Analisis Estructural i - Int. Analisis Matricial Armaduras

Introducción. 1.1.- Importancia El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas discretos. La teoría de las estructuras se basa esencialmente en los fundamentos de la mecánica con lo cual se formulan los distintos elementos estructurales. Las leyes o reglas que definen el equilibrio y la continuidad de una estructura se pueden expresar de distintas maneras, por ejemplo: -) Ecuaciones diferenciales parciales de un medio continuo tridimensional. -) Ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra o a las distintas teorías de vigas. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

1

Importancia El análisis estructural puede abordarse utilizando tres enfoques principalmente: a) Formulaciones tensoriales (mecánica newtoniana o vectorial). b) Formulaciones basadas en los principios de trabajo virtual. c) Formulaciones basadas en la mecánica clásica.

1.2.- Principios Fundamentales Aquí se ve los principios aplicados al medio continuo en los que se fundamenta el análisis de estructuras cuando su comportamiento es elástico, lineal, homogéneo e isotrópico y las deformaciones de los elementos son pequeñas. 1.2.1.-Primer Principio: Continuidad.- En todo elemento o estructura, los desplazamientos deben poder representarse por funciones continuas. En la siguiente figura se representa a una estructura que se encuentra sujeta a una serie de fuerzas externas. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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El vector de desplazamiento debe estar caracterizado por funciones continuas con respecto al sistema coordenado de referencia. El vector de desplazamiento {ū} de una partícula cualquiera P de la estructura que se desplaza a una posición P’, puede expresarse como: z

P’

{ū}=

u P

y

u v w

donde u, v y w son funciones continuas.

x ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Las deformaciones pueden obtenerse directamente si se conocen los desplazamientos. Considérese ahora la barra continua de la siguiente figura. Recordando que para deformaciones pequeñas la relación existente entre la deformación total y la deformación unitaria en una dirección dada puede expresarse como:

Pa

L

P’a

u

 =  / L; u = *x/L

P  P’

∂u =  ∂x L

x

x = ∂u = (∂ )*u ∂x

∂x

ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Generalizando, podemos encontrar las ecuaciones de continuidad, que están definidas por las reacciones existentes entre las deformaciones (axiales y por cortante) y los desplazamientos.

x = ∂u ∂x y = ∂v ∂y z = ∂w ∂z

xy = xy = ∂u + ∂v ∂y ∂x xz = zx = ∂u + ∂w ∂z ∂x yz = zy = ∂v + ∂w ∂z ∂y


5

Las ecuaciones de continuidad pueden expresarse en forma matricial como :

x y z xy xz yz

∂ ∂x 0 0 =

∂ ∂y ∂ ∂z

0

0

∂ ∂y 0

0

∂ ∂x 0 ∂ ∂z

∂ ∂z 0

u v w

∂ ∂x ∂ ∂y


6

De forma más general, las ecuaciones de continuidad se pueden expresar matricialmente como:

e

=

A

u

donde los vectores {e} y {u}, que representan a las deformaciones y los desplazamientos, respectivamente, están relacionados por la matriz [A], que es la matriz de continuidad. 1.2.2.-Segundo Principio: Modelos Constitutivos.- En el análisis de estructuras no se requiere conocer exclusivamente las deformaciones que los distintos elementos estructurales experimentan, sino que en muchas ocasiones se deben conocer, además, los esfuerzos o fuerzas internas a que se ven sujetos. Por lo tanto, es necesario encontrar las relaciones que existen entre las deformaciones de los elementos y los esfuerzos asociados a ellas. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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A las ecuaciones que relacionan a los esfuerzos de un elementos o cuerpo con sus respectivas deformaciones se les denominan relaciones constitutivas, modelos constitutivos e, inclusive, algunos las llaman propiedades del material. Se han propuesto un gran número de modelos constitutivos para el análisis de elementos estructurales, dependiendo de si el comportamiento del material se supone elástico o inelástico, y dentro de este último si el material va estar sujeto a cargas estáticas de corta duración, cargas estáticas de larga duración o cargas dinámicas. Para el presente curso se supondrá para el análisis que los elementos estructurales tienen un comportamiento elástico lineal, por lo cual se puede utilizar la conocida Ley de Hooke. Para esto se estudia la partícula tridimensional que se presenta en la siguiente figura, la cual se encuentra sujeta a un estado de esfuerzos. En su forma más generalizada, la Ley de Hooke relaciona a las componentes de esfuerzo y deformación de un material elástico lineal en función de 81 términos, los cuales se ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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reducen a 21 términos independientes, si suponemos que el material a utilizar en el modelo, es homogéneo estos términos independientes se convierten en 21 constantes. Si además consideramos que el material es isotrópico, es decir, que las propiedades del material en un punto dado son independientes de la dirección, entonces el número de constantes o módulos independientes se reduce de 21 a dos, a los cuales conocemos generalmente como E (módulo de elasticidad o de Young) y  (relación de Poisson). Y

yy = y yx yz

zy

x

xy zy

zx yz

z xy

y =1/E*[y - *(x+z)]

zx

xz

x =1/E*[x - *(y+z)]

z

xz

xx = x X

yx

dz

z =1/E*[z - *(y+z)] xy =xy / G xz =xz / G yz =yz / G

yy = y Z

dx


9

Estas relaciones constitutivas pueden expresarse en forma matricial como:

x y z xy xz yz

=

1 E - E - E 0

- E -1 E - E 0

- E - E 1 E 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 G 0

0

0

0

0

0

1 G 0

0

0

x y z xy xz yz

1 G


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o en función de dos constantes independientes: x y z xy xz yz


= 1/E *

De forma más general, las ecuaciones constitutivas se pueden expresar matricialmente como: e = f s donde los vectores e y s representan a las deformaciones y a los esfuerzos respectivamente y están relacionados por la matriz f , que es la matriz constitutiva de flexibilidad. Se puede ver que la matriz f es no singular y, por tanto posee inversa: s = f

-1

e

= K

e


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donde la matriz [k] es conocida como la matriz de rigidez y es la inversa de la matriz de flexibilidad [f], para lo cual tenemos:

k

=

E (1+)*(1-2*)

1-   0 0 0

 1-   0 0 0

  - 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1-2 )*0.5 0 0 0 (1-2 )*0.5 0 0 0 (1-2 )*0.5


12

1.2.3.-Tercer principio: Equilibrio.- Las ecuaciones de equilibrio interno relacionan las nueve componentes de esfuerzo (tres esfuerzos normales y seis esfuerzos cortantes) y se derivan considerando el equilibrio de momentos y fuerzas que actúan en una partícula tridimensional (o paralelepípedo). Tomando momentos de primer orden con respecto a los ejes x, y y z se puede demostrar que en ausencia de momentos de cuerpo: Y


zx

xz

zy

x

ij = ji

xy zy

zx yz

z xy

z

xz

xx = x X

yx

dz

Por lo que:

xy = yx; xz = zx; yz = zy

yy = y Z

dx


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y, por lo tanto, únicamente tenemos seis componentes de esfuerzo independientes (tres esfuerzos normales y tres esfuerzos cortantes). Resolviendo para las fuerzas internas en las direcciones x, y y z, obtenemos las tres ecuaciones diferenciales en derivadas parciales del equilibrio interno de la partícula. Y


zx

xz

zy

x

∂x + ∂xy + ∂xz + Fx = 0 ∂x ∂y ∂z

xy zy

zx yz

z xy

z

xz

xx = x X

yx

dz yy = y

Z

∂xy + ∂y + ∂yz + Fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂xz + ∂yz + ∂z + Fz = 0 ∂x ∂y ∂z

dx


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donde Fx, Fy y Fz son las fuerzas de cuerpo en las direcciones x, y y z, respectivamente. Estas ecuaciones de equilibrio interno se pueden escribir de forma matricial de la siguiente manera:

∂ ∂x 0 0

0 ∂ ∂y 0

0 0 ∂ ∂z

∂ ∂y ∂ ∂x 0

∂ ∂z 0 ∂ ∂x

0 ∂ ∂z ∂ ∂y


+

FX FY FZ

=

0 0 0

o en forma compacta: -1

[A] * {s} + {F} = 0

donde los vectores {s} y {F}, que representan a los esfuerzos internos y a las fuerzas de cuerpo, respectivamente, están relacionados para el equilibrio por medio de una transpuesta de la matriz [A] que, viene hacer la matriz de continuidad. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Introducción. Las armaduras son las estructuras más utilizadas en ingeniería civil. Se emplean para resolver techumbres ligeras de grandes claros en naves industriales, centros comerciales, tiendas de autoservicio, torres de transmisión de energía eléctrica, en plataformas marinas, en puentes, como estructuras de arriostre y distribución de cargas laterales en naves industriales, entre otras aplicaciones. Las armaduras pueden trabajar exclusivamente en el plano (armaduras en 2D) o en el espacio (armaduras en 3D). Los elementos que componen a una armadura trabajan exclusivamente a fuerza axial, ya sea a tensión o compresión.


16

Linealidad Geométrica El concepto de linealidad geométrica se puede ilustrar con el caso general de un elemento de longitud L, que después de la deformación pasa a tener una Longitud L’ que es función de las deformaciones longitudinales, x y la transversal y. Por trigonometría

L’

y L

x

Elemento Sujeto a un estado de deformación

Si se toma en cuenta que las deformaciones son pequeñas, aplicando aproximaciones tenemos:


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aplicando la aproximación anterior a nuestro elemento deformado, obtenemos que:

la deformación total del elemento e, la obtenemos de restar las longitudes del elemento en su estado deformado de su longitud inicial, es decir:

Sin embargo, si tomamos en cuenta que para un elemento cargado axialmente la deformación longitudinal es más importante que la deformación transversal, se puede despreciar el segundo termino de la ecuación, pues tiende a cero, entonces tenemos que:


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Estabilidad en Armaduras La estabilidad es una característica muy importante en toda estructura, pero es prácticamente crucial en armaduras, donde, en algunas ocasiones, configuraciones complicadas pueden ocultar deficiencias en las mismas y, por lo tanto, no se puede detectar a priori que son inestables. Básicamente una estructura isostática (estable o en equilibrio) : nb = 2*nN

donde:

nb = Número de barras o elementos axiales. nN= Número de nudos


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Hiperestática (estable): nb >= 2*nN

Hipoestática (inestable): nb <= 2*nN

donde: nb = Número de barras o elementos axiales. nN= Número de nudos Sin embargo, esta expresión no es una máxima absoluta, puesto que pueden existir configuraciones inestables donde la ecuación se satisfaga:


20

2

1

6

1

nb =6 nN = 2

2

4 5

y 3

Hiperestática Inestable en la barra 6.

x


21


22


23


24

1

1

nb =5 nN = 2

5 >=4

2

4 5

y

nb >=2nN

2

Armadura Hiperestática de grado uno (una redundante)

3 x


25

Si tomamos como redundantes a las barras exclusivamente, tenemos para esta armadura cinco armaduras isostáticas que pueden ser su armadura primaria: ARMADURAS PRIMARIAS 1 1 1 1

1 1

2

1

2 2

4

2 y x

1

2 2

4

4

5 2

2

3

5 3

2

4

1

1

1

3 1

2

4

5

5 2 3

5

3


26

Si se decide tomar como redundantes a los apoyos, tenemos otras dos armaduras primarias. ARMADURAS PRIMARIAS 1

1

2

2 y

1

2

1

4

2 4

5

5

3 1

1

3

x En este caso las armaduras primarias, son aquellas donde las reacciones en los apoyos consideradas no actúan colinealmente y, por tanto, uno puede determinar fácilmente alguna de ellas utilizando la ecuación de momento.

2

2

4

5 3

Por lo tanto, para esta estructura hiperestática tan simple tenemos siete armaduras primarias posibles. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

27


28

Matriz asociada a la Armadura. Primaria

Matriz asociada a las redundantes.

Desarrollando tenemos


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{S}=

=

*

{F} {R}

De la ecuación de equilibrio anterior, ordenando de una forma compacta tenemos:


30


31


32


33


34


35


36


37

Relaciones Constitutivas (Ley de Hooke) La ley de Hooke para armaduras de comportamiento elástico lineal, homogéneo e isotrópico utilizando el método de flexibilidades, se puede expresar como : {e} = [f] * {s} donde {e} y {s} son los vectores que contienen las deformaciones y las fuerzas de cada barra respectivamente, y [f] es la matriz de flexibilidades de las barras que forman parte de la armadura; [f] es una matriz cuadrada de orden nb y además diagonal:

[f] =


38

La flexibilidad fi de cada barra i de la armadura se calcula como: fi = Li / (Ei*Ai) donde Li, Ei y Ai son la longitud, el módulo de elasticidad y el área de la barra i, respectivamente. Por lo tanto, la deformación de cada barra, ei, se calcula como:

ei = Li * si/(Ei*Ai)


39

Por equilibrio tenemos que: *

{S}=

{F} {R}

Aplicando el Principio de contragradiencia ( o el teorema de energía de Clapeyron), que se aplica para elasticidad lineal tenemos:

=

*

{e}

Desplazamiento de la armadura Primaria: =

*

{e}

Desplazamiento de la Redundante: =

*

{e}


40

Obtención de las Redundantes Por equilibrio:

Por relaciones constitutivas:


41

Solución Global Para resolver armaduras hiperestaticas estables por el método de las flexibilidades de manera matricial, debemos seguir los siguientes pasos: 1.- Seleccionar una armadura isostática primaria. 2.- Resolver la armadura isostática para fuerzas unitarias asociadas a los grados de libertad de la armadura para obtener [bo]. 3.- Resolver la armadura isostática para fuerzas unitarias asociadas a las redundantes para obtener [bR]. 4.- Resolver la armadura isostática para las cargas externas aplicadas para obtener {So}, u operar con la matriz [bo] previamente calculada: {So} = [bo] * {F} 5.- Calcular el valor del vector de las redundantes {R}, resolviendo el sistema de ecuaciones dado por:


42

o


43


44


45


46


47


48


49


50


51


52


53


54


55


56


57


58

Ejemplo # 4 Desarrollar el ejemplo # 3, utilizando el programa Sap-2000.


59


60

que puede escribirse como: {R} = - [ [𝑏𝑅 ]𝑇 [f][𝑏𝑅 ]]−1 [𝑏𝑅 ]𝑇 [f][𝑏𝑜 ]{f} …… (b) Reemplazando (b) en (a) tenemos: {s} = [[𝑏𝑜 ]-[𝑏𝑅 ][[𝑏𝑅 ]𝑇 [f][𝑏𝑅 ]]−1 [𝑏𝑅 ]𝑇 [f][𝑏𝑜 ]]*{F}

…….. (3)

ó [b] = [[I]-[𝑏𝑅 ][[𝑏𝑅 ]𝑇 [f][𝑏𝑅 ]]−1 [𝑏𝑅 ]𝑇 [f]][𝑏𝑜 ]

…….. (4)

A partir de las ecuaciones de continuidad y de las relaciones constitutivas tenemos que: {u} = [𝑏𝑜 ]𝑇 {e} ……… (5) {e} = [f]*{s} = [f]*[b]*{F} ……… (6) sustituyendo (6) en (5) tenemos: {u} = [𝑏𝑜 ]𝑇 * [f]*[b]*{F} = [K]−1 *{F}

……… (7)

donde [K]−1 es la matriz de flexibilidad de estructuras, ya que, como sabemos, es la inversa de la matriz de rigidez y, en este caso, está dada por: ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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[K]−1 = [𝑏𝑜 ]𝑇 [f][b]

…….. (8)

Se puede demostrar también que: [K]−1 = [𝑏]𝑇 [f] [𝑏𝑜 ]

…….. (9)

{u} = [𝑏]𝑇 [f] [𝑏𝑜 ] *{F} = [𝑏]𝑇 [f] [𝑠𝑜 ]

……… (10)

a partir de:

Obtención del vector de desplazamientos {u} por el método de flexibilidades Existen muchas maneras para llegar a la solución final utilizando el método de las flexibilidades. Utilizando métodos matriciales, pueden emplearse tres planteamientos para obtener la solución de los desplazamiento, cuya interpretación física seria la siguiente: ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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1.- Resolver la armadura hiperestática con las cargas reales y la armadura primaria con las cargas unitarias. Para este caso: {u} = [𝑏𝑜 ]𝑇 [f][s] ……… (11)

2.- Resolver la armadura hiperestática con las cargas unitarias y la armadura primaria con las cargas reales. Para este caso: {u} = [b]𝑇 [f][𝑠𝑜 ]

……… (12)

3.- Resolver la armadura hiperestática tanto con las cargas reales como con las cargas unitarias. Para este caso: {u} = [b]𝑇 [f][𝑠]

……… (13)

Resulta claro que en las tres opciones anteriores de solución, es necesario primero resolver el problema seleccionado siempre la armadura primaria y resolviendo las redundantes, pues la matriz [b] y el vector {s} no pueden obtenerse directamente con el método de flexibilidades sin el concepto de la estructura primaria y de las redundantes. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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2) ARMADURAS EN 2D. METODO DE LAS RIGIDECES O DE LOS DESPLAZAMIENTOS La aplicación del método de rigideces se divide en dos partes: a) Se presenta la solución de armaduras planas por el método de rigideces referido a un sistema plano global. b) En esta segunda parte se presentará el método de las rigideces partiendo de referir primero a los elementos en sus coordenadas locales, que es lo que se utiliza en la mayor parte de los software de análisis.

2.1.- Continuidad. Partiendo de las ecuaciones de continuidad: {e} = [a] * {u}

……… (14)


64

donde la matriz de continuidad del sistema [a], puede obtenerse directamente utilizando dos planteamientos: 1.- Expresando las deformaciones de cada barra en función de los

desplazamientos unitarios asociados a los grados de libertad de los nudos y tomando en cuenta el signo dependiendo de la orientación que demos a cada barra y del sentido de la proyección del desplazamiento con respecto al sistema uy1 uy2 coordenado de referencia. 1

1

1

3

ux1 ux1

3.0 m

2

4

ux2 uy1 ux1

4

5

uy1

2

5

ux2

2 3

3.0 m ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

ux2 uy2 uy2

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Tomemos por ejemplo la armadura de la fig. anterior. Por definición, la deformación de un elemento se calcula como su longitud final menos su longitud inicial, determinándose las longitudes del elemento como la diferencia que existe entre sus coordenadas finales menos sus coordenadas iniciales. Por lo tanto, de acuerdo con lo anterior y con la orientación de las barras empleando la regla de la mano derecha, los desplazamientos del nudo (o nodo) a partir de donde se orienta la barra (nudo de inicio) deben premultiplicarse por un signo negativo, mientras que los desplazamientos del nudo a donde llega la barra (el nudo hacia donde apunta la flecha, nudo final) conservan su signo. El resto es sencillo, se toma en cuenta el signo y la magnitud de los desplazamientos unitarios con respecto al eje coordenado de referencia. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Por lo tanto, sea la barra 1 de la armadura de la figura en mención. Se observa que esta barra se deforma exclusivamente en la dirección positiva del eje x a partir del nudo 1 (𝑢𝑥1 ); sin embargo, el nudo 1 es el nudo donde se inicia esta barra, según la convención

de la figura; por lo tanto,

debemos cambiarle el signo (− 𝑢𝑥1 ). Entonces, la deformación de la barra 1 que satisface la ecuación de continuidad está dada por: 𝑒1 = − 𝑢𝑥1 . De manera similar, la barra 2 de la armadura de la figura se deforma exclusivamente en la dirección positiva del eje y entre los nodos 1 y 2. Tomando en cuenta la convención de signos: 𝑒2 = 𝑢𝑦1 − 𝑢𝑦2 . ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Para la barra 3 tendríamos: 𝑒3 = − 𝑢𝑥2 . Para la barra 4 tenemos que considerar que se deforma en una dirección diagonal con respeto al sistema coordenado, y que la proyección de dicha deformación coincide con las direcciones positivas del sistema coordenado de referencia, pero tomando en cuenta que esta barra parte

del nudo 2, debemos cambiarle el signo a estas proyecciones; por lo tanto: 𝑒4 =−0.71 ∗ 𝑢𝑥2 − 0.71𝑢𝑦2 . De manera similar, para la barra 5 tenemos:

𝑒5 =−0.71 ∗ 𝑢𝑥1 + 0.71𝑢𝑦1 . Por lo tanto, las ecuaciones de continuidad anteriores las podemos expresar matricialmente como: ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒4 𝑒5

−1 0 = 0 0 −0.71

0 1 0 0 0.71

0 0 −1 −0.71 0

0 −1 0 −0.71 0

𝑢𝑥1 𝑢𝑦1 𝑢𝑥2 𝑢𝑦2

donde podemos observar que la matriz de continuidad [a] está dada por:

[a] =

−1 0 0 0 −0.71

0 1 0 0 0.71

0 0 −1 −0.71 0

0 −1 0 −0.71 0

Por lo tanto, se concluye que la matriz de continuidad depende esencialmente de la geometría de la armadura y, para la resolución de problemas utilizando métodos matriciales, se debe tener especial cuidado en definir el sistema coordenado de referencia y la orientación que se le asigne a cada una de las barras. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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2.- Generalizando el procedimiento anterior para cualquier barra inclinada orientada en una dirección dada con respecto al sistema coordenado de referencia. Sea la barra i que se muestra en la siguiente figura, está dado por: 𝑒𝑖 = −𝑢𝑥𝑎 ∗ cos 𝜃𝑖 - 𝑢𝑦𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖 + 𝑢𝑥𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 + 𝑢𝑦𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛

𝑖 ………

(15)

Sea 𝑢𝑖 un vector unitario, tal que 𝑢𝑖 = 1. Se observa de la siguiente figura que la posición del vector con respecto al sistema coordenado está dada por: 𝑢𝑖 =

cos 𝜃𝑖 sen 𝜃𝑖

……… (16)

𝑢𝑦𝑏

𝑈𝐵

B

𝑢𝑥𝑏

=

i

𝑢𝑦𝑎 𝑢𝑖

B

𝑈𝐴

𝜃𝑖 A

i

𝑢𝑖

𝜃𝑖

𝑢𝑥𝑎

A

Barra i de referencia. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

70

Asimismo, de la misma figura se observa que los vectores de posición de los nudos, 𝑢𝐴 y 𝑢𝐵 están definidos por: 𝑢𝐴 =

𝑢𝑥𝑎 𝑢𝑦𝑎

𝑢𝐵 =

𝑢𝑥𝑏 𝑢𝑦𝑏

……… (17)

Por lo tanto, la deformación del elemento i pues también expresarse

vectorialmente de la siguiente manera: 𝑒𝑖 = 𝑢𝑖 ∗ 𝑢𝐵 - 𝑢𝑖 ∗ 𝑢𝐴 = 𝑢𝑥𝑏 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑖 + 𝑢𝑦𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛

𝑖

− 𝑢𝑥𝑎 ∗ cos  − 𝑢𝑦𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛

𝑖

..…… (18)

Por lo que, matricialmente, se puede escribir como: 𝑒𝑖 = {𝑢𝑖 }𝑇 *{𝑢𝐵 } -{𝑢𝑖 }𝑇 {𝑢𝐴 } = -{𝑢𝑖 }𝑇 * {𝑢𝐴 } + {𝑢𝑖 }𝑇 * {𝑢𝐵 }

..…… (19)

Lo que nos indica que cada renglón i de la matriz de continuidad [a] está definida por el vector {𝑢𝑖 }𝑇 y la posición que en ella guarden los grados de libertad asociados a los nudos A y B. Esquemáticamente: ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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𝑎 = 𝑖 ∗ [−{𝑢𝑖 }𝑇 A

{𝑢𝑖 }𝑇 ] B

……… (20)

donde resulta claro que cada nudo (A o B) involucra dos columnas (por lo general), salvo para los casos donde se cuente con nudos restringidos, como se verá posteriormente. uy1 1

ux1

uy2 3

Cos  Sen  =

{𝑢1 } = {𝑢3 } =

Cos 0° Sen 0°

=

1 0

ux2 ux1 2

ux2

uy1 Cos 90° = {𝑢2 } = Sen 90°  = 90°

0 1

4

ux2

uy2 ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

 = 45°

{𝑢4 } =

Cos 45° = Sen 45°

0.71 0.71

uy2 72

uy1  = 315°

{𝑢5 } = Cos 315° = 0.71 Sen 315° -0.71

ux1 5

Por lo tanto, la matriz de continuidad [a] está dada por:

u1 1

1

1

{𝑢𝑖 }𝑇 ]

[𝑎1 ] = [−{𝑢1 }𝑇 1

0]

Barra.

2

Nudo.

u2

2 2

[𝑎1 ] = [−{𝑢𝑖 }𝑇

[𝑎2 ] = [−{𝑢𝑖 }𝑇

{𝑢𝑖 }𝑇 ]

[𝑎2 ] = [ {𝑢2 }𝑇

− {𝑢2 }𝑇 ]

Barra.

2

Nudo.

u2

1


73

u3

[𝑎3 ] = [−{𝑢𝑖 }𝑇

3

[𝑎3 ] = [ 0

2

u4

1

[𝑎4 ] = [−{𝑢𝑖 }𝑇

4  = 45°

[𝑎4 ] = [ 0

1 2

{𝑢𝑖 }𝑇 ] − {𝑢3 }𝑇 ]

Barra.

2

Nudo.

{𝑢𝑖 }𝑇 ] − {𝑢4 }𝑇 ]

Barra.

2

Nudo.

u5

1 [𝑎5 ] = [−{𝑢𝑖 }𝑇 5

{𝑢𝑖 }𝑇 ]

[𝑎5 ] = [− {𝑢5 }𝑇 1


0] 2

Barra.

Nudo.

74

Armando la matriz de continuidad [a] está dada por:

[a] =

−{𝑢1 }𝑇 {𝑢2 }𝑇 {0} {0} −{𝑢5 }𝑇

{0} −{𝑢2 }𝑇 −{𝑢3 }𝑇 −{𝑢4 }𝑇 {0}

1

2

=

−1 0 0 0 −0.71

0 1 0 0 0.71 1

0 0 −1 −0.71 0

0 −1 0 −0.71 0 2

Barra # 1 Barra # 2 Barra # 3 Barra # 4 Barra # 5

Nudo.

que es la matriz encontrada anteriormente. 2.2.- Relaciones constitutivas (Ley de Hooke). La ley de Hooke para armaduras de comportamiento elástico lineal,

homogéneo e isotrópico utilizando el método de las rigideces, se puede escribir como: {s} = [k] * {e} ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

..…… (20) 75

donde {e} y {s} son los vectores que contienen las deformaciones y las fuerzas de cada barra, respectivamente, y [k] es la matriz de rigideces de las barras que forman parte de la armadura; [k] es una matriz cuadrada de orden nb y además diagonal:

[k] =

𝑘1 0 0 0 0

0 𝑘𝑖−1 0 0 0

0 0 𝑘𝑖 0 0

0 0 0 𝑘𝑛−1 0

0 0 0 0 𝑘𝑛

……… (21)

La rigidez 𝑘𝑖 de cada barra i de la armadura se calcula como: 𝑘𝑖 =

𝐸𝑖 * 𝐴𝑖

……… (22)

𝐿𝑖

donde 𝐿𝑖 , 𝐸𝑖 y 𝐴𝑖 son la longitud, el módulo de elasticidad y el área de la

barra i, respectivamente. Por lo tanto, la fuerza actuante en cada barra, 𝑠𝑖 se calcula como:

𝑠𝑖 =

𝐸𝑖 * 𝐴𝑖 𝐿𝑖


* 𝑒𝑖

……… (23) 76

2.3.- Equilibrio. Las ecuaciones de equilibrio pueden expresarse en forma matricial como: {F} = [a]𝑇 * {s}

..…… (24)

donde con el método de las rigideces podemos plantear directamente las ecuaciones a partir del equilibrio de fuerzas en cada nudo, es decir:  𝐹𝑥 = 0;

 𝐹𝑦 = 0

………(25)

Sea la armadura nuevamente de referencia, se presenta en la siguiente figura para ilustrar las ecuaciones de equilibrio.

3.0 m

𝐹𝑥1

2 2

y x

4

𝑠3

𝐹𝑦1

1

1

1

𝑠1

𝐹𝑥2

3 3.0 m


𝑠5

𝑠3

2

5 𝑠2

𝑠4

𝐹𝑦2

Planteamiento de las ecuaciones de equilibrio para la armadura de referencia. 77

De los diagramas de cuerpo libre de la figura anterior se observa que, para que exista equilibrio en el nudo 1, considerando que todas las fuerzas internas «jalan» al nudo se requiere que: 𝐹𝑦1 𝐹𝑥1

1

𝑠1

𝐹𝑥1 + 𝑠1 + 0.71*𝑠5 = 0.0

𝐹𝑥1 = - 𝑠1 +0*𝑠2 +0*𝑠3 +0∗𝑠4 -0.71*𝑠5

𝐹𝑦1 - 𝑠2 - 0.71*𝑠5 = 0.0

𝐹𝑦1 = 0*𝑠1 +𝑠2 +0*𝑠3 +0∗𝑠4 +0.71*𝑠5

𝐹𝑥2 + 𝑠3 + 0.71*𝑠4 = 0.0

𝐹𝑥2 = 0*𝑠1 +0*𝑠2 -𝑠3 −0.71∗𝑠4 +0*𝑠5

𝐹𝑦2 + 𝑠2 + 0.71*𝑠4 = 0.0

𝐹𝑦2 = 0*𝑠1 -𝑠2 +0*𝑠3 −0.71∗𝑠4 +0*𝑠5

𝑠5

𝑠2 𝑠3

𝑠4

𝐹𝑥2

2

𝑠3

𝐹𝑦2

y x ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Armándolo matricialmente tenemos: 𝐹𝑥1 𝐹𝑦1 𝐹𝑥2 𝐹𝑦2

=

−1 0 0 1 0 0 0 −1

0 0 0 0 −1 −0.71 0 −0.71

−0.71 0.71 0 0

𝑠1 𝑠2 𝑠3 𝑠4 𝑠5

……… (26)

donde es claro que: [a]𝑇 =

−1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 −1 −0.71 −1 0 −0.71

−0.71 0.71 0 0

……… (27)

2.4.- Obtención de la matriz global de rigidez [K]. Resumiendo, tenemos que las ecuaciones generales de continuidad, relaciones constitutivas y equilibrio planteadas matricialmente para armaduras por el método de las rigideces son: ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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{e} = [a] * {u}

……… (28)

{s} = [k] * {e}

……… (29)

{F} = [a]𝑇 * {s}

……… (30)

Si sustituimos la ecuación (28) en la ecuación (29), y ésta a su vez en la ecuación (30), llegamos a que podemos obtener desplazamientos de cada nudo utilizando el método de las rigideces (o método de los desplazamientos) resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones tenemos: {F} = [a]𝑇 *[k]*[a]*{u} = [K] * {u}

……… (31)

donde [K] es la matriz global de rigidez de la estructura, de orden nd x nd, y está dada por: [K] = [a]𝑇 *[k]*[a]


……… (32)

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Por lo tanto, el problema se reduce a resolver nd ecuaciones para obtener nd incógnitas, que son los desplazamientos de los nudos.

A diferencia del método de flexibilidades, con el método de las rigideces resolvemos el problema directamente en un solo paso, y es por ello que es más ventajoso cuando se deben resolver problemas donde se requiere saber la totalidad de los desplazamientos de los nudos o, en su defecto, una gran cantidad o la mayoría de ellos. La matriz de rigidez del sistema, [K], tiene la particularidad de ser una matriz simétrica, es decir, [K] = [K]𝑇 . Esto puede demostrarse a partir de la ecuación (32), donde por propiedades de transposición del producto de matrices, se sabe que si: [A] = [B] * [C] * [D]

……… (33)

entonces: [A]𝑇 = [D]𝑇 * [C]𝑇 * [B]𝑇 ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

……… (34) 81

por lo tanto, de las ecuaciones 32 a 34 se tiene que: [K]𝑇 = [a]𝑇 * [k]𝑇 * [[a]𝑇 ]𝑇 = [a]𝑇 * [k]𝑇 * [a]

……… (35)

al ser [k] una matriz diagonal, se sabe que [k]𝑇 = [k], por lo que: [K]𝑇 = [a]𝑇 * [k]𝑇 * [a]

……… (36)

De las ecuaciones 32 y 36 se demuestra que la matriz [K] es simétrica, ya que [K] = [K]𝑇 .

2.5.- Solución global. Resumiendo lo expuesto anteriormente, para resolver armaduras hiperestáticas estables de manera matricial por el método de las rigideces, debemos efectuar los siguientes pasos: 1.- Definir las matrices de continuidad [a] y de rigideces de las barras [k]. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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2.- Obtener la matriz global de rigidez [K]: [K] = [a]𝑇 * [k] * [a]

……… (37)

3.- Obtener el vector de los desplazamientos en los nudos, {u}, a partir de

resolver el sistema de ecuaciones (ecuaciones de Navier) que define el método de las rigideces, toda vez que se conoce {F} y se ha obtenido [K] previamente:

{F} = [K]*{u}

……… (38)

4.- A partir de las ecuaciones de continuidad se obtienen las deformaciones de las barras: {e} = [a] * {u}.

……… (39)

5.- A partir de las ecuaciones constitutivas se obtienen las fuerzas en las barras: {s} = [k] * {e}. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

……… (40)

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6.- A partir de las ecuaciones de equilibrio, se comprueba que la solución sea la correcta (única): {F} = [a]𝑇 * {s}.

……… (41)

7.- Las reacciones en los apoyos se obtienen resolviendo las ecuaciones de equilibrio en cada uno de los apoyos o nudos restringidos. Para ello, es necesario obtener la matriz de continuidad asociada a los grados de libertad restringidos que representan los apoyos, que llamaremos [𝑎𝐻 ]. Esta matriz es de orden nb x ndr, donde ndr es el número de grados de libertad restringidos. Por lo tanto, si llamamos {H} al vector que contiene a las reacciones de los apoyos de dimensiones ndr x 1, tenemos que a partir de las ecuaciones de equilibrio, se debe cumplir que: {H} = [𝑎𝐻 ]𝑇 * {s} ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

……… (42)

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Esta ecuación satisface el equilibrio y de su resolución obtendríamos directamente el vector {H}. Sin embargo, resulta claro que las únicas barras que contribuyen a resolver la ecuación de equilibrio en los apoyos son

aquellas que llegan o parten de éstos, por lo que no es necesario utilizar {s}, de dimensión nb x 1. y [𝑎𝐻 ]𝑇 , de orden ndr x nb, sino que basta utilizar el sistema reducido, que involucra a las nbr barras asociadas a los ndr grados

de libertad restringidos, donde nbr
……… (43)

donde [𝑎𝐻𝑟 ] es la matriz de continuidad de las nbr barras que llegan o parten de los apoyos (orden nbr x ndr) y {𝑆𝑟 } es el vector que contiene exclusivamente las fuerzas de las nbr barras que llegan o parten de los apoyos (dimensión nbr x 1) ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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2.5.- Simplificación en la obtención de la matriz de rigidez global [K]. Anteriormente obtuvimos que la matriz de rigidez global [K] se puede

calcular a partir de las ecuaciones de continuidad, relaciones constitutivas y equilibrio como: [K] = [a]𝑇 * [k] * [a]

……… (44)

donde [k] es una matriz que tiene la particularidad de ser diagonal. Sean las matrices de continuidad y de rigidez de una estructura cualquiera: [a] =

𝑎11 𝑎𝑗1 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎𝑗2 𝑎𝑛2

. . .

𝑎1𝑚 𝑎𝑗𝑚 𝑎𝑛𝑚

𝑘1 [k] = . .

. 𝑘𝑗 .

. . 𝑘𝑛

……… (45)

Si hacemos el producto [k]*[a] : 𝑘1 𝑎11 [k]*[a] = 𝑘𝑗 𝑎𝑗1 𝑘𝑛 𝑎𝑛1 ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

𝑘1 𝑎12 𝑘𝑗 𝑎𝑗2 𝑘𝑛 𝑎𝑛2

𝑘1 𝑎1𝑖 𝑘𝑗 𝑎𝑗𝑖 𝑘𝑛 𝑎𝑛𝑖

𝑘1 𝑎1𝑚 𝑘𝑗 𝑎𝑗𝑚 𝑘𝑛 𝑎𝑛𝑚

……… (46)

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Si hacemos el producto completo (ecuación 44) y observamos algunos términos de esta matriz, tenemos que:

𝐾11 = 𝑎11 𝑘1 𝑎11 + 𝑎21 𝑘2 𝑎21 +….+𝑎𝑗1 𝑘𝑗 𝑎𝑗1 +…+𝑎𝑛1 𝑘𝑛 𝑎𝑛1

……… (47)

𝐾21 = 𝑎12 𝑘1 𝑎11 + 𝑎22 𝑘2 𝑎21 +….+𝑎𝑗2 𝑘𝑗 𝑎𝑗1 +…+𝑎𝑛2 𝑘𝑛 𝑎𝑛1

……… (48)

𝐾𝑖𝑗 = 𝑎1𝑖 𝑘1 𝑎1𝑗 + 𝑎2𝑖 𝑘2 𝑎2𝑗 +….+𝑎𝑗𝑖 𝑘𝑗 𝑎𝑗𝑗 +…+𝑎𝑛𝑖 𝑘𝑛 𝑎𝑛1

……… (49)

por lo tanto, se concluye que cada elemento de la matriz de rigidez [K] se puede calcular de la siguiente manera:

𝐾𝑖𝑗 =

𝑛𝑏 𝑛=1 𝑎𝑛𝑖

∗ 𝑎𝑛𝑗 ∗ 𝑘𝑛

……… (50)

donde i y j son columnas de la matriz de continuidad [a], por lo que

toda vez que se obtiene la matriz de continuidad, la obtención de [K] se simplifica utilizando este algoritmo. ING° CARLOS EDUARDO RAMOS BRAST Egresado de la Escuela de Post-grado UNI – Msc Estructuras.

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Analisis Estructural i - Int. Analisis Matricial Armaduras

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