CAPÍTULO III PÓRTICOS
PÓRTICOS
MATRIZ DE RIGIDEZ DE COLUMNAS
( )
](
[
III - 2
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
ROTACIÓN DEL SISTEMA DE REFERENCIA
En el extremo “i” del elemento estructural los vectores a rotar son los correspondientes a los grados de libertad 1 y 2, es decir “x`” y “y’”.
Y P(x,y)
I
Y
y
C X
B y
I
x D I
I
A O
x
i
X
De la gráfica: ( ( ⃗⃗⃗⃗⃗
) )
⃗⃗⃗⃗⃗
( )
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
III - 3
PÓRTICOS
(
)
( )
De (1) y (2):
Expresados matricialmente:
{
}
[
]{
En donde:
(
)
Incluyendo en el grado de libertad “3”
Expresando matricialmente:
III - 4
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
[
]{
}
Considerando ahora, ambos extremos del elemento: “i” y “j”:
SISTEMA LOCAL
{
{
}
III - 5
}
PÓRTICOS
SISTEMA GLOBAL
{
{
}
}
Formando las ecuaciones:
Expresando matricialmente:
{
}
[
]{
III - 6
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN
; Matriz de transformación de sistema global a sistema local. [
]
Por extensión:
( )
[
](
)
Por consiguiente, para la obtención de la matriz de rigidez de elementos inclinados:
( )
En eje local:
( ) ( )
(2) y (3) en (1):
Multiplicando por:
III - 7
PÓRTICOS
Como sabemos:
[
]
III - 8
(
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
](
III - 9
)
PÓRTICOS
MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS INCLINADOS Operando la expresión anterior se obtiene:
√
(
)
( )
( (
) )
( (
) )
(
)
[
Para Para
]
, se obtiene la matriz de rigidez de la columna anteriormente descrita. , se obtiene la matriz de rigidez de la viga anteriormente descrita.
Por consiguiente, esta matriz constituye la matriz de rigidez general.
III - 10
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
PROBLEMA Nº 01 Usando un análisis matricial por el método de las rigideces, se pide determinar: a)
Los momentos flectores en los extremos de cada elemento.
b)
Dibujar el diagrama de momentos flectores
Ignore deformaciones axiales y de corte. Vigas:
b x h = 0.25m x 0.60m
Columna Circular: Para todos los elementos:
SOLUCIÓN:
III - 11
PÓRTICOS
1º. Cálculos previos
(
)
2º. Matriz de Rigidez de cada elemento:
( )
Para elementos verticales y horizontales (ortogonales entre sí), deben considerarse como mínimo 2 GDL por elemento. Elemento 1:
( )
[
( )
[
III - 12
]
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
( )
[
( )
[
]
]
Elemento 3:
( )
[
( )
[
]
III - 13
]
PÓRTICOS
3º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
[
] (
)
4º. Vector de fuerzas externas de las estructuras:
{
} (
)
5º. Vector de desplazamientos de la estructura
[
] {
}
Resolviendo:
{
}
III - 14
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
6º. Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
( )
( )
( )
[
{
( )
] {
}
}
( )
Elemento 2:
( )
( )
( )
[
] {
( )
III - 15
{
}
}
PÓRTICOS
( )
( )
Elemento 3:
( )
( )
( )
[
{
] {
}
7º. Dibujo del D.M.F.
III - 16
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 02
Para la estructura mostrada en la figura se pide determinar: a) Las fuerzas internas en los extremos de cada elemento b) Dibujar el diagrama de fuerzas cortantes c) Dibujar el diagrama de momentos flectores Despreciar las deformaciones axiales y de corte.
SOLUCIÓN:
III - 17
PÓRTICOS
1º. Matriz de rigidez de cada elemento:
( )
Elemento 1:
( )
[
( )
[
]
Elemento 2:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
[
( )
[
III - 18
]
]
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
4º. Vector de desplazamientos de la estructura:
En donde:
{
}
Sustituyendo en (1):
] {
[
Resolviendo:
III - 19
}
{
}
PÓRTICOS
{
}
5º. Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
{
[
]
( )
{
}
}
( )
( )
( )
Elemento 2:
( )
[
]
III - 20
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
{
6º. Dibujo del DFC y DMF
PROBLEMA Nº 03 Considere la estructura mostrada en la figura 1:
III - 21
}
PÓRTICOS
1. Determine las matrices de rigidez de los tres elementos típicos con los grados de libertad indicados en la figura 2 (ignore deformaciones axiales y de corte) 2. Obtenga los coeficientes
de la matriz de
rigidez de la estructura con los 8 grados de libertad indicados en la figura 3. ¿Cuáles serian los coeficientes de rigidez antes indicados si el sentido positivo del grado de libertad 1 fuera hacia la izquierda? Por acción de las fuerzas horizontales mostradas en la figura 1 se producen los siguientes desplazamientos en correspondencia a cada grado de libertad (m, radianes)
3. Determine las fuerzas en los extremos de cada elemento. Verifique el equilibrio 4. Dibuje los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores (no a escala). ¿Cuáles son las fuerzas axiales en las columnas?
III - 22
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN: 1º. Matrices de rigidez de los tres elementos típicos:
Elementos AC Y BD
[
[
]
]
Elementos CE Y DF
III - 23
PÓRTICOS
[
]
[
]
Elementos CD Y EF
[ [
]
]
[
]
III - 24
ING. RONALD SANTANA TAPIA
2º. Obtenga los coeficientes
de la matriz
de rigidez de la estructura
̂
̂
̂
Si el grado de libertad 1 de la estructura es hacia la izquierda los
coeficientes serian así: Elementos AC Y BD
[
]
III - 25
PÓRTICOS
-
Elementos CE Y DF
[
]
̂
̂
̂
…(*)
…(*)
…(*)
(*)Permanecen con el mismo signo
III - 26
ING. RONALD SANTANA TAPIA
3º. Determine las fuerzas en los extremos de cada elemento. Verifique el equilibrio
-
Elementos AC Y BD :
[
{
-
{
]
}
}
Elementos CE Y FD:
[
]
III - 27
{
}
PÓRTICOS
{
-
}
Elementos CD y EF:
[
]
{
{
}
}
III - 28
ING. RONALD SANTANA TAPIA
4º. Verificación del equilibrio
Elemento EF
∑ ∑
Elemento CD
∑ ∑
5º. Dibuje el DFC y DMF
III - 29
PÓRTICOS
III - 30
ING. RONALD SANTANA TAPIA
FUERZAS EN LAS COLUMNAS
PROBLEMA Nº 04 Considere la estructura mostrada en la figura 1:
1º. Determine la matriz de rigidez de cada elemento, con los grados de libertad indicados en la figura (ignore deformaciones axiales y de corte)
III - 31
PÓRTICOS
2º. Obtenga los coeficientes
de la matriz de
rigidez de la estructura con los grados de libertad indicados en la figura 1. Por acción de ciertas fuerzas se producen los siguientes desplazamientos en correspondencia a cada grado de libertad (m, radianes):
3º. Determine las fuerzas en los extremos de cada elemento. 4º. ¿Cuáles son las fuerzas externas aplicadas? ¿Cuáles son las fuerzas axiales en las columnas? 5º. Dibuje los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores (no a escala)
III - 32
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
Determine la matriz de rigidez de cada elemento, con los grados de libertad indicados en la figura (ignore deformaciones axiales y de corte)
-
Elementos BC Y DE
Sabemos que:
III - 33
PÓRTICOS
[
]
Para determinar la matriz de rigidez del elemento con la disposición de los GDL indicando en la figura, se debe: o
Cambiar la posición de las columnas de acuerdo a la nueva disposición de los GDL.
o
En cada columna removida, se debe reubicar los coeficientes en el nuevo orden de GDL dispuestos.
Así tenemos, para la 1º columna: La cuarta columna de la matriz original, lo pasamos a la primera por ser esta la nueva disposición
III - 34
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
Luego reubicamos los coeficientes de esta columna de acuerdo a la correlación de la nueva numeración de los GDL
{
}
Así sucesivamente:
[
]
III - 35
PÓRTICOS
OTRA FORMA: Otra forma de encontrar la matriz de rigidez del elemento con la nueva disposición de los GDL, indicando en la figura, será:
( )
[
]
(*) Nueva disposición de los GDL en correlación a los anteriores. Luego ordenando de acuerdo a
; en la nueva disposición de
GDL encontramos la matriz de rigidez
III - 36
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elementos DC y DE
[
]
[
]
III - 37
PÓRTICOS
Elementos BE, CD y EG
[
[
]
]
Elementos AB, EF Y GH
[
[
]
]
1º. Obtenga los coeficientes
de la matriz
de rigidez de la estructura con los grados de libertad indicados en la figura 1.
III - 38
ING. RONALD SANTANA TAPIA
2º. Determine las fuerzas en los extremos de cada elemento
Elemento AB:
[
]
{
III - 39
{
}
}
PÓRTICOS
Elemento BC:
[
{
{
]
}
Elemento CD:
[
{
]
}
III - 40
{
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento DE:
[
{
]
{
}
Elemento BE:
[
]
{
III - 41
{
}
}
}
PÓRTICOS
Elemento EF:
[
{
]
{
}
}
Elemento EG:
[
]
{
III - 42
{
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento GH:
[
{
]
{
}
}
3º. ¿Cuáles son las fuerzas externas aplicadas? ¿cuáles son las fuerzas axiales en las columnas?
Cálculo de las fuerzas externas 1º. Fuerzas externas horizontales
Como el elemento CD esta en equilibrio estático existirá una fuerza externa en dirección opuesta a las internas
III - 43
PÓRTICOS
∑
∑
∑
( )
( )
( )
∑ ∑
∑
( )
( )
( )
2º. Fuerzas verticales
Se observa en los elementos CD, BE y EG que no existe una fuerza interna desequilibrante, .∑
/
3º. Momentos externos en los nudos
∑
NUDO “B” ∑
∑
NUDO “C”
III - 44
Fuerzas externas verticales
ING. RONALD SANTANA TAPIA
∑
∑
∑ ∑
NUDO “D” ∑
∑ ∑
NUDO “E” ∑
∑ ∑
NUDO “G” ∑
∑ FUERZAS AXIALES EN LAS COLUMNAS
III - 45
PÓRTICOS
4º. Dibuje los DFC y DMF
III - 46
ING. RONALD SANTANA TAPIA
COMPROBACIÓN DEL CÁLCULO DE LAS FUERZAS EXTERNAS Matriz de rigidez de la estructura
[
]
Vector desplazamiento de la estructura
{
III - 47
}
PÓRTICOS
Vector fuerza de la estructura:
{
}
Las fuerzas actuales son:
III - 48
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 05 Resolver la estructura mostrada en la figura y dibujar el DFC y DMF Despreciar las deformaciones axiales y de corte.
SOLUCIÓN:
III - 49
PÓRTICOS
1º. Matriz de rigidez de cada elemento
( )
Elemento: 1
( )
[ [
]
]
Elemento: 2
( )
[ [
]
III - 50
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento: 3
( )
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
(
) [
[
]
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
4º. Vector de desplazamiento de la estructura:
Sustituyendo valores:
[
] {
III - 51
}
{
}
PÓRTICOS
Resolviendo:
{
}
{
}
Deformada
5º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
[
( )
( )
( )
( )
]
{
{
}
III - 52
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
Elemento 2:
( )
( )
{
( )
[
( )
]
{
}
}
( )
Elemento 3:
( )
[
( )
( )
]
III - 53
{
}
PÓRTICOS
( )
{
}
6º. Dibujo del DFC Y DMF
III - 54
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 06: Para el sistema aporticado mostrado en la figura, se pide determinar: a)
El vector de desplazamiento del sistema y bosquejar la deformada.
b)
El vector de Fuerzas Internas en los extremos de los elementos
c)
Dibujar el DFC y DMF
Despreciar la deformación Axial y de Corte
MATERIAL: Concreto Armado SECCIÓN: Viga
: (0.30 x 0.60)
Columna Rectangular
: (0.30 x 0.30)
Columna Circular
:
III - 55
PÓRTICOS
SOLUCIÓN:
1º. Cálculos previos COLUMNA CIRCULAR:
(
)
(
)
COLUMNAS RECTANGULARES:
VIGA:
MATERIAL:
√
(
)
III - 56
ING. RONALD SANTANA TAPIA
√
2º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento 1:
[
[
]
]
Elemento 2:
[
III - 57
]
PÓRTICOS
[
]
Elemento 3:
[
[
]
]
3º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
III - 58
ING. RONALD SANTANA TAPIA
4º.
Vector de fuerzas externas del sistema:
{ 5º.
}
Vector de desplazamientos del sistema:
{
}
DEFORMADA 6º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
Elemento 1:
[
] {
III - 59
}
PÓRTICOS
{
}
Elemento 2:
[
] {
{
}
III - 60
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
[
] {
{
}
}
PROBLEMA Nº 07: Para el sistema aporticado mostrado en la figura, se pide determinar: a)
El vector de desplazamiento del sistema
b)
El vector de Fuerzas Internas en los extremos de los elementos
c)
Dibujar el DFC y DMF
MATERIAL: Concreto armado
III - 61
PÓRTICOS
SECCIÓN: Viga
: (0.30 x 0.60)
Columna Rectangular
: (0.30 x 0.30)
Columna Circular
:
SOLUCION: TRABAJANDO CON TODOS LOS GDL
(Y despreciando la deformación por corte)
1º. Cálculos previos
COLUMNA CIRCULAR:
(
)
III - 62
ING. RONALD SANTANA TAPIA
(
)
COLUMNA RECTANGULAR:
(
)
VIGA:
(
)
MATERIAL:
√
(
);
(Concreto armado)
√
2º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento 1:
III - 63
PÓRTICOS
[
]
Elemento 2:
[
]
III - 64
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
[
]
3º. Matriz de rigidez de los elementos:
[
]
III - 65
PÓRTICOS
4º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
5º. Vector de desplazamientos del sistema:
{
}
III - 66
ING. RONALD SANTANA TAPIA
DEFORMADA 6º. Vector de desplazamientos del sistema:
Elemento 1:
{
}
III - 67
{
}
PÓRTICOS
Elemento 2:
{
}
III - 68
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
{
}
III - 69
{
}
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 08 Considere el pórtico plano mostrado en la figura. La estructura está sometida a fuerzas concentradas en los puntos como se indica. Las deformaciones de corte y axiales pueden despreciarse. Utilizando el método de rigideces, determine las fuerzas internas en los extremos de los elementos y dibuje los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores.
SOLUCIÓN:
III - 70
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de cada elemento
Elemento 1:
( )
[ [
]
]
( )
[
]
Elemento 2:
( )
[ [
]
III - 71
]
PÓRTICOS
( )
[
]
Elemento 3:
( )
[ [
]
]
( )
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
III - 72
ING. RONALD SANTANA TAPIA
[
]
3º. Vector de las fuerzas externas del sistema:
{
}
4º. Vector del desplazamiento del sistema:
[
]
{
{
}
}
III - 73
{
}
PÓRTICOS
5º. Fuerzas internas de cada elemento
( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
[
]
( )
( )
{
( )
Elemento 2:
( )
}
( )
{ [
{
}
( )
}
{
}
] ( )
Elemento 3:
( )
( )
[
]
( )
{
( )
}
6º. Isostatización de los elementos
III - 74
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
III - 75
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 09 Para la estructura de la figura, se han obtenido (ignorando deformaciones axiales y de corte) los resultados siguientes (en toneladas, metros y radianes):
Utilizando las condiciones de equilibrio, determine los giros en A y C, la fuerza horizontal H y el momento flector M. dibuje los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos flectores.
PRIMERA FORMA Según las ecuaciones de Maney:
( (
) )
III - 76
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento AB:
(
)
(
(
)
Elemento BC:
(
(
)
(
DFC y DMF
III - 77
)
)
)
PÓRTICOS
SEGUNDA FORMA Aplicando el análisis matricial:
III - 78
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento 1:
( )
[
]
( )
[
]
Elemento 2:
III - 79
[
]
PÓRTICOS
(
)
(
(
)
(
)
√ )
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
III - 80
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
4º. Vector de desplazamiento del sistema:
{
}
De la ecuación de equilibrio:
( ) ( ) ( ) [
{
] {
}
( )
}
De la ecuación (1):
(
)
(
)
(
)
(
)
De la ecuación (3):
(
) (
( )
III - 81
)
PÓRTICOS
(
)
De la ecuación (2):
(
)
(
)
(
)
De la ecuación (4): (
)
(
)
(
PROBLEMA Nº 10 Al actuar una fuerza horizontal “H” como se indica en la figura, se obtienen:
Calcule: a) Los momentos Flectores en los extremos de los elementos b) La fuerza horizontal “H” aplicada c) El DFC y DMF
III - 82
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
1. Matriz de rigidez de c/elemento: Elemento 1:
III - 83
( )
PÓRTICOS
( )
[
]
[
]
Elemento 2:
( )
[ [
]
]
Elemento 3:
( )
[ [
]
III - 84
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
2. Fuerzas internas para c/elemento: ( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
( )
( )
[
] {
}
POR EXTENSIÓN:
(
)
(
)
(
)
( (
) )
(
)
III - 85
{
}
PÓRTICOS
Elemento 2:
( )
[
( )
( )
] {
Elemento 3:
( )
( )
[
( )
}
( )
] {
}
( )
}
III - 86
{
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
3. Cálculo de “H”
PROBLEMA Nº 11 Para el pórtico. Suponga que las deformaciones de corte y las debidas a fuerzas axiales pueden despreciarse (la estructura puede analizarse considerando tres grados de libertad asociadas a los giros en los nudos B, C y al desplazamiento horizontal en el nivel superior). a. Determinar los giros en B y C cuando, por acción de una fuerza horizontal en el nivel superior, se produce un desplazamiento lateral de 4mm b. Para la condición indicada en (a), determine la fuerza horizontal aplicada “H“. c. Calcular los momentos flectores en los extremos de los elementos (se recomienda de Maney)
III - 87
PÓRTICOS
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento 1:
[ [
]
III - 88
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
III - 89
}
PÓRTICOS
4º. Vector de desplazamientos del sistema:
[
]
{
}
{
}
POR EXTENSIÓN:
( (
)
( )
) (
( ) )
( )
De (2) y (3):
En (1):
5º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
III - 90
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 1:
[
] {
{
}
}
Elemento 2:
[
{
] {
}
III - 91
}
PÓRTICOS
6º. Dibujo del DFC Y DMF
PROBLEMA Nº 12 La estructura de la figura mostrada, esta sometida a fuerzas concentradas en los nudos como se indica, se pide calcular: a. Las fuerzas internas en los extremos de los elementos en eje local y el eje global b. Dibujar el DFC y DMF
III - 92
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Despreciar la deformación axial y de corte (
)
(
)
(
) (
)
Para todos los elementos:
SOLUCIÓN:
1º. Cálculos previos:
III - 93
PÓRTICOS
2º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento 1:
[ [
]
]
Elemento 2:
(
)
(
(
)
(
) )
√
III - 94
ING. RONALD SANTANA TAPIA
(
[
(
)
)
]
Si la condición de Problema es despreciar la deformación axial de la viga, entonces al AREA le multiplicaremos por un FACTOR grande como DESPRECIANDO LA DEFORMACION AXIAL:
[
]
3º. Matriz de rigidez del sistema:
[
](
III - 95
)
PÓRTICOS
4º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
5º. Vector de desplazamientos del sistema:
{
}
6º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
Elemento 1:
[
] {
}
{
III - 96
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
[
]
{
}
{
III - 97
}
PÓRTICOS
( )
EN EJE LOCAL:
( )
( )
[
]
( )
[
] {
III - 98
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
{
7º. Dibujo del DFC y DMF
III - 99
}
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 13 Para la estructura mostrada en la figura se pide calcular: a. El vector de fuerzas internas en los extremos de los elementos b. Dibujar el DFC y DMF c. Bosquejar la deformada del sistema (no a escala) Despreciar las deformaciones axiales y de corte
2 ton/m. A
4 ton-m. B 2m 1 ton.
2m C 6m
SOLUCIÓN:
III - 100
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento 1:
[ [
]
]
Elemento 2:
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
[
](
III - 101
)
PÓRTICOS
3º. Vector de fuerzas externas en los nudos del sistema :
{
}
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto en los elementos: Elemento 1:
{
}
Elemento 2:
III - 102
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
5º.
}
Vector de fuerzas de empotramiento perfecto del sistema:
{
}
6º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
{
III - 103
}
{
}
PÓRTICOS
7º. Vector de desplazamiento del sistema:
{
}
8º. Vector de fuerzas internas de elementos:
Elemento 1:
{
}
[
] {
III - 104
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
Elemento 2:
{
}
[
] {
{
}
III - 105
}
PÓRTICOS
9º. Dibujo del DFC y DMF
PROBLEMA Nº 14 Para la estructura mostrada en la figura, se ha obtenido (en ton., m., rad.):
Note que:
Determine: a. La magnitud de las cargas uniformemente distribuidas b. Dibuje el diagrama de momentos flectores
III - 106
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de los elementos Elemento 1:
( )
[
III - 107
]
PÓRTICOS
( )
[
]
Elemento 2:
( )
[
( )
[
]
Elemento 3:
( )
[
III - 108
]
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
[
]
Elemento 4:
( )
[
( )
[
2º. Matriz de rigidez del sistema:
III - 109
]
]
PÓRTICOS
[
]
[
](
III - 110
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
3º. Vector de fuerzas externas de nudos del sistema:
{
}(
)
4º. Vector de fuerzas internas de empotramiento de elementos: Elemento 1:
{
}(
Elemento 2:
III - 111
)
PÓRTICOS
Elemento 3:
{
}(
)
Elemento 4:
5º. Vector de fuerzas de empotramiento del sistema:
{
}(
III - 112
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
6º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}(
)
7º. Vector de desplazamientos del sistema:
[
] {
III - 113
}
{
}
PÓRTICOS
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
)
)
)
(
(
( )
( )
( )
( ) ( )
8º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
Elemento 1:
III - 114
)
( )
( )
)
)
( )
(
)
(
)
(
(
(
)
)
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
[
{
]
{
}
}
Elemento 2:
[
]
{
}
III - 115
{
}
PÓRTICOS
Elemento 3:
{
}
[
{
]
{
}
}
Elemento 4:
[
]
{
}
III - 116
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 15 Analice la estructura mostrada en la figura, usando el método de rigideces. Para la viga Los efectos de las deformaciones de corte y la deformación axial en la viga son poco importantes. En B la viga se apoya en un resorte, de rigidez (y sin rigidez flexional). Note que el nudo B puede desplazarse verticalmente y girar. Dibuje los diagramas de momentos flectores y de fuerzas cortante (no a escala, pero indicando los valores numéricos más importantes).
SOLUCIÓN
III - 117
PÓRTICOS
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
( )
Elemento 1:
( )
[ [
]
]
Elemento 2:
( )
[ [
]
]
Elemento 3:
( )
III - 118
,
-
,
-
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez del sistema:
[
]
2º. Vector de fuerzas de nudos:
3º. Vector de fuerzas de empotramiento:
{
}
4º. Vector de fuerzas externas del sistema:
{
}
5º. Vector de desplazamientos del sistema:
III - 119
PÓRTICOS
{
}
6º. Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
[
] {
( )
}
{
III - 120
}
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 2:
( )
[
] {
( )
{
}
PROBLEMA Nº 16 Para la estructura mostrada en la figura se pide determinar: a. Las fuerzas internas en los extremos de los elementos b. Dibujar los DFC y DMF c. Bosquejar esquemáticamente la deformada de la estructura
III - 121
}
PÓRTICOS
Depreciar la deformación axial y de corte √ (
)
SOLUCIÓN:
1º. Cálculos previos:
√ (
)
III - 122
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
2º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento 1:
( )
[
]
( )
[
]
Elemento 2:
(
)
(
)
(
)
(
)
III - 123
PÓRTICOS
√
(
)
[
]
[
]
3º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
III - 124
ING. RONALD SANTANA TAPIA
4º. Vector de fuerzas en los nudos de la estructura:
{
}
5º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos: Elemento 1:
( )
{ Elemento 2:
III - 125
}
( )
PÓRTICOS
6º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura:
{
}
7º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
8º. Vector de desplazamiento de la estructura:
III - 126
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
9º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
[
] {
III - 127
}
PÓRTICOS
( )
{
( )
}
( )
( )
Elemento 2:
( )
( )
[
] {
( )
{
}
III - 128
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
EN EJE LOCAL:
( )
( )
( )
{
}(
)
( )
[
]
III - 129
PÓRTICOS
Sabemos:
( )
{ 10º.
} Dibujo del DFC Y DMF
III - 130
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 17 Considere el pórtico plano mostrado en la figura. La estructura esta sometida a fuerzas distribuidas y concentradas como se indica. Las deformaciones de corte axiales pueden despreciarse. Utilizando el método de rigideces, determine los momentos en los extremos de cada elemento. Dibuja los diagramas de momentos flectores.
SOLUCIÓN:
III - 131
PÓRTICOS
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
( )
Elemento 1:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
[
]
( )
[
]
[
]
Elemento 2:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
[
( )
]
[
[
III - 132
]
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
(
)
(
)
)
( )
[
]
( )
]
[
]
2º. Matriz de rigidez del sistema:
,
-(
)
[
III - 133
) ]
[
( )
(
[
]
PÓRTICOS
3º. Vector de fuerzas externas de nudos del sistema: *
+
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos: Elemento 1:
( )
{
}
Elemento 2:
( )
{
Elemento 3:
III - 134
}
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
{
}
5º. Vector de fuerzas internas de empotramiento del sistema:
*
+ *
+
6º. Vector de fuerzas externas global del sistema:
*
+
* *
+ +
7º. Vector de desplazamientos del sistema:
*
+
8º. Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
III - 135
( )
( )
PÓRTICOS
Elemento 1:
( )
[
]
( )
{
{
}
{
}
}
Elemento 2:
( )
[
]
( )
{
III - 136
{
}
}
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
( )
[
]
( )
{
III - 137
{
}
}
{
}
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 18 Determine los momentos flectores en la estructura plana en la figura y dibuje los diagramas de momentos flectores y de fuerzas cortantes (no a escala). Sobre los elementos AB y BD actúan fuerzas verticales distribuidas de 1ton/m (proyectada horizontalmente). Sobre BC se tiene una carga uniforme de 2 ton/m y una carga vertical de 0.5 ton concentrada en el extremo C. todas las fuerzas son hacia abajo. Para el análisis suponga que EI es constante y que pueden despreciarse deformaciones axiales y de corte; sustituya las acciones sobre el volado por sus equivalentes en B.
SOLUCIÓN:
III - 138
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de los elementos: Elemento: AB
[ [
]
√
Elemento: BD
III - 139
]
PÓRTICOS
[ [
]
]
√
2º. Matriz de rigidez del sistema: [ ]
3º. Vector de fuerzas en los nudos del sistema: *
+
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto en los elementos: Elemento: AB
III - 140
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
{
}
Elemento: BD
5º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto del sistema:
*
+
6º. Vector de fuerzas externas del sistema:
*
+
7º. Vector de desplazamientos del sistema:
III - 141
PÓRTICOS
] *
[
*
+
+
*
+
*
+
8º. Vector de fuerzas internas de los elementos:
Elemento AB:
[
]
( )( )
{
}
( )
( )
III - 142
{
}
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento BD:
[
]
{
}
Por semejanza:
III - 143
{
}
{
}
PÓRTICOS
Elemento BC:
PROBLEMA Nº 19
Para la estructura de la figura se han obtenido (ignorando deformaciones axiales y de corte) los resultados siguientes (en toneladas y metros):
Escriba expresiones para los momentos flectores en los extremos de cada elemento, en cada función de
Utilizando las condiciones de equilibrio,
determine los giros en A y C, la carga uniformemente distribuida w y las fuerza horizontal H, dibuje diagramas de momentos flectores y de fuerzas cortantes.
III - 144
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PRIMERA FORMA:
Según las ecuaciones de Maney: (
)
(
)
Elemento AB:
(
)
( )
(
)
( )
De (1):
De (2):
(
)
III - 145
PÓRTICOS
Elemento: BC
̅
̅
(
)
( )
(
)
( )
Reemplazamos valores: De (1):
(
)
En el nudo “B”
(
)
( )
III - 146
ING. RONALD SANTANA TAPIA
De (2):
( (
)
)
( )
De (3) y (4):
(
Cálculo de “H”
Nudo “B”
III - 147
)
PÓRTICOS
SEGUNDA FORMA: (Análisis Matricial)
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
Elemento: 1
[ [
]
III - 148
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA Elemento: 2
√
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
{
}
3º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos: Elemento: 1
III - 149
PÓRTICOS
Elemento: 2
̅ ̅ {
}
4º. Vector fuerzas de empotramiento perfecto del sistema:
̅ ̅ {
}
5º. Vector de fuerzas externas del sistema:
̅ ̅ {
III - 150
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
6º. De la ecuación de equilibrio en el sistema
̅
[
] {
̅
}
{
}
Desarrollando por extensión:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
(
(
)
( )
)
( )
)
)
( ) ( )
( ) ( )
III - 151
(
(
)
̅
)
̅
( )
( )
PÓRTICOS
7º. Diagrama del DFC y DMF
Elemento: 1
Elemento: 2
III - 152
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 20 Para el sistema estructural mostrado en la figura se pide determinar: a. El vector de fuerzas internas de los elementos b. Dibujar el DFC y DMF c. Bosquejar la deformada del sistema Despreciar las deformaciones axiales y de corte
SOLUCIÓN:
III - 153
PÓRTICOS
( )
1º. Matriz de rigidez de cada elemento:
Elemento 1:
( )
[ [
]
]
Elemento 2:
( )
[ [
]
III - 154
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 3:
( )
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de nudos de la estructura:
{
}
III - 155
PÓRTICOS
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de los elemento: Elemento 1:
( )
{
Elemento 2:
Elemento 3:
III - 156
}
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
DE LA ESTATICA:
∑
( )
{
}
5º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura:
{
}
{
}
6º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
{
III - 157
}
{
}
PÓRTICOS
7º. Vector de desplazamiento de la estructura:
{
}
8º. Vector fuerzas internas de los elementos:
( )
Elemento 1:
( )
( )
( )
( )
III - 158
( )
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
{
[
}
( )
( )
Elemento 2:
( )
]
{
[
( )
]
( )
}
}
( )
( )
{
{
III - 159
{
}
}
PÓRTICOS
( )
Elemento 3:
( )
{
( )
}
( )
( )
[
( )
]
{
III - 160
}
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
9º. Dibujo del DFC Y DMF
III - 161
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 21 Para el sistema aporticado con las cargas que se muestran en la figura se pide determinar: a. El vector de la fuerzas internas de los elementos b. Cuáles son las fuerzas axiales en las columnas c. Dibujar el DFC y DMF Despreciar las deformaciones axiales y de corte
w = 3 ton/m 8 ton E
C
4m
3 EI
D
4 EI
4 EI
B A
2m
6m
SOLUCIÓN:
III - 162
3m
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
( )
Elemento 1:
( )
[ [
]
Elemento 2:
III - 163
]
PÓRTICOS
( )
[ [
]
]
Elemento 3:
( )
[
]
III - 164
[
]
ING. RONALD SANTANA TAPIA
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas de cargas en los nudos de la estructura:
{
}
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos:
Elemento 1 y 3:
Elemento 2:
III - 165
( )
PÓRTICOS
( )
{
}
5º. Vector de momentos de empotramiento perfecto de la estructura:
{
}
6º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
{
{
III - 166
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
7º. Vector de desplazamientos de la estructura:
{
}
8º. Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
{
}
[
]
( )
Elemento 2:
( )
( )
( )
( )
( )
{
( )
}
( )
III - 167
( )
( )
{
}
PÓRTICOS
( )
{
}
[
]
{
}
{
}
Elemento 3: ( )
( )
( )
( )
( )
{
}
[
]
III - 168
{
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
{
}
9º. Fuerza axial en columnas
III - 169
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 22 Para el sistema mostrado se pide resolver y dibujar el DFC y DMF
Despreciar deformaciones axiales y de corte
SOLUCIÓN:
III - 170
ING. RONALD SANTANA TAPIA
1º. Matriz de rigidez de cada elemento: Elemento 1:
( )
[
[
]
[
]
]
Elemento 2:
( )
[
]
III - 171
PÓRTICOS
Elemento 3:
( )
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas en los nudos de la estructura:
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
III - 172
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Elemento 1:
( )
{
}
Elemento 2:
( )
{
}
Elemento 3:
5º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de la estructura:
III - 173
PÓRTICOS
{
}
6º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
{
}
{
}
7º. Vector de desplazamientos de la estructura:
{
}
8º. Vector de fuerzas internas en cada elemento: ( )
( )
III - 174
( )
( )
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
Elemento 1:
( )
{
}
[
( )
{
( )
{
}
( )
] {
( )
Elemento 2:
( )
( )
}
( )
( )
[
( )
] {
( )
}
{
III - 175
}
}
PÓRTICOS
( )
Elemento 3:
( )
{
}
( )
( )
[
( )
( )
] {
{
9º. Dibujo del DFC Y DMF
III - 176
}
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMA Nº 23 Para el sistema mostrado se pide: a. Calcular las fuerzas internas en los extremos de los elementos y dibujar el DFC y DMF b. Bosquejar la deformada c. Despreciar las deformaciones axiales y de corte
III - 177
PÓRTICOS
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de los elementos:
( )
Elemento 1:
(
)
(
)
(
)
(
)
√
III - 178
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
(
)
[
]
IMPORTANTE: Como: Para efectos de cálculo tomaremos un valor grande de la relación:
Puede darse también:
( )
[
]
Elemento 2:
III - 179
PÓRTICOS
( )
[
]
( )
[
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
III - 180
ING. RONALD SANTANA TAPIA
3º. Matriz de fuerza de nudos de la estructura:
{
}
4º. Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de los elementos:
Elemento 1:
Elemento 2:
( )
{
}
III - 181
( )
PÓRTICOS
5º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
6º. Vector de desplazamientos de la estructura:
{
III - 182
}
ING. RONALD SANTANA TAPIA
7º. Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
{
}
( )
EN EJE LOCAL:
III - 183
( )
( )
{
}
PÓRTICOS
( )
( )
{
}(
[
)
](
( )
{
}
III - 184
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
Elemento 2:
( )
( )
( )
( )
[
]
[
]
( )
{
}
III - 185
{
}
PÓRTICOS
8º. Dibujo del DFC Y DMF
PROBLEMA Nº 24 Calcular las fuerzas internas en los extremos de los elementos y dibujar el DFC y DMF. Bosquejar la deformada Despreciar las deformaciones axiales y de corte
BARRA
EA
III - 186
EI
ING. RONALD SANTANA TAPIA
SOLUCIÓN:
III - 187
PÓRTICOS
1º. Matriz de rigidez de los elemento:
( )
Elemento 1:
( )
(
)
[
( (
) )
]
(
)
(
√
)
√
√
√
III - 188
ING. RONALD SANTANA TAPIA
IMPORTANTE: Como:
Además para efectos de cálculo asumiremos:
( )
(
)
[
]
( )
[
]
Elemento 2:
III - 189
PÓRTICOS
( )
[ [
]
]
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de la estructura:
{
}
4º. Vector de desplazamiento de la estructura:
III - 190
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
5º. Vector de fuerzas internas en los elementos:
( )
( )
( )
Elemento 1:
( )
( )
( )
III - 191
( )
PÓRTICOS
( )
{
}
( )
( )
( )
EN EJE LOCAL:
√ √ ( )
√ √
( )
√ √ {
}(
)
[
III - 192
√ √ ](
)
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
{
}
( )
Elemento 2:
( )
[
( )
( )
] {
}
6º. Dibujo del DFC Y DMF
III - 193
{
}
PÓRTICOS
PROBLEMA Nº 25 La viga de la figura esta empotrada en su extremo izquierdo. A la derecha está apoyada en dos resortes, uno lineal con
y otro rotacional, con
(para cada resorte suponga una matriz de rigidez con un solo GDL). Para la viga
. La estructura será analizada con 2
GDL (asociados al desplazamiento vertical y al giro en B). Dibuje el diagrama de momentos de la viga (no necesariamente a escala) con indicación de los momentos flectores en ambos extremos y al centro de la luz.
Despreciar la deformación axial y de corte de la viga
SOLUCIÓN:
1º. Matriz de rigidez de cada elemento:
Elemento 1: (VIGA)
III - 194
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
( )
[
( )
]
[
]
Elemento 2: (Rigidez lineal)
( )
,
-
,
-
Elemento 3: (Rigidez rotacional)
( )
III - 195
PÓRTICOS
2º. Matriz de rigidez de la estructura:
[
]
3º. Vector de fuerzas externas de nudos de la estructura:
{
}
4º. Vector de fuerzas internas de empotramiento de los elementos: Elemento 1: (Viga)
( )
{
}
{
5º. Vector de fuerzas externas de la estructura: ( )
III - 196
}
( )
ING. RONALD SANTANA TAPIA
{
}
{
{
}
}
6º. Vector de desplazamiento de la estructura:
{
}
Vector de fuerzas internas de los elementos: ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Elemento 1: (Viga)
( )
[
] {
( )
{
III - 197
}
}
{
}
PÓRTICOS
III - 198
ING. RONALD SANTANA TAPIA
PROBLEMAS PROPUESTOS 1- El pórtico de la figura esta sometida a una fuerza horizontal como se indica. Al efectuar el análisis, considerando como inerciales aquellas de las secciones brutas y despreciando deformaciones axiales y de corte, se obtienen los giros:
(
)
Determine la fuerza horizontal y el correspondiente desplazamiento
(
)
2- Analice la estructura mostrada en la figura, usando el método de rigidices.
es constante. Desprecie los efectos de deformaciones axiales
y de corte. Dibuje los diagramas de momentos flectores y de fuerzas cortantes (no a escala, pero indicando los valores numéricos mas importantes).
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PÓRTICOS
3- Sobre el pórtico mostrado en la figura actúa una fuerza distribuida triangular, como se indica. Note que
. Para el análisis puede
suponerse que las deformaciones axiales son despreciables, lo que implica considerar sólo 3 GDL (asociados al desplazamiento horizontal en la parte superior y a los giros en los puntos B y C). También ignore los efectos de las deformaciones de corte. suponga que se han ya obtenido los desplazamientos:
Los giros son positivos cuando antihorario. Dibuje (no necesariamente a escala, pero si indicando los valores mas importantes) el diagrama de momentos flectores
III - 200
ING. RONALD SANTANA TAPIA
Nota: los momentos de empotramiento debidos a una carga triangular como se muestra en la figura resultan
(en el extremo superior) y
(inferior). Las reacciones horizontales son
4- La viga mostrada en la figura esta empotrada en su extremo izquierdo. En el extremo derecho hay una separación de 1cm entre la viga y un resorte, sobre el que la viga se apoyaría al tener una deflexión mayor que 1 cm (la escala vertical en la figura es distinta de la horizontal). Suponga que la viga tiene
y el resorte tiene una rigidez
. Las deformaciones axiales y de corte en la viga pueden despreciarse. Determine primero la fracción de la carga para que la viga choca con el resorte. Para esto puede tener en cuenta que la deflexión máxima de una viga en voladizo con carga uniformemente distribuida es
(
). Luego, determine los desplazamientos adicionales debidos a
la parte restante de la carga. Haga este análisis con 2 GDL, correspondientes al desplazamiento vertical y al giro en B, e incluyendo la rigidez del resorte. Superponiendo las dos etapas, determine la deflexión total en el extremo B, la fuerza en el resorte y el momento flector en A.
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PÓRTICOS
W = 4 ton / m
5- La figura muestra el modelo para analizar la sección transversal de una alcantarilla. Note que la estructura es simétrica. Suponga que
es
constante e igual para todos los elementos. Si se considera que las deformaciones axiales son pocos importantes, el análisis puede realizarse suponiendo que los nudos no tienen traslación. Despreciando también los efectos de deformaciones de corte, se han obtenido los giros:
Los giros son positivos cuando antihorarios. Los otros giros son evidentes por consideraciones de simetría. Dibuje (no necesariamente a escala, pero si indicando los valores mas importantes) el diagrama de momentos flectores. Nota: los momentos de empotramiento debidos a una carga triangular con un máximo
resultan
(en el extremo con carga 0) y
(en el extremo con carga ). Para la carga trapezoidal deben superponerse a estas fuerzas de empotramiento aquellas debidas a una carga uniformemente distribuida.
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ING. RONALD SANTANA TAPIA
6- Determine y dibuje (no a escala) el diagrama de momentos flectores para la estructura mostrada en la figura.
es constante. Ignore deformaciones
axiales y de corte.
7- El pórtico que se muestra en la figura tiene 6 m de luz y 3 m de altura en cada nivel. Las vigas tienen
; las columnas
. Pueden ignorarse las deformaciones axiales y de corte. Cuando
sobre
el
pórtico
se
aplica
una fuerza horizontal de 1 ton, en el primer nivel se obtienen los desplazamientos:
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PÓRTICOS
Cuando en cambio se aplica la fuerza horizontal de 1 ton. en el segundo nivel resultan:
a. Escriba la matriz de flexibilidad lateral del pórtico b. Obtenga la matriz de rigidez lateral Calcule los momentos flectores en los extremos de los elementos al aplicar sobre el pórtico dos fuerzas horizontales, de 2 ton. en el primer nivel y de 1 ton, en el segundo nivel.
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