Newton Raphson Multivariable
El método iterativo para sistema sistema de ecuaciones converge converge linealmente. linealmente. Como en el método de una incógnita, pero puede crearse un método de convergencia convergencia cuadrática; es decir, decir, el método de newton–raphso newton–raphson n multivariable. multivariable. A continuación continuación se obtendrá este procedimiento procedimiento para dos variables; variables; la extensión a tres o más variables es viable generaliando resultados. !upóngase "ue "ue se esta resolviendo resolviendo el siguiente sistema# sistema#
$onde ambas %unciones son continuas & di%erenciables, de modo "ue puedan expandirse en la serie serie de 'a&lor,esto es# es#
$onde %(x,&) se ha expandido alrededor alrededor del punto (a,b) & todas las derivadas parciales parciales están evaluadas en (x*+,&*+) Expandiendo Expandiendo % alrededor alrededor de (x*+,&*+).
$onde todas las derivadas parciales están evaluadas en (x*+,&*+). de la misma %orma puede expandirese %-.
$onde todas las derivadas parciales están evaluadas en (x*+,&*+). Ahora supóngase "ue x*(+) & &*(+) están cerca de la ra/ buscada (x,&),"ue los lados i"uierdos de las dos ultimas ecuaciones son casi cero; además as0mase "ue x*+,&*+ están tan próximos de x*(+) x*(+) "ue pueden omitirse omitirse los rerminos a partir de los "ue se encuentran agrupados en los paréntesis rectangulares. Con esto las ecuaciones ecuaciones se simpli%ican a#
1ara simpli%icar aun más, se cambia la notación con#
2 asi "ueda la (+)3esima iteración en términos de la +3esima,como se ve a continuación#
4a sustitución de la ecuación & el arreglo dan como resultado#
4a cual es un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas h & 5. Este sistema de ecuaciones resultantes tiene solución 0nica, siempre "ue el determinante determinante de la matri de los coe%icientes o matri 5acoviana 5acoviana 6 no sea cero, es decir#
1recisando#
El método de newton rapsón multivariable, consiste %undamentalmente en %ormar & resolver el sistema de ecuaciones lineales, con la solución se obtiene una siguiente aproximación aproximación & asi,una serie de iteraciones hasta a satis%acer alg0n criterio de convergencia convergencia establecido, cuando converge este método lo hace con orden - & re"uiere "ue el vector (x7,&7) estén mu& cerca de la ra/ buscada (x,&).
8epresentación 8epresentación grá%ica de un sistema de ecuaciones# ecuaciones#
gra%ica de la super%icie %(x,&).
plano tangente a ala superdicie %(x,&) en el punto (,,).
9ntercesión del plano tangente & el plano x3&.
:eneraliación#
1ara un sistema de n ecuaciones no lineales con n incognitas & retomando la notación vectorial & matricial, las ecuaciones ecuaciones "uedan#
$e donde#
2 la matri de derivadas parciales (matri 5acoviana),ampliada 5acoviana),ampliada en el vector de %unciones % unciones "ueda#
E5emplo#
se el método de newton3raphon multivariable para encontrar una solución aproximada aproximada del sistema#
!olución# 1rimero se %orma la matri de derivadas parciales#
2 aumentada en el vector de %unciones resulta#
Al evaluar en (x*7,&*7)<(7,7). 'enemos#
Al resolver la matri por eliminación eliminación gaussiana,tenemos los valores de h & 5#
h< 7.=
5<7.==
Al sustituir en la ecuación#
Calculo de la distancia entre x*7 & x*#
Segunda iteración: Evaluando la matri en (x*.&*).
Al resolver la matri por eliminación eliminación gaussiana, tenemos los nuevos valores de h & 5#
h <7.>?>
de donde#
5<7.?
calculo de la distancia entre x* & x*-#
Con la continuación de este proceso iterativo se obtienen los resultados siguientes# siguientes#