Método de Newton-Raphson
Las ecuaciones no lineales, que aparecen al resolver circuitos con dispositivos electrónicos, no tienen una una solución cerrada, cerrada, y por ello hay que que resolverlas mediante análisis numérico. El método mas conocido es el de Newton-Raphson(NR) A . g o ( v b + v g ) = - A . i g
f(x) = Ag (A' v n + v g ) + Ai g = 0 o
f(x) = 0
O bien f 1 (x1 , x2 , ..., x p ) = 0 f 2 (x1 , x2 , ..., x p ) = 0 ......................... f p (x1 , x2 , ..., x p ) = 0
A) Caso de ecuaciones no lineales de una sola variable f(x) =0
Eleg Elegim imos os x = x j , ahora mediante mediante la formula de expansión de Tayor, tenemos f (x) = f ( x ) + j
df (x) dx
(x − x ) + j
x = x j
1 d 2 f ( x ) 2! dx 2
( x − x j ) 2 + ... x = x j
Hacemos x = x j+1 j +1
f (x
) = f ( x ) + j
df (x)
j +1
−x )+ j
(x
dx
x = x j
1 d 2 f ( x ) 2! dx 2
( x j+1 − x j ) 2 + ... x = x j
Realizamos una aproximación lineal j +1
f (x
) = f ( x ) + j
df (x)
Si x j+1 fuese ya la solución
[
dx
x j +1 = x j − J ( x j )
J (x j ) =
( x j+1 − x j ) x = x j
]− f (x ) = x 1
j
j
− J −1 ( x j )f ( x j )
df (x) dx
x = x j
En otro caso, tomamos x = x j+1 e iteramos el procedimiento Grupo de Ingeniería Microelectrónica Departamento de Tecnología Electrónica, Ingeniería de Sistemas y Automática. UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
Marzo
Método de Newton-Raphson Algoritmo
Uno de los problemas mas importantes en este algoritmo es su convergencia hacia una solución estable. En la figura es posible observar como en este caso se realiza una rápida convergencia hacia la solución f(x)=0 f(x) f(x j)
f(x j+1) J(x j) f(x j+2)
J(x j+1) x j+2
x j+3
x j+1
x j
x
El algoritmo de Newton-Raphson, se expresa por los siguientes pasos: Elegir un número entero positivo ε, de modo que algoritmo termine tras N+1 iteraciones cuando N + 1
|x
N
- x | < ε
Elegir un valor cualquiera de la variable x, Elegir un valor máximo del pasos m, elegir la tolerancia ε, tomar un valor inicial de x= x j , colocar j=0.
Paso 0:
Paso 1:
Resolver la ecuación lineal x j+1 = x j - J-1(x j). f(x j)
Paso 2:
Si | x
N + 1
N
- x | < ε
Parar
En otro caso reemplazar j por j+1 Si j+1 > m. Parar En otro caso ir al Paso 1
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Marzo
Método de Newton-Raphson n-variables
Estamos ya preparados para resolver en sistema de ecuaciones no-lineales f i (x 1 , x2 , ..., x n ) = 0 j
j
j
i = 1,2, .. ., n
j
Elegimos el punto x = (x 1 , x2 , ..., xn ) Aplicamos también la fórmula de expansión de Taylor para n-variables
∂f i ( x ) ∂f ( x ) ( x1 − x j1 ) + i ( x 2 − x j2 ) + ... ∂x1 x = x j ∂x 2 x = x j
f i ( x1 , x 2 , ..., x n ) = f i ( x j1 , x j2 , ..., x jn ) +
+
∂f i ( x ) ∂f ( x ) ( x n − x jn ) + i ( x 2 − x j2 ) + Términos de orden superior ∂x n x = x j ∂x 2 x = x j i = 1,2,..., n
Escrito en forma matricial, nos queda j
f 1 (x )
f 1 (x )
f 2 (x) = f (x j ) + 2 . . .
f n (x ) {
f (x)
. . .
j
f n (x )
{ j
f (x )
∂f 1 (x )
∂f 1 (x )
∂x1
∂x2
∂f 2 (x )
∂f 2 (x )
∂x1
∂x2
∂f n (x )
∂f n (x )
∂x1
∂x2
. . .
....
....
∂f 1 (x ) ∂xn ∂f 2 (x ) ∂xn
j
x1 - x1 j
. x2 - x2 + T.O.S. . . .
. . .
. . .
....
∂f n (x ) ∂xn
{
j
xn - xn x = x j
{ j
x -x
j
J(x)
O lo que es lo mismo
( ) ( )(
)
f (x ) = f x j + J x j x − x j + T.O.S.
Tomamos una aproximación lineal, como en el caso de una variable, hacemos x=x j+1
( ) ( ) ( )(
f x j+1 = f x j + J x j x j +1 − x j j +1
Si x
)
fuese suficientemente próxima a la solución escribiríamos
[ ( )] f (x )
j 1 j j x + =x − Jx
-1
j
que es la expresión clave del Paso 1, en el algoritmo de Newton-Raphson. No obstante el punto mas difícil de resolver es el cálculo de la matriz inversa del Jacobiano [J(x j)]-1 Grupo de Ingeniería Microelectrónica Departamento de Tecnología Electrónica, Ingeniería de Sistemas y Automática. UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales
Resolvemos las ecuaciones nodales no lineales, obtenidas anteriormente aplicando el método de Newton-Raphson de n-variables El sistema nodal de ecuaciones era f ( v n ) ⇒ A g ο( A ' v n + v g ) + A i g = 0
El Jacobiano de f(vn) es, introduciendo la variable auxiliar v =A’vn + vg J (v ) =
∂[ Ag
o
(A' v n + v g ) + Ai g ] ∂v n
=A
∂g (v ) A' ∂v o
el valor del Jacobiano en el punto v jn es J ( v ) = j + = A v A' v n v g
∂g ( v ) A' ∂v v = A' v jn + v g o
Por consiguiente la ecuación del algoritmo de Newton-Raphson es
∂g ( v ) j +1 j v n = v n − A. A' j ∂v v = A' v n + v g
−1
o
[Ag
o
( A' v jn + v g ) + Ai g
]
Definimos, para poder dar una interpretación circuital a la ecuación anterior: j
E Q = A ' v jn + v g j
j
JQ = g ο ( A ' v jn + v g ) = g ο( E Q )
Y b j =
∂g ( v ) ∂g ( v ) = ∂v v = A ' v jn + v g ∂v v = E jQ o
o
Por consiguiente j
-1
j
v (j+1) = v jn - [A . Y b A ' ] [AJQ + A i g ] n
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales. Ejemplo(1)
Veamos estos conceptos aplicados al circuito i1
R 1 a + v 1
+
+ -
vs
i2
ig4 R 2
v2
v5
+ v3
R 3
2
-
R 4
b i5 +
a
i3
+ v4 - i4 R 5
R 6
-
4 1
c i6
3
+ v6
c
b 6
5 d
d
- 1 1 1 0 0 0 A = 0 - 1 0 - 1 1 0 0 0 - 1 1 0 1 Las resistencias no lineales se caracterizan por una relación no-lineal i-v entre la tensión y la intensidad de rama, además necesitamos añadir las fuentes excitación de tensión e intensidad que aparecen en las ramas generalizadas
v1 v 2 v 3 v= v 4 v5 v 6
i1 i 2 i 3 i= i 4 i 5 i 6
g1 ( v1 ) g ( v ) 2 2 g 3 ( v 3 ) i = g(v) = g ( v ) 4 4 g 5 ( v 5 ) g ( v ) 6 6
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v s 0 0 0 0 0 vg = ig = − ig4 0 0 0 0 0
v a v n = v b v c
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales. Ejemplo(2)
Entonces tenemos las ecuaciones intermedias
- 1 0 1 A' v n + v g = 0 0 0
vs vs - v a 0 v - v v a a b 0 v a - v c v b + = - v + v c v 0 b c 0 v b 0 v c
0
0 -1
0
0 -1 -1
1
1
0
0
1
0 0 0 - 1 1 1 0 0 0 0 = Ai g = 0 - 1 0 - 1 1 0 i - ig4 g4 - i 0 0 - 1 1 0 1 0 g4 0
g1 ( v s - v a ) g ( v - v ) a b 2 g 3 ( v a - v c ) g (A' v n + v g ) = + g ( v v ) b c 4 g5 ( v b ) g6 ( v c ) o
o
o
o
o
o
o
Sustituyendo las distintas expresiones, obtenemos la ecuación no lineal que debemos resolver g1o(vs - va) g2o(va - v b) -1
1
0 -1 0
1
0
0
0
0 -1
1
0 .
0 -1
1
0
1
0
g3o(va - vc g4o(-v b + vc) g5o(v b)
=
-ig4 ig4
g6o(vc)
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales. Ejemplo(3)
Simplificando y reordenando términos obtenemos: -g1o(vs - va) + g2o(va - v b) + g3o(va - vc) = 0 -g2o(va - v b) - g4o(-v b + vc) + g5o(v b) = - ig4 -g3o(va - vc) + g4o(-v b + vc) + g6o(vc) = ig4
Para ser mas específicos vamos a definir las funciones i-v de las resistencias nolineales. Sea
3
1/5
i1 = g1(v1) = v1
i4 = g4(v4) = v4
i2 = g2(v2) = (1/R 2)v2
i5 = g5(v5) = v5 - v5
3
- v3
i3 = g3(v3) = ∈
i6 = g6(v6) = (1/R 6)v6
Por consiguiente 3
- (vs - va) +
-
- (va - vc) 1 (va - v b) + ∈ = 0 R 2
1 1/5 3 (va - v b) - (- v b + vc) + (v b - v b) = - ig4 R 2 - (va- vc)
-∈
1/5
+ (- v b + vc) +
1 v = i R 6 c g4
O lo que es igual - (va - vc) 1 f 1 (va, v b, vc) = - (vs - va) + (va - v b) + ∈ = 0 R 2 3
f 2 (va, v b, vc) = -
1 1/5 3 (va - v b) - (- v b + vc) + (v b - v b) + ig4 = 0 R 2 - (va - vc)
f 3 (va, v b, vc) = - ∈
1/5
+ (- v b + vc) +
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1 v - i = 0 R 6 c g4
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales. Ejemplo(4)
Ahora estamos en disposición de expresar los nuevos conceptos introducidos del punto de operación. Efectivamente
j
j
vs - va j
j
j
j
g1o(vs - va)
va - v b
j
EQ =
va - vc j
j
JQ =
j
- v b + vc
0
0 j Yb
j s a
1
j
j
g5o(v b)
j
v = v - v
j
j
j
vc
|
j
g4o(- v b + vc)
j
dv1
j
g3o(va - vc)
v b
dg1(v1)
j
g2o(va - v b)
g6o(vc)
0
dg2(v2) dv2
0
|
j v = v - v j 2 a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
dg3(v3) dv3
|
j
v =v -v 3 a
j
c
=
0
0
0
dg4(v4)
|
dv4
0
0
0
0
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0
0
0
0
j j v =-v + v 4 b c
dg5(v5) dv5
|
0
j b
v =v
5
0
dg6(v6) dv6
|
j c
v =v
6
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales. Ejemplo(5)
Definitivamente los valores de los términos introducidos EQ j, JQ j, Yb j, son para nuestro circuito j 3
j
(vs - va)
va - v b
j
1 j j (v - v ) R 2 a b
j j va - vc
j j ∈ a c
vs - va j
j
EQ =
j
- (v - v )
j
JQ =
j
2
j 1/5
j
j 3
v b
j
v b - (v b)
j
1 j v R 6 c
vc
3(vs - v ja)
j
(- v b + vc)
- v b + vc
0
0
0
0
0
0
1 R 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 (- v j + v j )- 4/5 c b 5
0
0
0
0
0
0
0
0
j j
- ∈(va - vc)
j
Yb =
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0
0
j 2
1 - 3(v b)
0
1 R 6
0
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales: Interpretación(1)
La interpretación de E jQ, J jQ, Y jb es: a) El componente k-ésimo del vector E jQ, E jQk es la tensión en la resistencia R k en la iteración j-ésima. b) El componente k-ésimo del vector J jQ, J jQk es la intensidad a través de la resistencia R k en la iteración j-ésima. c) El componente kk-ésimo, de la matriz Jacobiana Y jb es la conductancia incremental G jQk evaluada en vk = E jQk . Es decir
∂g k ( v k ) ∂v k v
j = Ykk
j k = E Q k
= G jQ k
Luego Y jb se interpreta como la matriz de conductancia de rama incremental, asociada a las resistencias no-lineales. Se observa que si el circuito no tiene fuentes controladas Y jb es una matriz diagonal, y también que si las resistencias fuesen lineales Y jb se reduce a la familiar matriz de admitancias, y por tanto independiente de la iteración. Desde otro ángulo el componente k-ésimo (E jQk , J jQk ) de los vectores (E jQ, J jQ) es el punto de operación Q jQk de la resistencia R k en la iteración j-ésima. Asimismo G jQk es la conductancia incremental de R k en Q jQk , tal como se ve en la figura ik
i k = g k ( v k )
ik +
J jQ k
j
Qk
vk
I jQ k
G jQ k
-
E jQ k vk i k = G jQ k v k + I jQ k
I jQ k
G jk =
I jQ k = J jQ k − G jQ k E jQ k
dg k ( v k ) dv k
j
v k = E Q
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k
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Método de Newton-Raphson Ecuaciones Nodales: Interpretación(2)
Si consideramos ahora la expresión de iteración del algoritmo de NewtonRaphson, vemos que el circuito incremental que hemos introducido tiene significado. La iteración propia del método de Newton-Raphson para las ecuaciones nodales de un circuito tenía la forma
[
] − [AJ
v (jn +1) = v jn − AY b jA'
1
j Q
+ Ai g ]
Podemos escribir AY b A' v (jn +1) = A − i g − J Q + Y b A' v jn = j
j
j
= A − i g − J jQ + Y b j (EQ − v g ) Definimos el vector fuente de intensidad iterativo J j en la iteración j-ésima J j = i g + J jQ − Y b j E jQ
Entonces AY b jA' v (jn +1) = − AJ j − AY b j v g
En esta última ecuación se da una nueva interpretación al método de Newton-Raphson, ya que reproduce la expresión del método nodal, para circuitos lineales en cada iteración. Yn v n = − Ai g − AY v g Yn = AYA'
Si el circuito tiene tan solo resistencias y fuentes de independientes el resultado es sustituir las resistencias no lineales por sus modelos discretizados lineales Este dato lo empleamos para proponer un nuevo método de análisis
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Análisis Nodal por Newton-Raphson Circuito Discreto Equivalente
Las tensiones de nudo vn j+1 de un circuito no lineal compuesto por resistencias no lineales de dos terminales, fuentes lineales de intensidad controladas por tensión y fuentes independientes, en una iteración j+1 del algoritmo de Newton Raphson son iguales a las tensiones de nudo de un circuito lineal asociado que se obtiene reemplazando cada resistencia no lineal R k en N por un modelo lineal discreto obtenido en la iteración j, tal como se muestra en la figura J jQ+k 1 ik + vk
E jQ+1 G j k Q
R k
-
J jQ − G jQ E jQ k k k
k
-
Ejemplo: El circuito resistivo no-lineal que vimos anteriormente se convierte ahora de acuerdo con la interpretación que hemos indicado en el circuito incremental siguiente j
GQ
j + 1
1
i1 j
j
va i2
j
1
i3 j
JQ - GQ EQ 1
a j
1
2
2
j
GQ +
b j + 1 v b
j JQ -
5
j
j
J Q - GQ EQ
j
GQ
3
3
3
3
j
i4
4 j
4
4
j + 1
vc
i6
4
j
GQ
6
5
c
j
JQ - GQ EQ
j j GQ EQ
5
j
GQ
j
i5
2
ig4
2
vs
j
JQ - GQ EQ
j
j
j
J Q - GQ EQ 6
6
6
d
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