Instituto Tecnol´ og ico de L´ ogi azar azaro o C´ arde ar den nas Inge Ingeni nier er´ ´ıa Elec Electr tr´ ´ onica onica M´ eto eto do de Newt Newton on-R -Rap aphs hson on para para Ra´ Ra´ıces ıces Complejas Asignatura: An´alis alisis is Num´ Num´eric er ico o Docente: Doce nte: M.C. Julio C´esar esar Gallo Sanchez Alumno: Jos´e Armando Lara Ramos Equipo: 9 4o Semestre
Febrero 15 de 2012
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Jos´ e Armando Lara Ramos
M´ etodo de Newton-Raphson Resumen
Este art´ıculo describe una metodolog´ıa en el m´etodo de Newton-Raphson para resolver sistemas de n ecuaciones no lineales en n variables, incluso siendo estas complejas. Al final se presenta un ejemplo que ilustra la aplicaci´ on del m´etodo y observaciones en el uso del m´etodo de Newton-Raphson en n´ umeros complejos. This article describes one methodology in the method of Newton-Raphson to resolve systems of n not lineal equations in n variables, even is these are complex. In the end one examples appear that illustrate the application of method and observations in the use of the Newton-Raphson method with complex numbers.
1.
Introducci´ on
La mayor´ıa de los textos de an´alisis num´erico en el estudio de sistemas de ecuaciones no lineales s´olo hace un tratamiento para dos variables y se evita el caso de m´as de dos variables para la deducci´on del m´etodo. Presentamos una alternativa metodol´ogica y pedag´ogica para hacer menos dif´ıcil la comprensi´ on de ´este. La metodolog´ıa es un resultado de la experiencia docente.
2.
El M´ etodo de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales
Sea F : Ω ∈ Rn → Rn un campo vectorial. Y las coordenadas de F , f i : Ω as, x = (x1 , x2 ,...,xn )t. Rn → Rn con i = 1, 2,...,n campos escalares. Adem´
2.1.
Deducci´ on del M´ etodo
La diferencial total para un campo escalar f i esta dado por: df i (x) =
∂f (x) ∂f (x) ∂f (x) dx1 + dx2 + · · · + dxn ∂x 1 ∂x 2 ∂x n
en otra forma
( )=
df i x
∂f (x) ∂f (x) ∂x 1 ∂x 2
...
∂f (x) ∂x n
df i (x) = ∇f i (x) · dx
·
x1 x2 ... xn
∈
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Podemos aproximar df i (x(k) ) con ∆x(k) apropiado, con lo anterior obtenemos ∆f i (x(k) ) = ∇f i (x(k) ) · ∇x(k) Si se tiene un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas, f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0, . . . , fn (x) = 0
este sistema se puede interpretar como el cero de un campo vectorial F ,
( )=
f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x)
F x
0 = 0 ...
0
Para resolver el problema, considere x(k) y x(k+1) dos estimaciones de la soluci´on de F (x) = 0. En donde x(k+1) es la mejor estimaci´on. Ahora considere el incremento de F para x = x (k) : ∆F (x(k) ) = F (x(k+1) ) − F (x(k) ) f 1 x(k+1) ) f 2 x(k+1) ) ... f n x(k+1) )
( ( ∆ ( )= ( ( ( ∆ ( )= ( ( )∆ ( )∆ )= ( ) ∆ ( )= F x(k )
−
f 1 (x(k) ) f 2 (x(k) ) ... f n (x(k) )
) ) ) ( ) ( ) ∆
f 1 x(k+1) ) − f 1 (x(k) f 2 x(k+1) ) − f 2 (x(k) ... (k+1) ) − f n (x(k) f n x
F x(k)
x(k) · (k ) ∇f 2 x · ... (k) ∇f n x · ∇f 1
∆F (x(k)
J x(k)
x(k) x(k) x(k)
x(k ) (k ) ∇f 2 x ... ∇f n (x(k) )
= (k )
∇f 1 (x
) (k ) ∇f 2 (x )
∇f 1
·
x(k)
... (k) ∇f n (x )
En donde J es la matriz jacobiana (un arreglo de gradientes de los campos escalares as, podemos hacer F (x(k+1) ) ≈ 0 f i , con i = 1, 2,...,n)del campo vectorial F . Adem´ por ser x(k+1) la mejor estimaci´on del cero de F . Entonces, ∆F (x(k) ) = −F (x(k) ) (k )
−F (x
) = J (x(k) ) · ∆x(k)
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y por consiguiente obtenemos: ∆x(k) = − J (x(k) )
1
−
·
F (x(k) )
siempre que J (x(k) ) sea no singular. Finalmente x(k+1) = x (k) + ∆x(k)
2.2.
Ra´ıces Reales y Complejas de una Ecuaci´ on Polinomial.
Dada la ecuaci´on z 3 − 3 = 0, donde z ∈ C . Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´ on. Para resolver la ecuaci´on hacemos z = x + y · i, con i2 = −1, obteniendo: (x + y · i)3 − 3 = 0 Resolviendo el producto notable y agrupando t´erminos se obtiene (x3 − 3xy2 − 3) + (3x2 y − y2 ) · i = 0 Haciendo r = (x, y)t con P (x, y) = x 3 − 3xy2 − 3 y Q(x, y) = 3x2 y − y2 , se tiene que F (r ) =
( ) 0 P r Q(r)
=
0
=0
Con la matriz jacobiana J (r) =
x2 − 3y 2 −6xy 6xy 3x2 − 3y2
3
Si r(0) = (1,5, 0)t , aplicando el algoritmo, este se detiene en N = 4 y la ra´ız real es la parte real del vector r(4) = (1,44224957, 0)t ; z 1 = 1,44224957. Con r (0) = (−0,5, 1,0)t , el algoritmo se detiene en N = 5, y la soluci´on es dada por r(5) = (−0,72112479, 1,24902477)t en donde z 2,3 = −0,72112479 ± 1,24902477 ra´ıces complejas conjugadas.
3.
M´ as sobre el M´ etodo de Newton-Raphson
En este documento se desarrollar´a un m´etodo de segundo orden llamado M´etodo de Newton-Raphson. Una manera de derivar el m´etodo de Newton-Raphson es porel enfoque geom´etrico (como fu´e deducido), sin embargo lo haremos aqu´ı de una forma diferente. Para ello escribimos la ecuaci´on f (x) = 0 como x = x − f (x)
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y le aplicamos el m´etodo de aceleraci´on1 , introduciendo un par´ametro λ, x + λx = λx + x − f (x)
1 (x − f (x)) = G (x) 1 + λ 1 + λ Imponiendo que G (x) = 0 tenemos que el par´ametro λ debe satisfacer: x =
λ
x +
λ
1 + λ
+
1 (x − f (x)) = 0 1 + λ
λ = f (α) − 1
y sustituyendo este valor de λ en la pen´ultima ecuaci´on obtenemos la relaci´on x = x −
f (x) f (x)
que sugiere el m´etodo iterativo xr+1 = x r
−
f (xr ) f (xr )
que es un m´etodo de segundo orden ya que G(x) = x −
cumple G (x) = 1 −
f (x) f (x)f (x) f (x)f (x) + = [f (x)]2 [f (x)]2 f (x)
f (x) f (x)
que se anula en la ra´ız α, ya que f (α) = 0. Este m´etodo de segundo orden se conoce con el nombre de M´etodo de Newton-Raphson quienes lo derivaron de forma geom´etrica como ya se hab´ıa mencionado.
3.1.
Ra´ıces Complejas
El m´etodo de Newton se puede aplicar a ra´ıces complejas; para ello hay que dar un punto de partida en el plano complejo. De hecho, la aplicaci´on del m´etodo de Newton a ra´ıces complejas ha sido muy fruct´ıfero en el campo de los fractales. Si existen varias ra´ıces, el plano complejo se puede dividir en zonas de convergencia a las ra´ıces y en zonas de divergencia. Las fronteras entre las zonas de convergencia y divergencia exhiben un comportamiento fractal, caracterizado por patrones que se repiten indefinidamente cuando se disminuye la escala de observaci´on, al estilo de las mu˜necas rusas. El c´ elebre conjunto de Mandelbrot, mostrado en la Figura 1, no es otra cosa que la zona de convergencia en el plano de c de la ecuaci´on iterativa z n+1 = z n2 + c,
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Figura 1: Conjunto de Mandelbrot. Los l´ımites de la figura son -2.25 y 0.75 en el eje x, y -1.5 y 1.5 en el eje y.
Figura 2: Conjunto de Mandelbrot coloreando las zonas de divergencia seg´un la velocidad de divergencia. comenzando con z 0 = 0. En la Figura 2 se muestra el conjunto de Mandelbrot colo-
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Figura 3: Zonas de convergencia seg´un el punto de partida z 0 , para la soluci´on de la ecuaci´ on z 6 − 1 = 0 por el m´etodo de Newton-Raphson, coloreadas seg´ u n el n´ umero de iteraciones necesario para la convergencia. La zona azul celeste corresponde a la convergencia y la rojiza es la que diverge m´as r´apido. Los l´ımites de la figura son -1 y 1 en ambos ejes. Los brazos corresponden a cada una de las seis ra´ıces de la ecuaci´on. reando las zonas de divergencia seg´un la velocidad de divergencia. Otras ecuaciones muy simples producen figuras de asombrosa complejidad. Por ejemplo, al aplicar el m´etodo de Newton a ecuaciones de la forma z n − 1 = 0, representando cada punto del plano de un color, segun que cuando se parte de este punto se obtenga convergencia o divergencia, se obtienen figuras de asombrosa complejidad, como la mostrada en la Figura 3. En la Figura 3 el patr´on central aparece repetido en cada uno de los brazos, a cualquier nivel de escala.
1
Un m´etodo de aceleraci´on consiste en una transformaci´on de la funci´on g(x) de forma que se cumpla este requerimiento y redusca el n´umero de iteraciones en la b´usqueda de una ra´ız.
