INDUCCION MATEMATICA Y RECURSIVIDAD Para probar que una proposición de la forma es verdadera, donde es un predicado sobre el conjunto U, hay que demostrar que para cada la proposición es verdadera. Si el conjunto U es infinito lo anterior no se puede hacer de manera directa elemento por elemento. En esta sección mostraremos para el caso en que U =N, un método de demostración que nos permita concluir de manera indirecta que es verdadera. Este método es llamado el principio de inducción matemática. Supongamos que de alguna forma hemos demostrado para un predicado (B) (P) Si
sobre N las siguientes dos afirmaciones:
es verdadera es verdadera entonces
es verdadera, para cualquier
¿De que manera podemos utilizar este hecho para probar que Solución: Haciendo
.
es verdadera?
en (P)
(1) Si
es verdadera, entonces
es verdadera.
(2) Si
es verdadera, entonces
es verdadera.
(3) Si
es verdadera, entonces
es verdadera.
(4) Si
es verdadera, entonces
es verdadera.
Veamos la forma como se utilizan estas implicaciones para demostrar que verdadera: Se sabe, por (B), que
o
tanto, por (1), concluimos que Como
o deducimos que o
es verdadera. Por lo
es verdadera. es verdadera, utilizando (2),
es verdadera. Ahora que sabemos que
usando (3), podemos concluir que
es verdadera.
es
es verdadera,
Al ser
o que
verdadera, aplicando (4), tenemos
es verdadera.
Es decir, a partir de (B) usando sucesivamente (P), hemos probado que son verdaderas. Haciendo lo anterior para cualquier concluimos que la sucesión infinita de proposiciones, verdaderas.
son
El siguiente principio lógico formaliza lo anterior. Principio de inducción matemática. Sea las siguientes propiedades (B)
un predicado sobre N.Si
tiene
es verdadera.
(P) Para cualquier
,Si
esverdadera,entonces
es verdadera entonces es verdadera.
Utilizando la notación del cálculo de predicados el anterior principio puede ser expresado como: . “El principio de inducción matemática se basa en el hecho de que después de cada entero k hay un siguiente k+1y que todo entero n puede ser alcanzado mediante un número finito de pasos, a partir de 1”. El principio de inducción matemática nos ofrece la siguiente técnica de demostración. Método de demostración usando inducción matemática. Sea predicado sobre N. Para demostrar que la proposición suficiente demostrar las dos afirmaciones: (B)
un es verdadera, es
es verdadera.
(P) Para cualquier
, si
es verdadera entonces
es verdadera.
Nos referimos a (B), es decir al hecho que es verdadera, como el paso básico de la inducción y nos referimos a (P)como el paso inductivo. En general, el paso básico es sencillo de verificar; para demostrar el paso inductivo se supone que, es verdadera, y se demuestra que a
hipótesis de inducción.
Ejemplo: Progresiones aritméticas
es verdadera. En este caso llamamos
Para todo valor de n, la suma 1+2+3+…+n de los n primeros números naturales es igual a
.
Consideremos la proposición
Demostremos por inducción que (B) Se deberá probar que
es verdadera.
es verdadera, como se observa
es evidentemente verdadero (P) Supóngase que se sabe que supone para algún fijo,
Ahora se debe probar que
es verdadera para algún
. Esto es, se
es verdadera, es decir, la igualdad
Hipótesis
Otra forma de probar (1.1) es escribiendo la suma o o Al sumar miembro a miembro las dos igualdades obtenemos:
de dos maneras:
Puesto que en el lado izquierdo de esta igualdad hay n sumandos en total tenemos que,
, es decir,
De (1.1) se puede decir la formula de la suma de los cualquier progresión aritmética,
primeros términos de
Demostración:
Para el caso
y
, se obtiene la misma formula (1.1).
Ejemplo: Progresiones geométricas Otra formula importante es la suma de cualquier progresión geométrica:
Por ejemplo para
y
se obtiene la formula:
Demostremos por inducción que para todo n se tiene
(B) Veamos que para n=1,
es verdadera.
. (P) Supongamos que para algún
, la siguiente igualdad es verdadera.
Demostremos que la proposición
es verdadera
Otra forma de probar la formula (1.2) es como sigue. Sea
Multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por q :
Restando miembro a miembro las dos igualdades anteriores:
Ejemplo: Suma de los n primeros cuadrados. La suma de los n primeros cuadrados se puede hallar usando la formula:
La prueba por inducción es como sigue. Sea,
(B) (p1) es verdadera, ya que
(P) Supongamos que p(n) es verdadera, es decir, supongamos que
Demostremos que
2) es verdadera
Otra forma de probar (1.3) es haciendo uso del producto notable:
de donde obtenemos
Esta igualdad es valida para cualquierk. En particular para k=1,2,3,…n respectivamente, obtenemos las igualdades:
Si escribimos
Y hacemos uso de la formula
Al sumar miembro a miembro las igualdades anteriores obtenemos:
Realizando operaciones algebraicas tenemos:
De forma análoga a la anterior pueden hallarse formulas para potencias superiores de los entero,
,donde k es un entero positivo
Ejemplo: Suma de los n primeros números impares. Probaremos por inducción que: , es verdadera para todo
.
(B) De la igualdad
Concluimos que (p1) es verdadera (P) supongamos que p(n) es verdadera, es decir, supongamos que la siguiente igualdad se cumple:
Necesitamos mostrar que, es verdadera.
De la misma forma como se verificó (1.1) sin utilizar inducción matemática, podemos encontrar otra manera de probar la fórmula para la suma de los n primeros números impares. Ejemplo: Suma de los n primeros números pares haciendo uso de las formulas:
Podemos hallar una fórmula para la suma de los primeros n números pares. Puesto que, la primera igualdad se cumple para todo n, podemos reemplazar n por 2n para obtener
Restando miembro a miembro las igualdades,
Obtenemos la formula para la suma de los n primeros números pares:
Ejemplo: Demostraremos que es divisible por 3 cuando n es un entero positivo, como un ejemplo del uso de inducción matemática para probar propiedades que involucran divisibilidad de enteros. Para realizar la prueba denotemos
(B) (p1) es verdadera, puesto que
es divisible por 3
(P) Supongamos que p(n) es verdadera, es decir,
Debemos probar que p(n+1) es verdadera, en otras palabras, tenemos que demostrar que
Al efectuar operaciones algebraicas tenemos que:
Además, como
, entonces
.Por lo tanto,
,donde, Esto significa que es divisible por 3. Los siguiente ejemplos muestran como se puede usar inducción matemática para demostrar propiedades sobre desigualdades. Ejemplo:
, para todo
.
Para demostrar esta desigualdad por inducción llamemos
(B) Como
, (p1) es verdadera
(P) Supongamos que p(n) es verdadera. Es decir, supongamos que . Tenemos que probar que es verdadera. Comenzando por la hipótesis de inducción. La demostración consiste en adicionar 1 a ambos lados de , y luego tener en cuenta que la desigualdad verdadera, para cualquier :
Por la propiedad transitiva de la relación
es
concluimos que
De esta forma hemos mostrado que p(n+1) es verdadera, basados en que p(n) es verdadera. El principio de inducción matemática es igualmente valido si el paso básico es un número entero m distinto de 1. Es decir, m puede ser positivo, cero, o positivo. En este caso, el principio de inducción matemática se enuncia de la siguiente forma. Sea
y p(n) un predicado con las siguientes propiedades
(B) p(m) es verdadera.
(P)Para cualquier
, Si p(n) es verdadera entonces p(n+1) es verdadera,
entonces
es verdadera.
Por lo tanto para demostrar que una proposición de la forma verdadera, utilizando el principio de inducción matemática, sólo es necesario demostrar que p(m) es verdadera (el paso básico) y que la implicación es verdadera para
es
, (el paso inductivo).
TALLER DE INDUCCION MATEMATICA Y RECURSIVIDAD 1. Demuestre mediante inducción matematica: n(n 1)( 2n 1)(3n 2 3n 1) a. i 30 i 1 n
n
b.
4
i(2 ) 2 (n 1)2 i
n 1
i 1
c. Si n>3, entonces, 2 n n! 2. Para n Z ; defina la suma Sn mediante la formula: Sn
1 2 3 ( n 1) n ´ 2! 3! 4! n! ( n 1)!
a. Verifique que para n=1 el valor de la sumatoria es ½, para n=2 el valor de la sumatoria es 5/6. b. Calcular para n=3,4, y , 5 c. Con base en los resultados conjeture la formula general para Sn. d. Verifique la conjetura hecha en la parte c y demuestrela por inducción matematica.
3. Consideremos las siguientes 6 ecuaciones: 11 1 4 (1 2) 1 4 9 1 2 3 1 4 9 16 (1 2 3 4) 1 4 9 16 25 1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 36 (1 2 3 4 5 6)
Conjeture la formula general sugerida por estas seis ecuaciones y demuestre su conjetura.
4. De una definición recursiva para cada una de las siguientes sucesiones de enteros C1, C2, C3,…. Donde para cada n Z tenemos: a. C n 7 n
n e. C n 7
b. C n 3n 7
f. C n 11n 8
c. C n 7
2 g. C n n
d. C n (n 1)(n 2)
n h. C n 2 ( 1)
5. a. Determine una relación de recurrencia para el numero de cadenas de n bits que contienen dos ceros Consecutivos. b. ¿Cuales son las condiciones iniciales? c. ¿Cuántas cadenas de siete bits contienen dos ceros consecutivos? 6. Determine una relación de recurrencia para el numero de cadenas de n bits que no contienen tres ceros Consecutivos. b. ¿Cuales son las condiciones iniciales? c. ¿Cuántas cadenas de siete bits no contienen tres ceros consecutivos? a.
7.
a. Determine una relación de recurrencia para el numero de cadenas de longitud n sobre el alfabeto = {0, 1, 2} que no contienen dos ceros consecutivos. b. ¿Cuales son las condiciones iniciales? c. ¿Cuántas cadenas de longitud 6 no contienen dos ceros consecutivos? 8. Supongamos que cada pareja de una variedad de conejos producen dos nuevas parejas de conejos al cabo De un mes y seis nuevas parejas de conejos a los dos meses y cada mes a partir de entonces. Si inicialmente Hay una pareja de conejos encuentre una relación de recurrencia para el numero de parejas de conejos que Habrá transcurridos n meses, suponiendo que ningún conejo muere.
Demostrar que
Demostración
Sea
Debemos comprobar si la afirmación es cierta para parte desde .
, ya que la sumatoria
, entonces
. y la afirmación es cierta para
.
Supongamos ahora, que la afirmación es cierta para un que sucede para .
Por propiedad de las sumatorias tenemos que
fijo, y veamos
como la afirmación es cierta para
, tenemos que
ordenando
como
es distinto de
, pordemos simplificar y
que es lo que queríamos demostrar. Así, la afirmación también es verdadera para Luego, la afirmación es cierta para todo
. .
