UNIVERSIDAD CATOLICA LOS ANGELES DE CHIMBOTE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERA PROFESIONAL DE FARMACIA Y BIOQUIMICA
INDICE Caratula
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Índice
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Resumen
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Introducción
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CAPITULO I
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I.1.- Concepto general.
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I.2.- Espacio Muestral.
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I.3.- Variable aleatoria
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I.4.- Eventos y espacios de probabilidad finita.
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I.5.- Fundamentos axiomáticos.
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CAPITULO II
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II.1.- Regla multiplicativa y probabilidad condicionada.
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II.2.-Principales distribuciones de probabilidades
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II.2.1.- Distribución binomial. Ejemplos.
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II.2.2.- Distribución de Poisson . Ejemplos
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Conclusiones
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Referencias Bibliográficas
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RESUMEN La teoría de las probabilidades tiene su origen en los juegos de azar, particularmente en Europa, En los últimos años, los métodos estadísticos en que se aplica la teoría de las probabilidades, penetran cada vez más con mayor amplitud en los distintos campos de la ciencia y la técnica, contribuyendo a su progreso. La teoría de las probabilidades trata del evento posible de sucesos (variables aleatorias) dentro de un conjunto finito (espacio muestral). Existen básicamente tres axiomas donde deriva la teoría de las probabilidades de donde nacen los principales Teoremas como la Probabilidad condicionada y la Regla multiplicativa; además de las principales distribuciones que se usan en las ciencias naturales como son la distribución binomial y la de Poisson.
SUMMARY
The probability theory has its origin in gambling, particularly in Europe, in rece nt years, statistical methods in the theory of probability is applied, penetrate increasingly more widely in the different fields of science and technology, contributing to its progress. The probability theory is the possible event events (random variables) within a finite set (sample space). There are basically three axioms which derives the probability theory where the main Theorems born as the conditional probability and multiplicative Rule; besides the main distributions used in the natural sciences such as the binomial distribution and of Poisson. Pág. 1
TEORIA DE LAS PROBABILIDADES
INTRODUCCION La teoría de las probabilidades surge en los siglos XVI ± XVIII relacionada con problemas de los juegos de azar, particularmente en Europa; sus principales precursores fueron Pascal, Fermat y otros. Esta teoría continuó desarrollándose vinculada con los nombres de Bernoulli (1654 ± 1705) y posteriormente con Moivre, Laplace, Poisson, Gauss y otros. Un nuevo período de esta teoría está vinculado con los nombres de Chebyshev (1821 ± 1894) y sus alumnos Markov (1856 ± 1922) y Liapunov (1857 ± 1918). En su posterior desarrollo, han contribuido en gran medida los matemáticos Bernshtein, Romanovki, Kolmogorov, Smirnov, Gnedenko y otros. Cualquier fenómeno del mundo que nos rodea, se halla relacionado directa o indirectamente con un conjunto infinito de otros hechos que pueden dar lugar a que: dicho fenómeno deba suceder siempre, es decir, que sea cierto; nunca pueda suceder, es decir, que sea imposible y en último caso, que pueda o no ocurrir, a lo cual se le denominará como un fenómeno aleatorio. Los métodos de la teoría de las probabilidades se emplean ampliamente en distintas ramas de las ciencias naturales y de la técnica sirviendo también como base de la estadística matemática y aplicada, la cual, a su vez, se emplea en la planificación y organización de la producción, para analizar los procesos productivos y tecnológicos, el control de la calidad y muchos otros fines. En los últimos años, los métodos estadísticos en que se aplica la teoría de las probabilidades, penetran cada vez más con mayor amplitud en los distintos campos de la ciencia y la técnica, contribuyendo a su progreso. 2
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JUSTIFICACIÓN Los métodos de la teoría de probabilidades se emplean ampliamente en distintas ramas de las ciencias naturales y de la técnica sirviendo también como base de la estadística matemática y aplicada, la cual, a su vez, se emplea en la planificación y organización de la producción, para analizar los procesos productivos y tecnológicos, el control de calidad y muchos otros fines. En los últimos años, los métodos estadísticos en que se aplica la teoría de las probabilidades, penetran cada vez más con mayor amplitud en los distintos campos de la ciencia y la técnica, contribuyendo a su progreso.
En la actualidad son muchas las aplicaciones de la probabilidad; por ejemplo: se usa en los juegos de azar como loterías, casinos, carreras de ca ballos y deportes; sin embargo, el uso de la probabilidad va más allá de los juegos de azar. En la actualidad, los gobiernos, las empresas y las organizaciones profesionales utilizan la teoría de la probabilidad en su cotidiano proceso de toma de decisiones. En cualquier aplicación particular, el empleo de las probabilidades indica que existe algún elemento aleatorio o de incertidumbre relacionado con la ocurrencia o no ocurrencia de algún evento futuro. Así, en muchos casos, puede ser imposible predecir qué pasará, pero es posible deducir lo que podría pasar con algún grado de certidumbre. 6 Existen muchos ejemplos en los negocios y en las actividades del gobierno en los que interviene algún elemento aleatorio. Por ejemplo, predecir cuánta demanda tendrá un producto nuevo en el mercado, estimar el costo de producción, pronosticar las fallas en las cosechas, comprar seguros, contratar a un nuevo empleado, presupuestar, predecir la reacción de los gobiernos extranjeros ante un cambio en la política de defensa, calcular qué impacto tendrá en la inflación una rebaja en los impuestos, etcétera.6 Debido a esto, en la elaboración de la presente monografía nos hemos planteado el siguiente problema: ¿Cuáles son los conceptos básicos de la probabilidad y cuál es su
importancia en las ciencias? ; con la finalidad de d efinir los conceptos básicos de la probabilidad matemática, conocer los enfoques del concepto de probabilidad, determinar la importancia de la teoría de la probabilidad y su aplicación en el estudio de las ciencias.
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CAPITULO I I.1.- Concepto general.La teor ía de la probabilidad es un modelamiento matem ático del fenómeno del azar o aleatoriedad.4 Es una cuantificación o una medida de la posibilidad de un suceso en un experimento aleatorio, es decir, el cociente que resulta de dividir el número de casos favorables de un suceso, por el número de casos posibles, correspondiendo estos últimos a la suma de los casos favorables y desfavorables. Así pues, representando la probabilidad del suceso A por P(A), se obtendrá la fórmula:2 P(A) = Casos favorables a que ocurra A / Casos Posibles * * Suma de los casos favorable y los no favorables. En su aplicación, se puede se puede llegar a la conclusión que: a) Si el suceso es imposible que ocurra, la probabilidad valdrá cero. b) Si el suceso es cierto, la probabilidad valdrá la unidad. c) Entre esos dos extremos (la imposibilidad y la certeza), existe toda una gama de posibilidades cuya medida es la probabilidad, la que variará, en consecuencia, entre los valores de 0 y 1,es decir:
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0 ≤ P(A) ≤ 1 La probabilidad se determina sobre la base de la aparición de un suceso que se repite sistemáticamente, o sea, en forma reiterativa y que debe tener un carácter aleatorio.2
I.2.- Espacio Muestral.Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio, al conjunto E formado por todos los resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo: Determinar el espacio muestral de los dos primeros experimentos anteriores. 1 a) Al arrojar un dado los resultados posibles son: 1,2,3,4,5,6, Luego E = {1,2,3,4,5,6} b) Si en un grupo de 10 alumnas, contamos cuántas tienen ojos azules puede ocurrir que:
Ninguna tenga ojos celestes, en este caso el resultado del experimento es cero. Todas tengan ojos celestes, en este caso el resultado del experimento es 10.
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Algunas tengas ojos celestes, en este caso los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Luego E = {0, 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9 10}
I.3.- Variable aleatoria.Si arrojamos dos dados, sabemos que la suma X de los puntos que caen hacia arriba debe ser entero entre 2 y 12, pero no podemos predecir qué valor de X aparecerá en el siguiente ensayo y podemos decir que X depende del azar. El número de varones de una familia con 5 hijos también depende de la casualidad. 8 Si las observaciones no se dan en términos de números, podemos asignarles números y reducir las observaciones cualitativas al caso cuantitativo; así tenemos que la función que asigna números o valores a cada uno de los elementos del espacio muestra con una probabilidad definida, se denomina “variable aleatoria”. 8
Son ejemplos de variables aleatorias continuas: la estatura, el peso, la edad, el volumen, el pH, etc.
Son ejemplos de variables aleatorias discretas: el número de alumnos que asisten a clases diariamente, el número de accidentes automovilísticos en una ciudad por día, el número de alumnos aprobados en un examen.
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I.4.- Eventos y espacios de probabilidad finita.Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Los eventos pueden combinarse para formar eventos nuevos utilizando las diversas operaciones de conjuntos: 4
A U B es el evento que ocurre si y solo si A ocurre o B ocurre (o ambos)
A ∩ B es el evento que ocurre si y solo si A ocurre y B ocurre.
A’ es el complemento de A, es el evento que ocurre si y solo si A no ocurre.
La probabilidad de un evento es un valor numérico real que se le asigna a dicho evento, y que de algún modo indica que tan verosímil debe considerarse. Si A es un evento, entonces la probabilidad de A suele denotarse mediante P (A). 4
Espacio Finito.Supongamos que Ω es un espacio muestral finito, y que las características físicas del
experimento sugieren que a los diversos resultados del experimento le han sido asignadas probabilidades iguales. Específicamente si Ω tiene n elementos, entonces Ω le es asignada la probabilidad
la probabilidad
1
a cada punto en
y a cada evento A que contiene m puntos se le asigna
En otras palabras:4
P(A) =
=
I.5.- Fundamentos axiomáticos.Aunque el t érmino “ probabilidad de un evento ” no se define en forma expl í cita, queda establecido indirectamente con los siguientes tres axiomas:
Axioma 1 : Si A es un evento cualquiera, entonces la probabilidad de A, denotada por P(A), es un número real no negativo y no mayor que 1, es decir 0 ≤ P(A) ≤ 1 .
Axioma 2 : Si A y B son dos eventos ajenos, (es decir mutuamente excluyentes), entonces P(A U B) = P(A) + P(B).
Axioma 3 : Si Ω denota el espacio Muestral, entonces P(Ω) = 1 Pág. 6
CAPITULO II II.1.- Regla multiplicativa y probabilidad condicionada.Para cualquiera dos eventos A y B (no vacios), se define la Probabilidad condicional de B dado A mediante la relación multiplicativa P(A Ո B) = P(A). P(B/A). Como la intersección de conjuntos es commutativa, ello es equivalente a escribir:
P(B/A) =
P(A Ո B) P(A)
=
P(B Ո A) P(A)
Es posible generalizar la regla multiplicativa para tres eventos: 4
P(A Ո B Ո C) = P(A) . P(B/A). P(C/A Ո B)
Ejemplo 1.- Suponga que en el estante de una biblioteca hay 8 libros de física iguales (mismo autor, edición y título); excepto que 4 de ellos están a la rusti ca y los otros cuatro están empastados. Considere que en forma sucesiva vienen 3 lectores y cada uno de ellos pide a la bibliotecaria un ejemplar de ese libro para llevar a casa. Si ella los elige al azar , ¿Cuál es la probabilidad de que al primero le toque empastado, el segundo a la rustica y al tercero también a la rustica? Solución.- Es claro que si denotamos por A, B y C respectivamente, a estos tres eventos y aplicamos la formula recién expuesta, la solución será:
P(A Ո B Ո C) =
4 8
.
4 7
.
3 6
=
1 7
II.2.-Principales distribuciones de probabilidades.II.2.1.- Distribución binomial.Este tipo de distribución es típicamente aplicable a una variable discreta y toma en cuenta los casos en que se esté analizando que ocurra un suceso o que no ocurra, su fórmula es:
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Ejemplo 2.-
II.2.2.- Distribución de Poisson.Es la distribución probabilística de aquellas variables aleatorias que se aplican en situaciones que ocurren cambios en los intervalos de tiempo, unidad de longitud, área u otro tipo de medición, aunque lo más común es su utilización en fenómenos cuyos cambios se producen en función del tiempo. Para aplicar la distribución de Poisson se deben cumplir las condiciones siguientes: 1.- Las apariciones (frecuencias) de los eventos son independientes. La presentación de un evento en un intervalo de espacio o tiempo, no tiene efecto alguno sobre la probabilidad de una segunda aparición del evento en el mismo intervalo o en cualquier otro. 2.- Teóricamente debe ser posible un número infinito de apariciones del evento en el intervalo.
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3.- La probabilidad de que se presente una sola vez el evento en un determinado intervalo, es proporcional a la longitud del intervalo. 4.- En cualquier porción infinitesimalmente pequeña del intervalo, se rechaza la probabilidad de que el evento se presente más de una vez.
La distribución de Poisson, solo considera el número de apariciones en un periodo determinado, sin tomar en cuenta el tamaño de la población.
Ejemplo 3.-
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CONCLUSIONES
1.- La teor í a de las probabilidades es un modelo matem ático del fenómeno del azar y se desarrolló a raí z de los juegos de azar. 2.- La teor í a de las probabilidades trata de prever acontecimientos futuros dentro de un espacio muestral. 3.- La teor í a de las probabilidades tiene un importante uso en la estad í stica, en la economí a, al igual que en las otras ciencias como las qu í mica-biológicas y la investigaci ón cientí fica.
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