Nivel 3 - OMA - 02 Intercolegiales

OMA – Intercolegiales – Nivel 3

Año 1995 Problema 1: Sea ABCD un rectángulo y A', B', C ' y D' en las prolongaciones de sus lados tales que AA' = k . AD AD ; BB' = k.AB ; CC ' = k .BC ; ; DD' = k .CD. ’ ’

A

B A

’

B

’

D

C D ’

C

Hallar k de de modo que el área del cuadrilátero A'B'C 'D' sea 25 veces el área del rectángulo ABCD. Problema 2: Hallar todos los números enteros x que que satisfacen x + 2 x .(4 - x ) = 2. x + 4

Problema 3: ¿Se pueden distribuir los números del 1 al 16 en las casillas del tablero de modo que la

suma de los números ubicados en tres casillas consecutivas consecutivas sea siempre menor o igual que 24?

Año 1996 Problema 1: Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de 2 pisos se

usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes.

¿Cuántos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos? Problema 2: Hay que asignar a los vértices de un decágono regular números naturales distintos de

modo que se cumpla la siguiente propiedad: la suma de los cuadrados de los números de dos vértices consecutivos siempre es igual a la suma de los cuadrados de los números de los vértices opuestos. Completar los vértices que faltan. 49 2

14 47

Problema 3: En una circunferencia de centro O, AB es un diámetro y P un punto de AB que dista 9cm de O. Se trazan dos cuerdas perpendiculares a AB que miden 18cm y 14cm respectivamente, dejan a O entre ambas y distan 8cm entre sí. Calcular la medida de la cuerda paralela a las otras que pasa por P. Recopilación de Enunciados OMA – Intercolegiales – Nivel 3

Profesor Walter Oscar Rosello

1


Año 1997 Problema 1: Un grupo de amigos se reparten en partes iguales 994 monedas de 1 peso, hasta que

lo que sobra no alcanza para darle una moneda más a cada uno. Si el grupo tuviera una persona más, la cantidad sobrante no habría variado. Lo mismo ocurre si el grupo tuviera dos personas más. Decidir si con esta información se puede determinar, sin ambigüedades, el número de personas del grupo. En caso afirmativo, dar ese número. En caso negativo, explicar por qué. Problema 2: El triángulo ABC tiene AB = 20 √ 2, BC = 28 y

ABC = 135o. Si H es el pie de la altura

trazada desde A y M es el punto medio de AC, calcular la medida de HM. Problema 3: Hallar todos los valores de x que son soluciones de la ecuación

√ 1 9x

+

√ 9 7x = 14

Año 1998 Problema 1: Hallar todos los números enteros n tales que

 +  es un número entero.  + 

ATENCIÓN: Los números enteros son {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}. Problema 2: En el triángulo isósceles ABC (con AB = AC ), sean P y Q en AB y AC , respectivamente,

tales que PQ es paralelo a BC . La altura desde A intersecta a PQ en O y a BC en M. á   Si AP = 64 y = , hallar AB. á  Problema 3: Sean x , y , números reales tales que x + y = 26, x 3 + y 3 = 5408. Hallar x 2 + y 2.

Año 1999 Problema 1: Sean x , y números reales positivos tales que x , x + 2y , 2 x + y

forman una progresión aritmética y (y + 1)2, xy + 25, ( x + 1)2 forman una progresión geométrica. Hallar los valores de x e y . Problema 2: Utilizando exclusivamente dos dígitos distintos, 2 y a, se forma el siguiente número de

90 cifras: 2a22a222a2222a... Si este número de 90 cifras es múltiplo de 9, dar todos los valores posibles del dígito a. Problema 3: Sean ABCD un cuadrado de lados AB = BC = CD = DA = 72 y P un punto exterior al cuadrado tal que el triángulo ABP es rectángulo en P. Si DP = 130 y CP = 122, hallar las medidas de AP y BP.

Recopilación de Enunciados OMA – Intercolegiales – Nivel 3


2


Año 2000 Problema 1: Determinar todos los números naturales n tales que n y n + 475 son ambos cuadrados

perfectos. Problema 2: Sea ABCD un rombo de lado 61 tal que sus diagonales AC y BD verifican que AC = 98 + BD. Hallar el área del rombo. Problema 3: Sea n un número natural. Se tiene un rectángulo de 3 x n, cuadriculado en cuadraditos

de 1 x 1. Denominamos puntos de la cuadrícula a los puntos donde se cortan dos líneas del cuadriculado, o una línea del cuadriculado con un lado del rectángulo, o dos lados del rectángulo. Si se cuentan todos los cuadrados de todos los tamaños posibles que tienen sus cuatro vértices en puntos de la cuadrícula, se obtienen 950 cuadrados. Hallar el valor de n.

Año 2001 Problema 1: En la siguiente configuración de nueve círculos hay seis maneras de elegir cuatro

círculos de modo que los centros de los cuatro círculos sean los vértices de un cuadrado.

Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, uno en cada círculo, de modo que para cada uno de los seis cuadrados mencionados, la suma de los cuatro números escritos en los cuatro círculos correspondientes a sus vértices sea siempre la misma. Problema 2: De un trapecio isósceles se sabe que sus diagonales son perpendiculares y su área es

igual a 98. Hallar la altura del trapecio. Problema 3: Hallar todos los cuadrados perfectos menores que 100000 que son iguales a un cubo

 perfecto multiplicado por .  Aclaración: Los cuadrados perfectos son los números que se obtienen al elevar al cuadrado los números naturales y los cubos perfectos son los números que se obtienen al elevar al cubo los números naturales.

Año 2002 Problema 1: Un vendedor ambulante vende cada lata de gaseosa a 0,94 pesos, pero no tiene

monedas para dar vuelto. Determinar el menor número de latas que debe comprar un cliente para que cada una le cueste menos de 1 peso, si el cliente sólo dispones de monedas de 1 peso. Problema 2: Dos ciclistas viajan a velocidades constantes por dos caminos que se cruzan. Cuando A llega al cruce, a B le faltan todavía 3200 metros para llegar al cruce. Cuatro minutos más tarde, la distancia de A al cruce es la misma que la distancia de B al cruce, y 12 minutos más tarde, nuevamente la distancia de A al cruce es la misma que la distancia de B al cruce. Calcular las

velocidades de cada uno de los ciclistas. Problema 3: Sea ABCD un rectángulo de lados AB = 16 y BC = 20. Sea E el punto medio del lado AB y F el punto en el que la perpendicular a EC trazada por E corta al lado DA. Calcular la medida del segmento FD. Recopilación de Enunciados OMA – Intercolegiales – Nivel 3


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Año 2003 Problema 1: Un cuadrado con lados de longitud entera está dividido en 89 cuadrados más

pequeños, 88 de ellos de lado 1 y el restante de lado de longitud entera, mayor que 1. Hallar los posibles valores del lado del cuadrado inicial. Problema 2: En cada casilla de un tablero de 100

100 hay escrito un número. En la primera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los enteros desde 1 hasta 100, en la segunda fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 2, desde 2 hasta 200; en la tercera fila están ordenados en forma creciente de izquierda a derecha los múltiplos de 3, desde 3 hasta 300; y así siguiendo, en la fila k están los múltiplos de k desde k hasta 100k . Consideramos la diagonal del tablero que une la esquina inferior izquierda con la esquina superior derecha. Determinar cuál es el mayor de todos los números escritos en las casillas de esta diagonal. 

Problema 3: Sea ABCD un rectángulo de lados AB = CD = 10 y BC = DA = 15. Designamos M al punto medio de AB y P al punto del lado BC tal que PC = 5. Se traza por P la perpendicular a DM que corta a DM en Q. Calcular la medida del segmento PQ.

Año 2004 Problema 1: Cinco objetos, todos de pesos enteros, se han pesado en grupos de 3 de todas las

maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos en kilogramos: 10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24. Calcular cuánto pesa cada uno de los cinco objetos. Problema 2: Calcular cuántos enteros entre 1 y 2004 tienen la suma de sus dígitos igual a un

múltiplo de 5. Problema 3: Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB = 120 y AC = 72. Se considera el punto P de AB tal que 3BP = AB y el punto Q de BC tal que PQ es perpendicular a AB. Calcular el área del cuadrilátero APQC .

Año 2005 Problema 1: Un arqueólogo ha descubierto que una antigua civilización usaba 5 símbolos para

representar los números: θ, ∆, ∎, ⋇, †. Estos símbolos corresponden en algún orden a los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4. De este modo, cuando escriben ∆∎ † representan un número en base 5:

∆∎ † = ∆.52 + ∎.51 + †.

El arqueólogo sabe que los siguientes tres números son consecutivos, ordenados de menor a mayor:

⋇† ∆∎, ⋇† ∆θ y ⋇†⋇†. Hallar el valor de cada símbolo y cuáles son los tres números consecutivos. Problema 2: En la pantalla de la computadora hay inicialmente un rectángulo de 21 milímetros de ancho y 33 milímetros de alto. Cada vez que se aprieta la tecla “+”, el ancho aumenta 2 milímetros y el alto aumenta 1 milímetro. Determinar cuántas veces hay que apretar la tecla “+” para que el

área del rectángulo de la pantalla sea 25 veces el área del rectángulo inicial.



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OMA – Intercolegiales – Nivel 3 Problema 3: Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB = 16 y AC = 18. Una paralela a AB corta lado AC en P y al lado BC en Q de modo que el área del trapecio ABQP es 63. Calcular la longitud del segmento PQ.

Año 2006 Problema 1: En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 2006. Nacho borra

números con el siguiente procedimiento: Recorre los números del pizarrón ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y cada vez que llega a un número que se puede escribir como suma de dos números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra. Determinar cuántos números quedarán en el pizarrón cuando Nacho concluya su tarea. Problema 2: En un parque sólo hay gatos de dos colores: completamente blancos y completamente

negros. Algunos son machos y los otros, hembras. Los machos son el 55% del total de los gatos del parque. La proporción entre machos blancos y machos negros es igual a la p roporción entre gatos blancos y gatos negros. Hallar la proporción entre machos blancos y hembras blancas. Problema 3: Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa BC . Consideramos los

 

 

puntos D en el cateto AB y E en el cateto AC tales que AD = AB y AE = AC . La paralela a AC por D corta a BC en G, y la paralela a AB por E corta a BC en F . Si el área del trapecio DEFG es igual a 10, calcular la longitud de los catetos del triángulo ABC .

Año 2007 Problema 1: Dividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dos conjuntos A y B tales que A contenga 70 números, B contenga 30 números, y la suma de todos los números de A sea igual a la suma de todos los números de B. Problema 2: Determinar todos los números reales x tales que

   + +  =1  −   +   −  Problema 3: Sean ABC y ABD dos triángulos unidos por su lado AB. El triángulo ABC tiene   = 90° y AB = 2 AC . El triángulo ABD tiene   = 90° y AD = BD. El segmento CD corta al segmento AB en O. Calcular BO si se sabe que AC = 4.

Año 2008 Problema 1: En una reunión cada invitado saludó a cada uno de los restantes con un apretón de

manos. Hubo 36 apretones de manos entre dos mujeres y 28 apretones de manos entre dos varones. Calcular cuántos apretones de manos hubo entre un varón y una mujer. Problema 2: Nico escribió el número n de 100 cifras todas iguales a 9. A continuación, calculó n2 (n elevado al cuadrado) y finalmente halló la suma de todos los dígitos de n2. Determinar el valor de la suma que halló Nico. Problema 3: Sea ABCD un rectángulo con BC < CD y M, N los puntos medios de los lados BC y CD,   = 90°. respectivamente. Este rectángulo es tal que el triángulo AMN es rectángulo con  Si BC = 5, calcular la medida de CD. Recopilación de Enunciados OMA – Intercolegiales – Nivel 3


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Año 2009 Problema 1: Calcular la suma de los dígitos del número N = 10 2009 - 2009. Problema 2: Se tiene un cubo de arista n, con n > 2 un entero desconocido, pintado de azul. Se divide el cubo en n3 cubitos de arista 1. La cantidad de cubitos que no tienen ninguna cara pintada es igual a 27 veces la cantidad de cubitos que tienen exactamente 2 caras pintadas. Hallar n. Problema 3: Sea ABCD un rombo y P, Q, R, S puntos en los lados AB, BC , CD, DA, respectivamente, tales que PQRS es un cuadrado de lado 2.

Si

     = = = = , calcular el lado del rombo ABCD.     

Año 2010 Problema 1: De una progresión aritmética se sabe que el primer término es 13 y que la suma de los

12 primeros términos es igual a 4 veces la suma de los 5 primeros términos. Hallar la diferencia de esta progresión. Aclaración: Una progresión aritmética es una secuencia de números tales que cada uno se obtiene del anterior sumando un cierto número fijo d , llamado diferencia o razón de la progresión. Problema 2: Un kiosco vende chocolates a 4 pesos cada uno, caramelos a 2 por 1 peso y bombones

a 1 peso cada uno. Marta gastó 88 pesos en 44 golosinas que repartió en partes iguales (de cada variedad) entre sus 4 hijos, sin que le sobre nada. ¿Cuántas golosinas y de qué clases le correspondieron a cada uno? Problema 3: Sea ABC un triángulo equilátero y sea M el punto medio del lado BC . Sean K en AM y L en AC tales que KL es perpendicular a AC , KM = 8 y KL = 5. Calcular el área del cuadrilátero KLCM.

Año 2011 Problema 1:

t +

e

4

o r r t o

r e r o t

r t o r r

e o r o o

5

8

7

5

En la siguiente suma, cada letra representa un dígito distinto (de 0 a 9). Se sabe además que no hay acarreo, es decir, la suma en cada una de las cinco columnas es menor que 10, y que está permitido que el primer dígito de la izquierda sea igual a cero. Reemplazar cada letra por el dígito correspondiente.

Problema 2: En una base de numeración desconocida, la siguiente expresión es correcta: 15 2 = 321.

Escribir 2011 en esa base. Problema 3: En el cuadrado ABCD de lado 3 se marcaron los puntos A1, B1, C 1 y D1 en los lados AB, BC , CD y DA, respectivamente, de modo que AA1 = BB1 = CC 1 = DD1 = 1 y los puntos A2, B2, C 2 y D2 en los lados DA, AB, BC y CD, respectivamente, de modo que A2 A = B2B = C 2C = D2D = 1. Sea KLMN el cuadrado determinado por las rectas A1 A2, B1B2, C 1C 2 y D1D2.

Calcular

área  área 



6


Año 2012 Problema 1: Se tienen tres cubos rojos iguales entre sí y tres cubos verdes, iguales entre sí y más

pequeños que los cubos rojos. El volumen total de los seis cubos es igual a 840cm 3. Si se hace una torre con los seis cubos la altura es de 30cm. Hallar las dimensiones de los cubos sabiendo que las longitudes de sus aristas son todos números enteros. Problema 2: Sea S = 5 + 52 + 5 3 + … + 52012 la suma de todas las potencias de 5, desde 5 hasta 5 2012. Calcular el resto de dividir S por 8. Problema 3: Sea ABCD un rectángulo con AB = 12 y AD = 5. Se traza por D una perpendicular a la diagonal BD que corta a la prolongación de BA en P y a la prolongación de BC en Q. Calcular la medida de PQ.

Año 2013 Problema 1: Si a cada uno de los números 4, 76, 180 se les suma el mismo número entero positivo

n se obtienen los cuadrados de tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Calcular el valor de n y de los tres términos de la progresión. Aclaración: Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo que se llama diferencia de la progresión. Problema 2: Hallar un número entero positivo x tal que

  = 0,0 25 

donde a es un dígito.  = 0,0a25a25a25…, o sea, el período es a25. Aclaración: 0,025 Problema 3: Sea ABCD un trapecio de bases AD = 9, BC = 3 y lados no paralelos AB = 6 y CD = 4. Sean P en el lado AB y Q en el lado CD tales que PQ ∥ AD y además los trapecios APQD y PBCQ tienen perímetros iguales. Calcular las medidas de AP y DQ.

Año 2014 Problema 1: El promedio de cierta cantidad de números naturales distintos es igual a 20. Si se quita

el menor de los números, el promedio de los otros es 22. En cambio, si sólo se quita el mayor, el promedio de los restantes es igual a 13. Si se quitan el mayor y el menor, el promedio de los restantes es igual a 14. Determinar el mayor y el menor número, y la cantidad total de números. Problema 2: Una sucesión de números comienza con 1, 2, 3. El cuarto número de la sucesión es la

suma de los tres números que lo preceden, o sea, 1 + 2 + 3 = 6. Del mismo modo, cada número después del cuarto es la suma de los tres números que lo preceden. Los primeros términos de la sucesión son 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, …. Calcular el resto de la división por 4 del término que ocupa la posición 2014. Problema 3: En el triángulo ABC la bisectriz del ángulo   corta al lado BC en D. El triángulo ADC es isósceles, con CD = AD. Si CD = 36 y BD = 64, calcular las longitudes de los lados del triángulo ABC .

Año 2015 Problema 1: Ordenar los 20 números enteros del 1 al 20 en una fila para que las 19 sumas de dos

números consecutivos en la fila sean números primos. Recopilación de Enunciados OMA – Intercolegiales – Nivel 3


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OMA – Intercolegiales – Nivel 3 Problema 2: Un tablero cuadrado de 2015 x 2015 está dividido en casillas de 1 x 1. Se numeran las

filas, de arriba hacia abajo, de 1 a 2015 y se numeran las columnas, de izquierda a derecha, de 1 a 2015. A continuación se colorean de negro todas las filas y todas las columnas con número par. Calcular la cantidad de casillas negras que tendrá el tablero. Problema 3: Sea ABC un triángulo rectángulo, con  = 90°. Sean D en el lado AC y E en el lado BC de   = 90°, AD = 5 y BD = DE = 10. Calcular la medida de los ángulos ̂ y  . modo que 

Año 2016 Problema 1: Hallar un cuadrado perfecto tal que al sumarle 100 sea igual a un cuadrado perfecto

más 1 y al sumarle nuevamente 100 sea un cuadrado perfecto. Aclaración: Un número se llama cuadrado perfecto si es igual a un número entero elevado al cuadrado. Problema 2: En una progresión aritmética de 15 términos a1, a2, … , a15 se sabe que la suma de los 15 términos es igual al doble de la suma de los primeros 10 términos. Si d es la diferencia de la

 .  Aclaración: En una progresión aritmética de diferencia d cada término es igual al anterior más d . progresión, calcular

Problema 3: Sea ABCD un trapecio isósceles tal que AB es paralelo a CD (los lados no paralelos son BC y DA). Se sabe que AB = 16 y AD = BC = 8. Además M es el punto medio de AB y DM = CM = 5. Calcular la medida del lado CD.

Año 2017 Problema 1: Escribir en cada casilla uno de los números 35; 40; 44; 46; 55 sin repetir, para que el

promedio de los dos primeros sea un número entero, el promedio de los tres primeros sea un número entero y el promedio de los cuatro primeros sea un número entero.

Problema 2: Bruno dibujó una pirámide de 32

pisos y la coloreó de negro a partir del tercer piso (desde arriba) como muestra la figura de los primeros 5 pisos. Cada fila tiene dos cuadraditos blancos más que la anterior y también dos cuadraditos negros más que la anterior. Calcular cuántos cuadraditos blancos y cuántos cuadraditos negros tiene la pirámide de Bruno.

Problema 3: Los cuadrados de la figura tienen

lados de longitudes 2, 3 y 5 de izquierda a derecha. Calcular la medida del área sombreada.



8


Año 2018 Problema 1: Un cuadrado está dividido en cuatro cuadraditos

de 1x1. En cada vértice de los cuadraditos hay un círculo. Escribir en cada círculo un número entero entre 0 y 8 inclusive, sin repetir, para que la suma de los números de los cuatro vértices de cada cuadradito de 1x1 sea siempre la misma. En el centro ya está escrito el número 4.

4

Problema 2: El entero positivo n tiene 90 dígitos todos distintos de 0 y cada uno de ellos aparece 10 veces. Se forman dos números a y b: a agregando el dígito 1 al comienzo de n y b agregando el

dígito 1 al final de n. Luego se calcula m =

− . Hallar la suma de los dígitos de m. 

Problema 3: En el cuadrado ABCD sea E en el lado BC tal que EC = 2 BE . La recta por A y E corta a la recta que contiene al lado CD en F . Si área ( ABEFD) = 60, calcular el área del cuadrado ABCD.



9


Respuestas – OMA – Intercolegiales – Nivel 3 Referencias: Año: Año en el cuál se tomó el problema. Debajo figura un número romano que corresponde al número que le asignó OMA ese año a la competencia correspondiente. Problema: El número del problema. Debajo entre paréntesis se ve el código con el cual figura el problema en el libro publicado por OMA. Sugerencia: Es una ayuda previa a la solución, en donde se sugiere algún procedimiento, contenido o teoría que puede resultar útil para hallar la respuesta correcta. Libro/Página: Es el número del libro y la/s página/a en donde figura la solución detallada del problema. Columna en blanco: Esta columna está pensada para que, luego de imprimir la página, se coloque adhesivo y se pegue una pequeña hoja en blanco que oculte las respuestas, de modo que queden visibles solamente las columnas previas. La idea es no tentarse y observar rápidamente la solución, sino ver las sugerencias y tratar de resolver. Bastara con doblar la pequeña hojita colocada para visualizar finalmente las respuestas correspondientes. Respuestas y Observaciones: Aquí figura la respuesta del problema y, en algunos casos, alguna pequeña observación. No se detalla el procedimiento completo para acceder a la solución. Si se desea acceder a él hay que remitirse al libro y la/s página/s correspondiente/s. Hay algunos problemas, como por ejemplo aquellos en donde se pide realizar alguna demostración, en los que se hace imposible escribir una respuesta resumida. En ese caso, figurará la leyenda “Ver libro” y hay que remitirse al libro indicado.

Año

Problema Problema 1

(XV-301) 1995 XII

Problema 2

(XV-302) Problema 3

(XV-303) Problema 1

(XIV-301)

1996 XIII

Problema 2

(XIV-302)

Sugerencia Ecuaciones. Ecuación de segundo grado. Observar que hay un intervalo de posibles soluciones que depende de los signos de ambos miembros de la ecuación.

Demostración por absurdo. Fórmula de suma de los n primeros números naturales.

Asignar letras a los vértices en donde hay que ubicar los números. Utilizar ecuaciones. Diferencia de cuadrados. Descomposición de un número en factores primos. Sistemas de ecuaciones.

Libro/Pág. Nº 7/Pág. 103 y 104.

Nº 7/Pág. 104 y 105. Nº 7/Pág. 105 y 106. Nº 8/Pág. 121 y 122.

Respuestas y Observaciones k = 3

Los enteros x que satisfacen la ecuación original son 0, 1 y 2. La distribución es imposible. La torre tiene 15050 naipes. Pares: x = 26 y = 22 x = 19 y = 13 x = 8 y = 16 49

22 19

2

Nº 8/Pág. 122 a 124.

8 16 14 13 26

Problema 3

(XIV-303)

Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras. Sistemas de ecuaciones.

Nº 8/Pág. 125 y 126.


47

Hay otras soluciones válidas. La cuerda que pasa por P, paralela a las dos cuerdas dadas, mide 4cm.


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Respuestas – OMA – Intercolegiales – Nivel 3 Año

Problema Problema 1

(XV-301) 1997 XIV

Problema 2

(XV-302) Problema 3

(XV-303) Problema 1

(XVI-301) 1998 XV

Problema 2

(XVI-302) Problema 3

(XVI-303)

Sugerencia Mínimo común múltiplo de n, n+1 y n+2. Siendo n el número de amigos.

Libro/Pág.

Nº 9/Pág. 128 y 129.

Se puede asegurar sin ambigüedades que el número de amigos es n = 9.

Teorema de Pitágoras. Punto medio de la hipotenusa. Elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad. Ecuación cuadrática.  +  Expresar de otra  +  manera. Figura simétrica con respecto a AM. Ecuación con área de figuras. Triángulos semejantes. Cuadrado y cubo de un binomio.

Nº 9/Pág. 129 y 130.

̅HM = 26

Nº 9/Pág. 130 y 131.

x = 3 y x = -81

Nº 10/Pág. 121.

-98, -20, -18 y 60.

Nº 10/Pág. 121 a 123.

̅AB = 80

Nº 10/Pág. 123.

x2 + y2 = 676 – 2.156 = 364.

Nº 11/Pág. 132 y 133.

Los únicos valores posibles son: x = 18 e y = 6. En tal caso la progresión aritmética es: x = 18, x + 2y = 30, 2 x + y = 42 de diferencia 12 y la progresión geométrica es (y + 1)2 = 49, xy +25 = 133, ( x + 1)2 = 361 de  razón . 

Nº 11/Pág. 133 y 134.

a = 5 y 8.

Nº 11/Pág. 134 y 135.

̅AP = 36 y BP ̅ = 27.

Nº 12/Pág. 128 y 129.

n = 3

Nº 12/Pág. 129 y 130.

Área ( ABCD) = 1320.

Tres números a, b, c están en progresión aritmética si y sólo si a + c = 2b. Problema 1

(XVII-301) 1999 XVI

Tres números a, b, c están en progresión geométrica si y sólo si a.c = b2. Ecuaciones.

Problema 2

(XVII-302) Problema 3

(XVII-303) Problema 1

(XVIII-301) 2000 XVII

Problema 2

(XVIII-302)

Utilizar Sn =

.+ . 

Triángulos rectángulos iguales. Teorema de Pitágoras. Descomposición en factores primos. Factorización de polinomios. Sistemas de ecuaciones lineales. Diagonales del rombo. Teorema de Pitágoras.

Nº 12/Pág. 130 y 131.

Problema 3

(XVIII-303)

Problema 1

(XIX-301) 2001 XVIII Problema 2

(XIX-302) Problema 3

(XIX-303)

Colocar a, b, c, d , e, f , g, h, i en los círculos y armar un sistema de ecuaciones siendo S la suma de los cuatro vértices. Sumar las ecuaciones miembro a miembro.

Nº 13/Pág. 118 a 120.

Triángulos isósceles rectángulos.

Nº 13/Pág. 120 y 121.

Ecuación. Factores primos.

Nº 13/Pág. 121 y 122.


Respuestas y Observaciones

n = 45

n = 237.

n = 96. (Si sólo se cuentan los

cuadrados de lados paralelos a los del rectángulo sería n=159). 1

6

7

9

2

7

8

5

2

4

5

6

3

4

9

3

8

1

La altura del trapecio es h = √ 98 = 7√ 2. a2 = 324 b3 = 216 a2 = 20736 b3 = 13824


11



Problema Problema 1

(XX-301)

2002 XIX

Problema 2

(XX-302)

Problema 3

(XX-303) Problema 1

(XXI-301) 2003 XX

Problema 2

(XXI-302) Problema 3

(XXI-303) Problema 1

(XXII-301) 2004 XXI

Problema 2

(XXII-302) Problema 3

(XXII-303)

Sugerencia La cantidad final a pagar no necesariamente debe ser entera. Inecuaciones.

Ecuaciones.

Triángulos rectángulos seme jantes. Armar una proporción entre lados correspondientes. Ecuaciones. Diferencia de cuadrados. Descomposición en factores primos. Ecuación cuadrática. Máximo de una función cuadrática. Triángulos rectángulos congruentes. SAI de un triángulo. Teorema de Pitágoras. Considerar el grupo de los más pesados y el de los más livianos. Utilizar ecuaciones. Considerar los restos en la división por 5. Combinatoria. Teorema de Pitágoras. Triángulos semejantes.

Libro/Pág.


Nº 14/Pág. 119.

17 latas.

Nº 14/Pág. 119 y 120.

Veloc A: 300m/min o 18km/h o 5m/seg. Veloc B: 500m/min o 30km/h o 8,33m/seg. Otra interpretación: Veloc A: 266,6m/min o 16km/h o 4,4m/seg. Veloc B: 533,3m/min o 32km/h o 8,8m/seg.

Nº 14/Pág. 120 y 121.

̅FD = 16,8

Nº 15/Pág. 113.

Los posibles valores del lado del cuadrado inicial son 13 o 23.

Nº 15/Pág. 114.

El mayor de todos los números escritos en la diagonal es 2550.

Nº 15/Pág. 115.

̅ = √  = √  PQ  

N° 16/Pág. 121 y 122. N° 16/Pág. 122 y 123. N° 16/Pág. 123 y 124.

a = 2, b = 3, c = 5, d = 9 y e = 10

En total del 1 al 2004 hay 400 números con la suma de sus dígitos múltiplo de 5. Área ( APQC ) = 2856.

θ = 4, ∆ = 1, ∎ = 3, ⋇ = 2 y † = 0.

Problema 1

(XXIII-301) 2005 XXII

Tener en cuenta que los números están en base 5, y que algunas de las primeras cifras se repiten. También tener en cuenta que son consecutivos, por lo tanto, si los tres números son a, b, c; entonces, b = a + 1 y c = b + 1, o c = a + 2. Teoría: Bases numéricas.

Problema 2

Ecuación. Llamar k al número

(XXIII-302)

de veces que se presiona “+”.

Problema 3

(XXIII-303)

Área de un triángulo. Si dos triángulos son semejantes, la razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón entre lados correspondientes.

N° 17/Pág. 117 y 118.

Los tres números escritos en clave son: 2013, 2014, 2020. Estos tres números representados en base 5 son: 2013 = 2.53 + 0.52 + 1.51 + 3 = 250 + 0 + 5 + 3 = 258. 2014 = 2.53 + 0.52 + 1.51 + 4 = 250 + 0 + 5 + 4 = 259. 2020 = 2.53 + 0.52 + 2.51 + 0 = 250 + 0 + 10 + 0 = 260. Finalmente, los tres números consecutivos son: 258, 259, 260

N° 17/Pág. 118.

72 veces.

N° 17/Pág. 118 y 119.

 PQ = .16 = 12. 



12



Problema Problema 1

(XXIV-301) 2006 XXIII

Problema 2

(XXIV-302) Problema 3

(XXIV-303)

Problema 1

(XXV-301) 2007 XXIV

Problema 2

(XXV-302) Problema 3

(XXV-303) Problema 1 2008 XXV

Libro/Pág.

Nº 18/Pág. 123 y 124.

La lista de los números no tachados tiene 670 números.

Proporciones. Ecuaciones racionales.

Nº 18/Pág. 124 y 125.

La proporción entre machos 11 blancos y hembras blancas es

Triángulos semejantes. Triángulos iguales.

Nº 18/Pág. 125 y 126.

AB = AC = 8.

Calcular la suma de todos los números del 1 al 100 y dividir por 2 para saber cuánto tiene que dar cada conjunto. No hay una única forma de distribuir los números en A y B. Factorización de polinomios. Diferencia de cuadrados. Ecuación racional. Cuadrática. Triángulo isósceles rectángulo. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

.− . Ecuaciones. 

(XXVI-301)

Utilizar

Problema 2

Ecuación. Elevar ambos miembros al cuadrado. Triángulos rectángulos semejantes. Ecuación. Buscar una regularidad en los dígitos de N. Buscar una expresión que represente a los cubitos que no tienen caras pintadas. Ecuaciones. Triángulos rectángulos semejantes. Teorema de Pitágoras. Término general y/o fórmula de suma de n términos de una progresión aritmética. Ecuaciones. Llamar a, b, y c a las cantidades de chocolates, caramelos y bombones respectivamente. Ecuaciones. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras. Fórmula del área de un triángulo.

(XXVI-302) Problema 3

(XXVI-303) Problema 1

(XXVII-301) 2009 XXVI

Sugerencia Determinar los primeros números de la lista. Buscar una regularidad con respecto a los que quedan.

Problema 2

(XXVII-302) Problema 3

(XXVII-303) Problema 1

(XXVIII-301)

2010

Problema 2

XXVII

(XXVIII-302)

Problema 3

(XXVIII-303)

Nº 19/Pág. 133.




Suma del 1 al 100 = 5050 Suma A = Suma B = 2525 A = {1,2,…,30,32,…,71} B = {31,72,73,…,100 } Hay otras soluciones :

{ = 40 = 71  31} Nº 19/Pág. 133 y 134.

S = {1;2}

Nº 19/Pág. 134 y 135.

̅ = 6cm.

Nº 20/Pág. 123. Nº 20/Pág. 123 y 124. Nº 20/Pág. 124. Nº 21/Pág. 115.

Hubo 72 apretones de manos entre un varón y una mujer. La suma de sus dígitos es 9.99 + 8 + 1 = 900. CD = 5√ 2

La suma de los dígitos de N es 18071.

Nº 21/Pág. 115.

n = 20.

Nº 21/Pág. 115 y 116.

̅ = √  ≅ 3,354  

Nº 22/Pág. 109.

La diferencia de la progresión es d = 4.

Nº 22/Pág. 109 y 110.

4 Chocolates. 2 Caramelos. 5 Bombones.

Nº 22/Pág. 110 y 111.

Área (KLMC) =


√  ≅ 71,88 


13



Problema

Sugerencia

Libro/Pág.


1

Problema 1

(XXIX-301)

XXVIII

Problema 2

(XXIX-302)

Problema 3

(XXIX-303) Problema 1

(XXX-301) Problema 2



(XXXI-301) 2013 XXX

Problema 2

(XXXI-302) Problema 3

(XXXI-303) Problema 1

(XXXII-301) 2014 XXXI

+

3

2 3 2 0 1

2 1 0 2 2

3 0 2 0 0

4

5

8

7

5

Nº 23/Pág. 109 y 110.

t = 1, r = 2, o = 0 y e = 3

2011

2012 XXIX

Comenzar desde las últimas columnas de la derecha. Tener en cuenta que no hay acarreo.

0 2 2 1 0

Problema 2

(XXXII-302) Problema 3

(XXXII-303)

Tanto 15 como 321 están en la base desconocida. 2011 está en base 10. Descomposición polinómica de un número en cualquier base. Ecuación cuadrática. Triángulos rectángulos isósceles. Ángulos opuestos por el vértice. Teorema de Pitágoras. Fórmula de volumen de un cubo = a3. Ecuaciones. Hacer una lista de los restos en la división por 8 comenzando con 5, luego 5 + 5 2, luego 5 + 52 + 53, etc. Buscar una regularidad o patrón. Teorema de Pitágoras. Triángulos semejantes. Ecuaciones. Progresiones aritméticas. Ecuaciones. Números periódicos. Pasaje de decimal a fracción. Simplificación de fracciones. Ecuaciones. Teorema de Tales.

Ecuaciones. Calcular los restos en la división por 4 de los primeros números de la sucesión. Buscar una regularidad o período. Congruencia módulo. Teorema de la bisectriz. Teorema de Stewart. Triángulos semejantes.

Nº 23/Pág. 110.

Base = 6

Nº 23/Pág. 111 y 112.

á    = =  á KLN (√ ) 

Nº 24/Pág. 109.

La longitud de la arista de los cubos rojos es 6 y de los verdes es 4.

Nº 24/Pág. 109 y 110.

El resto de dividir S = 5 + 52 + 53 + … + 5 2012 por 8 es 4.

Nº 24/Pág. 110 y 111. Nº 25/Pág. 105.

̅ =  

2011 = (13151)6

n = 45, términos: 7, 11, 15.

Nº 25/Pág. 106.

x = 40

Nº 25/Pág. 106 y 107.

̅ =   

Nº 26/Pág. 107.

El menor y el mayor número son a = 8 y b = 62 respectivamente. La cantidad total de números es n = 7.

Nº 26/Pág. 108.

El resto de la división por 4 del término que ocupa la posición 2014 es 0.

Nº 26/Pág. 108 y 109.

̅ = 45  ̅ = 80  ̅ = 100 → ̅ = 64, ̅ = 36.


̅ =  


14



Problema

Problema 1

(XXXIII-301) 2015 XXXII

Problema 2

(XXXIII-302) Problema 3

(XXXIII-303) Problema 1 2016 XXXIII

Problema 2 Problema 3

Problema 1 2017 XXXIV

Problema 2

Problema 3

Sugerencia

Números primos. No hay una única respuesta posible. Calcular la cantidad de casillas negras es equivalente a contar la cantidad de casillas blancas y restar ese número a la cantidad total de casillas. Triángulo rectángulo isósceles. SAI de un triángulo. Medio equilátero. Sistemas de ecuaciones. Factorización de polinomios. Progresiones aritméticas: Término general y suma de n términos. Congruencia y semejanza de triángulos.

Libro/Pág.


Nº 27/Pág. 109.

1-2-3-4-7-10-9-8-5-6-11-20-1714-15-16-13-18-19-12. No es la única respuesta. Otra: 20-3-16-15-4-1-12-19-107-6-11-2-17-14-9-8-5-18-13. Hay más posibilidades.

Nº 27/Pág. 109 y 110.

Cantidad de casillas negras: 3044161. (20152 – 10082 = 1007.1008 + 2015.1007 = 3044161).

Nº 27/Pág. 110.

̂ = 75° y  = 15°.

Criterios de divisibilidad. Comenzar descartando los valores que no pueden ir en el último lugar. Término general y suma de términos de una progresión aritmética. Teorema de Tales en triángulos. Semejanza. Área de un trapecio.

Problema 1

a2 = 2401.

  =    = 3,125.  40 46 55 35 44 O también 46 40 55 35 44 La pirámide de Bruno tiene 900 cuadraditos negros y 124 cuadraditos blancos. CD =

El área sombreada es

 = 5,25. 

8

1

6

3

4

5

2

7

0

2018 XXXV

Hay otros ordenamientos posibles.

La suma de los dígitos de m es 360.

Problema 2 Problema 3

Triángulos semejantes. Ecuaciones.


El área del cuadrado ABCD es 36.


15

Nivel 3 - OMA - 02 Intercolegiales

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