Universidad Nacional de Loja Área de Energía, las Industrias y los Recursos Naturales no Renovables Carrera de Ingeniería en Sistemas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA AREA DE LA ENERGIA, LAS INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS NATURALES NO RENOVABLES. INTEGRANTES: LENIN CHUICO FERNANDO ESCARABAY LETICIA GUAMAN IVAN LOARTE ISRAEL QUINTEROS DIEGO ROMERO LUIS TENE
METODO NEWTON-RAPHSON CARRERA: SISTEMAS 8vo A DOCENTE: ING. LUIS CHAMBA
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1. Título.
METODO DE NEWTON-RAPHSON 2. Contenido. El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. HISTORIA El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado
como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Colson). Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas x n, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x . Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.
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DERIVACIÓN DE LA FÓRMULA Sea x0 el valor inicial. La pendiente en x0 está dada por f '(x0). La ecuación de la línea tangente en x0 está dada por:
La primera aproximación x1 es obtenida como la raíz de (1). Así (x 1,0) es un punto sobre la ecuación (1).
Por lo tanto:
Para el cálculo del error aproximado:
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CONSIDERACIONES SOBRE EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON: Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia, el delta-x se acerca a cero muy lentamente l entamente o no se acerca. No siempre trabaja puesto que se encuentra con problemas en varias partes. Existen casos en los que f´ (x)=0, en los cuales se tendrá tendrá una error de división por cero, y no se podrá proceder. Existen
ecuaciones
que
son
bastante
complejas.
No
es
posible
resolverlas
algebraicamente, para lo cual se debe usar un método numérico. El método de NewtonRaphson es la manera más fácil y fehaciente de resolverlas, aunque las ecuaciones y sus derivadas puedan parecer realmente intimidantes.
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ALGORITMO 1. Introducir la ecuación a resolver f(x) 2. Introducir la derivada de la función a resolver f ‘ (x) 3. Introducir el máximo número de iteraciones Nmax 4. Introducir el valor máximo del error porcentual aproximado Tmax. 5. Seleccionar una aproximación inicial cercana a la raíz xi 6. Inicializar el contador i=1 7. Mientras que i <= Nmax continuar los pasos 8 al 11 8. Calcular la aproximación a la raíz mediante la ecuación predictiva de Newton – Raphson 9. Calcular el error porcentual aproximado 10.Verificar 10.Verificar que se cumpla la condición |ep| <= Tmax. Si se cumple, entonces se ha encontrado la aproximación final, ir al paso 13 de lo contrario continuar. 11.Hacer 11.Hacer i = i+1 12.Verificar 12.Verificar si se cumple la condición i<= Nmax. Si después de Nmax iteraciones no se ha cumplido que |ep| <= Tmax, el método ha fracasado. Terminar la ejecución del algoritmo. 13.Imprimir 13.Imprimir los resultados
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EJEMPLO 1 Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de
,
comenzando con x0=1 y hasta que |Єa|<1%. Solución
En este caso, se tiene que:
Luego:
Se empieza con x0 =1 y se obtiene:
En este caso, el error aproximado es:
Se continúa el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pide. Los resultados son resumidos en la tabla:
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Aprox. a la raíz
Error aprox.
1 1.268941421
21.19%
1.309108403
3.06%
1.309799389
0.052%
Cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma muy rápida, el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso.
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EJEMPLO 2 Aproximar la raíz de
, comenzando con x0=-1 y hasta que |Єa|<0.1%.
Solución
Se empieza con x0 =-1 y se obtiene:
Los resultados son resumidos en la tabla: xn
Єa
-1 -4.5
77.78%
-3.21053
40.16%
-2.57452
24.70%
-2.40028
7.26%
-2.38775
0.52%
-2.38769
0.0025%
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3. Conclusiones. El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona propor ciona una muy buena precisión en los l os resultados. El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real. El método no puede ser utilizado para los casos en que f´(x)=0 La eficiencia del método depende del valor inicial elegido.
4. Bibliografía. es.wikipedia.org/wiki/Método_de_Newton, 27_03_2010 http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html http://noosfera.indivia.net/metodos/newtonRaphson.html , 27_03_2010 http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeNewtonRaphso http://www.mitecnologico .com/Main/MetodoDeNewtonRaphson n , 27_03_2010 27_0 3_2010 http://www.dgf.uchile.cl/~ma33a/Jaime/newton_raphs http://www.dgf.uchile.cl /~ma33a/Jaime/newton_raphson_method.htm, on_method.htm, 27_03_2010
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