjetimo da kada bi uzeli (n0 + 1)-ti ˇ -ti ˇclan clan naˇ naseg sˇeg niza imali bi x n0 +1 = n 1+1 < M . Ovime istiˇ isti cemo cˇ emo 0 da u negaciji pojma neograni cenosti cˇ enosti niza zahtjevamo postojanje bar jednog clana cˇ lana niza koji ce c´ e ”preskoˇ ”preskociti” cˇ iti” zadanu vrijednost, a ne da to vrijedi za sve ˇ sve ˇclanove clanove niza iza n 0 -tog. Primjetimo da su svi clanovi cˇ lanovi ovog niza pozitivni brojevi, pa je ovaj niz ograniˇcen cen odozdo.  Za nizove uvodimo jo sˇ jedan pojam slican, cˇ an, ali kao ˇsto sto cemo c´ emo vidjeti, ipak ne i jednak pojmu neograniˇ neogranicenosti. cˇ enosti. zˇ emo da je beskonaˇcno cno velik ako i samo ako vrijedi Definicija 1.1.6 Za niz ( xn )n∈N ka zemo

( M > > 0)( n0

∃ ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ | x x | > M ) . Primjer 1.10 Posmatrajmo niz zadat √ > 0 proizvoljna opstim sˇ tim ˇclanom clanom x = ( −1) n . Neka je M > realna konstanta. Stavimo da je n = [ M ] + 1. Jasno je zbog definicije funkcije ”antije” da je n ∈ N. Izaberimo sada proizvoljno n ≥ n . Sada imamo, | x x | = |(−1) n | = n ≥ n > M . . ∀

0



n 3

n

0

n

3

0

0

n 3

n

3

3 0

N aosnovu Definicije 1.1.6 Definicije 1.1.6 zakljuˇ zakljuˇcujemo cujemo da je dati niz beskonaˇcno cno veliki.



U negaciji pojma ograni cenosti cˇ enosti niza odozgo zahtjevamo da za svaku konstantu M postoji (postoji bar jedan) ˇclan clan niza cija cˇ ija je vrijednost ve ca c´ a od M , dok u pojmu beskona cno cˇ no velikog niza zahtjevamo da su svi ˇ svi ˇclanovi clanovi niza, poˇ pocev cˇ ev od nekog, po apsolutnoj vrijednosti ve´ veci c´ i od M . Iz ovoga slijedi da je svaki beskona cno cˇ no veliki niz ujedno i neograni cen. cˇ en. Medutim, obrat ne vrijedi, tj. niz moˇze ze biti neograniˇcen cen a da nije beskonaˇcno cno veliki. Primjer 1.11 Posmatrajmo niz zadat op stim sˇ tim clanom cˇ lanom x n = (1 ( 1)n )n. Neka je M R+ proizvoljan. izvoljan. Dovoljno Dovoljno je izabrati prvi neparni prirodni prirodni broj ve ci c´ i od M i zakljuciti cˇ iti da tada vrijedi xn = 2n > n > M , te je niz neograni cen cˇ en odozgo. Medutim, za naredni prirodni broj, koji je onda paran, je x n+1 = 0 < M te te dakle zakljucujemo cˇ ujemo da nisu svi ˇclanovi clanovi naˇ naseg sˇeg niza iza n-tog ˇ -tog ˇclana clana ve´ veci c´ i od cno veliki. M , a time niz nije beskonaˇcno 

−−



1.1.3

∈ ∈

Monotonost niza

Definicija 1.1.7 Za niz ( xn ) ka zemo zˇ emo da je strogo monotono rastući ci ako za skoro sve clanove cˇ lanove niza vrijedi x n+1 > xn . monotono rastu´ rastuci c´ i (neopadaju´ (neopadajuci) c´ i) ako za skoro sve ˇ sve ˇclanove clanove niza vrijedi x n+1 xn . strogo monotono opadajući ako za skoro sve clanove cˇ lanove niza vrijedi x n+1 < xn . monotono opadajući ci (nerastući) ci) ako za skoro sve ˇclanove clanove niza vrijedi x n+1 xn . Za niz koji posjeduje posjeduje bilo koju od navedenih navedenih osobina kaˇ kazemo zˇ emo da je monoton niz.

• • • •

≥ ≤

Najce cˇ esˇ ce c´ e tehnike ispitivanja monotonosti su posmatranje koli cnika cˇ nika ili razlike dva uzastopna clana cˇ lana niza. Tako naprimjer, naprimjer, ako su skoro svi clanovi cˇ lanovi niza istog znaka i za proizvoljno dovoljno veliko n N vaˇzi: zi:

∈

 ≥  ≤

> 0

xn+1

− x

n

0 < 0 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

niz je strogo monotono rastući ci niz je neopadaju´ neopadajući ci niz je strogo monotono opadaju´ opadajuci c´ i niz je nerastu´ nerastući ci

.


7

 ≥  ≤

> 1

xn+1 xn

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 < 1 1

niz je strogo monotono monotono rastu rastući c´ i niz je neopadaju´ neopadajući ci niz je strogo monotono monotono opadaju opadajući c´ i niz je nerastu nerastuci c´ i

.

Napomenimo da gornji kriterij koli cnika cˇ nika vrijedi ako su clanovi cˇ lanovi niza pozitivni. pozitivni. Ako su clanovi cˇ lanovi niza negativni sve nejednakosti treba obrnuti. Ako radimo sa nizovima ˇ nizovima ˇciji ciji su ˇ su ˇclanovi clanovi i pozitivni i negativni, jasno je da tada ne postoji nikakva monotonost tog niza. Primjer 1.12 Niz x n = 1n je strogo monotono opadaju´ opadajuci c´ i jer za proizvoljno n pozitivni i imamo 1 1 1 = < 0 . xn+1 xn = n+1 n n(n + 1) 

−

∈ N ˇclanovi clanovi niza su

−

−



n je strogo monotono rastu ci c´ i jer je za proizvoljno n Primjer 1.13 Niz x n = n+ 1 pozitivni i vrijedi, 

xn+1 xn

=

n+1 n+2 n n+1

∈ N ˇclanovi clanovi niza su

1 n2 + 2n + 1 (n + 1)2 1 = = = + > 1 . n(n + 2) n2 + 2n n2 + 2n 

Primjer 1.14 Neka je op sti sˇ ti ˇclan clan niza dat sa x n = 1−n2n . Primjetimo da je za svako n N xn < 0 tojest, radimo sa nizom ciju cˇ iju su svi clanovi cˇ lanovi negativni. negativni. Ako posmatramo koli cnik cˇ nik dva uzastopna clana, cˇ lana,

∈



xn+1 xn

=

n+1 1 2(n+1) n 1 2n

−

2

=

−

−2n − n + 1 = 1 − 1 < 1 , −2n − n 2n + n 2

2

kao sto sˇ to smo napomenuli, napomenuli, zakljuˇcak cak iz ove informacije informacije je da niz strogo monotono raste.



U opstem sˇ tem slucaju cˇ aju niz ne mora imati niti jedan od navedenih oblika monotonosti. Naprimjer, n niz x n = ( 1) uzima vrijednosti 1, 1, 1, 1,..., a ako bi smo se poslu zili zˇ ili jednim od kriterija ispitivanja monotonosti imali bi,

−

−

xn+1

−

− x = n

 −

2 2

; n paran ; n neparan

i konstat konstatov ovali ali bi nemonot nemonotonos onostt niza. niza. Ovakv Ovakvu u vrstu nizova nizova nazivamo nazivamo oscilatorn oscilatornii nizovi. nizovi. I niz prikazan grafiˇ graficki cˇ ki na sljede´ sljedecoj c´ oj slici je primjer nemonotonog niza, a koji nije oscilatoran.

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

Slika 1.9: Niz koji nije monoton.

1.1.4

Konvergencija nizova U matematiˇ matematickoj cˇ koj analizi prou cava cˇ ava se ponaˇ pona sanje sˇanje clanova cˇ lanova niza kada njihov indeks neograni ceno cˇ eno raste, tj. kada indeks ”teˇ ”tezi zˇ i u beskonaˇ beskona cnost”. cˇ nost”. Ova naizgled jednostavna problematika fundamentalna je za prouˇ proucavanje cˇ avanje osobina realnih i kompleksnih brojeva, skupova i funkcija, a samim tim i u konkretnim primjenama matematike.


8

ˇclanova Idej Idejaa je da se prou prouˇcava cˇ ava ”gomilanj ”gomilanje” e” ˇ clanova niza oko neke konkretn konkretnee vrijednos vrijednosti. ti. Tako naprimjer naprimjer,,

clanovi cˇ lanovi

nizova ( 1n ) i

  ( 1)n

−

n2

”gomilaju se” oko nule, tj. sve su bli ze zˇ e nuli kako indeks n postaje

veći, ci, sto sˇ to moˇzemo zemo naslutiti naslutiti ako izraˇcunamo cunamo po nekoliko clanova cˇ lanova ovih nizova, 1 1 1 1 1, , , , ,... 2 3 4 5

Za clanove cˇ lanove niza ciji cˇ iji je op sti sˇ ti clan cˇ lan dat sa x n = kada se n pove´ povecava c´ ava jer je naprimjer 0 < x 2n−1 =

− 1, 14 , − 19 , 161 , ...... . 2+( 1)n n

−

1 2n

−1

ne bismo mogli tvrditi da su su sve sve blize zˇ e nuli

<

3 2n

= x 2n ,

iz ˇ iz ˇcega cega vidimo da je x 2n na ve´ vecoj c´ oj udaljenosti od nule nego njemu prethode ci ˇ c´ i ˇclan. clan. Medutim, i ovde se moˇ moze zˇ e uoˇ uociti cˇ iti neko gomilanje oko nule, ˇsto sto se ponovo vidi ako se izra cuna cˇ una nekoliko prvih ˇclanova clanova 3 1 3 1 niza, 1 niza, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,.... Naime, ako izaberemo proizvoljno malen broj ε > 0, 0, svi ˇ svi ˇclanovi clanovi niza ´ niza će ce biti manji od ε , samo ako posmatramo dovoljno ”daleke” clanov cˇ lanovee u datom datom nizu. Zaista, Zaista, nije te sko sˇ ko vidjeti da za proizvoljno n N vrijedi

∈

xn =

2 + ( 1)n

− ≤3, n n

pa je dovoljno posmatrati posmatrati clanove cˇlanove niza ciji cˇ iji je indeks n > ε 3 , da bi bilo zadovoljeno x n < ε . Primjetimo da smo u gornjem primjeru pokazali da za proizvoljno ε > 0 svi clanovi cˇ lanovi niza, pocev cˇ evsi sˇ i od nekog indeksa n 0 , zadovoljavaju nejednakost x n < ε , tj. oni se gomilaju oko ta cke cˇ ke 0. Ovo je globalna ideja kojom se uvodi pojam konvergencije. Kazemo zˇ emo da je realan broj a graniˇ granicna cˇ na vrijednost ili limes niza ( xn ) ako za svako Definicija 1.1.8 Kaˇ ε > > 0 , postoji prirodan broj n0 zavisan od ε , takav da za svaki prirodan broj n n0 vrijedi sˇ to jednostavnije izraˇzavamo zavamo matematiˇckom ckom simbolikom sa x xn a < ε , sto

≥

| −| ⇒|| x x − a| < ε ) . (∀ε > > 0)(∃n (ε ) ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ 0

n

0

(1.1)

Gornju ˇ Gornju ˇcinjenicu cinjenicu zapisujemo sa lim xn = a → +∞

ili xn

n

Ako je lim xn = a

→+∞

n

→ a (n → +∞) .

∈ R, kazemo zˇ emo da niz ( x ) konvergira ka a i citamo cˇ itamo ”opsti sˇ ti clan cˇ lan niza te zi zˇ i ka a n

kada n tezi zˇ i u beskonacnost”. cˇ nost”. U tom slucaju cˇ aju za tacku cˇ ku a kazemo zˇ emo da je ta cka cˇ ka konvergencije, konvergencije, grani cna cˇ na vrijednost ili limes niza ( xn ). Pri tome je jasno jasno da je niz konver konvergent gentan an ako i samo ako postoji postoji lim xn = a R. U suprotnom, ako niz nije konvergentan kaˇ ka zemo zˇ emo da je divergentan.

∈

→+∞

n

Istaknimo joˇ josˇ jednom da ”postoje ci” c´ i” n 0 u (1.1) zavisi 1.1) zavisi od ”proizvoljno izabranog” ε . Ovo znaˇ znaci cˇ i da za jedno konkretno ε > 0 postoji njemu odgovaraju ci c´ i n 0 N, ali ako promjenimo ε moramo prona´ pronaci c´ i neko novo n 0 .

∈

1

1

ε

ε

0

−ε

1 ε

0

1

2

3

4

5

6 7

8

9

−ε

1 2 3 4 5 6

7

8

9

−0ε

1

2

3

4

Slika 1.10: Izvan ε -okoline nalazi se konaˇ konacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova niza.

5

6 7

8

9


9

Primjer 1.15 Posmatrajmo niz sa opstim sˇ tim clanom cˇ lanom xn = nekoliko nekoliko prvih clanova cˇlanova ovog niza: 1 2 3 4 5 6 7 n 

n 2n

≈

0 .5 .5

0 .5 .5

0 .3 .375

0.25

0.1 56 5625

0.09 37 375

n . 2n

0.054 68 6875

U narednoj narednoj tabeli predsta predstavlja vljamo mo 8

9

0.03 12 125

0.017 57 5781

10 0.00 97 97656 2

Izaberemo li ε = 0.1 vidimo da ´ da će ce nejednakost

 −  n

0 < 0.1 ,

2n

01, onda ´ = 0.01, biti zadovoljena po cev cˇ ev od indeksa niza n0 = 6. Ako izaberemo da je ε = onda će ce odgovaraju odgovarajuća c´ a nejednakost biti zadovoljena po cev cˇ ev od desetog ˇ desetog ˇclana clana naˇ naseg sˇeg niza. Korisrte ci c´ i se kalkulatorom mo zemo zˇ emo vidjeti da ´ da će ce vrijediti:

≥ 1 onda je n ≥ 6 onda je n ≥ 10 onda je n ≥ 15 onda je n ≥ 19 onda je n ≥ 23 onda je n

 −   −   −   −   −   −  n

0 < 1

2n n 2n n 2n n 2n n 2n n 2n

0 < 0.1 0 < 0.01 0 < 0.001 0 < 0.0001 0 < 0.00001

Iz ovoga jasno vidimo zavisnost veli cine cˇ ine n0 o izabranom ε . Tako imamo n0 (1) = 1, n0 (0.1) = 6, n0 (0.01) = 10, n 0 (0.001) = 15, n 0 (0.0001) = 19 itd. 

Kasnije cemo c´ emo vidjeti da je mogu ce c´ e utvrditi da je niz konvergentan, a da pri tome ne znamo njegovu graniˇ grani cnu cˇ nu vrijednost. Za sada jedini na cin cˇ in da odredimo grani cnu cˇ nu vrijednost nekog niza je da pretpostavimo (izracunavanjem cˇ unavanjem prvih nekoliko ˇclanova clanova niza) da je lim xn = a, za neko a , a zatim

→+∞

n

da to dokaˇzemo zemo provjeravajući ci uslov iz Definicije 1.1.8. Definicije 1.1.8. 

Definicije 1.1.8 smo smo pokazali da je Primjer 1.16 U primjeru ispred Definicije 1.1.8 lim

2 + ( 1)n

−

n

→+∞

n

Na sliˇ slican cˇ an naˇ nacin cˇ in se se pokazu pokazuje je da je lim

1

→+∞ n

n

= 0 . n

= 0 ili ili lim lim

Pokazimo zˇ imo prvu relaciju. →+∞ n + 1 = 1. Pokaˇ

n

> 0 proizvoljno. Neka je ε > proizvoljno. Nejednakost Nejednakost 1n < ε ekvivalentna je sa n > ε 1 , pa ako stavimo da je n0 = 1ε + 1, uslov iz Definicije 1.1.8 bit 1.1.8 bit ce c´ e zadovoljen za svako n N koji zadovoljava uslov 1 n n0 tojest, vazit zˇ it ce c´ e n 0 < ε . Ovaj niz i njegovu grani cnu cˇ nu vrijednost isti cemo cˇ emo kao bitne za mnoga dalja razmatranja.

≥



∈

| − |

1

→∞ n = 0

lim

n



Postoji viˇse se ekvivalentnih oblika uslova (1.1 (1.1). ). Tako moˇzemo zemo pisati

(

∀ε > x − a| < ε , > 0)(∃n (ε ) ∈ N)(∀n ≥ n ) | x 0

0

n


10

gdje u dijelu ”( n n 0 )” podrazumijevamo da je n N. Takod akode, e, znak ”<” u (1.1) 1.1) mozemo zˇ emo zamijeniti sa znakom ” ”, a znak ” ” znakom ”>”. Osim toga, umjesto ”( n0 N)( n n0 )” moˇ mozemo zˇ emo pisati ” ( y0 R)( n y0 )”. Ovu posljednju zamjenu naro cito cˇ ito dobro mozemo zˇ emo koristiti da bi izbjegli koriˇ koristenje sˇtenje funkcija ”floor”, ”ceiling” ili ”antije”.

∀ ≥ ≤ ≥ ∃ ∈ ∀ ≥

∈

∃ ∈ ∀ ≥

1



cˇ lanova ovog niza Primjer 1.17 Neka je x n = 2 n . Posmatramo li nekoliko prvih clanova 1

1

x1 = 21 = 2 , x2 = 2 2 = 1, 41... , x3 = 2 3 = 1, 26... , 1

1

x4 = 2 4 = 1, 19... , ... , x10 = 2 10 = 1, 07... ,

vidimo da se vrijednosti umanjuju i da se ”kre cu” c´ u” ka 1, tj. ”osje camo” c´ amo” da je lim xn = 1. Ali ovakvo

→+∞

n

razmisljanje sˇ ljanje ni u kom slu caju cˇ aju ne predstavlja dokaz ove tvrdnje. Da bi to dokazali razmi sljajmo sˇ ljajmo ovako: 1 1 Kako je xn = 2 n > 2 0 = 1 za svako n N, tada je nejednakost 2 n 1 < ε ekvivalentna sa 1 log2 2 n < 1 + ε , ˇsto sto nakon logaritmovanja daje ekvivalentno n > log (1+ε ) . Ovo onda znaci cˇ i da za svako

∈

| − |

log2

> 0, postoji y0 = log (1+ε ) , takav da je za svaki prirodan broj n, za koga vrijedi n > y0 , zadovoljena zadovoljena ε > nejednakost x sto prema Definiciji 1.1.8 Definiciji 1.1.8 zna zna ci cˇ i da je lim lim xn = 1. xn 1 < ε , ˇsto  n +∞

| −|

→

Na isti naˇcin cin se pokazuje opˇsti sti sluˇcaj caj koga istiˇcemo cemo kao vaˇzan zan limes,

n

lim

→+∞

√ a = 1 n

, (a > 0)

∈

cke a R je proizvoljan p roizvoljan otvoren interval koji sadrˇzi zi taˇcku cku a . Definicija 1.1.9 Okolina taˇcke Otvoreni interval (a ε , a + ε ) duzine zˇ ine 2ε sa centrom u ta cki cˇ ki a R, naziva se simetri cna cˇ na tacke cˇ ke a ili samo ε -okolina taˇ tacke cˇ ke a . ε -okolina taˇ

−

∈

Nejednakost x koristeci c´ i poznati stav za apsolutnu vrijednost, mo zemo zˇ emo zapisati i kao xn a < ε , koriste´ < x n < a + ε , sto a ε < sˇ to je opet ekvivalentno sa tim da x n (a ε , a + ε ). Koriste Koristeci c´ i sve receno, cˇ eno, Definiciju 1.1.8 Definiciju 1.1.8 mo mo zemo zˇ emo iskazati ekvivalentno u sljedećem cem obliku.

| −|

−

∈ −

Kazemo zˇ emo da niz ( xn ) konvergira ka ta cki cˇ ki a Definicija 1.1.10 Kaˇ clanovi niza. a nalaze skoro svi ˇclanovi

∈ R ako se u svakoj ε -okolini taˇ ta cke cˇ ke

Ako se skoro svi clanovi cˇ lanovi niza nalaze u nekoj ε 0 -okolini tacke cˇ ke a , onda to isto va zi zˇ i i za svaku ε -okolinu, gdje je ε > ε 0 . Iz ovoga ovoga je jasno da je uslov uslov Definicije Definicije 1.1.8 ili 1.1.8 ili njoj ekvivalentne Definicije 1.1.10, dovoljno pokazati za malo ε , odnosno za 0 < ε < ε 0 , gdje je ε 0 proizvoljan pozitivan broj. Niz ˇciji ciji je opˇ opsti ˇ sˇti ˇclan clan x n = ( 1)n nije konvergentan. konvergentan. Zaista, pretpostavimo suprotno, Primjer 1.18 Niz ˇ tj. da je za neko a R, lim xn = a. Kako su svi ˇclanovi clanovi datog niza jednaki ili 1 ili 1, to znaˇ znaci cˇ i da

−



∈

n

−

→+∞

se oba ta broja moraju nalaziti u proizvoljnoj ε -okolini ta cke cˇ ke a. Medutim, to o cigledno cˇ igledno nije mogu ce c´ e 1 jer izaberemo li ε < 2 tada nije mogu ce c´ e da oba broja i 1 i 1 i i 1 budu u intervalu (a ε , a + ε ), ˇcija cija je duˇ duzina zˇ ina manja od 1. 

−

1.1.5

−

Osobine konverge konvergentnih ntnih nizova nizova Metriˇ Metricku cˇ ku osobinu konvergencije numeriˇ numerickog cˇ kog niza iskazujemo sljede´ sljedecom c´ om tvrdnjom. Teorem 1.1.1 Neka je ( xn )n∈N niz u R i x ∗ 0 (n d ( xn , x∗ ) ∞).

→

→

∈ R. Tada vrijedi: x → x∗ ( n → ∞) ako i samo ako n


11

Prema definiciji konvergencije niza ( xn ) imamo da za proizvoljno ε > 0, 0, postoji n 0 N, Dokaz : Dokaz : Prema ∗ tako da za svaki prirodan broj n n0 vrijedi x xn x < ε sto sˇ to je zbog metrike na R (udaljenost izmedu dvije taˇcke cke x i y u R data je sa d ( x, y) = x x y ) ekvivalentno sa d ( xn , x∗ ) < ε .

≥

∈

| − | |−|

♣

Pored pitanja o egzistenciji graniˇ granicne cˇ ne vrijednosti niza, drugo najvaˇ najvaznije zˇ nije pitanje je njena jedinstvenost. To iskazujemo sljede´ sljedecim c´ im tvrdenjem. granicnu cˇ nu vrijednost onda je ona jedinstvena. Teorem 1.1.2 Ako niz ima graniˇ Dokaz : Dokaz : Pretpostavimo da vrijedi lim xn = a → +∞

n

i

lim xn = b . → +∞

n

Ako je a = b, onda postoji ε > 0 takvo 0 takvo da ε -okoline oko ta caka cˇ aka a i b budu disjunktne ( dovoljno je b−a uzeti da je ε = 2 ). Na osnovu osnovu Definicije Definicije 1.1.10 1.1.10 zaklju zakljuˇcujemo cˇ ujemo onda da su svi ˇ svi ˇclanovi clanovi niza ( xn ), poˇ pocev cˇ ev od nekog indeksa n1 , u ε -okolini broja a , ali isto tako bi morali svi ˇclanovi clanovi naˇ naseg sˇeg niza, po cev cˇ ev od nekog indeksa n 2 , biti u ε -okolini taˇ tacke cˇ ke b . Ako posmatramo ˇ posmatramo ˇclanove clanove niza ˇ niza ˇciji ciji su indeksi ve´ veci c´ i i od n 1 i od n 2 , zakljuˇ zakljucili cˇ ili bi smo da se oni nalaze i u jednoj i u drugoj ε -okolini, ˇ -okolini, ˇsto sto nije u saglasnosti sa disjunktnoˇs´ scu c´ u tih okolina. okolina.



♣

ograni cen. cˇ en. Teorem 1.1.3 Svaki konvergentan niz je ograniˇ Dokaz : Dokaz : Neka je niz ( xn ) konverge konvergentan, ntan, tj. neka je lim xn = a

→∞

n

∈ R. Neka je ε > > 0 proizvoljno,

naprimjer neka je ε = 1 . Na osnovu definicije konverge konvergencije, ncije, svi clanovi cˇ lanovi niza, po cev cˇ ev od nekog indeksa n 0 , pripadaju okolini ( a 1, a + 1), odnosno van ove okoline se nalazi kona cno cˇ no mnogo clanova cˇ lanova niza. Neka je m1 najmanja vrijednost i M 1 najve´ najveca c´ a vrijednost od tih kona cno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova koji koji su van van okoline. okoline. Ozna Ozna cimo cˇ imo sa m = min a 1, m1 i M = max a + 1, M 1 . Tada ocigledno cˇ igledno vrijedi ( n N) m xn M , ,

−

{− } ∀ ∈ ≤ ≤

sto sˇ to predstavlja ograniˇ ogranicenost cˇ enost niza.

{

}

♣

Ogranicenost cˇ enost niza je prema Teoremi 1.1.3, Teoremi 1.1.3, potreban potreban uslov konvergencije. Da to nije i dovoljan n uslov, pokazuje primjer niza (( 1) ) koji jeste ograni cen, cˇ en, ali kao sto sˇ to je ranije pokazano nije konvergentan. U sljede´ sljedecim c´ im teoremama pokazat ´ pokazat ćemo cemo vezu limesa i osnovnih algebarskih operacija. U mnogim dokazima koji slijede koristit ćemo cemo se poznatom osobinom nejednakosti trougla, naime ako znamo da je a b < ε i b c < ε , tada imamo

−

|−|

|−| |a − c| = |a − b + b − c| ≤ |a − b| + |b − c| < 2ε . .

nizovi ( xn ) i ( yn ). Teorem 1.1.4 Neka su dati nizovi 1. Ako Ako je je x n = c R za skoro svako n N, tada tada je lim lim xn = c.

∈

∈

2. Neka je lim xn = x i lim yn = y ( x, y n

→+∞

→+∞

n

Tada vaˇ vazi: zˇ i: (a) lim (axn + byn ) = ax + by.

→+∞ lim ( xn + c) = x + c. n→+∞ lim ( xn · yn ) = x · y. n→+∞ lim (cxn ) = c · x. n→+∞ n

(b) (c) (d)

→+∞

n

∈ R) i neka su a , b i c proizvoljni realni brojevi.


12

xn

x

= , ako je y = 0 i y n = 0 za n

  →+∞ yn y lim ( xn )k = x k , za proizvoljno k ∈ N. n→+∞

(e)

n

(f)

lim

∈ N.

cinjenice da se broj c nalazi u svakoj svojoj okolini. Dokaz : Dokaz : Tvrdenje 1. je posljedica ˇcinjenice 2. Neka je lim xn = x i lim yn = y. Neka je ε > 0 proizvoljan. Pocev cˇ evsi sˇ i od nekog indeksa n 1 svi

→+∞

→+∞

n

n

clanovi cˇ lanovi niza ( xn ) su u ε -okolini taˇ tacke cˇ ke x . Isto tako, od nekog indeksa n 2 svi ˇclanovi clanovi niza ( yn ) su u cˇ ke y . Stavimo n 0 = max n1 , n2 . Tada su za svako n n0 ispunjene obje nejednakosti ε -okolini ta cke

{

}

≥

| x x − x| < ε i | y y − y| < ε , pa iz nejednakosti trougla slijedi za n ≥ n |ax + by − (ax + by)| = |ax − ax + by − by| ≤ |a|| x x − x| + |b|| y y − y| ≤ (|a| + |b|)ε . . Kako je |a| + |b| fiksan realan broj, a ε proizvoljan malen broj, to je i (|a| + |b|)ε proizvoljno proizvoljno malen n

n

0

n

n

n

n

n

n

broj pa vrijedi

lim (axn + byn ) = ax + by . → +∞

n

Tvrdenje ( b) u 2. je direktna posljedica tvrdenja 2 tvrdenja 2 .(a) i 1. uzimaju´ uzimajuci c´ i y n = c i stavljaju´ stavljajuci c´ i da je a = b = 1. Dokazimo zˇ imo tvrdenje (c). Neka je je lim xn = x i lim yn = y . Neka je ε > 0 proizvoljan.

→+∞

n

Primjenom nejednakosti trougla imamo

n

→+∞

(1.2) | x x y − xy| = | x x y − xy + xy − xy| ≤ | y y || x x − x| + | x x|| y y − y| . Na osnovu Teorema 1.1.3, Teorema 1.1.3, postoji postoji realan broj M ≥ 0, takav da je | y za sve n ∈ N. Sada kao i y | ≤ M za x − x| < ε i | y y − y| < ε , pa iz (1.2 u dokazu tvrdenja ( a), postoji n ∈ N takav da je za n ≥ n , | x (1.2)) imamo | x x y − xy| ≤ ( M + | x x|)ε n n

n n

n

n

n

n

n

n

0

n

0

n

n n

ˇ ime je tvrdenje dokazano. ccime Tvrdenje (d ) je direktna posljedica posljedica tvrdenja tvrdenja pod 1. i 2. (c). Dokazimo zˇ imo i tvrdnju ( e). Neka je lim xn = x i lim yn = y, gdje je y = 0. Ponovo primjenom

→+∞

nejednakosti trougla imamo



xn yn

=

 −  x y

| y y|| x x − x| + | x x|| y y − y| . | y y || y y| n

=





→+∞

n

n

−

xn y yn x yn y

 ≤ |

x xn y xy + xy xy yn x

− | | − | | y y || y y| n

n

(1.3)

n

Za proizvoljno ε > 0 postoji 0 postoji n 0 , takvo da je x cˇ im je n n0 . Prema tome, xn x < ε i y yn y < ε cim brojilac posljednjeg razlomka je manji od ( x x + y y )ε . Kako je y = 0, 0, postoji neko δ > 0 takvo 0 takvo da interval ( δ , δ ) nema zajedniˇ zajednickih cˇ kih taˇ tacaka cˇ aka sa intervalom

| −| || ||



| −|

−

≥

svi ˇclanovi clanovi niza ( y ( y − δ , y + δ ) ( npr. uzeti δ = | y y| ). U intervalu ( y − δ , y + δ ) nalaze se svi ˇ 2

| |≥ { }

od nekog indeksa n1 , pa je y yn δ za n od δ y y . Dakle, Dakle, ako je n max n0 , n1 onda je

||

≥



pocevˇ cˇ evsi sˇi n ) poˇ

≥ n , pa je imenilac u posljednjem razlomku u (1.3 (1.3)) ve´ veci c´ i

xn yn

1

 −  ≤ | | | || | x

x x + y y

y

δ y y

ε , ,


13

pri ˇ pri ˇcemu cemu δ ne zavisi od ε . Time Time je dokaz zavrˇ zavrsen. sˇ en. Dokaz za ( f ) ostavljen za vjeˇzbu. zbu.

♣

Prethodni teorem nam govori o pravilima u radu sa konvergentnim nizovima. Tako nam pravilo 2.(a) govori da je limes zbira ili razlike, zbir ili razlika limesa pojedinaˇcnih cnih nizova, ili lim (axn + byn ) = a lim xn + b lim yn , → n→+∞ n→+∞ +∞

n

2.(c) nam govori da je limes proizvoda jednak proizvodu limesa, n

lim xn yn = lim xn · lim yn , → n→+∞ n→+∞ +∞

a 2.(d) da je limes koli cnika cˇ nika jednak koliˇ kolicniku cˇ niku limesa, lim xn → +∞ = lim yn n→+∞

xn

n

lim → +∞ yn

n

.

Josˇ jednom napomenimo da sve ovo vrijedi ako radimo sa konvergentnim nizovima. Ilustrujmo primjenu gornjeg tvrdenja na nekoliko primjera. 

Izracuna cˇ unati ti:: lim lim Primjer 1.19 Izraˇ

→+∞

n

·

1 n

3 2 +2 3

·

1 n



.

√

Koriste´ Koristeci c´ i pravilo 2.(a) i ranije pokazani limes niza ( n a) imamo da je

n

lim

→+∞

·

1 n

3 2 +2 3

·

1 n



= lim

→+∞

n

·  3 2

= 3 lim lim

n→+∞

1 n

√ n

·  1

+ lim

→+√ ∞

n

2 + 2 lim lim

n

2 3n

3

n→+∞

= 3 1 + 2 1 = 5 .

·

·





    1


n

→+∞

n

+6 .

Koriste´ Koristeci c´ i pravilo 2.(b) imamo

n

lim

→+∞

1

n

+ 6 = lim

1

lim 6 = 0 + 6 = 6 . →+∞ n + n→ +∞

n





Primjer 1.21 Izraˇ Izracuna cˇ unati ti:: lim lim

1

→+∞ n4 .

n

Koriste´ Koristeci c´ i pravilo 2.( f ) imamo

1

lim 4 = lim n→+∞ → +∞ n

n

   1

n

4

=

1

lim → +∞ n

n

4

= 04 = 0 . 

I naredni teorem predstavlja pravilo u radu sa konvergentnim nizovima. Teorem 1.1.5 Ako je lim xn = x∗ , onda vrijedi lim x xn = x x∗ .

→∞

n

n

→∞ |

| | |

Dokaz : Dokaz : Dokaz je neposredna posljedica poznate nejednakosti za apsolutnu vrijednost,

||a| − |b||≤|a − b| .


14

♣ Ova ˇ Ova ˇcinjenica cinjenica predstavlja osobinu funkcije apsolutne vrijednosti i zna ci cˇ i da limes konvergentnog konvergentnog niza ”prolazi” kroz apsolutnu vrijednost, tj. citamo cˇ itamo je kao pravilo da ako je ( xn ) konvergentan niz, onda vrijedi lim x xn = lim xn . n

→∞ |

| |→ | n

∞

Obrat ove tvrdnje u op stem sˇ tem slucaju cˇ aju nije tacan. cˇ an. Naime, Naime, ako posmatramo posmatramo niz sa op stim sˇ tim clanom cˇ lanom n n 1, ali lim xn = lim ( 1) ne postoji, pa xn = ( 1) (n N), jasno je da vrijedi lim x xn = lim 1 = 1,

−

∈

→∞ |

|

n

→∞

n

n

→∞

→∞

n

−

se o jednakosti ovih limesa ne moˇze ze ni govoriti. Medu konver konvergent gentnim nim nizovima nizovima,, posebnu posebnu ulogu ulogu imaju imaju nizovi nizovi koji konver konvergiraj giraju u ka nuli. nuli. zˇ i lim xn = 0, nazivamo nula-niz. Definicija 1.1.11 Niz ( xn ) za koga va zi n

→+∞

Prema definiciji konvergencije, za nula-niz ( xn ) vrijedi,

(

∀ε > x | < ε ) , > 0)(∃n ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ | x 0

0

n

tojest, poˇ pocev cˇ ev od nekog indeksa vrijednosti ˇ vrijednosti ˇclanova clanova niza su proizvoljno male, pa za ovakve nizove kaˇzemo zemo i da su ”beskonaˇcno cno mali”. Primjer 1.22 Neka je q R takav da je q < 1. Pokaˇ Pokazimo zˇ imo da je geometrijski niz xn = qn nula-niz. Uzmimo proizvoljno 0 proizvoljno 0 < ε < 1 (uvijek 1 (uvijek podrazumijevamo da je ε malen pozitivan pozitivan broj). Neka je log ε + 1. Kako je q < 1 i ε < 1, to je log ε < < 0 i log q < 0 pa je n 0 N. Neka je sada n0 = log q ce rasudivanje, n n0 proizvoljan prirodan broj. Sada imamo sljedeće

∈



≥

||

  n

||

||

≥n

  ⇒ ≥

0

log ε log q

n

||

||

log ε log q

+ 1 >

||

⇒ n log |q| < log ε ⇒ log |q| < log ε ⇒ |q| = |q | < ε n

n

∈

(nejednakost se mjenja zbog negativnosti logaritma) (pravilo logaritma)

n

(logaritam je monotono rastuća funkcija) .

Dakle, Dakle, zbog svega svega re cenog cˇ enog vrijedi

(

n

∀ε > > 0)(∃n ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ |q | < ε ) ⇔ 0

0

lim qn = 0 .

→∞

n



Kao veoma vaˇ vazan zˇ an limes istiˇ isticemo cˇ emo i gornji rezultat lim qn = 0 , q < 1

||

→+∞

n



Primjer 1.23 Neka je p > 0, tada je lim

1

→∞ n p = 0.

n

Za proizvoljno proizvoljno ε > 0 neka je y = 1 n p

< ε . Kako je

1 n p

 1

1 p

ε

> 0 za svako n

∈

. Tada je za prirodan broj n > y zadovoljeno n p > ε 1 , odnosno 1 zakljucujemo cˇ ujemo da je za n > y, p 0 < ε . N, zakljuˇ  n



 − 

Zapravo, ispitivanje ispitivanje proizvoljnog konvergentnog konvergentnog niza se mo ze zˇ e svesti na ispitivanje nula-niza. O tome govori naredno tvrdenje.


15

Teorem 1.1.6 Niz ( xn )n∈N konvergira ka x ∗

∈ R ako i samo ako je ( x − x∗) ∈

n N nula-niz.

n

Neka je lim lim xn = x∗ . Na osnovu Teorema 1.1.4 Teorema 1.1.4 2.(b) 2.(b) je Dokaz : Dokaz : Neka

→+∞

n

lim ( xn − x → +∞

n

∗) =

lim xn − x → +∞

n

− x∗) = 0, tada je lim x = lim ( x − x∗ + x∗ ) = → →+ +

∗ = 0 .

Obratn Obratno, o, ako ako je lim ( xn n

→+∞ n

n

∞

lim ( xn − x → +∞

n

∞

n

n

∗ ) + x∗ = x∗ .

♣ Ovo smo mogli iskazati i u sljede coj c´ oj formi koja nam govori da se svaki konvergentan niz mo ze zˇ e ”rastaviti” na zbir konstantnog niza i nula-niza. ka x ∗ Posljedica 1.1. Niz ( xn )n∈N konvergira ka x da je za svako n N , xn = x∗ + an .

∈



∈ R ako i samo ako postoji nula-niz (a ) ∈ , takav n n N

1

Primjer 1.24 Pokazati da je lim n n = 1.

→∞

n

1 n

Posmatrajmo niz a n = n 1 i primjetimo da je a n prema Newtonovom obrascu za n 2 imamo

−

≥

n = ( 1 + an )n

Dakle, a 2n < n 2 1 tojest, a n <

−

n

≥ 0 za sve n ∈ N. Odavde je n = (1 + a ) , pa pa n

≥ 1 + na + n(n2− 1) a > n(n2− 1) a .



2 . n 1

−

2 n

n

2 n

Sada za proizviljno ε > 0 izaberimo y =

2 ε 2

+ 1. Tada će ce za

1

zakljucujemo cˇ ujemo da je ( an ) nula-niz iz ˇ iz ˇcega cega je onda lim n n = 1. n > y biti an < ε pa zakljuˇ

| |



→∞

n

dva nula-niza je ponovo nula-niz. Teorem 1.1.7 Zbir, razlika i proizvod dva Dokaz ove jednostavne ˇ jednostavne ˇcinjenice cinjenice ostavljen je ˇ je ˇcitaocu citaocu za vjeˇ vjezbu, zˇ bu, ali primjetimo da kod proizvoda dva niza uslove moˇzemo zemo oslabiti. Teorem 1.1.8 Neka je ( xn )n∈N proizvoljan nula-niz i neka je ( yn )n∈N proizvoljan ogranicen cˇ en niz (ne obavezno konvergentan). Tada je niz ( zn )n∈N , gdje je zn = xn yn ( n N), nula-niz.

·

∈

> 0 takav da je za svako n N, cˇ en, to postoji realan broj M > Dokaz : Dokaz : Kako je niz ( yn ) ogranicen, y yn M . Iz konvergencije niza ( xn ) ka nuli slijedi da za svako ε > 0 postoji n 0 N, tako da je za sve n n0 zadovoljeno x zakljucujemo cˇ ujemo da ´ da će ce za n n0 vrijediti xn < ε . Na osnovu svega ovoga zaklju

| |≤ ≥

∈

| |

∈

≥

| z z | = | x x · y | = | x x || y y | < M ε ε , , a sto sˇ to znaˇci ci da niz ( z ) konvergira ka nuli. ♣ n

n

n

n

n

n




→+∞

n

Oznaˇ Oznacimo cˇ imo sa zn =

cos n

=

1

cos n n

.

cos n. Kako je niz sa opˇ opstim ˇ sˇtim ˇclanom clanom x n = 1n nula-niz, a niz sa opˇ opstim sˇ tim

n n clanom cˇ lanom y n = cos n je ograniˇ ogranicen cˇ en ( cos ( cos x vrijedi

≤ 1 ), to je na osnovu gornje teoreme niz ( z ) nula-niz, tojest n

n

lim

→+∞

cos n n

= 0 .

Sljede´ Sljedecim c´ im teoremama uspostavlja se veza izmedu limesa i relacije poretka.




16

Teorem 1.1.9 Neka je ( xn )n∈N proizvoljan niz. 1. Ako Ako je lim lim xn = a > p ( < p ), tada je x n > p ( < p ) za skoro svako n

→+∞

n

∈ N.

2. Ako je niz ( xn )n∈N konveregentan i ako je x n > p ( < p), za skoro svako n lim xn p ( p ).

≥ ≤

→+∞

n

Dokaz : Dokaz : 1. Neka je lim xn = a i neka je a > p . Stavimo li da je ε =

→+∞

n

−

a p , 2

∈ N, onda je

svi brojevi koji koji pripadaju

intervalu ( a ε , a + ε ) su ve´ veci c´ i od p , ali skoro svi ˇ svi ˇclanovi clanovi niza ( xn ) su u toj ε -okolini i time je tvrdenje dokazano. d okazano. Sluˇ Slucaj cˇ aj kada je a < p dokazuje se analogno. 2. Neka je lim xn = a i neka je x n > p za skoro svako n . Ako bi bilo a < p , to bi na osnovu

−

n

→+∞

dokazanog pod 1) zna cilo cˇ ilo da je x n < p za skoro svako n, ˇsto sto je oˇ ocigledna cˇ igledna kontradikcija. Dakle mora biti a p .

≥

♣

Prethodni teorem naj ce cˇ esˇ ce c´ e cemo c´ emo koristiti za slu caj cˇ aj p = 0 . Naime, Naime, ako je je lim xn pozitivan

→+∞

n

(negativan) broj, tada su skoro svi ˇclanovi clanovi niza pozitivni (negativni). Ako su skoro svi ˇclanovi clanovi niza pozitivni (negativni), tada je graniˇcna cna vrijednost niza nenegativna (nepozitivna). 

Primjer 1.26 Posmatrajmo niz ( 1n ). Svi ˇ Svi ˇclanovi clanovi niza su pozitivni, tj. 1n > 0, ali ali lim lim

1

→+∞ n = 0.

n

Ovim se potvrduje slijedece, c´ e, ako je x n > p za skoro svako n onda je lim xn

→+∞

n

≥

graniˇcni cni proces znak stroge nejednakosti nejednakosti se ”slabi” ”slabi” na znak ” ”.

≥ p, tj. prelaskom na 

Kao posljedicu gornje teoreme imamo konvergentnog niza ( xn )n∈N pripadaju segmentu [a, b] , , tada i Posljedica 1.2. Ako svi clanovi ˇ lim xn [a, b].

→+∞

n

∈

Gornji teorem moˇ mozemo zˇ emo iskazati i u opˇ opstijoj sˇ tijoj formi i slobodnim govorom iskazan je poznat kao ”prolaz limesa kroz nejednakost”. Teorem 1.1.10 — 1.1.10 — Teorem o dva niza. Neka su ( xn ) i ( yn ) proizvoljni nizovi, takvi da je lim xn = x ∗ i lim yn = y∗ ( x, y R). Tada,

→+∞

∈

∗ →+∞∗

n

n

1. Ako Ako je je x > y , onda je x n > yn za skoro svako n N. 2. Ako Ako je je x n > yn za skoro svako n N, onda je x ∗ y∗ .

∈ ≥

∈

Primjetimo iz 2 iz 2. da ako su skoro svi ˇclanovi clanovi niza ( xn ) strogo ve ci c´ i od odgovaraju´ odgovarajucih ˇ c´ ih ˇclanova clanova niza ( yn ) ne smijemo zakljuˇ zakljuciti cˇ iti da je graniˇ granicna cˇ na vrijednost niza ( xn ) strogo ve´ veca c´ a od graniˇ granicne cˇ ne vrijednosti 1 2 niza ( yn ). Naprimjer, neka su dati nizovi sa optim ˇclanovima clanovima x n = 1 + n i y n = 1 + n . Ocigledno cˇ igledno je za svako n N zadovoljeno x n < yn ali

∈

lim xn = 1 = lim yn . n→+∞ → +∞

n

Teorem 1.1.11 — 1.1.11 — Teorem o lopovu i dva policajca. Neka su ( xn ) i ( yn ) nizovi za koje vrijedi 1. lim xn = lim yn = A R.

→+∞

→+∞

n

∈

n

∈

≤ ≤

2. Za skoro skoro svako svako n N je x n zn yn . Tada i niz ( zn ) ima graniˇcnu cnu vrijednost i vaˇzi z i lim lim zn = A.

→+∞

n

Dokaz : Dokaz : Neka je lim xn = lim yn = A

∈ R. Tada za fiksno ε > 0, postoji n ∈ N, takav da za sve n ≥ n , x pripada ε -okolini tacke cˇ ke A . Takode postoji n ∈ N takav da se svi ˇclanovi clanovi niza ( y ) →+∞

n

1

n

→+∞

1

n

2

n


17

poˇ pocev cˇ ev od y n2 pa na dalje, nalaze u istoj ε -okolini (jer oba niza konvergiraju ka istoj ta cki). cˇ ki). Ako sada   izaberemo da je n = max n1 , n2 , onda su clanovi cˇ lanovi oba niza za n n u okolini ( A ε , A + ε ). Kako je za skoro sve n zadovoljeno xn z n y n , to postoji n N, tako da je za sve n n  zadovoljeno xn z n y n . Ako Ako sada sada stavi stavimo mo da je n0 = max n , n , onda je za sve n n 0 zadovoljeno A ε < < x n zn yn < A + ε , ,

{

}

≥ ∈ { }

≤ ≤

≤ ≤

−

♣

→+∞

Primjer 1.27 Ispitati konvergenciju niza z n =

≤ ln1(1++n n) ≤ 1 +n n ≤ nn

0

− ε , A + ε ), odnosno to znacicˇ i

ln(1 + n)

. 1 + n2 Matematickom cˇ kom indukcijom se pokazuje da vrijedi ln (1 + n) < n. 

≥ ≥

≤ ≤

ali ovo za niz ( zn ) zna ci cˇ i da su mu skoro svi clanovi cˇ lanovi u okolini ( A lim zn = A. n

−

2

2

=

2

3

1 n

Koristeci c´ i ovu ˇcinjenicu cinjenicu imamo,

.

Ako oznaˇ oznacimo cˇ imo sa x n = 0, 0, y n = 1n , onda su uslovi gornje teoreme zadovoljeni, pa zaklju cujemo cˇ ujemo da je n

lim xn = lim yn = 0 = lim zn . n→+∞ n→+∞ → +∞ 




Kako vaˇ vazi zˇ i 3 n

n

≤2

+ 3n

n

→+n ∞

n

√ 2

n + 3n .

≤ 2 · 3 , tada je 3

√

≤ √ 2 n

n + 3n

√ ≤ 3 2 . n

n

Ako oznaˇ oznacimo cˇ imo sa x n = 3 i sa y n = 3 2, tada znamo da je lim xn = lim yn = 3 , n→+∞ → +∞

n

pa na osnovu teoreme teoreme o lopovu i dva policajca policajca vrijedi lim zn = lim

→+∞

n

→+∞

n

√ 2 n

n + 3n

= 3 . 

ˇ ne graniˇ ˇ ne vrijednosti 1.1.6 Beskonaˇ Beskonacne c granicne c Kazemo zˇ emo da niz niz ( xn ) odrede odredeno no diver divergir giraa ka plus plus besko beskona naˇcnosti, ˇ cˇ nosti, ˇsto sto ozna oznacavamo cˇ avamo Definicija Definicija 1.1.12 Kaˇ sa lim lim xn = + ∞, ako vrijedi

→+∞

n

( K > > 0)( n0 (K )

∀

∃

∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ x > K ) . n

0

Kazemo zˇ emo da niz ( xn ) odredeno divergira ka minus beskonacnosti, cˇ nosti, ˇsto sto oznacavamo cˇ avamo sa lim xn = n

vrijedi −∞, ako vrijedi

( K > > 0)( n0 (K )

∀

∃

→+∞

∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ x < −K ) . 0

n

Definicija 1.1.12 Definicija 1.1.12 postaje postaje analogna Definiciji 1.1.8 Definiciji 1.1.8 ako ako se uvede pojam okoline beskonaˇ beskonacnosti. cˇ nosti. Pod okolinom od +∞ podrazumijevamo podrazumijevamo proizvoljan interval ( K , +∞) i analogno pod okolinom od 3

Vrijedi opˇ opstije: sˇtije: za proizvoljan x > 0 je log(1 + x) < x.


18

K

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

K K K

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

Slika 1.11: Odredeno divergentni nizovi.

−∞ podrazumijevamo proizvoljan interval (−∞, −K ), za neko K ∈ ∈ R+.

Na osnovu ovoga mo zemo zˇ emo reci c´ i da niz odredeno divergira ka +∞ ako su skoro svi ˇclanovi clanovi niza u proizvoljnoj okolini od +∞. Sada mozemo zˇ emo izvrsiti sˇ iti selekciju svih nizova u odnosu na konvergenciju. Svaki realni niz spada u jednu od klasa: Niz je konvergentan (grani cna cˇ na vrijednost vrijednost mu je neki realan broj). Niz je odredeno divergentan (graniˇcna cna vrijednost mu je ili +∞ ili ∞). Niz je neodredeno divergentan (nema ni konaˇ konacnu cˇ nu ni beskona beskonacnu cˇ nu graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost).

• • •

−

Primjer 1.29 Posmatrajmo geometrijski niz x n = qn (n N). Za koje q R je dati niz konverkonvergentan? Ako je q = 1 tada je nasˇ niz konstantan ( xn = 1 za sve n N ), pa mu je i granicna cˇ na vrijednost jednaka 1. 1 . Dakle, niz je u ovom slu caju cˇ aju konvergentan. Za q = 1 dobijamo niz sa op stim sˇ tim clanom cˇ lanom x n = ( 1)n , za koga je ve c´ ranije pokazano da nema graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost, tj. niz je neodredeno divergentan. Neka je q < 1. Kao sto sˇ to je pokazano pokazano u Primjeru Primjeru 1.22 1.22 tada tada je niz konvergentan (nula-niz). Za q < 1, ˇclanovi clanovi niza sa parnim stepenom su pozitivni, a sa neparnim stepenom su negativni, ali svi ˇ svi ˇclanovi clanovi po apsolutnoj vrijednosti rastu u beskona cnost. cˇ nost. Medutim, u proizvoljnoj okolini od +∞ nalazi se beskonaˇ beskonacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova (skoro svi sa parnim stepenom), ali van te okoline je takode beskonaˇ beskonacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova niza (skoro svi sa neparnim stepenom). Isto vrijedi i sa okolinama od ∞. Dakle niz je neodredeno divergentan. Za q > 1 jasno je da imamo beskonaˇcan can veliki niz koji je onda odredeno divergentan. 

∈ ∈



− || −

∈

−

−

Sljedeći ci teorem je na odredeni naˇcin cin proˇsirenje sirenje Teorema 1.1.4 eorema 1.1.4.. Neka je lim lim xn = x Teorem 1.1.12 Neka

→+∞

n

1. 2. 3.

neka je ∈ R i neka

lim ( xn + yn ) = + ∞. → +∞  0). lim ( xn · yn ) = sgnx · ∞, ( x = n→+∞

lim lim yn = + ∞. Tada vrijedi: → +∞

n

n

xn

→+∞ yn = 0.

n

lim

U Teorem 1.1.4 Teorem 1.1.4 smo smo govorili o konvergentnim nizovima. Gornji teorem je pro sirenje sˇ irenje u tom smislu ˇ smislu ˇsto sto moˇ mozemo zˇ emo direktno raˇ racunati cˇ unati limese kombinacije dva niza i ako je jedan od nizova divergentan. 

cunati: lim Primjer 1.30 Izraˇcunati:

n2 + 3n + 4

n ∞ n+3 n(n+3)+4 n2 +3n+4 = n+3 n+3

→

.

sˇtim = n + n+4 3 i kao takav on je zbir dva niza, prvi sa op stim 4 clanom cˇ lanom y n = n i drugi sa opˇstim stim clanom cˇ lanom z n = n+3 . Kako je lim yn = + ∞, a lim zn = 0, to je Opˇ Opsti ˇ sˇti ˇclan clan niza je xn =

n

lim xn = + ∞ .

→∞

n

→∞

→∞

n


19 

n



ne

cunati: lim Primjer 1.31 Izraˇcunati:

→∞ n + 1 .

n

n Ako sa ( xn ) oznaˇ oznacimo cˇ imo niz sa opˇ op stim ˇ sˇtim ˇclanom clanom x n = n+ , a sa ( yn ) niz sa opˇ op stim ˇ sˇtim ˇclanom clanom y n = en , tada 1 je lim xn = 1 i lim yn = + ∞ .

→∞

→∞

n

Prema Teoremi 1.1.12 eoremi 1.1.12 2. 2. je

n

lim xn yn = + ∞ .

→∞

n



Postoje kombinacije dva niza kada se rezultat ne mo ze zˇ e direktno odrediti kao u slu cajevima cˇ ajevima opisanim u Teorem 1.1.4 Teorem 1.1.4 i i Teorem 1.1.12. Teorem 1.1.12. Tada Tada kaˇ kazemo zˇ emo da je graniˇ granicna cˇ na vrijednost neodredena ili da je neodredenog tipa. To medutim ni u kom sluˇ slucaju cˇ aju ne znaˇ znaci cˇ i da graniˇ granicna cˇ na vrijednost ne postoji, ve´ vec´ samo da se ne moˇ moze zˇ e unaprijed odrediti primjenom pravila datih u ovim teoremama. op stim ˇ sˇtim ˇclanom clanom xn = Primjer 1.32 Za niz sa opˇ



n2 + 3n

− 2 imamo neodredenost tipa

2n2 + 5n + 4

∞ jer ∞

i brojilac

i imenilac divergiraju ka +∞, kada n teˇ tezi zˇ i u beskonaˇ beskonacnost. cˇ nost. Dijeljenjem i brojioca i imenioca sa n 2 vrijednost vrijednost razlomka se neće ce promjeniti, pa je xn =

1 + 3n

2 n2 2 + 5n + 4n

−

.

Primjenom pravila Teorema 1.1.4 Teorema 1.1.4 dobijamo dobijamo da je

n

lim xn =

→+∞

1

.

2





√ √ cunati: lim ( n + 1 − n). Primjer 1.33 Izraˇcunati: →∞

n

Ako bi smo limesom ”prosli” sˇ li” kroz malu zagradu i pokusali sˇ ali primjeniti Teorem 1.1.4 eorem 1.1.4 ili ili Teorem 1.1.12, dobili 1.1.12, dobili bi izraz oblika ∞ ∞ za koga nemamo odluku cemu cˇ emu je jednak. Zato se poslu zimo zˇ imo racionalizacijom izraza pod limesom, a tek onda primjenimo Teorem 1.1.12. 1.1.12.

−

√ n + 1 + √ n √ √ √ √ lim ( n + 1 − n) = lim ( n + 1 − n) · √ √ → → n+1+ n 1 n+1−n = lim √ = lim √ √ → n + 1 + n → n + 1 + √ n = 0 .

n

∞

n

∞

n

∞

n

∞



Postoji sedam tipova neodredenosti, neodredenosti, a to su: ∞ ∞

,

0 0

, 0 ∞, ∞

·

∞

−∞ , 1

, ∞0 , 00 .

O ponaˇ ponasanju sˇanju beskonaˇ beskonacno cˇ no velikih i beskona cno cˇ no malih nizova (nula-nizova) i njihovoj vezi govori naredni teorem. Teorem 1.1.13 tivni), tada je

1. Ako je ( xn )n∈N nula-niz i ako su skoro svi clanovi cˇ lanovi niza pozitivni (nega-

 1 xn

∈

n N

beskonaˇ beskonacno cˇ no veliki niz.

2. Ako je ( xn )n∈N beskonacno cˇ no veliki niz i x n = 0 za sve n



∈ N, tada je niz

 1 xn

∈

n N

nula-niz.


20



sˇtim clanom cˇ lanom x n = n ( n Primjer 1.34 Kako je niz sa op stim

∈ N) beskonaˇ beskonacno cˇ no veliki niz, prema gornjoj

teoremi niz sa opˇ op stim ˇ sˇtim ˇclanom clanom x1n je nula-niz, ˇ nula-niz, ˇcime cime joˇ josˇ jednom potvrdujemo poznati limes lim n



1

0. →∞ n = 0.

Napomenimo ovdje da Teorem o lopovu i dva policajca vrijedi i u slu caju cˇ aju kada lim xn = n

→+∞

n

Zbog lim xn = +∞, za svako K , postoji n 1 , takav da je za n

→+∞

n

2

1

2

n

≤ z . n

≥ n , x > K . Ako Ako je x ≤ z n

1

n

≥ n , onda je za n > max{n , n } zadovoljeno z ≥ x > K , a odavde slijedi da je Sluˇcaj caj kada je A = −∞ dokazuje dokazuje se analogno analogno i ostavljen ostavljen je citaocu cˇ itaocu za vjeˇzbu. zbu. n

1.1.7

→+∞

lim yn = + ∞. Zaista, ako je u Teorem 1.1.11 Teorem 1.1.11 A = +∞, potrebna nam je samo nejednakost x n

n

n

za

lim zn = + ∞. → +∞

n

Kriteriji konverg konvergencije encije niza Osim ispitivanja konvergencije niza po definiciji ili koriste ci c´ i se poznatim konvergentnim nizovima, od interesa je imati i dodatne kriterije za utvrdivanje konvergencije. Jedan takav je Teorem o lopovu i dva policajca, koga smo zbog praktiˇ prakticnih cˇ nih razloga ve´ vec´ ranije upoznali. Za monotone nizove imamo veoma jednostavan kriterijum konvergencije koji dajemo sljede cim c´ im teoremom. divergentan (ima kona cnu cˇ nu ili Teorem 1.1.14 Svaki monoton niz je ili konvergentan ili odredeno divergentan beskonaˇ beskonacnu cˇ nu graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost). Primjetimo odma da obrat u gornjoj teoremi ne mora da vrijedi. Naime, niz moˇ moze zˇ e biti konver(−1)n gentan, ali ne mora biti monoton. Dovoljno je posmatrati niz sa op stim sˇ tim ˇclanom clanom x n = n (n N), koji je nula-niz, ali nije monoton jer mu clanovi cˇ lanovi ”ska cu” cˇ u” oko nule (parni su pozitivni, a neparni su negativni). negativni). U gornjoj tvrdnji sa dodatnom pretpostavkom pretpostavkom mo zemo zˇ emo biti i precizniji. precizniji. Naime, Naime, vrijedi

∈

numericki cˇ ki niz. Teorem 1.1.15 Neka je ( xn ) proizvoljan numeriˇ 1. Ako Ako je je ( xn ) monotono rastući ci niz neograniˇcen cen odozgo, tada je lim xn = + ∞.

→∞ Ako Ako je je ( xn ) monotono opadaju´ opadajuci c´ i niz neograniˇ neogranicen cˇ en odozdo, tada je lim xn = −∞ n→∞ n

2.

Kao konsekvencu iz gornja dva tvrdenja imamo jedan od najop stijih sˇtijih kriterija konvergencije dat narednim tvrdenjem. cen niz je konvergentan. Teorem 1.1.16 — 1.1.16 — Weierstrassov teorem. Svaki monoton i ograniˇcen

c´ i i ogranicen cˇ en odozgo. Dokaz : Dokaz : Neka je dat niz ( xn )n∈N i pretpostavimo da je on monotono rastu ci Zbog ograni cenosti cˇ enosti odozgo, postoji konstanta M R, takva da je za sve n N, x n M . Dakle, ako posmatramo skup vrijednosti naˇ naseg sˇeg niza A = xn n N , on je ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo, pa na osnovu ∗ ∗ aksioma potpunosti postoji sup A = x R. Jasno je da za sve n N vrijedi x n x . Neka je sada ε > > 0 proizvoljan. Tada je

∈

∈ { | ∈ }

∀ ∈ N) x < x∗ + ε . .

( n

∈

∈

≤

≤

n

(1.4)

Zbog osobina supremuma ´ supremuma će ce za ovakav ε postojati n 0 N tako da je x n0 > x∗ ε ( x∗ je najmanje gornje ograniˇcenje). cenje). Kako smo pretpostavili pretpostavili da je niz monotono rastući ci to ce c´ e vrijediti

∈

−

∀ ∈ N)(n ≥ n ⇒ x > x∗ − ε . .

( n

0

n

≥ n vrijediti x∗ − ε < x − x∗ | < ε . < x < x∗ + ε ⇔ | x

Iz (1.4 Iz (1.4)) i (1.5) 1.5) zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da ce c´ e za sve n n

0

n

(1.5)


21

Dakle, pokazali smo da za proizvoljan ε > 0, 0, postoji n 0 N, tako da za proizvoljan n N, ako je ∗ sto na osnovu definicije konvergencije konvergencije niza zna ci cˇ i da vrijedi lim xn = x∗ . n n0 onda je x xn x < ε , ˇsto

≥

∈

| − |

∈

→∞

n

Na potpun potpuno o identi identiˇcan cˇ an naˇ nacin cˇ in se poka pokazu zuje je slu slucaj cˇ aj ako ako je niz niz mono monoto tono no opad opadaj aju u ci, c´ i, a od ogra ograni niˇcenosti cˇ enosti niza bi iskoristili njegovu ograniˇ ogranicenost cˇ enost odozdo.

♣

U ovoj teoremi kao sto sˇto se vidi iz dokaza, za konvergenciju niza treba razlikovati dva sluˇcaja: caja: 1. Ako je niz niz monotono monotono rastu´ rastuci, c´ i, zahtijevamo ograniˇ ogranicenost cˇ enost odozgo. 2. Ako je niz monotono monotono opadaju´ opadajući, ci, zahtijevamo zahtijevamo da je niz ograniˇcen cen odozdo. n (a > 1).  Primjer 1.35 Posmatrajmo niz x n = an Kako je za dovoljno veliko n N, n a > n + 1, to je

∈

·

xn+1 xn

=

n+1

·

n a

< 1 ,

zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je niz strogo monotono opadaju´ opadajuci. c´ i. n Za proizvoljno n N je x n = an > 0, pa je dati niz ograniˇ ogranicen cˇ en odozdo. Prema gornjoj gornjoj teoremi teoremi je dati dati niz konver konvergentan gentan,, tj. lim xn = x0 . Pustimo li u izrazu

∈

n

xn+1 =

n+1

=

an+1

da n te zi zˇ i u beskonacnost cˇ nost imali bi da vrijedi x 0 = x0 = 0, pa je

n

→+∞ an = 0

n

lim

→+∞

x0 a

n+1 xn n a

·

, a zbog a > 1 ovo je mogu ce c´ e samo ako je

, a > 1 . 

Navedimo opˇ opstiji sˇ tiji limes od gornjeg primjera: nm

lim n → +∞ a

n

= 0 , m

∈ N , a > 1 .

On nam govori da je eksponencijalna funkcija ”ja ca” cˇ a” od polinomijalne funkcije (imenilac razlomka (eksponencijalna funkcija) ”nadjaˇ ”nadja cava” cˇ ava” brojilac (polinomijalna funkcija) te je limes jednak 0).

  −

Pokazimo zˇ imo da je niz x n = 1 + 1n Primjer 1.36 Pokaˇ Jednostavnim raˇ racunom cˇ unom se ima 

xn+1

=

xn

n+2 n+1

n

rastu´ rastuci c´ i i ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo.

1

1

(n + 1)2



n

.

Na osnovu Bernoullijeve nejednakosti4 je

− 1

pa imamo xn+1 xn 4

n+2

≥ n+1

≥ − −  n

1

1

(n + 1)2

1

(Bernoullijeva Bernoullijeva nejednakost) nejednakost) Neka je n

n

(n + 1)2

n

(n + 1)2

=

,n

≥ 2 ,

n3 + 3n2 + 3n + 2 n3 + 3n2 + 3n + 1

> 1 .

∈ N i x realan broj ve´ veci c´ i od −1. Tada vrijedi (1 + x)n ≥ 1 + nx .


22

Dakle niz je strogo monotono rastu´ rastuci. c´ i.

 

n+1

Ako sada posmatramo i niz y n = 1 + 1n , zbog veze y n = xn (1 + 1n ), o cigledna cˇ igledna je nejednakost xn yn za proizvoljno n N. Pokazati da je niz ( yn ) strogo monotono opadaju ci, c´ i, ostavljeno je citaocu cˇ itaocu za vje zbu. zˇ bu. Iz ovoga onda zaklju cujemo cˇ ujemo da je bilo koji clan cˇ lan niza ( yn ) gornje ograni cenje cˇ enje 4 za proizvoljno n N. Iz monotonosti niza ( xn ), pa moˇ mozemo zˇ emo re´ reci c´ i da je x n y1 = 4 za monotonosti i ograniˇ ogranicenosti cˇ enosti niza ( xn ) zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo njegovu konvergenciju. Primjetimo da slicno cˇ no vrijedi i za niz ( yn ). Naime, kako je niz ( xn ) monotono rastuci, c´ i, svi njegovi clanovi cˇ lanovi su veci c´ i od x 1 . Tada za monotono opadajuci c´ i niz ( yn ) imamo da je x 1 = 2 yn za sve n N tojest, on je i ograniˇ ogranicen cˇ en odozdo te je i on konvergentan konvergentan niz. 1 Zbog veze y n = xn (1 + n ) jasno je da vrijedi

≤

∈

·

≤

∈

≤

∈

·

lim xn = lim yn .

→∞

→∞

n

n



Graniˇ Granicnoj cˇ noj vrijednosti ova dva niza dajemo posebno ime (po matemati caru cˇ aru Euleru5 ), a istiˇ isticemo cˇ emo i njegovu vaˇznost znost za raˇcunanje cunanje mnogih drugih limesa. Definicija 1.1.13

e = lim n

→+∞

  1+

1

n

.

n

Broj e nazivamo Eulerovim brojem i on je jedna od najvaznijih zˇ nijih matematickih cˇ kih konstanti. Prvih nekoliko decimala tog broja su e = 2.71828182845904523536...

Niz sa opˇ opstim ˇ sˇtim ˇclanom clanom x n =

  1+

1

n

n tezi zˇ i ka +∞ (kada n n ∞), a eksponent je n koji teˇ ∞ 1 koji je jedan od navedenih neodredenih oblika.

→

 

je forme stepena ˇ stepena ˇcija cija osnova je 1 + 1n i koja teˇ tezi zˇ i ka 1 (kada

 

→ ∞). Time je graniˇ granicni cˇ ni proces niza ( x ) oblika n

n

2n + 2 Izracunati cˇ unati lim .  Primjer 1.37 Izraˇ n→∞ 2n + 1 Razmatraju´ Razmatrajuci c´ i osnovu stepena i eksponent stepena niza ˇciju ciju graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost treba izra cunati, cˇ unati, infty vidimo da je limes oblika 1 . Ovakvi oblici se rjeˇ rjesavaju sˇavaju pomo´ pomocu c´ u limesa Eulerovog broja. lim

n

→∞

  2n + 2 2n + 1

n

       ·

= lim 1 +

→∞

n

= lim

→∞

n

1

= e 2 1 =

·

n

1

2n + 1

1+

1

2n+1

1 2

1+

2n + 1

1 2n + 1

√ e .

  −

1 2



Neka su ( xn ) i ( yn ) proizvoljni nizovi, takvi da x n x∗ i y n y∗ ( n ∞). Ako posmatramo niz kolicnik cˇ nik ova dva niza, njegovu konvergenciju znamo ispitati u svim slu cajevima cˇ ajevima osim ako je ∗ ∗ ∗ ∗ x = y = 0 ili x = y = ∞ (O ostalim slucajevima cˇ ajevima govore Teorem 1.1.42.(a), 1.1.42.(a), Teorem Teorem 1.1.12 i 1.1.12 i 0 ∞ Teorem 1.1.13 Teorem 1.1.13). ). Za ”eliminaciju neodredenosti” tipa 0 i ∞ izuzetno su dobre i korisne Stolz-Cesaro teoreme.

→

5

Leonhard Euler, 1707-1783 ˇ 1707-1783 ˇsvicarski svicarski matematiˇ matematicar cˇ ar

→

→


23

Teorem 1.1.17 — 1.1.17 — Stolz-Cesaro, tip 00 . Neka su ( xn ) i ( yn ) proizvoljni nula-nizovi koji zadovoljavaju uslove: 1. Niz Niz ( yn ) je strogo monoton. xn+1 xn 2. Postoji Postoji konaˇ konaˇcna cna ili beskonaˇcna cna graniˇcna cna vrijed vrijednost nost lim . n→+∞ yn+1 yn xn Tada postoji i lim i va zi zˇ i jednakost n→+∞ yn

− −

xn

lim

→+∞ yn

n

xn+1

= lim

→+∞ yn+1

n

− x − y

n

.

n

stosti neka je niz ( yn ) strogo monotono opadajući. ci. Dokaz : Dokaz : Bez umanjenja opˇstosti xn+1 xn = L R. Za proizvoljno Nekaa je je lim lim proizvoljno ε > 0, postoji n 0 Sluˇ Slucaj ˇ I: Nek n→+∞ yn+1 yn

− −

∈

L

∈ N, takav da je

x + − x − ε < < y + − y n 1

n

n 1

n

< L + ε , ,

≥ n . Kako je ( y ) monotono opadaju´ opadajuci, c´ i, to je y + − y < 0, a time je onda ( L − ε )( y + − y ) > x + − x > ( > ( L + ε )( y + − y ) , za sve n ≥ n . Ako fiksiram fiksiramo o neko ovakv ovakvo o n, gornju nejednakost onda mo zemo zˇ emo zapisati za svako n , n + 1, n + 2,..., n + p, za proizvoljno p ∈ N. Saberemo li sve te nejdnakosti (sabiranjme

za svako n

0

n 1

n

n 1

n

n 1

n

n

n 1

n

0

odgovarajućih cih mjesta), dobijamo sljedeću cu vezu,

( L

− ε )( y + − y ) > x + − x > ( > ( L + ε )( y + − y ) . n p

n

n p

n

n p

n

Puˇ Pustaju´ sˇtajuci c´ i da p postuju´ sˇ tujuci c´ i prolaz limesa kroz strogu nejednakosti nejednakosti i uzimaju´ uzimajuci c´ i da su u pitanju ∞, poˇ nula-nizovi, imamo, xn ( L + ε )( yn ) . ( L ε )( yn )

→

− − ≥ − ≥

−

−

Djeleći ci posljednje sa yn , vrijedi

( L

− ε ) ≤ yx ≤ ( L + ε ) , n n

x ≥ n . Ovo znaˇ znaci cˇ i da je niz (qfracx y ) konv konverge ergentan ntan i da je lim →+ y = L. x + − x Sluˇ Slucaj cˇ i da za proizvoljno M > > 0, postoji n ∈ N, takav ˇ II: Neka je lim →+ y + − y = +∞. To znaci da je x + − x > M , , y + − y za svako n ≥ n . Koristeći ci ovo vrijedi generalnije,

za proizvoljno n

n

0

n n

∞

n

n 1

n

n 1

n

n

n

0

n 1

n

n 1

n

0

− m−1 xn − xm = ∑ ( xk − xk +1 ) > ∑ M ( yk − yk +1 ) k =n k =n m−1 = M ∑ ( yk − yk +1 ) = M ( yn − ym ) , m 1

k =n

za sve m , n

∞

∈ N, za koje je m > n ≥ n . Odavde je onda 0

xn yn

− 

> M 1

ym yn

+

x m yn

.


24

Drˇ Drze´ zˇ eci c´ i n fiksnim i puˇ pustaju´ sˇ tajuci c´ i da m

→ ∞, zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je x ≥ M , , y n n

x ≥ n , a to znaˇ znaci cˇ i da je lim lim →+ y = +∞. x + − x Ako je lim lim Slucaju cˇ aju II. ♣ Sluˇ Slucaj ˇ III: Ako →+ y + − y = −∞, dokaz je potpuno analogan Sluˇ

za sve n

n

0

∞

n

∞

n

n 1

n

n 1

n

n

Na sliˇcan can naˇcin cin gornjem, dokazujemo i naredni teorem. ∞ . Neka ∞

Teorem 1.1.18 — 1.1.18 — Stolz-Cesaro, tip uslovi: 1. Niz Niz ( yn ) je monotono rastući. ci. 2. lim yn = + ∞.

su za proizvoljne nizove ( xn ) i ( yn ) zadovoljeni

→+∞

n

3. Postoji Postoji konaˇ konaˇcna cna ili beskonaˇcna cna graniˇcna cna vrijed vrijednost nost lim Tada postoji i lim

→+∞ yn+1

n

xn

i va zi zˇ i jednakost

→+∞ yn

n

lim

xn

→+∞ yn

n



xn+1

xn+1

= lim

→+∞ yn+1

n

− x − y

n

− x − y

n

.

n

.

n

n


→+∞ 3n .

n

Oznaˇ Oznacimo cˇ imo sa x n = n i sa y n = 3n . Jasno je da vrijedi vrijedi lim 3n = +∞. Osim toga je 3 je 3n+1 > 3n , tj. niz

→+∞

n

rastuci. c´ i. Kako je ( yn ) je monotono rastu´ n

− x − y

xn+1

lim

→+∞ yn+1

n

n+1

= lim

→+∞ 3n+1

n

n

−n = −3

1 = 0 , n→+∞ 2 3n lim

n

·

dakle zadovoljeni su uslovi Stolzove teoreme pa vrijedi n

→+∞ 3n = 0 .

n

lim





12 + 22 + 32 +

c unati ti lim lim Primjer 1.39 Izraˇcuna

→+∞

n

Oznacimo cˇ imo sa x n = 1 2 + 22 + 32 +

···

··· +n

2

. n3 + n2 i y n = n 3 . Kako je

yn+1 yn

 

= 1 + 1n

n

> 1, niz ( yn ) je

monotono rastuci. c´ i. Pri tome je lim n3 = +∞, te su zadovoljena prva dva uslova Stolzove teoreme.

→+∞

n

lim

n

− x − y

xn+1

→∞ yn+1

n n

= lim

(12 + 22 +

→∞

n

2

···+n

+ (n + 1)2 ) (12 + 22 + (n + 1)3 n3

−

(n + 1)2 = lim n→∞ (n + 1)3 n3 1 n2 + 2n + 1 = lim 2 = . n→∞ 3n + 3n + 1 3

−

2

···+n )

−

Dakle, Dakle, postoji postoji lim

xn+1

→+∞ yn+1

n

− x − y

n

i onda je

n

lim

→+∞

n

12 + 22 + 32 + n3

2

···+n

=

1 . 3 


25

Stolz-Cesaro teoreme imaju veliku primjenu. Jednu od njih iskazujemo u narednoj formi.

· · · + x = x∗. →+ →+ n √ lim x = x∗ ∈ R∗ i svi ˇ svi ˇ clanovi clanovi niza su pozitivni, tada je lim x · x · · · x = x ∗ . →+ →+ 1. Ako Ako je lim xn = x∗

Posljedica 1.3. 2. Ako Ako je je

n

n

∞

∞

∈ R∗ , tada tad a je

n

lim

x1 + x2 +

n

∞

n

n

n

∞

1

2

n

Obicnim cˇ nim rjecima cˇ ima receno, cˇ eno, gornja tvrdnja govori o tome da ako je niz konvergentan tada su aritmeticka cˇ ka i geometrij geometrijska ska sredina sredina takode konver konvergen gentne tne i to ka istoj istoj vrijednosti vrijednosti kao i niz. Za x1 + x2 +···+ xn niz ( xn ) za koga je niz njegovih aritmeti ckih cˇ kih sredina, konvergentan, ka zemo zˇ emo da je n Casaro konvergentan. Dakle, gornji teorem tvrdi da konvergencija niza povla ci cˇ i njegovu Cesaro konvergenciju. Obrat u opˇ op stem sˇtem sluˇ slucaju cˇ aju ne vrijedi. Dovoljno je posmatrati niz x n = ( 1)n , koji jeste Cesaro konvergentan ka 0, ali nije konvergentan.

−

1.1.8 Podnizovi Sve ˇ Sve ˇsto sto smo do sada spominjali o nizovima ticalo se konvergentnih nizova. Postavlja se prirodno ˇ su karakteristike pitanje, a ˇ a ˇsta sta je sa divergentnim nizovima? nizovima? Kako ispitujemo divergenciju divergenciju niza? Sta divergentnih divergentnih nizova? Jednu vrstu divergentnih divergentnih nizova, beskonaˇ beskonacne cˇ ne nizove, smo okarakterisali kao odredeno divergentne divergentne.. U neformalnoj podjeli nizova nizova vidjeli smo da niz mo ze zˇ e biti i neodredeno divergentan i ovu klasu nizova sada cemo c´ emo detaljnije okarakterisati. Ako iz niza ( xn )n∈N izdvojimo beskona cno cˇ no mnogo clanova cˇ lanova u istom redoslijedu u kome se pojavljuju u datom nizu, dobijeni niz se naziva podnizom niza ( xn ). Naprimjer, ako u nizu ( xn )n∈N posmatramo samo njegove parne clanove, cˇ lanove, dobijamo podniz ( x2k )k ∈N ili ako posmatramo svaki sedmi ˇ sedmi ˇclan clan imamo podniz ( x7k )k ∈N . Formalna definicija podniza je c´ i niz Definicija 1.1.14 Neka je dat niz ( xn )n∈N i neka je n 1 , n2 ,..., nk ,... strogo monotono rastu ci prirodnih brojeva. Tada kaˇ kazemo zˇ emo da je ( xnk )k ∈N podniz niza ( xn )n∈N .

Jasno je da svaki niz ima beskona cno cˇ no mnogo svojih podnizova. podnizova. Podniz ( xnk ) moˇ moze zˇ e se posmatrati = 1 , 2,... pa sve sto kao niz sa indeksima k = sˇ to je do sada re ceno cˇ eno za nizove va zi zˇ i i za podnizove. Neposredno iz definicije podniza slijedi granicnu cˇ nu vrijednost x 0 , tada i bilo koji podniz ( xnk ) datog niza Teorem 1.1.19 Ako niz ( xn ) ima graniˇ ima graniˇcnu cnu vrijednost x 0 . Obrat u gornjem tvrdenju ne vrijedi, tj. ako neki podniz ( xnk ) niza ( xn ) ima granicnu cˇ nu vrijednost, sam niz ne mora imati graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost. Jednostavan primjer za to je niz x n = ( 1)n . Njegovi podnizovi ( x2k ) i ( x2k −1 ) su konstantni nizovi i kao takvi konvergentni dok sam niz, kao ˇsto sto je to pokazano ranije, nije konvergentan. U ovom dijelu ćemo cemo se upravo baviti odnosom izmedu konvergencije niza i konvergencije njegovih podnizova.

−

Teorem 1.1.20 — 1.1.20 — Bolzano-Weierstrass. Svaki ograniˇ ogranicen cˇ en niz u R ima bar jedan konvergentan podniz u R.

cˇ en niz. To zna ci cˇ i da postoji segment na realnoj pravoj [ K , K ] u Dokaz : Dokaz : Neka je ( xn )n∈N ogranicen b1 kome se nalaze svi ˇclanovi clanovi naseg sˇ eg niza. Ozna cimo cˇ imo sa a 1 = K i b 1 = K i i stavimo da je c 1 = a1 + . 2 Tada u bar jednom od segmenata [a1 , c1 ], [ c1 , b1 ] se nalazi beskonaˇ beskonacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova naˇ naseg sˇ eg niza (ako bi u oba segmenta bilo po kona cno cˇ no mnogo ˇclanova clanova niza, to bi zna cilo cˇ ilo da sam niz ima kona cno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova, ˇ clanova, ˇsto sto je nemogu´ nemoguce c´ e jer radimo sa beskonaˇ beskonacnim cˇ nim nizovima). Oznaˇ Oznacimo cˇ imo taj segment sa [a2 , b2 ] (ako u oba segmenta ima beskona cno cˇ no mnogo clanova cˇ lanova niza, izaberemo bilo koji od njih). a2 +b2 Neka je c 2 = 2 i opet opet posmatrajmo posmatrajmo dva dva segmenta segmenta [ a2 , c2 ] i [ c2 , b2 ]. Prema istom rezonu kao malo prije, oznaˇ oznacimo cˇ imo sa [a3 , b3 ] onaj od segmenata u kome se nalazi beskonaˇ beskonacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova

−

−


26

bn naˇ naseg sˇeg niza. Nastavljaju´ Nastavljajuci c´ i ovaj proces, raˇ racunamo cˇ unamo c n = an + , formiramo segmente [ an , cn ], [ cn , bn ], 2 biramo onaj u kome se nalazi beskonaˇcno cno mnogo clanova cˇ lanova niza i oznaˇcavamo cavamo ga sa [ an+1 , bn+1 ]. Ovim postupkom se formira niz segmenata [ an , bn ] ( n N) sa osobinama osobinama

∈

( n

∀ ∈ N) [ a + , b + ] ⊆ [a , b ] , n 1

n 1

n

n

(1.6)

i lim (bn

n

→∞

4K − a ) = lim → 2 = 0 . n

n

∞

n

Na osnovu Cantorovog aksioma postoji ta cno cˇ no jedan x ∗

∈



(1.7)

[an , bn ] tojest, za svako n

∈

n N

∈ N, x ∗ ∈

(1.6)) je ( an ) monotono rastu´ rastuci c´ i niz brojeva, ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo sa K , te je konvergentan [an , bn ]. Iz (1.6 niz. Isto tako, niz (bn ) je monotono opadaju ci c´ i niz ograniˇ ogranicen cˇ en odozdo sa K te te je i on konvergentan. ∗ Iz (1.7) 1.7) zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je lim an = lim bn . Sada zbog osobine a n x bn za svako n N, na

−

n

→∞

n

→∞

osnovu teoreme o lopovu i dva policajca zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je

≤ ≤

∈

lim an = lim bn = x∗ .

→∞

→∞

n

n

Prema konstrukciji niza segmenata, u svakom segmentu [an , bn ] postoji beskona cno cˇ no mnogo ˇclanova clanova niza ( xn ). Izaberim Izaberimo o za svako svako k N, xnk [ak , bk ], pri cemu cˇ emu je nk > n k −1 . Na ova ovajj nacin cˇ in smo izdvojili podniz ( xnk ) iz niza ( xn ) za koga vrijedi

∈ ∈

∈

( k

∀ ∈ N) a ≤ x ≤ b , nk

k

k

pa koristeci c´ i josˇ jednom teorem o lopovu i dva policajca, zaklju cujemo cˇ ujemo da je ( xnk ) konvergentan podniz.

♣

Za neograniˇcene cene nizove imamo sljedeće ce tvrdenje. cˇ en odozgo (odozdo) sadrˇ sadr zi zˇ i podniz koji konvergira (odredeno Teorem 1.1.21 Svaki niz neograni cen divergira) ka +∞ ( ∞). Ako je niz neograniˇcen cen i nije beskonaˇcno cno veliki, tada postoji podniz koji konvergira u R.

−

♣

zˇ bu! Dokaz : Dokaz : Ostavljeno za vje zbu!

Kombinujuci c´ i prethodne dvije teoreme mo zemo zˇ emo dati sljedece c´ e generalno tvrdenje. Teorem 1.1.22 Svaki realan numericki cˇ ki niz sadr zi zˇ i konvergentan podniz u beskonaˇ beskonacno cˇ no veliki, onda sadrˇ sadrzi zˇ i konvergentan podniz u R.

∗.

R

Ako Ako niz nije nije

Definicija 1.1.15 Za tacku cˇ ku a R∗ ka zemo zˇ emo da je tacka cˇ ka nagomilavanja niza ( xn )n∈N ako postoji podniz ( xnk )k ∈N datog niza koji konvergira ka taˇ tacki cˇ ki a .

∈

Posmatrajmo niz sa opˇ opstim ˇ sˇ tim ˇclanom clanom x n = sin 2 n3π . Primjer 1.40 Posmatrajmo Posmatramo li clanove cˇ lanove niza sa indeksima n = 3k ( ( k N), dobijamo podniz ( x3k ) koji je konstantan 6 k π π niz ( x3k = sin 3 = sin sin 2k π = 0) te kao takav i konvergentan ka 0. π = Posmatramo li ˇ li ˇclanove clanove niza sa indeksima n = 3√ k 1, dobijamo podniz ( x3k −1 ) koji je √ konstantan 

2 (3k 1)π

−

 

 

∈ −

2π niz ( x3k −1 = sin = sin 2k π = 23 ) te kao takav i konvergentan ka 23 . π 3 3 Posmatramo li ˇ li ˇclanove clanove niza sa indeksima n = 3k 2, dobijamo podniz ( x3k −2 ) koji je konstantan

niz

2 (3k 2)π ( x3k 2 = sin 3

−

Dakle, taˇcke cke 0,

−

−

√ 3 2

= sin 2k π π

− −

4π 3

−

−

−

= 12 ) te kao takav i konvergentan ka 12 .

i 12 su taˇcke cke nagomilavanja niza ( xn ).

Tacku cˇ ku nagomilavanja moˇ mozemo zˇ emo definisati definisati i na sljede´ sljedeci c´ i naˇ nacin. cˇ in.




27

cˇ ka a Definicija 1.1.16 Tacka

∈ R je ta cka cˇ ka nagomilavanja niza ( x ) ako vrijedi (∀ε > > 0)(∀n ∈ N)(∃m > n) | x x − a| < ε . n

m

Iz ove druge definicije vidimo i razliku izmedu pojma limesa i pojma ta cke cˇ ke nagomilavanja. Naime, limes niza ima osobinu da se u svakoj njegovoj okolini nalaze skoro svi clanovi cˇ lanovi niza (van te okoline nalazi se samo konaˇ konacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova niza), dok se u proizvoljnoj okolini taˇ tacke cˇ ke nagomilavanja niza nalazi ”samo” beskona cno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova niza (pa ih i van te okoline mo ze zˇ e biti beskonacno cˇ no mnogo). Naravno, limes niza, ako postoji, uvijek je njegova ta cka cˇ ka nagomilavanja (i to jedina), dok obrat ne mora m ora da vaˇzi. zi. Napomenimo ovde jo sˇ jednu va znu zˇ nu razliku izmedu pojma ta cke cˇ ke nagomilavanja niza ( xn ) i taˇ tacke cˇ ke nagomilavanja skupa vrijednosti niza xn n N . Naprimjer, kao ˇ kao ˇsto sto smo to vidjeli ve c, c´ , niz n   cˇ ke nagomilavanja nagomilavanja x = 1 i 1 i x = 1, dok skup vrijednosti tog niza 1, 1 xn = ( 1) ima dvije ta cke nema niti jednu taˇcku cku nagomilavanja nagomilavanja jer je on konaˇcan can skup.

{ | ∈ }

−

−

{− }

U kontekstu ta caka cˇ aka nagomilavanja nagomilavanja Bolzano-Weierstrassov Bolzano-Weierstrassov teorem moˇ mozemo zˇ emo iskazati i na sljede ci c´ i naˇ nacin. cˇ in. ogranicen cˇ en niz realnih brojeva ima bar jednu ta cku cˇ ku nagomilavanja u skupu Teorem 1.1.23 Svaki ograniˇ R. I Teorem 1.1.22 Teorem 1.1.22 mo mo zemo zˇ emo iskazati drugaˇcije. cije. cˇ ku nagomilavanja u R∗ . Teorem 1.1.24 Svaki niz realnih brojeva ima bar jednu ta cku

Ako sa T ( xn ) oznacimo cˇ imo skup svih ta caka cˇ aka nagomilavanja niza ( xn ), onda na osnovu BolzanoWeierstrassove teoreme zaklju cujemo cˇ ujemo da je on neprazan u R∗ . Koja je gornja gornja granic granicaa broja elemenata ovog skupa nece c´ e nas zanimati, iako treba re ci c´ i da se mogu konstruisati nizovi koji imaju proizvoljno mnogo ta caka cˇ aka nagomilavanja, nagomilavanja, sta sˇ ta vise, sˇ e, postoje nizovi za koje je svaka ta cka cˇ ka iz R, njihova taˇ tacka cˇ ka nagomilavanja. cˇ aka nagomilavanja. Ako je Lema 1.1.25 Neka je ( xn )n∈N proizvoljan niz i T ( xn ) skup njegovih ta caka cˇ ka nagomilavanja skupa T ( xn ), onda je x 0 T ( xn ). x0 ta cka

∈

Teorem 1.1.26 Za proizvoljan niz ( xn )n∈N , skup T ( xn ) ima maksimum i minimum u R∗ .

Teorema 1.1.20 skup skup T ( xn ) nije prazan, pa supremum i infimum postoje u R∗ . Dokaz : Dokaz : Na osnovu Teorema 1.1.20 Ako je T ( xn ) konacan cˇ an (tj. ima kona cno cˇ no mnogo elemenata) tvrdenje je trivijalno. Pretpostavimo zato da je to beskonaˇ beskonacan cˇ an skup. Ako a = sup T ( xn ) nije maksimum skupa (tj. a / T ( xn )), onda na osnovu karakterizacije supremuma, taˇ tacka cˇ ka a bi bila taˇ tacka cˇ ka nagomilavanja skupa T ( xn ), ali onda bi na osnovu Leme 1.1.25 Leme 1.1.25 a T ( xn ), ˇsto sto je oˇ ocigledno cˇ igledno kontradikcija. Dakle, supremum skupa T ( xn ) pripada tom skupu pa je on maksimum skupa. Analogno Analogno se izvodi izvodi dokaz za infimum.

∈

∈

♣

Definicija 1.1.17 Najveca c´ a tacka cˇ ka nagomilavanja niza ( xn )n∈N zove se gornji limes ili limes superior niza i oznaˇcava cava se sa limsup xn ili lim limn→+∞ xn . Najmanja taˇ tacka cˇ ka nagomilavanja niza ( xn ) zove se donji limes ili limes inferior i oznaˇ oznacava cˇ ava se sa liminf xn ili limn→+∞ xn .


28

Kratko´ Kratkoce c´ e radi u daljem daljem tekstu koristi´ koristicemo c´ emo zapise limn→+∞ xn = lim x n i limn→+∞ xn = lim x n . Iz prethodne definicije i Teorema 1.1.26 jasno 1.1.26 jasno je da vrijedi sup T ( xn ) = lim xn i inf T T ( xn ) = lim xn . Kao neposredna posljedica osobina supremuma i infimuma skupa imamo da za proizvoljan niz ( xn ) vrijedi

≥ lim x ,

lim x n

n

lim( xn ) =

−

(1.8)

−lim x , lim(− x ) = −lim x . n

n

n

(1.9)

Ako je ( xnk ) proizvoljan podniz niza ( xn ) vrijedi, lim xn

≥ lim x

nk

, lim xn

≤ lim x

nk

(1.10)

Ako niz nije ograni cen cˇ en odozgo, onda je lim x n = +∞, a ako nije ograni cen cˇ en odozdo, onda je lim x n = ∞, sto sˇ to nam garantuje Teorem 1.1.21. Teorem 1.1.21. Sljede´ Sljedeci c´ i teorem nam daje jednu karakterizaciju novouvedenih pojmova.

−

zi: Teorem 1.1.27 Neka je ( xn )n∈N proizvoljan realan niz i neka je lim x n = x. Tada vaˇzi: 1. ( ε > > 0)( n0 N)( n n0 ) x n < x + ε , ili rijeˇ rijecima cˇ ima reˇ receno, cˇ eno, za svako ε > 0 su skoro svi ˇ svi ˇclanovi clanovi niza ( xn ) manji od x + ε . 2. ( ε > > 0)( n N)( m > n) x m > x ε , tojest, za svako ε > 0 postoji beskona beskonacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova niza ( xn ) koji su ve´ veci c´ i od x ∗ ∗ 3. Ako Ako taˇ taˇcka cka x zadovoljava uslove 1. i 2. tada je x = lim x n .

∀ ∀

∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ ∃

−

− ε .

Dokaz : Dokaz : 1. Ako ova tvrdnja tvrdnja ne bi bila tacna, cˇ na, to bi znacilo cˇ ilo da niz ( xn ) ima beskonacno cˇ no mnogo ˇclanova clanova u intervalu [ x + ε , +∞). Ako te clanove cˇ lanove shvatimo kao podniz na seg sˇ eg niza, onda bi taj podniz imao taˇ tacku cˇ ku nagomilavanja koja takode pripada tom intervalu, a ˇ a ˇsto sto bi bila kontradikcija kontradikcija sa maksimalnoˇs´ sću cu limesa superior. 2. Za dokaz ove tvrdnje dovoljno dovoljno je primjetiti da je skup ( x ε , +∞) okolina taˇ tacke cˇ ke x i primjeniti Definiciju 1.1.16 Definiciju 1.1.16.. 3. Pretpostavimo da postoje dva razliˇ 1 . i 2 razlicita cˇ ita broja x i x  koji zadovoljavaju zadovoljavaju 1 i 2 . (neka je recimo   x < x ). Uzmimo proizvoljno x ( x, x ). Kako x zadovoljava 1., to je x n < x za sve n > n 0 . Ali tada u okolini ( x, +∞) ima samo konaˇ konacno cˇ no mnogo ˇclanova clanova niza, pa x  ne zadovoljava uslov 2. Dakle, ne mogu postojati dvije taˇcke cke koje zadovoljavaju oba uslova.

−

∈

♣ Teorem 1.1.28 Neka je ( xn )n∈N proizvoljan realan niz. 1. Niz Niz ( xn ) ima graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost, konaˇ konacnu cˇ nu ili beskona beskonacnu, cˇ nu, ako i samo ako je lim x n = lim x n , tj. ako i samo ako niz ima samo jednu ta cku cˇ ku nagomilavanja. 2. Niz ( xn ) je konvergentan (tj. ima kona cnu cˇ nu graniˇ granicnu cˇ nu vrijednost) ako i samo ako je lim x n = lim xn = x0 R, tojest ako i samo ako ima samo jednu ta cku cˇ ku nagomilavanja i ta je kona can cˇ an

∈


29

broj. Primjer 1.41 Posmatrajmo niz x n = ( 1)n . 1, 1 pa je lim x n = 1, a lim x n = 1. T ( xn ) = Primjetimo da je skup vrijednosti niza xn n N = taˇcaka caka nagomilavanja.

− − { | ∈ } {−1, 1} i da on kao kona can cˇ an skup nema



{− }

Primjer 1.42 Posmatrajmo niz x n =



( 1)n

−

. n Skup vrijednosti niza je 1, 12 , 13 , 14 ,... . Nije teˇ tesko sˇko vidjeti da je supremum ovog skupa jednak 12 i da je infimum skupa 1. Medutim, kako je ovo konvergentan niz, lim xn = 0, 0, to je T ( xn ) = 0 , 

−

pa vaˇ vazi zˇ i

−



−

{}

→+∞

n

lim x n = lim x n = 0 . 

n

Primjer 1.43 Posmatrajmo niz x n = n(−1) . Podniz ( x2k ) naˇ naseg sˇeg niza je niz ˇciji ciji je opˇ opsti ˇ sˇti ˇclan clan x 2k = 2k i i on teˇ tezi zˇ i ka +∞ kada k te te zi zˇ i u beskona cnost. cˇ nost. 1 0 kada k + ∞, pa je dakle T ( xn ) = 0, +∞ , odakle S druge strane podniz x2k +1 = 2k +1 zakljuˇcujemo cujemo da je lim x n = + ∞ , lim x n = 0 . 

→

→ →

{

}



1.1.9

Cauchyjev Cauchyjev kriterij konvergencije konvergencije nizova nizova Definicija 1.1.18 Za numericki cˇ ki niz ( xn )n∈N kazemo zˇ emo da je Cauchyjev niz ako zadovoljava sljede´ sljedeci c´ i uslov:

(

∀ε > x − x | < ε ) . > 0)(∃n (ε ) ∈ N)(∀m, n ∈ N)(m, n ≥ n ⇒ | x 0

0

n

m

Obiˇcnim cnim govorom govorom receno, cˇ eno, niz je Cauchyjev Cauchyjev ako su mu dovoljno daleki daleki clanovi ˇ proizvoljno bliski. Teorem 1.1.29 Ako je niz konvergentan onda je on Cauchyjev niz. Neka je ( xn ) konvergentan niz tojest, lim xn = x∗ Dokaz : Dokaz : Neka

∈ R. Prema definiciji konvergencije za →+∞ proizvoljno ε > 0 postoji 0 postoji n 0 ∈ N, tako da je | x xn − x∗ | < ε , za sve n ≥ n0 . Neka su n, m ∈ N takvi da n

je n , m

2

≥ n . Tada vrijedi | x x − x | = | x x − x∗ + x∗ − x | ≤ | x x − x∗| + | x x − x∗| < ε 2 + ε 2 = ε , te je niz Cauchyjev. ♣ 0

n

m

n

m

Teorem 1.1.30 Svaki Cauchyjev niz u

R je

n

m

ograniˇcen. cen.

Dokaz : Dokaz : Prema definiciji Cauchyjevog niza, za proizvoljno izabrano ε > 0, postoji n 0 N, tako da je x xn xm < ε , za sve n , m n0 . Uzmimno da je ε = 1 i stavimo da je m = n0 . Tada vrijedi

| − |

∈

≥

| x x − x | < 1 , za sve n ≥ n , n

0

n0

ili drugaˇcije cije reˇceno ceno

− 1 < x < x + 1 , za sve n ≥ n . Oznaˇ Oznacimo cˇ imo sa K = cˇ igledno sada vrijedi da je za svako n ∈ N, x |, | x x |,..., | x x − |, | x x | + 1}. Ocigledno = max{| x | x x | ≤ K , a to znaˇ znaci cˇ i da je niz ograniˇ ogranicen. cˇ en. ♣ xn0

1

n

2

n

n0 1

n0

n0

0


30

Dakle, Cauchyjev niz je ogranicen cˇ en pa prema Bolzano-Weierstrassovom teoremu ima bar jednu ˇ taˇ tacku cˇ ku nagomilavanja. Cinjenicu da niz nije Cauchyjev dobijamo negiraju ci c´ i definiciju Cauchyjevog niza i ona bi glasila,

(

∃ε > x − x | ≥ ε ) . > 0)(∀n ∈ N)(∃m, n ∈ N)(m, n ≥ n ∧ | x 0

0

n

m

Medutim, nije jednostavno vidjeti da iz ovoga slijedi da ako niz nije Cauchyjev to zna ci cˇ i da dati niz nema nema niti niti jedn jednu u taˇ tacku cˇ ku nagomilavanja. nagomilavanja. Ovo Ovo ćemo cemo bolje bolje potkrijep potkrijepiti iti narednim narednim tvrdenjem tvrdenjem.. moze zˇ e imati najviˇ najvise sˇ e jednu taˇ tacku cˇ ku nagomilavanja. Teorem 1.1.31 Cauchyjev niz u R moˇ

cˇ ke nagomilavanja x  i x  . Ako je Dokaz : Dokaz : Pretpostavimo da Cauchyjev niz ( xn )n∈N ima dvije tacke

| x x − x |

0. Za takav ε , prema definiciji Cauchyjevog niza, postoji n 0 N tako x = x onda je ε = 3 > 0. da je x xn xm < ε , za sve n , m n0 . xn1 x < ε . Kako je x  tacka cˇ ka nagomilavanja na seg sˇ eg niza, to postoji n 1 N tako da je n 1 > n 0 i x prema istom rezonu za ta cku cˇ ku nagomilavanja x  , postojat ce c´ e n 2 > n0 tako da je x xn2 x < ε . Zbog svega ovoga sada imamo



| − |

≥

∈

∈ | − | | − |

| x x − x| = | x x − x + x − x + x − x| ≤ | x x − x | + | x x − x | + | x x − x| | x x − x| = | x x − x| . < ε + + ε + + ε = = 3 n1 n1

n1

n2

n1

n2

n2

n2

3

Posljednje predstavlja oˇ ociglednu cˇ iglednu kontradiktornost, pa zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da Cauchyjev niz moˇ moze zˇ e imati najviˇ najvise sˇ e jednu taˇ tacku cˇ ku nagomilavanja.

♣

Objedinjuju´ Objedinjujuci c´ i ova tri tvrdenje iskazujemo generalni stav. Teorem 1.1.32 1.1.32 — Cauchyjev kriterij konvergencije. Numericki cˇ ki niz je konvergentan ako i samo ako je on Cauchyjev niz.

ˇ ki redovi 1.2 Numeri Numeriˇ c

31

ˇ ki redovi 1.2 Numeriˇ Numericki c Zamislimo da imamo vodoravnu gumenu traku du zine zˇ ine jedan metar, na ˇcijem cijem se jednom kraju nalazi mali crv. Neumorni crvic´ grabi prema drugom kraju, tako da pu ze zˇ e brzinom od jedan centimetar u minuti. Medutim, traku pa zljivo zˇ ljivo nadgleda cuvar, cˇ uvar, kome je jedina briga u zivotu zˇ ivotu da uznemirava crva, i to tako da mu na kraju svake minute rastegne gumu za jedan metar. Dakle, nakon jedne minute puzanja crv je odpuzao 1 centimetar, i udaljen je 99 centimetara od drugog kraja gume. Nakon ˇsto sto ˇcuvar cuvar rastegne gumu za jedan metar, crvi c´ zadrzava zˇ ava svoj relativni polo zaj zˇ aj na gumi, tj. 1 % udaljenosti od po cetka cˇ etka i 99 % od kraja gume. Prema tome, sada je udaljen 2 centimetra od poˇ pocetka, cˇ etka, i 198 centimetara od kraja gume. Nakon sljede ce c´ e minute crv je preˇ pre sao sˇao ukupno 3 centimetra i preostaje mu jo sˇ 197 centimetara do kraja. Medutim, ˇcuvar cuvar opet rastegne gumu za jedan metar, pa odgovaraju ce c´ e udaljenosti postaju 4.5 cm. i 255.5 cm. Nastavljaju ci c´ i na isti nacin cˇ in dalje, postavlja se pitanje hoće ce li crv ikada doći ci do kraja gume? Guma se rasteze zˇ e brzinom od 1 m nakon svake minute, a crv ”juri” brzinom od jedan centimetar po minuti, plus onaj dobitak u njegovu pomaku kod svakog rastezanja gume. Naravno, pretpostavljamo pretpostavljamo da crvi´ crvic´ i ˇcuvar ˇ cuvar ˇzive zive beskonaˇ beskonacno cˇ no dugo, te da se guma moˇ moze zˇ e jednoliko i u nedogled rastezati, kao i to da crvi´ crvic´ ima zanemarivo male dimenzije. Svaki put kada cuvar cˇ uvar produzi zˇ i gumu, njen dio koji crv prede ostaje isti. Nakon ˇsto sto ˇcuvar cuvar prvi put 1 1 rastegne gumu, crv je pre sao sˇ ao 100 gume, nakon sljede ce c´ e minute crv prede 200 (rastegnute) gume, 1 nakon tre´ trece c´ e minute 300 duˇ duzine zˇ ine ponovno rastegnute gume itd. Prema tome, nakon n minuta dio od n puta rastegnute rastegnute gume (duzine zˇ ine n metara) koji prede naˇs crv iznosi 1 1 1 + + + 100 200 300

···

1 1 + = 100 n 100

·



1 1 1 + + + 2 3

1

···+ n



.

Zaklju citi cˇ iti da li ce c´ e crvic´ doci c´ i do drugog kraja trake ili ne ce, c´ e, znacilo cˇ ilo bi odrediti sumu brojeva u zagradi gornjeg izraza, a upravo takva i to beskona cna cˇ na sabiranja brojeva predmetom su na seg sˇ eg zanimanja u ovom poglavlju.

1.2.1

ˇ kog reda Definicija i osobine numeriˇ numerickog c Neka je dat beskonaˇcan can niz realnih brojeva a 1 , a2 ,..., an , ... Izraz ∞

∑ an = a1 + a2 + · · · + an + · · · ,

(1.11)

n=1

naziva se beskonacnim cˇ nim redom sa opˇ op stim ˇ sˇtim ˇclanom clanom a n , ili realnim numeri ckim cˇ kim redom. redom. Najˇ Najceˇ cˇ esˇ ce ´ c´ e ćemo cemo ∞

jednostavno jednostavno govoriti numeri cki cˇ ki red ili samo red. Izraz

cˇ itamo, ”sumiramo ˇclanove clanove a n kada se ∑ an citamo, n=1

Velicinu cˇ inu n u datom izrazu nazivamo brojaˇ brojacˇ i ona je fiktivna veliˇ velicina cˇ ina u tom n mijenja od 1 do ∞”. Veliˇ smislu da smo umjesto slova n mogli izabrati proizvoljno drugo slovo, a da se smisao izraza ne ∞

gubi, npr.

∞

∑ ak , ∑ a z . k =1

z=1

Primjeri sumiranja su, 10

∑ n2 = 12 + 22 + 32 + · · · + 92 + 102 ,

n=1 ∞

k

∑ k + 1 =

k =1

6

1

∑ (i − 1)(i − 2) =

i=3

1 2

2

+ +

· · · + n +n 1 + · · · ,

1

1

3

·

2 1

+

·

3 2

+

1

·

4 3

+

1

·

5 4

+

1

·

6 5

,


32 100

n n

∑ (−1)

2 = 1

n=0

− 2 + 4 − 8 + 16 − 32 + · · · + 2

100

.

Za prvi, tre´ treci c´ i i ˇcetvrti cetvrti primjer kaˇ ka zemo zˇ emo da predstavljaju kona cnu cˇ nu sumu (kona cno cˇ no mnogo sabiraka), a drugi primjer predstavlja beskonaˇcnu cnu sumu (beskonaˇcno cno mnogo sabiraka). Sumiranje moˇ mozemo zˇ emo izvoditi od proizvoljnog indeksa do proizvoljnog indeksa, n

∑ ak = am + am+1 + · · · + an .

k =m

Primjetimo da smo gornje sumiranje mogli izraziti simboli cki cˇ ki i sa

− ∑ am+k = am+0 + am+1 + · · · + am+n−m = am + am+1 + · · · + an ,

n m k =0

pri ˇ pri ˇcemu cemu se smisao sumiranja sumiranja ne mijenja. mijenja. 1 Primjer 1.44 Sumu 12 + 13 + 14 + + 10 moˇ mozemo zˇ emo u skracenoj c´ enoj simboli ckoj cˇ koj formi zapisati na mnogo naˇ nacina. cˇ ina. Na primjer,

·



1 2

1

1

3

4

+ + +

1 1 1 + + + 2 3 4 1 2

1

1

3

4

+ + +

1 1 1 + + + 2 3 4

10

· · · + 101 = ∑ 1n , n=2

9

· · · + 101 = ∑ n +1 1 , n=1

8

1

· · · + 10 = ∑ k +1 2 , k =0

···

18 1 1 + = ∑ . 10 i=10 i 8

♦

−



Zbirovi 1

a1 =

∑ ak k =1

2

a1 + a2 =

∑ ak k =1

................ n

a1 + a2 +

· · · + a = ∑ a n

k

k =1

.......................... nazivaju se parcijalnim sumama reda (1.11 ( 1.11), ), tj. ako saberemo saberemo prvih n sabiraka, n

sn =

∑ ak k =1

, n

∈N

dobijenu kona cnu cˇ nu sumu nazivamo n-ta parcijalna suma reda (1.11 ( 1.11). ). Kako Kako se radi o kona kona cnim cˇ nim ˇcija sumama realnih brojeva, brojeva, ˇ cija je suma realan broj, parcijalne sume mo zemo zˇ emo posmatrati kao numeri cki cˇ ki niz realnih brojeva, ( sn )n∈N .


33

cˇ an limes lim sn = s, niza (sn ) parcijalnih suma reda (1.11 ( 1.11), ), Definicija 1.2.1 Ako postoji kona can n

→+∞

onda kaˇzemo zemo da je red konvergentan i da mu je suma jednaka s . Tada piˇsemo semo ∞

∑ an .

s =

n=1

Za red koji nije konvergentan (bilo da je lim sn =

→+∞

n

je divergentan.

zˇ emo da ±∞, bilo da taj limes ne postoji) ka zemo

Prema gornjoj definiciji postoje tri slu caja cˇ aja kada kaˇ kazemo zˇ emo da red divergira: ∞

zemo da red ∑ a divergira ka +∞. • Ako je lim → s = + ∞ kaˇzemo n

∞

n

n

n=1 ∞

• Ako je lim kazemo zˇ emo da red ∑ a divergira ka −∞. → s = −∞ kaˇ n

∞

n

n

n=1 ∞

• Ako lim kazemo zˇ emo da red ∑ a oscilira. → s ne postoji kaˇ n

∞

n

n

n=1

∞ 

Primjer 1.45 Posmatrajmo red

n

∑q

gdje je q = 0.



n=0

Dati red se naziva geometrijskim redom. Njegova n -ta parcijalna suma, ako je q = 1 je,



n

sn =

k ∑q =

1

k =0

−q + 1−q

n 1

,

· · · + qn qsn = q + q2 + q3 + · · · + qn+1 Oduzimaju´ Oduzimajuci c´ i drugu jednakost od prve dobijamo ( 1 − q)sn = 1 − qn+1 , odakle dobijamo formulu sn = 1 + q + q2 +

za n -tu parcijalnu sumu geometrijskog reda

sn =

1

− qn+1 . 1−q

Koristeći ci se cinjenicom cˇ injenicom lim qn = 0 za q < 1, sada imamo

||

→∞

n

lim sn =

→+∞

n

1

1

− q , |q| < 1 ,

te je geometrijski red konvergentan za q < 1. Na primjer, primjer, neka je q = 12 vrijedi,

||

∞

∑ n=0

 1 2

| | ≥ 1, tada lim → q

Ako je q

n

divergentan. Specijalno, ako je q =

∞

n

n

1

1

1

2

4

8

= 1 + + + +

· · · = 1 −1

= 2 .

ili ne postoji ili odredeno divergira, te je dati red u tom slu caju cˇ aju

−1 imamo red ˇ red ˇcija cija je n -ta parcijalna suma

sn = 1

− 1 + 1 − 1 + ... ± 1 =



1 0

, n paran broj , n neparan broj

pa u ovom sluˇ slucaju cˇ aju lim lim sn ne postoji, tj. red je divergentan. n

1 2

→+∞




34

   

∞ 

∑ ln


1+

1

n=1

n

.

Opˇsti sti clan cˇ lan datog reda moˇzemo zemo zapisati sa ln 1 +

1

= ln (n + 1)

n

− ln n ,

te je n -ta parcijalna suma jednaka n

sn =

∑ (ln (n + 1) − ln n) = ln (n + 1) − ln 1 = ln (n + 1) .

k =1

Odavde Odavde sada sada imamo imamo da da je lim sn = + ∞, pa je dati red divergentan.

→+∞



n



∞

4

− 5n

∑ n(n − 1)(n − 2) .

Primjer 1.47 Ispitati konvergenciju reda

n=3

Nije teˇ tesko sˇ ko pokazati da se opˇ op sti ˇ sˇ ti ˇclan clan reda moˇ moze zˇ e zapisati sa 4

xn =

n(n

− 5n

− 1)(n − 2)

=

2 n

1

3 − . n−1 n−2

+

Posmatrajmo sada n -tu parcijalnu sumu reda, n

n

− 5k = s = ∑ − − ∑= = k (k 1)(k 2) 4

n

k 3

k 3



2 k

+

1

3

− − k − 2

k 1



.

Izvedimo Izvedimo malo proraˇcuna: cuna: n

sn =

∑



2

+

1

3



− − k − 2 1 1 1 = 2 ∑ + ∑ − 3∑ k k − 1 k − 2 k =3 n

k

k 1 n

k =3

n

k =3

k =3

− 1 n−2 1 = 2 ∑ + ∑ − 3 ∑ k k k n

k =3 n

= 2 ∑ k =1

=

2 n

+

n 1

1

k =2

1

k =1 n

1

n

1

1 3 3 − 2−1+ ∑ −1− −3 ∑ + + k k n k n − 1 n k =1

k =1

3

n

− 1 − 4 .

Sada imamo, lim sn = lim



2

+

3

 −

−1 4 Dakle, posmatrani red je konvergentan i suma mu je −4. →∞

n

→∞

n

n

n

= 4 .

−



Uporedo sa redom (1.11) redom (1.11) posmatrajmo posmatrajmo i red ∞

an+1 + an+2 +

∞

· · · + a + + · · · = ∑ a + = n k

n k

k =1

∑

ak ,

(1.12)

k =n+1

koga nazivamo n -ti ostatak reda (1.11 ( 1.11)) i oznacavamo cˇ avamo ga sa r n . Veza konvergencije reda (1.11) (1.11) i konvergencije reda (1.12 (1.12)) data je u sljedećoj coj teoremi.


35

Teorem 1.2.1 1. Red Red (1.11 (1.11)) konvergira ako i samo ako konvergira red (1.12 ( 1.12). ). 2. Red Red (1.11 (1.11)) konvergira ako i samo ako njegov ostatak r zˇ i nuli kada n r n te zi

→ +∞.

Dokaz : Dokaz : 1. Oznacimo cˇ imo sa s n n-tu parcijalnu sumu reda (1.11 ( 1.11)) i sa s k k -tu -tu parcijalnu sumu reda (1.12 ( 1.12). ). Ocigledno cˇ igledno tada vrijedi jednakost sk = sn+k sn .

Ako je lim sn+k = s , onda je lim sk = s

−

− s , tj.

iz konver konvergen gencije cije reda reda (1.11 ( 1.11)) slijedi

n k →+∞ → konvergencija reda (1.12) (1.12)..   Iz lim lim sk = s imali imali bi da da je lim sn+k = s + sn , pa vaˇzi zi i obrat. k →+∞ k →+∞ k +∞

2. Red Red (1.11 (1.11)) moˇ mozemo zˇ emo zapisati kao

∞

∑ ak = sn + r n . k =1

Ako taj red konvergira i ima sumu s , onda je r n = s

− s , odakle je lim r = lim (s − s ) = 0 . → + →+ tezi zˇ i ka nuli kada n → +∞, iz prvog dijela teoreme slijedi da red ♣

Obratno, ako ostatak r n (1.11) 1.11) konvergira. konvergira.

n

∞

n

n

n

n

∞

Iz ovoga tvrdenja vidimo da odbacivanje kona cnog cˇ nog broja clanova cˇ lanova nekog reda ho ce c´ e uticati eventualno na sumu tog reda u smislu promjene vrijednosti te sume, ali ne ce c´ e uticati na njegovu konvergenciju. ∞ 

Primjer 1.48 Za geometrijski red

∑ qn vidjeli smo da konvergira za |q| < 1 i da je

n=0

∞

1

∑ qn = 1 − q .

n=0

∞

U kontekstu gornje primjedbe o odbacivanju kona cnog cˇ nog broja sabiraka reda i red

∞

n

ce c´ e biti

n=1

konvergentan, konvergentan, samo ˇ samo ˇsto sto je sada ∞

∑ qn

∑q =

n ∑q

n=1

n=0

−q

0

=

1

q − . 1 = 1−q 1−q

♦ 

∞

Teorem 1.2.2 Neka su dati redovi ∞

1. Ako red

∞

∑ xn i

∑ yn . Tada vrijedi:

n=1

n=1

∞

∑ xn konvergira, tada konvergira i red n=1

∑ axn ( a ∈ R) i pri tome je

n=1 ∞

∞

∑ axn = a ∑ xn . n=1

n=1


36

∞

∑ ( xn + yn ) i pri tome je

2. Ako oba reda konvergiraju, konvergiraju, tada konvergira konvergira i red

n=1 ∞

Dokaz : Dokaz : 1. Oznaˇ Oznacimo cˇ imo sa sn = x1 + x2 + vrijed vrijednost nostii lim sn slijedi

∞

∞

∑ ( xn + yn ) =

∑ xn + ∑ yn .

n=1

n=1

n=1

granicne cˇ ne · · · + x , a sa S = ax + ax + · · · + ax . Iz egzistencije graniˇ n

n

1

n

2

→+∞

n

lim S n = lim asn = a lim sn = as . → n→+∞ n→+∞ +∞ Neka Neka je je s n = x 1 + x2 + · · · + xn i s n = y 1 + y2 + · · · + yn . Neka je n

2.

n

lim sn = s → +∞

lim sn = s . → +∞

i

n

∞

Ako sa S n oznaˇcimo cimo n -tu parcijalnu sumu reda

=

lim S n → +∞

n

= =

∑ ( xn + yn ), imamo n=1

lim (( x1 + y1 ) + ( x2 + y2 ) + · · · + ( xn + yn )) → +∞ lim (( x1 + · · · xn ) + ( y1 + · · · yn )) = lim sn + lim sn n→+∞ n→+∞ n→+∞ s + s . ♣ n

∞

Vodimo raˇ racuna cˇ una da u 2. gornje gornje teoreme ne vrijedi obrat obrat tojest, tojest, ako je red ∞

ne moraj moraju u onda onda pojedi pojedina naˇcni cˇ ni redovi redovi biti konver konvergent gentni. ni. Naime, red ∞

dok su redovi

∑ ( xn + yn ) konvergentan n=1

konvergentan, ∑ (1 + (−1)) = 0 je konvergentan,

n=1

∞

∑ 1 i ∑ (−1) divergentni te ne vrijedi

n=1

n=1

∞

∞

∞

∑ (1 + ( 1)) =

∑ 1+

n=1

n=1

−

∑ (−1) .

n=1

Sljedećom com tvrdnjom dajemo neophodan uslov konvergencije numeriˇckog reda. ∞

Teorem 1.2.3 Ako red

konvergira, gira, onda vrijedi vrijedi lim xn = 0. ∑ xn konver n→+∞

n=1 ∞

cˇ i da je niz njegovih njegovih parcijalnih suma konvergentan. konvergentan. ∑ xn konvergentan. To zna ci 1 n= Iz jednakosti sn − sn−1 = xn ( n > 1), direktno slijedi Neka je red Dokaz : Dokaz : Neka

n

lim xn = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = 0 . → +∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞

♣

Da navedeni neophodan uslov konvergencije reda nije i dovoljan, pokazat ´ pokazat ćemo cemo primjerom. ∞ 

Primjer 1.49 Posmatrajmo harmonijski red ∑

Opˇsti sti clan cˇ lan ovog reda je x n =

1 n

1

n n=1

.

i oˇcigled cigledno no je lim xn = 0.

→+∞

n


37

Primjetimo kao prvo da za svaki prirodan broj n vrijedi 1 n+1

+

1 n+2

+

· · · + 21n > n · 21n = 12 .

(1.13)

Grupiˇsemo semo li clanove cˇ lanove naˇseg seg reda na slijedeći ci naˇcin cin 1 1 + + 2

    ···  ···  ···          1 1 + 3 4

svaki sabirak

+

≥

1 4

1 1 1 1 + + + 5 6 7 8 svaki sabirak

≥

+

+

1

−

2k 1 + 1

1 8

+

+

svaki sabirak

≥

1 + 2k

,

1 2k

koriste ci c´ i (1.13 ( 1.13), ), vrijednosti svake od zagrada je ve ca c´ a od 12 , pa je suma takvih brojeva beskona cna cˇ na te je dati red divergentan. Gornji rezultat je pomalo neo cekivan cˇ ekivan jer naprimjer milionita parcijalna suma harmonijskog reda iznosi S 1000000 1000000

≈ 14.392726722 ,

i poprilicno cˇ no razumno izgleda da nema kad ”oti ci” c´ i” do beskona cne cˇ ne sume! Inace, cˇ e, parcijalne sume harmonijskog harmonijskog reda se nazivaju nazivaju harmonijski brojevi brojevi i taj termin dolazi iz muziˇ muzicke cˇ ke teorije. Naime, 1 ton talasne duˇ duzine zˇ ine n zove se n -ti harmonik tona ˇ tona ˇcija cija je talasna duˇ duzina zˇ ina 1. Tako harmonijski broj S n predstavlja zbir prvih n harmonika. Vratimo se sada i problemu crvi ca c´ a sa pocetka cˇ etka ovog poglavlja. Vidjeli smo da ce c´ e crvic´ nakon n minuta preći ci n puta rastegnutu traku u duˇzini zini od 1 1 1 + + + 100 200 300

···

1 1 + = 100 n 100

·



1 1 1 + + + 2 3

1

···+ n



=

1 S n . 100

·

Da li ´ li će ce ikad sti´ stici c´ i do kraja trake? Prema gornjem, gornjem, to ´ to će ce se desiti kada n -ta parcijalna suma prede vrijednost 100, a to će ce se sigurno dogoditi zbog divergencije harmonijskog reda. Naime tada ce c´ e 1 umnozak zˇ ak 100 S n biti veci c´ i od 1, a ˇsto sto znaci cˇ i da ce c´ e crvic´ doci c´ i do kraja trake. Pokazuje se da ce c´ e to 43 37 biti (pogledati [? [ ?]) nakon 2 nakon 2 10 minuta, ili pretvoreno u godine, nakon vi se sˇ e od 10 od 10 godina, ˇ godina, ˇsto sto je mnogo viˇse se od procjenjene starosti svemira od 13 milijardi godina. ∞ 1 Za proizvoljne a , b R, op sti sˇ ti harmonijski red ∑ je divergentan.  an b + n=1

·

·

∈

Od interesa je poznavati konvergenciju nekih redova pa u tom cilju ovdje isti cemo cˇ emo jedan va zan zˇ an red: ∞

1

≤ 1 ∑ nα je konvergentan ako je α > 1, a divergentan ako je α ≤

n=1

Za α > 1 dati red se naziva hiperharmonijski red . Teorem 1.2.3 Teorem 1.2.3 cesto cˇ esto koristimo za dokazivanje divergencije nekog reda i to tako ˇsto sto ga koristimo ∞

⇒ q, gdje je p iskaz ”red ∑ x konvergira”, a = iskaz q je ” lim x = 0”. 0”. Kako zakon kontrapozicije tvrdi ( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p), onda imamo →+ kao kontrapoziciju. Naime, naˇ na se sˇe tvrdenje je oblika p

n

n 1

n

∞

n

tvrdenje,

∞

ta da je red ∑ xn divergentan. Posljedica 1.4. Ako je lim xn = 0 , tada n

→+∞



n=1


38 ∞ 

1

∑

Primjer 1.50 Ispitajmo konvergenciju reda

1 + 1n

n=1

Kako je 1

lim

→+∞

n

1

=

 

n 1 + 1n

n.

   

limn→

1 n +∞ 1 + n

=

1 e

= 0 .



Dakle, Dakle, opˇ op sti sˇ ti clan cˇ lan reda ne teˇzi zi ka 0, pa po navedenoj posljedici polazni red nije konvergentan.



∞ 

∑ (−1)


n

= 1

n=0

− 1 + 1 − 1 + · · · .. Kako

samim tim nije jednak 0, dati red je divergentan.

1.2.2

n

lim (−1) → +∞

n

ne postoji, 

Kriteriji konvergenci konvergencije je redova redova Sada ´ Sada ćemo cemo dati jedan od najopˇ najopstijih sˇ tijih kriterijuma konvergencije numeriˇ numerickih cˇ kih redova. Teorem 1.2.4 (Cauchyjev kriterijum konvergencije konvergencije)) Red (1.11 (1.11)) konvergira ako i samo ako vrijedi

(

∀ε > > 0)(∃n ∈ N)(∀n, p ∈ N)(n ≥ n ⇒ |a + + a + + · · · + a + | < ε ) . 0

n 1

0

n 2

n p

Dokaz ove tvrdnje ne cemo c´ emo izvoditi, a mo ze zˇ e se naci c´ i u [?]. Primjetimo ipak da ovaj stav govori, pojednostavljeno reˇ receno, cˇ eno, da je za konvergenciju reda (1.11 (1.11)) neophodno i dovoljno da proizvoljna p-ta parcijalna suma, proizvoljnog n -tog ostatka reda se mo ze zˇ e uciniti cˇ initi proizvoljno malenom, ˇsto sto naravno direktno koincidira sa tvrdenjima u Teoremi 1.2.1. Teoremi 1.2.1. Redovi sa nenegativnim ˇ nenegativnim ˇ clanovima clanovima Ako su skoro svi clanovi cˇ lanovi reda ( xn ) nenegativni, onda za red ∞

∑ xn = x1 + x2 + · · · + xn + · · ·

n=1

kazemo zˇ emo da je red sa nenegativnim clanovima. cˇ lanovima. Specifi cnost cˇ nost ovih redova je u tome ˇsto sto je niz ( sn ) parcijalnih suma datog reda monotono rastu ci c´ i niz, pa je za konvergenciju tog niza, na osnovu Weierstrassovog teorema (Teorem (Teorem 1.1.16 1.1.16), ), dovoljna joˇs i ograniˇcenost cenost tog niza. ∞

Teorem 1.2.5 Red

cˇ lanovima je konvergentan ako i samo ako je niz ∑ xn sa nenegativnim clanovima n=1

njegovih parcijalnih suma ograniˇcen. cen. ∞ 


1

∑ n(n + 1) .

n=1

Ovo je red sa pozitivnim ˇclanovima, clanovima, pa je za njegovu konvergenciju dovoljno utvrditi ograni cenost cˇ enost niza parcijalnih suma. Posmatrajmo zato n

sn =

n

1

∑ k (k + 1) = ∑

k =1

k =1

−  1

1

k

k + 1

= 1

− n +1 1 .

1 Kako je 1 n+ cujemo da je niz (sn ) ograniˇcen, cen, tj. polazni red je konvergentan. < 1, zakljuˇcujemo 1 ˇ viˇ Sta vise, sˇ e, ovdje imamo da je

−

s = lim sn = lim n

→+∞

→+∞

n

−  1

1

n+1

= 1 .

♦ 


39

ˇceˇ Stvarna potreba u radu sa redovima je utvrdivanje njihove konvergencije, konvergencije, ˇ cesˇce c´ e nego odredivanje same sume tog reda. U tom cilju nam je od interesa imati nekakve kriterije za utvrdivanje konvergencije. gencije. U narednim teoremama teoremama dat cemo c´ emo neke najˇceˇ ceˇs´ sće ce koriˇstene stene kriterije. Teorem 1.2.6 (Kriterij uporedivanja I) I) ∞

Neka za opˇ opste ˇ sˇte ˇclanove clanove redova

∞

∑ xn (1) i ∑ yn (2) postoji n0 ∈ N takav da je za n ≥ n0 , xn ≤ yn .

n=1

n=1

Tada vrijedi, 1. iz konvergencije konvergencije reda (2) slijedi konvergencija konvergencija reda (1), 2. iz divergencije reda (1) slijedi divergencija divergencija reda (2).

sˇ tosti pretpostavimo da je n 0 = 1 jer odbacivanjem ili dodavanjem Dokaz : Dokaz : 1. Bez umanjenja op stosti konacnog cˇ nog broja sabiraka beskona cnoj cˇ noj sumi ne ce c´ e uticati na njenu konvergenciju. Neka su s n i s n (n N) respektivno respektivno n -ta parcijalna suma reda (1) i reda (2). Po pretpostavci red (2) je konvergentan te postoji i kona can cˇ an je lim sn = s . Kako je x n yn za svako n N, to je i s n sn s . Dakle red

∈

≤

→∞

n

∈

≤ ≤

sa nenegativnim ˇclanovima clanovima ima niz parcijalnih suma koji je ograni cen cˇ en odozgo, te je prema Teorem 1.2.5 i 1.2.5 i red (1) konvergentan. 2. Primjetimo da je tvrdnja 2. kontrapozicija tvrdnje 1. te je na osnovu odgovaraju ce c´ e tautologije taˇcna cna i tvrdnja 2.

♣

∞




Kako je xn = ∞

a kako je red

3n ∑ 4n4 + 2n2 + 1 . n=1

3n

≤ 43nn

4n4 + 2n2 + 1

4

=

3 4n3

≤ n1

3

= y n ,

1

3), to je i polazni red, na osnovu ∑ n3 konvergentan (hiperharmonijski red sa α = 3),

n=1

kriterija uporedjivanja, konvergentan.



∞ 


n=1

Kako je xn = ∞

∑

n3n + 1

≥

2n

n3n + 1

2n n3n

2n

.

  ≥ 3 2

n

= yn ,



n

3 a red ∑ je divergentan divergentan (geometrijski red sa q = 32 ), to je i polazni red, na osnovu kriterija 2 n=1 uporedjivanja, divergentan.  Teorem 1.2.7 (Kriterij uporedivanja II) II) ∞

Neka za opˇ opste ˇ sˇte ˇclanove clanove redova

∞

xn

∑ xn (1) i ∑ yn (2) vrijedi nlim →∞ yn = A ∈ [0, +∞]. Tada vrijedi:

n=1

n=1

< +∞ onda iz konvergencije reda (2) slijedi konvergencija reda (1). 1. Ako Ako je je A < + 2. Ako Ako je je A > 0 onda iz divergencije reda (2) slijedi divergencija reda (1). n

tako da za sve n

xn

0 postoji n0 ∈ N, < +∞. Prema definiciji limesa, za proizvoljan ε > > 0 postoji →∞ yn = A < +

1. Neka je lim Dokaz : Dokaz : 1.

≥ n vrijedi 0



xn yn

 − 

A < ε

x ⇔ A − ε < < y

n n

< A + ε . .


40

Odavde dobijamo nejednakost x n ( A + ε ) yn koja je tacna cˇ na za skoro sve n N. Pozivajuci c´ i se na kriterij uporedivanja I imamo da iz konvergencije reda (2) slijedi konvergencija reda (1). xn = A > 0 i neka je red (2) divergentan. Pretpostavimo suprotno tojest, da 2. Neka je lim n→∞ yn 1 yn = < +∞, pa bi na osnovu dokazanog u 1. je red (1) konvergen konvergentan. tan. Tada bi imali da je lim n→∞ xn A morali zakljuˇ zaklju citi cˇ iti i da je red (2) konvergentan, ˇ konvergentan, ˇsto sto predstavlja suprotnost sa polaznom pretpostavkom. pretpostavkom. Dakle, i red (1) mora biti divergentan.

≤

∈

♣

∞ 


n

∑ n2 + 1 .

n=1 je y n = 1n .

n

Oznaˇ Oznacimo cˇ imo sa x n = n2 +1 i stavimo da (harmonijski red) je divergentan. Kako je xn

lim

→∞ yn

n

Kao ˇ Kao ˇsto sto smo ranije vidjeli, red sa op stim ˇ sˇtim ˇclanom clanom y n n2

= lim n

→∞ n2 + 1 = 1 > 0 ,

prema kriteriju uporedivanja je i red sa opˇstim stim clanom cˇ lanom x n divergentan.



Teorem 1.2.8 (Kriterij uporedivanja III) III) ∞

Neka za opˇste ste clanove cˇ lanove redova

∞

∑ xn (1) i ∑ yn (2) postoji n0 ∈ N tako da vrijedi

n=1

n=1

xn+1 xn

i neka je x n , yn > 0 (n

≤ y y+

n 1

za sve n

n

≥n

0

∈ N). Ako je red (2) konvergentan onda je i red (1) konvergentan.

opstosti sˇ tosti neka je n 0 = 1. Tada iz pretpostavke teorema imamo Dokaz : Dokaz : Bez umanjenja opˇ x2 x1

sto sˇ to je ekvivalentno sa

≤ yy

2 1

x1

,

x3 x2

≤ yy , ·· · · · xx− ≤ yy− 3

n

n

2

n 1

n 1

≥ yx ≥···≥ yx −− ≥ yx

y1

2

n 1

n

2

n 1

n

,

.

Uzimajući ci prvi i posljednji clan cˇ lan gornje produˇzene zene nejednakosti imamo nejednakost

≤ yx y , za sve n ∈ N .

xn

1

n

1

Pozivaju´ Pozivaju ci c´ i se na kriterij uporedivanja I, iz konvergencije reda (2) imamo konvergenciju reda (1). Teorem 1.2.9 (D’Alambertov kriterij) kriterij) ∞

1. Ako za red red

∑ xn postoje n0 ∈ N i q ∈ R, takvi da je za n ≥ n0

n=1

xn+1 xn

≤ q < 1 ,

∈ N, takav da je za n ≥ n x + ≥ 1 , x

dati red je konvergentan. Ako postoji n 0

0

n 1 n

dati red je divergentan.

♣


41

xn+1

2. Neka postoji lim

= λ

∈ ∈ R. Tada, ako je λ < 1 dati red je konvergentan, a ako je

xn > 1 dati red je divergentan. λ >

→+∞

n

∞

∈ N i q ∈ R, tako da je x x+ ≤ q < 1. Ovo = znaci cˇ i da je x + ≤ x q za sve n ≥ n ili ˇsto sto je ekvivalentno sa x + ≤ x q za sve k ∈ N. Kako n 1

∑ xn postoji n 0

sˇ ti clan cˇ lan reda Dokaz : Dokaz : 1. Neka za op sti

n

n 1

n 1

0

n ∞

je q < 1 to je red

k

∑q

n0 k ∞

konvergentan, a takav je onda i red

k =1

∑ xn q

k

0

( xn0 je konstanta za dati

k =1 ∞

∞

∑ xn +k = ∑

red). Na osnovu osnovu kriterija uporedivanja uporedivanja I je i red

n0

k

0

k =1

xk konvergentan. Dodavanjem

k =n0 +1

konaˇ konacno cˇ no mnogo ˇ mnogo ˇclanova clanova ( x1 , x2 ,... xn0 ) posljednjoj sumi ne´ necemo c´ emo uticati na konvergenciju reda, pa ∞

zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da ´ da će ce i red

∑ xk biti konvergentan. k =1

Ako je poˇ pocev cˇ ev od nekog indeksa n 0

∈ N zadovoljeno x x+ ≥ 1, onda je niz ( x ) monotono rastu´ rastuci c´ i n 1

n

n

≥

i x n 0, pa opsti sˇ ti clan cˇ lan reda ne te zi zˇ i 0, a na osnovu kontrapozicije teorema o neophodnom uslovu konvergencije reda zakljuˇcujemo cujemo da je dati red divergentan. xn+1 = λ < 1 . Iza 2. Neka Neka je je sada sada lim Izabe berim rimo o ε > 0 tako da je 0 < ε < 1 λ tojest, n→+∞ xn 0 < ε + 1. Prema definiciji graniˇ + λ < < 1. granicne cˇ ne vrijednosti, postoji n 0 N takav da za sve n n0 ce c´ e biti xn+1 xn+1 < xn < λ + ε . Stavlja zadovoljeno xn λ < ε ili λ ε < Stavljaju juci c´ i da je q = λ + ε , zbog izbora ε imamo da je q < 1, pa je na osnovu prvog dijela dokaza dati red konvergentan. xn+1 x Ako je lim 1, onda je poˇ pocev cˇ ev od nekog indeksa n0 N zadovoljeno xn+n 1 1 pa opet = λ > 1, n→+∞ xn na osnovu prvog dijela dokaza zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo divergenciju reda.

| − |

− −

∞ 


Ovde je x n =

1 , n!

∈

− ≥

∈ ♣

≥

1

∑ n! .

n=1

te prema D’Alambertovom kriteriju imamo lim

xn+1

→∞

n

xn

te je posmatrani red konvergentan.

∞

Posmatrajmo uopˇsteniju steniju situaciju,

= lim

→∞ n + 1 = 0 < 1 ,

n

an

∑ n! , gdje je a > 0 fiksan realan broj.

n=1

Primjenjujući ci D’Alambertov kriterij gdje je x n = lim

→∞

n

xn+1 xn

1

an imamo n!

an+1

= lim

→∞

n

(n+1)! an n!

a

= lim

→∞ n + 1 = 0 < 1 ,

n

te je red konvergentan. Primjetimo da koriste ci c´ i neophodan uslov konvergencije reda mo zemo zˇ emo do´ doci c´ i i do zakljuˇ zakljucka cˇ ka o konvergenciji niza. Naime, ovdje iz konvergencije datog reda mo zemo zˇ emo zakljuˇ zakljuciti cˇ iti da vrijedi: an lim = 0 . n→∞ n!

♦



∞ 


n

3

∑ n2 + n + 1 .

n=1

lim

→+∞

n

xn+1 xn

=

n2 +n+1 3n lim 2 n +∞ (n+1) +(n+1)+1 3n+1

→

= lim

→+∞

n

3(n2 + n + 1) n2 + 3n + 3

= 3 > 1 ,


42

pa na osnovu D’Alambertovog kriterija je polazni red divergentan. ∞ 


Opˇsti sti clan cˇ lan reda je x n =

lim

→∞

n

xn+1 xn

nn te n!



nn

∑ n! .

n=1

imamo,

= lim

(n+1)n+1 (n+1)!

= lim

nn n!

→∞

n

(n + 1)n nn

→∞

n

 

= lim 1 +

→∞

n

1

n

n

= e > 1 .

Dakle, red je divergentan na osnovu D’Alambertovog kriterija. ∞




lim

n

→∞

xn+1 xn



(2n 1)!! . 2 !! n ( ) n=1

−

∑

(2n+1)!! (2n+2)!! = lim (2n 1)!! n ∞ (2n)!!

−

→

2n + 1 = 1 . n→∞ 2n + 2

= lim

Na osnovu D’Alambertovog kriterija ne mo zemo zˇ emo niˇ nista sˇ ta re´ reci c´ i o konvergenciji ovog reda.



Tvrdnju 2. u D’Alambertovom kriteriju pravilnije bi bilo iskazati u ”oslabljenoj” formi. Naime, xn+1 xn+1 = λ < < 1 za konvergenciju = λ > > 1 za divergenciju trebalo bi posmatrati lim posmatrati lim konvergenciju,, odnosno lim odnosno lim divergenciju xn xn reda. Zaista, posmatrajmo posmatrajmo red ciji cˇ iji je opˇsti sti clan cˇ lan xn =



2− 2 n 3− 2

1

1

1

n+1

; n neparan ; n paran

tojest, posmatrajmo sumu 1

+ + + +

· · · 21 + 31 + · · · .

n n 2 3 4 9 Moramo razlikovati dva sluˇ slucaja. cˇ aja. Ako je n paran broj tada je

xn

+ 2− = − 3

xn+1

3−

n+1 2

2−

n+1 2

xn+1

n 1 2 n 2

=

a ako je n neparan broj, xn

=

Naravno, tada ne moˇ mozemo zˇ emo govoriti o lim o lim

xn+1 xn

=

n 2

  √    1

2

3 2

2 3

2 3

,

n

.

jer ne postoji, ali moˇ mo zemo zˇ emo govoriti o limesu superior

xn+1 = +∞. Medutim, i pri tome je lim Medutim, sada treba treba voditi voditi ra cuna cˇ una o tome da u uslovu teorema xn zahtjevamo da je λ R, pa iz dobijenog rezultata ne bi smo mogli konstatovati divergenciju reda. ˇ viˇse, Sta se, kako je ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 ∑ xn = ∑ 2n + 3n = ∑ 2n + ∑ 3n , n=1 n=1 n=1 n=1

∈ ∈

 

red je kao suma dva konvergentna reda i sam konvergentan red. Ovaj primjer nam pokazuje jo sˇ jednu bitnu ˇcinjenicu cinjenicu vezanu za tvrdnju 2. D’Alambertovog kriterija, xn+1 a to je da je uslov lim 1 samo dovoljan, a ne i neophodan za konvergenciju reda. Naime, = λ < < 1 samo xn xn+1 = λ < 1 , sta za pokazani red utvrdili smo njegovu konvergenciju, a pri tome nije lim sˇ ta vise sˇ e xn xn+1 lim uopˇ uopste sˇ te ne postoji. postoji. xn


43

Teorem 1.2.10 (Cauchyjev korijeni kriterij) kriterij) ∞

1. Ako za red red

∑ xn postoje n0 ∈ N i q ∈ R, takvi da je za n ≥ n0

n=1

√ x ≤ q < 1 , dati red je konvergentan. Ako postoji n ∈ N, takav da je za n ≥ n √ x ≥ 1 , n

n

0

0

n

n

tada je dati red divergentan. 2. Neka postoji lim n xn = λ . Tada, ada, ako ako je λ < 1 red konvergira, a ako je λ > 1 red

→+∞

n

divergira.

√

∞ 

∑


n=1

√ x =

lim

n

→+∞

n

n

lim

n2

n

→+∞

n

 

−1

 

n2

 

−1

n

.

2n2 + n + 1 n

2n2 + n + 1

= lim

n2

−1

2n2 + n + 1

→+∞

n



1

= < 1 , 2

pa na osnovu Cauchyjevog korijenog kriterija zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je dati red konvergentan. ∞ 

∑ 2n


n=1

Koristimo korijeni kriterij,

√ lim x = lim n

n

→∞

n

n

→∞

         1 2n

n

n

1

n+1

n

→∞ 2

n

n+1

−n

2

.

2

−n

−n

n+1

n

 

n+1

1 = lim n→∞ 2

= lim

1



n

n

1 = lim n→∞ 2

1+

1

n

n

e

= > 1 , 2

te je posmatrani red divergentan.



Kao i kod D’Alambertovog kriterija i ovdje spomenimo da u 2. mo zemo zˇ emo koristiti stro ziju zˇ iju formu. Naime, pravilnije bi bilo koristiti lim n xn .

√

∞

Teorem 1.2.11 Neka je

n=1

√

lim n xn = λ .

→∞

n

Dokaz : Dokaz : Neka je lim

→∞

n

lim

n

→∞

cˇ lanovima. Ako je lim ∑ xn red sa nenegatinim clanovima. n→∞

 n

xn x1

xn+1 xn

= lim

→∞

n

= λ . Tada je i lim

n

→∞ xn−1 = λ . Sada imamo

n

 ·

x2 x3 x1 x2

xn

····· xx− n

n 1

xn+1 xn

= λ onda je i


44

Koriste´ Koristeci c´ i se ˇ se ˇcinjenicom cinjenicom da ako je lim an = a onda je i lim

→∞

→∞

n

je

n

lim

n

→∞

n

√



x1

a kako je lim n x1 = 1, zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je lim

→∞

n

xn

→∞

n

√ a · a · · · a = a, iz gornjeg imamo da n

1

n

2

= λ ,

√ x = λ . ♣ n

n

Gornji rezultat nam govori da ako nam D’Alambertov kriterij daje kriterij konvergencije reda, onda ´ onda će ce nam to dati i Cauchyjev korijeni kriterij. Me dutim, obrat u op stem sˇtem sluˇ slucaju cˇ aju ne mora da va zi zˇ i sto sˇ to znaˇ znaci cˇ i da je korijeni kriterij ja ci cˇ i od D’Alambertovog kriterija. ∞ 


opsti ˇ sˇ ti ˇclan clan zadat sa ∑ xn gdje je opˇ n=1



xn =

n+1

2− 2 n 3− 2

; n neparan ; n paran

xn+1 Kao ˇ Kao ˇsto sto smo to ve c´ utvrdili, ne mo zemo zˇ emo primjeniti D’Alambertov kriterij jer je lim = +∞ / R. xn n n+1 Medutim, posmatrajmo korijeni kriterij. Kako je x n jednako ili 3 ili 3 − 2 ili 2 ili 2 − 2 (u zavisnosti zavisnosti da li je n parno ili neparno) to ćemo cemo imati dva podniza u korijenom kriteriju tojest,

∈

√ x = n

n

     + 2−

n 1 2 n

3− 2

√

Zakljucujemo cˇ ujemo da je lim n xn = konvergira.

1 n

1 n

;

n neparan

;

n paran



→

√ 12 √ 13

; ;

→∞ n→∞ n

√ 12 < 1, te prema Cauchyjevom korijenom kriteriju posmatrani red 

Koji od kriterija konvergencije primjenjujemo u konkretnoj situaciji, stvar je iskustva. Ono sto sˇ to treba primjetiti je da i u D’Alambertovom D’Alambertovom i u Cauchyjevom Cauchyjevom korijenom kriteriju ako je λ = 1, 1, kriteriji ne daju odluku o konvergenciji reda. Tada su nam za ispitivanje konvergencije potrebni ili neki drugi alati (npr. kriterij uporedivanja), uporedivanja), ili neki bolji kriteriji. kriteriji. Jedan od tih boljih kriterija kriterija je i naredni navedeni, a kao jedan od najboljih ovdje ćemo cemo samo spomenuti poznati Gaussov kriterij o kome se moˇ moze zˇ e pogledati u [? [?]. Teorem 1.2.12 (Kummerov Kummerov kriterij) kriterij)

∞

Neka je (cn ) niz pozitivnih realnih brojeva, takav da je red

1

∑ cn

divergen divergentan tan i neka je dat red

n=1

∞

xn

cimo sa K n = c n x ∑ xn . Oznaˇcimo +

sˇ ti clan cˇ lan reda (n ∈ N). − c + , gdje je x op sti = ≥ 0 i n ∈ N, takvi da je za n ≥ n , K ≥ δ , onda dati red konvergira. 1. Ako postoji postoji δ ≥ Ako postoji n ∈ N, takav da je za n ≥ n , K ≤ 0, onda dati red divergira. n 1

n 1

n 1

n

0

0

0

0

n

n

2. Neka Neka postoji postoji lim K n = λ . Ako je λ > 0 red konvergira, a ako je λ < 0 rad divergira.

→+∞

n

Specijalno, ako u Kummerovom kriteriju izaberemo da je c n = n ( n se naziva Raabeov kriterij konvergencije i on glasi: Ako postoji n 0 N takav da je za n n0 ispunjeno

∈

≥

n



xn

xn+1

 − ≥ 1

q > 1 ,

∈ N), dobijamo kriterij koji


45

∞

onda je red

konvergentan. ∑ xn konvergentan. n=1

Ako postoji n 0

∈ N, takav da je za n ≥ n ispunjeno 0

n



xn

xn+1

 − ≤ 1

1 ,

dati red je divergentan. Naravno, i ovaj kriterij dajemo u formi koja je prakti cnija cˇ nija za upotrebu, a ona glasi, ako postoji

n

lim n → +∞



xn

xn+1

 − 1

= λ ,

onda je polazni red konvergentan za λ > 1, a divergentan za λ < 1. Primjetimo Primjetimo takode da izborom izborom niza c n = 1 ( 1 ( n N), imamo D’Alamberto D’Alambertov v kriterij, stim da se posmatra kada je λ > 0 ili λ < 0.

∈

∞



Primjer Primjer 1.63 1.63 U Primj Primjeru eru 1.59 posmat posmatral ralii smo red

(2n 1)!! i vidjel vidjelii smo smo da nam D’Alam D’Alamber berto tov v (2n)!! n=1

∑

−

kriterij nije dao odgonetku o konvergenciji reda. Pokuˇ Poku sajmo sˇajmo sa Raabeovim kriterijem.

n

lim n → +∞



xn

xn+1

 − 1



 −

2n + 2 1 = lim n n→∞ 2n + 1 1 n = lim = . n→+∞ 2n + 1 2

Prema Raabeovom kriteriju λ = 12 < 1, red je divergentan. Ovaj primjer nam potvrduje da je Raabeov test bolji (funkcionalniji) od D’Alambertovog kriterija.  Alternativni redovi U sekciji 1.1 posmatrali smo sume brojeva neovisno o njihovom znaku, a u sekciji 1.2 smo posmatrali samo redove sa nenegativnim clanovima cˇ lanovima i za takve redove smo definisali pojam konvergencije i istakli neke od kriterija konvergencije. Vratimo se sada jo sˇ jednom na redove sa proizvoljnim clanovi cˇ lanovima. ma. Neka Neka je ( xn )n∈N realan numericki cˇ ki niz. niz. Za ovakav ovakav niz mozemo zˇ emo posmatrati sljede ce c´ e numeriˇcke cke redove, ∞

∑ xn

(1.14)

(1.15)

n=1

i ∞

∑ | x xn |

n=1

Za red (1.14 (1.14)) razlikovat ´ razlikovat ćemo cemo dvije vrste konvergencije. Definicija 1.2.2 Za red (1.14 (1.14)) ka zemo zˇ emo da konvergira apsolutno ako je red (1.15 ( 1.15)) konvergentan. Za red (1.14 red (1.14)) kaˇ kazemo zˇ emo da konvergira konvergira uslovno ako je on konvergentan, konvergentan, a pri tome ne konvergira konvergira apsolutno. Da je apsolu apsolutna tna konv konver ergen gencij cijaa ”jaˇ ”jaca” cˇ a” od obi obicne cˇ ne konver konvergenci gencije je reda potvrduje potvrdujemo mo sljede sljedećim c´ im tvrdenjem tvrdenjem..


46

(1.15) konvergentan, konvergentan, konvergentan je i red (1.14 (1.14). ). Teorem 1.2.13 Ako je red (1.15) Dokaz slijedi na osnovu Cauchyjevog op steg sˇteg kriterija konvergencije redova i nejednakosti Dokaz : Dokaz : Dokaz

| x x + + x + + · · · + x + | ≤ | x x + | + | x x + | + · · · + | x x + | . n 1

n 2

n p

n 1

n 2

♣

n p

Drugaˇ Drugacije cˇ ije reˇ receno, cˇ eno, ako je red apsolutno konvergentan onda je i konvergentan. Da obrat ne vrijedi, vidjet ´ vidjet ćemo cemo neˇ nesto sˇ to kasnije u primjeru primjeru 1.64 1.64.. Od svih redova sa proizvoljnim ˇ proizvoljnim ˇclanovima clanovima ovdje ´ ovdje ćemo cemo spomenuti spomenuti jednu klasu, a to su redovi redovi oblika, ∞

∑ (−1)n+1 cn = c1 − c2 + c3 − c4 + · · · + (−1)n+1 cn + · · · ,

n=1

gdje su cn realni brojevi istog znaka (pozitivni (pozitivni ili negativni). negativni). Ovakve redove nazivamo nazivamo alternativnim redovima. Teorem 1.2.14 (Leibnitzov kriterij) kriterij) ∞

Neka je dat alternativni red

n+1

∑ (−1)

c´ i ( xn+1 xn . Ako je niz ( xn )n∈N monotono opadaju ci

n=1

≤ x ) i n

ako ako je lim lim xn = 0, tada je red konvergentan.

→+∞

n

seg reda oblika, Dokaz : Dokaz : Posmatrajmo parcijalnu sume naˇseg 2n

s2n =

− ∑ (−1)k 1 xk = ( x1 − x2 ) + ( x3 − x4 ) + · · · + ( x2n−1 − x2n ) .

(1.16)

k =1

Zbog monotonosti niza ( xn ) svaka od zagrada u (1.16) ( 1.16) je je nenegativna veli cina cˇ ina pa je niz ( s2n )n∈N monotono rastući. ci. Kako su parcijalne parcijalne sume konaˇcne cne sume, preuredujući ci sabirke u (1.16 (1.16)) imamo s2n = x 1

− ( x − x ) − ( x − x ) −···− ( x − − x − ) − x , iz ˇ iz ˇcega cega zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je za sve n ∈ N, s ≤ x ˇsto sto opet znaˇ znaci cˇ i da je niz (s ) ∈ ograniˇ ogranicen cˇ en odozgo. 2

3

4

2n 2

5

2n

2n 1

2n

2n n

1

N

Ove dvije ˇ dvije ˇcinjenice cinjenice nam obezbjeduju da je niz ( s2n )n∈N konvergentan konvergentan i pri tome je on podniz niza (sn )n∈N . Posmatramo li niz ( s2n−1 )n∈N , njegov opsti sˇ ti clan cˇ lan je s 2n−1 = s 2n x2n . Kako Kako je ( xn ) nula niz i iz ˇ viˇ utvrdene konvergencije niza ( s2n ), zakljuˇ zakljucujemo cˇ ujemo da je i niz ( s2n−1 ) konvergentan. konvergentan. Sta vise, sˇ e, mora vrijediti lim s2n = s = lim s2n−1 .

−

→∞

→∞

n

n

Kako smo niz (sn ) rastavili na dva konvergentna podniza koja konvergiraju ka istoj granici, to će ce i sam niz biti konvergentan i za njega ce c´ e biti lim sn = s. Dakle, posmatrani red je konvergentan.

♣

→∞

n

∞ 

Primjer 1.64 Posmatrajmo alternativni red

kriteriju, kriteriju, imamo da je niz zadat sa x n =

1 n

∑

( 1)n−1

−

n=1

n

. Koriste oristeci c´ i notaciju u Leibnitzovom

, monotono opadajući ci jer za proizvoljno n

xn+1 =

1 n+1

<

1 n

∈ N vrijedi

= xn ,

i lim xn = 0. Sada na osnovu Leibnitzovog kriterija zakljuˇ zaklju cujemo cˇ ujemo da je dati red konvergentan. n

→∞


47 ∞

ˇ viˇ Sta vise, sˇe, on je ”samo” uslovno konvergentan konvergentan jer red sa apsolutnim vrijednostima, ∞

∑ n=1

1

harmonijsk i red koji je divergentan. ∑ n je poznat nam od ranije harmonijski

n=1

 −

( 1)n n



= 

Sliˇ Slicno cˇ no sa hiperharmonijskim hiperharmonijskim redovima navedimo sljede ci c´ i vaˇ vazan zˇ an alternativni red koji je uop stenje sˇtenje reda iz gornjeg primjera. ∞

∑ n=1

1.2.3

( 1)n

−

nα

je konvergentan konvergentan ako je α > 0, a divergentan ako je α

≤ ≤ 0

ˇ lanovima Joˇ Joˇs o redovima sa proizvoljnim clanovima c ∞

Posmatrajmo red

∑2

n

. Ako Ako bi smo sumu ovog ovog reda reda oznacili cˇ ili sa s, mogli bi imati sljede ce c´ e

n=0

rasudivanje:

s = 1 + 2 + 22 + 23 +

···

= 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + = 1 + 2s .

···)

Dakle dobili bi smo jedna cinu cˇ inu s = 1 + 2s. Ako Ako je je s R imali bi da je s = 1, sto sˇ to predstavlja apsurdan rezultat u smislu da je suma pozitivnih brojeva negativan broj. Naravno, rje senje sˇenje dobijene ∗ jednaˇ jednacine cˇ ine moˇ mozemo zˇ emo traˇ traziti zˇ iti i u R . Tada bi mogu ca c´ a rjeˇ rjesenja sˇenja bila +∞ i ∞, a kako smo ranije pokazali dati red je divergentan i njegova suma je +∞.

∈

−

−

∞

Neˇ Nesto sˇto drugaˇ drugaciju cˇ iju situaciju imamo posmatraju ci c´ i red

∑ (−1)

n

. Naime, ako to posmatramo ovako,

n=0 ∞

∑ (−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + · · · = 0 ,

n=0

ali moglo bi i ovako, ∞

∑ (−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 − (1 − 1) − (1 − 1) −··· = 1 − 0 − 0 −··· = 1 .

n=0

Ovo ve´ vec´ predstavlja problem jer suma ovisi o tome kako grupi semo sˇemo sabirke. I ovdje mo zemo zˇ emo uvesti ∞

rekurzivnu formulu ako stavimo da je

∑ (−1)n = s. Tada imamo,

n=0

s = 1

− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) = 1 − s . Medutim, jednacina cˇ ina s = 1 − s ima jedinstveno rjesenje sˇ enje u R∗ i to s = . Sada bi mogli pomisliti da 1 2

je to stvarno suma naseg sˇeg reda, iako je ˇcudno cudno da zbir cijelih brojeva mo ze zˇ e dati ˇcisto cisto racionalan broj. Iskoristimo li zakon komutativnosti u posljednjem rezonovanju, s = 1

− 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = −1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 −··· , sliˇ slicno cˇ no malopredaˇ malopredasnjem sˇ njem bi zakljuˇ zakljucili cˇ ili da je s = − , a ovo ve´ vec´ baca veliku sumnju na to ˇ to ˇsta sta je suma 1 2

reda. Dodavanje nule bilo cemu cˇ emu ne dovodi do promjene vrijednosti, ali s = 1 + 0

−1+1+0−1+1+0−1+··· s − 1 = 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · · s − 1 − 0 = −1 + 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + · · ·


48

Sabiraju´ Sabirajuci c´ i ove tri jednakosti dobijamo, s + (s

− 1) + (s − 1 − 0) = (1 + 0 − 1) + (1 + 0 − 1) + (1 + 0 − 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 0 ,

iz ˇ iz ˇcega cega je onda s = 23 . Filozof Gvido Grandy je 1703. privukao pa znju zˇ nju svojim razmatranjem o sumiranju ovog reda, tvrdeci c´ i da ovaj red simbolizuje ”Kreaciju univerzuma ni cega”. cˇ ega”. Dok je u prvom prvom primjeru primjeru stvar veoma jednostavna jer rjeˇ rje senja sˇenja mogu biti i ∞, drugi primjer je mnogo kompleksniji. Razmatraju ci c´ i koristeno sˇ teno u transformacijama u drugom primjeru vidimo da su to samo zakon komutativnosti i zakon asocijativnosti, a da prema dobijenim rezultatima ne sto sˇto sa tim zakonima i nije ba sˇ sve u redu. Naravno da je sa zakonima sve u redu, ˇcak cak smo ih aksiomatski uveli. Ali oni vrijede na konacnom cˇ nom broju sabiraka, a mi smo ih gore primjenili na beskonaˇ beskonacne cˇ ne sume i tu leˇ lezi zˇ i problem tojest, ti zakoni ne vrijede u takvim situacijama. Narednim tvrdenjima ćemo cemo kompletirati podru cje cˇ je vaˇ vaznosti zˇ nosti zakona komutativnosti i zakona asocijativnosti.

±

cki red konvergentan onda on ima osobinu asocijativnosti. Teorem 1.2.15 Ako je numeriˇcki Opisno reˇ receno, cˇ eno, ako je beskonaˇ beskonacna cˇ na suma realnih brojeva konvergentna tada na sumu tog reda ne´ nece c´ e uticati naˇcin cin grupisanja njenih sabiraka. cki red apsolutno konvergentan onda on ima svojstvo komutativTeorem 1.2.16 Ako je numeriˇcki nosti. Ono sto sˇ to smo uoˇcili cili u drugom primjeru sada cemo c´ emo iskazati generalnim tvrdenjem. cˇ ki red uslovno konvergentan, tada za svaki s Teorem 1.2.17 — 1.2.17 — Riemman. Ako je numeri cki moˇ moze zˇ e se povoljnim premjeˇ premjestanjem sˇ tanjem i grupisanjem ˇ grupisanjem ˇclanova clanova dobiti red ˇ red ˇcija cija je suma upravo s . ∞ 

Primjer 1.65 Posmatrajmo josˇ jednom uslovno konvergentan konvergentan red

n=1

sumu tog reda dakle, s = 1

∑

( 1)n+1

−

n

∈ R∗

. Oznacimo cˇ imo sa s

− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18 + 19 − 101 + 111 − 121 · · ·

Pomnoˇ Pomnozimo zˇ imo gornju jednakost jednakost sa 2, 2s = 2

− 1 + 23 − 12 + 25 − 13 + 27 − 14 + 29 − 15 + 112 − 16 · · ·

Grupiˇsimo simo u gornjoj jednakosti na desnoj strani sabirke sa istim imeniocem, naprimjer

2s = 2

2 5

i

−

1 , 5

− 1 + 23 − 12 + 25 − 13 + 27 − 14 + 29 − 15 + · · ·

izraˇcunavaju´ cunavajući ci ta grupisanja dobijamo 2s = 1

− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18 + 19 − 101 + 111 − 121 · · ·

Dakle, 2s = s iz ˇcega cega onda imamo 2 = 1!?




49

1827, 1827, Peter Lejeune-Di Lejeune-Dirichl richlet et otkrio otkrio je ovaj ovaj interesan interesanatan atan rezultat rezultat iz gornjeg gornjeg primjera, primjera, izu cavaju´ cˇ avajuci c´ i konvergen konvergenciju ciju Fourierovih Fourierovih redova. On je prvi koji je uo cio cˇ io da je mogu ce c´ e rearanzirati zˇ irati sabirke u nekoj sumi (danas to ka zemo zˇ emo u uslovno konvergentnom redu) tako da se vrijednost sume promjeni. Dirichlet nije dao odgovor kako je ovo mogu ce c´ e (U radu iz 1837 on je dokazao da ovo nije mogu ce c´ e kod redova koji su apsolutno konvergen konvergentni). tni). Sa otkri cem c´ em da suma reda moze zˇ e biti promjenljiva, on je na sao sˇ ao put za dokaz konvergencije Fourierovih redova, te je 1829 uspio rije siti sˇ iti jedan od najznaˇ najznacajnijih cˇ ajnijih problema u to vrijeme. 1852 Bernhard Riemann je zapo ceo cˇ eo rad na proˇ prosirenju sˇirenju Dirichletovog rezultata o konvergenciji Fourierovih redova i u konsultaciji sa Dirichletom oko tog rada, prisjetio ga je na njegova zapa zanja zˇ anja oko promjene sume uslovno konvergentnih redova. Riemann je pretpostavljao ovakvo ponasanje sˇanje nekih redova i dao je nekoliko rezultata o tome, danas najpoznatiji ”Riemannov teorem preuredenja”. Ovaj njegov rezultat je bio dio njegovog rada o Fourierovim redovima i mada je taj materijal bio kompletiran josˇ 1853., nije bio publikovan sve do njegove smrti 1866. u radu “On the Representation of a Function by a Trigonometric Series.”

Nizovi i redovi

Recommend Documents