Modulo-raz-matematico-III-y-IV Induccion y Deduccion Metodo Del Cangrejo y Rombo y Mas

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica

INDUCCIÓN-DEDUCCIÓN Y CRIPTOARITMÉTICA

3

3.1. RAZONAMIENTO INDUCTIVO (INDUCCIÓN) 3.1.1. DEFINICIÓN Consiste en analizar casos particulares, es decir realizar experiencias sencillas pero con las mismas caracteristicas del problema original, para conseguir resultados que al ser relacionados nos permitan llegar a una conclusión que lo llamaremos caso general. C A S O

C A S O

C A S O

1

2

3

INDUCCIÓN CASO GENERAL

Ejemplo: 1 Teniendo en cuenta las figuras 1, 2, 3, ……, ¿cuántos puntos de contacto habrán en la figura 25 ?: Caso 1

Caso 2

Caso 3

… (fig. 1)

(fig. 2)

………..

(fig. 3)

Analizando: Fig. (1)

:

:

1=1

2

Fig. (2)

:

:

4=2

2

Fig. (3)

:

:

9=3

2

: 1

n=n

Se establece que: Fig. (n)

:

2

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I

Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA

CICLO I – 2011

2

Por lo tanto: en la fig. (25) habrán: (25) = 625 puntos de contacto.

3.2. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO (DEDUCCIÓN) 3.2.1. DEFINICIÓN El razonamiento deductivo consiste en aplicar una verdad general (ya demostrada) en ciertos casos particulares. Este tipo de razonamiento garantiza la verdad de la conclusión, si la información de la que se parte es verdadera.

DEDUCCIÓN CASO GENERAL

CASO PARTICULAR

3.2.2 HABILIDAD OPERATIVA La habilidad operativa nos permite ahorrar tiempo en los cálculos, tiempo que en cualquier tipo de examen resulta determinante como para no despreciarlo en cálculos numéricos elementales. Otro aspecto importante, es que nos enseña las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa, pero con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más rápida. Ejemplo: 2 ¿Qué resultado se obtiene de la suma de las cifras no repetidas de: 2 2 A = 978029 - 978026 ? Resolución: 2

2

Sabemos que: a – b = (a + b) (a – b) ………. Diferencia de cuadrados Entonces:

A = (978029 + 978026) (978029 – 978026) = (1956055) (3) = 5868165 Suma de cifras de A: 5 + 8 + 6+ 8 + 1 + 6 + 5 = 1

Rpta: La suma de las cifras no repetidas es 1.

Unidad Académica de RAZONAMIENTO

2

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 3.3. CRIPTOARITMÉTICA 3.3.1. DEFINICIÓN Es la habilidad para encontrar cifras escondidas en operaciones matemáticas (Adición, Sustracción, Multiplicación, División, etc.). Las cifras estan sustituidas por letras, simbolos o espacios vacios. A cada letra le corresponde una y solamente una cifra ó dígito. A letras iguales les corresponde cifras iguales. 3.3.2. CLASIFICACIÓN: Presenta dos formas: 1.3.2.1. FORMACIÓN DE NUMERALES: Son expresiones simples equivalentes a una cantidad determinada. En este caso el valor de cada letra se halla igualando al número por su valor posicional. Ejemplo: 3

CEPU = 1492, entonces C = 1, E = 4, P = 9, U = 2 1.3.2.2. OPERACIONES ARITMÉTICAS: En este caso tal como lo indica su nombre, se representa como suma, resta, multiplicación, división, etc. o como una operación combinada. Ejemplo: 4 ¿Cuál es el valor de:

mnp mnp

x x

a b

mnp

x

ab ? , si se sabe que:

= 5468 = 2932

Resolución: Los productos se escribirán:

mnp x ab 2932 5468 57612

3


CICLO I – 2011


PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 03 1.

Tomando en cuenta las figuras 1, 2, 3, …., el número de puntos de corte de la figura 100; es:

… (fig. 1) A) 412

(fig. 2) B) 430

(fig. 3)

C) 164

D) 415

E) 400

Resolución: Contando los puntos de corte de cada figura: Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

2.

4=4x1 8=4x2 12 = 4 x 3 16 = 4 x 4 Fig. (100) :

4 x 100 = 400

La suma de cifras del resultado de: C =

Rpta. E

(666 ......6) 2 ; es:  204 Cifras

A) 1846

B) 1836

C) 1934

D) 1935

E) 1936

Resolución: Por Inducción: er

2

cifras = 9 = 9 x 1

(1 ) : 6 = 36 do

(2 ) : 66 er

2

cifras = 18 = 9 x 2

= 4356 2

(3 ) : 666 = 443556

vo

(104 ) : En C =

cifras = 27 = 9 x 3

(666 ......6) 2  204 Cifras

cifras = 204 x 9 = 1836


4

Rpta. B

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 3.

2

...... 334 ) ; es: La suma de las cifras del resultado de: P = (333    101 Cif ras

A) 607

B) 608

C) 606

D) 604

E) 603

Resolución: er 2 (1 ) : 34 = 1156 do 2 (2 ) : 334 = 111556 er 2 (3 ) : 3334 = 11115556 to 2 (4 ) : 33334 = 1111155556

2 ...... ...... 34 (100) : En P = 333  1 555 ...... 56     = 1111 101 Cif ras

101 Cif ras

100 Cif ras

Entonces la suma de cifras de C es: 101 x 1 + 100 x 5 + 6 =101 + 500 + 6 = 607 4.

Si :

CEPU = nn , entonces el valor de:

A) 45

B) 35

Rpta. A

n (C + E + P + U); es:

C) 55

D) 75

E) 85

Resolución: n CEPU tiene cuatro letras por lo tanto: n debe tener cuatro cifras. Entonces: n = 5, 5 porque es el menor número que operado (5) nos da 4 cifras. 5

5 = 3125 = CEPU C = 3, E = 1, P = 2, U = 5 n (C + E + P + U) = 5 (11) = 55 5.

Rpta. C.

El resultado de efectuar: 3 2 3 2 M = (1,23) + (2,31) (1,23) + (0,77) + (3,69) (0,77) ; es: A) 10

B) 4

C) 12

D) 28

E) 8

Resolución: 3

3

2

2

3

Sabemos que: (a + b) = a + 3ab + 3a b + b Luego:

3

2

2

3

M = (1,23) + (2,31) (1,23) + (3,69) (0,77) + (0,77) 3 2 2 3 M = (1,23) + 3(0,77) (1,23) + 3(1,23) (0,77) + (0,77) 3 M = (1,23 + 0,77) 3 M=2 = 8

5

Rpta: E


CICLO I – 2011


6.

El valor de: N =

21 23

2121 2323

212121 232321

46 ras  Cif  2121...... 21 ; es: 2323 ....... 23     46 Cif ras

A) 21

B) 23

C) 46 D) 43 Resolución: Usando la descomposición por bloques:

E) 33

ababab = ab (10101) 1 01 01

Entonces: N=

21 21(101) 21(10101) 21(10101.. ..01) .. 23 23(101) 23(10101) 23(10101.. ..01)   23Sumados

21 21 21 21 .. N= 23 23 23 23   23Sumados

21 N= = 21 23 (23)

7.

Rpta. A

2

Si: 1A + 2A + 3A + …… + 9A = MN1, entonces el valor de: (A - M + N) ; es: A) 144

B) 169

C) 125

D) 121

E) 256

Resolución: Descomponiendo: 10 + A + 20 + A + 30 + A + ……. + 90 + A = MN1

10

90 2

9 + 9A = MN1

450 + 9A= MN1 Por tanteo: A = 9, entonces: 450 + 81 = 531 M = 5, N = 3 2

2

(A - M + N) = (9 - 5 + 1) = 125


Rpta: C

6

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 8.

La suma de todos los elementos de la matriz, es:

1

3

5

7

99

3 5

5 7

7 9

9 11

101 103

A

99 101 103 A) 247498

B) 247499

105 C) 247500 D) 247501 Resolución:

E) 24502

Por Inducción: er

(1 ) :

1 3 : 3 5

elementos = 12 = 3

1 3 5 do (2 ) : 3 5 7 : 5 7 9

er

(3 ) :

1 3 2

elementos = 45 = 5

1 3

5

7

3 5

7

9

5 7

9

11

:

2

1 5 2

elementos = 112 = 7

2

1 7 2

2

7 9 11 13

Entonces: 1

3

5

7

99

3 5

5 7

7 9

9 11

101 103

A

99 101 103

:

elementos = 99

1 99 2

2

105

2

= 99(50) = 99 x 2500 = 247500

7

Rpta. : C


CICLO I – 2011

Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA 9.

Si a + b + c = 17 entonces el valor de: abc + bca + cab , es: A) 1957

B) 51

C) 1887

D) 1227

E) 2017

Resolución: Ordenando los sumandos y a + b + c = 17 Entonces:

abc + bca cab 1887

Rpta. C

PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 03 Nivel Básico

1. La suma de las cifras de la fila 20, es: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ……………………. A) 8020 B) 4040 C) 16020

D) 8000

E) 1600

2. La suma de todos los elementos de la siguiente matriz, es:

A) 2542

B) 247500


C) 328400

8

D) 328350

E) 264200

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 3. El número total de palabras “CRÍTICA” que se pueden contar es: A C I T I R C A) 128

B) 512

C A C I T I R

I C A C I T I

T I C A C I T

C) 64 b

I T I C A C I

R I T I C A C

D) 256

4. El valor simplificado de: A) 31

B) 0

C R I T I C A E) 1024 , es:

C) 300

D) 0.5

E) 1

5. La fracción a/b con menor denominador, tal que: es: (Dar como respuesta la suma de cifras de b). A) 27 6. Si A) 23

=

B) 25 C) 24 D) 12 , el valor de a + b + c + d + e, es: B) 39 C) 30 D) 15

E) 23 E) 19

7. Si un número de 3 cifras se multiplica por 7, el producto termina en 922. La suma de las cifras del número, es: A) 31 B) 18 C) 16 D) 25 E) 19 8. Si el número se divide por , se obtiene por cociente 11 y de residuo 80 entonces el valor de P + A + Z, es: A) 19 B) 20 C) 23 D) 26 E) 22 9. Si A) 10

entonces el valor de C + D + U, es: B) 20 C) 17 D) 16

10. El valor de P + A + Z, si cero, es: A) 15 B) 12

E) 15

y todas las letras son diferentes de C) 21

D) 18

9

E) 19


CICLO I – 2011

Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA Nivel Intermedio 11. El valor de S=

es: 46 cifras

23 cifras

(Dar como respuesta la suma de cifras del resultado). A) 81 B) 60 C) 59 D) 72 12. Se tiene el conjunto de los 100 números: 1;

E) 69 . Se eliminan dos elemen-

tos cualquiera a y b de este conjunto y se incluye en el conjunto el número (a + b + a x b) quedando así un conjunto con un elemento menos, después de 99 de estas operaciones, ¿qué número queda? A) 1 B) 99 C) 100 D) 50 E) 101 13. Se tiene un tablero dividido en “n+1”columnas y “n” filas, todos ellos del mismo ancho, si en dicho tablero se dibuja una de las diagonales principales, ¿a cuántos casilleros cortará dicha diagonal ?. A) 2n+2 B) 2n C) n+2 D) 3n+1 E) n(n+1) 14. La suma de las cifras del resultado de, 2 A= es: 100 cifras

A) 600

B) 601

C) 602

D) 603

E) 64

15. ¿Cuántos triángulos se podrán contar en total al trazar la diagonal principal tablero de ajedrez? A) 36 B) 18 C) 72 D) 54 E) 45 2

16. Si: a + 1 = -a entonces el valor de a A) -1 B) 1 C) 0 3

3333

de un

es: D) 2

2

3

E) 3333 2

17. Al efectuar M = (1,23) + (2,31)(1,23) + (0,77) + (3,69)(0,77) , se obtiene: A) 10 B) 4 C) 12 D) 0 E) 8 18. Si: 9328, entonces el máximo valor que puede tomar letra representa una cifra impar menor que 9, es: A) 753 B) 18 7 C) 72 3 D) 546 E) 456 19. Si A) 23

x9999999 = …3518, entonces el valor de A + M + I + R, es: B) 19 C) 32 D) 14 E) 20

20. Si A) 42857

B) 54321


, entonces el valor de C) 28574 D) 54123 10

, es: E) 42587

, si cada

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Nivel Avanzado 21. Si A) 9107

B) 4567

, entonces el mayor valor de C) 9231 D) 9765

, es: E) 4576

22. MAS x MAS = MENOS x MENOS, entonces el valor de 5 F= , es: A) 125

B) 243

C) 8

D) 64

23. El valor de P= A) n-1 24. Si A) 30

E) 729

, es: B) n

C) 2n+1

B) 18

D) n+1

E) n+2

O = cero , entonces el valor de A+N+I+T+E+P es: C) 35 D) 40 E) 25

25. En la multiplicación A) 18 B) 19

C) 15

, el valor de C+E+P+U, es: D) 16 E) 17

26. ¿En qué cifra termina Nx12 si se sabe que Nx84 =…8836 ? (Dar como respuesta la suma de las últimas 4 cifras) A) 20 B) 18 C) 22 D) 24 E) 25 27. ¿Por cuánto se le debe multiplicar a N para que tenga raíz cuarta?.(Dar como respuesta al menor posible). 7 3 2 8 N = 2 x5 x3x7 x11 . A) 12856 B) 18230 C) 72126 D) 54232 E) 13230 28. Si , entonces el valor de a+b+c-x, es: A) 20 B) 18 C) 19 D) 16 E) 12 29. Si: S1=1 S2=1+1 S3=1+2+1 S4=1+3+3+1 ……..

F1=2 F2=2+2 F3=2+4+2 F4=2+6+6+2 ……..

Entonces, el valor de: A) 2048 B) 2046 3

3

, es: C)2086 6

9

D)2094 90

30. Si: N =….376 y N +N +N +……….+N = es: A)10 B)11 C)12 D)13 11

E)2049 , entonces el valor de: a+b+c, E)14


CICLO I – 2011


AUTOEVALUACIÓN Nº 03 1. Si: 1 + 2 + 3+ …….+ 21 = abc , entonces el valor de: a + b x c , es: A) 5

B) 4

C) 6

2. La suma de las cifras del resultado de: A) 30 B) 29 C) 28

D) 3

E) 7

D) 32

E) 31

3. Según el esquema mostrado, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “inducción”?. A)

325

B)

256

C) 304 D) 272 E)

282

I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O N N N N N N N N N

4. El valor de m + n + p + q, es: 7 + 77 + 777 + 7777 + ….. + 777 .. 77 = mnpq 36 sumandos

A) 7

B) 5

C) 25

D) 12

E) 14

5. La cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangula, es: A) B) C) D) E)

94950 5000 4850 5050 5151

1 2 3


12

98 99 100

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica 6. Si : SIETE SEIS es: A) 8128

TRES = 100 000, y además

B) 8118

C) 9229

I = E y T = R entonces el valor de: D) 9339

E) 9119

7. La última cifra luego de efectuarse el producto, 2000 1999 1998 1997 2 P = (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) … (2 + 1) , es: A) 7

B) 6

C) 5

D) 4

E) 2

8. La suma de las cifras del resultado de: , es: A) 11

B) 9

C) 10

D) 8

E)12

9. La suma de las cifras del resultado de M:

A) 100

B) 900

C) 200

D) 300

E)450

10. La suma de todos los números de la siguiente matriz:

, es:

A) 39000

B) 48000

C) 24000

D) 36000

E) 27000

La teoría de esta Unidad Nº 03, ha sido revisada y las PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 03 y las PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 03, han sido redactadas y corregidas por el Lic. Juan Herrera Laine, Docente del CEPU-UNICA.

13


CICLO I – 2011


4

MÉTODOS OPERATIVOS

4.1. DEFINICIÓN Son artificios que abrevian un planteo tedioso y saturado de cálculos en la resolución de un problema matemático. La reiterada aplicación de estos artificios, conduce a desarrollar una metodología que ofrece más ventajas a quienes la dominen, superando así a quienes continúen utilizando las técnicas tradicionales. El propósito de este capítulo es mostrar los artificios usados con más frecuencia, que se han convertido en métodos, ya que han demostrado su eficacia frente a otros procedimientos, aunque es necesario saber reconocer en qué casos se van a aplicar.

4.2. CLASIFICACIÓN 4.2.1. MÉTODO DEL CANGREJO: Es llamado así por la característica principal de su procedimiento que consiste en empezar por el final y terminar por el principio. Este método no dispone de ninguna fórmula porque las operaciones a efectuar están condicionadas por el enunciado del problema y lo esencial es tener las operaciones para de allí empezar a invertir el proceso. Este método se aplica de tres formas según sus resoluciones: 4.2.1.1. CANGREJO SIMPLE: Se utiliza cuando se presenta varias operaciones, se trabaja del valor final hacia el valor inicial haciendo operaciones contrarias a las que me indica el problema. Se caracteriza porque los datos del problema se presentan por medios de números enteros . Esquema: O.D O.I Operaciones Directas

Operaciones Inversas

V. I Valor Inicial


V. F 14 Valor Final

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Pregunta: 1 Si a un cierto número se eleva al cuadrado, se le suma 5, luego se le resta 10, al resultado se le divide entre 4, al resultado se le multiplica por 9, luego se le suma 4 y finalmente al sacarle la raíz cuadrada, se obtiene 7, entonces, ¿cuál es el número? Resolución: Aplicando el método del Cangrejo simple, se tiene: O.D O.I Operaciones Directas Operaciones Inversas 2

25 = 5  Valor Inicial 5 30 – 5 = 25 20 + 10 = 30 5 x 4 = 20 45 9 = 5 49 – 4 = 45

( ) +5 -10 4 x9 +4

7

2

= 49

Valor final 7 Rpta: El número es 5

4.2.1.2. CANGREJO COMPUESTO: Se utiliza cuando los datos del problema se presentan por medio de fracciones, se trabaja con los valores que le faltan a dichas fracciones para que sean la unidad, siendo estas las operaciones directas las cuales son multiplicaciones, luego se procede al igual que en el caso simple. Esquema: O.D O.I Operaciones Directas

Datos 1. 2. 3. 4. 5. ….

 queda   queda   queda   queda   queda 

15

Operaciones Inversas

V. I Valor Inicial

V. F Valor Final MATEMÁTICO I RAZONAMIENTO

CICLO I – 2011


Pregunta: 2 Maritza gasta de su sueldo: los 2/5 en un par de zapatos, 3/7 de lo que queda en un pantalón y por último gasta los 2/3 de lo que le quedaba en alimentos; quedándole aún 60 soles. ¿Cuál es el sueldo de Maritza? Resolución: Aplicando el método del Cangrejo compuesto, se tiene: Datos O.D O.I

2  queda  5 3  queda  7 2  queda  3

3 5 4 7 1 3

Valor final

5 = 525 3 7 180 x = 315 4 315 x

60 x 3 = 180

60

Rpta: El sueldo de Maritza es S/. 525

4.2.1.3. CANGREJO MEDIANTE CUADROS: Se utiliza generalmente cuando en el problema se presenta juego de naipes, juegos de dados, etc. entre dos a más sujetos, también se presentan variantes de estos tipos de problemas. Se caracteriza porque la recaudación total es constante, no varia. El problema se desarrolla mediante columnas donde siempre se dan los valores finales de cada sujeto con la cual se quedaron luego de las jugadas. La suma horizontal de cada fila siempre es la misma. Esquema: Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3  suma es constante  suma es constante  suma es constante  suma es constante

Valor final

Valor final

Valor final

 suma es constante

Pregunta: 3 Tres jugadoras Andrea, Diana y Natalia acuerdan que después de Unidad Académica de RAZONAMIENTO

16

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica cada partida la perdedora duplicará el dinero de las otras dos. Habiendo perdido cada jugadora una partida en el orden indicado, resulta que la 1ra tiene S/. 24, la 2da S/. 28 y la 3ra S/. 14. ¿Cuánto dinero perdió Andrea? Resolución: Aplicando el método del Cangrejo mediante cuadros, se tiene: Andrea

Diana

Natalia

36

20

10

6

40

12

2

24

2

2

14

2

 suma = 66

20

2

 suma = 66

40

2

 suma = 66

14

 suma = 66

Rpta: Andrea, perdió 36 – 24 = S/. 12

la suma debe ser constante en cada fila

28

4.2.2. MÉTODO DEL ROMBO: Se utiliza cuando se presentan dos incógnitas; un valor numérico producido por la suma de las dos incógnitas (número total de elementos) y un valor unitario de cada una de las incógnitas, además debe tener otro valor numérico producido por el número total de elementos. Esquema: Mayor valor por unidad –

x

Nº total de elementos

–

Recaudación total

Deben ser iguales las unidades

Menor valor por unidad

17


CICLO I – 2011

Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA C (>) –

x

A

–

>=

A xC - B C-D

<=

A xD-B D-C

B

D (<)

Pregunta: 4 Una persona por cada día que trabaja gana 50 soles y el día que no trabaja debe pagar 10 soles de multa. Si después de 30 días recibe 960 soles ¿Cuántos días trabajó?

Resolución: * Aplicando el método del Rombo: S/.50 (ganancia por día que trabaja) (Mayor)

–

x

(total de días) 30 días

–

S/.960 (total de dinero)

– S/.10 * Nº de días que no trabaja =

30x50 960

50 ( 10) * Nº de días que trabaja = 30 – 9 = 21 Rpta: Trabajó: 21 días.

4.2.3. MÉTODO DEL RECTÁNGULO: Unidad Académica de RAZONAMIENTO

18

=9

(multa por día que no trabaja) (Menor)

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Se utiliza cuando intervienen dos cantidades, una de ellas produce un sobrante y la otra un faltante. Esquema: Sobrante (ganancia)

Cant. I

– 5

+

Las unidades del sobrante y el faltante deben ser iguales

Faltante (pérdida)

Cant. II

+ Datos que falta =

Los datos que falta representa: Costo por unidad, también número de personas, objetos, etc.

– 5

Nota: Si ambas cantidades producen sobrantes o faltantes diferentes se toma la diferencia de ellos, y se divide con la diferencia de las cantidades para hallar el dato que falta. A

B

DATO QUE FALTA

=

B– C A–D

– 5

– C

D

v C–B c DATO QUE FALTA = D–A

Pregunta: 5 Si 5 palomas se posan en cada poste faltarían 3 postes, pero si se posaran 2 palomas en cada poste sobrarán 48 palomas ¿Cuál es la cantidad de palomas? Resolución * Aplicando el método del Rectángulo, se tiene: 3(5) (sobrante)

5 – 2

Número de palomas

– 48 (sobrante) 19


Centro de Estudios Preuniversitarios de la U.N.ICA * Luego: Nº postes =

48 15

=

CICLO I – 2011

33

= 11 5 2 3 * Hallando el total de palomas: 5(11) + 15 = 70 Rpta: Hay 70 palomas 4.2.4. MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA: Se utiliza cuando se presentan varias equivalencias (igualdades), se coloca uno debajo de la otra cuidando que las unidades no se repitan en la columna; si esto sucede se intercambia la igualdad. Luego el resultado es otra nueva equivalencia, siendo esta la multiplicación de la primera columna igual a la multiplicación de la segunda columna. Esquema: Columna. I

Columna II

A B C

B C X

Luego: (A)(B)(C) = (B)(C)(X) Pregunta: 6 En un poblado de la sierra, donde se practica el trueque, por 27 camotes dan 18 yucas, por 18 tomates dan 12 cebollas, por 36 ajos dan 12 camotes, por 27 tomates se recibe 6 yucas ¿Cuántas cebollas darán por 9 ajos? Resolución: * Aplicando el método de la Regla conjunta, se tiene: Columna (1) Columna (2) “X” cebollas < > 9 ajos 36 ajos < > 12 camotes 27 camotes < > 18 yucas 6 yucas < > 27 tomates 18 tomates < > 12 cebollas Luego: X(36)(27)(6)(18) = (9)(12)(18)(27)(12) Rpta: Por 9 ajos darán 6 cebollas.


20


PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 04 1.

Si en un zoológico, entre todos los leones y loros se podían contar 30 ojos y 44 patas, entonces, el número de alas que se pueden contar, es: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 4 x 15 (Total de animales)

(patas del león) –

–

44 patas

2 (patas del loro)

2.

Resolución: Aplicando el método del rombo, sabiendo que del dato del problema, podemos deducir que hay 15 animales en total, entonces: Nº de loros =

15x4

44

=8 4 2  Nº de alas = 2 (8) = 16 Entonces, se cuentan 16 alas.

Rpta. E

Un peón trabaja en una obra durante 30 días, al principio se le pagaba 22 soles diarios y después 25.20 soles diarios. Si por los 30 días se le pagó 698.40 soles, entonces, el tiempo que transcurrió desde el inicio del trabajo hasta cuando se le aumentó el jornal, fue: A) 18 d B) 15 d C) 19 d D) 21 d E) 16 d Resolución: Aplicando el método del Rombo, se tiene: Nº de días que ganaba 22 soles al principio =

30x25.20 25.20

698.40

=

22

57.60

= 18

3.2

S/. 25.20 (después) x (Total de días) 30

– –

S/. 698.40

S/. 22 (al principio)

 Se le aumentó el jornal al cabo de 18 días de iniciado el trabajo. 3.

Rpta. A

Si un jugador hizo 3 apuestas, de las cuales; en la 1ra. duplicó su dinero y gastó 30 soles, en la 2da. Triplicó su dinero y gastó 54 soles, en la 3ra. Cuadriplicó su dinero 21


CICLO I – 2011


y gastó 72 soles, quedándole al final 48 soles. Entonces el dinero que tenía al principio dicho jugador, era: A) S/. 27 B) S/. 30 C) S/.25 D) S/. 31 E) S/. 29 Resolución Aplicando el método del Cangrejo simple, se tiene: O.D O.I Operaciones Directas Operaciones Inversas x2 -30 x3 - 54 x4 -72

58 2 = 29 28 + 30 = 58 84 3 = 28 30 + 54 = 84 120 4 = 30 48 + 72 = 120

Valor final

48

Tenía inicialmente 29 soles. 4.

Rpta. E

Una empresa comercial desea repartir 5 galones de pintura a cada una de las casas de una quinta; si así lo hace, le estarían sobrando 10 galones, pero si entrega 8 galones a cada una, le faltarían 14 galones, entonces, el número de casas y la cantidad de galones que se dispone, es: A) 8; 90 B) 6; 20 C) 8; 50 D) 7; 32 E) 8; 20 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo, se tiene: 5 10 (sobrante) –

Número de casas

14 (faltante)

8 Luego: Nº casas =

+

24 10 14 = =8 3 8 5

 cantidad de galones: 5(8) + 10 = 50 Entonces, hay 8 casas y 50 galones 5.

Rpta. C

En el “campo ferial” de Nasca, los jueves suelen realizar intercambios, si por 2 ajos dan una cebolla, por 4 tomates una lechuga, por 2 cebollas un tomate, 2 lechugas cuestan 8 soles, entonces, el costo de 12 ajos más una cebolla, es: A) S/. 3.00 B) S/. 1.80 C) S/. 3.50 D) S/. 3.60 E) S/. 2.50


22

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica Resolución: Aplicando el método de la Regla conjunta, ordenamos los intercambios: Columna (1) Columna (2)

Luego:

2 ajos < > 1 cebolla 4 tomates < > 1 lechuga 2 cebollas < > 1 tomate 2 lechugas < > S/. 8 S/. X < > 12 ajos (2)(4)(2)(2)(X) = (1)(1)(8)(12)

Entonces, 12 ajos cuestan S/. 3.  2 ajos cuestan S/. 0.5 Y como 2 ajos equivalen a una cebolla, entonces 1 cebolla cuesta S/. 0.5. Por lo tanto 12 ajos más una cebolla cuestan S/. 3.5 Entonces, el costo de 12 ajos más una cebolla es de S/. 3.5 Rpta. C 6.

Héctor sale con su enamorada y sus cuñados a la Feria Internacional de la Vendimia. Observa que si saca entradas de S/. 30, le faltaría para dos de ellos; por lo que decide sacar entradas de S/. 10, de esta manera entran todos y aún le sobra S/. 100. El número de cuñados que tiene y el total de dinero que disponía Héctor, eran: A) 3; S/.120 B) 4; S/.140 C) 5; S/.180 D) 6; S/.180 E) 8; S/.180 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo, se tiene: S/ 60 (falta) S/ 30 –

Número de personas

S/ 10 Luego: Nº personas =

+ S/ 100 (sobra)

60 100 160 = = 8  son 6 cuñados 30 10 20

 Total de dinero: S/.10(8) + S/.100 = S/. 180 Entonces, Héctor tiene 6 cuñados y S/. 180. 7.

Rpta. D

Un niño ha pensado un número en el cual él realiza las siguientes operaciones consecutivas: le agrega 2, luego lo multiplica por cuatro, enseguida le resta 4; a este resultado le extrae la raíz cuadrada; luego lo divide entre 2; y por último, le quita uno, obteniendo como resultado final uno. Dicho número, es: A) 2 B) 4 C) 3 D) 5 E) 6

23


CICLO I – 2011


Resolución: O.D O.I Operaciones Directas Operaciones Inversas +2 x4 -4

5–2 =3 20 4 = 5 16 + 4 = 20

2 -1

4 2x2 1+1

2

Valor final

1

Dicho número es 3 8.

= 16 =4 =2

Rpta. C

Si se posaran 3 aves en cada poste, sobrarían 4 postes; pero si se posara un ave en cada poste, sobrarían 6 aves, entonces, la cantidad de postes, es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo, se tiene: 12 (falta) 3 –

Número de postes

6 (sobra)

1 Luego: Nº postes =

12

6

3 1 9.

+

=

18 =9 2

Rpta. D

Si se forman filas de 7 niños sobran 5 , pero faltarían 7 niños para formar 3 filas más de 6 niños, entonces, el número de niños, es: A) 47 B) 48 C) 49 D) 50 E) 46 Resolución: Aplicando el método del Rectángulo, se tiene: 5 (sobra) 7 –

Número de filas

6 Unidad Académica de RAZONAMIENTO

– 11(sobra) 24


Luego: Nº filas =

11 5 6 = =6 7 6 1

Entonces la cantidad de niños es: 7(6) + 5 = 47

Rpta. A

10. A una función musical concurrieron 500 estudiantes y se recaudó S/. 860. Si los boletos de platea costaron S/. 1.50 y los de Mezanine S/. 2, entonces el número de boletos de cada clase que se vendieron, fue: A) 300 y 150 B) 280 y 220 C) 220 y 180 D) 280 y 150 E) 120 y 80 Resolución: Aplicando el método del Rombo, sabiendo que del dato del problema, hay 500 estudiantes en total, entonces: S/. 2 (mezanine) x

–

(Total de est.) 500

S/. 860

–

S/. 1.50 (platea)

Nº de boletos que se vendieron de platea =

500x2

860

=

140

= 280 2 1.50 0.5  Nº de boletos que se vendieron de mezanine es: 500 – 280 = 220 Se vendieron 280 boletos de platea y 220 de mezanine.

Rpta. B

PREGUNTAS PROPUESTAS N° 04 Nivel Básico 1.

Si subo una escalera de 3 en 3, doy 4 pasos más que subiendo de 5 en 5. Entonces el número de escalones que tiene la escalera, es: A) 30 B) 60 C) 100 D) 120 E) 90

2.

A cierto número de personas se les iba a dar S/. 35 a cada uno, pero uno de ellos renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 42. El número de personas que había inicialmente, es: A) 4 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6 25



CICLO I – 2011

3.

A una reunión asistieron 120 personas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres, entonces el número de mujeres que hay en total, es: A) 26 B) 37 C) 83 D) 91 E) 73

4.

Fidel gasta de su sueldo los 2/3 en un par de zapatos, más 2/7 de lo que le queda en un pantalón y por último gasta los 3/5 del nuevo resto en alimentos, quedándole aún 300 soles. Entonces el sueldo de Fidel, es: A) 3501 B) 3510 C) 3150 D) 3050 E) 3250

5.

En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. Si un conejo cuesta 30 soles, entonces 4 gallinas cuestan: A) 28 B) 36 C) 42 D) 54 E) 62

6.

Dos amigos jugaron 25 partidas de casino, acordando que por cada partida el perdedor entrega 10 soles. Si al final Adolfo ha ganado 130 soles, entonces, el número de partidas que perdió Miguel, fueron: A) 17 B) 7 C) 18 D) 6 E) 19

7.

Para cancelar una deuda de 1390 soles se usó billetes de 20 soles y 50 soles, en total 35 billetes. El número de billetes de 50 soles, fueron: A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

8.

César vende la docena de huevos rosados a S/. 36 y la de huevos blancos a S/. 24, y por 25 huevos obtiene S/. 624. Si por cada dos docenas que vende le obsequian un huevo blanco; entonces el número de huevos rosados, es: A) 144 B) 120 C) 160 D) 124 E) 116

9.

Si cada uno de los 10 niños que asistieron a una fiesta come al menos 5 caramelos, entonces ¿cuál es el número de caramelos que como mínimo se repartieron, si hubo solo 4 niños que comieron el mismo número de caramelos; todos los demás comieron cantidades diferente? A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 10. Un matrimonio dispone de 32 soles para ir al cine con sus hijos. Para comprar entradas de 5 soles les faltaría dinero y si adquieren las de 4 soles les sobrarían dinero. El número de hijos que tiene el matrimonio, es: A) 5 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 Nivel Intermedio 11. Se lanzan seis flechas al disco que se muestra. El puntaje que se puede obtener, suponiendo que todas las flechas caen dentro del disco, es: 16; 19; 24; 31; 38; 41; 44 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3

5 7

12. Se lanzan cuatro dados y se observa que las caras superiores suman 17. Las 26 Unidad Académica de RAZONAMIENTO

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica caras que están contra el piso, suman: A) 10 B) 11 C) 12

D) 15

E) Más de 13

13. Una persona cada día que trabaja ahorra 4 soles; en cambio el día que no labora gasta 2 soles. Si durante 10 días ha ahorrado 22 soles, entonces, el número de días que trabajo, es: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) Más de 8 14. Los hijos de Hitarina desean hacerle un regalo. Si cada uno da 20 soles sobrarían 28 soles y si cada uno da 15 soles sobrarían 15 soles. El número de hijos que tiene Hitarina, es: A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) Más de 5 15. En una fiesta hay 60 personas entre damas y caballeros. Si por cada 5 caballeros hay 2 damas y si se retiran 10 parejas, entonces, el número de damas que quedan en la fiesta, es: A) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) 14 16. En un corral hay gallinas, conejos y animales raros llamados fujís de cinco patas cada uno. Por cada 5 gallinas hay 4 conejos y por cada 5 conejos hay 2 fujís. Si en total hay 600 patas, entonces el número de fujís que hay, es: A) 16 B) 24 C) 32 D) 40 E) 48 17. En una urna hay 160 bolas, por cada 3 bolas blancas hay 20 negras y 17 rojas. El número de bolas negras, es: A) 12 B) 80 C) 68 D) 48 E) 64 18. Los gastos de 15 excursionista ascienden a 3750 soles los que deben ser pagados por partes iguales; pero algunos no pudieron pagar por lo que los restantes abonaron 125 soles más. Entonces no pudieron pagar: A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 8

19. Cada día Massiel para ir de su casa a la fiscalía gasta 20 soles y de regreso 40 soles. Si ya gastó 920 soles; entonces se encuentra, en: A) No se sabe B) En la fiscalía C) En su casa D) A la mitad del camino a su casa E) No se puede determinar 20. Un grupo de amigos van al estadio y sucede lo siguiente: para entrar todos a preferencia (40 soles entrada) faltaría dinero para 3 de ellos, para entrar todos a popular (30 soles entrada) tendrían para una entrada más. El número de amigos, es: A) 10 B) 12 C) 20 D) 15 E) 18 27



CICLO I – 2011

Nivel Avanzado 21. Juan tenía 120 fichas¸ unas rojas y las otras azules, si pierde 4 de cada color entonces el triple del número de fichas azules equivaldría el número de fichas rojas. El número de fichas rojas que tenía, es: A) 58 B) 68 C) 78 D) 88 E)98 22. Un espectáculo público cubre sus gastos con entradas de 30 adultos más 70 niños o de 42 adultos más 18 niños. Si entraron solo niños, entonces, el número de entradas con que cubrirán los gastos, es: A) 216 B) 200 C) 160 D) 178 E) 232 23. En una joyería: 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata; 9 de plata equivalen a 2 de diamantes y 5 de diamantes a 30 de acero. Si por 6 soles me dan 2 cadenas de acero´, entonces, el número de cadenas de oro que me darán por 120 soles, es: A) 10 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 24. De una combi bajan en cada paradero, la tercera parte de los pasajeros que habían más 8 pasajeros. Si después de tres paraderos la combi se quedó sin pasajeros, entonces, el número de pasajeros que había inicialmente, era: A) 53 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 25. Alejandro gasta su dinero: el primer día gasta un tercio de lo que tenía, más 4 soles; el segundo día gasta 2/5 del resto, más 5 soles; el tercer día 3/7 del nuevo resto, más 2 soles. Si al final se quedó con 2 soles, entonces inicialmente tenía: A) S/. 20 B) S/. 24 C) S/. 30 D) S/. 36 E) S/. 48 26. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por tercera y cuarta vez, hasta que le quedó sólo 8 soles. El dinero que perdió, fue: A) 80 B) 150 C) 64 D) 120 E) 128 27. Tres amigos juegan tres apuestas entre sí, con la condición de que el que pierde duplique el dinero de los demás. Si cada uno pierde una apuesta y al final terminan con S/. 48, S/. 56, y S/. 28, entonces, lo que tenían al inicio, fueron: A) 20,40 y 72 B) 20,40 y 62 C) 80, 30 y 12 D) 72,40 y 20 E) 62, 45 y 25 28. Un auto debe recorrer 10 Km. Si lleva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado, entonces, la distancia que recorrió cada llanta, fue: A) 2 Km B) 2,5 C) 8 D) 10 E) 6

29. Cuando se hizo la conducción del agua a un cierto pueblo, correspondía a cada 28 Unidad Académica de RAZONAMIENTO

Universidad Nacional “San Luis Gonzaga” de Ica habitante 60 litros por día. Hoy ha aumentado el pueblo en 40 habitantes y corresponde a cada uno dos litros menos. El número de habitantes que tiene actualmente el referido pueblo, es: A) 1200 B) 1160 C) 1300 D) 1130 E) 1480 30. Una guarnición de 3000 hombres tienen provisiones para 70 días, al terminar el día 22, salen 600 hombres. El tiempo que podrá durar las provisiones al resto de la guarnición, es: A) 48 B) 50 C) 56 D) 58 E) 60

AUTOEVALUACIÓN Nº 04 1.

Si a un número, luego de sumarle 1, extraerle la raíz cuadrada, multiplicar por 11, dividir por 2, restarle 5 y finalmente dividir por 2, se obtiene 3, entonces éste número, es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2.

En un aula de inicial hay 50 mesas circulares de 3 y 4 patas. Si en total hay 180 patas. ¿Cuántas mesas de 3 patas hay? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3.

Un padre desea repartir sus caballos a sus hijos, dando al primero los 2/3 de lo que tiene menos 7 caballos, al segundo los 2/3 de lo que queda, al tercero le da 1/3 del resto más un caballo, y al cuarto los 2/3 de los restantes, quedándose él con un caballo. El número de caballos que tiene el padre, es: A) 27 B) 30 C) 33 D) 36 E) 39

4.

Ricardo quiere ir de paseo y para esto rompe su alcancía, en la que tiene monedas de S/ 2.00 y s/ 5.00 nuevos soles. Si cuenta 40 monedas y tiene un total de S/164.00 nuevos soles, el número de monedas de S/. 5.00 nuevos soles que tiene Ricardo, son: A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30

5.

En un examen de 80 preguntas tomado en la Facultad de Medicina Humana, una alumna respondió 3/4 de ellas, obteniendo 100 puntos. Si cada pregunta bien contestada vale 3 puntos, por cada pregunta que tiene errada le quitan 1 punto, y las preguntas en blanco no tienen valor, entonces el número de preguntas correctamente contestadas por dicha alumna, es: A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

6.

La Universidad San Luis Gonzaga de Ica tiene comprado cierta cantidad de computadoras para repartirla en cada una de sus facultades. Si entregan 20 computadoras sobrarían 100 y si entregan 30 computadoras, faltarían 700 computadoras ¿De cuántas computadoras dispone la Universidad San Luis Gonzaga de Ica y cuál es la cantidad de facultades? A) 1600 y 50 B) 1650 y 55 C) 1700 y 80 D) 1750 y 80 E) 1800 y 95 29



CICLO I – 2011

7.

José invita a sus amigas al cine. Al sacar los boletos observa que si saca las entradas de S/ 5.00 nuevos soles la faltaría para comprar el boleto para él, y si compra el de S/. 3.00 nuevo soles le sobraría S/. 3.00 nuevo soles .Si A es la cantidad de dinero que tiene José, y B es el número de amigas, el valor de A – B, es: A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

8.

Se acerca el cumpleaños de Massiel y sus hijos desean comprarle un regalo. Sacando cuentas se percatan que si cada uno diera 20 soles sobrarían 28 soles y si cada uno diera 15 soles sobrarían 3 soles. ¿Cuántos hijos tiene Massiel? A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 2

9.

A un baile asistieron 60 personas, entre damas y caballeros, existiendo 3 caballeros por cada 2 damas, si se retiraron 10 parejas, entonces el número de damas que se quedaron, fue: A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

10. En un examen de admisión, la prueba tiene 100 preguntas, y por cada respuesta correcta se asigna un punto y por cada incorrecta se tiene un puntaje en contra de un cuarto de punto. Si en dicha prueba, obtuve 50 puntos; habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas, entonces el número de preguntas erradas que tuve, fue: A) 60 B) 50 C) 45 D) 40 E) 30 11. Cada día que trabajo ahorro 4 soles; en cambio el día que no laboro gasto 2 soles. Si durante 10 días he ahorrado 22 soles, los días que no trabajé, fueron: A) 6 B) 7 C) 5 D) 3 E) 4 12. Jeddy vende naranjas de la siguiente manera: cada 3/4 de hora vendió los tres cuartos de naranjas que tenía en esa hora y media naranja más, quedándose al final de 180 minutos únicamente con 2 naranjas. La suma de las cifras de la cantidad de naranjas que vendió esa mañana, es: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

NOTA: La teoría de esta Unidad Nº 04 ha sido revisada, y las PREGUNTAS DE APLICACIÓN Nº 04 y las PREGUNTAS PROPUESTAS Nº 04, han sido redactadas y corregidas por el Ing. Roberto Cuba Acasiete, Docente del CEPU-UNICA.


30

Modulo-raz-matematico-III-y-IV Induccion y Deduccion Metodo Del Cangrejo y Rombo y Mas

Recommend Documents