Practica 5 Metodo de Newton Raphson

PRACTICA 5. METODO DE NEWTON-RAPHSON

OBJETIVO:  El objetivo de este método es llegar al resultad del problema planteado de forma más rápida. Basado en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la función por medio de su primera derivada. MARCO TEORICO:

Este método es uno de los más utilizados para localizar raíces a que en general es mu eficiente  siempre converge para una función polinomial. !e requiere que las funciones sean diferenciables"  por tanto" continuas" para poder aplicar este método. !e debe partir de un valor inicial para la raíz# $ i " este puede ser cualquier valor" el método convergirá a la raíz más cercana. !i se e$tiende una tangente desde el punto " el punto donde esta tangente cruza al eje $ representa una apro$imación mejorada de la raíz.

%a fórmula de &e'ton()ap*son se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta. +endiente de una recta#

,a que determinar un n-mero má$imo de iteraciones &ormalmente esto se *ace considerando una “tolerancia” " esto es# El valor absoluto de la diferencia de la debe ser menor que la tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada. na de las fórmulas de error más -tiles es la del error relativo porcentual apro$imado#

/00 1

El método de &e'ton()ap*son es convergente cuadráticamente" es decir" el error es apro$imadamente al cuadrado del error anterior. Esto significa que el n-mero de cifras decimales correctas se duplica apro$imadamente en cada interacción. 2uando el método de &e'ton()ap*son converge" se obtienen resultados en relativamente pocas interacciones" a que para raíces no repetidas este método converge con orden 3  el error E i4/ es proporcional al cuadrado del resultado anterior Ei !upóngase que el error en una iteración es /0 (n el error en la siguiente" 5que es proporcional al cuadrado del error anterior6 es entonces apro$imadamente /0(3n" el que sigue será apro$imadamente /0 (7n etc. 8e esto puede afirmarse que de cada iteración duplica apro$imadamente el n-mero de dígitos correctos. !in embargo el método de &e'ton()ap*son algunas veces no converge" sino que oscila. Esto ocurre si no *a raíz real" si la raíz es un punto de infle$ión o si el valor inicial está mu alejado de la raíz buscada  alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.

DESARROLLO:

#include #include #include #include class tangente {   private: int i; foat xi; public:   tangente(); foat x(foat); foat x(foat); void !etodo(); void "abla(); void mprime(foat$foat$foat); foat %ra(foat$foat);

foat %s (foat); &; tangente::tangente() { cout<<'t'<<'!%"* *% +, ",-%-"%'<>xi; cout<<'numero de iteracione :'<>i; getch (); & foat tangente::x(foat x) 00uncion a evaluar {   return(s1rt(po2(x$3))455); & foat tangente::x(foat x) {   return((36po2(x$7))0(76s1rt(po2(x$3)))); & void tangente::!etodo() { int m85; foat xr$ ap9act$ ap9ant85; "abla(); 2hile(i>m) {   xr8xi4(x(xi)0x(xi));    

   

         

ap9act8xr; mprime(m$xr$%ra(ap9act$ap9ant)); i (%ra(ap9act$ap9ant)<) { brea; & else{ xi8xr; & ap9ant8xr; m;

& & void tangente::"abla(void) { cout<<'i'<<'t'<<'t'<<'/i'<<'t'<<'t'<<'t'<<'%ra '<
void tangente::mprime(foat t$foat r$foat e) {   cout<
CONCLUSION:

En conclusión en el método de &e'ton()ap*son es el que presenta mejores características de eficiencia" debido a que casi siempre converge a la solución  lo *ace en un n-mero reducido de iteraciones. Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como trascendentes  con él es posible obtener raíces complejas. 9ambién *a que evaluar dos funciones en cada iteración" f5$ n6  f:5$n6. +ara algunas funciones f:5$n6 no es una e$presión sencilla  se requieren más

operaciones aritméticas para evaluarla que para la función. Esto *ace que el método de &e'ton sea más costoso" comparado con el método de bisección" en el que en cada iteración la función se eval-a una vez .