UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS Facultad de Ingenierías y Arquitectura Escuela Académico Profesional de Ingeniería de Minas
MÉTODO DE NEWTON CURSO: Métodos Numéricos DOCENTE: Edwin Colos Ccallme CICLO: VII REALIZADO POR: Arisnabarreta Córdova Javier Rosado Añari Silvia Sanca Cutipa Alejandra Vilca Ramos Ghan Alexander
Arequipa – Perú
2017 1
AGRADECIMIENTOS
La Universidad Alas Peruanas, por darnos la oportunidad de ser profesionales que contribuyan al engrandecimiento de nuestra nación.
La Facultad de Ingeniería, por brindarnos los conocimientos necesarios para aplicarlos en la realización de este trabajo, así como mi reconocimiento hacia su personal docente.
Sin ánimos de olvidar a nadie en particular, a todas aquellas personas que de una u otra forma han compartido su vida durante el transcurso de estos últimos años, nuestro más sincero agradecimiento a su comprensión, estímulo y ayuda, ya que todos son parte de nuestra vida.
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RESUMEN
El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. El método en análisis es un procedimiento que puede ser aplicado en una diversidad de oportunidades, principalmente cuando se trata de funciones que tengan raíces reales. Cálculo de las aproximaciones a la raíz: Xn+1 = Xn -
𝑓(𝑋𝑛) 𝑓′(𝑋𝑛)
Para el cálculo del error aproximado: ∈𝑟=
𝑋𝑖 − 𝑋𝑖 − 1 𝑥 100% 𝑋𝑖
f(x) f(x0)
Línea tangente a la función f(x) f(x) =f(xn)+f’(xn)(x-xn) ∆𝑥
r
x2
x1
x0
Imagen 1: Grafica del Metodo de Newton
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OBJETIVOS .
Encontrar soluciones a funciones de una manera rápida
Conocer detalladamente el método de Newton
Comprobar la eficacia del método
Aplicarlo a los estudios académicos o en la carrera
Saber cómo resolver los ejercicios de Newton
Utilizarlo en el Programa Octave y/o Mathlab y saberlo configurar
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INTRODUCCIÓN
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson) Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi
Imagen 2: Foto de Isaac Newton
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INDICE
AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................... 2 RESUMEN ......................................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ...................................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 5 CAPITULO 1: Marco Teórico ......................................................................................................... 7 1.1
Marco Teórico ................................................................................................................... 7
1.2
Desarrollo del Método....................................................................................................... 7
1.3 Desarrollo En el Programa Octave - Mathlab ...................................................................... 8 1.4
Interpretación Gráfica Del Método ................................................................................ 9
1.4.1 Esquema Del Método De Newton.................................................................................. 10 1.5 Otro Concepto ....................................................................................................................... 11 CAPITULO 2: Ejercicios................................................................................................................ 12 2.1 Ejemplo 1 ............................................................................................................................... 12 2.2 Ejemplo 2 ............................................................................................................................... 13 2.3 Ejemplo 3: Con el método de Newton encuentre el máximo de ........................................ 13 CATITULO 3: Ejercicios Aplicados a la Ingeniería .................................................................... 15 3.1 Ejemplo 1: Aplicación del Método de Newton Raphson en el Principio de la “Esfera Sumergida en Agua” ................................................................................................................... 15 3.1.1 APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON .......................................................... 17 3.2 Ejemplo 2: Este ejemplo se encuentra relacionado con el Metodo Predictivo de control; en el cual nos permite predecir la variacion de costos en una planta. .................................... 20 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 22 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 23
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CAPITULO 1: Marco Teórico
1.1 Marco Teórico
El método de Newton es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. Es una técnica para encontrar el valor óptimo (máximo o mínimo), de una función de una variable, f(x). Para esta clase de análisis se debe tener cuidado con los sistemas multimodal, en los cuales existen valores óptimos globales y locales. Para la gran mayoría de los casos, los estudios se centran en los globales. 1.2 Desarrollo del Método
Como antecedente para la explicación del método, se tiene el método de NewtonRaphson, el cual es un método abierto que encuentra la raíz de x, tal que f(x) = 0, el método se resume así:
xi 1 xi
f ( xi ) f ´(xi )
Haciendo uso de este planteamiento para hallar un óptimo de f(x), al definir una nueva función g(x) = f´(x), así, como el mismo valor óptimo x*, satisface: f ´( x*) g ( x*) 0
Se utilizará la siguiente formulación, para hallar máximos o mínimos:
xi 1 xi
f ´(xi ) f ´´(xi )
Este es un método abierto y similar al Newton-Raphson, ya que no requiere valores iniciales que contengan el óptimo. Además, comparte la desventaja de poder ser divergente.
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Como anotación, es conveniente verificar que la segunda derivada tenga el signo correcto, para confirmar que la técnica converge sobre el valor deseado.
1.3 Desarrollo En el Programa Octave - Mathlab El mayor problema a afrontar es la no-linealidad que involucra la derivada, la ventaja es que algunas herramientas computacionales tienen directamente la función de la derivada, por lo cual el seudocódigo es de muy fácil implementación
Imagen 3: En el programa Octave- Mathlab
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Imagen 4: Resolviendo en Octave- Mathlab
1.4 Interpretación Gráfica Del Método
Antes de continuar con el análisis del método consideremos la idea de bosquejar una interpretación gráfica. En estas circunstancias podemos decir que el método de Newton consiste en la linealización de la función esto quiere decir que la función f(x) será sustituida por una función lineal y esto ocurre cuando usamos la serie de Taylor del siguiente modo
Luego si linealizamos tenemos l(x) = f ( c) + f ’ (c) (x-c), en este caso se observa que l(x) es una buena aproximación de la función f(x) en c , de hecho tenemos que la función l(x) tiene el mismo valor que f (c) y la misma pendiente es decir l’ ( c ) = f’
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( c ) esto en el punto c . En otras palabras graficar el método de Newton se debe de considerar la tangente a f(x) en un punto cercano de r
f(x)
f(x0)
Línea tangente a la función f(x)
f(x) =f(xn)+f’(xn)(x-xn) ∆𝑥 r
x2
x1
x0
Imagen 5: Esquema del Método Newton 1.4.1 Esquema Del Método De Newton Esto se puede realizar de manera esquemática: 1.- Representar gráficamente la función f(x) la cual corta al eje x en r que es la raíz de f(x) 2.- Representar x0 como el valor inicial de la sucesión de puntos en el eje de las X. 3.- Trazar la tangente a la función f(x) en x0 y ubicar el punto de corte con el eje X y la tangente y denotarlo con x1 el cual será la nueva aproximación a la raíz r. 4.- El proceso se repite hasta que sea necesario es decir cumpla con las exigencias en otras palabras falta que | f(xk) | y | xk+1-xk | se cumpla una o ambas. 5. Si en el caso de no cumplirse en un número máximo de iteraciones se sugiere reiniciar de nuevo.
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1.5 Otro Concepto El método de Newton Supongamos que pretendemos resolver la ecuación f(x) = 0 y que hemos separado las raíces, de modo que en el intervalo [a, b] hay un solo cero de la ecuación, que denotamos por α. Asumimos que la función y = f(x) admite derivadas hasta de segundo orden en [a, b] y que la derivada primera no se anula en dicho intervalo porque la función es estrictamente monótona
-El método consiste en:
Supongamos que estamos interesados en determinar las raíces de f(x) numéricamente siendo r una raíz y considerando que x es una aproximación a este valor, consideremos que 𝑓 ′′ existe y es continua luego tendremos por el Teorema de Taylor lo siguiente:
f ( x h) f ( x) hf ( x)
h2 h3 h4 hn n f ( x) f ( x) f v ( x) .... f ( x) 2! 3! 4! n!
0 f (r ) f ( x h) f ( x) hf ( x) 0.( h 2 ) En donde h = r – x, que ocurre si h se aproxima a cero entonces x se aproxima a la raíz r. Si ignoramos el tercer término
podemos determinar el valor para h. es
decir tenemos que:
0 f ( x) hf ( x) h
f ( x) f ( x)
Si aproximamos x a la raíz r entonces x f ( x) deberá f ( x)
encontrarse más cerca de r. De esta manera el Método de Newton comienza con una estimación x0 para r y a partir de la cual se define usando inducción la sucesión de aproximación que se representa de la siguiente manera:
x n1 x n
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f (xn ) , para n 0 f ( x n )
CAPITULO 2: Ejercicios 2.1 Ejemplo 1 Determinar una raíz de f ( x) x 3 2 x 2 10 x 20 considerando x0 =1, y el criterio de convergencia xk 1 xk y con un error de = 10-3 Solución a)
Primero determinamos la derivada del polinomio: f ( x) 3x 2 4 x 10
b)
Aplicar la sucesión iterativa x k 1 x k
c)
x k 1 x k
d)
x1 = 1.41176
e)
X2 = 1.36934
f)
X3 = 1.36881
g)
X4 = 1.36881
f ( xk ) f ( x k )
( x k ) 3 2( x k ) 2 10 x k 20 3( x k ) 2 4 x k 10
Cuadro que representa los diferentes cálculos para determinar la aproximación de una raíz usando el Método de Newton. iteraciones k 0 1 2 3 4
xk 1.00000 1.41176 1.36934 1.36881 1.36881
x k 1 x k
0.00000 0.41176 0.04243 0.00053 0.00000
g ( x k )
0.24221 0.02446 0.00031 1.09x10-6 1.2714x10-6
Debemos destacar que con este método solo se necesitaban tres iteraciones para alcanzar la aproximación necesaria y además se tiene una mayor aproximación.
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2.2 Ejemplo 2 Determinar la solución de la función f ( x) ln( x) 1 / x considerando x0 =1, y el número de iteraciones es 4. Solución a) Primero determinamos la derivada de la función: f ( x) x 1 / x´2 b)
Aplicar la sucesión iterativa x k 1 x k
c)
x1 = 2
d)
X2 = 1.74247
e)
X3 = 1.76305
f)
X4 = 1.76287
f ( xk ) f ( x k )
Debemos destacar que con este método solo se necesitaban cuatro iteraciones para alcanzar la aproximación necesaria 2.3 Ejemplo 3: Con el método de Newton encuentre el máximo de
La primera y segunda derivadas de la función se calculan para obtener
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CATITULO 3: Ejercicios Aplicados a la Ingeniería 3.1 Ejemplo 1: Aplicación del Método de Newton Raphson en el Principio de la “Esfera Sumergida en Agua” Es un ejemplo aplicativo referido a la Hidráulica, se busca determinar a que profundidad desciende entre el agua, un cuerpo esférico macizo, de un material con una determinada densidad. En mineria podemos tener como referencia este ejemplo, ya que en ciertas etapas como la molienda del mineral; el mineral esta en contacto con el agua.
E= m*g =
𝜌𝑓 ∗ 𝑔 ∗ 𝑉
Donde: E = empuje ρf = densidad de fluido V = Volumen del fluido desplazado por un cuerpo parcial o totalmente sumergido en él. g = aceleración de la gravedad m = masa del cuerpo sumergido De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volume del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar.
Imagen 6. Cuerpo esferico sumergido en fluido
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La masa de agua desplazada cuando la esfera se sumerge en agua y ésta alcanza la altura d hasta la superficie libre, está dada por la siguiente ecuación: 4
𝑉𝑑 = ∫ 𝜋[𝑟 2 − (𝑦 − 𝑟)2 ]𝑑𝑦 = 𝜋𝑑 2 (3𝑟 − 𝑑)/3 0
Asi que la masa del agua desplazada es:
𝜋𝑑 2 (3𝑟 − 𝑑) 𝑀𝑎 = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑉𝑑 = 3 La masa de la esfera es:
𝑀𝑒 = 𝜌(4/3) 𝜋𝑟 3 El volume del liquido desplazado es igual al volumen del liquido sumergido:
𝜌( 4/3)𝜋𝑟 3 = (3𝑟 − 𝑑)/3 Esto indica que se debe resolver la ecuación equivalente 4𝜌𝑟 3 = 𝑑 2 (3𝑟 − 𝑑), equivalente a:
𝑑3 − 3𝑟𝑑3 + 4𝜌𝑟 3 = 0 Reemplazando los valores 𝑟 = 0.55 m, ρ = 0.6, se tiene la ecuación, para cual profundidad “d” estara dada en metros y, a los cuales la bola se submerge debajo del agua.
𝑓(𝑑) = 𝑑3 − 165𝑑 2 + 3.993𝑥10−4 Quiere decir que existen al menos 2 raices positivas para este polinomio, y corroborando por regla de Laguerre:
Comprobamos que el máximo numero de raíces positivas esde 2Por ser un polinomio de grado 3 podemos inferir que tiene tressoluciones la ecuación. Como 2 de ellas son positivas la otra puede ser negativa o compleja. Resumiendo el polinomio tiene:
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Raíces negativas Al menos dos de esas raíces son positivas La otra raíz (Qué no es de interés para el ejercicio) puedeser una raíz negativa o compleja.
3.1.1 APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON Sea f(d) = 0 la ecuacion cuya raiz se desea hallar.
Se supone la estimacion inicial de la raiz es f(d) = 0, d0 = 0.05 m. esto es una estimacion razonable, como los valores de los extremos de la profundidad seria 0 y el diametro (0.11 m) de la esfera. A. Iteración 1 La estimacion de la raiz es:
Entonces el error aproximado relativo absoluto |ea| al final de la primera iteración es:
El número de dígitos sigmificativos por lo menos correctos es 0, ya que se necesita un error absoluto aprox. relativo de 5% o menos para que tenga un digito significativo y, el resultado sea correcto.
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B. Iteración 2 Evaluando la expression a partir de d1: La estimación de la raiz es:
Entonces el error aproximado relative absolute final de la segunda iteración es:
El máximo valor de m para la cual |ea| ≤ 0.05 x 102 es 2.844. Por lo tanto, el número de dígitos significativos al menos en la respuesta correcta es 2. C. Iteración 3 Evaluando la expresión a partir de d2: La estimación de la raíz es
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Entonces el error aproximado relativo absoluto al final de la tercera iteración es:
El número de digitos significativos por lo menos correcto es de 4, ya que solo 4 dígitos significativos se tomaran a travez de todos los calculos. En este caso 0.06m es una Buena aproximación al valor en metros que se hundirá en el agua la esfera con las caracteristicas descritas.
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3.2 Ejemplo 2: Este ejemplo se encuentra relacionado con el Metodo Predictivo de control; en el cual nos permite predecir la variacion de costos en una planta.
Imagen 7. Diagrama de bloques de una planta. 1) Se genera la trayectoria al algoritmo, esta puede ser constante ym(n). 2) Utilizando la señal de control anterior y el modelo de la planta se calcula el comportamiento futuro de de la planta. 3) Se calcula una nueva señal de control que minimice la función de costo. 4) Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que se obtiene el valor mínimo deseado. 5) Se repite todo el proceso. La función de costo es la que se busca minimizar sobre un horizonte de predicción finito y esta definida como:
𝑱=∑
𝑵𝟐
[𝒚𝒎(𝒏 + 𝒋) − 𝒚𝒏(𝒏 + 𝒋)]𝟐 + ∑
𝒋=𝑵𝟏
Donde: • N1 es el valor mínimo para el horizonte de predicción • N2 es el valor máximo para el horizonte de predicción
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𝑵𝒖
[∆𝒖(𝒏 + 𝒋)]𝟐
𝒋=𝟏
• Nu es el horizonte de control • Ym es el valor al que se quiere llevar la planta • Yn es el valor predicho por la red neuronal • ∆u(n+j) es el cambio en la señal de control u y está definido como u(n+j)-u(n+j-1)
−1
𝜕2𝑗 𝑈(𝑘 + 1) = 𝑈(𝑘) − ( 2 (𝑘)) 𝜕𝑢
𝜕𝑗 (𝑘) 𝜕𝑢
Empleando esta formula y teniendo en cuenta cada variable, podemos realizar iteraciones, existen técnicas para hallar un modelo matemático de esta, pero en la práctica existen sistemas que no presentan un comportamiento lineal, en este caso la mejor opción para aproximar el comportamiento de la planta es utilizar redes neuronales que cuentan con la capacidad de aproximar el comportamiento de sistemas no lineales.
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CONCLUSIONES
El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados.
El método se emplea en la solución de problemas académicos y en problemas propios del mundo real.
El método no puede ser utilizado para los casos en que f´(x)=0
La eficiencia del método depende del valor inicial elegido.
Pudimos ver en MathLab como se resuelve o se configura el método de Newton
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BIBLIOGRAFÍA
Métodos Numéricos para ingenieros 5ta Edición – Steven c. Chapra
https://www.youtube.com/watch?v=aHuyFxMGcKg
https://www.uv.es/~diaz/mn/node20.html
http://www.objetos.unam.mx/matematicas/matema/Daplica/da_aplicacion08_d.html
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