MOMENTO DE INERCIA. I.- OBJETIVOS: Determinar experimentalmente el momento de inercia de una masa puntual compararla con su valor teórico. Determinar el momento de inercia de un cilindro hueco y compararla con su valor teórico. Determinar el momento de inercia de un disco y compararlo a su valor teórico. Analizar usando data estudio los resultados que obtienen de mediciones y observaciones para predecir comportamientos previos o posteriores a la toma de datos. II.- FUNDAMENTO TEORICO: Por definición, sistema rígido es todo conjunto de partículas obligadas a permanecer a distancias relativas absolutamente fijas; por supuesto, no existen en la naturaleza sistemas de esta clase, ya que las ultimas partículas componentes que forman todos los cuerpos (átomos) están siempre sometidas a algún movimiento relativo, este último microscopio por lo cual puede ignorarse a efecto de las descripciones de movimientos microscópicos. TORQUE: La relación equivalente rotacional de la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional es: ⃗ Dónde:
⃗⃗
a.- aceleración angular. t.- torque. I.- momento de inercia.
Se define como el producto vectorial del vector posición por la fuerza: ⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
El producto vectorial de la ecuación. Momento de una fuerza alrededor de un eje. El modulo del torque es rFsen , por lo puede introducirse la cantidad b= rsen , a esta se le llama brazo de palanca. La medida del momento de inercia para un cuerpo, no solo depende de la masa, sino también de la forma como están distribuidos, es por eso que entre más lejos este distribuida la masa del eje de rotación, la inercia rotacional es mayor.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCION DE MASAS PUNTUALES. Para una distribución las masas puntuales, el momento de inercia estaría dado por la ecuación: ∑ Donde,
es la distancia de la partícula de la masa
al eje de rotación.
MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCION DE CONTINUA DE MASA. Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa, la formula a aplicar es: ∫ Aquí, dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación. MOMENTO DE INERCIA DE UNA VARILLA. Sea una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas. El momento de inercia de la varilla es: ∫ Aplicando la teorema de Steiner:
MOMENTO DE INERCIA DE UN DISCO. Disco que gira en un eje perpendicular al plano y que pasa por su centro asumimos un elemento dr que dista r del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio r y si estiramos lo convertimos en un rectángulo de longi. 2 cuya masa es:
El momento de inercia del disco es: ∫ MOMENTO DE INERCIA DE UN CILINDRO.
Tomamos un elemento de masa que dista r del eje de rotación y una capa cuyo radio es r y el exterior es r+dr por tanto la masa dm que contienes es capa.
El momento de inercia de del cilindro es: ∫ Para un cilindro hueco es: (
)
CALCULO EXPERIMENTAL DE MOMENTO DE INERCIA: Para determinar experimentalmente el momento de inercia tanto para una masa puntual como para una varilla, un disco o un cilindro, aplicaremos un torque y mediremos la aceleración angular resultante, luego calcularemos el momento de inercia. El valor de r es la radio de la polea del aparato. El radio es perpendicular a la fuerza aplicada e consecuencia el torque es:
Luego por descomposición: ∑ El torque aplicado será:
La aceleración lineal a, de la masa en suspensión es la aceleración tangencial, , del dispositivo de gira, luego la aceleración angular es:
Sustituyendo la ecuación (14) y ( 15) resulta: (
)
Esta ecuación permitirá calcular experimentalmente el momento de inercia del sistema.
III.- EQUIPOS Y MATERIALES.
Computadora Personal. Software data estudio instalado. Interface science workshop 750 Sensor de movimiento rotacional. Set de masas. Accesorio adaptador de base rotacional. Sistema rotacional completo. Equipo de rotación. 2.0m de hilo negro. Balanza analógica. Regla de nivel. Vernier.
IV.-PROCEDIMIENTOS Y ACTIVIDADES. Procedimientos para configuración de equipos y accesorios. a) Verifique la conexión y estado de la fuente de alimentación de la interface. Luego proceda a encenderlo. b) Encender la computadora e ingresa al data estudio haciendo doble clic en el icono ubicado en el escritorio, luego seleccione crear experimento. c) Seleccionar el sensor de movimiento rotacional de la lista de sensor. luego efectuar la conexión usando lo cables para transmisión de datos de acuerdo a lo indicado por la data estudio. d) Efectué la calibración correspondiente, elija para el sensor de movimiento rotacional una frecuencia de muestreo, luego en calibración lineal seleccione polea grande. e) Genere un gráfico para la aceleración tangencial vs tiempo. f) Mida con un vernier el diámetro de la polea grande del sensor de movimiento rotacional y calcule el radio. g) Realice el montaje del sensor de movimiento circular en el soporte del sistema rotacional completo, usando el accesorio adaptador de base rotacional. h) Monte la plataforma rotante de aluminio, la cual previamente deberá ser pesada junto con eje de acero. i) En este punto haga un a prueba con una masa de porta pesas de 5 gramo. j) Usando las ecuaciones correspondiente calcule el moneo de inercia del conjunto solo, y anótelo en la tabla, este resultado deberá restarse de los resultados posteriores del momento de inercia.
Tabla (1) ELEMENTO DATO MASA DE EJE 60g ROTANTE MASA DE PLATAFORMA DE ALUMINIO MASA DISCO
DEL 1444g
MASA DEL 1427g CILINDRO HUECO MASA DEL ELEMENTO PUNTUAL
ELEMENTO DATO MOMENTO DE INERCIA DEL EJE MOMENTO DE INERCIA SISTEMA(EJEPLATAFORMA) MASA DISCO Y CILINDRO HUECO RADIO INTERNO 10,7cm DEL CILINDRO HUECO RADIO 12.7cm EXTERNO DEL CILINDRO HUECO
PRIMERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DE LA PLATAFORMA DE ALUMINIO) a) Situé la plataforma de aluminio sobre el eje rotante de aluminio, tal como se muestra en la figura. b) use inicialmente una masa y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, el radio(r) es conocido (radio de la polea del eje rotante). c) Calcule el momento de inercia restando del encontrado el momento de inercia del eje solo. d) Varié la masa en el porta pesos adicionando 5 gr y efectúe nuevamente una medición. (anote los daros obtenidos en la tabla 2)
EVENTO
1 2 3
Aceleracion angular(α)
Tabla (2): datos obtenidos Masa Radio de Distancia respecto al Aplicada polea centro de giro
e) Repita 5 veces y calcule el promedio. f) Compare estos resultados con el valor teórico dado por la ecuación (3) y determine el error absoluto, relativo y porcentual anote sus resultados en tabla (3). Tabla (3): Momento de inercia de la varilla o plataforma de aluminio. Momento de inercia Momento de Error absoluto Error porcentual experimental inercia teórico
SEGUNDA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DE MASA PUNTUAL) g) Pese al elemento puntual y colóquelo a una distancia conocida del eje de rotación, sobre la plataforma rotante de aluminio. h) Use inicialmente una masa de 5gr y realice una medición ,anote los datos de aceleración tangencial, radio r es conocido (radio de la polea del eje rotante) i) Calcule el momento de inercia restándolo del encontrado para el momento de inercia del conjunto solo. j) Varié la masa en el porta pesos adicionándolo 5gr y efectué nuevamente una medición.
EVENTO
Aceleracion angular(α)
Tabla (4): datos obtenidos Masa Radio de Distancia respecto al Aplicada polea centro de giro
1 2 3
k) Repita el proceso 5 veces y calcule el promedio. l) Compare estos resultado con el valor teórico dado por la ecuación (3)y determine el error absoluto. Relativo y porcentual ante sus resultados en la tabla (5).
Tabla (5): momento de inercia del momento puntual.
Momento inercia experimental
de Momento de Error absoluto inercia teórico
Error porcentual
TERCERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL DISCO) a) Pese el disco y colóquelo sobre el eje rotante. b) Use inicialmente una masa de 5gr y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, radio r es conocido como (radio de la polea de eje rotante.) c) Calcule el momento de inercia restándole del encontrado parar el momento de inercia del conjunto solo. d) Varié la masa en el porta pesos adicionando 5gr y efectué nuevamente una medición. Tabla (6): Datos obtenidos EVENTO
Aceleracion angular(α)
Masa Aplicada
Radio polea
de Distancia respecto al centro de giro
1 2 3
e) Repita el proceso 5 veces y calcule el promedio. f) Compare estos resultado con el valor teórico dado por la ecuación (8)y determine el error absoluto. Relativo y porcentual ante sus resultados en la tabla (7).
Tabla (7): Momento de inercia del disco, eje de rotación perpendicular a su plano. Momento de inercia Momento de Error absoluto experimental inercia teórico
Error porcentual
CUARTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL DISCO Y EL CILINDRO HUECO) a) Usando un vernier determine lo radios interior y exterior del cilindro hueco luego pese al cilindro colóquelo sobre el disco en posición horizontal sobre el eje rotante. b) Use inicialmente una masa de 5gr y realice una medición, anote los datos de aceleración tangencial, radio r es conocido como (radio de la polea del eje rotante) c) Calcule el momento de inercia restándole del encontrado parar el momento de inercia del conjunto solo. d) Varié la masa en el porta pesos adicionando 5gr y efectué nuevamente una medición, el momento de inercia no debe de cambiar. Tabla (8): Datos obtenidos EVENTO
Aceleracion angular(α)
Masa Aplicada
Radio polea
de Distancia respecto al centro de giro
1 2 3
e) Repita el proceso 5 veces y calcule el promedio. f) Este resultado debe restarse del momento de inercia. g) Compare estos resultado con el valor teórico dado por la ecuación (11) y determine el error absoluto. Relativo y porcentual ante sus resultados en la tabla (9).
Tabla (9): Momento de inercia del cilindro hueco. Momento inercia experimental
de Momento de Error absoluto inercia teórico
Error porcentual
V. CUESTIONARIO. 1. Determine la incertidumbre de los datos experimentales obtenidos en las tablas 3, 5, 7 y 9 con sus respectivos valores equivalentes teóricos. 2. ¿Qué factores podrían motivar las diferencias entre los valores teóricos y experimentales?, justifique su respuesta. 3. Determine el radio de giro para cada uno de los elementos utilizados (varilla, disco y cilindro) 4. ¿a través de qué punto debe pasar el eje de rotación para que el momento de inercia sea mínimo en el caso de la varilla y el cilindro? 5. ¿si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rígido, el momento de inercia permanece constante? 6. ¿mediante que ecuación se relacionan el momento de inercia y el momento angular para un cuerpo rígido? 7. Aplicando un rozamiento similar aplicado para el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. 8. Aplicando rozamiento similar al aplicado para el caso del cilindro y el disco, calcule el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros. 9. ¿Cómo se denomina al punto respecto al cual el momento estático de una distribución de masa es nulo? 10. ¿Por qué el momento estático respecto a una plano es la proyección perpendicular al mismo de al momento estático respecto a cualquiera de sus puntos?, explique.
