FURIJEOVI REDOVI – ZADACI ( I deo)
Primer 1. Funkciju y = x razviti u Furijeov red na intervalu [−π , π ]
Rešenje:
Najpre ćemo nacrtati sliku da se podsetimo kako izgleda ova funkcija...
y
y=x
y=-x
1 -1
0
1 y= x
x
Očigledno je funkcija parna ( grafik je simetričan u odnosu na y osu), pa koristimo formule:
a0 =
2
π
an =
π
∫ f ( x)dx 0
π
2
∫ f ( x) cos nxdx
π
f ( x) =
a0 =
2
π
dok je
bn = 0
0 ∞ 1 a0 + ∑ an cos nx 2 n =1
π
∫
f ( x)dx =
0
2
π
π
∫ xdx = 0
2
π
⋅(
x2 π 2 π 2 ) / = ⋅( ) = π 2 0 π 2
Dalje tražimo:
1
an =
2
π
π
∫ f ( x) cos nxdx = a
n
=
0
2
π
π
∫ x cos nxdx = 0
Ovaj integral ćemo rešiti uz pomoć parcijalne integracije, izvučimo ga na stranu , bez granica: x=u
cos nxdx = dv
1 1 x sin nx 1 = x ⋅ sin nx − ∫ sin nxdx = − ∫ sin nxdx = 1 n n n n sin nx = v n x sin nx 1 1 x sin nx 1 cos nx = = + + 2 cos nx n nn n n
∫ x cos nxdx = dx = du
Sad mu stavimo granicu:
0 ⋅ sin n ⋅ 0 1 x sin nx 1 π π sin nπ 1 + 2 cos nx / = + 2 cos nπ − + 2 cos n ⋅ 0 n n n n n ovo je 1 n 0 ovo je 0 1 1 1 = 2 cos nπ − 2 = 2 (cos nπ − 1) n n n
=
Onda je : π 2 2 1 2 an = ∫ f ( x) cos nxdx = ⋅ 2 (cos nπ − 1) = 2 (cos nπ − 1) π 0 π n πn Naravno da n uzima vrednosti 1,2,3... Izraz cos nπ neizmenično ima vrednosti :
za n=1 je cosπ =-1 za n=2 je cosπ =1 za n=3 je cosπ =-1 za n=4 je cosπ =1 itd. Dakle , važi da je cos nπ = (−1) n Onda je an =
2 ((−1)n − 1) 2 πn
Ako je n paran broj , imamo: a2 n =
2 ((−1) 2 n − 1) = 0 π n2
Ako je n neparan broj , imamo: a2 n −1 =
2 2 −4 ((−1) 2 n −1 − 1) = ⋅ (−2) = 2 2 π (2n − 1) π (2n − 1) π (2n − 1) 2
2
Vratimo se sada u formulu za razvoj: f ( x) =
∞ ∞ 1 1 −4 1 −4 ∞ cos(2n − 1) x a0 + ∑ an cos nx = π + ∑ cos(2 n − 1) x = π + ∑ 2 2 2 2 π n =1 (2n − 1) 2 n =1 n =1 π (2 n − 1)
Dakle : 1 4 ∞ cos(2n − 1) x f ( x) = x = π − ∑ 2 π n =1 (2n − 1) 2
Primer 2. Razviti u Furijeov red funkciju f ( x) = sgn x u intervalu [−π , π ] Rešenje:
Najpre malo objašnjenje: Funkcija sgnx se čita signum od x ili po naški znak od x .
Ona je ustvari:
−1, za x < 0 sgn x = 0, za x = 0 +1, za x > 0
pogledajmo sliku:
y
1 0
x
-1
Ako je x ≠ 0 onda imamo sgn x =
x x
Nama ova funkcija treba na intervalu [−π , π ] : y
1 -π
0
π
x
-1
3
2
Očigledno je data funkcija neparna, pa koristimo formule: bn =
bn =
2
π
π
∫
f ( x) sin nxdx =
0
2
π
π
∫ sin nxdx = 0
π
π
∫
∞
f ( x) sin nxdx
f ( x) = ∑ bn sin nx n =1
0
2 cos nx π 2 cos nπ cos n ⋅ 0 − + / = − = π n 0 π n n
2 (−1) 1 2 + = (1 − (−1)n ) − π n n πn n
=
Opet ćemo razlikovati parne i neparne članove: Za n paran broj je b 2 n = 0 Za n neparan broj je b 2 n −1 =
2 4 (1 + 1) = π (2n − 1) π (2n − 1)
Sada se vratimo u početnu formulu za razvoj i imamo:
4 4 ∞ sin(2n − 1) x sin(2n − 1) x = ∑ π n =1 2n − 1 n =1 π (2 n − 1)
∞
∞
f ( x) = ∑ bn sin nx = ∑ n =1
sgn x =
4
sin(2n − 1) x 2n − 1 n =1 ∞
∑ π
Primer 3. Funkciju f ( x) = {
π, −π ≤ x < 0 razviti u trigonometrijski red. x, 0 ≤ x ≤ π
Rešenje:
Najpre uočimo da je zadati interval [−π , π ] . Znači da ćemo koristiti formule: a0 =
1
π
π
∫
an =
f ( x)dx
−π
1
π
π
∫
bn =
f ( x) cos nxdx
−π
1
π
π
∫
f ( x) sin nxdx
−π
Pazite na jednu stvar: pošto je funkcija zadata na ovaj način moramo raditi 2 integrala, gde ćemo kad su granice od
−π do 0 uzimati vrednost f(x) = π , a kad granice idu od 0 do π uzimamo f(x) = x a0 =
1
π
π
∫
−π
f ( x)dx =
1
π
0
∫ π dx +
−π
1
π
π
∫ xdx = 0
1
π
π ⋅x/
0 −π
+
1 x2 π π 3π / =π + = π 2 0 2 2
4
an =
1
π
π
∫π
0
1
f ( x) cos nxdx =
∫π
π
−
π cos nxdx +
−
0
1
1
π
π
∫ x cos nxdx 0
π
∫π cos nxdx + π ∫ x cos nxdx
=
−
0
Ovde imamo integral sa parcijalnom integracijom, pa ćemo njegovu vrednost ( bez granica naći “na stranu”) x=u
cos nxdx = dv 1 1 x sin nx 1 ∫ x cos nxdx = dx = du 1 sin nx = v = x ⋅ n sin nx − ∫ n sin nxdx = n − n ∫ sin nxdx = n x sin nx 1 1 x sin nx 1 = + cos nx = + 2 cos nx n nn n n
Sad se vratimo u an : 0
an =
∫ cos nxdx +
−π
1
π
0
1
1 x sin nx 1 π + 2 cos nx / n n 0
x cos nxdx = sin nx / + −π π π∫ n 0
1 1 1 π sin nπ 1 0 sin n ⋅ 0 1 = [ sin n ⋅ 0 − sin n(−π )]+ [ + 2 cos nπ − + 2 cos n ⋅ 0 ] π n n n n n n ovo je sve 0 ovo je 0 ovo je 0 1 1 1 1 1 = ( 2 cos nπ − 2 ) = 2 (cos nπ − 1) = 2 ((−1)n − 1) π n πn πn n Dakle : −2 , n = 2k + 1, k = 0,1, 2,3... 1 n an = 2 ((−1) − 1) = { π (2k + 1) 2 πn 0, n = 2k , k = 0,1, 2,3...
Još da nadjemo : bn =
1
π
π
∫
f ( x) sin nxdx =
−π
1
π 0
=
0
∫ π sin nxdx +
−π
1
1
π
π
∫ x sin nxdx 0
π
∫π sin nxdx + π ∫ x sin nxdx
−
0
I ovde ćemo najpre odraditi parcijalnu integraciju: x=u
sin nxdx = dv 1 1 x cos nx 1 ∫ x sin nxdx = dx = du − 1 cos nx = v = − x ⋅ n cos nx + ∫ n cos nxdx = − n + n ∫ cos nxdx = n =−
x cos nx 1 1 x cos nx 1 + sin nx = − + 2 sin nx n nn n n
5
Sada imamo:
0
bn =
∫ sin nxdx +
−π
1
π
π
∫ x sin nxdx 0
1 0 1 x cos nx 1 π = − cos nx / + − + 2 sin nx / n n n −π π 0 1 1 1 π cos nπ 1 0 ⋅ cos(n ⋅ 0) 1 = { − cos n ⋅ 0 − − cos n(−π ) } + { − + 2 sin nπ − − + 2 sin(n ⋅ 0) } n n n n n n π 1 1 1 π cos nπ = − + cos nπ + (− ) π n n n 1 cos nπ cos nπ − bn = − + n n n 1 bn = − n Sada možemo zapisati i ceo razvoj: ∞ 1 f ( x) = a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
f ( x) =
3π 2 ∞ cos((2k + 1)π ) ∞ sin nx − ∑ −∑ 4 π k =0 (2k + 1)2 n n =1
Ovaj red konvergira ka funkciji S koja se, po Dirihleovoj teoremi poklapa sa funkcijom f na intervalu: [−π , 0) ∪ (0, π ] a kako f(x) ima prekid za x = 0 to je S (0) =
f (0 − 0) + f (0 + 0) π + 0 π = = 2 2 2
grafik pogledajte na slici: y
π
- 2π
-π
0
π
2π
x
6
