Capítulo 2: Mé Mé todo dé analisis dé fuérza o dé léxibilidad Gilberto Aliaga Atalaya
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CAPÍTULO2 Método de análisis de fuerza o de flexibilidad 2.1 Introducción.
El método de análisis de fuerza o de flexibilidad es uno de los métodos básicos del análisis estructural consiste en la la su!er!osici"n de des!lazamientos en términos de las fuerzas de estructuras estáticamente determinadas# Las fuerzas $fuerzas %o momentos& 'ue son las inc"(nitas) inc"(nitas) se determinan determinan a !artir de des!lazamientos des!lazamientos conocidos conocidos con base en las ecuacio ecuaciones nes de com!at com!atibi ibilid lidad ad de des!laz des!lazami amient entos) os) 'ue son a'uell a'uellas as ecuacio ecuaciones nes 'ue (arantizan los des!lazamientos finales como com!atibles con las condiciones de a!oo o de continuidad en la estructura ori(inal# En este ca!*tulo se inicia con una descri!ci"n (eneral del método) des!ués) se !rocede a formular la (eneralizaci"n del método# 2.2 Descripción del método
+# Primeramente Primeramente se determi determina na el (rado de indeterm indeterminaci" inaci"n n estática# estática# Lue(o se introduc introduce e un n,mero de liberaciones liberaciones i(ual al (rado de indetermina indeterminaci"n) ci"n) efectuándose efectuándose cada liberaci"n liberaci"n eliminando una fuera externa o interna# Las liberaciones se deben seleccionar de manera 'ue la estructura restante sea estable estáticamente determinada# -in embar(o) en al(unos casos el n,mero de liberaciones !uede ser menor 'ue el (rado de indeterminaci"n) siem!re 'ue la estruct estructura ura estáti estáticam cament ente e indete indetermi rminad nada a restant restante e sea tan sencill sencilla a 'ue se !ueda !ueda analizar fácilmente# En todos los casos) las fuerzas liberadas) 'ue también se llaman fuerzas redundantes) se deben esco(er cuidadosamente !ara 'ue la estructura liberada se !ueda
analizar con facilidad# 2# Las liber liberacio aciones nes intro introduce ducen n incon(r incon(ruen uencia ciass en des!lazam des!lazamien ientos tos como como se(undo se(undo !aso se determinan estas incon(ruencias o .errores/ en la estructura liberada# En otras !alabras) calculamos la ma(nitud de los errores en los des!lazamientos 'ue corres!onden a las las fuerz fuerzas as redu redund ndant antes# es# Esto Estoss des! des!la lazam zamie ient ntos os de !ued !ueden en deber deber a car( car(as as extern externas as a!licadas) asentamiento de los a!oos o 0ariaci"n de tem!eratura# 1# El tercer tercer !aso consiste consiste en una determinac determinaci"n i"n de los des!lazam des!lazamiento ientoss en la estructura estructura liberad liberada a
debido debidoss a 0alores 0alores unita unitarios rios
de las redun redundan dantes tes## Estos Estos des!la des!lazam zamien ientos tos se 2
CAPÍTULO2 Método de análisis de fuerza o de flexibilidad 2.1 Introducción.
El método de análisis de fuerza o de flexibilidad es uno de los métodos básicos del análisis estructural consiste en la la su!er!osici"n de des!lazamientos en términos de las fuerzas de estructuras estáticamente determinadas# Las fuerzas $fuerzas %o momentos& 'ue son las inc"(nitas) inc"(nitas) se determinan determinan a !artir de des!lazamientos des!lazamientos conocidos conocidos con base en las ecuacio ecuaciones nes de com!at com!atibi ibilid lidad ad de des!laz des!lazami amient entos) os) 'ue son a'uell a'uellas as ecuacio ecuaciones nes 'ue (arantizan los des!lazamientos finales como com!atibles con las condiciones de a!oo o de continuidad en la estructura ori(inal# En este ca!*tulo se inicia con una descri!ci"n (eneral del método) des!ués) se !rocede a formular la (eneralizaci"n del método# 2.2 Descripción del método
+# Primeramente Primeramente se determi determina na el (rado de indeterm indeterminaci" inaci"n n estática# estática# Lue(o se introduc introduce e un n,mero de liberaciones liberaciones i(ual al (rado de indetermina indeterminaci"n) ci"n) efectuándose efectuándose cada liberaci"n liberaci"n eliminando una fuera externa o interna# Las liberaciones se deben seleccionar de manera 'ue la estructura restante sea estable estáticamente determinada# -in embar(o) en al(unos casos el n,mero de liberaciones !uede ser menor 'ue el (rado de indeterminaci"n) siem!re 'ue la estruct estructura ura estáti estáticam cament ente e indete indetermi rminad nada a restant restante e sea tan sencill sencilla a 'ue se !ueda !ueda analizar fácilmente# En todos los casos) las fuerzas liberadas) 'ue también se llaman fuerzas redundantes) se deben esco(er cuidadosamente !ara 'ue la estructura liberada se !ueda
analizar con facilidad# 2# Las liber liberacio aciones nes intro introduce ducen n incon(r incon(ruen uencia ciass en des!lazam des!lazamien ientos tos como como se(undo se(undo !aso se determinan estas incon(ruencias o .errores/ en la estructura liberada# En otras !alabras) calculamos la ma(nitud de los errores en los des!lazamientos 'ue corres!onden a las las fuerz fuerzas as redu redund ndant antes# es# Esto Estoss des! des!la lazam zamie ient ntos os de !ued !ueden en deber deber a car( car(as as extern externas as a!licadas) asentamiento de los a!oos o 0ariaci"n de tem!eratura# 1# El tercer tercer !aso consiste consiste en una determinac determinaci"n i"n de los des!lazam des!lazamiento ientoss en la estructura estructura liberad liberada a
debido debidoss a 0alores 0alores unita unitarios rios
de las redun redundan dantes tes## Estos Estos des!la des!lazam zamien ientos tos se 2
necesitan en el mismo lu(ar en la misma direcci"n 'ue los des!lazamientos calculados en el !aso dos# # A3ora se determin determinan an los 0alores 0alores de las fuerzas fuerzas redundant redundantes es necesarias necesarias !ara elimi eliminar nar los errores en los des!lazamientos des!lazamientos## Esto exi(e escribir escribir ecuaciones de su!er!osici" su!er!osici"n n en las 'ue se suman los efectos de las fuerzas redundantes se!aradas a los des!lazamientos de la estructura liberada# 4# En consecuencia consecuencia)) encontramos encontramos las las fuerzas fuerzas 'ue act,an act,an sobre la la estructura estructura indeterminada ori(inal5 Conocidas las fuerzas redundantes) la estructura se !uede resol0er !or sim!le estática# Nomenclatura. i 5 coordenada) n,mero asociado a una redundante
6es!lazamiento en la coordenada i) en la estructura liberada
D 0 i :
X i : redundante en la coordenada D ij
i
5 des!lazamiento !roducido !or la redundante X j ) en la coordenada i cuando
solo act,a X j # -i X j=1 ) entonces Dij se conoce coeficiente de flexibilidad f ij
em!otrada en C) descansa sobre a!oos sim!les en A 7) Ejemplo 2.1 La 0i(a ABC em!otrada em!otrada en C so!orta una car(a uniforme q !or unidad de lon(itud# La 0i(a tiene una ri(idez constante a la flexi"n EI # Encontrar los dia(ramas de fuerza cortante momento flector# La estructura es estáticamente indeterminada en se(undo (rado) !or lo 'ue se deben eliminar eliminar dos fuerzas fuerzas redundantes# redundantes# -on !osibles 0arias o!ciones) o!ciones) !or e8em!lo) e8em!lo) el momento momento la reacci"n 0ertical en C) o las reacciones 0erticales en A 7# Para los !ro!"sitos de este e8em!lo) eliminaremos la reacci"n 0ertical en 7 el momento en C# Entonces la estructura liberada es una 0i(a sim!le AC con las fuerzas redundantes los des!lazamientos 'ue se muestrean en la fi(ura 2#+b# A la ubicaci"n direcci"n de las di0ersas fuerzas redundantes los des!lazamientos se 3ace referencia como sistema coordenado. 3
q por unidad unidad de longitud longitud
L
9i(ura 2#+ $a& 0i(a continua del e8em!lo 2#+# $b& Estructura liberada sistema coordenado# $c& Car(a externa sobre la estructura liberada# $d& X 1=1 # $e& X 2=1 # $f& 9uerzas redundantes#
Las direcc direccio iones nes !osi !osititi0a 0ass de las las fuerz fuerzas as redun redunda dant ntes es
X 1
X 2
se eli(en eli(en
arbitrariamente) las 'ue deben coincidir con las direcciones !ositi0as de los des!lazamientos en el mism mismo o lu(a lu(arr# Las Las flec flec3a 3ass de la fi(u fi(ura ra 2#+b 2#+b indi indica can n las las dire direcc ccio ione ness !osi !osititi0a 0ass 4
seleccionadas en el !resente caso ) como las flec3as re!resentan fuerzas as* como des!lazamientos) con0iene en un caso (eneral identificar las coordenadas !or medio de los n,meros
1,2,... i , … n .
Ado!tando este sistema) la fi(ura 2#+c muestra los des!lazamientos en 7 C como D01 D02 res!ecti0amente# :ealmente no 3a des!lazamientos en estos !untos $0éase fi(ura
2#+a&) de modo 'ue D01 y D02 re!resentan las incon(ruencias de los des!lazamientos en la estructura liberada ba8o la acci"n de la car(a# La ma(nitud de D
01
y
D02
se !uede calcular !or el com!ortamiento de la 0i(a
sim!lemente a!oada de la fi(ura 2#+c $estructura liberada&# Para el ob8eto del !resente e8em!lo) !odemos usar el a!éndice A) !or lo tanto5 4
−5 qL D = −q L D = 01
24 EI
02
3
3 EI
Los si(nos ne(ati0os indican 'ue los des!lazamientos son en direcciones o!uestas a las direcciones !ositi0as ele(idas en la fi(ura 2#+ b Los des!lazamientos debidos a 0alores unitarios de las redundantes se muestran en las fi(uras d& e&# Estos des!lazamientos también se calculan con auda del a!éndice A# 3
2
L L f 11= f 12= 6 EI 4 EI 2
2 L L f 21= f 22= 4 EI 3 EI
El coeficiente (eneral
f ij
re!resenta el des!lazamiento en la coordenada
i
debido
a una redundante unitaria en la coordenada j Ecuaciones de compatibilidad #
Las relaciones (eométricas ex!resan el 3ec3o de 'ue la traslaci"n 0ertical en 7 la rotaci"n en C desa!arecen# Los des!lazamientos finales son el resultado de la su!er!osici"n 5
del efecto de la car(a externa de las fuerzas redundantes sobre la estructura liberada# Por lo tanto las relaciones (eométricas de !ueden ex!resar como D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2 =0 D02+ f 21 X 1+ f 22 X 2=0
}
$2#+&
Matriz de flexibilidad
Las relaciones de la ecuaci"n 2#+ se !ueden escribir en forma de matriz
{ D }+[ f ] { X }=0
$2#2&
0
6onde
{ }
{ D } = D 0
[ f ]=
01
D 02
[
f 11 f 12 f 21 f 22
]
{}
{ X } = X
1
X 2
El 0ector columna ;6 <= de!ende de la car(a externa Los elementos de la matriz [ f ] son los des!lazamientos debido a los 0alores unitarios de las redundantes# Por lo tanto de!ende de las !ro!iedades de la estructura re!resenta la flexibilidad de la estructura liberada# Por esta raz"n >f? se llama matriz de flexibilidad sus
elementos se denominan coeficientes de influencia de flexibilidad # Los elementos del 0ector { X } son las fuerzas redundantes 'ue se !ueden obtener resol0iendo la ecuaci"n 2#2@ entonces { X }=[ f ]−1 {− D0 }
$2#1&
En el e8em!lo considerado) la matriz de flexibilidad su in0ersa son5
[ ] 3
L [ f ]= 6 EI 2 L 4 EI
2
L 4 EI 2 L 3 EI
[ f ]− = 1
12 EI 7 L
3
[
8
−3 L
−3 L
2 L
2
]
El 0ector des!lazamiento es 6
3
{ }
L −5 L { D0 }= 24q EI −8
-ustituendo en la ecuaci"n 21 o resol0iendo la ecuaci"n 22 obtenemos
{ X } = qL 14
{} 16
L
Por lo tanto) las fuerzas redundantes son 2
8
qL
7
14
X 1= ql y X 2=
El si(no !ositi0o indica 'ue las fuerzas redundantes act,an en las direcciones !ositi0as seleccionadas de la fi(ura 2#+b Las fuerzas finales 'ue act,an sobre la 0i(a se ilustran en la fi(ura 2#+f las com!onentes de reacci"n las fuerzas internas en cual'uier secci"n se !ueden calcular usando las ecuaciones de e'uilibrio estático# Alternati0amente las com!onentes de reacci"n las fuerzas internas se !ueden calcular usando el !rinci!io de su!er!osici"n5 sumando el efecto de las car(as externas sobre la estructura liberada el efecto de las fuerzas redundantes@ as*# A i= A si + ( A ui 1 X 1 + Aui 2 X 2+ … + Aui n X n )
$2#&
6onde A i
Cual'uier acci"n i ) 'ue es reacci"n en un a!oo) fuerza cortante) fuerza axial) momento de torsi"n o momento de flexi"n en una secci"n de la estructura real
A si
La misma acci"n 'ue Ai !ero en la estructura liberada sometida a las car(as externas
7
A ui 1 , Aui 2 ,… A ui n
5 La acci"n corres!ondiente debida a una fuerza unitaria 'ue act,a sola
sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2, … n res!ecti0amente X 1 , X 2 , … , X n
9uerzas redundantes 'ue act,an sobre la estructura liberada
El término entre !aréntesis de la ecuaci"n 2# re!resenta la acci"n de todas las fuerzas redundantes a!licadas simultáneamente a la estructura liberada# Beneralmente se necesitan 0arias reacciones fuerzas internas# Estas se !ueden obtenerse con ecuaciones similares a la ecuaci"n 2## -i el n,mero de acciones es
) el sistema de ecuaciones 'ue se necesita
m
se !uede ex!resar en forma de matriz { A }m ×1={ A s }m × 1 +[ Au ]m ×n { X }n × 1
$2#4&
El orden de cada matriz se indica en la ecuaci"n 2#4# Escribiendo las matrices Las matrices com!letas se tiene
{} {}
A 1 A s 1 A 2 A s 2 { A }= . { A s }= . . . . . A m A m
[ A ]= u
[
A u 11
A u 12 ⋯
Au 1 n
⋮
⋱
⋮
A um 1
Aum 2
A umn
]
Los elementos de la matriz de flexibilidad) en (eneral no son dimensionalmente 3omo(éneos) a 'ue corres!onden a des!lazamientos debido a 0alores unitarios de las fuerzas redundantes) !or lo tanto !ueden re!resentar una traslaci"n o una rotaci"n# En este e8em!lo calcularemos las reacciones !or sim!le estática# 6el dia(rama de cuer!o libre de la 0i(a com!leta $fi(ura 2#2a& se tiene + → ∑ F x =0 : C x =0 8
2
8 ql ( l )+ ( q × 2 l ) ( l )− q l =0 ⟶ A y = 11 ql + ⟲∑ M C =0 :− A y ( 2 l ) − 7
+ ↑ ∑ F y = 0: A y +
8 ql 7
14
+ C y −2 ql=0 ⟶ C y =2 ql−
28
8 ql 7
−
11 ql 28
=
13 ql 28
Considerando los dia(ramas de cuer!o libre !ara cada miembro se obtiene las fuerzas en los extremos 6el dia(rama de cuer!o libre del miembro AB $0éase fi(ura 2#2b& + ↑ ∑ F y = 0:
11 ql 28
+ ⟲∑ M B =0 :−
−ql + V BA=0 ⟶ V BA =ql−
11 ql 28
( l ) + ql
11 ql 28
=
( )− l
M BA= 0 ⟶ M BA =
2
17 ql 28
3ql
2
28
6el dia(rama de cuer!o libre del miembro BC $éase fi(ura 2#2c&
M BA = M BC
3ql
2
28
+ ↑ ∑ F y = 0: V BC −ql +
13 ql 28
=0 ⟶ V BC =ql −
13 ql 28
=
15 ql 28
Con estos resultados se dibu8an los dia(ramas de fuerza cortante momento flector 'ue se !resentan en la fi(uras 2#2 d e
q por unidad de longitud
9
2. !eneralización del método de flexibilidad
Q
2
X2 !2
1
X1 !1
"#Q 3 X3 !3
%&tru'tura liberada y &i&te(a de 'oordenada&
%&tru'tura e&t)*'a(ente indeter(inada
"uperposición
Q + 21
2 !02 1
!01
X1,1
+ 11
$ "#"#Q !03 Q
X1
3
+ 31
X2,1
+ 23
+ 22
+ 13
+ 12
$
X2
$
X3 + 33
+ 32
X3,1
10
Ecuaciones de compatibilidad #
Las traslaciones en la direcci"n de las coordenadas son nulas) !or lo tanto sumando des!lazamientos a lo lar(o de cada una de las coordenadas debido al efecto de la car(a externa de las redundantes sobre la estructura obtenemos D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2 + f 13 X 3=0
D02+ f 21 X 1+ f 22 X 2+ f 23 X 3= 0 D 03+ f 31 X 1+ f 32 X 2 + f 33 X 3= 0
En forma matricial de acuerdo con la ecuaci"n 2#2 { D }+[ f ]{ X }=0 0
{ }[
]{ } { }
D01 f 11 f 12 f 13 X 1 0 D02 + f 21 f 22 f 23 X 2 = 0 0 D 03 f 31 f 32 f 33 X 23
#ropiedades de la matriz de flexibilidad
[ f ]
+# La matriz de flexibilidad es una matriz cuadrada simétrica $ f ij = f ji ) 2# Los términos de la dia(onal !rinci!al f ii de la matriz de flexibilidad son siem!re maores 'ue cero 1# Los elementos de la matriz de flexibilidad no son necesariamente dimensionalmente 3omo(éneos) a 'ue re!resentan bien una traslaci"n o bien una rotaci"n debidas a una car(a unitaria o un !ar unitario # La matriz de flexibilidad es definida !ositi0a $determinante diferente de cero&) es decir) su in0ersa existe# 4# La matriz de flexibilidad es la in0ersa de la matriz de ri(idez) 0ice0ersa) siem!re 'ue se use el mismo sistema de coordenadas de fuerzas des!lazamientos en la (eneraci"n de las dos matrices# D# La matriz de flexibilidad no de!ende de la solicitaci"n externa $car(as) asentamientos de a!oo) 0ariaciones de tem!eratura&# La matriz de flexibilidad de!ende de las !ro!iedades
11
de la estructura5 (eometr*a) material) condiciones de a!oo de las !ro!iedades de los elementos# Ejemplo 2.2 $rmadura plana . 6etermine las reacciones las fuerzas axiales en las barras
de la armadura !lana mostrada en la fi(ura 2#1a# Las áreas de las secciones trans0ersales de las barras) en cent*metros cuadrados) se indican dentro de !aréntesis# Asuma E 2#< x+<4 F%mm2
( b)
Figura 2.3 (a) Armadura plana. (b) Estructura liberada y sistema coordenado
1. rado de indeterminaci!n est"tica, estructura #rimaria y sistema coordenado # La armadura
dada) es estáticamente indeterminada en se(undo (rado# La armadura es tanto externa como internamente indeterminada# Eliminando la reacci"n 3orizontal del a!oo 6 cortando 12
la barra CE obtenemos la estructura liberada la misma 'ue se muestra en la fi(ura 2#1b 'ue también ilustra el sistema coordenado# 2# -u!er!osici"n# En la fi(ura 2#a la estructura liberada ba8o la acci"n de las car(as en las fi(uras 2#b c el efecto de cada una de las fuerzas redundantes actuando !or se!arado# Para cada caso de car(a las fuerzas normales se indican en cada uno de los miembros (a )
60 %
.
-20
20
Fuerzas en kN 15
-25
-25
60
A
-75
60
40
20
0
!02
!01 !
/
15
45
(b ) %
0
.
0
0
+ 21
0
X1
0
0 1
1
A
X1,1 + 11
1
1 /
!
(c )
%
0
1 A
0
+ 22
060
0
.
-080
X2
060
X2 ,1 0
-080 /
+ 12
13
!
9i(ura 2## -u!er!osici"n# $a& Estructura liberada ba8o la car(a e xterna# $b&
X 1=1 # $b& X 2=1
Ecuaciones de com!atibilidad . En la estructura ori(inal el des!lazamiento 3orizontal del nudo $ el des!lazamiento relati0o de los nudos C E son nulos) !or lo tanto i(ualamos a cero la
suma de los des!lazamientos a lo lar(o de cada una de las coordenadas en los dia(ramas de su!er!osici"n5 D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2= 0 D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2= 0
}
$+&
o en forma matricial
{ } [ ]{ } { } D 01 f 11 f 12 X 1 + = D 02 f 21 f 22 X 2
0
$2&
0
%. C"lculo de los coeficientes
D0 i y f ij # -e calcularán !or el método de las fuerzas 0irtuales
$car(a unitaria&# b
∑ =
D j =
i 1
ni i Li E i A i
$2#D&
6onde D j
6es!lazamiento a lo lar(o de la coordenada & $des!lazamiento 'ue se necesita
determinar& n 5 9uerzas en las barras debido a una car(a unitaria en la ubicaci"n direcci"n del
des!lazamiento 'ue se necesita
5 9uerzas en las barras debido a la car(a real
E
5 M"dulo de elasticidad
A
5 Grea de la secci"n trans0ersal de la barra
14
Para e0aluar los des!lazamientos corres!ondientes a la estructura liberada ba8o la acci"n de las car(as $0ector
{ D } & los des!lazamientos debido a las redundantes unitarias 0
f ij
de la matriz de flexibilidad los cálculos se !resentan de manera más con0eniente en la tabla 2#+
15
Tabla 2. 1
Presentación tabular para calcular D0 i y f ij
La tabla se ex!lica !or s* sola# Los des!lazamientos $'1, $'2 , f 11, f 12 ( f 21 y f 22 se obtienen sumando la columna a!ro!iada) !or lo tanto) H el 0ector −3
{ D } la matriz de flexibilidad su in0ersa 0
son5
D01=2.133 × 10 m −4
D 02 =−8.742 × 10 m
{ D } = 0
−5
f 11 = 4 × 10
−5
f 12 = f 21 =−1.067 × 10
[ f ]=
−5
f 22=5.287 × 10
[
{−
−3 2.133 × 10 −4 8.742 × 10
5
4 × 10
}
m
−1.067 × 10−5
−1.067 × 10−5 5.287 × 10−5
] 16
[ f ]− = 1
X 2
[
26421.5904
5330.964015
5330.964015
19991.1151
] 4#
# -ustituendo los 0alores de
{ X } =[ f ]− {− D 0 }= 1
[
C"lculo de las fuerzas redundantes
X 1 ,
{ D } [ f ]− en la ecuaci"n 2#1 se tiene 1
0
26421.5904
5330.964015
5330.964015
19991.1151
]{
}{
−2.133 × 10− = −51.71 − 3
8.742 × 10
4
6.10
} IF
Los dos elementos del 0ector columna son la reacci"n 3orizontal en el a!oo $ la fuerza axial en la barra EC # El si(no ne(ati0o de
X 1
ex!resa 'ue la
reacci"n 3orizontal del a!oo $ está diri(ido 3acia la iz'uierda) en sentido o!uesto al ado!tado en el sistema de coordenadas
[ f ]− = 1
X 2
[
26421.5904
5330.964015
5330.964015
19991.1151
] 4#
# -ustituendo los 0alores de
{ X } =[ f ]− {− D 0 }= 1
[
C"lculo de las fuerzas redundantes
X 1 ,
{ D } [ f ]− en la ecuaci"n 2#1 se tiene 1
0
26421.5904
5330.964015
5330.964015
19991.1151
]{
}{
−2.133 × 10− = −51.71 − 3
8.742 × 10
4
6.10
} IF
Los dos elementos del 0ector columna son la reacci"n 3orizontal en el a!oo $ la fuerza axial en la barra EC # El si(no ne(ati0o de
ex!resa 'ue la
X 1
reacci"n 3orizontal del a!oo $ está diri(ido 3acia la iz'uierda) en sentido o!uesto al ado!tado en el sistema de coordenadas Las 9uerzas finales en los miembros) Los encontramos usando la ecuaci"n 2# i= 0 + n 1 X 1 + n 2 X 2
Por e8em!lo la fuerza axial final en la barra A7 es AB= 40 + 1 (−51.71)+(0 )( 6.100 )=−11.71 !
Las fuerzas finales en las barras se tabulan en la ,ltima columna de la tabla se muestran sobre cada barra en la fi(ura 2#D#
60 %
.
-2488
20
610 -25
1134 113 4
610
-366
Fuerzas en kN () tensión (!) compresión
-75
-1890 0 9 8 1 -
A
-1171
341
/
829
!
9i(ura 2#D 9uerzas finales en los miembros
2.% Estructura liberada & sistema de coordenadas
En el !aso inicial del método de fuerza) se determina el (rado de indeterminaci"n estática $(&) se eli(e la estructura liberada se define un sistema de coordenadas# Las coordenadas se re!resentan mediante un sistema de flec3as numeradas sobre la estructura liberada# Las flec3as indican la ubicaci"n las direcciones !ositi0as de las fuerzas eliminadas en la estructura estáticamente indeterminada# Las fuerzas eliminadas !ueden ser externas) tales como las com!onentes de reacci"n) o internas) !or e8em!lo cortando un miembro o introduciendo una articulaci"n# Cuando la fuerza liberada es externa) debe ser re!resentada !or una sola flec3a# Pero) cuando la fuerza liberada es interna) !or e8em!lo) una fuerza axial) una fuerza de corte o un momento de flexi"n) éstas deben estar re!resentados !or un !ar de flec3as 'ue a!untan en direcciones o!uestas) cada !ar re!resenta una coordenada !or lo tanto tiene un n,mero $!or e8em!lo) la fi(ura #b&# Los !asos restantes del método de fuerza im!lican la (eneraci"n el uso de matrices5
{ D } , { X } , [ f ] # Los elementos de estas matrices son fuerzas o 0
des!lazamientos en las coordenadas definidas en la !rimera eta!a# Por lo tanto) es im!osible se(uir o com!robar los cálculos) !articularmente los si(nos de los fuerzas o des!lazamientos) cuando no se tiene definido un sistema de coordenadas# Por esta raz"n) se recomienda 'ue la estructura liberada el sistema de coordenadas estén re!resentados !or una fi(ura 'ue no muestre las fuerzas externas a!licadas# -"lo debe mostrar la estructura liberada un con8unto de flec3as sim!les numeradas) cuando las fuerzas liberadas son externas) o !ares de flec3as) cuando las fuerzas liberadas son internas# 2.%.1 'so de coordenadas representadas por una sola flec(a o un par de flec(as
Una coordenada indica la ubicaci"n la direcci"n de una fuerza o des!lazamiento# Una flec3a sim!le re!resenta una fuerza externa $!or e8em!lo una com!onente de
reacci"n& o a un des!lazamiento en la direcci"n de la flec3a# La fuerza !uede ser una car(a concentrada o un !ar@ el des!lazamiento será entonces una traslaci"n o una rotaci"n res!ecti0amente# Las coordenadas + 2 en la fi(ura2#+b re!resentan una reacci"n 0ertical en 7 un !ar $momento& reacti0o en C# Las direcciones de las flec3as se eli(en arbitrariamente) !ero dic3a elecci"n establece la con0enci"n de si(nos 'ue debe se(uirse a lo lar(o del análisis 2.) *os cinco pasos del método de fuerza
El análisis !or el método de fuerza consta de cinco !asos 'ue se resumen como si(ue Paso + Establecer la estructura liberad definir el sistema de coordenadas# 6efinir también la matiz [ A ] m × " de las acciones re'ueridas) definir una con0enci"n de si(nos $si es necesario&# Paso 2 En la estructura liberada determinar los des!lazamientos [ D acciones
[ A ]
s m× "
0
]
n× "
las
debidas a las solicitaciones externas# Establecer también los
des!lazamientos !rescritos
[ # ]n × " #
Paso 1 A!licar una a una 0alores unitarios de las redundantes a la estructura liberada (enerar las matiz de flexibilidad [ f ]n × n la matriz
[ A ]
u m× n
#
Paso :esol0er las ecuaciones de com!atibilidad5
[ f ]n× n [ X ]n × " =[ # − D ]n × " 0
Paso 4 Calcular las acciones re'ueridas !or su!er!osici"n
[ A ] m× "= [ A s ]m× "+ [ A u ]m× n [ X ] n × " Al com!letarse el !aso 1) se 3an (enerado todas las matrices necesarias !ara el análisis# Los dos ,ltimos !asos im!lican sim!lemente al(ebra matricial# El !aso 4 !uede ob0iarse cuando no se re'uiera
nin(una acci"n además de las
redundantes) o cuando la su!er!osici"n !ueda realizarse mediante ins!ecci"n des!ués de la determinaci"n de las redundantes# Para una referencia rá!ida) los s*mbolos utilizados en esta secci"n se definen de nue0o de la si(uiente manera5
n , " , m =¿ n,mero de redundantes) n,mero de casos de car(a) n,mero de
acciones re'ueridas#
[ A ] =¿ Acciones re'ueridas $res!uesta del !roblema&
[ A ]=¿ s
alores de las acciones en la estructura liberada debido a las
solicitaciones externas#
[ A ]=¿ u
alores de las acciones en la estructura liberada debido a fuerzas
unitarias a!licadas se!aradamente en cada coordenada#
[ D ]=¿ 0
las
6es!lazamientos en la estructura liberada en las coordenadas debido a
solicitaciones
externas@
estos
des!lazamientos
re!resentan
las
incom!atibilidades 'ue deben ser eliminadas !or las redundantes#
[ # ]=¿ 6es!lazamientos !rescritos en las coordenadas en la estructura real# [ f ]=¿ Matriz de flexibilidad# 2.+ $n,lisis para car-as diferentes
Cuando se usa la ecuaci"n 2* !ara encontrar las fuerzas redundantes en una estructura ba8o 0arias car(as diferentes) no es necesario re!etir el cálculo de la matriz de flexibilidad $ su in0ersa&# Cuando el n,mero de casos de car(a es #) la soluci"n !uede obtenerse de una sola ecuaci"n matricial [ X ]nx"=[ f ]−nxn [− D ]nx" 1
0
$2D&
En la 'ue cada columna de +- +$' - corres!onde a una car(a# Las reacciones las fuerzas de secci"n en la estructura ori(inal se !ueden determinar con ecuaciones similares a la ecuaci"n 24) es decir) [ A ]mx"=[ A s ]mx 1 +[ A u ]mxn [ X ]nx" $2J& 2#D#+ Efecto del des!lazamiento en los nudos@ efectos del ambiente El método de fuerza se !uede usar !ara el análisis de estructuras 3i!erestáticas sometidas a solicitaciones externas diferentes a las car(as a!licadas) entre estas solicitaciones externas !odemos mencionar5
Asentamiento de las cimentaciones $a!oos&# Cambios de tem!eratura en los elementos de una estructura#
Errores de monta8e) !or e8em!lo cuando una barra de una armadura se fabrica más corta o más lar(a 'ue su lon(itud te"rica#
Efecto de contracci"n en los elementos de concreto al secarse#
La !re fati(a 'ue se induce en los elementos de concreto !reesforzado#
En todos estos casos se !uede a!licar la ecuaci"n 2* !ara el análisis) siendo los elementos de la matriz $' los des!lazamientos de la estructura liberada debido al efecto considerado) o a la combinaci"n de los diferentes efectos# 2#D#2 Efecto del des!lazamiento en las coordenadas a) El des#lazamiento de un a#oyo tiene luar en una de las coordenadas que re#resentan las fuerzas redundantes ) este des!lazamiento tiene 'ue considerarse
en la ecuaci"n de su!er!osici"n# Por e8em!lo si en el !"rtico del e8em!lo 2#1 su!onemos 'ue el a!oo C sufre los des!lazamientos $traslaciones& K + K2 res!ecti0amente en las mismas direcciones 'ue las fuerzas redundantes 1 2# Las ecuaciones de com!atibilidad deben ex!resar el 3ec3o la suma de los des!lazamientos en la direcci"n de cada coordenada a no son nulos sino i(uales a los des!lazamientos K + K2 D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2 =$1
D02+ f 21 X 1+ f 22 X 2= $2
En forma matricial { D 0 }+[ f ]{ X }={ # }
6es!e8ando
{ X } =[ f ]− { #− D 0 } 1
$2&
En donde / es una matriz del mismo orden 'ue $o# En el caso (eneral cuando el n,mero de fuerzas redundantes es n
{}
$1 $ = $2 … $n
b& El des#lazamiento del a#oyo no coincide con una de las coordenadas ) su efecto del mo0imiento de a!oo se debe incluir en el cálculo de los des!lazamientos de la estructura liberada) es decir) en el cálculo de
{ D % }
La ecuaci"n 2 es más (eneral 'ue la ecuaci"n 21 se !uede usar !ara car(a externa as* como !ara des!lazamientos de a!oos# Cuando el análisis se 0a a lle0ar a cabo !ara # casos de car(as mo0imiento de a!oos es con0eniente (eneralizar la ecuaci"n 2D en la forma −1
[ X ]nx"= [ f ]nxn [ $− D
0
]
nx"
( 2−9 )
Ejemplo 2. #órtico plano
Obtener el dia(rama de momento flector fuerza cortante !ara el !"rtico mostrado en la fi(ura 2#Ja# En el cálculo de los des!lazamientos considere s"lo deformaciones !or flexi"n# La ri(idez a flexi"n EI es constante !ara toda la estructura# $a&
$b& 48 2(
2(
%
/
3(
24
% 3(
A
9i(ura 2#J P"rtico !lano analizado en el e8em!lo 2#1# $a& 6imensiones car(a del !"rtico# $b& estructura liberada sistema coordenado
Paso + El !"rtico es estáticamente indeterminado en se(undo (rado@ obtenemos la estructura liberada eliminando el a!oo C # El sistema de coordenadas se muestra en la fi(ura 2#Jb
2. superposición 48
48 !01 !02
24
24
N++ f ++
f 22
f 2+
N2+
N+
f +2
N2
Figura 2." #uperposición
3. Ecuaciones de compatibilidad . En la estructura original los desplazamientos en la
dirección y ubicación de las redundantes son nulas. As$% sumando desplazamientos de la estructura liberada en la dirección de las coordenadas debido a la carga real y al e&ecto de las redundantes tenemos'
D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2 =0 D02+ f 21 X 1+ f 22 X 2=0
1
o en forma matricial
{ } [ ]{ } { }( ) D 01 f 11 f 12 X 1 + = D 02 f 21 f 22 X 2
0
2
0
0aso 2 C"lculo de los coeficientes
D0 i y f ij
# -e calculan !or el método del
traba8o 0irtual
∫
D0 i=
m i M&s EI
∫
' f ij =
m i m j &s EI
6onde mi , m & 5 momento flector en la estructura liberada debido a las redundantes unitarias 5 momento flector en la estructura liberada debido a la car(a externa
% 34 56 34m
N+ + 2% 34 (1
D 16 34.m %
N2 + %
(2
Figura 2. *iagrama de momentos unitarios
∫
D01=
∫
f 11=
m1 M&s EI
m 1 m 1 &s EI
∫
' D02=
m2 M&s EI
∫
' f 21=f 12=
m 1 m2 &s EI
∫
'
m2 m2 &s EI
*onde las integrales se e+tienden a todos los miembros de la estructura. ,sando la t-cnica de multiplicación de diagramas para ealuar las integrales anteriores tenemos# 96 × 3
D01=
D 02=
EI
(1.5 )+ 96 × 3 ( 4.5 ) + 1 72 × 3 (5 )= 2268 EI
EI
2
1
6 ×6
2
EI
f 11= ×
f 12= f 21= 1
f 22= ×
2 3
−4 × 6 EI
6
EI
{
1 2268 { D } = EI −3056
10 3
−
96 × 3
EI
( 4 )−
72
EI
EI
( )+ 3
4
4×6
EI
( 4 )= 117.333 EI
}
/atriz de &le+ibilidad
[ f ]=
1
[
−72
72
EI −72117.333
]
0 su inersa
[ ]
[ f ]− = EI 1
11
3
306
136
3
3
136
136
5. Cálculo de las redundantes X 1 y X 2
*e acuerdo con la ecuación Eec.2!2 1
EI
{− } [− 2268
3056
+
1
EI
72
−72
72 117.333
]{ }={ } X 1 X 2
0 0
EI
( 96 +168 ) × 3
( 3 ) =−72
4 × 4 2
2
0
( ) ( )=
−1 × 96 × 2
2 EI
2 EI
( 4 )= −3056 EI
1allamos el alor de las redundantes usando la Ec. 2-3
{ }
[ ] 11
X 1 = EI 306 3 X 2 136
3
{ } {
136 1 −2268 3 EI 3056
}
= −14.118 ( 17.382
os elementos del ector
136
columna son los alores de la reacción orizontal y ertical en el apoyo
C .
El signo
negatio en el alor de X 1 signi&ica 4ue la reacción orizontal es acia la iz4uierda% es decir en sentido opuesto al indicado en el sistema de coordenadas.
6. Diagramas de fuerza cortante y momento flector
El diagrama de momento &lector se obtiene &5cilmente mediante la Ec.2!6 7A8 97As8 :Au; 7<8 as ubicación de las secciones % 2% => en donde se calculan los momentos se muestran en la &igura 2.b . El signo de los momentos se elige arbitrariamente solo con propósitos de sumarlos algebraicamente.
{ } { }[ ] { } M 1 −168 −6 M 2 −96 −3 M 3 = −96 + 0 −96 M 4 0 0 0 M 5 0 0 M 6
4
−13.76
4
15.88
4 4
{−
14.118
17.382
}= −−
26.47 26.47
2
34.76
0
0
(m
El diagrama de momento &lector se muestra a continuación 2647
2647
3476 1588
1376
9i(ura 2#++ 6ia(rama de momento flector en IFm
Ejemplo de aplicación 2.% #
Para la 0i(a continua mostrada en la fi(ura construir el dia(rama de los momentos flectores !ara los si(uientes casos5 a& Una car(a uniformemente distribuida de intensidad '2 T%m en todos los tramos b& Un mo0imiento descendente del a!oo A de + cm c& Un mo0imiento descendente del a!oo 7 de + cm# Considerar E constante@ E 2 <<< <<< T%m 2@ bx3 <#24 m x <#D< m
q , 2 #(
A
7 l (6 m
C l
6 l
E l
9i(ura 2#+2
1. rado de indeterminaci!n est"tica, estructura liberada,
sistema de
coordenadas
La i(a es estáticamente indeterminada en tercer (rado# Obtenemos la estructura liberada introduciendo una articulaci"n sobre cada a!oo interior) es decir) con la eliminaci"n de dos fuerzas $momentos& i(uales o!uestas 'ue act,an a cada lado del a!oo# As* la estructura liberada resulta en una serie de cuatro 0i(as sim!lemente a!oadas $fi(#&
9i(ura 2#+1 Estructura liberada sistema de coordenadas
2. 7u#er#osici!n
Caso a&
Caso b&
Caso c&
X1,1
+ 21
+ 11 N+
+ 31,0
X2,1
+ 32
+ 22 + 12 N
X3,1
+ 13,0
+ 33
+ 23
N
9i(ura 2#+
La soluci"n de los tres casos se obtiene mediante la ecuaci"n 2# *. C"lculo de los des#lazamientos en la estructura liberada8$ 'i )
Caso a& Los des!lazamientos de la estructura liberada se obtienen de tablas 3
3
3
3
3
3
3
3
3
ql ql ql ql ql ql ql ql ql D01= + = ' D02= + = ' D03= + = 24 EI 24 EI 12 EI 24 EI 24 EI 12 EI 24 EI 24 EI 12 EI
{} 3
ql 12 EI 3 { D0 } = ql = 12 EI 3 ql 12 EI
{ } −3 4 × 10 −3 4 × 10 −3 4 × 10
' { $ }= { 0 }
Caso b& ) 1 D01= = =1.67 × 10−3 ' D02=0 ' D03= 0 l 600
{}{
) { D0 } = l = 0 0
−3 1.67 × 10
0 0
}
{ $ }= { 0 }
Caso c& D01=
−) ) −1 − = − l
l
600
1 600
=−3.33 × 10− ' 3
1 ) D02= = =1.67 × 10−3 ' D03=0 l 600
{ }{ −2 )
{ D } = 0
l ) l
=
−3.33 × 10−3 −3
1.67 × 10 0
}
{ $ }= { 0 }
0
La matriz ;K= en los tres casos es nula $no 3a des!lazamientos en la direcci"n de las coordenadas&# Los des!lazamientos en la estructura liberada !ara los tres casos se !ueden incluir en una matriz con una columna !or caso5
[
−3
4 × 10
[ $ − D ]=−[ D ]=− 4 × 10− 0
0
−3
1.67 × 10
3
−3
4 × 10
0 0
−3.33 × 10−3 −3
1.67 × 10 0
# Calculo de los coeficientes de flexibilidad f i&. Usando tablas de des!lazamiento f 11=
2l 2l 2l l l l l l l + = 'f 22= + = 'f 33= + = 3 EI 3 EI 3 EI 3 EI 3 EI 3 EI 3 EI 3 EI 3 EI
f 12= f 21=
l l ' f 23= f 32= 6 EI 6 EI
f 13 =f 13=0
Matriz de flexibilidad & su inersa
[ f ]= l 6 EI
[ ] 4
1
0
1
4
1
0
1
4
]
−1
[ f ] =
[
15 −4 28 l 1
3 EI
−4 16 −4
1 −4 15
]
-ustituendo en la ecuaci"n 2
[
15
[ X ] = −3 EI −4 28 l
1
−4
1
16
−4
−4
15
][
−3 4 × 10 −3 4 × 10 −3 4 × 10
−3 1.67 × 10
−3.33 × 10−
0
−3 1.67 × 10
0
0
3
]
reem!lazando E, I, !or sus 0alores des!ués de multi!licar las matrices obtenemos
[
]
−7.714 −4.018 9.107 [ X ] = −5.143 1.071 −6.428 *m −7.714 −0.268 1.607 Las columnas de esta matriz corres!onden a los casos $a&) $b& $c& los tres elementos de cada columna son los momentos flectores en 7) C 6# Los dia(ramas de momento flector !ara cada caso se muestran a continuaci"n#
7714 t-(
7714 t-( 5143 t-(
9
9 9
qL28 ,9
4018 t-(
0268 t-(
1071 t-(
6428 t-(
1607 t-(
9107 t-(
9i(ura 2#+4
2.+. Efecto de ariaciones de temperatura 2.+..1. Desplazamientos ori-inados por ariación de temperatura
-i los des!lazamientos son ori(inados !or un cambio de tem!eratura) entonces) ado!tando !ara las deformaciones térmicas del elemento diferencial corres!ondiente de una barra recta de lon(itud ds) la 3i!"tesis de las secciones !lanas) obtenemos t 2
h2 'entroide
ds
h h1
t 1 t 1
$ & s *
$ &+ *
h1 ds
h
$ & s *
$ &+ *
h2
t 2
9i(ura 2#+D a a1 = * 1 &s : b b1= * 2 &s
$ & s * =
( * - +* - ) &s (2.10 ) - 1 2 2 1 * 2−* 1
$ &+ * =
-
&s (2.11 )
donde 5 es el coeficiente de ex!ansi"n térmica 5 incrementos de tem!eratura en los !untos de borde de la secci"n
* 1 y * 2
9 :
5
91 y 92
altura de la secci"n distancias desde el centroide de la secci"n 3asta los !untos de borde
En las barras rectas a!roximadamente en las de !e'ueQa cur0atura) los des!lazamientos !or efecto de una 0ariaci"n de tem!eratura se !ueden considerar com!uesta !or dos des!lazamientos5 un alar(amiento
$ & s * ) ori(inado !or la
0ariaci"n de tem!eratura en el e8e de la barra) el (iro rec*!roco de las secciones $ &+ *
causada !or la diferencia de las 0ariaciones de tem!eratura en los !untos
de borde# Por lo tanto) el des!lazamiento total) !or efecto de una 0ariaci"n de tem!eratura) se determina como
∑∫
D j =
( * - + * - ) n&s+ - 1 2 2 1
'ue !uede escribirse como
∑∫
* 2−* 1 -
m&s ( 2.12 )
∑ - ( * - +* - ) A +∑
D j =
1
6onde5
2
2
1
n
* 2−* 1 -
A m ( 2.13 )
n m son las fuerzas normales momentos flectores debido a la
car(a
0irtual
a!licada
en
la
ubicaci"n
direcci"n
del
des!lazamiento 'ue se desea calcular@ An Am son las áreas de los dia(ramas de n m res!ecti0amente
Ejemplo de aplicación 2.).
Analizar el !"rtico !lano mostrado en la fi(ura 2#+J !ara las si(uientes solicitaciones5 a& Una car(a uniformemente distribuida de t%m en el tramo A7 b& Un asentamiento de +< mm en el a!oo 6 c& Una 0ariaci"n de tem!eratura t +2
' t%m
m
m
m
m
9i(ura 2#+J "olución
+# Brado de indeterminaci"n estática) estructura liberada sistema de coordenadas# El !"rtico !lano es estáticamente indeterminado en se(undo (rado# Obtenemos la estructura liberada eliminando el a!oo E# La estructura liberada el sistema de coordenadas se muestran en la fi(ura
N+) 6+ N2) 62
9i(ura 2#+ Estructura liberada sistema de coordenadas
2# -u!er!osici"n ' ton%m
'
M<
6<+
6<+
6<2
6<2 K6+< mm
Caso a&5 car(a
Caso b&5 mo0imiento de a!oo t+2
D
2
N+
m+
f ++
N+ + f 2+
f +2
N2
f 22
m2
N2+ 9i(ura 2#2<
1# Ecuaciones de com!atibilidad D01+ f 11 X 1 + f 12 X 2 =0 D 02+ f 21 X 1+ f 22 X 2=0
Para cada caso $car(a) des!lazamiento de a!oo 0ariaci"n de tem!eratura&) deberá calcularse los des!lazamientos $oi, en la estructura liberada# En forma matricial
[ X ] 2 ×3=[ f ]−2×1 2 [− D0 ]2 ×3 (1 )
6onde cada columna de la matriz 6o corres!onde a los casos considerados# # Calculo de los coeficientes $oi Caso a) Cara a#licada
( (
m1 M 0 &s D01= = EI
∫
m2 M 0 &s D02= = EI
∫
2 3
× 8 q ×8 2 EI
2 3
× 8 q ×8 2 EI
) )
× 1=
× 4=
64 q 3 EI
256 q 3 EI
Caso b) Asentamiento de a#oyo
∑ )
D j =−
()
D01=−
1 4
mj
$m
× 0.01 =−0.0025 m
D02=−( 2 ) × 0.01=−0.02 m
Caso c) ;ariaci!n de tem#eratura ∝
∝
∑ - ( * - + * - ) A +∑ - ( * −* ) A
D j =
1
2
2
D01=
1
n
2
−6 12 × 10
0.4
1
m
[(20 × 0.2+ 50× 0.2) (−1 × 8 ) +(50 −20 ) (−4 × 8 ) ] D 01=−0.03216 m
D02=
−6 12 × 10
0.4
[
( 20 × 0.2 + 50 × 0.2 )( 0 )+( 50 −20 ) D02=0.0288 m
Por lo tanto) la matriz +$o - es
[ D ]= 0
[
64 q 3 EI 256 q 3 EI
−0.0025 −0.03216 −0.02
4# Cálculo de los coeficientes de flexibilidad f i&
0.0288
]
(
1 2
×8 ×8
)]
∫
f 11=
m 1 m1 &s EI
(
=
1 2 ×8 2 2 EI
)( )+( 2
3
2
1 6 ×6
m 1 m 2 &s
∫
f 12= f 21=
EI
2
EI
(
=
)( )+( )( )+( 2
3
1 2×8 2 2 EI
f 12= f 21=
∫
f 22=
m 2 m2 &s = EI
[(
4 ×8
6
2 EI
4
1 4×4 2
EI
)( )= 2
3
4
488 3 EI
)( ) ( )(− ) 2 3
8
+
4 × 8
2 EI
4
−128 3 EI
1 8 ×8 2 2 EI
)( )] 2 3
8
×2=
512 3 EI
Matriz de flexibilidad [ f ] su in0ersa
[ f ]=
1 3 EI
[−
488 128
= EI 152 1
[ f ]
512
]
[ ] 1
−1
−128
608
1 / 608 2
319
D# Calculo de la matriz >x?# Utilizando la ec# $+&
[ ][ 1
1 / 608
[ X ] =− EI 152 1 608
64 q
2
3 EI 256 q
319
3 EI
−0.0025 −0.03216 −0.02
0.0288
]
:eem!lazando E e I !or sus 0alores multi!licando las matrices) obtenemos5
[−
[ X ] = −1.1228 2.2807
0.1579 0.4145
]
0.5255 *%n −0.4086
Las columnas de esta matriz corres!onden a los casos a&) b& c& los dos elementos de cada columna son las reacciones en el a!oo E J# 6ia(ramas de fuerzas internas# abiendo encontrado los 0alores de las redundantes !ara cada caso) las fuerzas internas en cual'uier secci"n se !ueden obtener !or su!er!osici"n# Los momentos flectores en los extremos de las barras) en el orden mostrado en el es'uema si(uiente se determinan como
[ M ] =[ M ]+ [ M ] [ X ] 0
[ ][ ] [ ]
[ M ] =
0
0
0
−32
0
0
0
0
0
0
0
−1 − 4 −2 − 8 4 −8 −1.1228 + 4 0 −2.2807 −6 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
[
0.1579
0.5255
0.4145
−0.4086
]=¿
0
−21.75 −1.82 1.11 −3.63 2.22 20.49 13.75 − 2.68 5.37 [ M ] = −4.49 0.63 2.10 *m 6.74 −0.95 −3.15 0
0
0
− 4.49
0.63
2.10
0
0
0
Las columnas de esta matriz son los momentos flectores !ara cada uno de los casos resueltos5 Los 0alores de la !rimera columna son los momentos !ara el caso $a& $car(a&) la se(unda columna los momentos !ara el caso $b& $mo0imiento de a!oo&) la tercera columna los momentos !ara el caso $c& $cambio de tem!eratura&# Los dia(ramas de momentos flectores !ara los tres casos) se muestran en las fi(uras 2#2+a 2#21#
9i(ura 2#2+ Efecto de las car(as
9i(ura 2#22 Efecto de asentamiento de a!oo
