PARRAES O!OA "ENR! IVAN #ni$ersidad de las %&er'as Armadas ( ESPE)
VIBRACIONES Radio de Giro, Momento de Inercia, Tablas de inercia y Volúmenes
DEFINICIÓN INERCIA: La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad.
INERCIA ROTACIONAL: Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta ‘la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro.
MOMENTOS DE INERCIA: !l momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. "ás concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de part#culas en rotación, respecto al eje de giro. !l momento de inercia sólo depende de la geometr#a del cuerpo y de la posición del eje de giro$ pero no depende de las fuer%as que intervienen en el movimiento. !l momento de inercia desempe&a un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectil#neo y uniforme. !l momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones má'imas producidas por los esfuer%os de fle'ión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia má'ima de un elemento estructural bajo fle'ión junto con las propiedades de dic(o material.
ANÁLISIS !l momento de inercia ), se define como la suma de los productos obtenidos multiplicando cada elemento del área por el cuadrado de su distancia al eje de referencia. La fórmula matemática para el momento de inercia se deriva de esta definición, la cual se da a continuación. *bserve que el proceso de sumar a lo largo de toda el área se reali%a mediante integración+
I
∫ y
2
dA
Como se muestra en la figura+
!s una ilustración de los términos que intervienen en esta fórmula en el caso especial de un rectángulo, para el cual deseamos calcular el momento de inercia con respecto a su eje centroidal. !l elemento de área infinitesimal se muestra como una franja
delgada paralela al eje centroidal donde su anc(o es el anc(o total del rectángulo, b, y su espesor es un valor infinitesimal, dy. !ntonces el área del elemento es+
dA = b∗dy La distancia y es la distancia del eje centroidal al centroide del área elemental, como se muestra. La sustitución de estos valores en la ecuación
I
∫ y
2
dA , permite
derivar la fórmula del momento de inercia del rectángulo con respecto a su eje centroidal. *bserve que la integración por toda el área requiere que los l#mites de la
−h / 2 a + h / 2
integral vayan desde
.
h /2 2
y dA=¿
∫ y ( b∗dy ) 2
− h/ 2 h /2
I =
∫¿
− h/ 2
Como b es una constante, se saca de la integral, como se sigue+ h/2
I =b
∫ y (dy )=b 2
− h /2
[ ] y
3
3
!valuado en los l#mites
-i se intersecan los l#mites de la integral se tiene+
I =b
[
h
3
3
24
−
(−h ) 24
]= [ ]= b
2h
3
24
bh
3
12
!sta es la fórmula incluida en las tablas. ara desarrollar fórmulas para otros perfiles se utili%an procedimientos similares.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (STEINNER, FÓRMLA DE LA TRANSFERENCIA! !l teorema de -teiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes+
/onde+ ) eje+ !s el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa$ ) 0C"1 eje+ es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa$ "2 "asa 3otal y (2 /istancia entre los dos ejes paralelos considerados. rocedemos a(ora la demostración del 3eorema+
3omemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas 0 x ,y 1 . -i a(ora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán 0 x 4,y 41
Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas+
Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas+
La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el C". La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. or tanto+
RADIO DE "IRO: -e define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podr#amos suponer concentrada toda la masa para que se verifique que el momento de inercia del cuerpo y del punto mate rial con respecto al eje sean iguales, de modo
que el momento de inercia respecto a dic(o eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro. 3ambién se dice que es la propiedad del perfil que determina cuando una columna se pandeará es su radio de giro.
ANÁLISIS: Considere un área 5 que tiene un momento de inercia
Ix con respecto al eje '
0figura6.7a1. )magine que se (a concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje ' 0figura6.7b1. -i el área 5, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto al eje ', la tira debe ser colocada a una distancia
kx , desde el eje ', donde
kx está definida por la relación+
2
Ix =kx A 5l resolver
kx =
kx se escribe+
√
Ix A
-e (ace referencia a la distancia
kx como el radio de giro del área con respecto al
eje '. !n forma similar, se puede definir los radios de giro as# se escribe. 2
Iy = ky A 2
Io =ko A ko =
√
Io A
FÓRMLAS PARA CALCLAR LOS MOMENTOS DE INERCIA DE #OL$MENES "omentos de )nercia
ky =
√
Iy A
ky − k 0 0figura6.7cyd1 ,
I%: "omento de )nercia eje % m: "asa r: 8adio
&I&LIO"RAFIA (ttp+99:::.construmatica.com9construpedia9"omento;de;)nercia (ttp+99fisica2facil.com93emario9/inamicarotacional93eorico9)nercia9momento.(tm (ttp+99momentosdeinercia.blogspot.com9p9teorema2de2steiner.(tml (ttp+99:::.valvias.com9prontuario2momento2de2inercia.p(p
