LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK DAN KOMPUTASI “METODE NEWTON-RAPHSON MENGGUNAKAN SIMULINK MATLAB” MATLAB”
DISUSUN OLEH:
ILDA NURIDA 125874255
SI TEKNIK ELEKTRO-B 2012
PRODI SI TEKNIK ELEKTRO JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2014
A. JUDUL
Metode Newton-Raphson menggunakan simulink Matlab
B. TUJUAN
Mahasiswa dapat memahami cara menyelesaikan soal Metode Newton-Raphson dengan menggunakan simulink Matlab
C. DASAR TEORI
Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk
umum dari persamaan kuadrat adalah
dengan
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien : koefisien kuadrat a adalah koefisien dari
, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien
konstan atau disebut juga suku bebas. Ada beberapa metode standar untuk penyelesaian persamaan : f(x) = 0
(3.1) 2
Sebagai contoh bentuk polinomial derajat dua berikut ax + bx + c = 0 , dapat dicari akar-akar persamaannya dengan rumus persamaan kuadrat berikut :
x1,2 =
b
b2 2a
4ac
(3.2)
Demikian pula seperti pada bagian terdahulu beberapa persamaan dapat ditulis dalam bentuk
x = F(x) dengan beberapa cara dan kemudian dikerjakan dengan cara
metode iteratif. Suatu persamaan seperti persamaan (3.1) mungkin tidak memiliki akar-akar nyata, satu akar nyata, banyak akar nyata atau bahkan bilangan pasti dari akar nyata. Dalam hal ini ingin didapatkan semua akar-akar nyatanya, sebagian darinya (semua akar positif) atau hanya satu akar bagian saja. Persamaannya juga mungkin memiliki akar bilangan kompleks. Pada pembahasan berikut, akan dibicarakan yang berkaitan dengan akar-akar nyata. Pada berbagai pekerjaan computerisasi, terlebih dahulu dapat dibuat sketsa suatu grafik f(x) dan melihat dimana letak grafik ini memotong sumbu x. Hal itu dapat memperlihatkan bagaimana banyaknya akar-akar nyata disana dan memberikan suatu ide perkiraan dari nilainya. Jadi jika grafik f(x) terlihat seperti Gambar.3.1 kita melihat adanya tiga akar nyata, dalam interval (1,2), (3,4), (5,6).
Gambar.3.1 kurva f(x)
Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya. Metode ini paling banyak
digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan awal dari akarakar adalah xi, suatu garis isnggung dapat dibuat dari titik (x i, f (xi)). Dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Metode Newton-Rephson ini diketahui untuk menyelesaikan dalam bentuk persamaan (3.1). Pada Gambar.3.2 ditunjukan grafik y = f(x) yang berpotongan dengan sumbu x pada titik R sebagai akarnya. Pendekatan langsung terhadap akarnya adalah xi, yang memberikan titik P pada kurva tersebut. Kita gambarkan tangen terhadap kurva di titik P, yang memotong sumbu di T. Apabila jarak PR adalah kecil, kurva tidak akan menyimpang terlalu jauh dari garis lurus dalam interval ini, dengan demikian T akan semakin dekat kepada R. Kita ambil posisi T sebagai pendekatan berikutnya terhadap akar , xi+1 Sekarang tinggi PM adalah f (xi) dan tan PTM = f’(xi) , secara trigonometri sederhana : Ini merupakan rumusan untuk metode Newton
xi+1 = xi -
f ( xi ) f ' ( x i )
(3.3)
Gambar 3.2. Pendekatan untuk metode Newton
D. ALAT DAN BAHAN
1. Laptop 2. Aplikasi matlab
E. PEMBAHASAN
Soal 3
2
Selesaikan persamaan f(x) = x + x – 3x – 3 = 0, menggunakan simulink Matlab. Carilah Kesalahan Relatif (εo) ! Penyelesaian : 2
( i ) Turunan pertamanya, f’(x) = 3x + 2x – 3 ( ii ) Untuk mencari nilai x2, x3, .. xn, xi+1 = xi -
( iii ) Untuk mencari Kesalahan Relatif εa =
xi
f ( xi ) f ' ( x i )
1 xi
xi
1
Flowchart
Gambar bagan alir Metode Newton – Raphson
Coding
Dibawah ini merupakan program coding Matlab, dalam penyelesaian persamaan : 3
2
f(x) = x + x – 3x – 3 = 0 .
F. HASIL PERCOBAAN
Berikut merupakan hasil percobaan dari coding penyelesaian soal persamaan 3
2
f(x) = x + x – 3x – 3 = 0 . Penjelasan : Nilai X = 2 digit NIM dari belakang Nilai kesalahan relatif (εa ) = nilai benar, karena semakin turun atau mendekati 0,01 (1%)
Setelah menginputkan nilai x awal, makan akan tampil tabel berikut. Hingga menemukan nilai akar-akarnya yaitu 1.73213901
G. KESIMPULAN
Dari percobaan diatas dapat disimpulkan bahwa hasil data percobaan dari praktikum yaitu : 1. Bila mungkin, sebuah rutin penggambaran (plot) harus dimasukkan dalam program. 2. Pada akhir komputasi, taksiran akar akhir harus senantiasa dimasukkan kedalam fungsi asli untuk menghitung apakah hasil itu mendekati nol. Pengecekan ini sebagai memandu kasus-kasus dimana konvergensi berisolasi atau perlahan bisa membawa ke suatu mana konvergensi berisolasi atau perlahan bisa membawa ke suatu harga εa yang kecil sewaktu solusi masih jauh dari suatu akar. 3. Program harus senantiasa memasukkan sebuah batas pada jumlah iterasi untuk memandu divergensi yang dapat mencegah tidak adanya terminasi.
H. DAFTAR PUSTAKA
http://aimprof08.wordpress.com/2012/08/31/metode-newton-raphson-newton-raphson/ http://nungnurie.blogspot.com/2012/12/metode-newton-raphson.html Rinaldi Munir, Metode Numerik , Penerbit Informatika, 2010
