UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 100404 – 100404 – PROGRAMACION PROGRAMACION LINEAL
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE CIENCIAS BASICAS
AUTOR DEL MATERIAL GLORIA LUCIA GUZMAN ARAGON
100404 – PROGRAMACION LINEAL EDGAR MAURICIO ALBA VALCARCEL (Director Nacional)
LUIS GERMANA HUERFANO Acreditador
SOGAMOSO Junio de 2010
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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado en el año 2004 por La Esp. Gloria lucia Guzmán Aragón, docente de la UNAD, y ubicado inicialmente en el CEAD de Neiva, ella es Licenciada en Matemáticas y Física, Especialista en matemáticas Avanzadas, Especialista en Docencia Universitaria, Magister en Dirección y Gestión de Recursos Humanos, Maestrante en educación con especialidad en ONLINE, se ha desempeñado como docente de la UNAD desde el 2004 y como tutor desde 1984 hasta la fecha, además ha sido catedrático de diversas Universidades de Cundinamarca y del Huila, ha desempeñado cargos de docencia administrativa como Rectora de varios colegios, Coordinadora Académica, Asesora pedagógica y en la actualidad es investigadora principal de los grupos Delta 515 y generación 21. El presente módulo ha tenido cinco actualizaciones, desarrolladas por la docente Gloria Guzmán en los años 2006, 2007, 2008 y 2009 con los aportes de la red de tutores que ella dirige y en 2010 por Edgar Mauricio Alba V. tutor del Cead Sogamoso y en equipo con el grupo gr upo de tutores del curso. Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes: Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan apo yan el uso que hace de su obra). No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor Nada en esta menoscaba o restringe los derechos d erechos morales del autor. •
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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO
El presente módulo fue diseñado en el año 2004 por La Esp. Gloria lucia Guzmán Aragón, docente de la UNAD, y ubicado inicialmente en el CEAD de Neiva, ella es Licenciada en Matemáticas y Física, Especialista en matemáticas Avanzadas, Especialista en Docencia Universitaria, Magister en Dirección y Gestión de Recursos Humanos, Maestrante en educación con especialidad en ONLINE, se ha desempeñado como docente de la UNAD desde el 2004 y como tutor desde 1984 hasta la fecha, además ha sido catedrático de diversas Universidades de Cundinamarca y del Huila, ha desempeñado cargos de docencia administrativa como Rectora de varios colegios, Coordinadora Académica, Asesora pedagógica y en la actualidad es investigadora principal de los grupos Delta 515 y generación 21. El presente módulo ha tenido cinco actualizaciones, desarrolladas por la docente Gloria Guzmán en los años 2006, 2007, 2008 y 2009 con los aportes de la red de tutores que ella dirige y en 2010 por Edgar Mauricio Alba V. tutor del Cead Sogamoso y en equipo con el grupo gr upo de tutores del curso. Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las condiciones siguientes: Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan apo yan el uso que hace de su obra). No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra derivada a partir de esta obra. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor Nada en esta menoscaba o restringe los derechos d erechos morales del autor. •
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INDICE DE CONTENIDOS
INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN INTENSIONALIDADES FORMATIVAS a. PROPOSITOS OBJETIVOS Objetivo general Objetivos específicos: b. METAS c. COMPETENCIAS UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPITULO 1 LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Introducción Lección 1 Antecedentes y origen de la I.O I.O Lección 2 ¿Qué es es la Investigación Investigación de operaciones? operaciones? Lección 3 Metodología de la I.O. Lección 4 Componentes de investigación investigación de Operaciones Operaciones
CAPITULO 2 CONJUNTOS CONCAVOS Y CONVEXOS Introducción Lección 5 Concepto de conjunto convexo Lección 6 Propiedades de los conjuntos conjuntos convexos
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Lección 7 Ejercicios de aplicación Lección 8 Funciones cóncavas convexas CAPITULO 3. CONCEPTUALIZACION DE LA PROGRAMACION LINEAL Introducción Lección 9 Concepto Lección 10 Formulación del problema de programación lineal Lección 11 Modelo general de programación lineal Lección 12 Otras formas de modelos de P.L. Leccion 13 Terminología y conceptos basicos UNIDAD 2 METODOS DE SOLUCION CAPITULO 1 METODO GRAFICO Lección 14 Lección 15 Lección 16 Lección 17 Leccion 18
Introducción método Grafico Definición Concepto general del Método Grafico Pasos para solución mediante el método grafico Ejemplos
CAPITULO 2 METODO ALGEBRAICO Introducción Lección 19 Pasos para utilizar un método Algebraico Lección 20 Ejemplos desarrollados Lección 21 Taller CAPITULO 3 METODO SIMPLEX Introducción Lección 22 Pasos para desarrollar el método Simplex
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Lección 23 Lección 24 Lección 25 Lección 26 Lección 27 Lección 28 Lección 29 Lección 30 Lección 31
Dualidad Comparación entre el método simplex y dual – simplex Análisis de sensibilidad Taller del método Simplex Taller Dualidad Degeneración Problemas de programación lineal con variables acotadas Algoritmo de descomposición La Programación Lineal basada en los computa
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INTRODUCCIÓN
El curso de Programación Lineal – Componente de Formación Disciplinar y tiene carácter básico en los programas de Ingeniería que oferta la UNAD, además es de tipo teórico. Tiene como objetivo Formular, obtener y analizar soluciones a problemas de programación lineal, como apoyo a la industria y la ingeniería, optimizando los recursos disponibles y facilitando la toma de decisiones. El curso tiene 2 créditos académicos los cuales comprenden el estudio independiente y el acompañamiento tutorial, con el propósito de:
Comprender los elementos teóricos que sustentan la programación lineal. Identificar y utilizar los métodos de programación lineal para la solución de problemas. Identificar y manejar los algoritmos utilizados en la optimización de funciones lineales sujetas a restricción de tipo general. Identificar diferencias entre la formulación de modelos y técnicas de solución.
Este curso está compuesto por dos Unidades didácticas a saber: Unidad 1. Introducción a la Programación Lineal donde se pretende que el estudiante valore la importancia que tiene la investigación de operaciones en proporcionar herramientas para la construcción de modelos matemáticos en particular los de programación lineal, además de la conceptualización y las diferentes formas de presentación de un problema de programación lineal. Unidad 2. Métodos de Solución se plantean los diferentes métodos empleados para solucionar problemas a nivel gráfico, algebraico, simplex, con los que se pretende que el estudiante posea herramientas para que busque la solución
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óptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral.
El curso es de carácter teórico y la metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. Por tal razón es importante planificar el proceso de:
Estudio independiente: Se desarrolla a través del trabajo personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Acompañamiento tutorial: Corresponde al acompañamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación.
El Sistema de evaluación del curso es a través de la evaluación formativa, que constituye diferentes formas de comprobar el avance en el auto aprendizaje del curso. En este sentido se realizarán tres tipos de evaluación alternativas y complementarias, estas son:
Autoevaluación: evaluación que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje. Coevaluación: Se realiza a través de los grupos colaborativos, y pretende la socialización de los resultados del trabajo personal. Heteroevaluación: Es la valoración que realiza el tutor.
El sistema de interactividades vincula a lo9s actores del proceso mediante diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes hacia el logro de los objetivos que se pretenden, de la siguiente manera:
Tutor-estudiante: a trasvés del acompañamiento individual Estudiante-estudiante: mediante la participación activa en los grupos colaborativos de aprendizaje. Estudiantes-Tutor: a través del acompañamiento a los pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Tutor-Estudiantes: mediante el acompañamiento en el grupo de curso. Estudiantes-Estudiantes: en los procesos de socialización que se realizan en el grupo de curso.
Para el desarrollo del curso es importante el papel que juega los recursos tecnológicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocución durante todo el proceso de diálogo docente-estudiante
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Los materiales impresos en papel, se han convertido en el principal soporte para favorecer los procesos de aprendizaje autodirigido. Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interacción y la producción de nuevas dinámicas educativas. Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de encuentros presenciales directos o de encuentros mediados ( Chat, audio conferencias, videoconferencias, tutorías telefónicas) Sistemas de interactividades diferidas: permite la comunicación en forma diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje, mediante la utilización de correo electrónico, foros grupos de discusión, entre otros.
El acceso a documentos adquiere una dimensión de suma importancia en tanto la información sobre el tema exige conocimientos y planteamientos preliminares, por tal razón es imprescindible el recurso a diversas fuentes documentales y el acceso a diversos medios como son: bibliotecas electrónicas, hemerotecas digitales o impresas, sitios Web especializados. En la medida en que usted adquiera el rol de estudiante, interiorice y aplique los puntos abordados anteriormente, podrá obtener los logros propuestos en este curso, así como un aprestamiento en los enfoques y métodos de la programación lineal, mediante la estrategia de la educación a distancia.
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JUSTIFICACIÓN
No es del todo fácil definir qué es la investigación de operaciones. Existen diversas definiciones en textos, pero se podría decir que la investigación de operaciones es un enfoque científico interdisciplinario para la solución de problemas, que envuelve la interacción compleja, dinámica y sujetiva de hombres, métodos y sistemas, a los cuales, en algunos casos no se les puede proporcionar una solución exacta por medio de los procedimientos matemáticos o por medio de técnicas de ensayo y error. Utilizando modelos matemáticos como un recurso primario, la metodología de la investigación de operaciones está diseñada para cuantificar y acotar estos problemas dentro de un marco de restricciones específicas, medidas, objetivos y variables, de tal forma que se busquen controles óptimos de operación, decisiones, niveles y soluciones. La programación matemática es quizás el área más desarrollada de la investigación de operaciones. Cubre tópicos tales como: Programación lineal, programación de redes y programación entera, además de otras variantes de métodos de programación tales como programación de metas, en este curso nos ocuparemos de la programación lineal y sus diversos métodos y técnicas de solución para una adecuada toma de decisión. Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles. La decisión óptima es la que Satisface un objetivo de administración, sujeto a varias restricciones. Las competencias que promueve el curso y que son necesarias son: COGNITIVA: Capacidad de apropiarse de un conjunto de conocimientos a través del desarrollo, monitoreo y aplicación de procesos de pensamiento. COMUNICATIVA: Capacidad de comprender, expresar mensajes y de desarrollar procesos argumentativos, apoyados por la asertividad en las relaciones interpersonales. CONTEXTUAL: Capacidad de ubicar el conocimiento en el contexto científico, político, cultural, tecnológico, social y en el plano nacional e internacional, así
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como la disposición y capacidad para aplicarlo en procesos de transformación que inciden en la calidad de vida de la población.
VALORATIVA: Capacidad de apropiarse de valores como el respeto a la vida. La dignidad humana, la convivencia la solidaridad, la tolerancia y la libertad que orientan las acciones del individuo como persona, como ser social y como profesional. Para el logro de estas competencias, es necesario que se planifique de manera responsable el proceso de auto estudio por parte del estudiante si se quieren lograr resultados positivos en el aprendizaje de los conceptos incluidos en el curso, este proceso se puede planificar de la siguiente manera:
Auto estudio: Estudio individual del material sugerido y consulta de otras fuentes ( documentales, consulta en biblioteca, Internet, bibliografía recomendada, consulta a bases de datos documentales, entre otros) Trabajo en grupo: Creación de grupos de estudio o discusión con el propósi8to de preparar consultas estructuradas al docente tutor. Consultas al tutor de las inquietudes surgidas en el punto anterior. Retroalimentación: Una vez el tutor haya resuelto las inquietudes, estudia nuevamente el tema, teniendo en cuenta las sugerencias o respuestas dadas por el tutor. Procesos de evaluación: Una vez se halla realizado el proceso de retroalimentación, desarrolle los diferentes momentos de evaluación propuesta para el curso como son la auto evaluación, la coevaluación y la heteroevaluación.
De esta manera se pretende alcanzar los objetivos propuestos del curso y de la programación lineal en la solución de problemas de aplicación.
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INTENSIONALIDADES FORMATIVAS
PROPOSITOS
Construir modelos de programación lineal que permita describir una situación dada en forma apropiada y así manipular los datos en forma ordenada y eficiente. Apropiarse de los diferentes métodos y técnicas para resolver problemas de programación lineal. Operar las soluciones planteadas a través de los diferentes métodos y tener en cuenta las condiciones variables, es decir realizar el análisis de sensibilidad correspondiente. Permitir que los estudiantes resuelvan problemas del campo de la ciencia, la tecnología e ingeniería, con los conocimientos interiorizados del curso académico en mención. Fomentar en el estudiante características que deben identificarlo en su desempeño y actuación profesional de la Ingeniería.
OBJETIVO GENERAL Formular, obtener y analizar soluciones a problemas de programación lineal, como apoyo a la industria y la ingeniería, optimizando los recursos disponibles y facilitando la toma de decisiones. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Comprender los elementos teóricos que sustentan la programación lineal. Identificar y utilizar los métodos de programación lineal para la solución de problemas. Identificar y manejar los algoritmos utilizados en la optimización de funciones lineales sujetas a restricción de tipo general. Identificar diferencias entre la formulación de modelos y técnicas de solución.
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METAS Al terminar el curso de programación lineal, el estudiante:
Identificará conceptos fundamentales de la programación lineal Reconocerá los diversos métodos y técnicas para solucionar problemas de programación lineal. Valorará la importancia que tiene la programación lineal en situaciones organizacionales para las empresas en el mundo moderno. Planteará y resolverá problemas en diferentes campos del saber, haciendo un proceso de abstracción de escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las temáticas estudiadas.
COMPETENCIAS
El estudiante comprende e interpreta adecuadamente los conceptos de programación lineal, como función objetivo, restricciones, variables, optimalidad, sensibilidad. El estudiante identifica y maneja los diferentes métodos y técnicas para solucionar problemas que involucran la programación lineal. El estudiante aprende a compartir los conocimientos adquiridos con sus compañeros, con su tutor y en general con la comunidad educativa. El estudiante adquiere destreza en el manejo de las TIC, en su formación académica, por medio del uso de medios y mediaciones que la UNAD le ofrece.
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UNIDAD UNO INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
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CAPITULO 1 LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
INTRODUCCION LECCION 1 ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA I.O. LECCION 2 ¿QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES? LECCION 3 METODOLOGÍA DE LA I.O. LECCION 4 COMPONENTES DE LA I.O.
INTRODUCCION Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la división de trabajo y la separación de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta revolución creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los componentes a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigación de Operaciones. La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema, tal es el caso de los modelos de Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad. Actualmente la investigación de operaciones a incursionado en la administración con muy buenos resultados en este campo pues el ambiente de negocios al que se está sometido y los múltiples cambios que ellos generan, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, la abrumadora y acelerada era de la nueva tecnología y la internacionalización creciente, son razones suficientes para desarrollar modelos que optimicen los resultados en estos campos del saber
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LECCION 1 ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación de operaciones se origino en la segunda guerra mundial como una necesidad de dar solución a los problemas de carácter militar, los primeros interesados en estos aspectos fueron los británicos y los americanos quienes asignaron esta tarea a un grupos de físicos, matemáticos, biólogos, estadísticos, psicólogos entre otros para emplear el método científico en la solución de problemas estratégicos y tácticos. Después de la guerra atrajo la atención de la industria que buscaba soluciones a problemas de complejidad y especialización ascendente en las organizaciones. Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgían en áreas tales como: la programación de refinerías de petróleo, la distribución de productos, la planeación de productos, el estudio de merc ados y la planeación de inversiones. Un factor importante de la implantación de la Investigación de Operaciones en este periodo es el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Muchos de los científicos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un ejemplo sobresaliente es el método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigación de Operaciones como la Programación Lineal, la Programación Dinámica, Líneas de Espera y Teoría de Inventarios fueron desarrolladas al final de los años 50. Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolución de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran número de cálculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigación de Operaciones. En la década de los 80 con la invención de computadoras personales cada vez más rápidas y acompañadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigación de Operaciones esto puso la técnica al alcance de muchas personas. Hoy en día se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigación de Operaciones.
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LECCION 2. QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. Algunos aspectos relacionados con la definición: •
•
•
Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.
La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima ) para el problema bajo consideración. Un enfoque de la investigación de operaciones abarca:
Construir un modelo simbólico que por lo general es un modelo matemático, pretende extraer los elementos fundamentales de un problema de decisión que es complejo e incierto de tal manera que pueda optimizar una solución viable para la consecución de los objetivos de acuerdo al analista. Examinar y analizar las relaciones que determinan las consecuencias de la decisión realizada y comparar el método relativo de acciones alternas con los objetivos de quien va a tomar la decisión. Desarrollar una técnica de decisión que comprenda teorías matemáticas y que conduzca a la optimización de los resultados.
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La investigación de operaciones se aplica tanto a problemas tácticos como estratégicos de una organización. Los primeros tienen que ver con actividades diarias y los segundos tienen una orientación y una planeación organizada generalmente se apoyan en operaciones de carácter indirecto. LECCION 3. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES El uso de métodos cuantitativos para solucionar problemas, generalmente implica a mucha gente de toda la organización. Los individuos de un equipo de proyectos proporcionan información de sus áreas respectivas respecto a diversos aspectos del problema. El proceso de aplicar métodos cuantitativos requiere de una sucesión sistemática de pasos: Definición del problema
Formulación de un modelo matemático.
Resolución del modelo matemático.
Modelo modificado
Solución
NO
¿Es válida la
solución?
Implementación
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LECCION 4. COMPONENTES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
4.1. DEFINICION Y FORMULACION DEL PROBLEMA:
Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.
4.2 FORMULACION DE UN MODELO MATEMATICO: La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.
4.3 OBTENCION DE UNA SOLUCION APARTIR DEL MODELO Depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos : a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo . Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución.
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4.4 PRUEBA DEL MODELO: Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar.
4.5 VALIDACION DEL MODELO: Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible.
4.6 ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES DE LA SOLUCION: Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
4.7 IMPLEMENTACION DE LA SOLUCION: El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.
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CAPITULO DOS CONJUNTOS CONVAVOS Y CONVEXOS
INTRODUCCIÓN LECCION 5. CONCEPTO DE CONJUNTO CONVEXO LECCION 6. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS LECCION 7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN LECCION 8. FUNCIONES CONCAVAS CONVEXAS
. INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo podrá valorar la importancia que tiene el análisis de la convexidad de conjuntos así como los diferentes tipos de convexidad o concavidad de funciones toda vez que ellos constituyen los instrumentos fundamentales para el desarrollo de la Teoría de la Optimización Matemática. En primera instancia abordaremos el concepto de conjuntos convexos, su definición y propiedades fundamentales para luego analizar el comportamiento de las combinaciones lineales convexas. LECCION 5. CONCEPTO DE CONJUNTO CONVEXO.
Para analizar el concepto de conjunto convexo vamos a plantear el siguiente ejemplo
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. EJEMPLO. Consideremos los siguientes CONJUNTOS:
CONJUNTO P
P
CONJUNTO Q
Q
CONJUNTO R
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R
CONJUNTO T.
T
Definimos la idea de conjunto convexo como aquel conjunto que contiene cualquier segmento que une dos puntos del conjunto . Así por ejemplo según esta idea GRAFICA, el conjunto P
•
x P •
y
Obsérvese que para cualquier par de puntos (x, y) que estén dentro del conjunto P, el segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto, en consecuencia P sería un conjunto convexo.
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Consideremos el conjunto Q:
Q x
y
Obsérvese que para cualquier par de puntos (x,y) que estén dentro del conjunto Q, el segmento que une dichos puntos no queda dentro del conjunto, en consecuencia Q no sería un conjunto convexo. Consideremos el conjunto R:
•
x
R
•
y
En este caso para cualquier par de puntos (x,y) de esta recta R, el segmento que los une queda dentro del conjunto, en consecuencia R es un conjunto convexo. Por último sea el conjunto T:
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x
T y
Es claro gráficamente que para cualquier par de puntos x, y, el segmento que los une está totalmente contenido en dicho conjunto. Consideremos un último ejemplo en el plano, sea el conjunto T
• •
•
•
T (conjunto poligonal delimitado por los puntos (0,0),(5,3),(0,8),(7,4),(6,3),(7,1 ) Se puede ver que existen segmentos, como el indicado en la figura que se sale del conjunto por lo que este conjunto no sería CONVEXO.
• •
•
•
T
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EJERCICIOS Determinar si los siguientes conjuntos son o no convexos, dibujándoles previamente: a. Conjunto poligonal determinado por los puntos (0,1),(1,0),(1,3),(0,1) b. Conjunto poligonal determinado por los puntos (1,1),(2,1),(2,3),(-1,2), 1,0),(1,1)
SOLUCION: a. es convexo
b. no es convexo
Podemos definir conjuntos en el plano de una manera más compleja:
(-
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Así por ejemplo si consideramos el conjunto
¿Qué hacemos para dibujar este conjunto?
Primero dibujamos la curva que delimita el conjunto. Para delimitar la región del plano basta considerar un punto que no esté en la curva, por ejemplo (1,2) si ese punto satisface la ecuación entonces ese es el recinto a considerar, en nuestro caso como 2 sí es mayor o igual que 1. Entonces el recinto es
Obsérvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estén en S3 el segmento que los une está claramente c ontenido en S3.
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¿Qué sucedería si no podemos representar gráficamente el conjunto, como sucede con conjuntos de dimensión superior a 3? En esos casos es necesario dar una definición analítica de conjunto convexo, para lo cual efectuamos la siguiente definición:
CONJUNTO CONVEXO: Diremos que un subconjunto S є R n
puntos
es convexo si para cualquier par de
en S, es decir que si llamamos segmento de extremos
S es convexo si para cualesquiera
,
¿Cuál es el significado de z= λ x+(1- λ )y? Vamos a verlo en un ejemplo:
EJEMPLO: Estudiar analíticamente si el conjunto anterior
es un conjunto convexo. Para ello consideremos dos vectores de S 3 (x1,y1), (x2,y2),
está
y para cualquier λ є [0,1] se cumple que
por
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Habría que comprobar si b(x 1,y1)+(1-b)(x2,y2) es un vector que pertenece a S 3 para cualquier valor de b en [0,1] Es decir tendremos que comprobar si .bx1+(1-b)x2 , by1+(1-b)y2 Como x1,y1 entonces bx1,by1 (pues b es positivo o cero) Y como x2,y2 entonces (1-b)x2,(1-b)y2 Sumando ambas expresiones se obtiene la desigualdad por tanto S 3 es un conjunto convexo.
Y comprobando si el vector
Que una vez simplificado nos da
Y al expandirle
Si es un vector del conjunto S 3.
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EJERCICIO Estudiar de forma gráfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos. a. b. SOLUCIONES: a. Lo hacemos gráficamente, representando el conjunto. 2 2 Para ello dibujamos los dos límites del conjunto x +y =1 y x2+y2=4 (circunferencias de radio 1 y radio 2) Definimos las expresiones
Y luego las representamos como aparece.
¿cuál es el recinto? Ahora debemos determinar en que lado de las circunferencias se sitúa el conjunto.
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Tomemos un punto fuera de ambas circunferencias, por ejemplo (0,0),. Y comprobemos si se verifica la primera desigualdad para ese punto
Efectivamente no se verifica, por tanto el conjunto se sitúa hacia fuera de la circunferencia. Por otro lado
Es cierta por tanto el conjunto es la corona circular situada entre la circunferencia de radio 1 y la circunferencia radio 2. ¿Este conjunto es convexo? Claramente se ve que no, tomemos dos puntos cualesquiera por ejemplo (1,1/2) y (2,0), ambos pertenecen al conjunto, sin embargo el segmento que los une como se ve no pertenecen al conjunto.
b. Consideremos las expresiones que definen los límites del conjunto:
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Representemos ambas rectas:
Para saber cuál es exactamente el recinto, tomemos un punto que no esté en dichas rectas, por ejemplo (0,0). Comprobemos a qué lado de la recta x+y=1 se encuentra nuestro conjunto x+y=1, comprobamos para (0,0), y observamos que 0+0= 1 verifica la ecuación, por tanto el recinto x+y=1 está al lado del (0,0).
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Y por otro lado para determinar el conjunto x-y=1 comprobamos que 0-0= 1 por tanto también es de la recta hacia el (0,0), con lo cual tendremos que el recinto será:
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LECCION 6. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS. Vamos a estudiar qué sucede con la UNIÓN y la INTERSECCIÓN de conjuntos convexos. Comencemos con la INTERSECCIÓN de conjuntos convexos. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS . EJEMPLO. Sean los siguientes conjuntos convexos:
Si los representamos tendremos:
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¿Cuál es la intersección de estos dos conjuntos? Se puede ver que la intersección es el conjunto
Se puede ver gráficamente que es un conjunto convexo. Y este ejemplo se puede generalizar con la siguiente propiedad: LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS ES UN CONJUNTO CONVEXO. UNIÓN DE CONJUNTOS CONVEXOS.
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A partir de los conjuntos convexos anteriores S y T, veamos cuál es el conjunto unión.
Este conjunto no es convexo pues si considero dos puntos del conjunto por ejemplo (1.04, -1.57) y (2.43,-0.3) Si representamos el segmento que une dichos puntos editando
Obtenemos
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Segmento que no está totalmente contenido en el conjunto. Luego: LA UNION DE CONJUNTOS CONVEXOS EN GENERAL NO ES UN CONVEXO
LECCION 7. EJERCICIOS DE APLICACION CONJUNTOS CONCAVOS Y CONVEXOS Representar los siguientes conjuntos de R 2 e indicar cuáles son convexos: a. b. c. 2 d. R e. f. g. h. i. Probar que todo subespacio vectorial de R 3 es un conjunto convexo.
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LECCION 8. FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS Las funciones cóncavas y convexas representan un papel fundamental en la Teoría de la Optimización ya que pueden garantizarnos la GLOBALIDAD de los óptimos locales. Por ello vamos a iniciar este apartado introduciendo el concepto de función cóncava y convexa para luego más tarde introducir condiciones que nos permitan reconocer si una función es cóncava o convexa dependiendo de sus propiedades de diferenciabilidad. EJEMPLO. Consideremos la siguiente función:
Si dibujamos esta función y obtenemos
Observemos la gráfica de esta función en el intervalo [0,3 ]
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Podemos ver que en esta gráfica si dibujamos cualquier segmento que una dos puntos de la misma, éste siempre queda por debajo de la gráfica. Por ejemplo, consideremos los puntos
Si dibujamos el segmento que une dichos puntos en la gráfica obtenemos
Qué claramente queda por debajo de la gráfica. Consideremos otros pares de puntos de la gráfica por ejemplo: Al dibujar el segmento que une dichos puntos tenemos:
Consideremos otro par de puntos por ejemplo
Si los dibujamos considerando
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Obtenemos
Se puede observar que para cualquier par de puntos de la gráfica que toman valores en el segmento considerado el segmento que une dichos puntos siempre queda por debajo de la gráfica por ello podemos efectuar la siguiente definición: FUNCIONES ESTRICTAMENTE CONCAVAS Y CONCAVAS DEFINICIÓN: Diremos que una función f es estrictamente cóncava en un conjunto M convexo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica esta estrictamente por debajo de la gráfica. Diremos que una función es CONCAVA (no estricta) si no todas las cuerdas que unen puntos de la gráfica en dicho intervalo quedan estrictamente por debajo. Vamos ahora a introducir el concepto de función CONVEXA. Consideremos el siguiente ejemplo: EJEMPLO. Consideremos la misma función anterior
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pero ahora considerada en que debemos enfocarnos es:
Consideremos ahora nuevamente varios puntos de esta gráfica en dicho intervalo por ejemplo
si dibujamos el segmento que los une por medio de la matriz
se obtiene
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si ahora dibujamos el segmento que une los puntos
Obtendremos
Obsérvese que los segmentos quedan siempre por encima de la gráfica de la función. En estos casos, diremos que la función es convexa en el intervalo dado. Por ello podemos realizar la siguiente definición: FUNCIÓN CONVEXA. DEFINICION: Sea f una función definida en un intervalo de R, diremos que dicha función es convexa en el intervalo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica. Si siempre queda estrictamente por encima decimos que la función es estrictamente c onvexa. EJERCICIO Estudiar el carácter de las siguientes funciones en los recintos que se indican: (a) En toda la recta real:
(b) En toda la recta real:
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( C) En el intervalo (0,1 )
(d) En el intervalo (-1 ,0)
(e) En el recinto (-3 ,0)
(f) En el recinto (0,3 )
SOLUCIONES: a. ESTRICTAMENTE CONVEXA
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b. ESTRICTAMENTE CONVEXA
c. ESTRICTAMENTE CONVEXA
d. ESTRICTAMENTE CONCAVA
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e. estrictamente CONCAVA
f. ESTRICTAMENTE CONVEXA
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CAPITULO 3 CONCEPTUALIZACION DE LA PROGRAMACION LINEAL
Introducción LECCION 9. Concepto LECCION 10. Formulación del problema de programación lineal LECCION 11. Modelo general de programación lineal LECCION 12. Otras formas de modelos de P.L. LECCION 13. Terminología y conceptos básicos INTRODUCCION Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades.
LECCION 9. CONCEPTO El adjetivo lineal significa lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.
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La programación lineal es una técnica de investigación de operaciones para la determinación de la asignación optima de recursos escasos cuando la función objetivo y las restricciones son lineales. Es una manera eficiente de resolver estos problemas cuando se debe hacer una elección de alternativas muy numerosas que no pueden evaluarse intuitivamente por los métodos c onvencionales. onvencionales.
LECCION 10. FORMULACION DEL PROBLEMA PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL 10.1 INTRODUCCION Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z = valor de la medida global de efectividad. Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n). Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en actividad j.
el nivel de
la
bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m). aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la
actividad j.
10.2 ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACION PROGRAMACION LINEAL
1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza. minimiza. 2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse llevars e a cabo en el problema a formular.
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3. Restricciones Estructurales . Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. 4. Condición técnica . Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
LECCION 11. MODELO GENERAL DE PROGRAMACION LINEAL
Formulación de modelos de Programación Lineal. Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil. Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy
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parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será: 3A + 2B = 100 Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación es que se use, cuando mucho , lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad: 3A + 2B ≤ 100
Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como: A ≤ 2B
ó
A - 2B ≤ 0
Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las desigualdades como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que los coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que A sea por lo menos tan grande como B - 2, entonces: A≤B–
2
A – B ≤ -2 Por último B – A ≥ 2
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Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una ecuación. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra. Por ejemplo: B-A≥2
es lo mismo que
B - A + S = 2
En donde S representa la diferencia, o la holgura, entre B - A y 2. S se llama variable de holgura . Por otro lado, se restaría una variable de superávit en el caso siguiente: A - 2B ≤ 0
es lo mismo que
A - 2B -S = 0
Algunos métodos de solución (como el Método Simplex) y la mayoría de los programas de computadora (como el MathProg, que viene en el ORCourseware, que acompaña al libro “Introducción a la Investigación de Operaciones” de los autores Hillier y Lieberman) requieren que todas las
desigualdades se conviertan en igualdades. La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas. Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo . La forma matemática del objetivo se llama función objetivo . Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema.
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Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma: Maximizar
Z = 4A + 6B ó
Minimizar
Z = 2x1 + 5x2
Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de Programación Lineal. FORMA ESTÁNDAR DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Supóngase que existe cualquier número (digamos m ) de recursos limitados de cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n ) de actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números (1, 2, ..., m ) al igual que las actividades (1, 2, ..., n ). Sea x j (una variable de decisión) el nivel de la actividad j , para j = 1, 2, ..., n , y sea Z la medida de efectividad global seleccionada. Sea c j el incremento que resulta en Z por cada incremento unitario en x j (para j = 1, 2, ..., n ). Ahora sea b i la cantidad disponible del recurso i (para i = 1, 2, ..., m ). Por último defínase a ij como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n ). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir valores de x1, x2, ..., xn para: Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + c nxn, sujeto a las restricciones: a11x1 + a12 x2 + ... + a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22 x2 + ... + a 2nxn ≤ b2
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am1x1 + am2 x2 + ... + amnxn ≤ bm x1 ≥ 0,
y
x2 ≥0, ..., xn ≥ 0
Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL. En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los modelos de PL. La función que se desea maximizar, c 1x1 + c2x2 + ... + c nxn, se llama función objetivo . Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como restricciones . Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo a i1 x1 + ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i ) reciben el nombre de restricciones funcionales . De manera parecida, las restricciones x j ≥ 0 se llaman restricciones de no negatividad . Las variables x j son las variables de decisión . Las constantes de entrada, a ij, bi, c j, reciben el nombre de parámetros del modelo . LECCION 12. OTRAS FORMAS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de algunos problemas de programación lineal. Las otras formas legítimas son las siguientes: 1. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo: Minimizar Z = c 1x1 + c2x2 + ... + c nxn, 2. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual: ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ainxn, ³ bi, para algunos valores de i , 3. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación:
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ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ainxn, = bi, para algunos valores de i , 4. Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad: x j no restringida en signo para algunos valores de j . Cualquier problema que incluya una, varias o todas estas formas del modelo anterior también se clasifica como un problema de PL, siempre y cuando éstas sean las únicas formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretación que se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no se aplique, pero independientemente de la interpretación o el contexto, lo único que se necesita es que la formulación matemática del problema se ajuste a las formas permitidas. Se verá que estas otras cuatro formas legales se pueden reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se presentó. Entonces, todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se desea.
FORMULACION ALGEBRAICA: FORMA CANONICA Todo problema de PL puede representarse como:
Max (z) =c1x1+c2x2+...+cnxn sujeto a: a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn ≤ b1 a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn ≤ b2
... am1x1 + am2x2 +...+ amnxn ≤ bm x1, x2, ...,xn ≥ 0
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siendo:
xj:
Nivel de actividad de la variable xj
cj:
Contribución unitaria de xj a función objetivo
aij: Coeficiente técnico, unidades de recurso i que se consumen por unidad de variable j bi:
Cantidad disponible de recurso i
Otra representación: n
M ax (z) c j x j j1
sujeto a : n
a ijx j bi
donde i 1, 2, ... m
j1
x j 0
j 1, 2, ... n
En forma matricial: Max (z) = C x sujeto a: Ax ≤ b x ≥
0
A esta forma se la denomina forma canónica
IMPORTANCIA DE LA FORMA CANONICA
La forma canónica es importante porque todos los desarrollos e interpretaciones económicas del problema pueden referirse a la misma. Es posible transformar un problema de PL a un problema equivalente en forma canónica. Un problema de PL puede consistir en: Buscar un máximo o un mínimo de la función objetivo •
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Restricciones de tipo “≤“, “≥“ e “=“
Variables positivas, negativas o no restringidas en signo Conversión de un problema lineal general a su forma canónica: Cambiar el sentido de la optimización Cambiar el sentido de la desigualdad Cambiar una desigualdad en igualdad •
• • •
Variable de holgura o “slack”
Variable surplus Cambiar igualdades en desigualdades Cambiar variables sin restricción de signo a otras de signo positivo o nulo
• •
LECCION 13. TERMINOLOGIA Y CONCEPTOS BASICOS
Conjunto factible Es el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente todas las restricciones (o “filas”) del problema
Actividades, columnas o variables (xj) Representan los usos alternativos que deben competir entre sí para obtención de los recursos de forma que se optimice la función objetivo
la
Recursos (bi) Son productos, tiempo, etc. Se cuantifican en el término independiente o Right Hand Side (RHS) del problema El conjunto factible de un problema de PL, si existe, es representable mediante un poliedro convexo
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UNIDAD 2 METODOS DE SOLUCION
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CAPITULO 1
LECCION 14. INTRODUCCION METODO GRAFICO LECCION 15. DEFINICION LECCION 16. CONCEPTO GENERAL DEL METODO GRAFICO LECCION 17. PASOS PARA LA SOLUCION MEDIANTE EL METODO GRAFICO LECCION 18. EJEMPLOS
LECCION 14. INTRODUCCION METODO GRAFICO
Antes de entrarnos por completo en los métodos analíticos de la investigación de operaciones es muy conveniente ver un poco acerca de las desigualdades de una ecuación lineal. Por ejemplo tenemos la ecuación
2X + 3Y = 60 en donde X, Y ≥ 0
Es decir que para que se cumpla la igualdad de la ecuación nos tocaría adquirir 15 unidades de X y 10 unidades de Y respectiva mente:
2(15) + 3(10) = 60
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Y la solución se daría por la misma línea recta. Pero por otra parte si en la ecuación no se quiere llegar a la totalidad del resultado se dará la ecuación en una forma diferente llamada inecuación: 2X + 3Y ≤ 60 en donde X, Y ≥ 0
Dándose como solución factible un área sombreada que depende del signo de la desigualdad. Si el signo es el ≤ la s olución será el área inferior esa se sombreará o si por el contrario el sigo es ≥ el área a sombrear será la de todos los puntos por
encima de la línea obtenida.
En la anterior grafica la solución más factible es la de los puntos más cerca del eje X (bajo la recta de la solución lineal ya que la ecuación es precedida por el signo ≤.
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LECCION 15. DEFINICION:
Por definición de algunos libros una desigualdad entre dos variables es una desigualdad que puede escribirse de la forma:
ax + by +c < 0 (o bien ≤ 0, ≥ 0, >0)
En donde a, b, c son constantes mientras que a “y” b son diferentes de cero
En términos geométricos, la solución de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. Observemos a continuación las desigualdades y las regiones descritas por ellas: EJEMPLO 1: Determinar la región descrita por la desigualdad y ≤ 5
Cuando veamos un problema como este no nos asustemos porque el hecho de que no aparezca la x en ningún lugar de la ecuación solo quiere decir que x es cierto en cualquier punto de x. SOLUCION
La región sombreada es la solución factible para la desigualdad planteada.
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EJEMPLO 2: Describir la región definida por la desigualdad: x ≥
-2
EJEMPLO 3: Dando valores a x y y determinamos las rectas con las áreas correspondientes a las desigualdades planteadas. 2x + y > 3 x≥y
y – 1 > 0 Este sistema es equivalente
y > -2x + 3
x =0; y =3 Y=0; x= 3/2
y≤x
x= 0; y= 0
x=1 ; y= 1 y > 1/2
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Obsérvese que se ha escrito cada desigualdad de manera que “y “queda
despejada. Consecuencia las regiones apropiadas con respecto a las rectas correspondientes restaran evidentes. En primer lugar se trazan las rectas
y = -2x + 3, y= x Y y=y
Después se sombra la región que se encuentra simultáneamente por encima de la recta, sobre o por debajo de la segunda de ellas y por encima de la tercera esta región es la solución.
Entonces la solución para el anterior ejercicio seria la región sombreada.
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LECCION 16. CONCEPTO GENERAL DEL METODO GRAFICO
Ahora se considerara la forma en que se pueden resolver problemas de tipo lineal, en donde la función dada se tendrá que maximizar o minimizar. Una función lineal en x y y tiene la forma: ax+by=0
Donde a y b son constantes. También se requerirá que las restricciones correspondientes estén representadas mediante un sistema de desigualdades lineales o ecuaciones en x y en y y que todas las variables sean no negativas.
A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina problema de programación lineal.
La programación lineal fue desarrollada por George B. danzing a fines de la década de 1940 y se utilizo primero en la fuerza aérea de losa estados unidos como auxiliar en la toma de decisiones. En la actualidad tiene amplia aplicación en el análisis industrial y económico.
En un problema de programación lineal a la función que se desea maximizar o minimizar se le denomina función objetivo. Aunque por lo general existe una cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones (a las que se denomina soluciones factibles o puntos factibles), el objetivo consiste en encontrar una de esas soluciones que represente una solución óptima (es decir una solución que del valor máximo o mínimo de la fusión objetivo)
En conclusión con lo que acabamos de revisar en la parte anterior sobre las inecuaciones nos da para definir literalmente el método grafico y el método algebraico dentro del ámbito de la programación lineal.
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Entonces el método grafico en la programación lineal es simplemente sacar de una situación (problema) ecuaciones lineales y convertirlas en desigualdades o inecuaciones para poder graficarlas y así sacar la región mas optima dependiendo del signo de la desigualdad esa área se sombreara y esa será la solución mas optima del problema.
LECCION 17. PASOS PARA LA SOLUCION MEDIANTE EL METODO GRAFICO Para llegar a una solución óptima en el método grafico se requiere seguir con una serie de pasos que podemos dar a continuación:
1. formulación del problema El primer paso para la resolución por método grafico es expresar el problema en términos matemáticos en el formato general de la programación lineal (desigualdades) con un solo fin maximizar la c ontribución a la ganancia. 2. graficar las restricciones El próximo paso de la solución por método grafico es la graficación de las restricciones en el plano cartesiano para establecer todas las posibles soluciones. 3. obtención de la solución optima Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma gráfica de las restricciones. Se graficara siempre la función objetivo del problema y se dará la solución de acuerdo con el símbolo que este presente en las restricción de la función objetivo.
LECCION 18. EJEMPLOS
EJEMPLO: 1
Maximizar la función objetivo:
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Z= 3x + y
Sujeto a las restricciones:
2x + y ≤ 8 2x + 3y ≤ 12
x, y ≥ 0
a continuación graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones así:
2x + y ≤ 8
x=0; y=8
y=0; x=4
2x + 3y ≤ 12
x=0; y=4
Y=0; x=6 x, y ≥ 0
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Se observa que la región factible esta conformada por los puntos A(0,0); D(0,4); B(4,0) y el punto C que es el resultado de la intersección de las 2 inecuaciones cuyo valor aproximadamente en el plano esta dado por las coordenadas (3,2).
Ahora bien el problema solicita la maximización de Z = 3x + y que se obtiene precisamente en el punto C(3,2). EJEMPLO: 2 Minimizar la función objetivo: Z= 2x + 3y Sujeto a las restricciones: x +2y ≥ 10
3x + 2y ≥ 18
x, y ≥ 0
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a continuación graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones así:
x + 2y≥10
x=0; y=5
y=0; x=10
3x + 2y≥18
x=0; y=9
Y=0; x=6 x, y ≥ 0
Región Factible
(4,3)
Se observa que la región factible esta conformada por los puntos (0,9); (4,3); (10,0), donde el punto (4,3) es el resultado de la intersección de las dos ecuaciones dadas como restricciones. Ahora bien el problema solicita la maximización de Z = 3x + y que se obtiene precisamente en el punto C(3,2).
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CAPITULO 2
METODO ALGEBRAICO
INTRODUCCION LECCION 19. PASOS PARA UTILIZAR EN METODO ALGEBRAICO LECCION 20. EJEMPLOS DESARROLLADOS LECCION 21. TALLER
INTRODUCCION
En ocasiones nos encontramos con problemas de índole magnitud, a los cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones. Muchas personas califican al método algebraico, como uno de los métodos más importantes en el campo de la programación lineal. En la actualidad es una herramienta común, que se ha prestado para resolver problemas de gran magnitud; por su simplicidad, sencillez y estilo de uso cientos de empresas, compañías de todo el mundo han ahorrado miles y miles de pesos. En este capítulo se tratara la formulación de problemas utilizando el método algebraico para la solución de problemas de programación lineal. Se hace un enfoque a la variedad de aplicaciones del método para que el estudiante interesado pueda tener una visión y ejercitar sus c onocimientos. El método algebraico contempla en su desarrollo al método grafico y de la misma manera el método grafico no estaría completo sin la rigurosidad del método algebraico pues la apreciación visual que da el grafico en la solución óptima puede estar sujeta a error por parte del analista.
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LECCION 19. PASOS PARA UTILIZAR EN METODO ALGEBRAICO Dado que tenemos un problema de dos variables, podemos graficar las soluciones posibles y comprender algunos puntos interesantes respecto a las relaciones lineales. Veremos la siguiente manera de obtener gráficamente las soluciones al problema planteado y luego veremos como obtenerlas algebraicamente. 1.
Exprésense los datos del problema como una función objetivo y restricciones.
2. Graficar las restricciones. 3. Definir el conjunto factible. 4. Encontrar la solución óptima A continuación se presentan el análisis algebraico y grafico de algunos problemas de programación lineal:
LECCION 20. EJEMPLOS DESARROLLADOS
PROBLEMA 1: Supóngase una compañía fabrica 2 tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de 3 maquinas: A, B y C. un artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante 2 horas, de una 1 en B y una 1 en C, un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. supóngase además que el numero máximo de horas disponible por mes para el uso de las tres maquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de 4000 pesos y de 6000 pesos para los eléctricos. Si la compañía vende todos los artefactos que fábrica, ¿Cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual?
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A
B
C
UTILIDAD
MANUALES(X)
2
1
1
4000
ELECTRICOS(Y)
1
2
1
6000
HORAS DISPONIBLES
180
160
100
SOLUCIÓN:
1. Paso: Planteamos la función objetivo y las restricciones correspondientes:
MAX Z= 4000X + 6000Y
SUJETO A:
2X + Y ≤ 180
X + 2Y ≤ 160
X + Y ≤ 100
2. Paso: Elaboramos el gráfico correspondiente a las restricciones con el fin de precisar la región factible y determinar los puntos que la conforman:
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2X + Y ≤ 180
X=0 Y= 180
Y=0 X= 90
X + 2Y ≤ 160
X + Y ≤ 100
X=0
Y=80
Y=0
X=160
X=0
Y=100
Y=0
X=100
3. Paso: Resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas del punto B y C así:
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Para B: X + 2Y ≤ 160
Para C:
X + Y ≤ 100
2X + Y ≤ 180
X + Y ≤ 100
Y= 60
X
= 80
X= 40
Y
= 20
4. Paso: Con los puntos de la región factible: O(0,0) ; B(40,60) ; C(80,20) ; A(0,80); D(90,0) Maximizamos la función objetivo :
MAX Z = 4000x + 6000 y
(0,0)
4000(0) + 6000(0) = 0
(0,80)
4000(0) + 6000(80) = 480000
(40,60)
4000(40) + 6000(60)= 520000
(90,0)
4000(90) + 6000(0) = 360000
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5. Paso: La solución para el problema está representada por la fabricación de 40 artefactos manuales y 60 artefactos eléctricos generando una máxima utilidad de $ 520.000.
EJEMPLO 2:
Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos, A, B Y C. Las necesidades mínimas son 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. Existen en el mercado dos marcas populares de fertilizante. El llamado crecimiento rápido que cuesta $ 4000 el costal y contienen 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C, y el de crecimiento normal que cuesta $3000 y contiene 2 unidades de cada ingrediente. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene el mínimo de los ingredientes nutritivos que se requieren, ¿cuantos costales de cada marca debe comprar?.
A
B
C
COSTO
CRECI/RAPIDO
3
5
1
4000
CRECI/NORMAL
2
2
2
3000
REQUERIMIENTO
160
200
80
SOLUCIÓN:
1. Paso: Determinamos la función objetivo y sus restricciones: MIN Z= 4000X + 3000Y