5TO AÑO - GUIA Nº2 - INDUCCION Y DEDUCCION

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PARROQUIAL Secundaria

SAN JOSÉ OBRERO

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - 5°

Lic. Maritza Lizeth Salazar

Vega.

CUADRADOS MÁGICOS Existe un libro chino muy antiguo llamado Yih King. Nadie sabe quién lo escribió. En el libro se cuenta la historia de una gran tortuga que apareció un día en el río Amarillo. En el dorso de su caparazón había extrañas marcas. Las marcas eran puntos que indicaban los números del 1 al 9. Estaban dispuestos de tal forma que, no importaba en que dirección sumaran los números, la respuesta era siempre 15. Era un cuadrado mágico. Supongamos ahora que tenemos un tablero cuadrado que comprende 5 casillas por lado o sea 25 casillas en total; inscribamos en cada casilla uno de los números 1, 2, 3, … 25, de forma que la suma de los números de una línea cualquiera, la de los números de una columna cualquiera o de una de las dos diagonales sean iguales. Un cuadrado así, se denomina cuadrado mágico de 5º orden (es un cuadrado de orden impar, puesto que 5 es un número impar),de forma general un cuadrado mágico de “n” casillas por línea comprenderá “n” casillas en total, y se llamará par o impar según la paridad de “n” ; en cada casilla estará (una sola vez) uno de los números de la sucesión 1, 2, 3, …. n. La construcción de un cuadrado mágico es un problema teórico bastante difícil, los primeros estudios se remontan al bizantino Emanuel Moschopoulos en el siglo XIII, Damos, aquí, el método dado por Bachet de Meziriac en 1612, en su libro; problemas placenteros y deleitables , este método es sólo válido para un cuadrado de orden impar (que supondremos de 5 casillas por línea, para simplificar la explicación). 1. Dibujar el cuadrado, trazando líneas paralelas a los lados. 2. Alargar las paralelas más allá de cada lado, y construir así, fuera del cuadrado unos pequeños cuadrados semejantes a los primeros y que vayan decreciendo siempre en número de dos hasta que terminen en un solo cuadradito de arriba” (ver la figura). 3. Inscribir la cifra 1 en “el cuadradito de arriba” después en diagonal inscribir los números en su orden natural: 1, 2, 3, 4, ….. Se sitúan así dentro del gran cuadrado leyéndolos línea a línea los números 11, 7, 3 para la primera línea (separados por dos casillas blancas). Los números 12 y 8 para la segunda línea, etc. 4. Para terminar pasamos los números que “rebasan”, dentro del cuadrado grande según lo siguiente : los de arriba van abajo, los de abajo van arriba, los de la derecha van a la izquierda y los de la izquierda van a la derecha, señalando que hay que llevar el número que se halla fuera del cuadrado a la misma fila donde se encuentra tantos lugares más adelante como unidades hay en el lado del cuadrado. En nuestro ejemplo , la cifra 1 debe bajarse 5 casillas puesto que el cuadrado tiene un lado de 5 unidades.

El número secreto en un cuadrado mágico de orden impar es el del centro. Multiplica este número por cinco para obtener los totales de las líneas. En este cuadrado mágico dicho total es 65



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Vega.

INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN Inducción

¿Cuántos palitos de fósforos conforman el siguiente castillo?.

Veamos las siguientes situaciones: Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre. 1.

1 29 30

2

3

28 1

2

3

28 29 30 Solución .-

¿Cómo resuelvo este problema?

Entonces aplicamos inducción, analizando los 3 casos más simples que se puedan encontrar.

En este capítulo analizaremos formas de solución para problemas aparentemente complicados (como el anterior) pero que con un poco de habilidad e intuición llegaremos a soluciones rápidas; haciendo uso de métodos de inducción y deducción.

Caso 1 : Nº de palitos 3 ⇒ 2 1

-1

2

Caso 2 :

¡¡Entonces analicemos juntos lo que estos métodos implican!! I.

2

8 ⇒

2

-1

RAZONAMIENTO INDUCTIVO 1

Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión (caso general). Casos Particulares

CASO GENERAL (conclusión)

2

Caso 3 :

15 ⇒

2

-1


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Vega. 1

2

(333 …. 334)2 = ……………….. ⇛ Suma de cifras = ………………….⇨ 101 cifras ………………………

3

En el problema :

∴ Suma de cifras = 2

1

2

3

-1=

¡No olvides! Es muy importante el análisis de lo particular a lo general, recuerda la clave radica en darle una forma más cómoda a los resultados de los casos que se van distribuyendo ..

28 29

∴ Nº de palitos = 3. Calcular el valor de : Generalmente es necesario y suficiente analizar convenientemente 3 casos particulares, y sencillos, manteniendo la forma inicial (general) en que se presenta el ejercicio … ¡No lo olvides!

M=

97.98.99.100 + 1 Rpta : …………………………

4. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse 40 personas asistentes a una reunión?.

2. Calcular el valor de “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (333 …. 334)2 101 cifras

Rpta : …………………………

5. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en la siguiente figura?.

Solución .(34)2 = 1156⇛Suma de cifras = 13 ⇨ 100 bolitas

6(2) + 1 2 cifras (334)2 = ……….

⇛Suma de cifras=……. ⇨

Rpta : …………………………

………… 3 cifras 2

(3334)

6. ¿Cuántos asteriscos hay en total? =………… ⇛Suma de cifras =

…….. ⇨ ……… 4 cifras

F1 F2 F3

✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸ ✸

F50 ✸ ✸ ✸

✸ ✸ ✸



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Vega. Solución .Rpta : …………………………

7. Según el esquema mostrado, ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “TRILCE”?. T

Para resolver este problema hay que conocer a que es igual la suma de los “n” primeros números impares (caso general) y luego verificar el valor de “n” cuando la suma sea igual a 1600 (caso particular). 

R R L L L L C C C C C



E E E E E E



8. Dado el esquema : :

S3

# (3)2

1+3+5 = 9 3 términos de términos

Rpta : …………………………

S2

(2)2

2 términos de términos

I I I

S1 :

1 + 3 = 4

1+3+5+7 =

(

4 términos términos

S4

:

# )2 # de

En general ¿Cuántas bolitas habrá en S12? Rpta : …………………………

II.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Caso particular : n2 = 1600 ………… (Dato) ∴ n = ………………. 10.

Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares método por el cual se procede de manera lógica de lo general (universal) a lo particular.

Calcular el resultado de operar : M = (a – n) (b – n) (c – n) (d – n) …………………. (x – n) Rpta : …………………………

• Caso Gener

Deducción

Casos Particulares

•

Analicemos los siguientes casos : 9.

La suma de los “n” primeros números impares es 1600 por lo tanto, ¿Cuál es el valor de “n”?.

11.

Como habrás notado es necesario recordar criterios básicos (de las operaciones). La deducción e inducción se relacionan y se complementan. ¡No lo olvides!

Calcular :

24 cifras



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Vega. E=

35 3535 353535 353535  35 + + +  + 12 1212 121212 121212  12 24 cifras

Rpta : …………………………

12.

Hallar : a + b ; si : (1 . 3 . 5 . 7 . 9 … )2 =  ab Rpta : …………………………

13. Hallar

las tres últimas cifras de “n”,

si :

n . 18 = ……………………… 8428 ……………………… (1) n . 28 = ……………………… 0888 ……………………… (2)

1. Relacionar correctamente : a) Inducción ( ) De lo general a lo particular b) Deducción ( ) De lo particular a lo general. ( ) Se analizan 3 casos sencillos ( ) Se relacionan y complementan. ( ) Es necesario redactar criterios básicos. ( ) Tenemos que darle una forma cómoda a los resultados. 2. Calcular la suma de cifras del resultado: E = (9999 ….. 999)2

Rpta : …………………………

14.

a) 250 d) 329

Hallar la suma de cifras de : P = (1040 + 1) (1040 – 1) Rpta : …………………………

15.

suma

sumeno

+

amor

b) 243 e) 789

c) 246

3. Calcular : (135)2 + (85)2 + (65)2 + (145)2 a) 12167 d) 65200

Si : (+)(+) = (-) (-) Hallar : K =

27 cifras

b) 10090 e) 12850

c) 50700

4. Calcular la suma de términos de la fíla 23.

moreno

Rpta : …………………………

TAREA DOMICILIARIA

a) 10521 b) 12562 c) 10648 d) 12167 e) 13824

Fila 1

1

Fila 2

3 5

Fila 3

7 9 11

Fila 4

13 15 17 19

5. Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto. Ya te has dado cuenta que no hay problema complicado o difícil,

sólo

tienes

que

ayudarte con el uso de la inducción y deducción

P = (22000 + 1) (21999 + 1) (21998 + 1) (21997 + 1) … (22 + 1) a) 7 d) 4

b) 6 e) 2

c) 5



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Vega. 6. Calcular la cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangular. a) 4950 b) 5000 c) 4850 d) 5050 e) 5151

c) 304 98 99 100

a) 6 d) 4

b) 9 e) 3

c) 5

999 …. 992 x 999 … 998

a) 421 d) 398

40 cifras

b) 375 e) 367

Hallar :

4

c) 413

3(2 2 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1) + 1

a) 25 d) 16

b) 21 e) 12

c) 18

¿Cuántos puntos en contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias? 10.

a) 1305 b)

1218

c)

1425

d)

1740

e)

1521

I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O

13. Calcular “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (333 …. 333)2 200 cifras

8. Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar :

40 cifras

d) 272 e) 282

P = (10 + 1) (102 + 3) (103 + 5) ….. (10500 + 999) + 4

1 2 3

28 29 30

11. A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza y una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total?. a) 1000

Según el esquema mostrado. ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “inducción”?.

b) 256 1 2 3

e) 100100

12.

a) 325

7. En qué cifra termina :

9.

d) 101100

b) 10100

c) 10500

a) 900 1800 d) 2700

b) 1200 e) 9990

c)


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Vega. 14. Si : a + b + c + d + e +f = 27 Hallar la suma de cifras del resultado de sumar los números. abcdef efabcd

Práctica Calificada N° 03 INDUCCIÓN – DEDUCCIÓN SUCESIONES

, bcdefa , fabcde , cdefab , y defabc

a) 65 d) 72

b) 48 e) 54

ALUMNO(A): ____________________________________ P. 27/ 04/ 2012-04

c) 56

15. Cuántos palitos hay en la siguiente figura. a) 720

1. Calcular “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (666 …. 666)2 250 cifras

b) 610 c) 850

a) 9000 d) 2700

d) 960

b) 2250 e) 9990

c) 1800

e) 560 1

2

19

20

2.

A una hoja cuadrada y cuadriculada con 80 cuadraditos por lado, se le traza y una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total?. a) 1600 d) 6840

b) 6100 e) 6480

3. Calcular la suma de resultado de efectuar :

c) 6400

cifras

del

999 …. 992 x 999 … 998 40 cifras 40 cifras a) 421 d) 398 4.

b) 375 e) 367

¿Cuántas “cerillas” torremostrada?.

c) 358

conforman

la



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Vega.

1 2 3

a) 20 d) 200

5.

a) 2 4 d) 5

18 19 20 21

4

b) 21 e) 420

c) 210

Concéntrate

Hallar el término que sigue de la siguiente secuencia:

3 9 3 5 18 ; 1; ; ; ; ; ... 5 7 2 3 10

a) 3/4

b) 9/4

d) 5/7

e) 23 /13

c) 21/11

6. ¿Qué letra continúa?

D; T ; C ; N ; ... c) Q

b) C e) O

a) T d) D

7. Calcule la suma del vigésimo término y el número de términos.

- 8 ; - 5 ; - 2 ; ... ; 79 a) 81 d) 80

b) 79 e) 78

c) 90

8. ¿Qué número ocupa el décimo quinto lugar en la sucesión?

5 , 11 , 19 , 29 ,.... a) 279 c) 275 d) 271 9.

Hallar "2k + 1" progresión:

b)

277

e) 273 de

modo

que

la

(8k + 4) , (6k − 2) , (2k − 7) Sea aritmética.

b) 3 e) 7 Y resuelve ¡Tú puedes!

c)


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Vega.



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