Momento de Inercia 1

Universidad de Costa Rica

Asistente: Melania Campos Rodríguez

Escuela de Física

Estudiante: Esteban Badilla Alvarado B30754

Laboratorio de Física General I

Grupo 14

Momento de Inercia I Resumen En la práctica de laboratorio se desarrolló la primera parte del Momento de Inercia, para lograr desarrollar esto se colocó un diafragma a un disco giratorio, al cual mediante una cuerda se le colgaron varias masas para tres distintos radios en el centro del disco giratorio, además se colocaron dos fotoceldas una al inicio del movimiento provocado por la caída de las masas colgantes y otra a un cierto ángulo (75°) que representaba el final del movimiento, se midieron los tiempos de cada trayecto para cada radio con siete masas distintas y también los tiempos que tardaba el diafragma en pasar por la segunda fotocelda en cada caso. Luego de esto se calculó la aceleración para todos los trayectos y se hicieron tres graficas (una para cada radio) de el inverso de la aceleración angular en función del inverso de la masa y con dicha gráfica se calculó el valor de la gravedad y el momento de inercia para el disco giratorio. Introducción Según Sears et al, la medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo se denomina momento de torsión. La unidad del momento de torsión en el Sistema Internacional es el Newton-metro. Al hablar de trabajo y energía llamamos a esta combinación joule, pero el momento de torsión no es trabajo ni energía, así que debemos expresarlo en Newton-metro, no joule. Así como la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración, el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo rígido es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje rotacional multiplicado por su aceleración angular (Sears, Zemansky).

Según Giancoli D. 2006, el brazo de palanca se define como la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta la línea de acción a la fuerza, es decir, la distancia que es perpendicular tanto al eje de rotación como a una línea imaginaria dibujada a lo largo del eje de la dirección de la fuerza. Este se hace para tomar en cuenta el efecto de las fuerzas que actúan en su ángulo. El momento de torsión que actúa sobre cada partícula se debe a la fuerza neta que actúa sobre esa partícula, la cual es la suma vectorial de fuerzas externas e internas. Según la tercera ley de Newton, las fuerzas internas que cualquier par de partículas del cuerpo rígido ejercen sobre la otra son iguales y opuestas. Si estas fuerzas actúan sobre la línea que une a las partículas, sus brazos de palanca respecto a cualquier eje también serán iguales. Así los momentos de torsión para tales fuerzas son iguales y opuestos, y suman cero. De hecho, todos los momentos de torsión internos suman cero (Sears, Zemansky). Al cerrar una puerta pesada, o hacer girar una rueda masiva, es claro que si ha de acelerar su movimiento de giro, se debe aplicar una fuerza, con determinada fuerza, con determinado brazo de momento o brazo de palanca. Debe existir un par de torsión neto. (Loría Meneses, 2012) Con la presente práctica se pretende cumplir con los siguientes objetivos: 1- Plantear la primera ley de Newton para el movimiento rotatorio. 2- Comparar los momentos de inercia determinados experimentalmente con los que plantea la teoría. Marco Teórico: La primera ley de Newton tiene su equivalente rotatorio en el concepto que afirma que un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento giratorio uniforme tiende a permanecer con ese movimiento, excepto cuando actúa sobre él un par de torsión (Loría Meneses, 2012). Imaginemos una partícula m con su movimiento restringido a un círculo de radio r, en torno a en eje que pase por O, bajo la influencia de una fuerza

tangencial F aplicada. La partícula estará sometida a una aceleración tangencial que, de acuerdo con la segunda ley, es la siguiente: (Loría Meneses, 2012) F=m*aT

(1)

F = mrα

(2)

O bien, sustituyendo aT=rα,

Y según Loría Meneses, multiplicando a ambos lados por “r”, se obtiene la siguiente ecuación; ‫ז‬0=rF=mr2α

(3)

Según Loría Meneses, un cuerpo rígido está formado por muchas partículas interactuantes, lo cual hace que la fórmula (3) se vea convertida en lo siguiente; Ʃ‫ ז‬0 = (Ʃ mr2)α

(4)

De donde se observa que el factor del lado izquierdo de la ecuación corresponde al momento de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación que pasa por O, y en consecuencia; I= Ʃ mr2

(5)

En la práctica se ha utilizado un método indirecto para determinar el valor del momento de inercia, de la siguiente manera; ƩF=ma=maT

(6)

mg – T =maT Tr=Iα Y sustituyendo obtenemos; (7)

Procedimiento Se siguió el procedimiento descrito en la práctica Momento de Inercia I de la “Guía de laboratorio de Física General I de Loría L.”. Resultados

Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441

Tabla 1. Momento de Inercia.

Diafragma de δϴ= 0,26179939

Radio r= 0.046 m

Ángulo entre fotoceldas ϴ= 1,3089 rad Tiempo t (s)

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

t10

1,548 1,194 0,932 0,856 0,828 0,76 0,707

1,593 1,211 1,017 0,868 0,786 0,757 0,687

1,516 1,198 0,983 0,865 0,808 0,764 0,671

1,629 1,261 1,006 0,923 0,821 0,758 0,699

1,584 1,235 0,993 0,914 0,865 0,81 0,724

1,615 1,155 1,031 0,879 0,761 0,749 0,671

1,65 1,202 0,974 0,884 0,776 0,77 0,716

1,541 1,21 1,001 0,825 0,77 0,695 0,721

1,519 1,18 0,977 0,82 0,788 0,691 0,685

1,585 1,19 0,995 0,848 0,762 0,772 0,715

1,578 1,2036 0,9909 0,8682 0,7965 0,7526 0,6996

δt10 0,173 0,13 0,109 0,092 0,083 0,077 0,071

tiempo promedio δtprom (s) 0,1719 0,129 0,1088 0,0921 0,0837 0,0774 0,071



Radio r= 0.046 m

Ángulo entre fotoceldas ϴ= 1,3089 rad

Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441

tiempo promedio (s)

Tiempo δt (s) δt1 0,17 0,126 0,109 0,091 0,083 0,077 0,071

δt2 0,172 0,128 0,109 0,092 0,084 0,077 0,071

δt3 0,17 0,128 0,108 0,092 0,09 0,078 0,071

δt4 0,173 0,128 0,111 0,095 0,083 0,077 0,071

δt5 0,172 0,129 0,108 0,091 0,083 0,078 0,072

δt6 0,172 0,13 0,108 0,092 0,084 0,077 0,07

δt7 0,175 0,127 0,116 0,094 0,083 0,077 0,071

δt8 0,172 0,13 0,105 0,091 0,082 0,078 0,071

δt9 0,17 0,134 0,105 0,091 0,082 0,078 0,071

Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441

Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441



Radio r= 0.0312 m


t10 2,048 1,469 1,221 1,054 1,024 0,921 0,812

tiempo promedio tprom (s) 2,0303 1,5314 1,2324 1,0707 1,0078 0,9131 0,8212

δt10 0,216 0,157 0,129 0,113 0,104 0,096 0,088


Tiempo t (s) t1 1,967 1,495 1,263 1,092 1,026 0,882 0,813

t2 2,022 1,564 1,272 1,102 1,038 0,887 0,821

t3 2,043 1,558 1,246 1,054 0,971 0,935 0,789

t4 2,001 1,556 1,19 1,063 0,995 0,966 0,819

t5 2,036 1,512 1,181 1,109 1,013 0,919 0,842

t6 2,088 1,621 1,202 1,049 1,017 0,895 0,85

t7 2,086 1,567 1,253 1,068 1,015 0,931 0,841

t8 2,038 1,51 1,234 1,071 0,994 0,91 0,82

t9 1,974 1,462 1,262 1,045 0,985 0,885 0,805



Radio r= 0.0312 m


Tiempo δt (s) δt1 0,214 0,157 0,129 0,113 0,103 0,095 0,089

δt2 0,215 0,158 0,129 0,118 0,103 0,095 0,088

δt3 0,213 0,158 0,129 0,113 0,102 0,098 0,088

δt4 0,215 0,157 0,128 0,114 0,102 0,097 0,089

δt5 0,215 0,157 0,128 0,115 0,105 0,095 0,089

δt6 0,216 0,159 0,127 0,114 0,104 0,095 0,089

δt7 0,218 0,158 0,128 0,116 0,103 0,097 0,089

δt8 0,216 0,157 0,128 0,114 0,102 0,096 0,088

δt9 0,215 0,158 0,129 0,115 0,102 0,095 0,088

Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441



Radio r= 0.0161 m

Ángulo entre fotoceldas ϴ= 1,3089 rad Tiempo t (s)

t1 3,463 2,403 2,01 1,868 1,542 1,417 1,316

t2 3,347 2,473 2,064 1,855 1,593 1,414 1,32

t3 3,396 2,469 2,183 1,889 1,644 1,415 1,318

t4 3,469 2,404 2,061 1,878 1,561 1,415 1,319

t5 3,391 2,398 2,073 1,856 1,549 1,417 1,317

t6 3,389 2,389 2,082 1,867 1,563 1,416 1,321

t7 3,461 2,375 2,089 1,863 1,568 1,418 1,323

t8 3,452 2,386 2,07 1,861 1,648 1,419 1,321

t9 3,468 2,341 2,078 1,858 1,641 1,417 1,32

t10 3,453 2,343 2,075 1,834 1,649 1,418 1,319



Radio r= 0.0161 m


Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441

Tiempo t (s) t1 3,463 2,403 2,01 1,868 1,542 1,417 1,316

t2 3,347 2,473 2,064 1,855 1,593 1,414 1,32

t3 3,396 2,469 2,183 1,889 1,644 1,415 1,318

t4 3,469 2,404 2,061 1,878 1,561 1,415 1,319

t5 3,391 2,398 2,073 1,856 1,549 1,417 1,317

t6 3,389 2,389 2,082 1,867 1,563 1,416 1,321

t7 3,461 2,375 2,089 1,863 1,568 1,418 1,323

t8 3,452 2,386 2,07 1,861 1,648 1,419 1,321

t9 3,468 2,341 2,078 1,858 1,641 1,417 1,32

t10 3,453 2,343 2,075 1,834 1,649 1,418 1,319





Radio r= 0.0161 m


Masa colgada (Kg) 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441

Tiempo δt (s) δt1 0,379 0,268 0,219 0,19 0,169 0,147 0,134

δt2 0,383 0,264 0,224 0,19 0,17 0,149 0,137

δt3 0,369 0,263 0,225 0,191 0,172 0,148 0,136

δt4 0,381 0,268 0,226 0,192 0,17 0,148 0,135

δt5 0,371 0,271 0,227 0,193 0,169 0,147 0,138

δt6 0,371 0,269 0,226 0,192 0,17 0,148 0,133

δt7 0,381 0,268 0,224 0,19 0,169 0,15 0,136

δt8 0,38 0,269 0,225 0,19 0,171 0,147 0,134

δt9 0,382 0,263 0,229 0,192 0,168 0,148 0,135

δt10 0,386 0,264 0,225 0,193 0,17 0,15 0,136


Tabla 7. Resumen del experimento. Radio de aplicación (m)

Ángulo (rad)

0,046

1,3089

0,0312

1,3089

0,0161

1,3089

Masa (Kg)

Inverso de masa (1/kg)

0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441 0,0241 0,0441 0,0641 0,0841 0,1041 0,1241 0,1441

41,4938 22,6757 15,6006 11,8906 9,6061 8,0580 6,9396 41,4938 22,6757 15,6006 11,8906 9,6061 8,0580 6,9396 41,4938 22,6757 15,6006 11,8906 9,6061 8,0580 6,9396

Velocidad Angular Final (rad/s) 1,5230 2,0295 2,4062 2,8426 3,1278 3,3824 3,6873 1,2160 1,6612 2,0389 2,2865 2,5417 2,7299 2,9582 0,6920 0,9816 1,1636 1,3685 1,5418 1,7665 1,9335

Aceleración Angular (rad/s2)

Inverso aceleración (s2/rad)

0,9651 1,6862 2,4283 3,2741 3,9270 4,4943 5,2706 0,5989 1,0847 1,6544 2,1355 2,5221 2,9897 3,6023 0,2018 0,4093 0,5598 0,7346 0,9662 1,2470 1,4655

1,0361 0,5931 0,4118 0,3054 0,2546 0,2225 0,1897 1,6697 0,9219 0,6044 0,4683 0,3965 0,3345 0,2776 4,9548 2,4430 1,7863 1,3612 1,0350 0,8019 0,6824

Tabla 8. Valores para el momento de inercia del disco.

Procedencia Teórico Radio 1 Radio 2 Radio 3

Aceleración de la gravedad g (m/s2) Valor de g % de error 9.81 2.09 78.67 52 430 0.1 98.98

Momento de inercia I (kgm2) Valor de I % de error 0.0137 0.0108 21.16 0.0122 10.94 0.0192 40.14

Gráfica 1: Inverso de la aceleración en función del inverso de la masa para un radio de 0.0467m.

Inverso de la aceleración angular (s2/rad)

Inverso de la aceleración angular vs inverso de la masa (r=0,046m)y = 0.0246x + 0.0221 R² = 0.9993 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

10

20

30

Inverso de la mas (1/kg)

40

50

Gráfica 2: Inverso de la aceleración en función del inverso de la masa para un radio de 0.0312


Inverso aceleración angular vs inverso masa (r=0,0312m)

y = 0,040x - 0,0006 R² = 0,999

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

10

20

30

40

50

Inverso de la masa (1/kg)

Gráfica 3: Inverso de la aceleración en función del inverso de la masa para un radio de 0.017m.


Inverso aceleración angular vs inverso masa (r=0,0161m)y = 0.122x - 0.1599 R² = 0.9972

6 5 4 3 2 1 0 0

10

20

30

Inverso de la masa (1/kg)

40

50

Discusión En la práctica de laboratorio se utilizan distintas masas y distintos radios para describir el movimiento circular de un disco giratorio y la variación de los tiempos con respecto a esos cambios que tarda en recorrer dicho disco un cierto arco y una pestaña de 15° al pasar por una fotocelda. Y como en toda práctica de laboratorio estos resultados dependerán en gran medida del mantenimiento del equipo y la precisión del estudiante a la hora de la toma de los datos. Según Loría Meneses, 2012, la resistencia de un objeto al cambio se llama inercia, esta misma propiedad de la materia puede presentarse como resistencia al cambio del movimiento rotativo, y entonces se le llama inercia rotacional o inercia rotativa. Con respecto a las tablas 1 y 2 se realizaron los trayectos de los tiempos que ahí aparecen con el radio más grande que es de 0.0467 m y se observa que mientras más crece la masa añadida los tiempos van a ir disminuyendo, tanto los grandes como los tiempos del diafragma, lo que señala que el sistema es acelerado y esta aceleración aumenta con la masa como es de esperarse. Para las tablas 3 y 4 los trayectos realizados fueron con el radio mediano el cual corresponde a 0.0312 m de donde se obtiene que los tiempos tienen el mismo comportamiento que los de las dos tablas anteriores pero con la diferencia de que estos son ligeramente mayores, lo que nos indica que si el radio es más pequeño la velocidad angular y la aceleración angular serán menores que con un radio más grande, lo cual parece contrario a la teoría, sin embargo, esto no es así ya que se debe recordar que se está trabajando con velocidades y aceleraciones angulares y no tangenciales. Para las tablas 5 y 6 se trabajo con el radio más pequeño equivalente a 0.0161 m, y al igual que en las tablas anteriores es el mismo comportamiento y también por ser un radio más pequeño las velocidades y aceleraciones angulares van a ser más pequeñas porque los tiempos son más grandes.

Con base en las primeras seis tablas realizadas es posible determinar que a mayor radio de aplicación la aceleración será mayor, y de manera análoga, con menor radio de aplicación la aceleración será menor. En la tabla 7 aparece un resumen de los datos, radios, masas, velocidades, aceleraciones, y los inversos de la aceleración y la masa los cuales son necesarios para construir las gráficas. Según Sears, Zemansky; las mediciones siempre tienen incertidumbre. En las tres graficas se observa el mismo comportamiento, porque todas representan el inverso de sus respectivas aceleraciones en función de los inversos de las masas utilizadas, las tres gráficas son crecientes y lineales, y en cada caso se observa que el intercepto es muy pequeño; sin embargo este debe ser más pequeño, o más bien más cercano a cero, ya que para calcular la gravedad experimental que se observa en la tabla 8 se ocupa dicho dato que representa el radio entre la gravedad. Y para calcular el momento de inercia se ocupa esta gravedad experimental y además la pendiente de las gráficas que representan el momento de inercia entre el producto de la gravedad y el radio utilizado, esto refiriéndonos a la ecuación (7). En la tabla 8 se pueden observar las gravedades y momentos de inercia experimentales con sus respectivos porcentajes de error, de donde se observa que son excesivamente altos, esto debido a factores de error como en toda práctica y también a la precisión del equipo. Estos factores de error pueden ser como un desnivel en el disco que pueda ocasionar una aceleración extra o también que el hilo se desmontara de la polea ocasionando fricciones, otro factor de error pudo ser la colocación precisa de las fotoceldas para tomar los tiempos más exactos posibles.

Cuestionario 1.

Qué significado físico tiene la pendiente y la intercepción en cada una de las gráficas elaboradas.

La pendiente representa al momento de inercia dividido entre el producto de la gravedad con el radio, y la intercepción representa a la división de el radio entre la gravedad. 2.

¿Qué importancia tiene el nivelar el disco empleado en esta práctica? Un desnivel en la plataforma giratoria del disco puede ocasionar que el

mismo se mueva de manera uniforme ocasionando aceleraciones de más y haciendo que los datos obtenidos varíen en significativas cifras y con porcentajes de error bastante más altos. 3.

¿Qué importancia tiene el colocar la primera fotocelda F1 al inicio del movimiento? Al colocar la pestaña justo antes de la primera fotocelda se busca que su

velocidad inicial sea un valor lo más cercano a cero y así poder despreciarla en el cálculo de datos. 4.

¿Tiene algún efecto importante en los resultados el mantener constante el ángulo? ¿Serían distintos si el ángulo fuera diferente en cada uno de los treinta eventos?

No tiene efecto importante el cambio del ángulo porque se supone que la aceleración es constante para cada masa utilizada, por lo que al realizar cálculos aunque los tiempos difieran las aceleraciones y las masas serán las mismas las cuales son necesarias para calcular el momento de inercia y la gravedad. 5.

¿Cuáles son las principales fuentes de error en este experimento? Explique. Las principales fuentes de error para este experimento giran en torno al

equipo

empleado.

Los

resultados

obtenidos

están

expuestos

al

buen

mantenimiento y precisión del equipo. El desnivel del disco giratorio podría causar incoherencias en los valores experimentales. Para cada dato experimental es importante que la polea se encuentre bien colocada, con su cuerda tensada y en el lugar donde corresponde. Mantener el ángulo entre las fotoceldas constante mientras se toman los datos, sin mover las fotoceldas, ayuda en el experimento. Conclusiones 1. Se consigue plantear la primera ley de Newton para que esta sea aplicable a el movimiento rotatorio la cual es: rF=mr2α 2. Se consigue observar el porcentaje de error entre los cálculos experimentales y los teóricos. 3. Se logra dar un concepto intuitivo de lo que es la torca. 4. Se logra determinar experimentalmente el momento de inercia de un disco giratorio y comparar dichos resultados con los teóricos. Bibliografía Loría Meneses, L. G. (2012). Guía de Laboratorio Física General I. Costa Rica. F. W. Sears, M. W. Zemansky, H. D. Young, R. A. Freedman. Física Universitaria, volumen 1. Décimo primera edición, Pearson Educación, México, 2004. Giancoli, C. Douglas, Física con aplicaciones, sexta edición, Pearson Education, México 2006.

Momento de Inercia 1

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