Movimiento Curvilíneo General

Movimiento curvilíneo general El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo largo de una una traye trayecto ctoria ria curva curva o difer diferent ente e de una una recta recta.. Como Como esta esta trayecto trayectoria ria a menudo menudo se describ describe e en tres tres dimensi dimensione ones, s, utilizar utilizaremos emos análisis vectorial para formular la posición, velocidad y aceleración de una partícula. r(t)  designará la posición de la Posición.- El vecto Posición.vectorr de posic posició ión n r= r(t)  partícula medida con respecto a un punto jo .

Desplazamiento.- !upongamos "ue durante un breve intervalo Desplazamiento.∆s

partí partícu cula la se mueve mueve una una dista distanc ncia ia nueva posicion denida por

Velocidad .- #uran #urante te un tiemp tiempo o partícula es

v prom =

∆r ∆ t 

.

∆ r =r ´ −r

∆ t 

 la

  a lo largo de la curva a una

r ´ =r + ∆ r

encontraremos con la recta vectorial

∆ t 

!u despl esplaz azam amie ient nto o lo .

, la veloc velocid idad ad prom promedi edio o de la

∆t →0

$a velocidad instantanea

se determina cuando

consiguiente la direccion de

∆ t  tienede a ser tangente a la curva .

v=

dr dt 

$a magnitud de

v

  conociada como rapidez , se otiene al tener en

cuaneta "ue la longitud del segmento de linea recta longitud del arco v=

y por

∆s

 a medida "ue

∆t →0

∆r

 tenemos "ue

ds dt 

Aceleración

Aceleración promedio a Prom=

∆v ∆ t 

Aceleración instantánea a = lim ∆t → 0

∆ v dv = ∆ t  dt 

  tiende a la

dv a= = dt 

v

d

( ) dr dt 

dt 

2

=

d r 2

d t 

!iempre es tangente a la trayectoria y

siempre es tangente a la %odógrafa.

Movimientos Curvilíneo componentes rectangulares

a

&osición.- $a partícula está en el punto '(,y,z) de la trayectoria curva s mostrada en la gura *.+a entonces el vector de posición dene su posición r = xi + yj + zk 

En cual"uier instante la ecuación anterior dene la magnitud de r r = √  x

2

 y

+

2

2

 z

+

Velocidad

$a primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la velocidad de la partícula. &or consiguiente,

Cuando se toma esta derivada %ay "ue tener en cuenta tanto la magnitud como la dirección de cada uno de los componentes vectoriales. &or ejemplo la derivada del componente i de r es

#ando como resultado nal

#onde

$a magnitud de la velocidad se determina como

Aceleración $a aceleración de la partícula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo o la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo

$a aceleración tiene una magnitud

Puntos importantes •

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El movimiento curvilíneo %ace "ue cambie tanto la magnitud como la dirección de los vectores de posición, velocidad y aceleración. El vector de velocidad siempre es tangente a la trayectoria y el vector de aceleración es tangente a la %odógrafa. !i el movimiento se describe mediante coordenadas rectangulares entonces los componentes a lo largo de cada uno de los ejes no cambian de dirección, solo su magnitud y sentido cambiará. l considerar los movimientos de los componentes, el cambio de magnitud y dirección de la posición y velocidad de la partícula se toman automáticamente en cuenta.

ovimiento de un proyectil

E! posible considerar por separado el movimiento de la partícula en dirección (, su movimiento en la dirección y, y su movimiento en la dirección z.

En el caso para el movimiento de un proyectil se demuestra "ue las componentes de la aceleración son