UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática Escuela de Ingeniería Civil
DINÁMICA
Tema: MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS
Nombres: - Tejada Pulupa José Alejandro - Vélez Pino Estéfany Carolina
Semestre: 3
Paralelo: 3
Fecha de entrega: 20/05/2016
2016-2016
MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE PARTÍCULAS Antecedentes: El movimiento curvilíneo de partículas data desde varios años atrás cuando Copérnico en 1543 cambió la forma de pensamiento frente al entendimiento del cosmos y su movimiento dando una hipótesis de que los astros realizaban un movimiento circular alrededor del sol. (Copérnico, 1543) Luego (Kepler, 1609) con los datos estudiados anteriormente por Copérnico empezó a analizar sistemáticamente el movimiento de los planetas logrando determinar que estos son influenciado por la fuerza ejercida por el sol, concluyendo que este formaba un movimiento curvilíneo elíptico. Con el paso del tiempo según (Newton, 1687) explicó como se mueven y por qué se mueven los cuerpos, creó ciertas leyes para explicar este fenómeno que ocurría a partir del movimiento; además plantea que en el movimiento curvilíneo la fuerza se descompone en dos componentes: la fuerza normal o centrípeta (dirigida hacia el centro de la curva) y la fuerza tangencial (tangente a la curva). Gracias a ello en 1781 Karl Benz y Daimler Gottlieb utilizan una manivela que convertía este movimiento en movimiento de traslación o viceversa en los motores y en el tren a vapor. Todos estos antecedentes han servido principalmente en la ingeniería ya que en la actualidad el movimiento curvilíneo es muy utilizado en varios ámbitos ya sea para el diseño de varias máquinas, motores o diferentes sistemas industriales de producción, como también para el diseño y construcción de una vía o de diferentes edificaciones . Estudiar la importancia de un movimiento curvilineo en la carrera de ingeniería civil inicia basandose en las curvas de una carrertera, puesto que no podemos hacerla sin tener en cuenta este estudio, asumiendo que una particula que gira alrededor de un eje es un auto en una curva, y estudiarlo como movimiento
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curvilieno y su comportamiento frente a el, podremos adelantarnos a los hechos, construyendo así factores de seguridad que evitarán catastrofes. Pero porque no basar un sistema de movilidad en un movimiento curvilineo, y no solo basar en un sistema rectilineo, cual es la ventaja y desventaja que podemos hallar. Imaginemos un sistema de transporte publico como el metro que actualmente se construye en nuestra ciudad, pero porque no implementarlo a gran escala es decir a todo el país, aumentando la velocidad en la traslación, reduciendo la contaminación, reduciendo los intervalos de tiempo de viaje, disminuyendo el tráfico, claramente hablamos que los estudios para saber por donde deberia ir el subterraneo definiria las curvas y velocidades que deberia obedecer este tren. Además en un futuro, este movimiento se debe tener muy en cuenta en la construcción de diferentes edificaciones que tengan una forma curva, en su diseño se deberán tomar varios factores para dicha construcción, ya sea en el cálculo de del radio de giro o en la determinación de la aceleración intervenida en este proyecto.
Bibliografía Beer, F., Johnston, R., & Cornwell, P. (2010). Mecánica Vectorial Para Ingenieros. Dinámica. México: McGraw-Hill.
R.C.Hibbeler. (2010). Ingeniería Mecánica Dinámica. México: Pearson Education, Inc. Santiago, A. C., & María José Santiago Puertas. (2012). HISTORIA Y FUNDAMENTOS DE FISICA. 1º DE BACHILLERATO. Madrid: Aebius.
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Marco teórico Según (Beer, 2010) y (Hibbeler, 2010) una partícula que se mueve diferente a una línea recta forma un movimiento curvilíneo, este movimiento ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva describiendo tres dimensiones y debe ser calculado mediante un análisis vectorial. La descripción del movimiento curvilíneo en un sistema específico de coordenadas cualquiera se debe analizar mediante cálculo vectorial cuyos resultados son independientes del sistema de coordenadas elegido. (Meriam & Kraige, 2011) Este movimiento está siempre acompañado de una aceleración, la cual es independiente del sistema de coordenadas. (Riley & Sturges, 1996) Por lo que se puede concluir que el movimiento curvilíneo es el estudio de las partículas que se mueven en una trayectoria curva, las cuales se desplazan a lo largo de un arco mediante una aceleración específica y una velocidad ya sea angular y/o tangencial; éstas características están representadas en un sistema de coordenadas y pueden ser calculadas mediante fórmulas específicas o utilizando el cálculo vectorial. Para estudiar el movimiento curvilíneo de partículas será necesario entender los siguientes conceptos utilizados también en el movimiento rectilíneo: VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN -
POSICIÓN:
Para definir la posición P ocupada por la partícula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia fijo (ejes coordenados x, y, z ) y se dibuja el vector r que une el origen O y al punto P. Se observa que tanto la magnitud como la
dirección de este vector cambiarán a medida que la partícula se mueva a lo largo de la curva. (Meriam & Kraige, 2011) El vector r se conoce como el vector de posición de la partícula en el tiempo t .
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Ilustración 1: Vector Posición
-
DESPLAZAMIENTO:
Según (Riley & Sturges, 1996) y (Beer, 2010) el desplazamiento es un vector que representa el cambio de dirección y magnitud en el vector de posición durante un intervalo de tiempo. Se lo representa por
.
Ilustración 2: Vector Desplazamiento
-
r’ es la posición ocupada por la
misma partícula en un tiempo posterior.
VELOCIDAD MEDIA o PROMEDIO:
Es un vector que tiene la dirección y sentido de
y cuyo módulo es el
desplazamiento sobre el incremento de tiempo; es decir es la variación del desplazamiento con respecto al tiempo. (Hibbeler, 2010) 4
-
VELOCIDAD INSTANTÁNEA:
Según (Meriam & Kraige, 2011) y (Riley & Sturges, 1996) la velocidad instantánea se define como el valor en el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Esta velocidad siempre es tangente a la trayectoria.
es también conocida como la rapidez. (Hibbeler, 2010)
La magnitud de
-
ACELERACIÓN MEDIA O PROMEDIO
Es el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo.
Dónde:
Ilustración 3: Aceleración
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v’ es la velocidad producida por la misma partícula en un tiempo posterior. (Beer, 2010)
-
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Se define como el valor en el límite de la aceleración media o promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir es la derivada de la velocidad media con respecto al tiempo. (Hibbeler, 2010)
La aceleración instantánea a actúa tangente a la hodógrafa (es la curva descrita por la punta de v) y no es tangente a la trayectoria del movimiento. (Beer, 2010)
Ilustración 4: Hodógrafa
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En el caso del movimiento curvilíneo de un punto en un plano existen tres sistemas de coordenadas diferentes que son de uso común para la descripción de dicho movimiento. (Meriam, 2011) -
COORDENADAS RECTANGULARES
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN. Partamos en que una partícula en un punto tiene determinadas coordenadas que llamaremos
las cuales definen la posición de dicha partícula. (Hibbeler,
2010)
Esta partícula al moverse en todos los ejes, hablamos de un desplazamiento determinado, lo cual lo hará en un tiempo, dando así que nuestra posición estará en función del tiempo (Hibbeler, 2010) (Beer, Johnston, & Cornwell, 2010) Obteniendo la primera derivada de la posición con respecto al tiempo obtendremos la velocidad, en esta ecuación.
̇ ̇ ̇ De igual manera podremos obtener la ecuación de la aceleración, derivando dos veces la posición con respecto al tiempo, es decir derivando una vez la velocidad por tanto.
̈ ̈ ̈ Beer Determinan que los escalares de cada componente son:
̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̈ 7
-
MOVIMIENTO RELATIVO.
El doctor Beer explica que el movimiento relativo es un movimiento curvilíneo con un eje de referencia desplazándose, tomando en cuenta que puede ser arbitrario ya que cualquier sistema de referencia podemos considerarlo fijo.
Ilustración 5: Movimiento Relativo
Analizando Vectorialmente la posición B como podemos ver en la imagen, B es un punto en el espacio, A es un origen desplazado formando un origen nuevo de coordenadas
) Ahora podemos hallar vectorialmente nuestra posición, con
una suma vectorial, siendo nuestra fórmula:
-
COORDENADAS TANGENCIAL Y NORMAL
Estas componentes son muy útiles cuando un punto se mueve en una trayectoria circular y permiten observar el carácter de la velocidad y aceleración en el movimiento curvilíneo. (Hibbeler, 2010) Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula conviene describir el movimiento por medio de los ejes coordenados n y t, los cuales actúan 8
de manera normal y tangente a la trayectoria; tienen su origen localizado en la partícula. (Beer, 2010) y (Meriam & Kraige, 2011)
El eje t es tangente a la curva y es positivo en la dirección de
s
creciente; se designa esta dirección con el vector unitario
o .
El eje normal n es perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura; esta
Ilustración 6: Componente Tangencial y Normal
dirección siempre está en el lado cóncavo de la curva y se lo designa con el vector unitario
o .
El plano que contiene los ejes n y t se conoce como PLANO ABRAZADOR u OSCULANTE, este plano es el que tiene el mayor contacto con la curva en un
punto. (Riley & Sturges, 1996)
VELOCIDAD
Según (Meriam & Kraige, 2011), la dirección es siempre tangente a la trayectoria y se determina por el producto escalar:
Dónde:
̇
La velocidad define el eje tangencial. (Hibbeler, 2010)
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ACELERACIÓN
Es el cambio de velocidad con respecto al tiempo. Tiene dos componentes la aceleración tangencial y a la aceleración normal. (Hibbeler, 2010) Para obtener se aplica la diferenciación del producto de un escalar de una función escalar.
Se sabe que:
Dónde:
̇
y
Son las componentes escalares de la aceleración
Según (Meriam & Kraige, 2011), a magnitud de la aceleración es el valor positivo de:
√
La componente tangencial de la aceleración representa el cambio en la magnitud de la velocidad. (Hibbeler, 2010) 10
La componente normal de la aceleración representa el cambio en la dirección de la velocidad, siempre actúa hacia el centro de curvatura y
usualmente se la conoce como aceleración centrípeta. (Hibbeler, 2010)
RADIO DE CURVATURA
Según (Hibbeler, 2010): si la trayectoria está expresada como una función (y=
f(x)), el radio de curvatura ( en cualquier punto de la trayectoria se determina por la ecuación:
() | |
Ilustración 7: Componentes de la aceleración
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-
COORDENADAS POLARES
COMPONENTE RADIAL Y TANGENCIAL Estas componentes se utilizan para analizar el movimiento plano de una partícula cuando su posición se define mediante sus coordenadas polares. Se puede especificar la ubicación de la partícula por medio de una coordenada radial (r), la cual se extiende hacia fuera del origen fijo hasta la partícula; y una
coordenada transversal ( ), la cual es el ángulo en sentido anti horario entre la línea de referencia fija y el eje r. (Beer, 2010) Los vectores unitarios
definen las
direcciones positivas de las coordenadas r y .
está en la dirección de r creciente cuando se mantiene fija. está en una dirección de creciente cuando r se mantiene fija.
Ilustración 8: Componente Tangencial y Radial
POSICIÓN
Según (Riley & Sturges, 1996), (Hibbeler, 2010) y (Beer, 2010) en cualquier instante la posición de la partícula está definida por:
VELOCIDAD
La velocidad instantánea v se obtiene al tomar la derivada con respecto al tiempo de r. (Hibbeler, 2010)
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donde
̇ ̇ ̇ representa la VELOCIDAD ANGULAR, sus unidades son rad/s.
La componente radial
mide la tasa de incremento de la coordenada
radial.
La componente transversal
es la tasa de incremento a lo largo de la
circunferencia. (Meriam & Kraige, 2011)
RAPIDEZ
Autores como Beer, Hibbeler, Meriam y Riley definn que la rapidez es el módulo de la velocidad y se lo calcula mediante:
√ ̇ ̇
ACELERACIÓN:
La aceleración instantánea se obtiene al tomar la derivada con respecto al tiempo de v. (Riley & Sturges, 1996)
donde:
̈ ̇ 13
̈ ̇ ̇ ̈
Se conoce como ACELERACIÓN ANGULAR, mide el cambio de la
velocidad angular durante un instante. Sus unidades son rad/s 2 La magnitud de la aceleración se determina mediante el valor positivo de:
̈ ̇ ̈ ̇ ̇
Resumen: El movimiento curvilíneo de partículas es aquel movimiento en el que su trayectoria es una línea curva, utiliza un sistema de referencia de tres dimensiones y para ser calculado se necesita cálculo vectorial. Este movimiento se puede determinar mediante tres formas diferentes; ya sea mediante coordenadas rectangulares, polares o componentes tangenciales y normales. Además este movimiento es casi irrelevante en la ingeniería civil debido a que usualmente solo se lo analiza en el área vial; pero con las nuevas tendencias de hoy en día y los avances tecnológicos y estructurales, este movimiento se deberá tomar muy en cuenta en el diseño y construcción de una edificación. En este breve resumen se presentarán las fórmulas más utilizadas para el cálculo de las diferentes magnitudes de este movimiento.
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Coordenadas rectangulares: -
-
-
-
-
Posición:
⃗ ̂ ̂ Desplazamiento:
⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ Velocidad Media
̂ ̂ Velocidad Instantánea
⃗ ⃗ ̂ ̂ Aceleración Media
̂ ̂ -
Aceleración Instantánea
⃗ ̂ ̂ ⃗
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Componente tangencial y Normal -
Velocidad
-
Aceleración Tangencial
̇ -
Aceleración Normal
-
Aceleración Total
-
Radio de curvatura
() ||
Coordenadas Polares -
Posición
-
Velocidad
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-
Velocidad Radial
̇ -
-
Velocidad Angular
̇
Aceleración Radial
̈ ̇ -
Aceleración Angular
̈ ̇ ̇
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Conclusiones: 1. El movimiento curvilíneo de partículas es un movimiento utilizado en la ingeniería civil en el cálculo y diseño de una vía, ya que mediante las diferentes ecuaciones se puede determinar la curvatura y el ángulo de los peraltes de la misma. 2. La importancia de avanzar en el desarrollo de un país, con una ingeniería civil muy desarrollada hacia la construcción y mejoramiento estructural, hace que sea imprescindible tomar en cuenta un movimiento curvilíneo, estudiarlo, y tomar las respectivas conclusiones favorables o desfavorables para nuestra obra civil. 3. En la ingeniería civil estudiar el movimiento curvilíneo casi no es utilizado en todas las ramas que se presenta en esta carrera, ya que en las edificaciones usualmente solo se consideran las fuerzas externas para el diseño y construcción de una edificación; generalmente este tema es muy utilizado en la parte vial debido a que se debe diseñar correctamente una carretera para que esta soporte los vehículos teniendo en cuenta la aceleración, velocidad y trayectoria que estos pueden presentar. 4. Se podría decir que en un futuro próximo este tema podría ser relevante en las nuevas construcciones ya que últimamente estas tendrán una forma no tan usual y cada vez se las realizan más grandes necesitando así calcular diferentes factores en dichos proyectos.
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Bibliografía: William F. Riley & Leroy D. Sturges. “Ingeniería Mecánica- dinámica”. 1996. 8va. Ed. Editorial Reverte. Meriam, James & Kraige Glenn. “Mecánica para Ingenieros- Dinámica”. 2011. 6ta. Ed. Editorial Reverte. Beer, Johnston & Cornwell. “Mecánica Vectorial para Ingenieros- Dinámica”. 2010. 9na. Ed. Editorial Mc Graw Hill. Hibbeler R. “Ingeniería Mecánica- Dinámica”. 2010. 12va. Ed. Pearson Educación. México. Biblioteca General Mundial “Revolutionibus Orbium Coelestium”. 2015, recuperado Desiderio Papp & José Babini. “Panorama General de Historia de la Ciencia”. Recuperado de: http://www.das.uchile.cl/~jose/eh1d2_2011/1.15.Newton_2006.pdf Einstein Albert. “Fisica: La aventura del pensamiento”. Editorial Losada. Recuperado de: http://www.librosmaravillosos.com/lafisicaaventura/capitulo01.html Montada Josep. “Un aspecto de la Influencia de Avempace en Averroes”. 1993.
Anaquel
de
Estudios
Árabes.
Recuperado
de:
https://revistas.ucm.es/index.php/ANQE/article/viewFile/ANQE9393110149A/3952 Einstein, A., & Infeld, L. (1986). “ La evolución de la física” (Vol. 24). Kevin Urrutia.
Feynman, R., Leighton, R. B. & Sands, M. “ The Feynman Lectures on Phisics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat”. 1963. Vol. I
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ANEXOS: Guía de discusión de grupo: 1. ¿Cree usted que el movimiento curvilíneo de partículas es importante para el diseño de alguna estructura en la ingeniería civil?
2. ¿Qué tema le parece relevante y que no en el estudio de nuestra carrera? 3. ¿Estos temas influenciarán en el diseño de una vía? Y por qué. 4. Para una construcción con una forma curva, ¿se deben tomar en cuenta los temas estudiados para el diseño de la misma?
Experimento: Tema: Aplicación del movimiento curvilíneo en un movimiento parabólico Objetivos: 1. Analizar experimentalmente el movimiento curvilíneo utilizando el prototipo indicado. 2. Determinar los factores que inciden en el lanzamiento de la partícula. 3. Analizar las magnitudes físicas del movimiento.
Equipos: -
Palos de helado
-
Tapas plásticas
-
Plastilina
-
Cinta scotch
-
Ligas
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Procedimiento: 1. Armar la catapulta de acuerdo a la figura. 2. Colocar la plastilina dentro de la tapa plásticca. 3. Ajustar el ángulo de lanzamiento de nuestro misil según la tabla. 4. Para el respectivo lanzamiento, halar las ligas, teniendo en punto de estiramiento máximo (se propondrá dicho ángulo). 5. Con la ayuda de un cronómetro y flexómetro, tomar los diferentes datos respectivamente y anotar en la tabla de valores. 6. Registrar los datos obtenidos y tabular.
Cálculos típicos: 1. Calcular el alcance máximo a lo que llega la partícula. 2. Obtener la velocidad con la que es lanzada la partícula. 3. Calcular la altura máxima a lo que llegó la partícula.
Tablas de valores: Tabla 1:
N° 1
grados
t s
tp s
X m
Vo
Ec.
Componentes
trayectoria
an
m/s
t1 30
t2
------
------
t3
21
Tabla 2: N°
Vo
Vf
Ymax
m/s
m/s
m
Conclusiones: -
En este experimento se puede observar que los factores externos intervienen bastante en el lanzamiento de la partícula, ya que primero se debe tener muy en cuenta cual es el ángulo de lanzamiento; además la masa de la partícula influye en el tiempo de vuelo de la misma.
-
Se puede determinar que los datos teóricos son muy diferentes a los de la práctica porque teóricamente no se toman en cuenta varias magnitudes y en la parte experimental sí, dándonos un error muy relevante.
Recomendaciones: Preguntas: 1. Comparar los datos teóricos con los experimentales y calcular el % de error. 2. Qué relación existiría con la velocidad cuando la partícula llega a su altura máxima. 3. Que factores intervienen en la aceleración de la partícula. 4. Qué relación tiene la aceleración tangencial con la gravedad. 5. Que hace la aceleración centrípeta con la partícula en movimiento.
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