MOMENTO POLAR DE INERCIA DEFINICIONES PREVIAS
INERCIA
La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en velocidad o en dirección. Esta propiedad se escribe claramente en la primera ley de Movimiento de Newton lo cual dice: "Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiene a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actué sobre ellos una fuerza externa. MOMENTO
Un momento es resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un eje o punto el momento es constante, se puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza. MOMENTO DE INERCIA
Es la medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje rígido. Es el valor de momento angular longitudinal en un sólido rígido. El momento de inercia, también denominado Segundo Momento de Área, Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de sección transversal de los elementos estructurales.
El Momento de Inercia solo depende de:
La geometría del cuerpo. La posición del eje de giro. No depende de la fuerza que intervienen en el movimiento. El momento de inercia debe ser específicamente respecto un eje de rotación dado.
Momento de inercia para una masa Puntual
El Momento de Inercia es exactamente el producto de la masa por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje de rotación.
=2 Esa relación de la masa puntual, viene a ser la base para todos los demás momentos de inercia, puesto que un objeto se puede construir a partir de una colección de puntos materiales. El Momento de Inercia de un objeto ordinario
Involucra una distribución de masa a una distancia continuamente variable de cualquier eje de rotación, el cálculo del momento de inercia, generalmente involucra el cálculo diferencial, la disciplina de las matemáticas que puede manejar tales variables continuas. Puesto que el momento de inercia de una masa puntual se define por:
=
Entonces, la contribución al momento de inercia por un elemento de masa infinitesimal dm tiene la misma forma. A esta clase de elemento de masa se le llama un elemento diferencial de masa y su momento de inercia está dado por:
Note que el elemento diferencial del momento de inercia
debe estar siempre
definido con respecto a un específico eje de rotación. La suma sobre todos estos elementos se llama integral sobre la masa.
= ∫ = ∫ Donde: • I = Momento de Inercia. • r = Distancia del eje. • dm =
Áreas subdivididas en elementos diferenciales.
Usualmente, el elemento de masa
dm
será expresado en términos de la
geometría del objeto, de modo que la integración puede llevarse a cabo sobre el objeto como una totalidad. Características: • El momento de inercia es usado para resolver problemas de diseño donde el
miembro es una viga o una columna larga. • Requerido para calcular el momento polar de inercia. • Cuanta mayor distancia entre la masa y el centro de rotación, mayor es el
momento de inercia. Unidad Del Momento De Inercia El SI de la unidad de Momento de Inercia está dado por:
=∗
Los momentos de inercia respecto de ejes reciben el nombre de axiales o axiles, mientras que los momentos de inercia respecto de un punto recibe el nombre de polar.
Momento de inercia y sus propiedades
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas. MOMENTO POLAR DE INERCIA
El momento de inercia de un área en relación a un eje perpendicular a su plano se lo llama momento polar de inercia, y se representa por J . Es una cantidad utilizada para predecir el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones.
Descripción
Un esquema que muestra cómo el momento polar de inercia se calcula de una
forma arbitraria o sobre un eje es la distancia radial al elemento
dA .
• J z = Momento Polar de Inercia • dA = Un área elemental •
= La distancia radial al elemento
dA del
eje z
Características
• Se utiliza para calcular el desplazamiento angular de un objeto sometido a un
par. • Es análogo a la zona de momento de inercia que caracteriza la capacidad de
un objeto para resistir la flexión. • Momento polar de inercia no debe confundirse con el momento de inercia,
que caracteriza a un objeto de la aceleración angular debido a la torsión.
Limitaciones
El momento polar de inercia no se puede utilizar para analizar los ejes de sección circular. En tales casos, la constante de torsión puede ser sustituida en su lugar. En los objetos con una variación significativa de cortes transversales (a lo largo del eje del par aplicado), que no puede ser analizado en segmentos, un enfoque más complejo que tenga que ser utilizado. Sin embargo, el momento polar de inercia puede ser utilizado para calcular el momento de inercia de un objeto con sección transversal arbitraria.
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría. El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos. Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D
Procedemos ahora la demostración del Teorema:
Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas ( x ,y ). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán ( x ',y ')
Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:
Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:
La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:
RADIO DE GIRO
El concepto de radio de giro se utiliza mucho en ingeniería, en particular, en las expresiones de las columnas. Se suele representar por k(a veces por r) y se define por:
Siendo I el momento de inercia y A el área
Figura 1
Figura 2
Supongamos que el área de la figura 1 se distribuye en una estrecha faja rectangular como se muestra en la figura 2, cada elemento de área dA estará a la misma distancia k del eje de inercia. El momento de inercia en este caso será:
La faja rectangular a uno u otro lado del eje de referencia, ya que, aunque la distancia k sea negativa, su cuadrado es positivo. Asimismo, parte del rectángulo puede colocarse a un lado del eje, y el resto, al otro lado. A la vista de estas consideraciones, el radio de giro se interpreta como la distancia uniforme a la que debe situarse el área total, respecto de un eje, para que tenga el mismo momento de inercia. De acuerdo con esto, para un área cuya dimensión, en sentido perpendicular al eje de referencia, sea muy pequeña comparada con la distancia comparada al eje, el radio de giro equivale prácticamente a la distancia de su centro de gravedad al eje.
CONCLUSIONES
• El Momento Polar de Inercia se observa en un área en relación a un eje
perpendicular a su plano, mientras que el momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro dado. • Momento Polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia
respecto a dos ejes perpendiculares contenidos en dicho, mientras que el Momento de Inercia es la suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al eje. • La unidad del momento de inercia es kg*
4
2 el Momento Polar de Inercia es
• El centro de gravedad puede estar ubicado dentro o fuera del cuerpo
dependiendo de su forma.
Anexos
Bibliografía
Resistencia de materiales. ANDREW PYTEL; FERDINAND SINGER. IV edición
Mecánica de materiales. RUSSELL C. HIBBELER. VIII edición
Resistencia de materiales. ROBERT MOTT. V edición