MUESTREO SIN REEMPLAZO Considere una población de N elementos x1, x2, …, xN a partir de la cual se seleccionan muestras de tamaño n. ¿Cuál es la media de las medias de las muestras, en términos de la media de la población; esto es, cómo se puede expresar µ x en términos de µx? Considere primero, el número de muestras de tamaño n que se forman a partir de la población de N elementos. Para una población de N elementos x1, x2, … , xN a partir de la cual se escogen muestras de tamaño n, la media de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n es igual a la media de la población original. Esto es, µx = µx. Para la población de N elementos ..., a partir de la cual se seleccionan muestras de tamaño n, la relación entre la desviación estándar σx , de las medias de todas las muestras posibles de tamaño n y la desviación estándar, σx, de la población original es σx = σx 1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: 1. ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? 2. ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? 3. ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? SOLUCIÓN: Seaδ i una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de ensamblaje en el momento i, siendo δ i= 1 si la unidad es defectuosa y δ =0 en caso contrario. La variable δ sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0’05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas (δ 1……….δ n), esto es, i n i n p Σ= = 1 , η δ , sigue una distribución
binomial de parámetros n y p=0,05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema: 1. Procedamos a calcular: * * 0,0476 2 10 ( 2) 0'05 (1 0,05)2 8 10,0'05 = Pη==− 2. Se tiene que: * * 0,9984 10 ( 2) 0'05 (1 0,05)10 10,0'05 = ≤ = − i −i i Pη 3. Por último: * * 1 0,5987 0,4013 0 10 ( 1) 1 ( 0) 1 0,05 (1 0,05) 0 10 0 10,0'005 10,0'05 = − = ≥=−==−−−PηPη 2. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? SOLUCIÓN: Representemos por la variable aleatoria δ la decisión de asistir (δ = 0) o no (δ = 1) finalmente al restaurante por parte de una persona que ha hecho una reserva. Esta variable sigue
una distribución de Bernoulli de parámetro p = 0,2, de acuerdo con el enunciado del ejercicio. Suponiendo que las distintas reservas son independientes entre sí, se tiene que, de un total de n reservas (δ 1….δ n), el número de ellas que acuden finalmente al restaurante es una variable aleatoria Yn =Σ= n i1 δ 1, con distribución binomial de parámetros n y p=0,2. En el caso particular del problema, n=25. Entonces, para aquellas personas que asistan al restaurante de las 25 que han hecho la reserva puedan disponer de una mesa, debe ocurrir que acudan 20 o menos. Así se tiene que: *0,2 *(1 0,2) 0,5799 25 ( 20) 25 20 0 =− ≤=− =Σ ii ii PY MUESTREO CON REEMPLAZO En muchos problemas de muestreo, el proceso tiene lugar como si una unidad fuera reemplazada una vez que se ha sacado. Por ejemplo, si un dado se tira, hay 6 resultados posibles (digamos 1, 2, 3, 4, 5 y 6). Si el dado se tira por segunda vez, hay también 6 resultados posibles. No se podría pensar en que si el resultado fue 1 la primera vez, es menos probable que aparezca la segunda. El mismo resultado se puede obtener si se sacaran bolas marcadas con los números del 1 al 6 de una bolsa y se reemplazaran antes de sacar otra. Supongamos que se desea hacer varias mediciones de la longitud de un tablero para tomar el promedio de ellas como una mejor estimación de la medida. Después que se obtuviera una medición 1.80 m, ¿se podría pensar que esto reduce la probabilidad de obtener 1.80 m en el segundo intento? Así, un muestreo de mediciones es una clase de muestreo con reemplazo. De estos ejemplos se puede ver que esta clase de muestreo se puede considerar cuando se trata de poblaciones indefinidamente grandes.
En el teorema 6-1 hemos demostrado que en el caso de muestras sin reemplazo, la media de las medias de todas las muestras posibles es igual a la media de la población original. Un resultado semejante se cumple para la muestras con reemplazo. Consideremos una población de N elementos x1, x2, …, xN a partir de la cual se seleccionan muestras de tamaño n, con la condición de que después de que cada elemento de la muestra se escoja, el elemento se reintegre a la población. De esta manera hay N posibilidades de escoger el primer elemento de la muestra, N para el segundo, y así sucesivamente, hasta que los n elementos se hayan seleccionado. Por tanto, cuando el remplazo es permitido, se pueden formar muestras diferentes de tamaño n a partir de una población de tamaño N. Ahora, vamos a deducir la relación entre la media de la población original, µx, y la media de las medias de las muestras, µx. Por definición,
En las n
diferentes muestras, cada elemento de la población original aparece veces.
Si se quiere un porcentaje de confianza del 95%, entonces hay que considerar la proporción correspondiente, que es 0.95. Lo que se buscaría en seguida es el valor Z para la variable aleatoria z tal que el área simétrica bajo la curva normal desde -Z hasta Z sea igual a 0.95, es decir, P(-Z
Primero habrá que obtener el valor de Z de tal forma que la confianza sea del 95%, es decir, buscar un valor de Z tal que P(-Z
Esto quiere decir que el tamaño de la muestra es de 385 alumnos. Supongamos ahora que sí se conoce el tamaño de la población estudiantil y es de 9,408, entonces se aplicará la segunda fórmula. Utilizando los mismos parámetros la sustitución queda como:
Con lo que se tiene una cota mínima de 370 alumnos para la muestra y así poder realizar la investigación sin más costo del necesario, pero con la seguridad de que las condiciones aceptadas para la generalización (confiabilidad, variabilidad y error) se mantienen. 1. En un lote de frascos para medicina, con una población de 8000 unidades, se desea estimar la media de la capacidad en centímetros cúbicos de los mismos. A través de un premuestreo de tamaño 35 se ha estimado que la desviación estándar es de 2 centímetros cúbicos. Si queremos tener una precisión 0.25 cms3, y un nivel de significancia del 5% . ¿De que tamaño debe de ser la muestra? DATOS: S = 2 cms3 ; N = 8000 ; d = 0.25 cms3 ; a = 0.05 (5%) Za/2= 1.96
N Z²a/2S²
8000(1.96)²(2)²
n = -------------- = --------------------------- = 238 frascos Nd² + Z²a/2S²
8000(0.25)² + (1.96)²(2)²
Solo faltaría muestrear 203 frascos, pues los datos de los 35 frascos del premuestreo siguen siendo válidos.
2. Una cantidad, con frecuencia, de interés para una clínica es el porcentaje de pacientes retrasados para su vacunación. Algunas clínicas examinan cada registro para determinar el porcentaje; Sin embargo, en una clínica grande, la realización de un censo de los registros puede llevar mucho tiempo. Cullen (1994) realizo una muestra de los 580 niños a los que da servicio una clínica familiar, en Auckland para estimar la proporción de interés. Que tamaño de muestra seria necesario con una muestra aleatoria simple (sin reemplazo) para estimar la proporción con el 95% de confianza y un margen de error de 0.10 . DATOS: N = 580 Niños
En realidad, Cullen realizo una muestra aleatoria simple con reemplazo de tamaño 120, de los cuales 27 resultaron como no retrasados para la vacuna. De un intervalo de confianza al 95% para la proporción de niños no retrasados. Solución:
3. En un estudio, se desea determinar en que proporción los niños de una región toman incaparina en el desayuno. Si se sabe que existen 1,500 niños y deseamos tener una precisión del 10 porciento, con un nivel de significancia del 5%. De que tamaño debe de ser la muestra? DATOS:
N = 1500 ; d = 10 % = 0.1 ; a = 5 % p = 0.5 y q = 0.5 (asumiendo varianza máxima). Za/2= 1.96 Z²a/2 pq n=
1500 (1.96)²(0.5)(0.5)
----------------- = ------------------------------d² + Z²a/2 pq
=
91
1500(0.1)² + (1.96)²(0.5)(0.5)
Se deben de muestrear 91 niños.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIA En estadística, numerosos problemas están relacionados con la estimación de la media o la desviación estándar de una población dada, apartir del estudio de una muestra de tamaño n. Por ejemplo, si a una empresa le puede interesar el número promedio de piezas defectuosas producidas por una cierta máquina; a un ingeniero especialista en cohetes le puede interesar la variabilidad en el funcionamiento de un tipo dado de proyectil. En las secciones anteriores se vio que si se supone que cada muestra de tamaño n tiene la misma probabilidad de ser seleccionada, entonces la media de la distribución de las medias de la muestra es la misma que la de la población original, µx = µx. Aún más, para poblaciones suficientemente grandes, o para muestreo con reemplazo, la desviación estándar de la distribución de las medias de la muestra, σx, está relacionada con la desviación estándar de la población σx, por la ecuación σx =
.
Si en una aplicación particular fuera practico seleccionar todas las posibles muestras de tamaño n, para determinar la media de cada una de ellas y, después, calcular la media y la desviación estándar de la distribución de las medias de las muestras, las fórmulas anteriores permitirían calcular µx y σx directamente. Por lo general, este procedimiento no es práctico. Lo que comúnmente se hace es no estudiar todas las muestras de tamaño n, sino únicamente una de ellas. La media, x, y la desviación estándar, s, de esa muestra únicamente se toman como estimaciones de µx y σx, la media y la
desviación estándar que corresponden a la población original. Puesto que µx = µx y σx =
las estimaciones para µx y σx son x y
respectivamente. En
seguida se ilustra el procedimiento de estimación con un ejemplo. Se escoge una muestra aleatoria de 36 niños de una guardería infantil. Las alturas (en cm) de los niños que constituyen la muestra son: 63 66 67 69 71 73
64 66 68 69 72 74
64 67 68 69 72 74
65 67 68 70 72 76
65 67 69 70 72 76
66 67 69 70 73 77
La media de la muestra x es 69, (al cm más próximo), y la desviación estándar s, es 3.5. Utilizando x y s como estimaciones de µx y σx, podemos afirmar que la altura media de todos los niños de esa guardería es alrededor de 69 cm. Aún más, podemos decir que la desviación estándar de las alturas respecto a la media es, aproximadamente, 3.5 cm. 1 La me di a y lo s qu e d e l o s pe so s de 5 00 e stu di a n te s de un co l eg i o e s 7 0 kg y l a d e svi a ci ón típ i ca 3 kg . S up o ni e n do q u e l o s pe so s se d i strib u ye n no rmal me n te , ha l la r cu á n to s e stu d ia n te s pe sa n : 1 . E n tre 6 0 kg y 65 kg . 2 . Má s d e 9 0 kg . 3 . Me n o s de 64 kg . 4 . 6 4 kg . 5 . 6 4 kg o me n o s.
La me d i a y l o s qu e de l o s p e so s de 50 0 e stu di a n te s d e un co le g io e s 70 kg y la de svi a ci ó n típ i ca 3 kg . S up o n ie n d o
qu e lo s p e so s se di stri b u ye n n o rma l men te , ha l la r cu án to s e s tud i a n te s pe sa n : 1 . E n tre 6 0 kg y 65 kg .
2 .Má s de 90 kg .
3 .Men o s d e 6 4 kg .
4 .64 kg .
5 .64 kg o men o s.
2 E n un a ci u da d se esti ma q u e la te mpe ra tu ra má xi ma en el me s de ju ni o si un a d i strib u ció n no rmal , co n med i a 2 3 ° y d e svia ci ón típ i c a 5 ° . C al cu l a r e l nú me ro de d ía s de l me s e n l o s qu e se e sp e r a a l ca n za r má xi ma s en tre 21 ° y 27 ° . E n un a ci u da d se esti ma q u e la te mpe ra tu ra má xi ma en e l me s de j un i o si u na d i strib u ci ón n o rma l , co n me d i a 23 ° y de svi a ció n típ i ca 5° . C a l cu l a r el nú me ro de d ía s de l m e s en lo s q u e se e spe ra a l can za r má xi ma s en tre 21 ° y 27 ° .
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL La aproximación anterior representa sólo un caso especial de un resultado general. A fin de verificar esto, recordemos que la variable aleatoria X distribuida binomialmente se puede representar como la suma de las siguientes variables aleatorias independientes: Xi = 1 si el éxito ocurre en la i-ésima repetición; = 0 si la falla ocurre en la i-ésima repetición.
Luego X = X1 + X2 + … + Xn. Para esta variable aleatoria hemos demostrado que E(X) = np, V(X) = np(1 - p) y, además. Que para un n grande, (X – np)/ tiene la distribución aproximada N(0,1). Si una variable aleatoria X puede representarse como una suma de n variables aleatorias independientes cualesquiera (satisfaciendo ciertas condiciones que son validas en la mayor parte de las aplicaciones), entonces esta suma para un n suficientemente grande está distribuida aproximadamente normal. Este resultado notable se conoce como el teorema del límite central. Sea X1, X2, . . . , Xn . . . una sucesión de variables aleatorias independientes con E(Xi) = µi, y V(Xi) = , i = 1, 2, . . . Sea X = Xi + X2 + . . . + Xn. Luego bajo ciertas condiciones generales (que no se indicarán explícitamente aquí), Zn = Tiene aproximadamente la distribución N (0, 1). Es decir, si es la fda dela variable aleatoria Zn tenemos limn ∞ Gn (z) = Φ(z). Este teorema representa una generalización obvia de la aproximación de DeMoivre-Laplace. Las variables aleatorias independientes Xi que toman sólo los valores 1 y 0 han sido sustituidas por variables aleatorias que poseen cualquier clase de distribución (mientras tengan esperanzas y varianzas finitas). El hecho de que las Xi pueden tener (evidentemente) cualquier clase de distribución y aún así la suma X = X1 + . . . + Xn puede ser aproximada por una variable aleatoria distribuida normalmente, representa la razón básica para la importancia de la distribución normal en la teoría de probabilidades. Resulta que en muchos problemas, la variable aleatoria que se considera, puede ser representada como la suma de n variables aleatorias independientes y, por tanto, su distribución puede aproximarse por la distribución normal. 1 . C al cu la r la p ro ba b i li d ad de qu e l a med i a d e l os pe s o s d e l a s bo l sa s d e u n pa q u e te se a men o r q u e 4 95 g .
2 . Ca l cu l a r la p ro b a bi l id a d de q ue u na ca ja 1 0 0 d e bo l sa s p e se má s de 51 kg .
NOMBRE: CRISTIAN DE JESUS GALINDO LOPEZ
Bibliografía: Probabilidad y estadística. Autor Stephen S. Willoughby. Sexta reimpresión 1978 México. Editorial CIA. Impresora Gutenberg Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Autor Paul L. Meyer. 1989 México. Editorial Impresora Azteca. http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu5.html http://sitios.ingenieriausac.edu.gt/estadistica/estadistica3/muestreosimplealeatorio.html http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2009/estadistica/resueltosprobabilidades.pdf http://www.vitutor.com/pro/5/a_a.html
