Modulo de Exatas Matematica

MÓDULO DE EXATAS 2009 Revisão Geral

5. (UEFS-01.1)

se n = 0 ⇒ a 0 = 1 an = a a4 ⋅2 a ⋅4 ...4 ⋅a  1⋅4 3 se n = 1 ⇒ a1 = a n fatores

2ª )

m

a

an

m

m

b

m

a =   (para b ≠ 0) b

( )

5ª ) am

3ª )

m

n

5ª )

A expressão algébrica

01) 1

pode-se

6x − 12 x2 − 9 + 2 2 x + x − 6 x + 6x + 9

n

a

n

b

=n

( a) n

m

n:p

04) x – 3 x+3 05) x−2

x 02) x+3 03) x + 3

a (b ≠ 0) b

7. (UESB-2009)

Uma

(x − 1) ⋅ (x 5 + x 4 + x 3 + x 2 ) é:

expressão

algébrica

equivalente

a

n

= am

( ⋅ (x ⋅ (x

)( − 1)

)

01) x 2 ⋅ x 2 − 1 ⋅ x 2 + 1

4ª ) m n a = m⋅n a

= am⋅n

,

com x ≠ -3 e x ≠ 2, equivalente a:

1ª ) n a ⋅ n b = n a ⋅ b 2ª )

0,01

02) x

n

am :p = am

2

03) x 2

2 4

2

)

+ x2 − 1 2

04) x 4 ⋅ (x + 1)

Produtos Notáveis

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

a3 + b3 = (a + b ) ⋅ (a 2 − ab + b 2 )

a3 − b3 = (a − b ) ⋅ (a 2 + ab + b2 )

(

8. (UESB-2003) No universo U =R*, o conjunto solução da x − 6 11 2 equação + = é (m,n). O valor de m.n é: 3 3x x

(a + b) ⋅ (a − b ) = a2 − b2 ( x + a) ⋅ (x + b ) = x 2 + (a + b)x + ab

a) 2 b) 3 c) 4

(a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

1. (UEFS-02.1) O valor numérico da expressão 5 −1 − a) –5,25 b) –4,75 c) –0,05

2

(− 2)3

é igual a:

d) 0,45 e) 0,65

−1

01) {-4, -3} 02) {-2, -1} 03) {-1, 0}

−1

10 −2 + 100 −2 + (− 10) 10 − 3

pode-se afirmar que E é igual a:

01) – 100 02) – 10 03) 0,1

04) { 1, 2} 05) { 3, 4}

10. (UEFS-06.2) Se, para valores reais, não simultaneamente nulos, de x e y,

04) 10 05) 100

x2 − y2 1 então = x2 + y2 2

x é igual a: y

a) 1

3. (UESC-2007) Considerando-se a expressão −1

M=

d) 5 e) 6

9. (UESC-2004) Se o conjunto-solução da equação x2 − k 2x − 1 = k , com x∈R, é {-1, 3}, então o número real k pertence x −1 ao conjunto:

2. (UESC-2005) Considerando-se a expressão E=

)

05) x 4 ⋅ x 2 + x − 1

2−2 + 0,25 −2 − 22 , pode-se afirmar que o valor de M é: − 2− 3

01) 14 02) 2 03) 0,5

4. (UESB-2004) Sendo x =

3

2

c)

3

e) 3

11. (UNEB-2009) Considerem-se as proposições:

04) -2 05) -14 2 3 −3 2

d) 2

b)

I. π é um número racional. II. Existe um número racional cujo quadrado é 2. III. Se a > 0 , então −a < 0 . IV. Todo número primo é ímpar.

+ 6 , pode-se afirmar que

x é um número

Com base nelas, é correto afirmar:

01) racional não inteiro positivo. 02) racional não inteiro negativo. 03) inteiro negativo. 04) inteiro positivo. 05) irracional.

01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As proposições I, II e IV são verdadeiras. 05) As proposições II, III e IV são verdadeiras.

1

Dúvidas ou Sugestões EMAIL: [email protected]

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(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4ª )

a

6. (UESB-2005)

Propriedades dos radicais

3ª ) a ⋅ b = ( a ⋅ b) m

n

(para a ≠ 0)

= am −n (para a ≠ 0)

m

m

a n = am

n

1ª ) am ⋅ an = an +m

0,1 + 0, 1

d) x2 < x e) x = 19/8910

a) x ∈ N b) x ∉ Q c) x > 25

Potência com expoente inteiro

Propriedades da Potência

Sobre o número real x =

afirmar:

Potências e Radicais

 1 a − n =   a

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18. (UESC-2008) Em um condomínio residencial, três casas, A, B e C, e a quadra de esportes estão situadas em linha reta, com as três casas à direita da quadra. As distâncias de A, de B e de C à quadra são, respectivamente, iguais a x metros, 300m e 400m. A alternativa que melhor apresenta informações sobre o valor de x e que melhor representa a afirmação “somando-se a distância de A a B à distância de A a C obtém-se 500m” é:

12. (UESB-2009) Sendo x , y, z e w números reais tais que x < z , y < z e z < w , pode-se afirmar que: 04) (y − w ) ⋅ (z − x ) > 0

02) (x − y ) ⋅ (z − w ) < 0

05) y − w > 0

03) (x − z ) ⋅ (x − y ) < 0

01) x = 100 e (300 − x ) + (400 − x ) = 500

13. (UESC-2009) Quando "Pinóquio" diz uma mentira, o comprimento do seu nariz aumenta 10cm e quando diz uma verdade, diminui 5cm. Após fazer as três afirmações sobre números naturais x, y e z quaisquer,

02) x < 200 e x − 300 + x − 400 = 500 03) x < 300 e 400 − x + x − 300 = 500 04) x < 300 e 300 + x + x + 400 = 500

• se y.z é um múltiplo de x, então y ou z é múltiplo de x, • se x só é divisível por 1 e por x, então x é um número primo, • se y + z e y são múltiplos de x, então z é múltiplo de x,

05) x > 600 e x − 300 + x − 400 = 500

19. (UESC-2008) O número de um Cadastro de Pessoa Física (CPF) obedece a algumas regras, tais como


o comprimento do nariz de Pinóquio ficou 01) aumentado de 30cm. 02) aumentado de 15cm. 03) com o mesmo comprimento que já tinha. 04) reduzido de 10cm. 05) reduzido de 15cm.

• deve ter exatamente 11 dígitos, ou seja, abcdefghijk; • j = 11 − r se r, o resto as divisão da

(10a + 9b + 8c + 7d + 6e... 2i )

Considerando-se 1111111110jk o número do CPF, pode-se afirmar que j é igual a

14. (UESC-2009) Desde Pitágoras, que estudou a geração dos sons, sabe-se que duas cordas vibrantes cujos comprimentos estão na proporção de 1 para 2 produzem o mesmo tom. Uma corda de 61,41m deve ser cortada em 11 pedaços, de modo que cada novo pedaço obtido tem o dobro do comprimento do pedaço anterior. O comprimento do maior pedaço será igual a:

01) 1 02) 3 03) 4

04) 23,42m 05) 30,72m

01) 12,5% 02) 20% 03) 25%

04) 15 + 15 5 05) 20

a) 2 e empatar 4. b) 2 e empatar 3. c) 3 e empatar 2.

16. (UESB-2009) Em um concurso de talentos, após várias etapas, foram escolhidos três finalistas F1, F2 e F3. Para a classificação final, cada um dos n componentes de um júri, previamente estabelecido, deveria escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocados, atribuindo-lhes, respectivamente, 3 pontos, 2 pontos e 1 ponto. Ao final da votação, sabendo que todos votaram corretamente, verificouse que F1 teve um total de 21 pontos, F2 teve um total de 17 pontos e F3 teve um total de 10 pontos. Em tais condições, pode-se concluir que n é igual a:

d) 3 e empatar 3. e) 4 e empatar 1.

22. (UEFS-06.2) O salário de um professor é calculado em função do número de aulas que ele ministra nas faculdades X e Y. Sabendo-se que ele dá 36 aulas semanais e que o valor da aula na faculdade X é 3/4 do valor da aula na faculdade Y, pode-se afirmar que o número mínimo de aulas dadas, por semana, em Y, para que a sua remuneração, nessa faculdade, seja maior do que em X deve ser igual a: a) 16 b) 18 c) 19

04) 10 05) 12

d) 20 e) 22

23. (UEFS-09.1) Na divisão das despesas da família, cabe ao Sr. X pagar, mensalmente, R$850,00 do aluguel do apartamento em que a família reside e, à Sra. X, pagar, mensalmente, R$400,00 relativos à taxa do condomínio. Sabendo-se que a renda mensal líquida do casal é igual a R$7820,00 e que, efetuando os pagamentos citados, restará, à Sra. X, 4/5 do valor restante ao Sr. X, pode-se afirmar que a diferença entre as rendas do Sr. e da Sra. X, em reais, está entre

17. (UESB-2009) A média salarial dos funcionários de uma empresa é igual a R$1500,00 sendo que o salário médio dos homens é de R$1700,00 e o das mulheres é de R$1450,00. Logo, entre os funcionários da empresa, o número de mulheres em relação ao de homens é: 01) um terço 02) a metade 03) igual

04) 30% 05) 50%

21. (UEFS-08.1) Em um torneio esportivo, em que cada equipe deve jogar 14 partidas, cada vitória vale 3 pontos, cada empate vale 1 ponto e cada derrota vale 0 ponto. A equipe X já jogou 8 partidas, das quais venceu 3, empatou 2 e perdeu 3. Uma das condições para essa equipe encerrar o torneio ganhando, pelos menos, 55% dos pontos disputados é, dos jogos restantes, vencer

03) 15 + 10 5

01) 4 02) 6 03) 8

04) 6 05) 9

20. (UESC-2008) Uma cidade possui, 4 escolas de Ensino Médio A, B, C e D. O número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola A é 4 vezes maior do que o número daqueles que cursam na escola B; o número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola B é igual a metade do número de alunos que o cursam na escola C e o número de alunos que cursam o Ensino Médio na escola D é igual a 1/8 do total de alunos do Ensino Médio da cidade. Entre o total de pessoas da cidade que cursam o Ensino Médio, o percentual dos que são alunos na escola C é igual a:

15. (UESC-2009) Um manuscrito antigo do "Pirata Barba Negra" indica que, numa certa ilha do Caribe, há um tesouro enterrado e dá as seguintes dicas da sua localização: Quando se desembarca na ilha, vêem-se duas grandes árvores, que chamarei de A e B. Para localizar o tesouro, caminhe de A para B, contando os passos. Ao chegar em B, vire à direita e caminhe metade do que andou de A para B. Daí caminhe na direção de A, contando os passos. Chegando em A, caminhe, na direção contrária a B, o total de passos que já andou. Nesse ponto X enterrei o tesouro. Se a ilha é plana e a distância entre as duas árvores é e 10m, então a distância de A a X é igual a: 01) 15 + 5 5 02) 25

soma

por 11 for diferente de 0 e 1.

04) o quádruplo 05) o dobro

a) 700 e 800 b) 800 e 900 c) 900 e 1000

2

d) 1000 e 1100 e) 1100 e 1200


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01) (z − x ) ⋅ (y − z ) ⋅ (z − w ) > 0

01) 21,41m 02) 29,25m 03) 28,72m

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24. (UEFS-06.2) Um garoto guardou em um cofrinho todas as moedas de 5, 10 e 25 centavos, recebidas de troco durante um determinado período, ao fim do qual constatou que o número de moedas guardadas de 5 centavos era o dobro do número de moedas de 25 centavos e que o número de moedas guardadas de 10 centavos era o triplo do número de moedas de 5 centavos. Nessas condições, o valor total contido no cofre pode ser, em reais, igual a:

31. (UEFS-06.1) Ao responder às questões propostas em um teste, um aluno: • acertou 8 das 15 primeiras questões; • errou ou deixou de responder a 60% das questões restantes; • acertou 48% do número total de questões propostas. Se, para cada questão respondida corretamente, forem atribuídos 2 pontos e para cada questão não respondida ou respondida de forma incorreta for retirado 1 ponto, o total de pontos obtidos pelo aluno, no teste, será:

d) 85 e) 95

a) 11 b) 12 c) 17

25. (UNEB-2007) Hoje, as idades de X, de seu pai, P, e de seu avô, A, somam 111 anos. Sabe-se que X tem a quarta parte da idade de A, que, por sua vez, tem 5/3 da idade de P. Nessas condições, podese afirmar que X completará 22 anos daqui a:

26. (UESC-2003) Se o número a∈N* é tal que, ao ser dividido por 8, deixa resto igual a 2, então, ao se dividir a 2 + 12 por 8, o resto será igual a:

32. (UEFS-07.2) De acordo com os dados de uma pesquisa, o internauta brasileiro passa, em média, 21 horas e 20 minutos, por mês, navegando pela internet. Dentre os países que mais se aproximam do Brasil, estão a França, com o tempo médio por internauta de 20 horas e 55 minutos, os Estados Unidos, com 19 horas e 30 minutos e a Alemanha, com 18 horas e 56 minutos. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a média brasileira excede a média aritmética dos tempos de navegação, por mês, nesses três países, em aproximadamente,

01) 0 02) 1 03) 2

a) 5,3% b) 6,6% c) 7,8%

01) 6 anos 02) 7 anos 03) 8 anos

04) 9 anos 05) 10 anos

(


d) 18 e) 22

)

04) 3 05) 4

27. (UEFS-07.2) A taxa de analfabetismo de um município é obtida através da divisão do número de analfabetos pela população de residentes nessa localidade. A renda per capita é obtida através da divisão da renda anual do município pela sua população. A tabela apresenta dados sobre sois municípios, M e N, num determinado ano. Taxa de Renda per Município População Analfabetismo (%) capita (em R$) M 15.105 25 1800 N 22,5.104 15 4200 A partir desses dados, pode-se afirmar: I. A população de M é maior do que a população de N. II. A renda total de N não chega a metade da renda total de M. III. O número absoluto de analfabetos, em M, supera a população de N. Nessas condições pode-se afirmar:

33. (UNEB-2005) Devido à ocorrência de casos de raiva, a Secretaria de Saúde de um município promoveu uma campanha de vacinação de cães e gatos. Em um bairro desse município, foram vacinados, durante a campanha, 0,9 dos cães e 0,7 dos gatos. Sabendo-se que, no total, foram vacinados 0,82 dos cães e gatos existentes no bairro, pode-se concluir que o número de cães corresponde: 01) a um terço do número de gatos. 02) à metade do número de gatos. 03) a dois terços do número de gatos. 04) a três meios do número de gatos. 05) ao dobro do número de gatos.

34. (UESB-2007) Um cabeleireiro de um salão de beleza unissex recebeu por 17 cortes femininos e 14 masculinos R$860,00 e por 15 cortes femininos e 20 masculinos R$950,00. Considerando-se m o preço do corte masculino e n o preço do corte feminino, em reais, pode-se concluir que o valor de m + n é igual a:

a) Apenas é verdadeira a afirmativa I. b) Apenas é verdadeira a afirmativa II. c) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e II. d) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e III. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

01) 35 02) 40 03) 45

28. (UEFS-06.2) Certo imperador romano nasceu no ano 63 a.C., assumiu o governo aos 36 anos de idade e governou até morrer, no ano 14 d.C. Seu império durou: a) 54 anos b) 41 anos c) 32 anos

04) 50 05) 55

35. (UEFS-05.2) Um médico prescreve a um paciente várias doses de um medicamento para serem ministradas a cada 9 horas. Se a 1ª dose foi ministrada às 14 horas de um certo dia, então o paciente tomará uma dose do remédio, em algum dia, às:

d) 25 anos e) 18 anos

a) 3 horas b) 7 horas c) 11 horas

29. (UNEB-2007) Sabe-se que 15 costureiras trabalhando 4 horas por dia, durante 6 dias, confeccionam um determinado número de camisetas. Para que o mesmo número de peças possa ser produzido em exatamente 4 dias, é suficiente aumentar o número de

d) 16 horas e) 21 horas

36. (UEFS-08.2) Os colegas J e P começaram a ler, no mesmo dia, certo livro indicado por um professor. J e P lêem 10 e 6 páginas, por dia, respectivamente, todos os dias, até finalizar o livro. Como P demorou 8 dias mais que J para concluir a leitura, pode-se afirmar que, ao final do décimo dia,

01) costureiras em 100%. 02) costureiras em 20%. 03) horas de trabalho por dia em 200%. 04) horas de trabalho por dia em 100%. 05) horas de trabalho por dia em 50%.

a) P tinha lido a metade do livro. b) J tinha lido a metade do livro. c) P tinha lido 2/3 do livro. d) J tinha lido 3/5 do livro. e) P tinha lido 3/4 do livro.

30. (UESC-2003) Dois pintores, A e B, foram contratados para pintar um muro e receberam juntos um total de R$ 80,00 pelo serviço. Esses pintores trabalharam durante o mesmo período, sendo que A pintava 8m2 do muro a cada duas horas, e B, 6m2 por hora. Sabendo-se que o pagamento foi diretamente proporcional à área pintada por cada um, pode-se afirmar que A recebeu, em reais, 01) 50,00 02) 48,00 03) 32,00

d) 8,4% e) 9,5%

37. (UESB-2006) Um paciente deve tomar três medicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os três medicamentos juntos às 7:00h, então deverá voltar a tomar os três, ao mesmo tempo às:

04) 20,00 05) 16,00

01) 10:00h 02) 12:50h 03) 15:00h

3

04) 16:30h 05) 17:00h


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a) 55 b) 65 c) 75

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38. (UEFS-06.1) Uma pessoa supõe que seu relógio está 5 minutos atrasado, mas, na verdade, ele está 10 minutos adiantado. Essa pessoa que chega para um encontro marcado, julgando estar 15 minutos atrasada em relação ao horário combinado, chegou, na realidade,

45. (UESC-2009) O sulfato de alumínio é um produto químico usado para purificar a água. Em um tanque contendo 1000l de água, foi adicionado sulfato de alumínio se obter uma concentração de 20mg/l. Se erradamente se obteve uma concentração de 50mg/l, a quantidade de água que deveria haver a mais no tanque para se obter a concentração desejada é:

d) 10 minutos atrasada. e) 10 minutos adiantada.

01) 1000 02) 1200 03) 1500

39. (UEFS-04.2) Acrescentando-se o algarismo zero à direita de um número inteiro positivo, esse sofre um acréscimo de 108 unidades. Nessas condições, pode-se afirmar que esse número é:


a) primo e maior que 12. b) ímpar e menor que 15. c) ímpar e maior que 18.

46. (UEFS-08.2) Durante o treinamento para uma competição, foi usado um modelo matemático para estimar o desempenho dos atletas, segundo o qual o quadrado da velocidade média do atleta é inversamente proporcional à sua altura. Segundo esse modelo, um atleta com 1,60m de altura pode concluir a prova em 1 hora. Logo, estima-se que outro atleta, com as mesmas condições físicas e técnicas e com 1,80m de altura, poderá concluir a mesma prova num tempo

d) par e maior que 15. e) par e menor que 18.

40. (UEFS-06.2) Para uma campanha eleitoral gratuita na TV, estabeleceu-se que o número de aparições diárias não seria necessariamente igual para todos os partidos, porém o tempo de aparição de todos eles seria o mesmo e o maior possível. Sabendo que os partidos A, B e C tiveram direito, diariamente, a 80s, 140s e 220s, respectivamente, pode-se afirmar que a soma do número total de aparições diárias desses partidos, na TV, foi de: a) 15 vezes b) 18 vezes c) 20 vezes

04) 2000 05) 2500

a) menor do que 1 h. b) entre 1 h e 1h05min. c) entre 1h05min e 1h10min. d) entre 1h10min e 1h15min. e) maior do que 1h15min.

d) 22 vezes e) 25 vezes

41. (UEFS-06.1) O vencedor de uma prova de atletismo dava uma volta completa na pista em 50 segundos, enquanto o segundo colocado levava 1 min para completar uma volta. Quando o vencedor completou as 30 voltas da competição, o vice-campeão havia completado apenas:

47. (UESB-2007) Em uma campanha de Natal, foram distribuídos, entre algumas famílias de uma comunidade, 144 brinquedos, 192 pares de sapatos e 216 camisas. A distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fossem contempladas e todas recebessem o mesmo número de brinquedos, o mesmo número de pares de sapato e o mesmo número de camisas. Considerando-se que cada família recebeu x brinquedos e y pares de sapatos, pode se afirmar que o valor de x + y é igual a:

a) 24 voltas b) 25 voltas c) 26 voltas

01) 24 02) 14 03) 12

d) 27 voltas e) 28 voltas

42. (UEFS-09.1) Duas pessoas fazem sua caminhada matinal em volta de uma praça partindo de um mesmo ponto, no mesmo instante. Enquanto uma delas dá uma volta completa na praça em 9 minutos, a outra leva 6 minutos para completar uma volta. Sabendo-se que o tempo da caminhada não deve exceder 1 hora e 20 minutos, pode-se concluir que o número máximo de vezes que as duas pessoas podem voltar a se encontrar no ponto de partida, nesse tempo, é igual a: a) 3 b) 4 c) 5

48. (UNEB-2006) Ao completarem, respectivamente, 4, 5 e 2 meses de trabalho numa revendedora de automóveis, os funcionários A, B e C receberam juntos uma gratificação de R$ 5500,00. Sabendo-se que a quantia recebida por cada funcionário foi diretamente proporcional ao tempo de serviço de cada um na empresa, pode-se afirmar que o funcionário B recebeu, em reais, 01) 2700 02) 2500 03)2300

d) 6 e) 7

49. (UNEB-2008) A equação

43. (UESB-2006) Em uma empresa, 1, entre 3 funcionários ganha mensalmente 2 salários mínimos, 2, entre 5 funcionários, ganham 4 salários mínimos e os demais funcionários ganham mensalmente 5 salários mínimos. Se essa empresa possui 45 funcionários, então o gasto com o pagamento mensal desses salários é igual, em salários mínimos, a: 01) 130 02) 162 03) 180

04) 2200 05) 2000

3x + 1 = 3 − x possui

01) duas raízes reais distintas e de sinais opostos. 02) duas raízes reais distintas e de mesmo sinal. 03) apenas uma raiz real negativa. 04) apenas uma raiz real positiva. 05) raízes complexas.

50. (UEFS-01.1) Se S é o conjunto-solução da equação, em R,

04) 212 05) 235

x = − x + 2 , então: a) S é um conjunto vazio. b) S é um conjunto unitário contido em Q-. c) S é um conjunto unitário contido em Q+. d) S é um conjunto com dois elementos contido em N. e) S é um conjunto com dois elementos contido em Z.

44. (UESB-2008) Uma associação de moradores recebeu certa quantidade de alimentos para ser distribuída com as famílias carentes da comunidade. Os produtos foram acomodados em 50 caixas, contendo 55 pacotes de 1kg de cada alimento: arroz, feijão e textura de soja. Sabendo-se que cada caixa contém 3kg de feijão a mais que de textura de soja e 2k de feijão a mais que de arroz, pode-se afirmar que a quantidade de arroz distribuída na comunidade foi igual, em quilogramas, a: 01) 580 02) 850 03) 900

04) 8 05) 6

51. (UEFS-05.1) Sobre a equação, afirmar que possui

x 2 + 3 = 2x , x∈R, pode-se

a) uma única solução x1 ∈ N . b) uma única solução x1 ∈ Z − N . c) duas soluções x1 e x2 tais que x1 + x2 = 0. d) duas soluções x1 e x2, tais que x1 – x2 = 0. e) duas soluções x1 e x2,, pertencentes a Q – Z.

04) 1000 05) 2750

4


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a) na hora certa. b) 5 minutos atrasada. c) 5 minutos adiantada.

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59. (UNEB-2006) Uma proposição equivalente a "Se alimento e vacino as crianças, então reduzo a mortalidade infantil" é:

2x 2 − 4x − 1 = x , x∈R+, pode-se

01) Alimento e vacino as crianças ou não reduzo a mortalidade infantil. 02) Se não reduzo a mortalidade infantil, então alimento ou vacino as crianças. 03) Não alimento ou não vacino as crianças e não reduzo a mortalidade infantil. 04) Se não reduzo a mortalidade infantil, então não alimento ou não vacino as crianças. 05) Alimento e vacino as crianças e não reduzo a mortalidade infantil.

a) Possui duas soluções e ambas são racionais. b) Possui duas soluções e ambas são irracionais. c) Possui uma única solução que é racional. d) Possui uma única solução que é irracional. e) Não possui solução.

53. (UESC-2006) O conjunto-solução da equação em x ∈ R, é:

 1 1 01)  − ,   2 4

04)  − 1 , + ∞ 

 1  02)  − ,1  ∪ ]1, + ∞ [  2 

05)



4

60. (UNEB-2003) Considere as proposições:



p : ( 0,1 ) 2 > 0,1

]1, + ∞ [

q : 10 −


 1  03)  − , + ∞  2  

r : −10 2 = 100

54. (UESC-2008) Sabendo-se que as raízes da equação x2 − 22x + c = 0 são números naturais x1 e x2, tais que x1 > x2 e mdc (x1, x2 ) ⋅ mmc (x1, x 2 ) = 72 , pode-se concluir que x1 - x2 é igual a: 01) 1 02) 10 03) 14

d) 30 e) 160

56. (UESC-2006) Cem maçãs foram distribuídas em 11 caixas e em alguns sacos, de modo que todas as caixas receberam a mesma quantidade de maçãs, e o número de maçãs colocadas em cada saco foi igual ao dobro das maçãs colocadas em cada caixa. Nesse caso, pode-se afirmar que o número de sacos pertence ao conjunto: 01) {4, 10, 13} 02) {5, 11, 14} 03) {5, 8, 11}

04) ~ p ⇔ r

02) q ∨ ~ r 03) q → p

05) p ∧ ( p → q )

01. D

02. 04

03. 01

04. 04

05. A

06. 01

07. 01

08. 05

09. 02

10. D

11. 03

12. 01

13. 02

14. 05

15. 01

16. 03

17. 04

18. 02

19. 02

20. 03

21. E

22. D

23. E

24. D

25. 02

26. 02

27. E

28. B

29. 05

30. 03

31. A

32. C

33. 04

34. 05

35. C

36. A

37. 05

38. A

39. E

40. D

41. B

42. B

43. 02

44. 03

45. 03

46. B

47. 02

48. 02

49. 04

50. C

51. A

52. D

53. 03

54. 03

55. D

56. 05

57. E

58. 01

59. 04

60. 02

Conjuntos

04) {6, 8, 12} 05) {7, 8, 13}

Conjuntos Conjuntos Numéricos Naturais(N) = N = {0,1, 2, 3, 4, 5,...}

57. (UEFS-04.1) Um pacote de papel usado para impressão contém 500 folhas no formato 210mm por 300mm, em que cada folha pesa 80g/m2. Nessas condições,o peso desse pacote é igual, em kg, a a) 0,50 b) 0,78 c) 1,36

01) p ∧ q

GABARITO REVISÃO GERAL

04) 18 05) 29

55. (UEFS-05.2) Em um reservatório de água, verificou-se que, em dado momento, a concentração de um certo produto químico na água, que deveria ser de, no mínimo, 1ppm (partes por milhão) e, no máximo, de 2ppm, era de 2,5ppm. Tentando corrigir o problema, foi acrescentado ao reservatório uma quantidade de água pura igual a k% do volume contido no reservatório. Nessas condições, pode-se afirmar que o problema foi solucionado para k igual a: a) 10 b) 15 c) 20

1 = 0 .Tem valor lógico verdade: 10 − 2

Inteiros (Z) = Z = {... − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,...}

a   Racionais(Q) = Q =  x; x = , com a ∈ Z e b ∈ Z *  b   Irracionais(Q’ou I) = Decimais infinitos e não periódicos.

d) 1,80 e) 2,52

58. (UESB-2005) Para fazer uma viagem ao exterior, uma pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares. Nesse dia, um dólar estava sendo cotado a 0,85 euros e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500 dólares, essa pessoa gastou, em reais, 01) 1700,00 02) 1640,00 03) 1520,00

Relação de Pertinência – Elemento para Conjunto ∈(Pertence) ou ∉(Não Pertence)

04) 1450,00 05) 1360,00

Relação de Inclusão - Conjunto para Conjunto ⊂ (está Contido) ou ⊄ (não está Contido) ⊃ (contém) ou ⊃ (não Contém)

5


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(x − 1)2 + 3x > 0

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52. (UEFS-05.2) Sobre a equação afirmar:

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Obs: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ∅ ⊂ A, ∀ A Operações com Conjuntos União ∪ - Chamamos de A ∪ B, o conjunto formado por todos elementos de A ou de B. A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B }

Complementar de um conjunto A em relação a um universo U.

A

CU = U − A = A ou A'

Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn

C∅ ∅ =∅

Em particular, temos

(A ∪ B)' = A'∩B' (A ∩ B)' = A'∪B'

Intervalos Reais

B ⊂ A ⇔ A ∪ B = A, ∀ A,B  Propriedades: A ∪ B = B ∪ A , ∀ A,B (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B e C 

A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B }

Símbolo

{ x ∈R/a ≤ x ≤ b}

[ a, b ]

{ x ∈R/a < x < b }

] a, b [

{ x ∈R/a < x ≤ b }

] a, b ]

{ x ∈R/a ≤ x < b }

[ a, b [

{ x ∈R/ x ≥ a}

[ a, + ∞ [

{ x ∈ R / x > a}

] a, + ∞ [

{ x ∈ R / x ≤ b}

] − ∞ ,b ]

{ x ∈R/ x < b }

] − ∞ ,b [

Representação no eixo real

Representação da interseção de conjuntos em diagramas de Venn

Notas: 1. O símbolo ∞ deve ser lido “infinito” 2. A bolinha (•) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo pertence ao intervalo. 3. A bolinha (ο) em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo não pertence ao intervalo. 4. Usaremos sempre a denominação aberto no +∞ e no -∞.

Diferença - Chamamos de A - B, o conjunto formado por todos elementos que pertencem A e não pertencem a B. A − B = { x / x ∈ A e x ∉ B} Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn

61. (UEFS-04.1) Sendo M = [ 50, 85 ] e T = { x ∈M ∩ Z, x é divisível por 2 e por 3 } , pode-se afirmar que número de elementos do conjunto T é: a) 6 b) 7 c) 9

d) 11 e) 12

62. (UEFS-02.1) 30   Sendo M = { x ∈ N; x = 3k, k ∈ N } e S =  x ∈ N; x = , n ∈ N*  , o n   número de elementos do conjunto M ∩ S, é igual a:

B ⊂ A ⇔ B − A = ∅, ∀ A, B  Propriedades: A ∩ B = ∅, A − B = A, ∀ A, B A ≠ B ⇔ A − B ≠ B − A, ∀ A, B  Complementar Dados dois conjuntos complementar A e B, em que A ⊂ B, chamamos de complementar de A em B CBA o conjunto formado

a) 1 b) 3 c) 4

d) 6 e) 7

63. (UEFS-01.1)Sejam os conjuntos A = { x ∈ Z, x é múltiplo de 3 } , B = { x ∈ N, x ≤ 15 } e C = { x ∈ N*, x ≤ 12 } . Se X é um conjunto tal que X ⊂ B e B − X = A ∩ C , o número de elementos de X é igual a:

pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. CBA = B − A = { x / x ∈ B e x ∉ A }

a) 6 b) 9 c) 11

Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn Propriedades: C AA = ∅, ∀A C∅ A = A, ∀A

6

d) 12 e) 14


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B ⊂ A ⇔ A ∩ B = A, ∀ A, B  Propriedades: A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B e C 

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Interseção ∩ - Chamamos de A ∩ B, o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B.

Subconjuntos de R

70. (UEFS-08.2) Além do aspecto lúdico, os jogos de tabuleiro possibilitam o desenvolvimento do raciocínio, disciplina e poder de concentração dos jogadores, promovendo também a socialização entre os participantes. Em um grupo de 20 pessoas que apreciam jogos de tabuleiro, 12 jogam xadrez, 15 jogam damas, 6 jogam gamão e 3 jogam xadrez, damas e gamão. Considerando-se, em relação às pessoas desse grupo, as afirmações

64. (UEFS-07.1) Considerem-se os conjuntos

}

A = { x ∈ N; − 1 ≤ x ≤ 5 } , B = x ∈ Z; x 2 − 3 < 1 e

{

}

(

)

C = x ∈ R; x − 2 ≤ 1 . O conjunto A ∩ B ∩ C é: a) { -1, 0} b) { -1} c) { 0}

d) [ -1, 0] e) ] -1, 0]

65. (UEFS-03.1) A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno.

I. Dez pessoas jogam mais de uma modalidade, II. Todas as pessoas que jogam xadrez também jogam damas, III. Se, das pessoas que jogam damas, oito jogam xadrez, então uma única pessoa joga apenas gamão, pode-se concluir: a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas I e III são verdadeiras. d) Apenas II e III são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.


Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos igual a: a) 25 b) 22 c) 20

71. (UESC-2006) Numa cidade, existem 2 clubes A e B, tais que o número de sócios do clube B é 20% maior do que o número de sócios do clube A. O número de pessoas que são sócias dos dois clubes é igual a 25% do número de pessoas que são sócias somente do clube A. Se y é o número de pessoas que são sócias do clube A ou do clube B e x é o número de sócios somente do clube A, pode-se afirmar que:

d) 15 e) 10

66. (UESB-2005) Um teste composto por duas questões, valendo 1,0 ponto cada uma, foi corrigido por um professor que não considerou questões parcialmente corretas, de modo que um aluno só poderia obter uma das três notas: zero, 1,0 ou 2,0. Sabendo-se que: • • • •

01) y = 2,2x 02) y = 2,3x 03) y = 2,5x

20 alunos tiveram 1,0; 15 alunos tiveram 2,0; 30 alunos acertaram o segundo problema; 22 alunos erraram o primeiro problema;

72. (UESB-2005)

{

04) 65 05) 72

( )

o

conjunto

3 ∈B

 8 17  ( )  , ⊂B  5 10 

{

}

( ) − 3, 3 ∩ B ≠ ∅

A alternativa correta, considerando-se a marcação de esquerda para direita, é a: 01) F V F 02) F V V 03) V V V

04) 55 05) 60

04) V F F 05) V F F

73. (UESB-2004) Dos conjuntos A e B, sabe-se que A − B tem 3 elementos, B − A , 4 elementos e A × B , 30 elementos. A partir dessas informações, pode-se concluir que o número de elementos de A ∪ B é igual a:

68. (UEFS-03.2) Dentre os candidatos a um emprego que fizeram o teste de seleção, verificou-se que:

01) 7 02) 8 03) 9

150 acertaram a 1ª ou a 2ª questão, 115 não acertaram a 1ª questão, 175 não acertaram a 2ª questão, Quem acertou a 1ª questão não acertou a 2ª. Com base nessas informações, pode-se concluir que a quantidade de candidatos que fizeram o teste foi igual a: a) 200 b) 220 c) 265

Considerando-se

com F, as falsas.

67. (UESB-2007) Um professor de Literatura sugeriu a uma de suas classes a leitura da revista A e da revista B. Vinte alunos leram a revista A, 15 só a revista B, 10 as duas revistas e 15 nenhuma delas. Considerando-se que x alunos dessa leram, pelo menos, uma das revistas, pode-se concluir que o valor de x é igual a: 01) 35 02) 45 03) 50

}

B = x ∈ R +; x 2 < 3 , assinale com V as afirmativas verdadeiras e

pode-se afirmar que o número total de alunos que fizeram o teste foi igual a: 01) 35 02) 42 03) 50

04) y = 2,7x 05) y = 3x

04) 10 05) 12

74. (UESC-2007)

d) 265 e) 345

69. (UEFS-09.1) Sobre um grupo de 40 analistas de sistema e programadores que atuam em uma grande empresa de Informática, sabe-se que:

Analisando-se a parte hachurada representada no diagrama e as afirmações

• 80% dos programadores trabalham em tempo integral, • 40% dos analistas trabalham em tempo parcial, • apenas 5 programadores trabalham em tempo parcial.

( (

I. A ∩ B ∪ C

) )

III. A ∩ ( B ∪ C )

(

Com base nesses dados, é possível afirmar que o total de:

II. A ∩ B ∩ C

a) analistas é igual a 12. b) programadores é igual a 29. c) 15 programadores trabalham em tempo integral. d) 9 analistas trabalham em tempo integral. e) 13 pessoas desse grupo trabalham em tempo parcial.

pode-se concluir que a alternativa correta é a: 01) I 02) III 03) IV

7

IV. A ∩ B ∩ C

)

04) I e III 05) II e IV


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{

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80. (UEFS-05.2) Duas pesquisas, sobre o desempenho do governo em relação aos itens desenvolvimento econômico e desenvolvimento social, foram realizadas em épocas diferentes, envolvendo, em cada uma delas, 70 habitantes de uma cidade. O resultado revelou que, • na 1ª pesquisa, 20 pessoas avaliaram o desempenho na economia e o desenvolvimento social como ruins 40 pessoas avaliaram o desempenho na economia como bom e 25 pessoas avaliaram o desenvolvimento social como bom; • na 2ª pesquisa, 20% das pessoas que avaliaram, na 1ª pesquisa, o desempenho na economia e o desenvolvimento social como bons avaliaram os dois itens como ruins e os outros entrevistados mantiveram a mesma opinião da pesquisa anterior. Sendo assim, o número de pessoas que avaliaram, na 2ªpesquisa, os dois itens como ruins foi igual a:

75. (UESC-2002)

No diagrama de Venn, a região sombreada representa o conjunto:

) )

04) C ∪ B − A

02) C - (A ∩ B ∩ C) 03) C – (A ∩ B)

05) C ∩ B − A

a) 23 b) 25 c) 26

• X tem um número pra de elementos; • Y tem um número ímpar de elementos; • X ∩ Y é um conjunto unitário; • O número de subconjuntos de Y é o dobro do número de subconjuntos de X.

d) 28 e) 29

GABARITO CONJUNTOS

Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de elementos de X ∪ Y é igual a: a) dobro do número de elementos de X. b) dobro do número de elementos de Y. c) triplo do número de elementos de X. d) triplo do número de elementos de Y. e) quádruplo do número de elementos de X.

61. A

62. C

63. D

64. C

65. D

66. 02

67. 01

68. B

69. D

70. C

71. 03

72. 01

73. 03

74. 03

75. 01

76. A

77. 04

78. C

79. B

80. A

*****

*****

*****

*****

Funções

77. (UESB-2009) Os conjuntos X e Y têm, respectivamente, 7 e 13 elementos. Com relação às operações entre X e Y afirma-se.

Sistema Cartesiano

I. X ∩ Y tem, no mínimo 7 elementos. II. X ∪ Y tem, no máximo, 20 elementos. III. Y − X tem, no mínimo, 6 elementos. Donde se conclui que: 01) apenas I é verdadeira. 02) apenas III é verdadeira. 03) apenas I e II são verdadeiras. 04) apenas II e III são verdadeiras. 05) I, II e III são verdadeiras.

As coordenadas de um ponto (x,y), onde x é abscissa e y é a ordenada. Dois pares ordenados são iguais se, e somente se, suas abscissas e suas ordenadas são iguais, isto é: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d.

78. (UEFS-08.1) O para ( m, n) tem para abscissa e ordenada valores simétricos e pertence ao conjunto x 4  * P =  (x, y)∈ R × R, y = −  . Nessas condições, pode-se afirmar 3 x  que mn é igual a: a) – 6 b) – 5 c) – 3

Relação e Função Dados dois conjuntos A e B, o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), tal que a ∈ A e b ∈ B, chama-se produto cartesiano A X B. Uma relação de A em B é qualquer subconjunto de A X B. n(A × B ) = n(A ) ⋅ n(B ) O domínio da relação é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados, e a imagem da relação é o conjunto formado pelos segundos elementos dos pares ordenados.

d) 4 e) 9

2- Uma função é uma relação que associa a cada elemento do domínio um único elemento da imagem. Se o par ordenado ( x, y ) pertence à função f, dizemos que y é o valor da função f em x, e é comum expressar o valor de uma função também por "efe de x": y = f(x).

79. (UEFS-08.1) No Brasil, tanto a oferta de cursos de graduação a distância, quanto o interesse da população por esses cursos têm aumentado de forma significativa. Certa instituição de ensino ofereceu 500 vagas para cursos a distância, distribuídas entre alunos de três regiões, que foram preenchidas do seguinte modo: na região 1, foram contemplados 80 alunos a menos que na região 2 e, nesta, 40 alunos a menos que na região 3. Assim, foram contemplados

Estudando o domínio de uma função

y=

a) 100 alunos na região 3. b) 180 alunos na região 2. c) 180 alunos na região 3. d) 220 alunos na região 1. e) 220 alunos na região 2.

f (x ) ⇔ g(x ) ≠ 0 g(x )

y=

n

f (x ) n for par g(x ) > 0  g(x ) n for impar g(x ) ≠ 0

n for par f (x ) ≥ 0 y = n f (x )  n for impar D(f ) = R Tipos de Função Função Sobrejetora – Uma função f : A → B é sobrejetora ou uma sobrejeção se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im = B . Obs: Não sobra elemento de B.

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( (

01) C ∩ (B – A)

76. (UEFS-08.1) Sabe-se sobre os conjuntos não vazios X e Y que


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Função do 2º grau

Função Injetora – Uma função f : A → B é injetora ou uma injeção se, e somente se, elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Obs: elementos de B “flechados” somente uma vez.

Uma função que pode ser expressa na forma f( x ) = ax 2 + bx + c , com a, b e c sendo números reais e a ≠ 0, chama-se função polinomial de 2º grau.

Função Bijetora – Uma função f : A → B é bijetora ou uma bijeção se, e somente se, ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Obs: Todos os elementos de B são “flechados” só uma vez.

O gráfico é uma curva plana chamada parábola.

Função Inversa 1º) Isolamos x na sentença y = f (x ) . 2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x.

b . 2a Para calcular o valor mínimo ou o valor máximo basta substituir b x=− na fórmula de f(x). 2a O ponto mínimo ou o ponto máximo tem a abscissa em x = −

Função Par e Função Impar Uma função f : A → B é par, se e somente se: • x ∈ A ⇒ −x ∈ A

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• f (x ) = f (− x ) para todo x ∈ A

Uma função f : A → B é impar, se e somente se: • x ∈ A ⇒ −x ∈ A

• f (x ) = −f (− x ) para todo x ∈ A

• Dada uma função f : A → B , dizemos que f é crescente em um conjunto A’, A ' ⊂ A , se e somente se, para quaisquer x1 ∈ A ' e

O domínio é o conjunto IR, e a imagem é o conjunto:   b   y ∈ R / y ≥ f  −  se a > 0   2a    y ∈ R / y ≤ f  − b  se a < 0  2a    

• Dada uma função f : A → B , dizemos que f é decrescente em um conjunto A’, A ' ⊂ A , se e somente se, para quaisquer x1 ∈ A ' e x 2 ∈ A ' , com x1 < x 2 tivermos f (x1 ) > f (x 2 ) .

Estudo do sinal de uma função do 2ºgrau.

Função Composta • Dados três conjuntos A, B e C e as funções f : A → B e g : B → C , chama-se função composta de g em f à função h, de A em C, definida por h(x ) = g(f (x )) , para todo x ∈ A .

Função do 1º grau Uma função que pode ser expressa na forma f( x ) = ax + b , com a e b sendo números reais e a ≠ 0, chama-se função polinomial de 1º grau. O gráfico é uma reta, não horizontal, nem vertical.

 2 − x 2 se x < 0 81. (UEFS-09.1) Sendo f (x ) =  . O valor da razão  2x − 3 se x ≥ 0

O domínio e a imagem são o conjunto IR dos números reais. Uma função que pode ser expressa na forma f(x) = c, sendo c um número real, chama-se função constante.

  1  f  f      2   é igual a: 1+ f (0 )

O seu gráfico é uma reta horizontal. O domínio é o conjunto IR e a imagem, o conjunto unitário {c}.

a) f (0)

d) f (2)

b) f  1  2

e) f  3  2

c) f (1)

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x 2 ∈ A ' , com x1 < x 2 tivermos f (x1 ) < f (x 2 ) .

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Função Crescente e Função Decrescente

MÓDULO DE EXATAS 2009 82. (UNEB-2009) Considere as proposições

88. (UESB-2003) Se f e g são funções de R em R tais que f (x) = x − 3 e f ( g(x ) ) = 2x + 2 , então g ( f (3) ) é igual a:

I. Toda função é par. lI. A soma de funções pares é sempre uma função par. III. O produto de funções ímpares é uma função ímpar. IV. A soma de uma função par com uma função ímpar é sempre uma função ímpar.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

89. (UEFS-01.1) Se f(x) e g(x) são funções reais tais que para todo x ∈ R , f (x ) = x 3 + 1 e fog(x) = x 2 , então g(3) é igual a:

A partir dessas proposições, pode-se afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As Proposições I e IV são verdadeiras. 05) As proposições III e IV são verdadeiras.

b) 2

83. (UEFS-04.2) A função real inversível f tal que f (2x − 1) = 6x + 2

90. (UEFS-07.2) Sendo f e g funções reais com f [g(x)] = 3x 2 − 2 e

c)

3

3

9 −1

d) 3 e)

(

)

f (x) = 3x + 1 , pode-se afirmar que g x + 1 , x ≥ 1 , é igual a:

definida por:

3x + 5 2 x−5 b) 3 c) 5x − 3

d) 3x + 5

a)

e) 3x − 15

a) x

d)

x −1

b) 3x c) x + 2

e)

x +1− 2

91. (UESB-2008) Considerando-se as funções g (x) = −2x + 1 , pode-se afirmar que

84. (UESB-2004) Se f (x + 4) = 3x − 1 , x∈R, então f −1(8) é igual a: 01) -3 02) 0 03) 2

−1 + 3x 2 1 + 3x 02) 2 1 − 3x 03) 2

)

que f 2x 2 + 1 = −2x 2 + 2 , para todo x∈R, pode-se afirmar que

b é a

3 2 1 c) 2

04)

f (−1) = 3 , f (1) = 0 e f (2) = −1 . Se f (f (x − 1)) = 3 , então f (x − 2) é igual a:

1 d) − 3

01) – 2 02) 0 03) 1

e) – 3

b)

e

−1

92. (UNEB-2008) De uma função real injetora y = f (x) , sabe-se que

igual a: a) 2

f (x ) = 3x + 2

( fog )(x) é definida por: 7 − 3x 2 −7 + 3x 05) 2

01)

04) 6 05) 7

85. (UEFS-05.1) Sabendo-se que a função real f (x) = ax + b é tal

(

26

10

04) 2 05) 3

93. (UESC-2004) Sendo as funções reais f e g, tais que f (x) = x + 1 , g(x) =

x , x ≠ −3 uma função real e g a x+3 g (−2) − 1 sua função inversa, pode-se concluir que é igual a: g (− 2) + 3

86. (UEFS-04.1) Sendo f( x) =

a) – 3 b) – 2 c) 0

d) 1 e) 2

87. (UEFS-06.2)

1 , x≠0, então a função h = f −1 + (gof ) é definida por: x

01) h(x ) =

x2 , x ∈ R − {− 1} x +1

02) h(x) =

x 2 + 2x + 2 , x ∈ R − {− 1} x +1

x2 , x ∈ R − {} 1 x −1 2 04) h(x ) = , x ∈ R − {− 1} x +1 03) h(x ) =

y

05) h(x ) =

f

x2 , x ∈ R − {} 1 x −1

94. (UESC-2009) Dadas as funções reais f (x ) = x 3 − 6 e h(x ) , uma -1

0

3

x

função

(

-2

inversível,

tal

que

 1 h  = 2 2

e

h(2) = 5

então

)

f h−1(2) + h(f (2)) é igual a:

A expressão que define a função g, inversa da função f, representada no gráfico, é: a) g(x) = −2x + 3

d) g(x) = 3x − 2

b) g(x) = −3x + 2

e) g(x) = 2x − 3

7 8 1 02) − 2 1 03) 8

01) −

c) g(x) = 2x + 3

10

04) 120 05) 124


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(x)

−1

a)

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tem inversa f


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MÓDULO DE EXATAS 2009 x2 − 1 , com x + x2

lII. A função f (x) = (m − 1)x 2 + 2mx + 3m assume valores estritamente

x ≠ −1

positivos se, e somente se, m >

 1 então f   é igual: x

a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas IlI é verdadeira. c) Apenas a II e III são verdadeiras. d) As afirmações I e III são verdadeiras. e) As afirmações II e III são falsas.

2

x +1 x − x2

a)

d) 1 + x

b) 1 – x

e)

1+ x x

102. (UEFS-01.1) Considere a função f (x ) = ax 2 + bx + c , tal que: • f(x) = f(-x) , para todo x∈R, • seu conjunto-imagem é o intervalo ]- ∞, 3], • f(1) = 0 Nessas condições, pode-se concluir que f(2) é igual a:

x −1 x

c)

96. (UNEB-2004) Considerando a função real f( x) =

1 assinale com x


V as afirmativas verdadeiras e com F, as falsas. (

) x = 0 pertence ao conjunto-imagem de f.

(

)Se x é um número real não nulo, então f −1(x ) =

a) – 9 b) – 6 c) – 3

1 . x

 1 ) Existe um único número real x tal que f   = f (x ) . x A alternativa que indica a seqüência correta, de cima para baixo, é a:

I. f cresce no intervalo ] − ∞, 1 ] II. f (x) ≤ 0 , para todos x ∈ ] − ∞, − 1 ]∪ ]1, 3 ]

04) V F V 05) V V V

III. f

a) – 2

3

fof (− 6) é igual a: d)

3

b) − 2 c) – 1

3

01) I 02) II 03) I e II

2

e) 2

104. (UEFS-06.1) O 1 + 2x ; x ≤ 1 é: f ( x) =  6 − 2x ; x > 1

98. (UEFS-06.1) Se a e b são as raízes da equação x 2 + px + q = 0 , então a soma a2b + ab 2 é igual a: a) –pq b) pq c) p2q2

a) ] – ∞, 3] b) ] – ∞, 4[ c) ] 3, +∞[

d) p + q e) p2 + q2

99. (UEFS-07.2) Sendo o trinômio x + 3kx + 36, k > 0 , um quadrado perfeito, pode-se afirmar que o ponto simétrico a P (k, k − 2 ) , em relação à bissetriz do primeiro quadrante, tem ordenada igual a: d) 3 e) 4

01) E = 150t 02) E = 150 + 70t 03) E = 150 + 50t

100. (UESC-2009) Se as raízes, x1 e x2 da função quadrática 5 f (x ) = 2x 2 − 7 x + a são tais que x1 − x 2 = , então a função 2 intersecta o eixo Oy no ponto: 01) ( 0 , 4 )

04) ( 0 ,1 )

02) ( 0 , 3 )

05) ( 0 , − 1 )

conjunto-imagem

da

função

real

d) R – ] 3, 4] e) R

04) E = 920 – 150t 05) E = 920t – 150

106. (UEFS-07.2) Uma delicatessen que costuma vender 30 tortas por dia, ao preço unitário de R$18,00, fez uma promoção, em um determinado dia, reduzindo esse preço a R$15,00, o que elevou o número de unidades vendidas para 36. Se o número de unidades vendidas é função do primeiro grau do preço, então o valor do preço que maximiza a receita diária é, em reais, igual a:

03) ( 0 , 2 )

a) 14,00 b) 16,50 c) 18,50

101. (UEFS-07.1) Considerem-se as afirmações: I. O trinômio x 2 + 5x + 4 é positivo para todo real x. II. O domínio da função f (x ) =

04) I e III 05) II e III

105. (UESB-2005) Em janeiro de 2004, o diretório acadêmico de uma faculdade começou a publicar um jornal informativo mensal e, nesse mês, foram impressos 150 exemplares. Devido à aceitação, esse número foi acrescido, a cada me subseqüente, de uma quantidade constante, até atingir, em dezembro de 2004, o número de 920 exemplares. A expressão que representa o número E de exemplares impressos em relação ao tempo t, em meses, sendo de 2004 equivalente a t = 0 é:

2

a) 0 b) 1 c) 2

( 2 ) − 3 ⋅ f (− 2 ) = 4(− 1 + 2 )

Pode-se afirmar que a alternativa que contém todas as proposições verdadeiras é a:

97. (UEFS-03.2) Sendo f:R→R uma função ímpar tal que f(2)= 1 e f(6)=2, pode-se afirmar que o valor de

d) 0 e) 3

103. (UESB-2008) Considerando-se a função f de R em R definida 2  x − 2x − 3, se x > 1 por f (x ) =  2 , e as proposições: − x + 2x + 3, se x ≤ 1

(

01) V F F 02) F V F 03) F V V

3 . 2

d) 20,00 e) 22,50

1 + x2 é R – { 2}. x2 − x − 2

11


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f ( x) =

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95. (UEFS-02.2) Dada a função real

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107. (UEFS-09.1) Em um determinado concurso, 2000 candidatos inscritos compareceram às provas realizadas em um grande colégio. O número de candidatos (y) que entraram no colégio, em função do horário de entrada(t), é representado por pontos do gráfico, sendo t=0 o instante em que os portões de acesso foram abertos e t=60, o instante em que esses portões foram fechados.

110. (UESC-2004) Para uma comemoração, um grupo de amigos faz reserva, num restaurante, de 40 lugares e estabelece o seguinte acordo: cada pessoa que compareça à comemoração pagará R$30,00 e mais R$ 3,00 por cada uma das pessoas que não compareça. Para que o restaurante tenha o maior lucro possível, com essa comemoração, o número de presentes deverá ser igual a: 01) 30 02) 25 03) 20

111. (UEFS-06.2) Em uma partida de futebol, o goleiro repôs a bola em jogo com um chute tal que a bola descreveu uma trajetória parabólica de equação, 1 y = − x 2 + 6x 2 com x e y expressos em metros. A distância percorrida pela bola e a altura máxima atingida por ela, desde o local do chute até o ponto em que ela toca o solo, foram, respectivamente, iguais, em metros, a:

Assim, pode-se afirmar que, quando o número de candidatos no interior do colégio atingiu 1860, o tempo decorrido desde a abertura dos portões foi igual a d) 55min20seg e) 55min48seg

a) 6 e 12 b) 3 e 18 c) 12 e 6

108. (UEFS-07.2) Para ir da cidade em que reside até sua fazenda, uma pessoa percorre, de carro um trecho de 150 km de uma rodovia. O gráfico representa a distância (d, em km) percorrida, após t horas da partida da cidade.

d) 12 e 18 e) 18 e 12

112. (UEFS-04.1) Sabendo-se que f (2 − x ) = 4x − 6 , pode-se afirmar que o gráfico que melhor representa a função f(x) é: d)

y

y

2

− 0

Uma expressão que permite calcular a distância do automóvel à fazenda, no intervalo em que atingiu a maior velocidade, é: a) 50t b) 75t 25 c) (t − 5) 3

0

e)

1 2

-2

d) 100(t – 1) e) 125(t + 2)

x

4 y

b)

1 0 2 -4

x

y 2

x

0

c)

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a)

y

1 2

x

2

109. (UEFS-08.2) Os amigos J e P combinaram de se encontrar em um restaurante situado num ponto R da cidade.

−

1 2

0

x

113. (UESB-2004) V (milhares de reais)


a) 53min20seg b) 53min45seg c) 54min36seg

04) 15 05) 1

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Analisando-se o gráfico, no qual os segmentos JR e PR representam os trajetos feitos por J e P, respectivamente, de suas casas até o ponto de encontro, pode-se concluir que a razão entre as distâncias percorridas por P e J é: a) 3 2 b) 5 4 c) 1

28

6 0 1

12

t(anos)

O valor de certo automóvel decresce linearmente com o tempo t, conforme o gráfico. Sabendo-se que t = 0 corresponde à data de hoje, pode-se afirmar que o automóvel valerá R$19000,00 de hoje a

d) 4 5 e) 2 3

01) 4 anos e meio. 02) 5 anos. 03) 5 anos e meio.

12

04) 6 anos. 05) 7 anos.



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114. (UNEB-2005)

120. (UESB-2005)

2

Na figura, estão montadas a parábola de equação y = x − 4x + 2 e uma reta que passa pela origem dos eixos coordenados, pelo vértice V e pelo ponto A da parábola. Com base nessas informações, pode-se concluir que as coordenadas cartesianas do ponto A são:  1 1 3 7 01)  ,−  04)  ,−  3 3 2 4

Da análise do gráfico onde estão representadas as funções f (x ) = −x + 2 e g(x ) = x 2 , pode-se concluir que o conjunto-solução da inequação

f (x ) < 1 é: g(x ) 04) R – [ -1, 2 ] 05) R – [ -2, 1 ]

 1 1 02)  ,−  2 4 03) (1,-1)

115. (UEFS-04.2) O vértice da parábola de equação f (x ) = −x 2 + 2x − 4k é um ponto da reta y = 2. Portanto, a parábola corta o eixo Oy no ponto de ordenada: a) -1/4 b) 0 c) 1

05) (2,-2)

121. (UESB-2009) As funções f(x) e g(x), representadas no gráfico indicam os valores, em reais, cobrados por duas pessoas na digitação de x páginas de trabalhos escolares.

d) 2 e) 4

116. (UEFS-05.1) Se a função real f (x ) = −x 2 + ax é crescente no

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1  1  intervalo − ∞,  e decrescente em  , + ∞  , então α é igual a: 2  2  a) -2 b) -1 c) 1

d) 2 e) 3

Então, o valor f cobrado pela digitação de 70 páginas é: 01) igual ao valor g. 02) R$6,75 mais barato que o valor g. 03) R$8,20 mais barato que o valor g. 04) R$10,50 mais caro que o valor g. 05) R$12,25 mais caro que o valor g.

117. (UEFS-05.1) O valor máximo de C para que o gráfico da função f (x ) = x 2 + 3x + C intercepte o eixo Ox é: a)

9 2

b) 4

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01) ] -2, 1 [ - {0} 02) ] -1, 2 [ - {0} 03) R – [ -1, 1]

9 4 3 e) 2

122. (UEFS-02.1) Seja f uma função do 2º grau. Se o gráfico de f é uma parábola de vértice V=(2,1) e intercepta um dos eixos coordenados no ponto (0,3) , então a expressão f(x) é igual a:

d)

a) f (x ) =

c) 3

x2 − 3x + 3 2

d) f (x ) = x 2 − 3x + 3 x2 − 2x + 3 2

118. (UESB-2007) O custo para produzir x unidades de certa mercadoria é dado pela função C(x ) = 2x 2 − 20x + 51 . Nessas condições, é correto afirmar que o custo é mínimo quando x é igual a:

b) f (x ) = 2x 2 + 2x + 3

01) 5 02) 8 03) 10

123. (UESC-2003) Sendo b ∈ R uma constante, e x1 e x 2 as

c) f (x ) =

04) 15 05) 20

e) f (x ) =

x2 + 2x + 3 3

abscissas

dos

vértices

das

parábolas

y = x 2 + bx + 2

e

y = x + (b + 2)x + 2 , respectivamente, conclui-se que: 2

119. (UESB-2009) Sobre as funções reais f e g, sabe-se que: • 2f (x ) − 3 = g(2x − 3 ) , para todo x real, • g é uma função ímpar e seu gráfico passa pelo ponto P = (1, 5)

04) ( 2 , 4 ) e ( 1, − 1 )

02) ( 1, 2 ) e ( − 1, − 2 )

05)

03)

04) x1 = 2x 2 − 1

02) x 2 = x1 + 1

05) x 2 = 2x1 + 1

03) x 2 = x1 + 2

A partir dessas informações, pode-se concluir que o gráfico de f passa necessariamente, pelos pontos: 01) ( 1, − 2 ) e ( 1, − 2 )

01) x 2 = x1 − 1

124. (UESC-2008) Sobre uma função f: R → R, que é par e tal que, para todo x ∈ R+, f (x ) = 2x3 + 3x2 + x , pode-se afirmar que: 01) essa função não existe. 02) f (x ) = −2x3 + 3x2 − x , para todo x ∈ R-.

( − 2 , 4 ) e ( 1, − 1 )

( 2 ,1 ) e ( − 1,1 )

03) f (x ) = 2x3 + 3x2 + x , para todo x ∈ R-. 04) f (x ) = 2x3 − 3x2 + x , para todo x ∈ R-. 05) f (x ) = −2x3 − 3x2 − x , para todo x ∈ R-.

13



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125. (UESB-2007)

130. (UEFS-08.2) O gráfico representa uma função f definida em [ − 4, 2 ] .

Considerando-se f(x) a função que calcula o número de quadrados e x o número de palitos, pode-se concluir que f(x) é igual a: x −3 2 x −1 02) 3 3x − 6 03) 2 01)

x+2 3 x +1 05) 3

04)

Sendo S a soma dos valores de x para os quais f ( f (x ) ) = −2 , o valor f ( f (S) ) é: a) – 2 b) 0 c) 1

126. (UNEB-2002)

d) 2 e) 4

Os gráficos representam as funções f: R → R f (x ) = mx + n g: R →

01) x2 - 4x + 2 02) x2 - 4x + 4 03) -x2 + 4x + 4

a) f é injetiva e seu conjunto imagem é [0, 2]. b) f é sobrejetiva e o número 3 pertence ao conjunto-imagem. c) f é uma função impar. d) f é injetora e par. e) f é não sobrejetora e o número 1 é imagem de apenas dois números reais.

04) -x2 + 4x - 2 05) -x2 - 4x – 4

127. (UEFS-05.2) Considere-se a função real f (x ) = ax 2 + 4 3 x + a . Se o maior valor de f(x) é 1, então a constante a∈R é igual a a) – 4 b) – 3 c) − 3

132. (UESB-2006) Sendo [-1,4] o conjunto imagem de uma função f(x), pode-se afirmar que o conjunto imagem de g(x)= 3f(x) - 4 é:

d) 3 e) 4

01) [ 0, 4] 02) [ 0, 8] 03) [ 2, 4]

128. (UESB-2009) Ao calcular as raízes do polinômio de coeficientes reais P(x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , dois alunos encontraram valores incorretos para elas - o primeiro. por ter copiado

04) [ 4, 8] 05) [ 7, 8]

133. (UEFS-05.2) Um fabricante produz canetas ao preço de R$ 2,00 a unidade. Estima-se que, se cada caneta for vendida ao preço de x reais, os consumidores comprarão 1000 - 100x canetas por mês. Sabendo-se que atualmente o lucro mensal do comerciante é de R$ 1500,00, pode-se concluir que a unidade da caneta é vendida por:

errado o coeficiente do termo de 1° grau, encontrou raízes − 2 e 2 , e o segundo, por ter copiado errado o termo independente, encontrou raízes 1 e 3. Sendo P(4) = 4, o polinômio P(x) assume um valor:

a) R$ 6,00 ou R$ 7,00 b) R$ 5,00 ou R$ 7,00 c) R$ 5,00 ou R$ 4,00

01) mínimo igual a – 8. 02) máximo igual a – 8. 03) mínimo igual a 0. 04) mínimo igual a 12. 05) máximo igual a 12.

d) R$ 4,00 ou R$ 8,00 e) R$ 4,00 ou R$ 6,00

GABARITO FUNÇÕES 81. D

82. 02

83. B

84. 05

85. E

86. A

87. C

88. C

89. B

90. A

91. 04

92. 02

g(x ) = 1 , respectivamente. O menor comprimento possível de AB é igual, em u.c.,

93. 01

94. 01

95. B

96. 02

97. C

98. A

99. E

100. 02

101. B

102. A

103. 05

104. B

5 01) 4 4 02) 5 3 03) 4

105. 02

106. B

107. D

108. D

109. E

110. 02

111. D

112. E

113. 03

114. 05

115. C

116. C

117. D

118. 01

119. 04

120. 03

121. 04

122. E

123. 01

124. 02

125. 02

126. 04

127. B

128. 05

129. 03

130. E

131. E

132. 02

133. B

*****

129. (UNEB-2007) Um segmento AB, paralelo ao eixo oy, tem extremidades A e B sobre as curvas de equações f (x ) = −x 2 + x e

2 04) 3 1 05) 2

14


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R; g(x ) = ax 2 + bx + c . A partir da análise desses gráficos, conclui-se que a função f(g(x)) é definida por:

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131. (UEFS-07.1) Sobre a função f:R→R representada no gráfico, á correto afirmar:


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136. (UESC-2009) Sobre o conjunto-solução da equação x − 2 − 2x − 1 = −1 , em x ∈ R , tem-se que é um conjunto:

Função Modular e Exponencial Função Modular Uma função como f(x) =  x pode ser expressa por várias sentenças.

01) vazio 02) unitário 03) de dois elementos.

f (x ) = x

 x, se x ≥ 0 x = − x, se x ≤ 0

137. (UESB-2008) O gráfico que melhor representa a função f (x ) = 2 − x − 1 é:

D(f ) = R e Im(f ) = [0,+∞[

y

01)

Equações Modulares

0

Função Exponencial As propriedades das potências também se aplicam quando os expoentes são números reais. an ⋅ am = an+m

n

a

m

=

(a )

-1 0

1

2

x

y

-1

= an⋅m

0

1

x

138. (UEFS-07.2) Analise as afirmações:

a ⋅ b = (a ⋅ b)n n

I. {1, 2 }∈ {0, 1, 2, 3 }

n

an

a =   b b

Equação am = an ⇒ m = n

x

x

= an−m

nm

n

1

1 y

A função cujos valores são dados pela fórmula f (x ) = a x é crescente se a > 1 , e decrescente se 0 < a < 1 .

1 . 9 III. Sendo x um número real positivo e k o número inteiro mais próximo de x, pode-se afirmar que x − k < 0,5 .

InequaçãoExponencial

Nessas condições pode-se afirmar:

n

II. Se f (x ) = 3 x então f (− 2) =

a) Apenas é verdadeira a afirmativa I. b) Apenas é verdadeira a afirmativa II. c) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e II. d) Apenas são verdadeiras as afirmativas I e III. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

( )

139. (UEFS-06.1) Se 5 2 −n = 75 , então 3 ⋅ 5n é igual a: 1 3 3 b) 5 c) 1

a)

134. (UEFS-06.1) O conjunto

{x ∈ R; x b) { x ∈ R; x c) { x ∈ R; x a)

} > 1} < 1} ≤1

{ x ∈ R; − 3 < x < 2 } está contido em:

{ x ∈ R; e) { x ∈ R;

d)

} ≤3}

x ≥2 x

e) 5

140. (UESC-2005) Se S é o conjunto-solução da equação 1 2 3 (x +1) = 3 , com x∈ R, então pode-se afirmar:

01) S ⊂ {-1, 0, 3, 2} 02) S ⊂ {-1/2, 0, 1, 3} 03) S ⊂ {-2, -1/3, 0, 3}

135. (UNEB-2004) Para consertar uma engrenagem, é necessário substituir uma peça circular danificada por outra, cujo raio r, em u.c., deve satisfazer à relação r − 0,5 ≤ 0,01 . Assim, só poderão ser

04) S ⊂ {-1, -2, 1/3, 1} 05) S ⊂ {-2,1/3,1, 2,3}

 1 141. (UESB-2007) Considerando-se f (x ) = 8 x + 2 , g(x ) =   2

utilizadas, na reposição, peças com um raio, no mínimo, igual a: 01) 0,26 u.c. 02) 0,30 u.c. 03) 0,34 u.c.

d) 3

x2 −4

f (a) = g(a) , pode-se afirmar que a é elemento do conjunto:

04) 0,37 u.c. 05) 0,49 u.c.

01) [−∞, − 3 [

04) [ 1, + ∞ [

02) [−2, + ∞ [

05) [ 1, 2 ]

03) [ 2, + ∞ [

15


e

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a

 1 =   a

am

-1

05)

MATEMÁTICA


03)

an

x

-2

x ≥ a ⇔ x ≥ a ou x ≤ − a , ∀a, com a ∈ R

m an

1 y

x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a, ∀a, com a ∈ R

se n = 0 ⇒ a0 = 1 an = a a4 ⋅2 a ⋅4 ...4 ⋅a  1⋅4 3 se n = 1 ⇒ a1 = a n fatores

2

0

02)

Inequações Modulares

−n

y

04)

2

x = a ⇔ x = ± a, ∀ { x, a}, com {x, a} ⊂ R

n

04) de três elementos 05) infinito


147. (UEFS-05.1) Observa-se que, a partir do momento em que uma rodovia sofre danos e não é recuperada, o custo da recuperação aumenta exponencialmente com o tempo t, o custo, portanto, é dado por uma função exponencial C = C0 ⋅ a t .

142. (UEFS-06.1) Sendo f( x) = 23x − 2 e g(x) funções reais, tais que  1 f (g(x )) = x , pode-se afirmar que g   pertence ao conjunto: 8  5  a) − 3,− ,−2 2  

1 1  d)  , , 1 4 3 

 8 3  b) − ,− ,−1  5 2 

1  e)  , 2, 3 3 

Se de 2001 até 2004, não houve nenhuma ação para recuperar uma rodovia, e, em 2002, o custo para a sua recuperação era de R$ 1200000,00 e, em 2003, esse custo subiu para R$ 1320000,00, então, a recuperação dessa rodovia, em 2004, em reais, a) 1440000,00 b) 1452000,00 c) 1462000,00

 1 1  c) − ,− ,0  5 3 

t 5

. Dessa forma, o tempo t, em

a) 6 b) 8 c) 10

2

e) f (− 1) = 2 2

d) 12 e) 14

149. (UESC-2004) Suponha que, t minutos após injetar-se a primeira dose de uma medicação na veia de um paciente, a quantidade dessa medicação existente na corrente sangüínea seja

( 2)

x

−

144. (UEFS-08.1) Para x e y, números inteiros positivos, considere a expressão algébrica 3 x +1 + y = 10 . x −2

Quando y assumir o maior valor possível, então (y) intervalo:

 2 a)  0,   5

2  d)  , 3  5 

2  b)  , 1  5 

e) [ 3, 5 [

t

dada, em milímetros, pela função Q(t) = 50 ⋅ 2 180 e que o paciente deva receber outra dose, quando a medicação existente em sua 1 corrente sangüínea for igual a da quantidade que lhe foi injetada. 4 Nessas condições, o intervalo de tempo, em horas, entre a primeira e a segunda dose da medicação, deverá ser igual a:

pertencerá ao

01) 2 02) 4 03) 6

04) 8 05) 10

150. (UEFS-01.1) Numa região da Terra, logo após a queda de um meteoro contendo uma grande quantidade de um elemento radioativo X, verificou-se que havia M0 gramas desse elemento para cada unidade de área, valor que corresponde a 1.000.000 vezes a quantidade suportável pelo ser humano. Admitindo-se que, em cada instante t após a queda, dado em anos, a quantidade de gramas por unidade de área do elemento X foi igual

 5 c)  1,   2 145. (UEFS-08.1) A evolução constante na tecnologia e a grande concorrência no mercado resultam na produção de computadores cada vez mais potentes a preços cada vez mais acessíveis. Admitindo que a variação no preço de certo computador, a partir de hoje e pelos próximos 6 meses pode ser estimada através da função P(t) = 32 − 2t − 2 , em que t é dado em meses e P(t) em unidades monetárias, afirma-se:

2t

a M = M0 ⋅ (0,1) , conclui-se que o tempo, em anos, para que a quantidade do elemento retomasse ao nível aceitável pelo ser humano foi de; a) 3 b) 5 c) 8

I. O preço desse computador será de 16 unidades monetárias dentro de três meses. II. O preço desse computador decrescerá mensalmente segundo uma progressão aritmética. III. Do terceiro para o quarto mês, espera-se uma queda no preço do computador superior a 6%.

d)12 e)16

151. (UESC-2009) Na figura, estão representados os gráficos das 1 funções f (x ) = 2 x e g(x ) = 4 x + . 4

Analisando-se essas afirmações, pode-se concluir: a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas III é verdadeira. c) Apenas a I e II são verdadeiras. d) Apenas II e III são verdadeiras. e) Todas são verdadeiras.

146. (UEFS-02.1) Estima-se que daqui a t anos a população de uma cidade seja igual a 4500 ⋅ 2t habitantes. Com base nessa informação, pode-se concluir que, após 3 anos o aumento de habitantes, dessa cidade, em relação à população atual, será igual a: a) 13500 b) 18000 c) 27000

Se

( x0 , y0 )

são as coordenadas do ponto P, então x 0 + y 0 é igual

a:

d) 31500 e) 36000

01) 2

04) 0

02) 1

05) −

03)

16

1 2

1 2 Dúvidas ou Sugestões EMAIL: [email protected]

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−

3 da população saibam do boato é igual a: horas, para que 4

d) f (2) ⋅ f (−2) = −1

 1 b) f (x ) =    12  c) f (x) =

horas é dado por Q(t) = P − P ⋅ 2

MATEMÁTICA

1 16

d) 1465000,00 e) 1470000,00

148. (UEFS-05.2) Em uma população com P habitantes, a partir do instante t = 0, em que surge um boato sobre um ato de corrupção no governo, o número de pessoas t que ouviram o boato até o instante t

143. (UEFS-02.1) Se a função exponencial f:R→R definida pela equação f (x ) = a x é tal que seu gráfico passa pelo ponto (-2, 8), então: a) f (4) =

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152. (UEFS-08.2) Sabendo-se que a desigualdade 1 k 2 2k −1 4 x +2 x + > 0 é verdadeira, para todo x pertencente a R, 2 pode-se concluir que: a) k < 0

d) 3 ≤ k < 2 2

b) k < 3 2

e) k ≥ 2

GABARITO FUNÇÃO MODULAR E EXPONENCIAL 134. E

135. 05

136. 03

137. 05

138. C

139. C

140. 03

141. 02

142. C

143. E

144. A

145. B

146. D

147. B

148. C

149. 03

150. A

151. 05

152. B

153. 05

154. B

155. 05

156. 01

c) 0 ≤ k < 3 2

153. (UESB-2005) Sobre a função f (x ) = 1 − 3 −x , pode-se afirmar:

Logaritmos Logaritmos Se b é um número real positivo e diferente de 1 e a é um número real positivo tal que

01) É decrescente em R. 02) É uma função par. 03) Tem como domínio [0,+∞[. 04) Tem como função inversa f −1(x) = 1 + log3 x .

b n = a, então log b a = n

05) Tem para conjunto-imagem ]- ∞, 1[.

Propriedades

log b b = 1

log b a c = c ⋅ log b a A figura representa o gráfico da função f (x ) = a x , a>0. Com base na análise do gráfico e supondo-se f (2) + f (− 2) =

1 < a <1 2 c) 1 < a < 2 b)

5 , pode-se concluir 2

•

2

log b

d) 2 < a < 3

Mudança de Base logb a =

e) a > 3

log b a

=a

1 ⋅ log b a c

a = log b a − log b c c

anti log b a = b a

co log b a = − log b a

logc a logc b

A função f (x ) = logb x é crescente se b > 1 e decrescente se

0 < b < 1.

155. (UNEB-2008) Considerando-se um número real x tal que x2

log b c a =

log b a ⋅ c = log b a + log b c

que: 1 2

b

< 16

Equação: log b a = log b c ⇔ a = c

• x ∉ ] − 1, 0 [ Pode-se afirmar que x pertence ao conjunto

01) [ 0, 2 [

04) [ − 2, − 1 ] ∪ [ 0, 2 ]

02) [ 0, 2 ]

05) ] − 2, − 1[ ∪ [ 0, 2 [

Inequação Logarítmica

03) ] − 1, 0 ] ∪ [ 0, 2 [

156. (UESC-2008) A figura representa o gráfico da função f (x) = ax + b.

É comum omitir o número da base de um logaritmo se ela for 10: log10 b = log b O número e = 2,718281828... pode ser calculado com a precisão n

1  desejada se aumentarmos o valor de n na expressão 1 +  n  É comum representar um logaritmo de base e com uma outra notação: log e b = ln b

Com base nessas informações, pode-se concluir que o valor de f (b) é igual a: 2 3 1 02) − 3 03) 2

01) −

04) 3

lemos:"logaritmo neperiano ou natural de b".

05) 4

17


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log b 1 = 0

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154. (UEFS-02.2)

a) 0 < a <

a > 0 C .E . b > 0 ≠ 1


165. (UEFS-07.1) Considerando-se log2=0,30 e log3=0,48, pode-se

afirmar que log (0,06) é:

afirmar que um valor real de x tal que intervalo:

158. (UEFS-03.2) Considerando-se

log 2 = 0,30

e

a) ] -∞, -3] b) ] -3, -2] c) ] -2, 0]

log 3 = 0,47 ,

a) 2 < x < 3 b) 3 < x < 4 c) 4 < x < 5

da

2

(2x)

01) log5 3 1 02) − log5 3 2 03) log3 5

1 2

d) 1 + log3 2

b)

1 log3 2x

e) log3 2x

c)

1 1 + log3 2 3 2 1 + + = 2 , então x2 é igual log2 x log3 x log5 x d) 320 e) 360

01) log2 12

04) 1 + log3 2

02) log3 12

05) 2 ⋅ log 6

170. (UNEB-2009) Se 3 ⋅ 22x = 6 4 x −1 , então logx 2x + 1 é igual a:

é

01) – 1,0 02) – 0,5 03) 0

04) 0,5 05) 1,0

171. (UNEB-2009) Considerando-se as funções reais f (x ) = log3 (x + 1) , g(x ) = log2 x e h(x ) = log 4x , pode-se afirmar que o

163. (UEFS-07.1) Considerando-se log a = x, log b = y e log c = z, é

valor de f (26 ) − g(0,125 ) + h(25 ) é:

2

01) – 3 02) – 2 03) 0

2 z 9 2 z 9

172. (UNEB-2005)

04) 2 05) 8

Sendo

f (x) = 3 −x ,

pode-se

afirmar

f (−1 + log3 2) pertence ao conjunto:

x

=

1 e 27

169. (UESB-2004) A equação 2x −1 = 6 é verdadeira para x igual a

equação

2

164. (UESB-2006) Se 9

=

a:

04)1 05) 0

x +1 2

a)

168. (UEFS-03.1) Se

igual a:

  é:   11 3x − y+ 9 11 3x + y+ 9

)

03) 2 + log2 6

( )

 a 4 ab correto afirmar que o valor de log 3 2  b 3 bc  11 2 y− z d) a) − 3x − 9 9 11 2 b) 3x − y− z e) 9 9 11 2 c) 3x + y− z 9 9

2

log3 x é equivalente a: log6 x

a) 80 b) 120 c) 260

162. (UESB-2005) Se log2 2x + log4 (x) = 0 , então log

03)

3 (2 − x

04) ] 0, 1] 05) [ 1, +∞[

167. (UEFS-04.2) A expressão

d) primo. e) irracional.

01) 2 2 02) 2

d) ] 1, 2[ e) [ 2, +∞[

01) ] -∞, -3] 02) ] -3, -2] 03) ] -2, 0]

04) 9 05) 7

a) inteiro divisível por 6. b) inteiro divisível por 9. c) racional não inteiro.

= 3 pertence ao

considerando-se log 2 = 0,30 , pode-se afirmar que log x pertence

além das propriedades operatórias dos logaritmos, ele se lembrou, apenas, dos valores de a = log 2 e b = log 3 . Assim, M pode ser calculado por: 4a 3a d) a) b a+b 3b 3a e) b) a b−a ab c) 4 1 160. (UNEB-2002) Sabendo-se que log2 x = 3 log2 27 + log2 , 9 pode-se concluir que log3 x é igual a:

real

)

ao intervalo:

159. (UEFS-07.2) Em um teste de Matemática, um aluno deveria calcular o valor de M = log 616 , sem auxílio de calculadora, mas,

161. (UEFS-06.1) A única solução log9 (x + 1) = log3 (2x) é um número:

2

166. (UNEB-2004) Sabendo-se que x∈R é tal que

d) 5 < x < 6 e) 6 < x < 7

01) -1 02) 0 03) 3

2(5 − x

3 +1 , então x é igual a: 2 04) log3 2 − log3 10

1 2 01)  ,  9 3 

 4 04) 1,   3

1 3 02)  ,  3 2 

 9 05) 3,   2

3 3  03)  ,  8 4 

05) log 3 − log 5

18


que

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04) 1,222 05) 1,778

3

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01) -2,222 02) -1,222 03) -0,778

pode-se afirmar que x = log2 30 é um número tal que:


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157. (UNEB-2003) Sendo log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,477 , pode-se

MÓDULO DE EXATAS 2009 da

180. (UNEB-2005) O número de soluções inteiras da inequação log3 (2x − 9) ≤ 1 é:

equação

2

01) 0 02) 1 03) 2

d) 1 3 e) 3 2

a) { 1, 2 } b) { 0, 1, 3 } c) { 0, 2, 3 }

d) 4 e) 5

que f

f (x) = 2x ,

g (x) = 2

3 x −1


01) [ 0,32, 0,55 ]

04) [1,76, 1,84 ]

02) [ 0,65, 0,85 ]

e

05) [1,92, 1,99 ]

2

176. (UNEB-2006) Se as raízes da equação ax − abx + c = 0 são x1 = a ⋅ logb a e x 2 = c ⋅ logb c então é verdade que: 04) (ab) = 1

02) aa ⋅ bb = c c

05) aa ⋅ c c = bb

01)  16 , 4   5 

04)  3 , 7  4 5

02)  5 , 16  2 5 

05)  0 , 3   4

1 2

d) loga

b) − log2 a

04) 0,26 - 10 05) 0,24 - 10

e)

1 2

1 log2 a

c) log2 a

185. (UEFS-07.1) Os valores reais de x, para os quais a função f (x ) =

2 − x2 − (1 − x ) está definida, são: 2x − 2

a) x ≠ 2 b) – 1 < x < 2 c) x > 1 e x ≠ 2

d) x > 1 e) x > 2

186. (UESC-2006) Se o conjunto-solução da inequação em

(

)

log 1 x 2 + x − m ≤ 0 é R – [-1,2] então a constante m é igual a: 3

01) – 2 02) – 1 03) 0

01) 1000 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B. 02) 100 vezes a amplitude das onda sísmicas provocadas por B. 03) 50 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B. 04) 1/2 da amplitude das ondas sísmicas provocadas por B. 05) 2 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.

3m + 2 2−m 3m + 1 b) 2−m 3m + 2 c) 4 − 2m

( k + 2 ) , é um número:

a) − loga

178. (UESC-2009) Como os logaritmos têm crescimento bastante lento, são usados em algumas aplicações práticas em que as medidas são muito grandes ou muito pequenas. Um exemplo é a escala Richter que é usada pelos sismólogos para medir a intensidade de terremotos. Os valores dessa escala correspondem a log(x), com x igual a amplitude das ondas sísmicas provocadas pelo terremoto. Se um terremoto A atingiu 5,2 na escala Richter e um outro, B, atingiu 3,2 graus, então a amplitude das ondas sísmicas provocadas por A foi igual a:

a)

−1

a > 0 , então o valor de x0 , tal que f (x − x0 ) = 4 ⋅ f (x + x0 ) é:

177. (UESC-2005) Uma fórmula para se medir a sensação de ruído, em decibéis (dB), é dada por L = 120 + 10 log() l , sendo l intensidade sonora, medida em watt/m2. Se a sensação máxima de ruído provocada por um piano é de L = 94dB, então a intensidade sonora máxima alcançada pelo piano é igual, em watt/m2, a:

179. (UEFS-01.1) Se log9 2 = m ,então

d) { 0, 2, 4 } e) { 0, 3, 4 }

184. (UEFS-03.1) Se f é uma função real definida por f (x ) = a x ,

c

01) 10 0,26 02) 10 - 0,26 03) 10 - 2,6

está

03)  7 , 5  5 2

c

01) aa + c c = bb 03) a + b = c

) }

183. (UESB-2009) Os números reais positivos x, y e z, nesta ordem, formam uma progressão geométrica de razão r. Se logr x = 2 , então o valor de log x yz pertence ao intervalo:

03) [1,64, 1,72 ]

b

(

01) inteiro negativo 02) inteiro positivo 03) racional não inteiro, negativo. 04) racional não inteiro, positivo. 05) irracional.

g (f (x )) = 5 e sendo log 2 = 0,30 , pode-se afirmar que o triplo do valor de x, que satisfaz a essa condições, pertence ao intervalo:

a

{

X = x ∈ Z; log6 2x − 2 ≤ 1

182. (UESB-2009) Dada uma função real inversível f, representa-se a sua inversa por f -1. Sendo f (x ) = 2 x+1 o valor da constante k, tal

3

175. (UESB-2008) Considerando-se

conjunto

contido em:

174. (UEFS-08.2) Sabendo-se que m e n são números inteiros, maiores do que 1, pode-se afirmar que o número de pares 174. ordenados (m, n) que satisfazem à equação log 3 (m) − 2 log 1 (n) = log 3 (252) a) 1 b) 2 c) 3

O

181. (UEFS-04.2)

04) 1 05) 2

187. (UEFS-07.2) Sendo M um subconjunto de Z+*, define-se uma *

função bijetora f : Z + → M por f (1) = 1 , f (2) = 3 , f (3) = 9 e f (4) = 27 e assim sucessivamente.

log3 2 + log9 18 é igual  81  log9   2

a) os elementos de M formam uma PA de razão r = 2 cujo décimo termo é 110. b) os elementos de M formam uma PG de razão q = 2 cujo oitavo termo é 27. c) os elementos de M não formam progressão aritmética nem geométrica. d) f −1(x ) = 1 + log2 x

m+2 2−m m+2 e) m3

d)

e) f −1(x ) = 1 + log3 x

19


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b) − 1 2 c) 0

04) 3 05) 4

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a) −1

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173. (UEFS-09.1) Se α é uma solução 1 − 2 ⋅ 3 x log3 2 = 0 , então log 1 (1 − α) é igual a:


191. (UEFS-08.1) O gráfico que melhor representa a função f (x ) = log2( x) − log4 3x 2 é:

( )

( )

a)

d)

b)

e)

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188. (UEFS-05.1) O gráfico que melhor representa a função f (x) = log2 4 x é:

189. (UESC-2003) O gráfico que melhor representa a função log3 x 2 + 4 definida para x ∈ R*+ , f (x ) = 2

( )

192. (UESC-2007) De acordo com urna pesquisa realizada na comunidade, após t anos da constatação da existência de urna epidemia, o numero de pessoas por ela atingidas é expresso por 20000 . Considerando-se o log 2 = 0,3 , pode-se afirmar N(t) = 2 + 15 ⋅ 4 − 2t que em x meses, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será igual a 4000. Nessas condições, o valor de x é: 04) 4 05) 3

193. (UEFS-06.2) Sendo conjuntos

f (x ) = log3 (x − 2) ,

A = { x ∈ R / f (x) ∈ R}

e

g(x) = 1 − x

e os

B = { x ∈ R / g(x) ∈ R} , pode-se

afirmar que o conjunto C = { x ∈ R / f (x) ∈ B} é igual a: a) ]-∞, 1] ∪ ] 2, +∞[ b) ] 1, 2] c) ] 2, 3[

194. (UESC-2008) Se x1 e x2 são as raízes da equação 2 log4 x ⋅ log2 x − log2 x5 + log2 64 = 0 , então x1 + x2 é igual a:

190. (UESC-2004) A melhor representação gráfica da função  1 f (x) = log 1   é: x 3  01)

d) ]2, 5] e) ]2, +∞[

01) 4 02) 8 03) 10

04)

04) 12 05) 16

195. (UNEB-2008) A figura representa o gráfico da função f definida por f (x) = log2 x .

02)

05)

A medida do segmento AB, em u.c., é igual a:

03)

01) 7,8 02) 8,0 03) 8,5

04) 8,8 05) 9,5

196. (UESB-2006)

20


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01) 7 02) 6 03) 6

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e)


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o primeiro deles mede 8º e cada arco a partir do segundo mede 8º a mais que o anterior. Então o maior arco mede: 01) 104º 02) 96º 03) 88º

gráficos

das

funções

f (x) = 2x − 1

e

g(x ) = 5 ⋅ logb (ax ) representados na figura, pode-se afirmar: 01) a = b/3 02) a = b/2 03) a = b

a) jovem é 10 anos. b) jovem é 11 anos. c) velho é 12 anos.

04) a = 2b 05) a = 3b

200. (UEFS-03.1) Um certo tipo de loteria paga, ao acertador, um prêmio equivalente a 100 vezes o valor apostado. Na primeira vez que jogou, uma pessoa apostou R$ 1,00 e, nas vezes seguintes, acrescentou sempre mais R$ 3,00 à aposta anterior. Tendo acertado na décima jogada, decidiu parar. Levando-se em conta o que foi gasto nas apostas e o valor recebido como prêmio, pode-se concluir que essa pessoa teve um lucro, em reais, igual a:


GABARITO LOGARITMOS 157. 02

158. A

159. D

160. 05

161. E

162. 04

163. B

164. 04

165. C

166. 04

167. D

168. E

169. 01

170. 02

171. 05

172. 02

173. A

174. C

175. 03

176. 05

177. 03

178. 02

179. B

180. 03

181. C

182. 03

183. 01

184. D

185. D

186. 04

187. E

188. A

189. 04

190. 01

191. C

192. 01

193. D

194. 04

195. 03

196. 01

*****

*****

a) 2800 b) 2655 c) 2100

d) 1548 e) 1000

201. (UNEB-2008) O primeiro e o último termo de uma progressão aritmética são respectivamente, iguais a a1 = 7 e an = 135 . A média aritmética dos termos dessa progressão é igual a: 01) 64 02) 67 03) 71

Progressão Aritmética (PA) É toda seqüência em que cada termo a partir do segundo é obtido somando-se o anterior a uma constante r, chamada razão da PA. De acordo com o sinal da razão podemos classificar a P.A. da seguinte forma. a) Quando r > 0, dizemos que a P.A. é crescente. b) Quando r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente. c) Quando r = 0, dizemos que a P.A. é constante, e nesse caso todos os termos são iguais.

04) 76 05) 84

202. (UESC-2008) Após uma corrida, sem empates,entre alunos de uma turma de Educação Física, o professor resolveu premiar os participantes com um total de R$110,00, da seguinte forma: cada participante recebeu R$2,00 pela sua participação e mais R$ 2,00 por cada participante que alcançou a linha de chegada depois dele próprio. Pode-se concluir que o total de participantes da corrida foi igual a: 01) 10 02) 11 03) 12

Podemos observar que, considerando três termos consecutivos de uma P.A. o termo central é dado pela média aritmética entre os outros dois termos. (a, b, c ) ⇔ b = a + c 2 O termo geral de uma PA é dado pela fórmula an = a1 + (n − 1) ⋅ r A soma dos termos de uma PA pode ser determinada com a fórmula (a + an ) ⋅ n Sn = 1 2 Para uma Progressão Aritmética desconhecida devemos usar uma representação conveniente que nos facilite a resolução de alguns problemas. a) Para três termos em PA, podemos escrever: (x − r, x, x + r ) b) Para cinco termos em PA, podemos escrever: (x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r )

04) 13 05) 14

203. (UEFS-02.2) Um personal trainner sugeriu a um jovem iniciante em atividades físicas que seguisse o seguinte programa de condicionamento físico, durante um mês, e que, depois, faria uma avaliação. Corrida Caminhada 1º dia 500m 1000m 2º dia 600m 1250m 3º dia 700m 1500m . . . . . . . . . Com base nos dados, pode-se afirmar que, ao final de 15 dias, o jovem tinha totalizado, em caminhada e em corrida, a) 40,50km b) 44,25km c) 59,25km

197. (UEFS-05.2) Considerando-se a seqüência an tal que ∗ a1 = 0

d) 82,50km e) 90,00km

204. (UESC-2005) Considere-se n∈N*, tal que 1 + 2 + 3 + ... + n = 16n . Com base nessa informação, pode-se concluir que n é igual a:

 (− 1)n − 1, ∀ n ∈ N∗, ∗ an +1 = −an + 2   pode-se concluir que a2, a3, a4, a5, a6, nessa ordem, é

a) 1, -1, 0, 1, -1 b) -1, 1, -2, 2, -3 c) 0, -1, 1, -2, 2

d) velho é 14 anos. e) velho é 15 anos.

01) 15 02) 17 03) 31

d) 1, 0, 1, 0, 1 e) 1, -1, 2, -2 ,3

04) 32 05) 33

198. (UESC-2009) Divide-se uma circunferência em arcos, tais que

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os

199. (UEFS-03.2) Em 2003, as idades de três irmãos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4 e, daqui a 5 anos, a soma dessas idades será igual a 60. Nessas condições, pode-se afirmar que atualmente a idade do mais

MATEMÁTICA

Analisando-se

04) 80º 05) 72º

212. (UESC-2007) Três números positivos estão em progressão aritmética. A soma deles é 12 e o produto é 28. A soma dos quadrados desses termos é: 01) 66 02) 64 03) 58

04) 63 05) 65

213. (UEFS-04.1) Se, em uma PA, a soma dos três primeiros termos é igual a zero, e a soma dos dez primeiros termos é igual a 70, então a razão dessa progressão é:

206. (UESC-2006) Numa cidade, a cada ano, o número de novos profissionais de uma certa área é de 10 a mais do que o número de novos profissionais do ano anterior. Se, durante 9 anos, o número de profissionais dessa área teve um aumento de 396 profissionais, pode-se afirmar que, no 3º ano, o número de novos profissionais foi igual a:


01) 15 02) 24 03) 35

04) 54 05) 24

a) – 3 b) – 2 c) 2

d) 3 e) 4

214. (UNEB-2004) O primeiro termo positivo da progressão aritmética (−75,−67,−59,...) é:

04) 40 05) 45

01) 3 02) 4 03) 5

04) 8 05) 9

207. (UESC-2003) Numa via de tráfego, a velocidade máxima permitida é 80km/h. Para o motorista que desrespeita essa lei, aplica-se o seguinte sistema de penalidades: na primeira infração, o motorista apenas recebe uma advertência; na segunda, paga uma multa de R$ 150,00 e, a partir da terceira, paga uma multa igual à anterior, acrescida de R$ 20,00. Sabendo-se que o motorista tem sua carteira apreendida após ter infringido dez vezes essa lei, conclui-se que, quando esse fato acontecer, o motorista terá pago pelas multas um total, em reais, igual a:

215. (UESB-2003) Em certo país, no período de 1994 a 2000, a produção nacional de petróleo cresceu anualmente segundo os termos de uma progressão aritmética. Se em 1994 a produção foi de 40 milhões de metros cúbicos e a soma da produção de 1997 com a de 1998 foi igual a 90,5 milhões de metros cúbicos, o número de milhões de metros cúbicos de petróleo produzidos em 2000 foi:

01) 2400,00 02) 2070,00 03) 1980,00

a) 47 b) 47,5 c) 48

04) 1830,00 05) 1420,00

208. (UESC-2004) Um censo realizado em uma cidade revelou que, o número de fumantes, durante o ano de 1995, sofreu um aumento de 200 indivíduos e que, de 1996 até 1999, o aumento desse número, a cada ano, foi igual ao do ano anterior mais 30 fumantes. A partir de 2000, o número de fumantes ainda continuou crescendo, mas, com a proibição da propaganda de cigarro, esse aumento foi reduzido a 100 fumantes por ano. Nessas condições, pode-se concluir que o aumento do número de fumantes, desde o início de 1995 até o final de 2002, foi igual a: 01) 2010 02) 1800 03) 1730

216. (UNEB-2006) Um paralelepípedo retângulo tem 132m2 de área total, e as medidas de suas arestas são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 3. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o volume desse paralelepípedo mede, em m3, 01) 100 02) 90 03) 85

04) 1600 05) 1500

04) {13, 18, 23} 05) {14, 19, 24}

198. 05

199. B

200. B

201. 03

202. 01

203. C

204. 03

205. 01

206. 02

207. 02

208. 04

209. 04

210. C

211. B

212. 01

213. C

214. 03

215. A

216. 04

*****

*****

*****

*****

É seqüência em que cada termo a partir do segundo é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q, chamada razão da PG. De acordo com o sinal da razão podemos classificar a PG da seguinte forma. a) Quando q > 0, dizemos que a P.G. é crescente. b) Quando q < 0, dizemos que a P.G. é alternada ou oscilante. c) Quando q = 1, dizemos que a P.G. é constante, e nesse caso todos os termos são iguais. d) Quando 0 < q < 1, dizemos que a P.G. é decrescente.

d) 7 e) 8

211. (UEFS-04.2) As raízes da equação (x − 2)! = x − 2 coincidem com o primeiro termo e com a razão de uma progressão aritmética cujos termos são números ímpares. Nessas condições, pode-se afirmar que o centésimo quinto termo dessa progressão é: a) 507 b) 419 c) 301

197. E

Progressão Geométrica (PG)

210. (UEFS-05.1) Um motorista comprou um automóvel por R$ 14400,00 e o vendeu no momento em que o total gasto com sua manutenção era igual a 1/3 dessa quantia. Sabendo-se que, no primeiro ano, após tê-Io comprado, o motorista gastou R$ 300,00 com a sua manutenção e, a partir daí, a cada ano seguinte, o custo com a manutenção foi de R$ 200,00 a mais do que no ano anterior, conclui-se que o tempo, em anos, que o motorista permaneceu com o automóvel foi igual a: a) 4 b) 5 c) 6

04) 80 05) 60

GABARITO PROGRESSÃO ARITMETICA (PA)

209. (UESB-2006) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada pela expressão Sn = n2 − 6n , então o décimo quinto termo dessa progressão é um elemento do conjunto: 01) {10, 15, 20} 02) {11, 16, 21} 03) {12, 17, 22}

d) 48,5 e) 49

Obs: Podemos observar que, considerando três termos consecutivos de uma P.G. o termo central é dado pela média geométrica entre os outros dois termos.

( a, b, c ) = b2 = a ⋅ c O termo geral de uma PG pode ser encontrado com a fórmula

d) 257 e) 199

an = a1 ⋅ qn −1

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01) 21 02) 42 03) 56

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205. (UESB-2007) Um auditório possui 15 poltronas na primeira fila, 17 na segunda e 19 na terceira; as demais filas se compõem na mesma seqüência. Sabendo-se que esse auditório tem 735 poltronas em n filas, pode-se afirmar que o valor de n é igual a:

MATEMÁTICA


)

(

)

a) 0 < t < 1 b) 1 < t < 2 c) 2 < t < 4

Soma dos termos de uma P.G. infinita Seja a P.G. (a1, a2, a3, ...) cuja razão q é tal que – 1 < q < 1. Assim, n q é um número cada vez mais próximo de zero à medida que o expoente n aumenta, nesse caso assim temos: a S∞ = 1 1− q Obs: Para uma Progressão Geométrica desconhecida devemos usar uma representação conveniente que nos facilite a resolução de alguns problemas. x  Para três termos em P.G., podemos escrever:  , x, xq  q  


Produto dos termos de uma P.G. infinita Pn = a1n ⋅ q

223. (UEFS-08.2)

2 5 4 b) 3 c) 2

d)

n⋅(n −1) 2

a) 120
5 2

x,

solução

da

equação

d) 60
225. (UESB-2008) Uma pessoa compra um produto em 20 parcelas e) 3 paga 30 mensais crescentes em PG, sendo a primeira de R$100,00, dias após a compra, a penúltima igual a R$120,81 e a última de R$ 122,02. Considerando-se que todos os pagamentos foram efetuados nas datas previstas e que (1,01)20=1,2202, pode-se afirmar que o valor total pago, ao término do financiamento, foi aproximadamente, em reais, a: 01) 1122 02) 1220 03) 1822

04) 3 05) 1

226.

04) 2122 05) 2202

(

)

(UNEB-2007) A seqüência a1, 2, a3, 2−1, a5, ..., an, ... forma,

nessa ordem, uma progressão geométrica decrescente. O gráfico que melhor representa a curva que contém todos os pontos (n, an ) , em que n pertence ao conjunto dos números inteiros positivos e na é elemento da seqüência, é: 01)

04)

02)

05)

04) 2000,00 05) 2500,00

220. (UNEB-2005) Para que a soma dos termos da seqüência 255 2−5, 2−4, 2−3,..., 2k , k∈ Z, seja igual a , o valor de k deve ser 32 igual a: 01) – 1 02) 0 03) 2

de

224. (UEFS-01.1) Um homem pesando 256kg se submete a um regime alimentar, de modo que, a cada 3 meses, seu peso fica reduzido em 25%. Ao completar 1 ano de regime, ele pesa Pkg, tal que:

219. (UESB-2006) Uma pessoa investiu R$ 5000,00 em uma aplicação financeira, por um prazo de 4 anos, ao fim do qual teve um saldo total de R$ 20000,00. Sabendo-se que, durante esse período, essa pessoa não fez saques nem depósitos e que a aplicação teve rendimento anual segundo uma progressão geométrica, pode-se afirmar que o rendimento, em reais, obtido no primeiro ano foi de, aproximadamente, 01) 950,00 02) 1500,00 03) 1620,00

valor

a) primo. b) inteiro, múltiplo de 3. c) inteiro, múltiplo de 5. d) racional não inteiro e negativo. e) racional não inteiro e positivo.

218. (UESB-2005) Somando-se um valor constante k a cada um dos termos da seqüência (2, 1, 3), obtém-se, nessa mesma ordem, uma nova seqüência, que é uma progressão geométrica. A soma dos termos dessa progressão é igual a: 01) 9 02) 6 03) 5

O

2x +  1 + 2 + 4 + 8 + ...  = 27 , em que a expressão entre  3 9 27 81  parênteses é a soma dos termos de uma progressão geométrica, é um número

217. (UEFS-02.1) Adicionando-se a mesma constante a cada um dos números 3, 6 e 10, nessa ordem, obtém-se uma progressão de razão igual a: a)

d) 4 < t < 6 e) 6 < t < 8

04) 5 05) 8

221. (UEFS-07.1) Se a soma dos 10 termos da seqüência ( 3, 6, 12,...) vale R e a soma dos infinitos termos da seqüência

(1; 0,3; 0,1; ...) vale S, S ≠ 0, então o valor de R/S é: a) 1023 b) 1024 c) 2046

03)

d) 3000 e) 3069

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(

222. (UEFS-04.1) A quantidade de cafeína presente no organismo de uma pessoa decresce a cada hora, segundo uma progressão geométrica de razão 1/8. Sendo assim, o tempo t para que a cafeína presente no organismo caia de 128mg para 1 mg é tal que:

a1 ⋅ qn − 1 a ⋅ q − a1 a ⋅ 1 − qn ou Sn = n ou Sn = 1 q−1 q−1 1− q Note que se q = 1, a P.G. tem todos os seus termos iguais entre se, ela é constante), logo: Sn = n ⋅ a1 Sn =

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MATEMÁTICA

A soma dos termos da PG finita é dada pela fórmula

MATEMÁTICA



(

232. (UNEB-2006) A assinatura de uma linha telefônica custava R$ 30,00, e cada unidade de conversação custava R$ 1,50. Sabe-se que houve um reajuste de 4% nas tarifas e que um cliente pagou, após o reajuste, uma fatura no valor de R$ 54,60. Considerando-se n o número de unidades de conversação dessa fatura, pode-se afirmar que n é igual a:

04) 1600 ⋅ ( 1,05 ) 9 − 1

(

05) 40 ⋅ ( 1,05 ) 9 − 1

10

01) 12 02) 15 03) 18

)

)

233. (UESC-2004) Do total das despesas n de uma família, o gasto com alimentação e com mensalidades escolares corresponde a 40% e 25% respectiva-mente. Se o gasto com alimentação sofrer um aumento de 5% e as mensalidades escolares aumentarem 10%, então o total das despesas mensais, dessa família, sofrerá um aumento de:

03) 80 ⋅ ( 1,05 ) 9

228. (UESC-2007) Considere-se um quadrado de lado l. Com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um segundo quadrado. Com vértices nos pontos médios dos lados do segundo quadrado, constrói-se um terceiro quadrado e assim por diante. Com base nessa informação e no conhecimento de seqüências, é correto afirmar que o limite da soma dos perímetros dos quadrados construídos é igual a:


01) 15% 02) 8% 03) 7,5%

( ) 05) 8l ⋅ (1 + 2 )

( ) 02) 4l ⋅ (2 − 2 ) 03) 8l ⋅ (2 + 2 ) 01) 4l ⋅ 2 + 2

04) 4l ⋅ 1 + 2

01) 3750 02) 3000 03) 2750

217. B

218. 05

219. 04

220. 03

221. C

222. C

223. A

224. C

225. 03

226. 03

227. 02

228. 01

01) R$ 31,20 e R$ 16,80 02) R$ 30,00 e R$ 16,00 03) R$ 29,40 e R$ 16,60

Matemática Financeira x Porcentagem: x% = ( taxa) 100

04) R$ 28,80 e R$ 19,20 05) R$ 28,60 e R$ 16,40

236. (UNEB-2006) Os salários dos funcionários de uma empresa têm a seguinte composição:

C : Capital aplicado  Juros Simples: J = C ⋅ i ⋅ t i : taxa (% por período) t : tempo de aplicação 

40% correspondem ao salário-base. 60% correspondem à gratificação. Sabendo-se que o salário-base foi reajustado em 20% e a gratificação, em 10%, pode-se afirmar que o ajuste dos salários dos funcionários foi igual, em percentual, a:

t

Juros Compostos M = C ⋅ (1 + i)

01)10 02) 14 03) 15

Montante M = C + J = C ⋅ (1 + i ⋅ t ) 229. (UNEB-2008) O proprietário de um imóvel contratou uma imobiliária para vendê-lo, pagando-lhe 5% do valor obtido na transação. Se a imobiliária recebeu R$ 5600,00, o valor que coube ao proprietário foi, em reais,

04) 20 05) 32

237. (UNEB-2006) Os preços anunciados dos produtos A e B são, respectivamente, R$ 2000,00 e R$ 3500,00. Um cliente conseguiu um desconto de 10% sobre o preço do produto A, x% sobre o preço do produto B e pagou R$ 4600,00 na compra dos dois produtos. Nessas condições, pode-se afirmar que x é igual a:

04) 106400 05) 112000

01) 12 02) 15 03) 18

230. (UNEB-2007) Um cantor lançou no mercado, simultaneamente, um CD e um DVD de um show, gravados ao vivo. Sendo o preço do DVD 30% maior do que o preço do CD, pode-se afirmar que o preço do CD é menor do que o preço do DVD, aproximadamente,

04) 20 05) 25

238. (UEFS-04.2) Se uma loja vende um artigo à vista por R$ 540,00 ou a prazo, mediante uma entrada de R$ 140,00 e mais 3 parcelas mensais de R$ 140,00, então a loja está cobrando, sobre o saldo que tem a receber, juros simples de a) 4,3% b) 5,0% c) 6,2%

04) 28% 05) 30%

d) 8,0% e) 9,5%

239. (UESB-2005) Sabe-se que o preço de custo de um produto é P. Se esse produto for vendido por R$ 126,00, haverá, em relação a P, um prejuízo de 10%, mas, se for vendido por R$ 161,00, haverá, em relação a P, um lucro de

231. (UESB-2004) Uma prova é composta por quarenta questões objetivas. Sabendo-se que cada questão correta vale 0,25 e que cada três questões erradas anulam uma certa, pode-se afirmar que a nota de um aluno que errar 15% das questões será igual a: 01) 6,5 02) 7,0 03) 7,5

04) 2500 05) 2050

235. (UESB-2006) Uma loja oferece a seus clientes um desconto de 24%, no pagamento à vista, sobre o valor que exceder a R$ 500,00 em compras. Duas amigas fizeram compras individuais num total de R$ 420,00 e R$ 280,00, mas reuniram esses valores uma única nota fiscal, pois assim economizaram, respectivamente e em valores proporcionais a cada compra,

Matemática Financeira

01) 20% 02) 23% 03) 25%

04) 5,5% 05) 4,5%

234. (UESB-2007) Um cliente pagou 40% de uma dívida de x reais. Sabendo-se que R$ 300,00 correspondem a 20% do restante a ser pago, é correto afirmar que o valor de x é igual a:

GABARITO PROGRESSÃO GEOMETRICA (PG)

01) 89400 02) 95000 03) 100800

04) 20 05) 25

01) 30% 02) 26% 03) 22%

04) 8,0 05) 8,5

24

04) 18% 05) 15%


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10

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( ( 1,05 ) − 1 ) 02) 1600 ⋅ ( ( 1,05 ) − 1 ) 01) 4 ⋅

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227. (UNEB-2006) Um carro foi testado durante 10 dias para verificar o bom desempenho e poder ser lançado no mercado com bastante sucesso. No primeiro dia do teste, ele percorreu 80km e, nos dias subseqüentes, houve um aumento de 5% da quilometragem rodada em relação à quilometragem do dia anterior. Nessas condições, pode-se afirmar que a quilometragem total rodada pelo carro no período de teste é dada pela expressão:

248. (UESC-2005) Em determinado dia, o boletim econômico traz a seguinte notícia: o valor do dólar, em relação ao real, sofreu uma redução de 2% e o do euro, em relação ao dólar, um aumento de 4%. Com base nessa informação, pode-se concluir que o valor do euro, em relação ao real, sofreu

04) R$ 1200,00 05) R$ 1144,00

01) um aumento de 2,13%. 02) um aumento de 2%. 03) um aumento de 1,92%.

241. (UESB-2009) Um prêmio, ganho em um jogo de loteria, foi dividido em duas partes proporcionais a 2 e 3, de acordo com o valor investido por cada um dos dois jogadores. Sabendo-se que cada valor recebido foi aplicado a uma taxa de juros simples de 10% ao ano, pode-se concluir que o tempo necessário para que a aplicação menor tenha um rendimento igual ao obtido pela aplicação maior em 6 meses é:


01) 8 meses 02) 9 meses 03) 10 meses

249. (UEFS-02.2) Uma travessa retangular feita de argila tem 30cm de comprimento e 20cm de largura. No processo de cozimento, há uma redução de 30% nas dimensões lineares da travessa. Com base nessas informações, conclui-se que o produto entre as dimensões lineares da travessa, após cozimento, é igual:

04) 11 meses 05) 12 meses

a) 420 b) 360 c) 300

242. (UEFS-03.1) Dois revendedores A e B, que já vinham dando um desconto de R$ 1500,00 no preço x de determinado tipo de carro, resolveram dar mais um desconto, de 18%, e calcularam os novos preços da seguinte forma: A passou a dar, sobre x, o desconto de R$ 1500,00, seguido do desconto de 18%, resultando em xA. B passou a dar, sobre x, o desconto de 18%, seguido do desconto de R$ 1500,00, resultando em xB. Com base nessas informações, pode-se concluir: a) xA - xB = R$ 270,00 b) xA - xB = R$ 320,00 c) xB – xA = R$ 270,00

01) aumentado em 10% 02) aumentado em 20% 03) aumentado em 25%

d) xB – xA = R$ 320,00 e) xA = xB

04) 3405,50 05) 3535,00

252. (UNEB-2009) Uma empresa produz e comercializa um determinado equipamento K. Desejando-se aumentar em 40% seu faturamento com as vendas de K, a produção desse equipamento deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer um reajuste. Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste mínimo aproximado de:

04) 2500,00 05) 2800,00

245. (UNEB-2005) A taxa de juros de débito de um cartão de crédito é de, aproximadamente, 10% ao mês, calculado cumulativamente. Se uma dívida for paga três meses após a data de vencimento, então terá um acréscimo de, aproximadamente, 01) 30,3% 02) 31,2% 03) 32,3%

01) 5,6% 02) 6,3% 03) 7,7%

04) 33,1% 05) 34,3%

04) 8,6% 05) 9,8%

GABARITO MATEMÁTICA FINANCEIRA

246. (UEFS-08.2) Segundo a cotação oficial do Banco Central, no dia 15 de agosto de 2007, US$1.00 valia o equivalente a R$2,004. Com a variação no câmbio, alguns meses depois, o valor do dólar, em relação ao real, sofreu uma queda de 20%. Nessa ocasião, R$1,00 passou a valer, em dólar, aproximadamente, a) 0,561 b) 0,580 c) 0,602

04) reduzido em 10% 05) mantido o mesmo.

251. (UEFS-04.1) Para estimular as vendas, uma loja oferece a seus clientes um desconto de 20% sobre o que exceder a R$ 400,00 em compras. Nessas condições, a expressão algébrica que representa o valor a ser pago, para uma compra de x reais, x > 400, é: 3 7 a) x + 100 d) x + 50 4 8 4 5 b) e) x + 80 x − 100 5 4 6 x + 80 c) 5

244. (UNEB-2004) O lucro de um comerciante na venda de um produto é diretamente proporcional ao quadrado da metade das unidades vendidas. Sabendo-se que, quando são vendidas 2 unidades, o lucro é de R$ 100,00, pode-se concluir que, na venda de 10 unidades, esse lucro é, em reais, igual a: 01) 500,00 02) 1000,00 03) 1600,00

d) 294 e) 180

250. (UNEB-2002) O fabricante de determinada marca de papel higiênico fez uma "maquiagem" no seu produto, substituindo as embalagens com quatro rolos, cada um com 40 metros, que custava R$ 1,80, por embalagem com quatro rolos, cada um com 30 metros, com custo de R$ 1,62. Nessas condições, pode-se concluir que o preço do papel higiênico foi:

243. (UNEB-2003) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 5000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$ 2512,50 e, no mês seguinte, liquidou sua dívida. Portanto, o valor do último pagamento foi igual, em reais, 01) 3150,00 02) 3235,00 03) 3350,25

04) uma redução de 2,13%. 05) uma redução de 1,92%.

d) 0,623 e) 0,701

229. 04

230. 02

231. 04

232. 02

233. 05

234. 04

235. 04

236. 02

237. 04

238. B

239. 05

240. 01

241. 02

242. A

243. 01

244. 04

245. 04

246. D

247. 04

248. 01

249. D

250. 02

251. B

252. 03

247. (UESC-2009) Segundo economistas, o aumento do dólar em relação ao real acarreta inflação interna no Brasil, de modo que a cada aumento de 10% do dólar corresponde a uma inflação de 1% a 1,5% no Brasil. Supondo válida essa regra, se o dólar valia R$1,60 e passou a valer R$ 2,00, então a inflação correspondente no Brasil foi de: 01) 2% a 3,25% 02) 2,5% a 3,25% 03) 2% a 3%

04) 2,5% a 3,75% 05) 1,7% a 3,25%

Matrizes 25


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01) R$ 1000,00 02) R$ 1100,00 03) R$ 1120,00

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240. (UNEB-2002) Um investidor fez uma aplicação a juros simples de 10% mensal. Depois de dois meses, retirou capital e juros e os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais dois meses e, no final do prazo, recebeu R$ 1728,00. Pode-se afirmar que o capital inicial aplicado foi de:

MATEMÁTICA



• Matriz Simétrica - Dada uma matriz quadrada A = (aij)n dizemos que A é matriz simétrica se, e somente se, aij = aji, para todo 1≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.

Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por n . m números reais em m linhas e n colunas.

 a11 a12   a21 a22 A =  a31 a32  ... ...   am1 am2

a13 a23 a33 ... am3

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... a1n   ... a2n  ... a3n  ... ...   ... am5 

 a11 a12  A =  a 21 a 22 a  31 a32

A = AT a13   a 21 = a12   a 23  ⇔  a31 = a13  a = a a33  23  32

• Matriz Anti-simétrica - Dada uma matriz quadrada A = (aij)n dizemos que A é matriz anti-simétrica se, e somente se, aij = −a ji ,

O elemento genérico da matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra. De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma: A = (aij) m×n

para todo 1≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.  a11 a12  A =  a 21 a 22 a  31 a32

Tipos de matrizes

a11

• Matriz quadrada – Quando a matriz tem o número de linhas igual ao número de colunas. Uma matriz quadrada do tipo n× n é chamada matriz quadrada de ordem n.

a13   a 23  ⇔ a 33  = a22 = a33

 a 21 = −a12   a31 = −a13 a = −a 23  32 =0

Igualdade de Matrizes

 a11 a12    A =  a 21 a 22  a   31 a32 

 b11 b12    B =  b 21 b 22  b   31 b 32 

a11 = b11 a12 = b12  Se A = B a 21 = b 21 a 22 = b 22 a = b 31 a 32 = b 32  31

Operações com matrizes • Matriz triangular – É toda matriz quadrada de ordem n que os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. 5 7

−9   3 8 − 2 0 2 − 1  0 0 4 

3 0   2 5

 a11 a12    A =  a 21 a22  a   31 a32 

Em uma matriz triangular, aij = 0 para i > j ou aij = 0 para i < j.

1 0  0 − 1 0 0  0 0 

0 0  0 0 3 0  0 4 

 a11 a12    A =  a21 a22  a   31 a32 

2 0   0 − 3   

Em uma matriz diagonal, aij = 0 para i ≠ j.

1  0 I4 =  0 0 

0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1 

 1 0  I2 =   0 1

Dadas duas matrizes Am x n e Bn x p, o elemento Cjj da matriz Cm x p, tal que C = AB, é a soma dos produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. Por exemplo:  a11 a12   a b + a12b 21 a11b12 + a12b 22     b11 b12   11 11   =  a 21b11 + a 22b 21 a 21b12 + a 22b 22   a 21 a 22  ⋅   b b  a   21 22   a b + a b 32 21 a31b12 + a32b 22   31 a32   31 11

aij = 1, para i = j Em uma matriz identidade, temos  aij = 0, para i ≠ j • Matriz Nula – É toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero. Podemos simbolizar a matriz nula de ordem m x n por 0mxn e a matriz nula de ordem n por 0n.  0 0   O3 × 2 =  0 0   0 0  

0 0 0   O3 =  0 0 0  0 0 0  

0 0  O 2 =  0 0

Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz n x n é um número obtido dos elementos de uma matriz mediante operações especificadas. Os determinantes são definidos somente para matrizes quadradas. O determinante de uma matriz ordem 2

• Matriz Transposta - Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica por At) a matriz n x m cujas linhas, são, ordenadamente, as colunas de A. a12 a A =  11  a21 a22

 a11 a21    a13   ⇔ A T =  a12 a22  a23  a   13 a23 

( )

 T A

T

 β ⋅ a11 β ⋅a12    β ⋅ A =  β ⋅ a21 β ⋅ a22  β ⋅ a  31 β ⋅ a32  

O produto AB de duas matrizes é definido somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Assim, uma matriz m x n pode ser multiplicada por uma matriz n x p para se obter uma matriz m x p. Por exemplo:

• Matriz identidade – É toda matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero. Seu símbolo é In.  1 0 0   I3 =  0 1 0   0 0 1  

 a11 ± b11 a12 ± b12    Se A ± B =  a21 ± b 21 a 22 ± b 22  a ± b  31 a 32 ± b 32   31

Quando uma matriz é multiplicada por um número real, todos os elementos dela são multiplicados por esse número. Por exemplo:

• Matriz diagonal – É toda matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos. 2 0 0    0 3 0  0 0 − 5  

 b11 b12    B =  b 21 b 22  b   31 b32 

a11 a12 a 21 a 22

=A

= PEDP − PEDS = (a11 ⋅ a 22 ) − (a12 ⋅ a 21 )

“Produto dos elementos da diagonal principal menos produtos dos elementos da diagonal secundária”

Propriedades da matriz transposta (αA )T = αA T 

 T T T (A + B ) = A + B 

26


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1  0 0  0 

2 0 0    8 3 0  7 9 − 5  

A soma ou a diferença de duas matrizes m x n é uma outra matriz m x n, cujos elementos são a soma ou a diferença dos elementos correspondentes das matrizes.

MATEMÁTICA


Duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n.


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MATEMÁTICA Matriz dos Cofatores

O determinante de uma matriz ordem 3

Seja a matriz quadrada A = (aij) de ordem n. Denomina-se matriz dos cofatores de A (indica-se A’) a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo cofator.

Matriz Adjunta. O produto de (-1)i + j pelo determinante da matriz que se obtém suprimindo-se a linha i e a coluna j da matriz An x n chama-se cofator do elemento aij da matriz An x n. Por exemplo:

Considerando a matriz quadrada A de ordem n, denomina-se matriz adjunta de A (indica-se A ) a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é:

A = (A ' )

T

Matriz Inversa A inversa de uma matriz An x n é uma matriz Bn x n tal que: O determinante de uma matriz 3 x 3 é dado por:

A −1 =

A det A

Resolver um sistema de equações lineares significa determinar as soluções comuns a todas as equações, que são as soluções do sistema. a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = c1  a 21x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = c 2  .......................................... am1x1 + am2 x 2 + ... + amn x n = c 3  Este procedimento para o cálculo de determinantes, conhecido como expansão por cofatores, pode ser estendido para matrizes maiores que 3 x 3.

Os números aij chamam-se coeficientes, e os números C1, C2, ..., Cn chamam-se termos independentes. Um sistema de equações lineares chama-se:

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Propriedades dos determinantes:

MATEMÁTICA


Sistemas Lineares

Casos em que o determinante é nulo • Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero. • Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M forem iguais. • Se uma matriz quadrada M possuis duas linhas (ou duas colunas) proporcionais.

Um sistema de n equações lineares com n variáveis, em que o determinante da matriz dos coeficientes D é diferente de 0, pode ser resolvido mediante um procedimento chamado regra de Cramer. Por exemplo: a1x + b1y + c1z = d1  a2 x + b 2 y + c 2 z = d2 a x + b y + c z = d 3 3 3  3

• Se duas linhas (ou duas colunas) de um determinante forem trocadas de lugar, o novo determinante será o oposto do determinante original. • Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número k, então seu determinante fica multiplicado por k.

Inicialmente, calcula-se D, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. a1 b1 c1

• Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: Det(kMn)=Kn . detMn • O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, detM=det(Mt).

D = a2 b 2

c2

a3 b3

c3

Se D ≠ 0, podemos prosseguir, pois o sistema é possível e determinado. Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.

• Se trocarmos de posição duas linha (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.

Em seguida, para cada incógnita que se que determinar, calcula-se um novo determinante, que é o determinante da matriz obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada pela coluna dos termos independentes.

• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. • Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det(AB)=(detA).(detB). • Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, det(A)=det(B).

x=

27

Dx D

y=

Dy D

z=

Dz D


 m n − 2  é tal que A 2 = A , 259. (UESC-2003) Se a matriz A =  0  n − 2 e A é uma matriz não nula, então m − n é igual a:

• Quando D≠0, o sistema é possível e determinado (SPD), não importando o valor de cada um dos demais determinantes assuma. • Quando D = 0 e Dx = Dy = Dz = 0, o sistema é possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI).

01) 2 02) 1 03) 0

• Quando D = 0 e pelo menos um dos demais determinantes é diferente de zero, o sistema é impossível.

 a1  260. (UESC-2006) Se A =  a 4 a  7

 a2 − 4 a − 2   é uma matriz inversível 253. (UESC-2005) Se A =  d   c

  a1 a3  det(A ) = 3 , então x = det  a 4 a6   a7 a9 

t

tal que A = −A t , sendo A matriz transposta de A, então c + d é igual a: 04) – 2 05) – 4


254. (UESB-2004) O elemento

a 23

01) 8 02) 9 03) 17

da matriz A, tal que

01) 52 02) 54 03) 56

04) 2 05) 3 Sendo

as

matrizes

01) - 2 02) - 1 03) 0

1  x +1 0   256. (UNEB-2006) Considerando-se a matriz A =  0 1 x   0 0 x + 1 

257. (UNEB-2003)

04)

01) – 1 02) 0 03) 1

3 2

05) 2

Se

 x x + 1 , A =  x   2x

det (A ) = 1

 −1 0 −1   01)   − 4 − 1 − 5

 1 −4    04)  2 − 1  − 1 − 5  

2  1 0  02)   4 − 3 − 5

1 4    05)  0 − 3  2 − 5  

)

04) 58 05) 59

04) 4 05) 6

04) 2 05) 3

264. (UNEB-2007) Sabendo-se que as funções horárias de dois corpos que se deslocam em movimentos retilíneos uniformes, segundo uma mesma trajetória, são definidas matricialmente por  2 5   x  16    ⋅   =   , pode-se afirmar que esses corpos se  − 3 5  t   6  encontrarão no instante t igual a:

e

 1 0 1  , então a matriz AB é igual a: B =   2 1 3

01) 4,6seg 02) 3,8seg 03) 3,5seg

04) 2,4seg 05) 2,0seg

265. (UNEB-2004) O número de elementos inteiros do conjunto2 − x 2 − x ≥0 solução da inequação det  x   −1 01) 0 04) 3 02) 1 05) 4 03) 2 2   log x  uma matriz não 266. (UNEB-2007) Sendo M =  4 log2 x 2   2

1 0 1   03)   4 1 − 5

( )

inversível, pode-se afirmar que a soma dos termos de sua diagonal principal é igual,em módulo,a:

k − 1 0   é tal que A 2 = 2 ⋅ A e 258. (UESC-2002) Se a matriz A =  2   0 o determinante de A é diferente de zero, então k é igual a: 01) 2 02) 3 03) 4

04) 23 05) 25

 1 −1  3 0  , B =   e 263. (UESB-2007) Considerando-se A =  3 2   − 1 5 AX = B , pode-se afirmar que a soma dos elementos de X é igual a:

e sabendo-se que det A = 4x , pode-se afirmar que o valor de x 2 é: 1 4 1 02) 2 03) 1

 a2    a5  × A −1  + det(2A ) é igual a:  a8  

1 x  y 0  e B =   matrizes A =  2 3  − 2 1 reais, tais que det (A + B) = 0 e det (AB) = 1 , pode-se afirmar que xy é igual a:

04) 6 05) 12

01)

a8

a3   a6  é uma matriz tal que a9 

262. (UESB-2006) Sendo

( )

01) -2 02) -1 03) 3

a5

(

 1 1 1  e A =  2 1 3 B = bij 3×2, bij = i − j , o determinante da matriz 2AB é igual a:

255. (UNEB-2002)

a2

261. (UESB-2008) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3. Sendo det A = −2 , det B = −8 e 3 A t ⋅ B = 2C , então det C é igual a:

 1 −1 3   −2 0 1   =   , é: 3A +   0 2 1  − 1 2 − 2  01) – 3 02) – 1 03) 0

04) – 1 05) – 2

01) 7 02) 6 03) 5

04) 5 05) 6

28

04) 4 05) 3


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01) 4 02) 2 03) 1

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MATEMÁTICA

Discussão de um sistema n x n

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273. (UESC-2009) Quando lhe perguntei o preço de um chiclete, o vendedor me respondeu: • 1 bala, 2 chicletes e 4 sacos de pipoca, juntos, custam R$4,00. • 2 balas, 4 chicletes e 8 sacos de pipoca custam R$8,00. • 3 balas, 6 chicletes e 12 sacos de pipoca custam R$11,00. Com essas informações,

01) 2cos2x 02) 4cos2x 03) 2sec2x 04) 4sec2x 05) 2-4cos2x

01) não posso determinar o preço do chiclete pois são informações incompatíveis entre si. 02) não posso determinar o preço exato do chiclete, pois há infinitas possibilidades. 03) posso concluir que o chiclete custa R$0,50. 04) posso concluir que o chiclete custa R$0,30. 05) posso concluir que o chiclete custa R$0,25.

268. (UESB-2005) Existe um inteiro positivo n para o qual a matriz  n! 3n    é não inversível. 2 1  Com base nessa informação, pode-se afirmar que n é:

 3x − y + z = 0  274. (UESB-2008) Sobre a solução do sistema  5z + 2y − 2z = 0 ,  3x + 2y − 12z = 0  pode-se afirmar que é:

1 1 2 03) −1 < x < 1 01) −

de

x

para

os

01) compatível 02) compatível e determinado 03) compatível e indeterminado

quais

275. (UESC-2007)

1 1 ou x > 2 2

• primeiro comprou 2 CDs do tipo A, 3 do tipo B e 1 do tipo C, gastando R$ 121,00. • segundo comprou 4 CDs do tipo A, 2 do tipo B e gastou R$ 112,00. • O terceiro comprou 3 CDs do tipo A, 1 do tipo C e gastou R$ 79,00. • O quarto comprou um CD de cada tipo.

b 2

04) 8 05) 10

GABARITO MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

04) 63,00 05) 72,00

271. (UNEB-2008) Numa feira de trocas de livros usados, os livros foram divididos em três categorias: livros didáticos (D), livros de ficção (F) e livros de não-ficção (N). Além disso, estabeleceu-se uma regra, segundo a qual um pacote composto por 2F e 2N valia 1D e, também com 1D e 1N valia 3F. Seguindo-se essa regra de troca, pode-se concluir que um pacote composto por 1D e 1F valia

253. 01

254. 02

255. 05

256. 03

257. 01

258. 02

259. 04

260. 04

261. 02

262. 01

263. 03

264. 04

265. 05

266. 03

267. 04

268. 02

269. 03

270. 04

271. 01

272. 03

273. 01

274. 02

275. 02

276. 03

Trigonometria Relações Métricas no Triângulo Retângulo

04) 5N 05) 4N

272. (UESC-2008) Em uma lanchonete, 1 empada, 2 refrigerantes e 3 bombons custam, juntos, R$ 10,00. Sabendo-se que 2 empadas, 5 refrigerantes e 8 bombons custam, juntos, R$ 24,50, então 1 refrigerante e 2 bombons custam, juntos, em reais, 01) 3,00 02) 3,50 03) 4,50

solução

05) a = 2b

01) 2 02) 4 03) 6

Com base nessa informação, o valor gasto, em reais, pelo quarto consumidor, na compra dos CDs, foi igual a:

01) 11N 02) 8N 03) 7N

04) a = −

tem

276. (UESB-2009) O número de subconjuntos do conjunto   11  11  =   que contém apenas dois elementos é: C =  x ∈ R /  2   x − 1  3 

270. (UNEB-2002) Uma loja de discos classificou seus CDs em três tipos, A, B e C, unificando o preço para cada tipo. Quatro consumidores fizeram compras nessa loja nas seguintes condições:

01) 48,00 02) 54,00 03) 57,00

 ax − 2y = 1  bx + 4y = 5

sistema

determinada se, e somente se, b 01) a = 2 b 02) a ≠ − 2 b 03) a ≠ 2

04) x < −2 ou x > 2 05) x < −

O

04) indeterminado 05) incompatível

a2 = b2 + c 2 a = m+n

c2 = m ⋅ a b2 = n ⋅ a

h2 = m ⋅ n

a⋅h = b⋅c

Aplicação do Teorema de Pitágoras

04) 5,50 05) 6,00

29


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01) um número primo maior que 3. 02) um número quadrado perfeito. 03) múltiplo de 3. 04) divisor de 6. 05) igual a 1.

269. (UESC-2007) Os valores 0 x x 1 x 0 1 x > − 3 tais que: x 1 0 x 1 x x 0

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267. (UNEB-2005) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 2, senx   1  e det(AB)=1, então det(2B) é em que A =  1   senx

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π 180 o Para transformar de radiano para graus – substitui π por 180º Para transformar de grau para radiano multiplica-se por

AC b medida do cateto oposto a α sen α = = = BC a medida da hipotenuza cos α =

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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

AB c medida do cateto adjacente a α = = BC a medida da hipotenuza

Função Seno

AC b medida do cateto oposto a α tg α = = = BC c medida do cateto adjacente a α

Gráfico da função seno

• Lei dos Senos Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a este lado é constante e o valor desta constante é a medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Quadro resumo da função seno 1º) Função seno é a função de R em R definida por f(x) = sen x 2º) A função seno tem D = R e Im = [–1, 1]. 3º) A função seno não é injetiva nem sobrejetiva. 4º) A função seno é função impar, isto é, sen x = – sen (–x), ∀ x ∈ R 5º) A função seno é periódica de período p = 2π.

a b c = = = 2R sen A sen B senC

Função Cosseno

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• Lei dos Cossenos

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Para resolver um triângulo qualquer, podemos usar o teorema dos senos ou o teorema do cosseno.

O quadrado da medida de um lado de um triângulo e igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por:

Gráfico da função cosseno

a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A

Teorema da Área A área de um triângulo é igual a um meio do produto dos comprimentos de dois de seus lados pelo seno da medida do ângulo que formam.

Quadro resumo da função cosseno

Circunferência Trigonométrica

Função Tangente

1º) Função seno é a função de R em R definida por f(x) = cos x 2º) A função cosseno tem D = R e Im = [–1, 1]. 3º) A função cosseno não é injetiva nem sobrejetiva. 4º) A função cosseno é função par, isto é, cos x = cos (–x), ∀ x ∈ R 5º) A função seno é periódica de período p = 2π.

x

tg x

0

0

π 2 π 3π 2

0

2π

∃

∃ 0

Uma circunferência mede 360º ou 2π radianos. Assim, por meio de uma regra de três simples, podemos converter medidas de graus em radianos e de radianos em graus.

30



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Gráfico da função tangente

Arco metade :

ArcoDuplo

sen

α 1 − cos α =± 2 2

sen 2α = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α

cos

α 1 + cos α =± 2 2

cos 2α = cos 2 α − sen 2 α

tg

α 1 − cos α =± 2 1 + cos α

tg2α =

2 ⋅ tg α 1 − tg 2 α

α+β α−β ⋅ cos 2 2 α−β α+β II. sen α − sen β = 2 ⋅ sen ⋅ cos 2 2 α+β α −β III. cos α + cos β = 2 ⋅ cos ⋅ cos 2 2 α+β α −β IV . cos α + cos β = − 2 ⋅ sen ⋅ sen 2 2

I. sen α + sen β = 2 ⋅ sen Redução ao 1º quadrante

2º quadrante: sen(π − x ) = senx cos(π − x ) = − cos x tg(π − x ) = − tgx

cos(x − π) = − cos x

277. (UEFS-03.2) Os ponteiros de um relógio medem, respectivamente, 3cm e 5cm. A distância entre suas extremidades, quando o relógio estiver marcando 4 horas, mede, em cm,

tg(x − π) = tgx 4º quadrante: sen(2π − x ) = −senx

a) 5,3 b) 5,8 c) 6,3

cos(2π − x ) = cos x tg(2π − x ) = tgx

278. (UNEB-2008) Sendo A = tg 30º , B = sec 45º e C = sen 60º , é verdade que:

279. (UEFS-06.2)

a) M < N < P b) N < M < P c) N < P < M

Outras funções Trigonométricas:

 5π  M = sen   ,  6 

 5π  N = cos    6 

e

d) P < M < N e) P < N < M

280. (UEFS-07.1) Se 3 cos (x ) + sen(x ) = −1 com

(sen α + cos α = 1) (1 + tg α = sec α )

π < x < π então o 2

valor real do sen(x) é:

2

2

3 5 4 e) 5

a) – 1

(1 + cot g α = cos sec α ) 2

Sendo

 5π  P = tg   é verdade que:  6 

π  sec ± α  = ± cos sec α 2 

2

04) B < C < A 05) C < B < A

2

d)

4 5 3 c) − 5 b) −

definições : 1 cos α = , para sen α ≠ 0 tg α sen 1 sec α = , para cos α ≠ 0 cos α 1 cos sec α = , para sen α ≠ 0 sen α cot g α =

281. (UESB-2009) Se sen x + cos x = 1 2 valor de

Operações com arcos:

I. sen (α + β ) = sen α ⋅ cos β + sen β ⋅ cos α II. sen (α − β ) = sen α ⋅ cos β − sen β ⋅ cos α III. cos (α + β ) = cos α ⋅ cos β − sen α ⋅ cos β IV . cos (α + β ) = cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ cos β tg α + tg β tg α − tg β V . tg (α + β ) = VI . tg (α − β ) = 1 − tg α ⋅ tg β 1 + tg α ⋅ tg β

31

4 cos 2x 7

e

x ∈  π , π  ,então o 2 4

é igual a:

01) 1

04) − 1 2

02) 1 2 03) 0

05) −1


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01) A < B < C 02) A < C < B 03) B < A < C

π  sen ± α  = ± cos α 2   π  cos ± α  = ± senα 2  π  tg ± α  = ± cot gα 2 

2

d) 6,5 e) 7,0

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3º quadrante: sen(x − π) = −senx

MÓDULO DE EXATAS 2009 282. (UEFS-08.1) Sendo cos x − sen x =

2 3 , 3

289. (UEFS-09.1) O f (x) = − 3 + cos (2x ) + 1 é:

x ∈ [0, 2π] , então

sen(2x ) é igual a: a) −

1 3

b) − c)

d)

3 3

e)

2 3

conjunto-imagem

da

a) [1, 2 ]

d) [ 3 , 4 ]

b) [ 2 , 3 ]

e) [ 3 , 5 ]

função

real

c) [ 2 , 4 ]

3 2

290. (UESC-2005)

3 3

283. (UNEB-2009)

Considerando-se

sen α + cos α = m e

sen α ⋅ cos α = n , pode-se afirmar que o valor de 2m − n é igual a: 4 01) 2 02) 1 03) 0

284. (UNEB-2009) Se

Deseja-se construir uma escada, conforme indicado na figura, tendo comprimento igual a 10m, com degraus de mesmo tamanho, tal que a largura do degrau não seja menor que 30cm e também não exceda a 40cm. Nessas condições, o número, x, de degraus que a escada deve ter é tal que

04) – 2 05) – 3

arc sen x = π , então 3

01) 15 < x ≤ 20 02) 20 < x ≤ 30 03) 30 < x ≤ 35

cos (2 arc sen x ) é

igual a: 01) 1

04) − 1 2

02) 0

05)

04) 35 < x ≤ 45 05) 45 < x ≤ 50

291. (UNEB-2006)

1− 3 4

03) 1− 3

(

  2  x  M =  x ; x ∈[ 0 , 2π]e 2sen  > 1  e M =  x ; x ∈[ 0 , 2π]e cos(x ) ≥ , 2  2    o conjunto M ∩ N é:

)

( ) 03) 4 ⋅ (1 + 3 ) 02) 4 ⋅ 1 + 2 3

a) vazio. b) finito, contendo um único elemento. c) finito, contendo um dois elementos. d) finito, contendo quatro elementos. e) infinito.

05) 4 ⋅

3 3

292. (UESB-2007) A figura mostra uma rampa de 50 metros de comprimento que forma com o plano vertical um ângulo de 60°.

286. (UESB-2008) Considere a equação cos x − 1 = 3 senx , para x ∈ [ 0, 2π ] . A soma das raízes dessa equação é igual a: 01) 8π 02) 7π 03) 6π

50m

60º x

04) 5π 05) 4π

287. (UEFS-07.2) Os valores máximo e mínimo de Q =

. Uma pessoa sobe a rampa inteira e eleva-se x metros. Com base nessas informações, pode-se concluir que o valor de x é igual a:

5 3 − 2 cos θ

são soluções da equação:

01) 15

04) 25 3

a) x2 − 6x + 5 = 0

d) x2 + 6x + 5 = 0

05) 30 3

b) x2 + 5x − 6 = 0

e) x2 + 5x + 6 = 0

02) 20 03) 25

293. (UEFS-07.2) Um operário apóia uma extremidade de uma escada de 4m de comprimento em uma parede vertical e a outra extremidade em um ponto P de um piso plano e horizontal, formando um ângulo α = 30º entre a escada e a parede. Ao subir na escada, esta escorregou ao longo da parede vertical, tendo a sua extremidade inferior se afastado 0,5m, passando a formar, com a parede, um ângulo cujo co-seno é igual a:

2

c) x − 5x + 6 = 0

288. (UEFS-09.1) Sendo x um arco do 2º quadrante, tal que sen x = 1 , pode-se afirmar que o valor de A = 2 tg x é igual ao 3 valor de: 2π 3 2π b) cos 3 5π c) sen 6 a) sen

a)

5π 6 4π e) sen 3

d) cos

b) c)

32

5 8 39 8 5

d)

3 2 8

e)

5 2 8

39


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Se, no triângulo ABC, representado na figura, a altura relativa à base AB mede 4u.c., então o lado AB mede, em u.c.,  3  01) 4 ⋅ 1 + 3 3 04) 4 ⋅ 1 +   3  

285. (UEFS-08.2) Sendo

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294. (UESB-2008) A verticalização da orla de Salvador prevista pelo Plano Diretor de Desenvolvimento Urbano – PDDU – tem preocupado especialistas que alertam para possíveis impactos, como barreiras aos ventos, sombreamento das praias, formação de ilhas de calor, entre outros. A ilustração mostra os ângulos que vão determinar a altura dos prédios e chama a atenção para a necessidade de mantê-los devidamente afastados. Essas medidas, na opinião de especialistas, podem contribuir para minimizar os impactos da verticalização.

296. (UESB-2007) O triângulo da figura tem a forma de um terreno que vai ser dividido em dois, por uma cerca que parte do ponto A e desce perpendicularmente ao lado BC.

A 30 m

40 m

B

C

Com base nessas informações, pode-se afirmar que a área do terreno menor, em m2, é igual a: 01) 576 02) 432 03) 324

04) 216 05) 162

Se o triângulo ABC é tal que tg(A ) =

12 3 , tg(B) = e AB = 21u.c. , 5 4

então sua área mede, em u.a., 01) 189 02) 168 03) 147

04) 126 05) 105

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298. (UEFS-07.2)

Considerando-se cada andar com 2,5m de altura, sen38º=0,6 e cos38º=0,8, no instante mostrado na figura, o comprimento da sombra projetada por um prédio de 15 andares localizado entre o Farol da Barra e Amaralina será, em metros, igual a: 01) 60,0 02) 50,0 03) 45,0

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297. (UESC-2004)

Em uma praça retangular ABCD, no ponto médio de AB, é colocado perpendicularmente a AB, um poste de iluminação, LM, de 4m de

04) 37,5 05) 28,0

altura. Considerando-se 11 = 3,3 , pode-se afirmar que a distância da lâmpada L ao vértice C da praça mede, em metros, aproximadamente:

295. (UEFS-08.2) O origami é uma técnica japonesa de dobradura de papéis através da qual se pode obter objetos de inúmeras formas.

a) 18 b) 17 c) 16

d) 14 e) 13

299. (UESB-2006)

Para se construir um pássaro através dessa técnica, usou-se uma folha de papel, quadrada, com 2dm de lado, representada na figura 1. O primeiro passo foi dobrar o papel, fazendo os lados DA e DC do quadrado coincidirem com o segmento DG sobre a diagonal DB desse quadrado, obtendo-se um quadrilátero DEBF, representado na figura 2. A área do quadrilátero DESF, em dm2 mede: a) 4 2 − 4

d) 1+ 2

b) 8 − 4 2

e) 2 + 4 2

Uma folha de papel quadrado de lado 12cm é dobrada de modo que o seu vértice D fique sobre o lado AB, sendo Q a nova posição do vértice D, conforme a figura. Sabendo-se que o ângulo θ mede 30º, pode-se concluir que o segmento AQ, mede, em cm, 01) 5

04) 4 3

02) 3 2 03) 6

05) 7

c) 2 2

33



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300. (UESB-2005)

304. (UEFS-07.1) O valor de sen(1120 º ) − cos ( 610 º ) é: a) cos 10º b) sen 10º c) sen -10º

d) cos 20º e) sen 20º

305. (UEFS-05.1)

Na figura, está representada uma escada AB, de comprimento c, apoiada em um muro. Considerando-se essa informação, pode-se concluir que o valor de c é igual, em metros, a 01)

3 10 5

04)

5 5 4

02)

4 10 5

05)

3 10 2

03)

4 5 3

Uma pessoa corre em uma planície, com velocidade de 350m/min, em direção a um penhasco. Em determinado ponto, avista o cume do penhasco sob um ângulo de 30º e, após correr durante 4 minutos, o avista sob um ângulo de 45º. Com base nesses dados, pode-se concluir que a altura do penhasco, em metros, é aproximadamente, igual a: a) 1200 b) 1500 c) 2000

306. (UEFS-05.2)

a) 3 3

d)

b)

9 2

e)

c)

5 3 2

Um garoto que mede 1 m da altura mira de um ponto, em uma rua plana, o topo de um poste, situado no mesmo terreno, sob um ângulo a = 45°. Um outro garoto, que tem 1,3m de altura, colocando-se no mesmo lugar do primeiro, mira o topo do poste sob um ângulo cuja tangente é igual a 0,9. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o poste mede, em m,

9 4 3 2

a) 2,3 b) 2,7 c) 3,0

302. (UNEB-2002)

d) 3,7 e) 4,0

307. (UESC-2007)

Na figura, o valor senα é igual a: 01) 02) 03)

1 2

1

04)

1 2

05)

Considerando-se a representação gráfica da função f (x) = b ⋅ cos(mx ) , na figura, com 0 < x < π , pode-se afirmar que os valores de b e de m são, respectivamente,

5 1 2 5

01) 3 e -3 02) 3 e -2 03) 3 e 0,5

1 3

303. (UESB-2006) Sabendo-se que 0 ≤ x ≤ π , pode-se afirmar que o menor valor que a função f (x) = cos(2x) + 2 cos(x) + 1 pode assumir é: 01) – 2 1 02) − 2 03) 0

04)

04) -2 e 3 05) 2 e 3

308. (UEFS-06.1) A expressão trigonométrica para 0 < x <

1 2

05) 1

34

cos(3x) sen(3x) − , cos(x) sen(x)

π , é equivalente a: 2

a) -2

d) cos(x) − sen(x )

b) 0 c) 2

e) cos(2x) − sen(2x )


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Na figura, os três triângulos ABD, ACF e AEH são eqüiláteros. Se o segmento AB mede 6u.c., então o segmento AH mede, em u.c.,

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301. (UEFS-05.1)

d) 2200 e) 2400


a) g(x) = cossecx b) g(x) = cossecx + 2secx c) g(x) = cossec(2x)

Questões 316 e 317  x π Considere-se a função real f (x ) = 2 + 3 ⋅ sen +  . 3 2 316. (UEFS-03.1) O conjunto-imagem de f é:

d) g(x) = sec(2x) e) g(x) = 2cossec(2x)

a) [-1,1] b) [1,3] c) [-1,5]

310. (UEFS-04.2) Considere às funções reais f e g definidas por f (x) = −x 3 + x e g(x) = cos x . Assim sendo, pode-se afirmar que

d) [-2,2] e) [2,3]

317. (UEFS-03.1) Sobre f, pode-se afirmar que é uma função:

fog(x) é: a) sen 2 ⋅ cos x

(

b) cos − x 3 + x

a) par e periódica de período 3π. b) par e periódica de período 6π. c) ímpar e periódica de período 4π. d) ímpar e periódica, de período π/3. e) não par e não ímpar.

d) senx − senx 3

)

(

e) sen − x 3 + x

)

2

c) senx ⋅ cos x

311. (UESB-2005) O número de soluções da 4 ⋅ ( 1 − sen2x) ⋅ (sec 2x − 1) = 1 , no intervalo [0,2π], é igual a:

equação

318. (UEFS-08.2) Na figura, M é o ponto médio da hipotenusa PR do triângulo retângulo PQR.

04) 3 05) 4

312. (UESC-2007) O conjunto-solução da equação sen (x) = sen (4x) , no intervalo 0 < x < π , possui número de elementos igual a:

Sendo a medida do ângulo QRP igual a 27°, pode-se afirmar que a medida do ângulo α = QMP , em radianos, é um valor pertencente ao intervalo:  π π  π 5π  a)  d)  , ,    12 6   3 12 

04) 4 05) 5

313. (UESB-2003) Se x e y são números reais tais que y =

1 + tgx 1 − tgx

então y é igual a:

π π  c)  ,  4 3 

1 + sen2x 1 − sen2x 1 − sen2x e) 1 + sen2x

a) -cossecx

d)

b) sec2x

 5π π  e)  ,   12 2 

π π  b)  ,  6 4 

2

GABARITO TRIGONOMETRIA

1 + cos x c) 1 − cos x

277. E

278. 02

279. C

280. E

281. 05

282. A

314. (UNEB-2004) Se (senx − cox) − y ⋅ sen2x = 1 , ∀x∈R então y é igual a:

283. 01

284. 04

285. A

286. 05

287. A

288. B

289. E

290. 02

291. 04

292. 03

293. B

294. 02

01) –2 02) –1 03) 0

295. B

296. 04

297. 04

298. E

299. 04

300. 02

301. B

302. 04

303. 02

304. A

305. C

306. E

307. 02

308. A

309. E

310. A

311. 05

312. 03

313. D

314. 03

315. 04

316. C

317. B

318. C

2

04) 1 05) 2

315. (UNEB-2003)

A partir da análise do triângulo retângulo representado, pode-se π  sen ( 2π − α ) + cos  + α  2  é afirmar que o valor da expressão 10 ⋅ sen2β − cos 2α igual a:

(

01)

10

04) −

10 5

02)

10 2

05) −

10 10

03)

10 5

)

35


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01) 1 02) 2 03) 3

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01) 0 02) 1 03) 2 Reprodução Proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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309. (UEFS-05.1) A função real f (x ) = tg(x ) + cot g(x) é equivalente à função:


Probabilidade Experimento Aleatório – Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar diferentes resultados. A variabilidade de resultados deve-se ao acaso. Ex: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, etc.

Analise Combinatória, Probabilidade Fatorial de um número natural Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!) através das relações: i) n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 para n ≥ 2

Espaço Amostral – Conjunto de todos os possíveis resultados de experimento aleatório, é indicado por Ω “ômega”. O número de elementos de um espaço amostral indicaremos por n(Ω).

ii) Se n = 1, 1! = 1 iii) Se n = 0, 0 ! = 1

Evento – Qualquer subconjunto de Ω. Obs: Quando E = Ω, o evento é dito certo e, quando E = ∅, temos o evento impossível.

Coeficientes Binomiais. Dados dois números naturais, n e p, com n ≥ p, definimos o coeficiente binomial n sobre p, e indicamos por

Probabilidade em Espaço Amostrais

n n!   =  p  p ! ⋅ (n − p ) !

p(E) =

Probabilidade da União de dois eventos

n n! • Quando p = 0, temos   = = 1, ∀n ∈ N 0 0 ! ⋅ n!   n n! n ⋅ (n − 1)! • Quando p = 1, temos   = = = n, ∀n ∈ N (n − 1) !  1 1! ⋅ (n − 1)! n n! • Quando p = n, temos   = = 1, ∀n ∈ N  n  n!⋅ 0!

P(A ∪ B ) = P(A ) + P(B) − P(A ∩ B)

319. (UEFS-08.2) Uma loja dispõe de papéis de diversas cores e fitas nas mesmas cores dos papéis, a serem utilizados na embalagem dos itens para presentes adquiridos por seus clientes. Se, em um determinado dia, foram vendidos 42 desses itens e não se usou, em embalagem alguma, papel e fita de mesma cor, pode-se afirmar que a loja dispunha de papéis e de fitas de, pelo menos, n cores distintas. O valor de n é:

Binomiais Complementares Dizemos que dois coeficientes de mesmo numerador são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao n n numerador, isto é:   e   são complementares se p + q = n p   q

a) 6 b) 7 c) 9

Principio Fundamental da Contagem Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 1ª etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de m maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por n x m.

01) 8 02) 9 03) 10

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

n −1

4ª etapa n − (k − 1)

n−2

A n,k

01) 2688 02) 2150 03) 1176

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a todo arranjo desse n elementos tomados n a n. O número total de permutações de n elementos, indicados por Pn, é dado por: n! n! = = n! (n − n)! 0!

a) 24 b) 58 c) 72

Combinação Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto de A formado por k elementos. A n,k Pk

=

04) 672 05) 588

322. (UEFS-08.2) Para garantir a segurança de seus moradores, a administração de um condomínio pensou em contratar vigilantes para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo que um deles deve ficar na guarita próxima à entrada do condomínio e que, nos demais postos, deve ficar, no máximo, um vigilante. Nessas condições, o número de máximo de maneiras distintas para distribuir os vigilantes é:

Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um conjunto com n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para formar a seqüência ordenada.

C n,k =

04) 11 05) 12

321. (UESC-2009) Entre 7 rapazes e 8 moças,o número modos para selecionar 2 pares, cada par composto por um rapaz e uma moça, para uma quadrilha, é:

n! = n≥k (n − k )!

Permutação

Pn = A n,n =

d) 14 e) 21

320. (UNEB-2009) Sobre uma circunferência, foram marcados 5 pontos distintos. Com base na informação, pode-se concluir que o número de triângulos que podem ser formados, tendo esses pontos como vértices, é igual a:

Arranjos

1ª etapa 2 ª etapa 3ª etapa

ou P(A ∪ B) = P(A ) + P(B )

d) 96 e) 120

323. (UNEB-2009) A quantidade de maneiras distintas que 4 moças e 4 rapazes podem se sentar em uma fila de 8 assentos, de modo que nunca haja nem dois rapazes vizinhos e nem duas moças sentadas uma ao lado da outra, é igual a:

n! ,n≥k k ! ⋅ (n − k ) !

01) 256 02) 380 03) 576

36

04) 1152 05) 2304


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Casos Particulares

n

n(E) nº de casos favoráveis = n(Ω ) nª de casos possíveis

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n   o número p 

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324. (UESB-2008) Um homem leva, no bolso, 12 moedas, sendo sete de R$0,50 e cinco de R$1,00. Para dar gorjeta a um garoto, retira, ao acaso, duas moedas. A probabilidade, em percentual, de serem pegas uma moeda de cada valor é igual a:

a) 24 b) 36 c) 48

04) 21,0 05) 15,1

333. (UEFS-06.1) Se todos os anagramas obtidos através das permutações das cinco letras da sigla UEFS forem ordenados como em um dicionário, a sigla que ocupará a 17ª posição será:

325. (UESC-2008) O número de modos para se formar uma fila com 8 casais de namorados, de forma que cada namorada fique junto de seu namorado e que as pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas, é: 01) 2.8! 02) 16! 03) 8!

a) FSUE b) SEUF c) SUEF

04) 28.8! 05) 28


01) 120 02) 480 03) 600

04) 121 05) 128

04) 720 05) 930

335. (UESB-2003) De um grupo de 8 pessoas, deve-se escolher 4 para formar uma comissão. Quantas comissões distintas podem ser formadas:

327. (UESC-2008) Cem urnas são numeradas de 1 a 100 e, dentro de cada uma delas, coloca-se um número de bolas igual à sua numeração. O número total de bolas contidas em cada uma das urnas que possui numeração par e divisível por 3 é igual a: 01) 948 02) 912 03) 816

d) UEFS e) UFES

334. (UESC-2005) Seis pessoas formam uma fila indiana para percorrer uma trilha em uma floresta. Se uma delas é medrosa e não quer ser nem a primeira nem a última da fila, então o número de modos de que essa fila pode ser formada é:

326. (UESC-2008) Entre os 7 funcionários de uma firma de segurança, o número de modos que se pode formar uma equipe que contenha, no mínimo, 2 pessoas é: 01) 24 02) 31 03) 120

d) 60 e) 72

a) 1680 b) 830 c) 520

d) 140 e) 70

336. (UEFS-07.1) Em uma estante, devem-se arrumar 9 livros, dos quais 5 são de Matemática. A quantidade máxima de maneiras que se pode colocar, em ordem, tais livros na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos, é:

04) 765 05) 612

a) 4! 4! b) 5! 4! c) 4! 5!

d) 5! 5! e) 14!

328. (UNEB-2008) Jogando dois dados, não vinculados, simultaneamente, X aposta que consegue obter uma somas de pontos igual ou inferior a 6, enquanto Y aposta que consegue obter uma soma de pontos igual ou superior a 8. Quanto à essa aposta, pode-se afirmar:

337. (UESC-2004) As senhas de acessos dos usuários de uma INTRANET (rede interna de computadores) são da forma:

01) X tem o dobro de chances de vitória do que Y. 02) Y tem o dobro de chances de vitória do que X. 03) X tem mais 1/3 de chances de vitória do que Y. 04) Y tem mais 1/3 de chances de vitória do que X. 05) X e Y têm as mesmas chances de vitória.

sendo x a inicial do nome do usuário; m, m+1, m+2 e n, dígitos escolhidos dentre 0, 1, 2,..., 9, sem repetição. Com base nessas informações, conclui-se que o número máximo de testes que será preciso fazer para descobrir a senha da usuária Maria é: 01) 2340 02) 90 03) 1456

329. (UEFS-07.2) Três estudantes chegaram juntos a uma cidade para participar de um congresso e, não tendo reservas com antecedência, constataram que, em cada um dos quatro hotéis da cidade, existem, apenas, duas vagas disponíveis. Sabendo-se que os três não poderão ficar juntos num mesmo hotel, pode-se afirmar que o número máximo de opções de hospedagem de que dispões é igual a: a) 14 b) 24 c) 36

338. (UNEB-2002) Um empresário, visando proteger o sistema de segurança de sua firma, deseja criar senhas constituídas de seqüências de quatro dígitos distintos, sendo os dois primeiros vogais e os dois últimos algarismos. O número de senhas distintas, do tipo descrito, que podem ser formadas é igual a:

d) 60 e) 120

01) 180 02) 200 03) 800

330. (UESC-2007) Em um grupo de 15 professores, existem 7 de Matemática, 5 de Física e 3 de Química. O número máximo de comissões que se pode formar com 5 professores, cada uma delas constituída por 2 professores de Matemática, 2 de Física e 1 de Química, é igual a: 01) 34 02) 65 03) 120

04) 1600 05) 1800

339. (UEFS-04.2) Para elaborar uma prova com dez questões, um professor deve incluir, pelo menos, uma questão relativa a cada um dos oito tópicos estudados e não repetir mais do que dois deles na mesma prova. Nessas condições, o número máximo de escolhas dos tópicos que serão repetidos para a elaboração de provas distintas é .

04) 630 05) 2520

a) 16 b) 28 c) 36

331. (UESB-2006) O número máximo de anagramas da palavra UESB que não apresenta duas vogais juntas é: 01) 6 02) 8 03) 12

04) 63 05) 56

d) 48 e) 56

340. (UESC-2007) No conjunto { x ∈ N; 7 ≤ x ≤ 1006 } , um número é sorteado ao acaso. A probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par, é igual a:

04) 18 05) 24

01) 0,25 02) 0,20 03) 0,15

37

04) 0,10 05) 0,05


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01) 53,0 02) 45,3 03) 31,8

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332. (UEFS-09.1) O número de anagramas da palavra PROVA que não apresenta as duas vogais juntas é

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a) 21 b) 24 c) 40

04) 144 05) 132

349. (UESB-2007) Num grupo de 55 pessoas da zona rural, 11 estão contaminadas com o vírus A e 27 com o vírus B. Não foi registrado nenhum caso de contaminação conjunta dos vírus A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas aleatoriamente, uma após a outra. Considerando-se que a probabilidade da primeira pessoa estar com o vírus A e a segunda com vírus B é de x%, é correto afirmar que o valor de x é igual a:

342. (UNEB-2005) Colocando-se em ordem crescente todos os números inteiros de cinco algarismos distintos formados com os elementos do conjunto {2, 4, 5, 6, 7}, a posição do número 62754 é: 01) 56º 02) 64º 03) 78º

04) 87º 05) 91º

01) 7 02) 10 03) 15


343. (UEFS-02.2) A diretoria de uma Empresa é constituída por seis brasileiros e por três japoneses. Nessa diretoria, o número de comissões que podem ser formadas com três brasileiros e dois japoneses é igual a: a) 120 b) 108 c) 60

d) 54 e) 30

a) 840 b) 1210 c) 3420

d) 150 e) 210

a) 15 b) 30 c) 45

d) 64 e) 90

352. (UEFS-03.2) O número de anagramas da palavra FEIRA, em que nem duas vogais podem estar juntas nem duas consoantes, é igual a:

d) 9 e) 10

a) 10 b) 12 c) 18

346. (UEFS-06.2) A figura ilustra um bloco de um código de barras, utilizado por uma empresa para cadastrar os preços dos produtos que comercializa.

d) 24 e) 25

353. (UESC-2006) Para iluminar um palco, conta-se com sete refletores, cada um de uma cor diferente. O número máximo de agrupamentos de cores distintas que se pode utilizar para iluminar o palco é igual a: 01) 7 02) 28 03) 127

Cada bloco é formado por 12 barras verticais separadas por 11 espaços podendo ser usadas barras de três larguras distintas e espaços de duas larguras distintas. Nessas condições, o número máximo de preços que podem ser cadastrados através desse sistema é: a) 312.211 b) 123.112 c) 123+112

d) 5040 e) 6100

351. (UEFS-07.1) Em uma concessionária, certo modelo de automóvel pode ser encontrado em seis cores, com quatro itens opcionais diferentes. O número de escolhas distintas, com um item opcional, pelo menos, que uma pessoa tem, ao comprar um automóvel desse modelo, nessa concessionária, é igual a:

345. (UEFS-05.1) Uma garota possui n amigas e quer escolher entre elas, n - 2 pessoas para participar de uma promoção de aparelhos celulares. Sabendo-se que existem 36 maneiras de fazer essa escolha, conclui-se que o número de amigas da garota é: a) 6 b) 7 c) 8

04) 20 05) 50

350. (UEFS-04.1) Uma senha deve ser formada, escolhendo-se 4 algarismos de 0 a 9, sem que haja algarismos repetidos. Portanto, o número máximo de senhas que satisfazem a essa condição é

344. (UEFS-01.1) Para elaborar uma prova, pretende-se criar uma comissão entre os 7 professores de Matemática de uma escola. O número de possibilidades para formar essa comissão, de modo que ela contenha, pelo menos, dois professores, é igual a: a) 42 b) 120 c) 128

d) 120 e) 125

04) 156 05) 186

354. (UESC-2006) O número máximo de maneiras distintas para se formar uma roda com 7 crianças, de modo que duas delas A e B fiquem juntas, é igual a:

d) 3+611 e) 312+611

01) 60 02) 120 03) 240

04) 1200 05) 1440

347. (UESB-2007) A Câmara Municipal de um pequeno município tem exatamente 13 vereadores, sendo que 8 apóiam o prefeito e os demais são da oposição. Uma comissão constituída de 3 vereadores da situação e 4 da oposição será escolhida.Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de comissões distintas do tipo descrito é igual a:

355. (UNEB-2006) Com 8 flores distintas, sendo 3 alvas e 5 rubras, um artesão vai arrumar um ramalhete contendo 6 dessas flores, em que, pelo menos, uma seja alva. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número máximo de ramalhetes distintos que ele pode confeccionar é igual a:

01) 5 02) 56 03) 120

01) 28 02) 18 03) 15

04) 140 05) 280

38

04) 10 05) 3


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01) 300 02) 169 03) 156

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348. (UEFS-01.1) A quantidade de números inteiros x, formados pelos algarismos 0, 1, 3, 4, 5, sem repeti-los, tais que 100 < x < 1000 e, x é múltiplo de 5, é igual:

341. (UESC-2005) No conjunto A = {x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 25} , pode-se escolher dois números distintos, tais que a sua soma seja um número par. Nessas condições, o número de modos de que essa escolha pode ser feita é igual a:

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356. (UESB-2006)

a) 120 b) 60 c) 30 Ligando-se três vértices quaisquer de um hexágono regular obtémse triângulos. Sendo assim, escolhendo-se aleatoriamente um desses triângulos, a probabilidade de ele não ser retângulo é igual a:

364. (UNEB-2003) Em um município, uma pesquisa revelou que 5% dos domicílios são de pessoas que vivem sós e, dessas, 52% são homens. Com base nessas informações, escolhendo-se ao acaso uma pessoa desse município, a probabilidade de que ela viva só e seja mulher é igual a:

04) 50% 05) 60%

01) 0,530 02) 0,240 03) 0,053

357. (UNEB-2006) Sorteando-se um número de 1 a 20, a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é igual a:

365. (UESC-2003) Sobre duas retas paralelas e não coincidentes, r e s, são considerados quatro pontos distintos em r e três pontos distintos em s. Com base nessas informações, pode-se concluir que o número de quadriláteros convexos, tendo como vértices quatro desses pontos, é igual

04) 20% 05) 10%

358. (UEFS-05.2) Um garoto possui 5 bolas idênticas e deseja guardá-las em 3 caixas diferentes. O número máximo de modos de que ele pode guardar essas bolas, sendo-lhe facultado o direito de deixar caixas vazias, é igual a: a) 10 b) 12 c) 18

01) 17 04) 30 02) 18 05) 31 03) 24 366. (UEFS-04.2) As 10 salas de uma empresa são ocupadas, algumas por 3 pessoas e outras por 2, num total de 24 funcionários. Portanto, o número x de salas ocupadas por 3 pessoas é tal que:

d) 21 e) 24

a) 9 ≤ x < 10 b) 7 ≤ x < 9 c) 5 ≤ x < 7

359. (UESB-2004) Uma microempresa tem 32 funcionários, sendo um deles demitido e substituído por outro de 25 anos de idade. Se, com essa demissão, a média das idades dos funcionários diminui 1 ano, então a idade do funcionário demitido é igual a 01) 45 anos. 02) 49 anos. 03) 52 anos.

a) 128 b) 64 c) 31

368. (UEFS-05.1)

Pretende-se completar o quadro de horários acima com aulas de 2 horas das disciplinas Matemática, História, Geografia e Ciências, de modo que aulas da mesma disciplina não ocorram no mesmo dia e nem em dias consecutivos. Nessas condições, pode-se concluir que o número de maneiras diferentes de que se pode completar o quadro é:

aleatória, versando Álgebra, livros de

a) 1024 b) 243 c) 225

3 04) 4 2 05) 3

d) 192 e) 150

369. (UESC-2007) O valor de x ∈ N, tal que é: 01) 6 02) 5 03) 4

362. (UEFS-03.1) Um artesão usa peças circulares de mesmo diâmetro, para confeccionar tapetes circulares. Sabe-se que todas as peças são agregadas ao redor da peça central, tangenciando-a. Assim sendo, o número de peças necessárias para confeccionar cada tapete é igual a: a) 9 b) 8 c) 7

d) 21 e) 13

d) 0,6 e) 0,7

361. (UESB-2004) Um estudante arrumou, de forma numa prateleira, cinco livros de Matemática, cada um sobre um assunto diferente - Teoria dos Conjuntos, Geometria, Trigonometria e Análise Combinatória. Com base nessa informação, a probabilidade de os Álgebra e de Trigonometria não estarem juntos é de 1 01) 3 2 02) 5 3 03) 5

d) 3 ≤ x < 5 e) 1 ≤ x < 3

367. (UEFS-05.1) Suponha-se que toda bezerra se torne adulta aos 2 anos de idade e que, após se tornar adulta, dê uma única cria uma vez a cada ano. Se um fazendeiro adquirir uma bezerra recémnascida e, durante os 8 anos seguintes, todos os descendentes da bezerra forem fêmeas e não houver nenhuma morte, então pode-se afirmar que, ao final desse tempo, o total de animais, considerandose a bezerra e seus descendentes, será igual a:

04) 57 anos. 05) 65 anos.

360. (UEFS-09.1) Ao se analisarem os resultados obtidos por uma turma de um determinado curso, levou-se em consideração, dentre outros fatores, a freqüência às aulas. Considerando-se uma amostra aleatória de 10 alunos, constatou-se que o número total de faltas, no decorrer do curso, foi 0,1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6. Sorteando-se, ao acaso, um desses alunos, a probabilidade de o número de faltas ser maior do que 4, é igual a: a) 0,3 b) 0,4 c) 0,5

04) 0,048 05) 0,024

(x + 2)! ⋅ (2x + 2)! = 40 , (2x + 1)! ⋅ (x + 1) x !

04) 3 05) 2

370. (UEFS-04.1) Pretende-se distribuir 9 laranjas e 2 maçãs entre duas pessoas, de modo que cada uma delas receba, pelo menos, uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n maneiras diferentes, o valor de n é:

d) 6 e) 5

a) 7 b) 8 c) 9

39

d) 10 e) 11


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01) 70% 02) 65% 03) 50%

d) 15 e) 20

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01) 20% 02) 30% 03) 40%

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363. (UEFS-02.1) Sobre uma circunferência foram marcados seis pontos distintos. O número máximo de triângulos, com vértices nesses pontos, que se pode obter é:


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371. (UESB-2005) Em um curso, a avaliação do desempenho de cada aluno foi dada pelos conceitos A, B, C, D e E. Sabe-se que, obtendo A, B ou C, o aluno estaria aprovado e, D ou E, estaria reprovado. A tabela mostra a distribuição dos conceitos obtidos por uma turma de 40 alunos.

Utilizando o símbolo de somatório, podemos escrever: n  n  ( a + b ) n = ∑   a n − k b k k =0  k  O resultado acima é conhecido como teorema binomial. Obs: O teorema binomial continua válido se quisermos obter o desenvolvimento de (a – b)n. Basta notar que: (a − b)n = [a + ( −b)]

n

n n  n 1 n a ( −b)n −1 +  a 0 ( −b)n (a − b)n =  an (−b) 0 +  a n − 1(−b)1 + ... +  0 1 n − 1       n

Com base nessas informações, pode-se concluir que o percentual de alunos que obtiveram conceito A, em relação ao número total de alunos aprovados é, aproximadamente, igual a:

Cada um dos termos acima contém potências do tipo:

04) 46,0 05) 68,2

 bk , se k é par − bk , se k é impar

(− b )k 

319. B

320. 03

321. 03

322. D

323. 04

324. 01

325. 01

326. 03

327. 03

328. 05

329. D

330. 04

331. 03

332. E

333. C

334. 02

335. A

336. D

337. 05

338. 05

339. B

340. 02

341. 04

342. 03

343. C

344. B

345. D

346. A

347. 05

348. A

349. 02

350. D

351. E

352. B

353. 03

354. 03

355. 02

356. 04

357. 02

358. D

359. 03

360. A

361. 03

362. A

363. E

364. 05

365. 03

366. D

367. D

368. D

369. 04

370. D

371. 03

*****

Assim, os sinais dos termos do desenvolvimento de (a – b)n se alternam, a partir do 1ºtermo, que é positivo. Termo Geral de um Binômio

(a + b ) n =  n  a n b 0 +  n  a n − 1 b 1+ ... +  n  a 0 b n 0

 1

n 

Termo Geral é dado por:  n  n −k k   ⋅ a ⋅ b k 

372. (UESC-2008) No desenvolvimento da expressão algébrica 6

1  x 2  x −  , o termo independente de x é igual a: x  01) – 6 02) 0 03) 6

Binômio de Newton Teorema Binomial Sejam dois números reais, a e b, e um número natural n. Já conhecemos o desenvolvimento de (a + b)n para alguns valores de n:

04) 15 05) 30

373. (UESC-2009) Se a soma dos coeficientes do polinômio P(x ) = (2x + b )7 é igual a 1, então o coeficiente de x2 é igual a:

n = 0 ⇒ (a + b ) = 1 1 n = 1 ⇒ (a + b ) = a + b 2 n = 2 ⇒ (a + b ) = a 2 + 2 ab + b 2 3 n = 3 ⇒ (a + b ) = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Observando os exemplos acima e considerando, em especial, o caso 0

01) 84 02) 63 03) – 42

374. (UNEB-2008) n binomiais   e 3

n = 3, é possível notar que, ao desenvolvermos (a + b)3, obtemos 3 + 1 = 4 termos tais que: (I) os expoentes do 1º termo do binômio, o termo a, decrescem deste 3 até zero; (II) os expoentes do 2º termo do binômio, o termo, aumentam desde zero até 3. Essas duas observações sugerem que, para a parte literal do desenvolvimento de (a + b)n, n∈ N, temos:

Sabendo-se que a diferença entre os números n   é igual a zero, pode-se afirmar que o 2

 −1 2   é igual a: determinante da matriz   − 1 n

01) – 3 02) – 1 03) 2

(III ) a n b 0 ; a n − 1b1; a n − 2 b 2 ; ... a1b n −1 ; a 0 b n

04) 4 05) 6

375. (UEFS-07.1) O conjunto-solução 2 + x x2 2 + x     2 = 2+ −  é:  2  2  3 

(IV) os coeficientes que aparecem nos desenvolvimentos anteriores correspondem, ordenadamente às linhas do triângulo de Pascal:

(a + b)1 = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2

04) – 84 05) – 93

a) {-4} b) {0} c) {4}

linha1 : 1 1 linha 2 : 1 2 1

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab 2 + b 3 linha 3 : 1 3 3 1

da

equação

d) {-4, 4} e) {-4, 0, 4} 3

376. (UEFS-06.2) A diferença entre os coeficientes de x e x no 5

binômio (x + k ) é igual a 15. Sabendo que k é um número real, pode-se afirmar que k é um número,

Dessa maneira, para determinarmos os coeficientes os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n, basta considerar a linha n (linha de numerador n) do triângulo de Pascal. n  n  n  1 n −1  n  0 n ( a + b ) n =  a n b 0 +  a n − 1b 1 + ... +  +  a b a b 0 1      n − 1 n onde a e b são reais e n é natural.

a) irracional. b) racional não inteiro. c) primo.

40

d) múltiplo de 4. e) múltiplo de 5.


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GABARITO ANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

MATEMÁTICA

01) 22,5 02) 28,0 03) 32,1


01) 13480 02) 13528 03) 13608

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377. (UESB-2008) O simétrico do coeficiente do sexto termo no desenvolvimento de ( x − 3 ) 8 , segundo os expoentes decrescentes de x, é igual a:

Reversas: se não existe plano que as contenha simultaneamente.

04) 13780 05) 13808

Relações Métricas circunscritos

378. (UESC-2007) O valor do termo independente de x no

em

Polígonos

regulares

inscritos

e

15

 1  desenvolvimento  2 − x  x  01) 345 02) 455 03) 545

379. (UNEB-2009)

O

é: 04) 554 05) 645

coeficiente

do

termo

x −3 no

em

l4 = R 2

8

desenvolvimento de  x + 1  é igual a: x  04) 6 05) 3

R 2 2

a6 =

R 3 2

a3 =

R 2

Áreas das principais figuras Geométricas Planas 6

  380. (UEFS-09.1) Desenvolvendo-se o binômio  5x − 24  , obtémx   se uma expressão algébrica cujo termo médio é igual a:

(− 2 ⋅ 10 )

b)

(2 ⋅ 10 )

c)

(− 5 ⋅ 10 )

4

x

(

4

x

A = b⋅h

)

d) − 5 ⋅ 10 3 x 5

9

A = l2

A = b ⋅h

e) 10 4 x 9

2 3

x4 8

A=

x 2  381. (UESB-2004) No desenvolvimento do binômio  + 2  , o 2 x  termo central é:

01) x-4 02) 38x-3 03) 70x-4

b⋅h 2

A = p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )

l2 3 A= 4

p=

a+b+c 2

04) x4 05) 70x4

A = p ⋅r a+b+c p= 2

GABARITO BINÔMIO DE NEWTON 372. 04

373. 04

374. 01

375. C

376. C

377. 03

378. 02

379. A

380. A

381. 03

*****

*****

A=

(B + b) ⋅ h 2

Geometria Plana Posições Relativas entre duas retas

A=

Coincidentes: se todos os pontos de uma são pontos da outra.

D⋅d 2

C = 2 ⋅ π ⋅R A = π ⋅R

A=

(

A = π ⋅ R2 − r 2

)

2

l ⋅ R πR2α αR 2 = = 2 2 360 o

Paralelas: se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum. Paralelismo Ângulos formados por duas retas concorrentes

a e b são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º)

Concorrentes: se têm um único ponto comum.

a e c são ângulos opostos pelo vértice (a = c)

41


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a)

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01) 15 02) 9 03) 8

a4 =

l3 = R 3

l6 = R


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384. (UESB-2008) Considerem-se as retas r, s e t, tais que r // s // t.

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal

O valor do ângulo x representado na figura é igual, em graus, a: 01) 50 02) 60 03) 70

04) 80 05) 90

A área do quadrado maior é igual a: 01) 13 02) 14 03) 17

04) 18 05) 20

β = AB

01) A(x ) = 8x − x 2 ; 0 < x < 8

α β

α=

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386. (UESB-2009) Um retângulo tem dimensões x e y , x < y, e perímetro igual a 16 u.c . Retirando-se, desse retângulo, um quadrado de lado x, a área restante pode ser obtida através da expressão:

Ângulo Inscrito numa Circunferência

AB 2

02) A(x ) = 8x − 2x 2 ; 0 < x < 4 03) A(x ) = 8x 2 − 16 x 2 ; 0 < x < 2 04) A(x ) = 16 x − 2x 2 ; 0 < x < 8

Ângulos Excêntricos Interiores

05) A(x ) = 16 x 2 − 2x 2 ; 0 < x < 4

Ângulos Excêntricos Exteriores

387. (UNEB-2008) A reta t, na figura, intersecta a circunferência de centro C e raio r, nos pontos M e N.

x=

AB + CD 2

x=

AB − CD 2

382. e β ângulos complementares. Sabendo-se que a medida de α é igual ao triplo da medida de β, pode-se afirmar que o ângulo α – β mede: a) 40o b) 45o c) 50o

383. (UESB-2006)

d) 55o e) 60o

Sabendo-se que a medida do segmento LM é igual a r, pode-se afirmar que os ângulos α e β indicados na figura são tais que: 01) β = 2α 02) β = 3α 03) α = β

r 120

o

α s

β γ

Da análise da figura, considerando-se as retas r, s e t paralelas, pode-se concluir que os ângulos α, β e γ medem, respectivamente: 01) 100o, 140o e 120o. 02) 100o, 120o e 140o. 03) 110o, 120o e 130o.

04) α = 2β 05) α = 3β

388. (UESC-2008) Se a soma dos comprimentos das diagonais de um losango é igual a 6 u.c. e sua área A, dada em unidades de área, é a maior possível, pode-se afirmar:

140o

01) 1 < A ≤ 2 02) 2 < A ≤ 3 03) 3 < A ≤ 4

04) 110o,130o e 120o. 05) 120o,120o e 120o.

42

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385. (UNEB-2008) Na figura, a soma das áreas dos três quadrados é 34 u.a.

04) 4 < A ≤ 5 05) 5 < A ≤ 6



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389. (UEFS-08.1) Em uma circunferência de centro O e raio 6cm, é marcado um arco AB cujo ângulo central AOB mede 50º. Se, em outra circunferência, de raio 10cm, é marcado um arco com a mesma medida de AB, o ângulo central correspondente mede, em radianos: π 2π a) d) 3 9 3π π b) e) 3 6 π c) 4

393. (UESC-2008) Na figura, AB=8u.c., BC=1u.c., e os triângulos sombreados são eqüiláteros. C A B Sobre os triângulos sombreados, pode-se afirmar que o quociente entre a área do triângulo maior e a área do triângulo menor é igual a: 1 8 7 02) 8 8 03) 7 01)

390. (UNEB-2007) E

49 64 64 05) 49 04)

B

D

C

01) Existe um único plano passando por dois pontos distintos. 02) Duas retas distintas não paralelas são sempre concorrentes. 03) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. 04) Duas retas ortogonais são paralelas a toda reta ortogonal a elas. 05) Em um plano α, existem retas paralelas ou retas reversas a uma reta r, paralela a α.

Na figura, o vértice A do retângulo ABCD é o ponto médio do segmento EC.

395. (UESC-2007) Em um triângulo ABC, tem-se

Se DC = 2 3 u.c. e AD = 3u.c., então o segmento DE mede, em u.c.,

AD é a altura relativa ao lado BC. A medida do segmento CD é o triplo da medida do segmento BD. O ângulo CAD mede o dobro do ângulo BAD.

01) 4 3

04)

5 3 2

02) 4 2

05)

2 6 3

Com base nessas informações, é correto ângulo não-nulo CAD, em radianos, é: π 04) 01) 3 π 05) 02) 4 π 03) 6

03) 2 6 y

391. (UEFS-02.1)

x

C

π 12 π 24

396. (UEFS-03.2) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o lado do quadrado circunscrito, em uma circunferência de raio r, é:

B

A

afirmar que a medida do

D

a)

1 4

1 b) 2 1 c) 3

Um terreno de forma retangular, com largura igual a y u.c. e comprimento igual a x u.c., está dividido nos quadrados A, B, C e D, y conforme a figura. Nessas condições, a razão é igual a: x 3 a) 2 d) 2 5 b) 3 4 c) 3

d)

1 2

e) 2

397. (UEFS-09.1) A porta de uma sala quadrada cujo lado mede 4m, tem 0,80m de largura, está posicionada a 0,50m de um dos cantos, de acordo com a figura, e quando aberta para e) o 1interior da sala, tangencia no ponto T, um tapete circular colocado no centro da sala.

392. (UEFS-08.1) Sabendo-se que cada quadrilátero que compõe a malha representada na figura tem 5u.a. de área, pode-se afirmar que a área da região sombreada mede, em u.a.,

Com base nessa informação, pode-se afirmar que o diâmetro do tapete mede a) 37 ⋅ 10 −3

d) 37 ⋅ 10 −1

−2

e) 75 ⋅ 10 −1

b) 75 ⋅ 10

a) 2,2m b) 2,6m c) 3,0m

c) 35 ⋅ 10 −2

43

d) 3,4 e) 3,8


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A

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394. (UESB-2008) Sobre retas e planos, é verdade afirmar:


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398. (UEFS-07.2) Duas pessoas, J e L, fazem caminhadas em uma praça circular cujo raio mede 6m. Certo dia, partindo do mesmo ponto P, J caminhou por PQ (diâmetro da praça), e L preferiu seguir o caminho em volta da praça (sobre a circunferência). No instante em que J se encontra a 9m do ponto de partida, L se encontrava em um ponto da circunferência em que JL é perpendicular a PQ. Nessas condições, pode-se afirmar que o comprimento do arco PL percorrido por L é: 15π a) d) 4π 4 11π 9π b) e) 3 2 25π c) 6

Da figura, composta por 5 círculos, sabe-se que O círculo maior tem centro na origem dos eixos coordenados e o raio mede 2; Os círculos médios são tangentes entre si, na origem dos eixos coordenados, e tangentes ao círculo maior; Os círculos menores são tangentes aos círculos médios e ao círculo maior. O raio dos círculos menores mede, em u.C., 1 2 a) d) 9 3 2 3 b) e) 9 4 1 c) 3

399. (UEFS-07.2) Da figura, sabe-se que

403. (UEFS-05.2) • ABC é um triangulo eqüilátero de lado medindo 4u.c; • M é o ponto médio de AB; • AM e MB são diâmetros de duas semicircunferências com centros AB; • AC é um arco de circunferência com centro em B e raio BA;

A medida da área da região sombreada, em u.a., é igual a a) 19 3 − b) 19π − c)

8π 3

8 3 3

d)

19π +8 3 3

e) 19 3 +

a) (π – 0,75).r2 b) (π – 1).r2 c) (π – 1,5).r2

8π 3

404. (UEFS-03.1)

19π −8 3 3

400. (UEFS-07.1) Um fazendeiro comprou um terreno de forma retangular, com 30m de perímetro, notando que o triplo da medida do menor lado é igual ao dobro da medida do lado maior. Resolveu plantar grama em todo o terreno, exceto em uma semicircunferência cujo diâmetro coincide com lado menor. Considerando-se que o valor aproximado de π=3,14 e que o m2 da grama custa R$ 40,00, pode-se afirmar que o fazendeiro gastou, aproximadamente, a) R$ 245,76 b) R$ 405,40 c) R$ 1390,36

d) (π – 1,8).r2 e) (π – 3).r2

Da figura, sabe-se que ABCD é um quadrado cujos lados medem 3u.c. M é ponto médio do lado AD. O segmento MN é paralelo a AB. MN = NB = NC Com base nessas informações, pode-se concluir que a área do triângulo NBC mede, em u.a., 27 1 a) d) 2 16 b) 1 e) 2 9 c) 8

d) R$ 1.440,00 e) R$ 1.594,80

401. (UNEB-2006)

405. (UESC-2009) Na figura, a área do paralelogramo ABCD é igual 6 u.a. e a do trapézio AECD é igual a 10 u.a.. Então: A figura representa um círculo de centro em C e área medindo 25πcm2. Considerando-se que a corda AB mede 5cm, pode-se afirmar que a área do triângulo ABC, em cm2, é igual a: 01)

5 3 4

04)

25 3 2

02)

5 3 2

05) 25 3

03)

25 3 4

01) 6,5 ≤ y < 7,5 02) 5,5 ≤ y < 6,5 03) 4,5 ≤ y < 5,5

44

04) 3,5 ≤ y < 4,5 05) 2,5 ≤ y < 3,5


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Na figura, tem-se uma circunferência de raio r e centro O e três losangos em que a diagonal maior é o dobro da menor. Nessas condições, pode-se concluir que a área da região sombreada mede, em u.a.,

• BC é um arco de circunferência com centro em A e raio AB.

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402. (UEFS-06.1)

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406. (UESB-2003) Na figura abaixo tem-se o quadrado ABCD, cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado EFGH. Os vértices de EFGH são os pontos médios dos lados do quadrado IJKL.

Na figura, todas as circunferências têm raio r=1u.c., e a circunferência central passa pelos pontos de tangência das demais. Com base nessa informação, pode-se concluir que a área da região sombreada mede, em u.a.,

Se a área de IJKL é 16m2, então a área do quadrado ABCD, em metros quadrados, é:

01) 4π - 1 02) 4π - 2 03) π + 4

d) 6 e) 8

411. (UESC-2009) Na figura, o sólido é constituído por um cone uma esfera, tais que o volume da semiesfera é igual ao volume do cone.


407. (UESC-2005) A figura representa 4 quadrados de uma seqüência de 8 quadrados construídos de tal forma que o primeiro quadrado (o maior deles) tem lado igual à 1u.c., e cada quadrado, a partir do segundo, tem seus vértices nos pontos médios dos lados do quadrado anterior.

Considerando-se a área da região que se encontra no interior do primeiro quadrado e no exterior do segundo, e a área no interior do terceiro quadrado e no exterior do quarto, e assim por diante, podese concluir que a soma de todas essas áreas é igual, em u.a., a 171 256 85 02) 128 43 03) 64

Se h e r representam, respectivamente, a altura e o raio do cone, então h/r é igual a: 01) 4

21 32 11 05) 16

01)

04)

02) 2

1 2 1 05) 4 04)

03) 1

412. (UESB-2009) Uma pizza circular de raio r, r = 18cm, é dividida em três fatias, na forma de setores circulares cujos arcos tem comprimentos x, 2x - π e 3x +π. Se o preço da fatia é proporcional ao seu tamanho e a pizza inteira custa R$32,00, então o preço da fatia maior será aproximadamente igual a:

408. (UESC-2005)

01) R$ 15,00 02) R$ 16,00 03) R$ 17,00

No triângulo ABC, tem-se que AB=5EA, AC=5AD, 0FB=5F’ e FC=5FE’. Nessas condições, pode-se concluir que FD’ e EC são iguais, respectivamente, a: 01) DF e 5EF 02) DF e 6EF 03) DF e 4EF

04) 2π + 4 05) 3π +4

04) R$ 18,00 05) R$ 19,00

413. (UNEB-2003)

04) 2DF e 5EF 05) 2DF e 6EF

409. (UEFS-02.2)

A reta e a parábola, representadas no gráfico, têm equações iguais, 2 4 16 respectivamente, a 2x − 3y + 12 = 0 e y = x 2 + x + . Da 3 3 3 análise do gráfico, conclui-se que a área da região sombreada mede, em u.a.,

Na figura, ABCO representa um retângulo de lado AB medindo o dobro do lado BC e BCE, um triângulo eqüilátero de lado igual a 5cm. Nessas condições, o quadrado da medida de AE é igual a:

(

a) 25 ⋅ 5 + 2 3 b) 5 + 2 3

)

d)

3

e)

3 2

01) 10 02) 11 03) 13

04) 15 05) 18

c) 2 3

45


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a) 1 b) 2 c) 4

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410. (UESB-2005)

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414. (UNEB-2003)

Pontos Colineares

A (x A , y A ), B(xB , yB ) e C = (x C , y C )

xA A, B e C são colineares ⇔ xB xC

yA 1 yB 1 = 0 yC 1

Equação Geral da Reta Consideremos a reta r, determinada pelos pontos A (x A , y A ) e B(xB , yB ) x xA xB

Das informações constantes na ilustração, pode-se concluir que a área de um campo de futebol mede, em m2, 01) 7750 02) 7570 03) 7243

y 1 yA 1 = 0 yB 1

⇔ Ax + By + C = 0

Inclinação e coeficiente angular de uma reta

04) 6750 05) 6700

383. 01

384. 04

385. 03

386. 02

387. 02

388. 04

389. E

390. 01

391. B

392. E

393. 05

394. 05

395. 01

396. D

397. D

398. D

399. C

400. E

401. 04

402. D

403. A

404. D

405. 04

406. C

407. 02

408. 01

409. A

410. 04

411. 02

412. 03

413. 05

414. 01

Coeficiente Angular ou declividade de uma reta m = tgα Coeficiente angular de uma reta dada por dois pontos

m=

∆y y B − y A = ∆x x B − x A

y B − y A = m ⋅ (x B − x A )

Geometria Analítica Distância entre dois pontos Equação Reduzida da Reta dAB =

m − coef. Angular y = mx + n  n − coef . Linear

(xB − x A )2 + (yB − y A )2

Coordenada s do Ponto Médio M(x M, y M ) x + xB y + yB xM = A yM = A 2 2

Equação Segmentaria da Reta x y + =1 p q

Baricentro de um Triângulo AG = 2 ⋅ GD  BG = 2 ⋅ GE CG = 2 ⋅ GF 

Posições Relativas de Duas Retas r : y = mx + n e s : y = m' x + n' • Concorrentes

Baricentro B(x G , y G )

r ∩ s = {P} m ≠ m'

x + xB + x C y + yB + y C xG = A yG = A 3 3

Divisão de um segmento numa dada razão

• Paralelas Distintas k=

xC =

x A + k ⋅ xB 1+ k

AC CB yC =

r ∩s = ∅ m = m' e n ≠ n' y A + k ⋅ yB 1+ k

• Paralelas Coincidentes

r ∩s = r = s m = m' e n = n'

Área de um Triângulo

xA 1 A = ⋅ D onde D = xB 2 xC

• Perpendiculares

yA 1 yB 1 yC 1

m1 ⋅ m2 = −1 m1 = −

46

1 m2


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382. B

MATEMÁTICA


GABARITO GEOMETRIA PLANA


MATEMÁTICA

Ângulo agudo entre duas retas

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2ª situação: P pertence no exterior da circunferência. dPC > R

(xP − a)2 + (yP − b)2 − R 2 > 0

tgϕ =

3ª situação: P pertence no interior da circunferência. dPC > R

m2 − m1 1 + m2 ⋅ m1

Se uma das retas for perpendicular ao eixo Ox, ela não terá o coeficiente angular.

(xP − a)2 + (yP − b)2 − R2 < 0

1ª situação: Não existe ponto comum a r e λ. r ∩ λ = ∅

dCr > R

1 m1

Distância de um Ponto a uma Reta 2ª situação: Existe um único ponto comum a r e λ. r ∩ λ = { T } Re ta : Ax + By + C = 0

dCr = R

Ponto : P(x 0 , y 0 )

d=

(Lembrete: Quando uma reta é tangente a uma circunferência, ela é perpendicular ao raio no ponto de tangência.)

Ax 0 + By O + C A 2 + B2

3ª situação:Existem dois pontos comuns a r e λ. r ∩ λ = {S1, S 2 }

Estudo Analítico da Circunferência Equação Re duzida da Circunferê ncia

(x − a )2 + (y − b)2 = R2

dCr < R

Equação Geral da Circunferê ncia x 2 + y 2 − 2ax − 2by + a 2 + b 2 − R 2 = 0

Os pontos de Intersecção de r com λ, quando existem, são soluções Ax + By + C = 0 do sistema.  (x − a )2 + (y − b )2 = R 2

A = −2a  x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 B = −2b  2 2 2 C = a + b − R

Condição para exista uma Circunferência A 2 + B 2 − 4C > 0

Posições relativas entre duas circunferências no plano cartesiano

Posições relativas entre ponto e circunferência no plano cartesiano

1ª situação: λ1 e λ2 são tangentes entre si. Neste caso elas têm um único ponto comum.

1ª situação: P pertence à circunferência. dPC = R

(xP − a)2 + (yP − b)2 − R 2 = 0

47


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tgα =

MATEMÁTICA


Posições relativas entre reta e circunferência no plano cartesiano


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MATEMÁTICA

2ª situação: λ1 e λ2 são secantes entre si. Neste caso elas têm dois pontos comuns.

(x − x 0 )2 = 2p ⋅ (y − y 0 ) 3ª situação: λ1 e λ2 são disjuntas. Neste caso elas não têm ponto comum.

(x − x 0 )2 = −2p ⋅ (y − y 0 ) x 2 = −2py

x 2 = 2py

415. (UEFS-04.1) O maior valor real de k para que a distância entre os pontos A = ( k, 1) e B = ( 2, k) seja igual a d) 3 e) 4

416. (UEFS-03.2) Se o ponto C = ( x, − x ) , x∈R, é o centro de uma circunferência que passa pelos pontos A = (3,1) e B = (5,-3), então o raio dessa circunferência mede, em u.c.,

(x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 a2

b2

C(0, 0 ) ⇒

x2 a

2

+

y2 b2

d) 10 e) 10

417. (UESB-2008) A área de um triângulo, cujos vértices são os pontos A (1, 3 ) , B ( 3 , 2 ) e C ( 2 ,1 ) , mede, em u.a.,

=1

01) 4,5 02) 2,3 03) 1,5

=1

04) 1,4 05) 0,5

418. (UESC-2003) Considere duas retas do plano xOy de equações iguais a x + y = −b e 4 x + b 2 y = b 2 − 2b , paralelas e não coincidentes. A partir dessas informações e sabendo-se que b∈R, pode-se concluir que o valor de b é igual a:

Hipérbole

(x − x 0 )2 − (y − y0 )2 a

2

2

01) –4 02) –2 03) 0

=1

b x2 y2 C(0, 0 ) ⇒ 2 − 2 = 1 a b

04) 2 05) 4

419. (UESB-2003) Num sistema de eixos ortogonais de origem O, considere a reta r de equação 3x − y + 2 = 0 e o ponto A = (−1, − 2 ) . A equação da reta t, que passa por A e é paralela à reta r é: a) 3x − 3y + 2 = 0 b) 3x + 2y − 1 = 0

Parábola

d) 3x + y − 1 = 0 e) 3x − y + 1 = 0

c) 3x − 2y + 1 = 0

420. (UEFS-09.1) A área da região limitada pelos eixos cartesianos coordenados pela reta r de equação 2y − x − 2 = 0 e pela reta s, perpendicular a r e que passa pelo ponto P = ( 2 , 2 ) , mede, em u.a., a) 2,5 b) 3,4 c) 4,0

d) 5,8 e) 7,0

421. (UEFS-09.1) Um triângulo possui vértices nos pontos A = ( 1, 4 ) , B = ( 4 , 4 ) e C = ( 4 , 7 ) . Uma equação da reta que contém a bissetriz do ângulo B é:

(y − y 0 )2 = 2p ⋅ (x − x 0 ) y 2 = 2px

(y − y 0 )2 = −2p ⋅ (x − x 0 ) y 2 = −2px

48

a) y + x − 8 = 0

d) 2y + x − 12 = 0

b) y − x − 8 = 0 c) 2y − x − 4 = 0

e) y − 2x + 4 = 0


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a) 3 b) 2 c) 3

Estudo Analítico das Cônicas Elipse

MATEMÁTICA


a) -1 b) 0 c) 2

5 é


01) 7 02) 8 03) 10

430. (UESB-2005)

(

(m ,n)

2

são as coordenadas do centro da

)

(

2

circunferência x + 2 3 x + y − 6y + 7 = 0 , − 3m + 3n é igual a: 01) – 3

04) 1

02) − 3 03) 0

05) 6 3

A

reta

3x + 4y − 6 = 0 determina


corda

MN

01) y = −

3 x+2 3 3

04) y =

02) y = −

3 +2 3

05) y = 3 − 6

na

3 x−2 3 3

B

de

A C

04) 2 3 05) 6 x

0

Na figura, o quadrilátero OABC é um trapézio, tal que A=(3,4) e B=(1,5). Então, pode-se afirmar que o ponto C possui coordenadas: 01) (0,3) 02) (0,11/3) 03) (0,4)

d) 6 e) 5

04) (0,13/3) 05) (0,5)

432. (UESB-2009) Sendo e o menor ângulo interno do triângulo de vértices O = ( 0 , 0 ) , P = ( − 1, 3 ) e Q = ( 2 , 2 ) , o valor de cosθ é:

426. (UNEB-2005) Sabendo-se que os pontos M=(0,0), N=(4,0) e P=(2,2) são os respectivos pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo ABC, pode-se afirmar que a reta que contém o lado BC desse triângulo tem para equação 04) y + x – 4 = 0 05) y + x + 4 = 0

01) 3 5

04)

1 2

02) 1 2

05)

1 5

03) 2 5

427. (UEFS-04.2) A medida, em graus, do ângulo agudo formado pelas retas de equações y = −x e y = 3 x , é: a) 75º b) 60º c) 45º

)

431. (UESC-2006)

reta x = 3 e estão a uma distância d = 3 2 u.c. da reta y = x + 1 , pode-se concluir que o segmento PQ mede em u.c.,

01) y – 2 = 0 02) y – x = 0 03) y + x = 0

e

03) y = − 3 x + 6

425. (UEFS-08.1) Sabendo-se que os pontos P e Q pertencem à

a) 15 b) 12 c) 9

A = ( 6, 0 )

433. (UESC-2005)

d) 30º e) 15º

428. (UEFS-06.1) Os lados AB e BC de um ângulo reto ABC estão sobre as retas r : 2x − y + 6 = 0 e s : ax + by + c = 0 , com a e b constantes reais. Sendo P(1, 1) um ponto da reta s, pode-se afirmar: a) a < b < c b) a < c < b c) b < c < a

d) c < a < b e) c < b < a Considere-se, na figura, r a reta suporte de uma mediana do triângulo de vértices A(3,4), B(1,1) e C(7,3). Com base nessa informação, pode-se concluir que uma equação de r é:

429. (UEFS-05.1)

01) 2x + y = 10 02) 2x + y = 11 03) 5x + 2y = 23

04) 5x + 2y = 26 05) 5x + 2y = 17

434. (UESB-2007) A circunferência C, de centro no ponto M( 1, − 3 ) , é tangente à reta de equação 3x + 4y − 26 = 0 . Com base nessa informação, é correto afirmar que a medida do raio de C, em u.c., é igual a:

Na figura, tem-se um losango que possui dois lados paralelos a Oy. O vértice P tem, portanto, coordenadas: a) (4,10) b) (4,9) c) (4,8)

d) (4,7) e) (4,6)

49

01) 3

04) 3 3

02) 3 2 03) 5

05) 7


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3

02) 2 2 03) 3

O = ( 0, 0 ) ,

pontos

y

circunferência x 2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0 uma comprimento igual, em u.c., a: 01)

os

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424. (UNEB-2009)

Se

B = 3, 3 3 são vértices de um triângulo, então uma equação da reta que contém a bissetriz do ângulo OAB é:

04) 14 05) 18

423. (UNEB-2009) Se

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422. (UNEB-2009) A reta r de equação 6x + 8y − 48 = 0 intersecta os eixos coordenados cartesianos nos pontos P e Q. Desse modo, a distância, em u.c., de P a Q é igual a:


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435. (UESC-2004)

442. (UEFS-08.2) A figura representa a função f (x ) = x 2 + bx + c , em que b e c são constantes, a distância d, entre P e Q, é igual a 4 e o ponto V é o vértice da parábola.

Na figura tem-se a reta r, de equação y = 2x + 4 , e o paralelogramo ABCD. Se B=(3,0), então o perímetro de ABCD mede, em u.c., 01) 5 + 2 5

04) 10 + 4 5

02) 5 + 4 5

05) 2 + 10 5

Uma equação da circunferência de centro O e que passa por V é: a) x 2 + y 2 = 10

03) 10 + 2 5

2

2

2

2

d) x 2 + y 2 − y = 17 e) x 2 + y 2 − 2x + 8y = 0

b) x + y = 17 c) x + y − x = 10

443. (UEFS-06.1) As retas paralelas r e s são tangentes à circunferência de equação x 2 + y 2 − 6x − 2y = 0 . Sendo dr a distância da reta r a origem do sistema de coordenadas cartesianas e ds, a distância da reta s a esse mesmo ponto, pode-se afirmar que dr + ds é igual a:

437. (UESB-2006) O valor da constante m, para que a reta y = −2x + m seja tangente à circunferência de equação x 2 + y 2 − 2x − 4y = 0 , está entre: 01) – 6 e – 2. 02) – 2 e 2. 03) 2 e 6.

Na

circunferência

x 2 + y 2 − 6x − 4 y + 4 = 0 pode-se afirmar: de

equação

reta r que é paralela à reta x − y − 5 = 0 e que tem como equação: 04) y = −x + 2 05) y = −x − 1

01) (x − 1) + (y − 1) = 1

x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 . Nessas condições, a + b + c é igual

02) (x − 6) + (y − 6) = 36

2

03)

e

(x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 ,

respectivamente,

2

2

2

2

2

2

2

04) (x + 1) + (y − 1) = 1 2

2

05) (x + 6) + (y + 6) = 36

03) (x + 1) + (y − 2) = 1

04) 6 05) 8

447. (UNEB-2007) Se M(−1, 4) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência x 2 + y 2 − 4y − 5 = 0 , então a equação da reta que contém A e B é dada por:

441. (UNEB-2006) Sabe-se que a circunferência de equação x 2 + y 2 − 4x − 6y + 11 = 0 é inscrita no quadrado ABCD. A partir dessa informação, pode-se concluir que a diagonal desse quadrado mede, em u.c., 01) 4 02) 2

equação

446. (UESC-2007) A equação de uma das circunferência, situadas no 2ºquadrante, tangentes reta de equação 4y − 3x − 12 = 0 e aos eixos coordenados, é:

440. (UNEB-2002) A circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A( 0, 0), B( 6, 0) e C( 0, 8) tem uma equação na forma

01) – 14 02) – 8 03) 2

de

a) são concêntricas b) C2 passa pelo centro de C1. c) C1 passa pelo centro de C2. d) são tangentes internamente. e) são tangentes externamente.

( x − 1 )2 + ( y − 2 )2 = 9 , o ponto que tem menor abscissa pertencente à 01) y = x + 4 02) y = x + 2 03) y = x − 1

circunferência

445. (UEFS-08.1) Sobre as circunferência C1 e C2 de equações

d) 4 e) 5

439. (UNEB-2008)

e) 6 2

01) centro no ponto (1,2) e intercepta o eixo Oy em dois pontos. 02) centro no ponto (2,1) e tangencia o eixo Ox. 03) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Ox. 04) raio igual a 2u.c. e tangencia o eixo Oy. 05) raio igual a 4u.c. e não intercepta os eixos coordenados.

é:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 2 10

b) 3 3 c) 6

444. (UNEB-2003) A x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0 tem:

04) 6 e 10. 05) 10 e 14.

438. (UEFS-04.2) O valor da constante positiva k para o qual a reta y=k é tangente à circunferência de equação

(x − 1)2 + (y + 2)2 = 9

a) 3

01) y = 2x + 7 1 9 02) y = x + 2 2 1 03) y = x + 3 2

04) 2 05) 1 3

50

04) y = −2x + 6 05) y = −2x +

5 2


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01) reta y = 2x. 02) reunião das retas y = x e y = 2x. 03) reunião das retas y = x e y = –x. 04) reta y = –x. 05) reta y = x.

MATEMÁTICA


436. (UESC-2009) O conjunto dos pontos P(x,y) do plano XOY tais que a distância de P ao eixo OX é igual a 5 vezes a distância de P à reta 3 y − 4 x = 0 é a:


452. (UESB-2008) Sabendo-se que a reta

B

2

3  2 01) (x − 2) +  y −  = 5 2 

2

1 4 2 5 3 4

2

2

02) (x − 2) + (y − 1) =

1

2

2

5 4

2

2

05) (x − 2) + (y − 1) =

5 2

2

3 5  2 03) (x − 2) +  y −  = 2 4 

C

D

2

04) (x − 2) + (y − 1) = 5

x

3

454. (UEFS-09.1) As retas r : 2x − 3y + 5 = 0 e s : 3x − y + 4 = 0 se intersectam em um ponto M, centro da circunferência C, que tem como raio o valor do maior dos coeficientes angulares entre r e s. Uma equação geral dessa circunferência é:

3 5 d) < m2 < 4 4 5 3 e) < m2 < 4 2

a) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 7 = 0 b) x 2 + y 2 + 2x − 2y − 7 = 0 c) x 2 + y 2 − 4x + 4y − 16 = 0 d) x 2 + y 2 + 4x + 4y − 16 = 0

450. (UESB-2009) Uma reta t, tangente à circunferência de equação x 2 + y 2 = 10 no ponto T = ( 3 ,1 ) , intersecta os eixos coordenados nos pontos P e Q. O centro e o raio da circunferência que têm o segmento PQ como um diâmetro são, respectivamente, iguais a:

e) x 2 + y 2 + 4x − 4y − 39 = 0

455. (UEFS-07.1) Seja P o ponto intersecção das circunferências C1 = x 2 + y 2 + 6x − 1 = 0 e C2 = x 2 + y 2 − 2x − 1 = 0 que possui ordenada positiva, e O2 o centro da circunferência C2. As coordenadas do outro ponto de intersecção da reta que passa por P e O2 com a circunferência C1 são:

10 10 5 01) C =  , 3  , r = 3  2  5 10 02) C =  5 , 5  , r = 3  3 

a) ( -2; 3) b) ( 0, -1) c) ( 1, 0)

03) C =  5 , 5  , r = 5  3 

d) ( 2, 3) e) ( 1, 3)

456. (UEFS-06.2)

5 3 6 04) C =  , 3  , r = 3  5  6 10 05) C =  , 3  , r = 3  5 

451. (UESB-2007) Sabe-se que, na figura, OM e MN têm a mesma medida, MN é paralelo ao eixo OY e M (4,3).

A

circunferência

representada

na

figura

tem

equação

x 2 + y 2 − 2 3 x − 1 = 0 . A área da região sombreada mede, em u.a., 1 2π − 3 3 3 2 b) π− 3 3 1 c) 3π − 2 3 3

a)

Nessas condições, pode-se afirmar que uma circunferência que circunscreve o triângulo OPN é: 2

equação

2

04) (x − 2) + (y − 4) = 80

2

2

05) (x − 2) + (y − 4) = 20

2

2

01) (x + 4) + (y − 2) = 20 02) (x + 2) + (y − 4) = 20

2

2

2

2

da

( ( (

)

)

1 2π − 3 2 1 e) 3π − 3 2

d)

( (

) )

)

03) (x − 4) + (y − 2) = 20

51


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1 a) < m2 < 7 1 b) < m2 < 4 2 c) < m2 < 5

05) 2 2

e B = (1,1 ) e a circunferência, que passa por A e B, cujo centro é o ponto médio do segmento AB. Pode-se afirmar que a equação dessa circunferência é:

( )

0

04) 3 2

02) 5 2

453. (UESC-2008) Sejam os pontos do plano cartesiano A = ( 3, 2 )

pelo ponto P 0, 2 e é tangente à circunferência inscrita no quadrado ABCD, representada na figura. É verdade que: y

1

01) 6 2 05) 4 2

449. (UEFS-07.2) Uma reta de coeficiente angular positivo m passa

A

e a

circunferência de centro C (1,−1 ) e raio igual 5 u.c. são secantes, pode-se afirmar que a medida da corda determinada pelos pontos de interseção é igual, em u.a., a:

d) 9 e) 11

3

x − y −1= 0

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a) 3 b) 5 c) 7

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448. (UEFS-06.2) Um pássaro voa em linha reta de uma árvore A até pousar em um ponto P de um fio reto r. A partir dai voa, ainda em linha reta, até o telhado de uma casa C. Considerando-se, no sistema de coordenadas cartesianas, A = ( 0, 3 ) , r : y − x − 1 = 0 , C = ( 2, 5 ) e sabendo-se que o pássaro fez tal percurso pelo caminho de menor comprimento, pode-se afirmar que a soma das coordenadas de P é igual a:


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457. (UNEB-2004)

Classificação dos Prismas

Na figura, a reta r de equação

y = ax + 6 é tangente à

circunferência de equação x 2 + y 2 = 9 , no ponto T. Nessas condições, pode-se afirmar que o ângulo α que r faz com o eixo das abscissas mede, em graus, 04) 90 05) 80

458. (UESB-2004) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência. Sabendo-se que A = ( 1, 1 ) e B = ( 3, − 3) , pode-se concluir que os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo Ox têm abscissas iguais a: 04) 1 e 2 05) 0 e 4

Paralelepípedo d = a2 + b2 + c 2

459. (UESC-2007) A diagonal do retângulo de área máxima, localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y + 4x − 5 = 0 , mede 5 17 01) 2 02) 03)

05)

d=a 3

5 2

04)

5 2 4

Cubo

5 17 8

Área Lateral e Área Total Volume

A T = AL + 2 ⋅ AB

5 17 4

Paralelepípedo V = a ⋅b ⋅ c

Paralelepípedo A T = 2 ⋅ (ab + ac + bc )

GABARITO GEOMETRIA ANALÍTICA

V = AB ⋅ h

Cubo

Cubo

A T = 6a 2

V = a3

415. D

416. D

417. 03

418. 01

419. E

420. C

421. A

422. 03

423. 05

424. 04

425. B

426. 04

427. A

428. D

429. B

430. 01

431. 01

432. 01

433. 01

434. 05

435. 04

436. 02

437. 04

438. A

439. 01

440. 01

441. 01

442. B

443. D

444. 04

L  R 2 =   + b 2 2

445. D

446. 04

447. 02

448. B

449. B

450. 02

m2 = h 2 + b 2

451. 05

452. 04

453. 03

454. B

455. A

456. A

457. 01

458. 05

459. 05

*****

*****

*****

L a 2 =   + m2 2

Pirâmide

2

2

Geometria Espacial Prisma

Área Lateral e Área Total

A T = AL + A B

1 Volume da Pirâmide V = ⋅ A B ⋅ h 3

52


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01) – 4 e 0 02) – 4 e 2 03) – 2 e 1

Diagonal de um Paralelepípedo Reto-Retângulo e do Cubo

MATEMÁTICA


01) 120 02) 110 03) 100


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Tronco de Pirâmide

Tipos de Cone

Cone Reto

Cone Obliquo

Num Cone Re to Temos : g2 = h2 + R2

Área Lateral e Área Total de um Tronco de Pirâmide A T = AL + AB + A b

Volume de um Cone

Volume de um Tronco de Pirâmide

Vcone =

V=

(

h ⋅ AB + AB ⋅ Ab + Ab 3

1 2 πR h 3

)

Cilindro Área Lateral e Área Total A L = 2πRh Área Lateral e Área Total de um Tronco de Cone Reto

A T = A L + 2A b A T = 2πR(h + R) A L = π ⋅ (R + r ) ⋅ g

Volume de um Cilindro

A

T

= AL + AB + Ab

A

T

= π [R (g + R ) + r (g + r )]

Vcilindro = Vprisma Vcilindro = πR 2h Volume de um Tronco de Cone

Cone Área Lateral e Área Total AL = πRg A b = πR

V=

2

πh 2 R + Rr + r 2 3

(

)

A T = AL + A b A T = πR(g + R) Esferas Secções de um Cone

Propriedades 4 πR3 3 Área de uma Superfície A = 4πR 2 Volume da Esfera V =

I) II)

R' h' = R h A sec ção A base

=

h'2 h2

Poliedros Convexos

53


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A b = πR2

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Tronco de Cone

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464. (UESC-2008) Em uma pirâmide regular cuja base é o quadrado ABCD e o vértice é o ponto V, pode-se afirmar que:

1ª Condição - A superfície do sólido é formada somente de partes planas, sendo essas partes (ou faces) polígonos convexos. 2ª Condição - Duas faces nunca estão no mesmo plano. 3ª Condição - Cada aresta está contida somente em duas faces 4ª condição - O plano de cada face deixa o sólido todo num mesmo semi-espaço.

01) as retas BC e AD são concorrentes. 02) as retas AB e CV são reversas. 03) as retas AV e DC são ortogonais. 04) as retas AB e DC não são paralelas. 05) a reta BV é perpendicular ao plano ABC.

465. (UESB-2008) Seccionando-se uma pirâmide quadrangular regular, com um plano paralelo à base, obtém-se um troco de pirâmide cujas arestas da base medem 20u.c. e 50u.c., respectivamente, e cuja altura mede 45cm. Com base nas informações, é correto afirmar que a área lateral dessa região é igual, em u.a., a:

A intersecção de duas arestas é um vértice do poliedro e qualquer segmento de reta que una dois vértices não-pertencentes à mesma face é uma diagonal do poliedro. A nomenclatura dos poliedros convexos pode ser feita de acordo com o número de faces que eles possuem. Os principais poliedros convexos são: tetraedro (F = 4) octaedro (E = 8) pentaedro (E = 5) decaedro (E = 10) hexaedro (E = 6) dodecaedro(F = 12) heptaedro (E = 7) icosaedro (E = 20) Consideremos, novamente, o prisma, a pirâmide e o tronco de pirâmide.

01) 0,5 02) 0,8 03) 1,0

a) 2370 b) 2260 c) 2140

03) 9 π 8

04) 375π 05) 390π

462. (UEFS-08.2) A medida do raio da base de um cone circular reto, de volume V = 54π u.v. , é igual à média aritmética da altura e da geratriz desse cone. Assim, as dimensões do cone, altura, raio da base e geratriz, nessa ordem, formam uma

469. (UEFS-07.2) Um copo cilíndrico de raio 3cm e altura 12cm encontra-se numa posição vertical e totalmente vazio. Colocando-se em seu interior dezesseis bolinhas esféricas de gelo de mesmo raio r=1,5cm, pode-se afirmar que, após o degelo total das bolinhas, o liquido obtido

a) progressão aritmética de razão 1,5. b) progressão aritmética de razão 2. c) progressão geométrica de razão 1,5. d) progressão geométrica de razão 2. e) seqüência que não é uma progressão aritmética e nem geométrica.

a) transborda b) enche o copo até a borda. c) ultrapassa o meio do copo sem enchê-lo. d) atinge exatamente o meio do copo. e) não chega ao meio do copo.

463. (UEFS-08.2) Uma fita magnética de espessura igual a 0,5mm foi enrolada em torno de uma bobina de 5mm de raio, num total de 40 voltas. O comprimento total da fita, em metros, é, aproximadamente, a) 1,94 b) 2,40 c) 2,70

d) 1980 e) 1870

468. (UEFS-08.1) Se do hemisfério superior de uma esfera for retirada uma parte, de acordo com a figura, em que θ=60º, então o volume restante corresponde à fração do volume total da esfera, equivalente a 11 5 a) d) 6 12 7 13 e) b) 8 14 9 c) 10

461. (UNEB-2009) Um recipiente tem forma de um tronco de cone reto de bases paralelas e raios das bases medindo 9cm e 3cm. Considerando-se 10cm, a altura do recipiente, pode-se afirmar que sua capacidade, em cm3, é igual a: 01) 300π 02) 315π 03) 350π

04) 1,2 05) 1,5

467. (UEFS-08.1) O álcool anidro, utilizado na obtenção do álcool hidratado que abastece os veículos, é uma substância pura e sua densidade é de 790g/l, ou seja 1 litro pesa 791 gramas. Sendo assim, a massa de álcool anidro que enche totalmente um reservatório na forma de um paralelepípedo reto de dimensões 2,5m de comprimento, 2,0m de largura e 60cm de altura é igual a, em kg,

460. (UESB-2009) Girando-se a região do primeiro quadrante limitada pelas retas de equação 6y − 3x = 8 e 6y − x = 12 , em torno do eixo Oy, obtém-se um sólido de volume:

05) 8 π 9

05) 2200 10

2 de sua 3 capacidade tomada por um líquido. Se o recipiente tem 20cm de 15 diâmetro e cm de altura, então a quantidade, em litros, do π conteúdo do recipiente é:

S = (V − 2) ⋅ 360o

02) 2π

02) 2100 10

466. (UNEB-2008) Um recipiente cilíndrico está com

Nos três casos ocorre V +F= A + 2 Soma S das medidas dos ângulos da face

04) π

04) 2180 10

03) 2120 10

Contemos, para cada um deles, o número de V vértices, o número de F faces e o número A de arestas:

01) 8 π 3

01) 2080 10

470. (UNEB-2007) Quatro quadrados iguais são recortados dos cantos de um papelão retangular de 30cm de comprimento por 20cm de largura. Dobrando-se as abas para cima, tem-se uma caixa, sem tampa, cujo volume é uma função da largura dos quadrados recortados. O domínio dessa função é:

d) 3,22 e) 3,70

01) 02) 03)

54

{ x ∈ R; 0 < x < 10 } { x ∈ R; 0 < x < 15 } { x ∈ R; 10 < x < 15 }

04) 05)

{ x ∈ R; x > 10 } { x ∈ R; x > 15 }


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Todo sólido geométrico que satisfaz quatro condições é chamado de poliedro convexo. São elas:

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471. (UESB-2007) Uma empresa prepara caixas em forma de cubos, com volume V=343cm3. Para economizar espaço, elas ficam desmontadas e guardadas em uma gaveta, como mostra a figura.

Nessas condições, pode-se concluir que a área da base da gaveta, em cm2 é igual a:

Pretende-se construir uma caixa para embalagem de um produto em forma de uma pirâmide reta, de volume 96u.v, com base quadrada, de modo que a soma do comprimento da sua altura com o comprimento do lado da base é igual a 14u.c. Sabendo-se que existe uma pirâmide nessas condições cuja altura é igual a 8u.c; pode-se concluir que existe também uma outra pirâmide cuja altura x dada em unidade de comprimento e é tal que:

04) 294 05) 196

472. (UESC-2007) Um cone circular reto possui raio da base e altura iguais a 3cm e 4cm respectivamente. Ë correto afirmar que a área lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a:


01) 12 02) 24 03) 12π

01) x∈ N e x < 3. 02) x ∉ N e x < 4. 05) x ∈ N e 4 < x < 7.

04) 14π 05) 24π

478. (UEFS-06.1) Um frasco de remédio tem a forma de um cilindro circular reto com raio de 3cm e altura de 10cm e contém xarope em 2/3 de seu volume total. Se uma pessoa tomar, todos os dias, de 12 em 12 horas, 15ml desse xarope, então a quantidade de xarope existente no frasco é suficiente para, aproximadamente,

473. (UEFS-06.2) Um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retangular, que tem 10m de comprimento, 15m de largura e 3m de altura, está completamente cheio de água. Após serem utilizados 180000 litros, o nível da água restante no reservatório atingirá a altura de: a) 1,20m b) 1,60m c) 1,80m

a) 4 dias b) 5 dias c) 6 dias

d) 2,10m e) 2,40m

d) 7 dias e) 8 dias

479. (UESB-2005) A interseção de um plano a com uma esfera de raio R é a base comum de dois cones circulares retos inscritos na esfera, tais que o volume de um dos cones é o triplo do volume do outro. Com base nessa informação, pode-se concluir que a altura do cone de maior volume mede, em u.v., 5R 3R 01) 04) 2 4 3R 2R 02) 05) 2 3 4R 03) 3

474. (UEFS-07.1) Um lojista pretende colocar uma logomarca em bexigas esféricas de r cm de raio para enfeitar sua loja. As 1000 bexigas são encomendadas a uma empresa que personaliza cada bola por R$ 0,0r. Para saber o raio de cada bexiga, o lojista verifica que, ao inseri-la em um cilindro de 216πcm2 de área total, a bexiga o tangencia nas laterais e nas bases do cilindro. De acordo com tais condições, pode-se afirmar que o lojista gastará, em reais, a) 6,00 b) 12,00 c) 18,00

04) x ∉ N e x > 8. 05) x ∈ N e x > 10.

d) 60,00 e) 120,00

480. (UESC-2005) Considere-se uma caixa em forma de um prisma regular de altura igual a 5cm, tendo como base um hexágono de lado igual a 2cm. Com base nessa informação, pode-se concluir que o volume da maior esfera que é possível se guardar nessa caixa mede, em cm3,

475. (UESB-2006)

62,5π 3 32π 02) 3 01)

Um reservatório em forma de cilindro circular reto é interceptado por um plano - paralelo ao seu eixo e a 6 dm de distância desse eixo - que determina uma seção meridiana angular ABCD com área igual a 8dm2. Sendo iguais a altura e o raio da base do cilindro, pode afirmar que a capacidade do reservatório é, igual, em litros , a 01) 0,2 2 π

04) 16π

02) 1,6 2 π

05) 16 2 π

04) 4π 3 05) π 3

03) 12π 3

481. (UEFS-05.2)

03) 2 2 π A figura representa um prisma reto de base triangular. Sobre as retas e os planos determinados pelos vértices do prisma, pode-se afirmar:

476. (UNEB-2005) A razão entre o volume de um cubo e o volume de um cilindro circular reto inscrito nesse cubo é igual a: 4 π 2 02) π 1 03) π 01)

1 2π 1 05) 4π 04)

a) As retas AB e A’B’ são reversas. b) A reta AA’ não é paralela ao plano BB’C. c) A reta AB é paralela à reta B’C’. d) As retas BC e A’B’ são reversas. e) A reta AB’ é perpendicular ao plano ABC.

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01) 588 02) 441 03) 392

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477. (UESB-2006)

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487. (UEFS-03.2) Uma quantidade de óleo ocupa uma lata cilíndrica até uma altura de 12cm. Transferindo-se o óleo para outra lata, também cilíndrica, com raio igual a 1,4 vezes o raio da primeira, a altura alcançada, nesse segundo recipiente, mede, aproximadamente, em cm,

482. (UNEB-2003)

a) 6,1 b) 7,5 c) 8,0

488. (UNEB-2002) A área de uma face, a área total e o volume de um cubo são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, a medida da aresta desse cubo, em unidades de comprimento, é igual a:

Sobre a pirâmide VABC, da figura, tem-se: A aresta VA é perpendicular ao plano da base. A base é um triângulo eqüilátero de lado igual a 1u.c. 3 u.v. 12 Com base nessas informações, pode-se concluir que a área da face VBC mede, em unidades de área, 04)

7 2

02)

3 4

05)

7 4

03)

GABARITO GEOMETRIA ESPACIAL

2 3

483. (UEFS-03.1) A razão entre a área da base de um cilindro circular reto e a sua área lateral é igual a 2. Assim, se o volume do cilindro mede 128πm3, a altura mede, em metros, a) 6 b) 5 c) 4

04) 16 05) 36

460. 05

461. 05

462. A

463. E

464. 02

465. 02

466. 03

467. A

468. D

469. C

470. 01

471. 01

472. 05

473. D

474. D

475. 05

476. 01

477. 01

478. C

479. 02

480. 04

481. D

482. 05

483. E

484. A

485. 04

486. A

487. A

488. 05

*****

Números Complexos

d) 3 e) 2

i0 = 1 i2 = −1 i = −1  1  i = i i3 = −i

484. (UEFS-02.2) Uma empresa de embalagens fabrica latas, na forma de um cilindro circular reto, de dois tamanhos. Uma lata, X, possui raio r e altura 2h e a outra, Y, tem raio 2r e altura h. Com bases nesses dados e sabendo-se que essas latas são feitas do mesmo material, pode-se concluir:

a − parte real de z Forma Algébrica z = a + b ⋅ i  b − parte imaginária de z Quando a≠0 e b≠0, temos z = a + bi , e o número complexo é chamado imaginário. Quando a = 0 e b≠0, temos z = a + bi , e o número complexo é chamado imaginário puro. Quando b = 0, temos z = a + 0i = a , e o número complexo, nesse caso, identifica-se como o número real de a.

a) A empresa gasta mais material para construir a lata Y do que a lata X. b) A empresa gasta a mesma quantidade de material para construir os dois tipos de latas. c) A capacidade da lata X é maior do que a da lata Y. d) A capacidade da lata X é maior, se 0 < h < 1. e) Os dois tipos de latas possuem a mesma capacidade.

Oposto de um Número Complexo z = a + bi Oposto − z = −a − bi

485. (UNEB-2002)

Conjugado de um Número Complexo z = a + bi

Conjugado z = a − bi

Igualdade de Números Complexos a = c a + bi = c + di ⇔  b = d

Na figura, tem-se um cubo de volume 27u.v. O sólido S, obtido ao se retirar desse cubo o tetraedro ABCD, tem volume igual 01) 13,5 u.v. 02) 21,7 u.v. 03) 22,0 u.v.

Operações com Números Complexos

04) 22,5 u.v. 05) 24,0 u.v.

Adição z1 + z 2 = a + bi + c + di = (a + c ) + (b + d) ⋅ i

486. (UEFS-04.1) Sendo Ve o volume de uma esfera inscrita em um cilindro circular reto de volume VC, pode-se afirmar que o volume compreendido entre o cilindro e a esfera é: 1 VC 3 1 b) VC 2 4 c) VC 7 a)

Subtração z1 − z 2 = z1 + ( − z 2 ) = a + bi + (−c − di) = (a − c ) + (b − d) ⋅ i Multiplicação z 1 ⋅ z 2 = (a + bi ) ⋅ (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd ) + (ad + bc ) ⋅ i

3 VC 4 2 e) VC 3 d)

Divisão z1 z ⋅z (a + bi ) ⋅ (c − di ) = ac − adi + bci − bdi 2 = 1 2 = (c + di ) ⋅ (c − di ) z2 z2 ⋅ z2 c 2 − (di )2

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3 3

01) 3 02) 6 03) 9

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O volume é igual a

01)

d) 9,5 e) 10,0

493. (UESB-2003) O argumento principal do número do número complexo z = 3 − i é:

1 1 1 ⋅ (a − bi ) a − bi = = = (a + bi ) ⋅ (a − bi ) a 2 + b 2 z a + bi

a) 330º b) 310º c) 250º

Módulo e Argumento de um Número Complexo

494. (UNEB-2007) Considere-se o número complexo z = 1 + 2i . Sobre o argumento principal, θ, e o módulo, w = (z + i) ⋅ (z − i) , podese afirmar:

Módulo z = a 2 + b 2

θ = Arg( z ) a b cos θ = e senθ = z z

3π < θ < 2π e w = 2 2 3π 02) π < θ < e w =2 5 2 3π 03) π < θ < e w =1 2 01)

Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos z = z ⋅ (cos θ − i ⋅ senθ)


Radiciação z w =

n

n

π 6 π 02) 3 2π 03) 3

θ + 2kπ θ + 2k π   z ⋅  cos + i ⋅ sen  n n  

496. (UEFS-08.2)

a) b)

04) π e 2 05)

3π e 4 2

1 3

afirmar

que

d)

3

e) 3

5

2 e

7π 4 3π e) 4 e 4 d) 4 e

498. (UEFS-09.1) A seqüência (z n ) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo e razão são, respectivamente, iguais a z1 = 1 − i e q = i . Nessas condições, pode-se concluir que

tais que z1 + i ⋅ z 2 = 3 e z 2 + i ⋅ z1 = i + 2 , é correto afirmar: a) Re (z1) = 2 Re( z 2 )

d) z1 = z2

b) Re (z1 − z 2 ) = 0

e) z 2 ∈ R

a) – 1 b) – i c) 1

Sendo

i∈C ,

o

valor

z3 z5

é igual a:

d) i e) 1 + i

499. (UESB-2008) O número z = 3 + i , na forma trigonométrica, corresponde a:

c) z1 = z 2 da

soma

S = 1 + i + i2 + i3 + ... + i330 é: 01) – i 02) 1 – i 03) 1

pode-se

2

3π 4 5π b) 2 e 4 5π c) 2 2 e 4 a)

491. (UEFS-07.2) Com relação aos números complexos z1 e z 2 ,

492. (UESC-2006)

w = 3i ,

497. (UEFS-08.1) Somando-se o sexto e o sétimo termo da seqüência ( 2i, − 2, − 2i, ... ) obtém-se um número complexo cujo módulo e argumento principal são, respectivamente, iguais a:

04) 0 05) −

Sendo

c) 2

Considerando-se o número complexo 490. (UESB-2007) z = (−2i + 3 ) + (3 x + i) ⋅ (2 − 3 xi) um imaginário puro, pode-se afirmar que o valor de x é: 01) 3 2 02) 3 1 03) 3

7π 6

05)

z = w 2 − 2iw + (1 + i) é um número complexo, cujo módulo é igual a:

489. (UESB-2006) Se f (x ) = x 3 + 2 x 2 − 3 x + 2 , então f () i é um número complexo cujos argumento principal e módulo são, respectivamente, π e 4 4 π 02) e1 3 π e 4 03) 2

w =1

04) π

01)

⋅ [cos(n ⋅ θ) + i ⋅ sen(n ⋅ θ)]

01)

w =2 5

que z 2 = z . Nessas condições, pode-se concluir que o argumento principal de z mede, em radianos,

z1 z1 = ⋅ [cos(θ1 − θ2 ) + i ⋅ sen(θ1 − θ2 )] z2 z2

Potenciação zn = z

π <θ<π e 2 π 05) <θ<π e 2 04)

495. (UNEB-2004) O número complexo z = a + bi , a, b ∈R , é tal

Multiplicação z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 ⋅ [cos(θ1 + θ2 ) + i ⋅ sen(θ1 + θ2 )]

Divisão

d) 60º e) 30º

01) 2 ( cos 45º + i sen 45º )

04) 2 ( cos 60º + i sen 60º )

02) 2 ( sen 30º + i cos 30º )

05) 2 ( sen 45º + i cos 45º )

03) 2 ( cos 30º + i sen 30º )

04) i 05) 1 + i

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z −1 =

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Inverso de um Número Complexo

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500. (UESC-2007) Na forma trigonométrica, o número complexo 1+ i

é representado por:

01)

  π  π  2 ⋅ cos  − i ⋅ sen   4   4

02)

 π  π  2 ⋅ cos  + i ⋅ sen  4  4    

03)

  5π   5π  2 ⋅ cos  + i ⋅ sen   4    4 

04)

  3π   3π  2 ⋅ cos  + i ⋅ sen    4   4  

05)

  7π   7π  2 ⋅ cos  − i ⋅ sen  4    4  

Os pontos P e Q, na figura, são afixos dos números complexos z1 e z2. Sabendo-se que OP = 2u.c. e que OQ = 4u.c., pode-se afirmar z que o argumento principal e o módulo de 2 são, respectivamente, z1 01) 0º e 3 02) 30º e 2 03) 45º e 4


501. (UEFS-07.1) Considerando-se os números complexos    4π   4π   π  π  z1 = 2 ⋅ cos  + i ⋅ sen  e z 2 = 2 ⋅ cos  + i ⋅ sen  , é  3   3   4  4    correto afirmar que o valor de

(

(

(

)

(

)

(

)

− 1− 3 − i ⋅ 1− 3 2

e) − 1 − 3 − i ⋅ 1 − 3

2 2 ⋅ z1 é: z2

)

− 1− 3 + i ⋅ 1− 3 c) 2 d)

505. (UNEB-2005)

)

a) − 1 − 3 + i ⋅ 1 − 3 b) 1 − 3 + i ⋅ 1 − 3

Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos M, N e P, afixas dos números complexos m, n e p. Sabendo-se que m = n = p = 1 e que θ = 45 o , pode-se afirmar que m − n + 2p é igual a

502. (UEFS-08.1) Seja z = −1 + i um número complexo e z , o seu conjugado. Sabe-se que os afixos dos números complexos z, z 2, zz e z − z são os vértices de um quadrilátero convexo cuja área mede, em u.a., a) 2 b) 3 c) 5

04) 90º e 2 05) 120º e 3

01) − 2

04)

2 −i

02)

05)

2 − 2i

2 − 2i

03) 1 − 2

d) 6 e) 8

506. (UEFS-06.1)

503. (UESC-2009) Na figura, tem-se representado, no plano Argand-Gauss, um triângulo eqüilátero ABC inscrito numa circunferência com centro na origem e raio 2.

O número complexo z, representado na figura, é uma das raízes do polinômio P(x ) = x 3 + bx 2 + cx − 8 , com b e c números reais. Sabendo-se que α = 60O e OM=2, pode-se afirmar que a única raiz real de P(x) = 0 é: a) – 2 b) – 1 c) 0 Se α um número complexo e, n um número natural, tais que as raízes n-ésimas de α são os números complexos representados pelos vértices do triângulo, então (α + n) é igual a:

d) 1 e) 2

507. (UEFS-04.2) O afixo de um número complexo z = a + bi é um ponto da reta x + y = 1 . Sendo z = 5 , pode-se concluir que a − b é igual a

01) 8 i

04) 28 + 4 3 i

02) 3 + 8 i

05) 3 + 4 3 + 4i

(

)

03) 3 − 8 i

a)

5 −1

d) 3

b)

5 3

e) 5

c) 2

58


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(1 − i)2

MATEMÁTICA

z=

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504. (UESB-2005)

MÓDULO DE EXATAS 2009 forma

algébrica

número

complexo

a) pontos colineares. b) vértices de um triângulo eqüilátero. c) vértices de um triângulo retângulo. d) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio 1. e) pontos de uma circunferência com centro na origem e raio fi.

15

π π   Z =  cos + i sen  10 10  

(

01) 1 − 1 + i 3 2 02) 1 (1 − i) 2 03) −1

é:

)

509. (UEFS-05.1)

04) i

GABARITO NÚMEROS COMPLEXOS

05) − i

Considerando-se

o

número

complexo

1 3 7 z= + i , pode-se afirmar que z é igual 2 2


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MATEMÁTICA do

1 3 a) z = + i 2 2

3 1 d) z = − + i 2 2

1 3 b) z = − + i 2 2

1 3 e) z = − − i 2 2

490. 05

491. A

492. 04

493. A

494. 04

495. 03

496. D

497. C

498. D

499. 03

500. 03

501. A

502. D

503. 02

504. 04

505. 05

506. E

507. D

508. 05

509. A

510. C

511. E

512. 05

513. 05

514. D

*****

*****

*****

*****

Polinômios Função Polinomial P(x ) = a 0 x n + a1x n −1 + a 2 x n − 2 + ... + an −1x + an

3 1 c) z = − + i 2 2

a0 , a1, a 2 , ..., an −1 e an (coeficientes )  n n −1 + a 2 x n − 2 + ... + an −1x + an a0 x + a1x a (termo independen te)  n

510. (UEFS-02.1) Considere o número complexo z = 2 + 2i . O menor número natural não nulo, n, tal que zn tem parte imaginária nula é igual a: a) 2 b) 3 c) 4

Dado um polinômio P(x), chama-se valor numérico de P(x), para x=a, o número encontrado quando substituímos x por a e efetuamos as operações indicadas.

511. (UEFS-06.2) Considerando-se z = 1+ i, pode-se afirmar que a seqüência de números complexos z 2, z 4, ..., z 2n, ... com n inteiro positivo,

(

(termos dos polinômios )

Valor numérico de um polinômio

d) 5 e) 6

)

Raiz ou Zero de um Polinômio Dado um polinômio P(x) e um número a, dizemos que a é raiz ou zero do polinômio P(x) se, e somente se, P(a) = 0. a é raiz ⇔ P(a ) = 0

a) é uma progressão aritmética de razão i. b) é uma progressão aritmética de razão 2i. c) é uma progressão geométrica de razão i. d) é uma progressão geométrica de razão 2i. e) não é progressão aritmética nem geométrica.

Polinômio Identicamente Nulo Dado um polinômio P(x), dizemos que P(x) é identicamente nulo se, e somente se, P(x) = 0 qualquer que seja o valor de x. P(x ) = 0 ⇔ P(x ) = 0, ∀x ∈ C

512. (UESC-2009) A representação, no plano Argand-Gauss, do conjunto de x ∈ C ; − z + z = 2 i é uma reta:

{

489. 05

}

01) que não é paralela a nenhum dos eixos Ox e Oy e que passa pelo ponto (0, -1) 02) não paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (-1, 0). 03) paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (-1, 0). 04) paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, 1). 05) paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, -1).

Note que a condição necessária e suficiente para que P(x)=0 é que todos seus coeficientes sejam nulos, ou seja, P(x ) ≡ 0 ⇔ a0 = a1 = a2 = ... = an −1 = an = 0

Grau de um Polinômio Seja P(x) um polinômio não-nulo. Chamamos de grau de P(x) e indicamos por gr(P) o maior expoente de x tal que o coeficiente do termo onde esse expoente aparece seja diferente de zero.

513. (UNEB-2008) Os afixos dos números complexos z1 = −2 i , z2 e z3 são eqüidistantes do ponto P (0, 0 ) e são vértices de um triângulo eqüilátero. Nessas condições, pode-se concluir que z2 ⋅ z3 é: 01) igual a (1 − i ) .

Polinômios Idênticos Um polinômio é idêntico a outro se, e somente se, os coeficientes dos termos semelhantes são iguais.

02) igual a (1 + i ) .

P1 (x ) = P2 (x ) ⇔ a 0 = b 0 , a1 = b1, a 2 = b 2 , ..., a n −1 = b n −1 e an = bn

03) igual a

3+i .

Operações com Polinômios

04) um imaginário puro. 05) um número real.

Adição ou Subtração de Polinômios

514. (UEFS-09.1) Os afixos dos números complexos

Para somar ou subtrair polinômios, basta somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhante.

π π  3π   3π  u = cos  + i sen  v = cos  + i sen  e 4 4  4   4 

Multiplicação de Polinômios

 3π   3π  w = cos  + i sen  são, no plano Argand Gauss,  2   2 

Para multiplicar dois polinômios, basta multiplicar cada termo de um deles por todos os termos de outro e, depois, reduzir os termos semelhantes.

59


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A

MATEMÁTICA

508. (UESB-2009)

Observações:

• Se o número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, é raiz de multiplicidade k de uma equação algébrica de coeficientes reais, então o seu conjugado z = a — bi também será raiz de multiplicidade k dessa equação. • As raízes complexas não reais de uma equação algébrica de coeficientes reais ocorrem aos pares. Portanto, toda equação de grau ímpar, com coeficientes reais, admite pelo menos uma raiz real.

Teorema do Resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo x – a é o valor numérico de P(x) para x = a, ou seja, R = P(a). Teorema de D’Alembert Um polinômio P(x) é divisível por x – a se, e somente se, P(a)=0

Raízes racionais

Teorema:

Dispositivo Prático de Briot-Ruffini Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x3 – 5x2 + x — 2 por x — 2:

p , p e q primos entre si, for raiz da q equação algébrica de coeficientes inteiros, p será divisor de a e q será divisor de an. Se o número racional

1. Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem decrescente dos expoentes de x, conforme o dispositivo ao lado, e repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo.

Relações de Girard Equação do 2ºgrau b  S = x,+ x,, = − a 2 ax + bx + c = 0  c P = x,⋅x,, =  a

2. Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto ao segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste último.

Equação do 3ºgrau b  x1 + x 2 + x 3 = − a  c  ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 x1x 2 + x1x 3 + x 2 x 3 = a  x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = − d  a

3. Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2 coeficiente e adicionamos o produto ao 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo dele, e assim sucessivamente.

Generalizando

a n x n + a n −1x n −1 + a n − 2 x n − 2 + ... + a 2 x 2 + a1x + a 0 a n −1   x1 + x 2 + x 3 + ... + x n −1 + x n = − a n   x x + x x + ... + x x + x x + x x + ... + x x = a n − 2 1 3 1 n 2 3 2 4 n −1 n  1 2 an   x1x 2 x 3 + x1x 2 x 4 + x1x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = − a n − 3  an  n a0  x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ ... ⋅ x n −1 ⋅ x n = (− 1) ⋅ an 

4. Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números que ficam à sua esquerda são os coeficientes do quociente.

Logo Q(x ) = 3 x 2 + x + 3 e R(x ) = 3

515. (UEFS-03.2) Os valores de K, L e M que tornam verdadeira a 3x − 1 K LX − M igualdade = + 2 , x ∈ R − {−2, 0, 2} são tais que: x x −4 x x2 − 4

Decomposição de um Polinômio em Fatores

(

ax 2 + bx + c = a ⋅ (x − x,) ⋅ (x − x,,) ax 3 + bx 2 + cx + d = a ⋅ (x − x,) ⋅ (x − x,,) ⋅ (x − x,,,)

a) K < L < M b) K < M < L c) L < M < K

Generalizando an x n + an −1x n −1 + ... + a1x + an an ⋅ (x − x,) ⋅ (x − x,,)...(x − x n )

)

d) L < K < M e) M < L < K

516. (UEFS-03.1) Sendo o polinômio P(x ) = 2x 3 + ax 2 + bx + c com a, b e c ∈R, divisível por D(x ) = x − 1 , pode-se concluir que a + b + c é igual a:

Raízes duplas, triplas etc Se duas, três ou mais raízes de um polinômio forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas etc.

a) 5 b) 3 c) 0

Uma raiz α do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x — a)2 e assim por diante. Raízes complexas Teorema: Se um número complexo z = a + bi, coma, b ∈ R e b ≠ 0, é raiz da equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então o seu conjugado z = a - bi é também raiz da mesma equação.

d) – 2 e) – 3

517. (UEFS-02.2) Considere o polinômio P(x ) = x 4 − 2x 3 + ax + b com a, b ∈ R. Se P(x) é divisível por (x + 1) e tem 2 como raiz, então a.b é: a) – 4 b) – 3 c) – 2

60

d) 2 e) 3


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MATEMÁTICA

Divisão de Polinômios

MATEMÁTICA



01) – 12 02) – 4 03) – 1

526. (UEFS-06.2) Sabendo-se que o polinômio P(x ) = 2x 3 + mx 2 + nx − 1 é divisível por Q(x ) = x 2 − 1 pode-se concluir que sua decomposição em um produto de fatores do grau é:

04) 3 05) 12

a) (2x + 1) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)

d) (x − 2) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)

b) (2x − 1) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)

e) (x − 2) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 1)

c) (−2x + 1) ⋅ (x − 1) ⋅ (x + 1)

519. (UEFS-08.2) O resto da divisão do polinômio P(x ) = x + x pelo 9

527. (UESB-2009) O número real m = 1 é uma raiz, de multiplicidade 3, do polinômio P(x ) = x 5 − 4x 4 + 14 x 2 − 17 x + 6 . Se a e b são as outras raízes de P(x), então é verdade que:

polinômio Q(x ) = x 2 − 1 é: d) −x e) 2x

01) a + b = 6 02) a + b = 1 03) a + b = −6

520. (UEFS-02.1) Sobre a divisão do polinômio P(x ) = 2x 3 − kx 2 + 3x − 2 pelo polinômio Q(x ) = x + 1 , é correto afirmar:

04) ab = 1 05) ab = −1

528. (UEFS-09.1) A soma e o produto das raízes do polinômio P(x ) = 2x 2 + bx + c são, respectivamente, - 6 e 5. Assim, o valor mínimo que P(x) pode assumir pertence ao conjunto:

a) O resto da divisão é igual a −7 − k . b) A divisão é exata para k = −1 . 2

a) {− 6 , − 4 , − 1}

d) {2 , 4 , 5 }

b) {− 5 , − 3 , − 0 }

e) {3 , 7 , 8 }

c) O quociente é igual a x − 2x + 2 para k = −3 . d) O resto da divisão é positivo para k > 5 . e) O polinômio P(x) tem um zero igual a 2, quando k = 0 .

c) {− 8 ,1, 6 }

521. (UESB-2004) A divisão do polinômio P(x) por D(x ) = x 2 − 2x + 1

polinômio P(x ) = x 3 + 4x 2 − 11x − k é -7, é correto afirmar que o conjunto-solução de p(x)=0 é:

529. (UEFS-07.1) Sabendo-se que a soma de duas raízes do

01) – 3 02) – 2 03) 0

a) {2, 3, 5} b) {-5, 2, 3} c) {-2, 3, 5)

04) 1 05) 4

530. (UESB-2006) Se o polinômio P(x ) = x 3 − 4x 2 + mx − 4 é tal que

522. (UESB-2006) Dividindo-se o polinômio P(x) por x 2 − 1 obtémse o quociente 4x e resto 3x + k, em que k é constante real. Se x=0 é uma das raízes do polinômio, pode-se afirmar que as outras raízes de P(x) são números: 01) irracionais 02)complexos conjugados 03) racionais não inteiros

suas raízes x1, x 2, x 3

01) – 6 02) – 3 03) 2

04) pares 05) impares

1 1 1 3 + + = , então a x1 x 2 x 3 2

04) 3 05) 6

531. (UESC-2002) O produto de duas das raízes do polinômio x 3 − 5x 2 + 8x − 6 é igual a 2 e X3, a outra raiz. Nessas condições, é correto afirmar que

P(x ) = Q(x ) verdadeira, então b + c é M(x )

01) X3∈Z e X3 < -1 02) X3∈Q – Z 03) X3∈ N e X3 ≤ 4

igual a: a) 0 b) 2 c) 4

satisfazem a

constante m é igual a:

523. (UEFS-05.1) Considerando-se os polinômios P(x ) = x 3 − 3x 2 + bx + c , M(x ) = x 2 − 4x + 5 e Q(x ) = x + 1 e sendo a relação entre os polinômios

d) {-5, -2, 3} e) {-5, -3, -2)

d) 5 e) 6

04) X3∈ R - Q e X3 ≤ 5 05) X3∉ R

532. (UNEB-2003) Sabendo-se que -1 é uma das raízes do polinômio P(x ) = x 3 − x 2 + x + 3 , pode-se afirmar que a soma dos módulos das outras raízes é igual a:

524. (UEFS-04.2) Dividindo-se o polinômio P(x ) = x 3 − x 2 + 2x + n

01) 6

04) 2 3

1 1 por D( x) = x − ,obtém-se resto igual a − e quociente 2 8 7 Q(x ) = x 2 + mx + .Com base nesses dados, pode-se concluir: 4

02) 4 3 03) 3

05)

a) m ∈ Z + e n ∈ Z − b) m ∈ Z- e n ∈ Z+ c) m ∈ Q - Z e n ∈ Z-

533. (UEFS-07.2) O argumento principal e o módulo do número π e OA = 3 . Sendo 6

complexo z, são respectivamente iguais a θ =

d) m ∈ Z+ e n∈ Q - Z e) m∈Q - Z e n∈ Q - Z

z uma das raízes do polinômio P(x ) = 2x 3 − 5x 2 + mx − n , m e n constantes pode-se afirmar que o valor da única raiz real de P(x) = 0 é:

525. (UESC-2007) A soma dos valores de m e n, de modo que o polinômio P(x ) = 2x 4 + 3x 3 + mx 2 − nx − 3 seja divisível pelo

a) – 2 1 b) − 2 3 c) 2

polinômio Q(x ) = x 2 − 2x − 3 é: 01) -19 02) -4 03) 42

3

04) 23 05) 4

61

d) 2 5 e) 2


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tem quociente Q(x ) = 2x 2 + x − 1 e resto R(x ) = 4x + 1 . Portanto, o resto da divisão de P(x) por x + 1 é igual

MATEMÁTICA

a) − x + 1 b) 2x + 1 c) 0


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MATEMÁTICA

518. (UESB-2007) Considerando-se que os polinômios P(x ) = x 3 − 2ax 2 + (3a + b)x − 3b e Q(x ) = x 3 − (a + 2b)x + 2a são divisíveis por x + 1, é correto afirmar que o valor de a + b igual a:


a) –1 b) 0 c) 12

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MATEMÁTICA

534. (UEFS-04.2) Os números 1 e i são raízes de um polinômio P(x), com coeficientes reais e grau 3. Sabendo-se que P(-1) = - 6, pode-se concluir que P(3) é igual a:

540. (UEFS-05.2) Sabe-se que o polinômio P(x ) = x 3 + 2x 2 + x + 2 possui uma raiz inteira. Com base nessa informação, pode-se afirmar que a raiz inteira e todas as raízes complexas pertencem ao conjunto;

d) 22 e) 30

a) {-2, 1, -2i, i, 2i} b) {1, 2, 3, -i, i} c) {1, 2, 3, -2i, 2i}

535. (UEFS-08.1) Na figura, x = k é uma das raízes do polinômio P(x ) = 2x 3 − 3x 2 + 1 .

d) {-1, 1,3, -i, i} e) {-2, 1, 3, -i, i}

541. (UESB-2008) O polinômio

P (x ) = x3 − 2x2 + x + k

terá um

número ímpar de raízes no intervalo ] − 1, 2 [ para valores reais de k é tal que: 01) – 2 < k ≤ 4 02) – 2 < k < 4 03) – 2 ≤ k ≤ 4

04) k ≤ – 2 ou k ≥ 4 05) K < – 2 ou k > 4

01)

A reta r, no gráfico, representa uma função do 1ºgrau cujo coeficiente linear é igual a:

polinômio

− 1− 3 i é uma das raízes complexas de P(x). 2

3i − 1 3i + 1 e são raízes complexas de P(x). 2 2 03) P(x) não tem raiz complexa. 04) 2 é raiz dupla de P(x). 05) P(x) tem três raízes reais. 02)

d) 3 e) 4

536. (UEFS-08.2) Os números complexos z = 2 − i e w = −2 + i são raízes de um polinômio com coeficientes reais e de grau 10. O número máximo de raízes reais que esse polinômio pode ter é igual a: a) 5 b) 6 c) 7

do

543. (UEFS-09.1) Um polinômio P, de grau n, tem o coeficiente do termo de maior grau igual é a 1 e suas raízes formam uma progressão geométrica de razão 3 cujo primeiro termo r1 = 3. Sabendo-se que o termo independente de P igual a 315, pode-se concluir que o grau de P é igual a:

d) 8 e) 9

a) 3 b) 5 c) 7

537. (UESC-2008) Sabendo-se que −1 + i é uma das raízes do polinômio P(x ) = x 4 + 2x3 + 6x2 + 8x + 8 , pode-se concluir que esse polinômio

d) 8 e) 10

544. (UESC-2009) Sabendo-se que P(x ) = −9 + 5 x + a 2 x 2 + ... + an x n é um polinômio cujos coeficientes a2, ... .a, são números inteiros, então sobre as raízes de p(x), pode-se afirmar que:

01) possui três raízes reais. 02) possui duas raízes reais a e b, tais que a + b = 0. 03) possui duas raízes reais a e b, tais que a.b = 4. 04) possui exatamente uma raiz real. 05) não possui raízes reais.

01) 0 pode ser uma dessas raízes. 02) 5 pode ser uma dessas raízes. 03) P(x) pode ter 8 raízes (distintas) que são números inteiros. 04) P(x) tem, no máximo 6 raízes (distintas) que são números inteiros. 05) P(x) tem, no máximo, 2 raízes (distintas) que são números inteiros.

538. (UEFS-08.1) Seja P(x ) = mx 2 + nx + t , com m, n, t ∈ R, m ≠ 0, um polinômio com duas raízes reais e distintas, tal que P(2) > 0 . Sendo assim é verdade afirmar:

GABARITO POLINÔMIOS

a) Para qualquer valor não nulo de m, as raízes de P(x ) são menores que 2. b) Se m > 0, então as raízes de P(x ) são menores que 2.

515. E

516.D

517. C

518. 03

519. E

520. A

c) Se m < 0, então as raízes de P(x ) são menores que 2.

521. 01

522. 03

523. E

524. C

525. 05

526. A

d) Se m > 0, então x = 2 está entre as raízes de P(x ) .

527. 02

528. C

529. D

530. 05

531. 03

532. 04

533. B

534. E

535. B

536. B

537. 05

538. E

539. 01

540. E

541. 02

542. 01

543. B

544. 04

e) Se m < 0, então x = 2 está entre as raízes de P(x ) .

539. (UNEB-2007) Sobre as raízes r1, r2 e r3 do polinômio  a2  2 2 2 P(x ) = (x + 2) ⋅  x 2 + ax − , sabe-se que r1 + r2 + r3 = 10 . 2   Assim, os possíveis valores da constante a são números: 01) irracionais de sinais opostos. 02) irracionais de mesmo sinal. 03) irracionais não inteiros. 04) inteiros de sinais opostos. 05) inteiros de mesmo sinal.

62


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a) 0 b) 1 c) 2

raiz

MATEMÁTICA


542. (UESB-2008) Sendo 2 a P (x ) = x3 − x2 − x − 2 , pode-se afirmar:

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MATEMÁTICA

547. (UESB-2007) O gráfico mostra a distribuição de salários dos funcionários de uma microempresa. Com base nessas informações, pode-se afirmar que a média de salário dos funcionários dessa empresa, em reais, é igual a:

Estatística Média Aritmética A média aritmética de um conjunto de n números x1, x 2 , x 3 ,..., x n

2000

será indicada por x e é definida como o quociente da soma dos números por n.

1500

n

∑ xi

x1 + x 2 + x 3 + ... + x n = i =1 n n Já, se tivermos n números x1, x 2 , x 3 ,..., x n e cada um deles

800

ocorrer, respectivamente, com os pesos p1, p 2 , p 3 ,..., p n , a média

400

x=

salários em reais


600 nº de funcionários

aritmética desses números é definida por:

3

n

x=

p1 ⋅ x1 + p 2 ⋅ x 2 + p3 ⋅ x 3 + ... + pn ⋅ x n = p1 + p 2 + p3 + ... + pn

∑ (pi ⋅ x i )

2

01) 950 02) 920 03) 910

i =1

n

∑ pi

5

7

3

04) 830 05) 820

i =1

548. (UNEB-2007) A tabela registra as alturas dos alunos de uma turma composta por 50 estudantes.

Analogamente, se tivermos n números x1, x 2 , x 3 ,..., x n e cada um deles apresentar, as freqüências f1, f2 , f3 ,..., fn , a média aritmética é

Altura Freqüência

n

∑ (fi ⋅ xi )

1,68 10

1,75 8

1,80 10

1,85 10

Chamando Ma a média aritmética das alturas; Me, a mediana das alturas e Mo, a moda das alturas, pode-se afirmar que:

n

∑ fi

Mediana É definida como o valor central ou como a média aritmética simples dos valores centrais. i =1

01) Ma < Me < Mo 02) Mo < Me < Ma 03) Me < Ma < Mo

Moda É o elemento que ocorre com a maior freqüência, ou seja, é o elemento mais repedido ou mais comum.

04) Me < Mo < Ma 05) Mo < Ma < Me

549. (UNEB-2005)

Desvio A diferença entre cada um dos valores dados e a média aritmética, nessa ordem. Indicamos o desvio de um dado x i = x i − x .

Variância - Média aritmética dos quadrados dos desvios. n

2

Sx =

(

∑ xi − x i =1

O gráfico de setores ilustra o resultado de uma pesquisa, feita com um grupo de 1280 eleitores, sobre a manutenção do horário político no rádio e na TV, em períodos que antecedem as eleições. Se o setor A corresponde às 576 pessoas que acham que o horário político deve acabar, o setor B corresponde ao número de pessoas que acham que esse horário deve continuar, e o setor C corresponde ao número de pessoas que não têm opinião formada, então o número de pessoas que compõem o setor C é igual a:

)

n

Se x1, x 2 , x 3 ,..., x n ocorrem, respectivamente, com as freqüências

f1, f2 , f3 ,..., fn , a variância é definida por: n

2

Sx =

(

∑ fi ⋅ x i − x i =1

n

)

01) 224 02) 342 03) 386

n

, em que n = ∑ fi i =1

545. (UEFS-08.1) O número de pontos obtidos por 250 candidatos que fizeram as provas de um concurso foi distribuído em três planilhas distintas, P1, P2 e P3, de modo que P1 contém a pontuação de 75 candidatos, P2 contém a pontuação de 85 candidatos e P3 contém a pontuação de 90 candidatos. Sabendo-se que a média aritmética dos pontos contidos em P1 e P2 é 70, que a média aritmética dos pontos contidos em P1 e P3 é 60, pode-se afirmar que a média aritmética dos pontos obtidos pelo total de candidatos é igual a: a) 68,0 b) 69,3 c) 70,2

04) 458 05) 480

550. (UNEB-2002)

d) 71,1 e) 72,0

546. (UESC-2002) Para ser aprovado num curso, um aluno deve alcançar média mínima igual a 7,0, calculada como a metade da soma das notas de duas provas. Um aluno obteve média igual a 6,5 e estima que, se mantida a nota que obteve em uma das duas provas, então, para ser aprovado, precisaria ter obtido, na outra prova, uma nota, pelo menos, 20% maior do que a nota que de fato obteve naquela prova. A partir dessa informação, pode-se concluir que a maior das duas notas obtidas pelo aluno foi igual a:

O gráfico representa o resultado de uma pesquisa feita em um município, no mês de junho de 2001, a fim de analisar a redução do consumo de energia em residências, tendo-se em vista a meta fixada pelo governo, e com base na seguinte pergunta: "Qual a redução conseguida em relação à meta"? A partir dessa informação e sabendo-se que o percentual para cada resposta é proporcional à área do setor que o representa, o ângulo do setor correspondente à resposta "Menor" é igual a:

01) 5,0 02) 6,5 03) 7,0

01) 108,3° 02) 118,8° 03) 142°

04) 8,0 05) 9,5

63

04) 151,2° 05) 160°


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i =1

1,56 12

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definida por:


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551. (UESB-2006) Para avaliar os resultados de um curso, foi feito um levantamento estatístico relativo à freqüência dos alunos matriculados e verificou-se que:

555. (UEFS-03.2)

• 8% dos alunos não freqüentaram as aulas; • 20% dos alunos que freqüentaram as aulas não obtiveram a freqüência mínima necessária para serem aprovados; • dos demais alunos, apenas 75% foram aprovados. Sabendo-se que apenas 69 dos alunos matriculados foram aprovados, pode-se concluir que o número de alunos reprovados foi igual a: 01) 39 02) 45 03) 48

O gráfico representa a quantidade de desempregados numa região, a partir de determinado dia. Sabendo-se que os segmentos MN e PQ são paralelos, pode-se concluir que o número de pessoas desempregadas, 6 anos após o início das observações, é igual a:

04) 50 05) 56

a) 5000 b) 4800 c) 4200

552. (UNEB-2004)

d) 3580 e) 3200

545. C

546. 04

547. 02

548. 05

459. 01

551. 05

552. 03

553. C

554. 03

555. A

550. 04

UFBA-07.1ª etapa Questão 01. Sobre números reais, é correto afirmar:

01) 4,43 . 02) 4,86 03) 5,85

(01) Se a é o maior número de três algarismos divisível por 7, então a soma de seus algarismos é igual a 22. (02) Se a é um múltiplo de 3, e b é um múltiplo de 4, então a.b é múltiplo de 6. (04) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a.

04) 6,20 05) 5,58

553. (UEFS-02.2) Um professor resolveu regraduar as notas de uma prova, considerada difícil, mantendo a nota máxima, ainda como 10 e a nota 5 passando a ser 6, de modo que o ponto ( x, y), em que x é a nota original e y a nota regraduada, esteja sobre uma reta. Com base nessas informações, se, na nova graduação, 7 é a nota mínima para aprovação, então a nota para aprovação, correspondente na graduação original, é: a) 5,75 b) 6,00 c) 6,25

(08) Se a e b são números reais tais que a ≤ b , então b é positivo. (16) Para quaisquer números reais a e b, a − b ≤ a + b . (32) Dados quaisquer números reais a, b e c, se a ≤ b então a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

d) 6,50 e) 7,00

Questão 02. Um comerciante compra determinado produto para revender. A diferença entre o preço de venda e o preço de custo, quando positiva, é chamada de “lucro por unidade”. O comerciante estabeleceu um preço de venda tal que o seu lucro seja 50% do preço de custo. Com base nessas informações, é correto afirmar:

554. (UNEB-2003)

(01) O lucro total obtido é diretamente proporcional à quantidade vendida. (02) O preço de venda é 150% maior que o preço de custo. (04) Se o comerciante conceder um desconto de 20% sobre o preço de venda, então terá um lucro de 20% sobre o preço de custo. (08) Se o preço de custo aumentar em 10%, e o preço de venda for mantido, então o lucro será 40% do preço de custo após o aumento. (16) Se o comerciante fizer uma promoção do tipo “Leve 4 unidades e pague apenas 3”, então isso representará, para o cliente, um desconto total de 25%. (32) Se, nos meses de janeiro e fevereiro de 2006, o lucro do comerciante cresceu exponencialmente a uma taxa mensal de 2% em relação ao mês anterior, então, ao final de fevereiro, o lucro foi 4,04% maior que o lucro ao final de dezembro de 2005.

O gráfico representa a distribuição de freqüência do número de gols que um time de futebol fez por partida, nos doze jogos de que participou em um campeonato. Com base nessas informações, a média do número de gols feitos, por partidas, por esse time, nesse campeonato, foi igual 01) 3,00 02) 2,75 03) 2,25

04) 2,20 05) 2,00

64


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Se o gráfico representa a distribuição das médias aritméticas (Ma) obtidas por um grupo de alunos em uma prova, então a média aritmética dessas notas é, aproximadamente, igual:

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GABARITO ESTATISTÍCA


Questão 05. Considerando-se as funções f (x ) = x − 2 e g(x ) = 2x , definidas para todo x real, e a função h(x ) = log3 x , definida para todo x real

(01) Se a função afim m(x ) = ax + b , a ≠ 0 , é crescente, então a > 0 ou x > −

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MATEMÁTICA

Questão 03. Com base nos conhecimentos sobre funções, é correto afirmar:

positivo, é correto afirmar:

b . a

(01) O domínio da função

(02) Se a função afim p(x ) = ax + b , a ≠ 0 , é decrescente, então a

g é o conjunto dos números reais h

positivos.

b função é negativa para todo x < − . . a

(02) A função

(04) Se a função quadrática n(x ) = ax 2 + bx + c é par, então b = 0 .

(04) A função composta hog é uma função linear.

(08) Se a figura representa um esboço do gráfico da função

(08) O gráfico da função hof intercepta o eixo Ox em um único ponto. (16) O gráfico da função fog intercepta o gráfico de h(x) no ponto

quadrática r(x ) = ax 2 + bx + c , então b é um número real negativo. y

f ⋅h se anula em dois pontos. fog

de abscissa igual a 1. x

(32) Se g(h(a)) = 8 e h(g(2b)) = log3 8 , então

(16) Se a função quadrática h(x ) = ax 2 + 4x + c h admite valor

Questão 06. Com base nos conhecimentos sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, é correto afirmar: (01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica.

(32) Se a função real f (x ) = ax 4 + bx 2 + c , com a ≠ 0, possui apenas duas raízes reais positivas distintas, entre suas raízes, então a possui duas raízes reais

 x 2  é inversível, então x é um número racional. (02) Se a matriz  1 x (04) Se x é um número real não nulo e

Questão 04. A vitamina C é hidrossolúvel, e seu aproveitamento pelo organismo humano é limitado pela capacidade de absorção intestinal, sendo o excesso de ingestão eliminado pelos rins. Supondo-se que, para doses diárias inferiores a 100mg de vitamina C, a quantidade absorvida seja igual à quantidade ingerida e que, para doses diárias maiores ou iguais a 100mg, a absorção seja sempre igual à capacidade máxima do organismo – que é de 100mg –, pode-se afirmar, sobre a ingestão diária de vitamina C, que são verdadeiras as proposições

x x

−1

(08)

(16)

− x2

= a então 0 1 1 Se

b−a ≠

(01) Para a ingestão de até 100mg, a quantidade absorvida é diretamente proporcional à quantidade ingerida. (02) Para a ingestão acima de 100mg, quanto maior for a ingestão, menor será a porcentagem absorvida de vitamina ingerida. (04) Se uma pessoa ingere 80mg em um dia e 120mg no dia seguinte, então a média diária da quantidade absorvida nesses dois dias foi de 100mg. (08) A razão entre a quantidade ingerida e a quantidade absorvida pelo organismo é igual a 1. (16) A função f que representa a quantidade de vitamina C absorvida pelo organismo, em função da quantidade ingerida x, é

x2

x

o

1

1 3 = a3.

− x −1 x

sistema

linear

x − y = b é impossível,  2x + ay = 3

então

7 . 2

O

sistema

linear

(a + 1)x − (a − 1)y = b é  (a − 1)x + (a + 1)y = c

possível

e

determinado, quaisquer que sejam os valores reais de a, b e c. (32) Existe um número real a, não nulo, tal que o sistema linear

x + ay + z = 0 homogêneo  admite uma única solução. 2x − ay − 3z = 0

Questão 07. Considerando-se um triângulo retângulo isósceles ABC, um ponto D tal que AD = BD e o ângulo DBC que mede 150º, representados na figura, é correto afirmar:

x , se 0 ≤ x < 100 dada por f (x ) =  100, se x ≥ 100 (32) O gráfico abaixo representa a quantidade de vitamina C absorvida pelo organismo em função da quantidade que foi ingerida.

(01) O quadrilátero ADBC é um trapézio. (02) O triângulo ADB é eqüilátero. (04) O ângulo CAD mede 105º. 2

(08) A área do quadrilátero ADBC é igual a

AB 4

( 3 + 2).

DC , então 2 < x < 3. AB (32) Se P(x, y) é o ponto de interseção das medianas do triângulo (16) Se x =

ABC, sendo B(2,3) e C(4,1), então x + y =

65

11 . 3


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função quadrática g(x ) = ax 2 + bx + c positivas distintas.

MATEMÁTICA


máximo 1 no ponto de abscissa −2, então c − a = 4 .

a = 18 . b


(08) A função f é inversível e sua inversa é a função

x −b h : ]b, + ∞ [→ R , dada por h( x) = loga   .  c  (16) A função f pode ser obtida como a composta de uma função afim e uma função exponencial. (32) A equação f(x) = b tem uma única solução real.

Questão 03. Uma caixa contém quatro varetas azuis, medindo 1cm, 3cm, 4cm e 7cm, e três varetas verdes, medindo 2cm, 3cm e 4cm. Com relação às varetas da caixa, é correto afirmar: (01) A média aritmética e a mediana dos comprimentos das varetas são iguais. (02) O desvio-padrão dos comprimentos das varetas verdes é igual 2 . 3 (04) Escolhendo-se, ao acaso, uma vareta, a probabilidade de ser a

Questão 09. Na figura ao lado, todos os triângulos são retângulos isósceles, e ABCD é um quadrado. Nessas condições, determine o quociente

5 . 7 (08) Escolhendo-se, ao acaso, duas varetas, sem reposição, a azul ou ter comprimento maior que 4 cm é igual a

GH . CE

3 . 7 (16) Existem exatamente nove maneiras distintas de escolher três varetas que formem um triângulo isósceles. (32) Existem exatamente 5040 maneiras distintas de se enfileirar as varetas. probabilidade de serem da mesma cor é igual a

Questão 04.  0 −1  , sendo k um número real, Considerando-se a matriz M = k 1 0  é correto afirmar:

Determine o valor de b.

(01) M é uma matriz simétrica, para qualquer k. (02) M é uma matriz inversível se e somente se k ≠ 0 e, nesse 1  0 1  . k  − 1 0  (04) Para algum valor de k, M é a matriz identidade de ordem 2. (08) Identificando-se um ponto genérico (x, y) do plano cartesiano com a matriz-linha (x y) de ordem 1 x 2, se k = 1 e (x, y) ≠ (0,0), então os pontos identificados por (0 0), (x y) e (x y)M são vértices de um triângulo retângulo isósceles. (16) Dados dois números reais a e b, se k ≠ 0, então o sistema de caso, M−1 =

UFBA-08.1ª etapa Questão 01. Uma pessoa contraiu um empréstimo no valor de R$1000,00 para ser quitado, no prazo de dois meses, com pagamento de R$1300,00. Com base nessa informação, é correto afirmar:

 x  a b a equações M  =   tem uma única solução x = , y = − . k k  y  b 

(01) A taxa bimestral de juros é de 30%. (02) A taxa mensal de juros simples é de 13%. (04) A taxa mensal de juros compostos é de 15%. (08) Em caso de atraso do pagamento, considerando-se a taxa mensal de juros simples de 16,2% incidindo sobre o valor da dívida na data do vencimento, o valor da dívida, no 10º dia de atraso, será igual a R$1370,20. (16) Em caso de a dívida ser quitada 15 dias antes do vencimento, aplicando-se a taxa de desconto simples de 7% ao mês, o valor pago será de R$1 209,00.

Questão 05. Sendo r a reta no plano cartesiano representada pela equação 2x + 3y = 5 , é correto afirmar: (01) A reta paralela à reta r que passa pelo ponto (−3, 0) pode ser representada pela equação 2x + 3y = − 6 . (02) A reta perpendicular à reta r que passa pela origem pode ser representada pela equação − 3x + 2y = 0 .

Questão 02.

5  (04) Para cada c ∈ R −   , existe uma única circunferência com 2

Considerando-se a função f : R → ]b, + ∞] dada por f( x) = ca x + b , com a, b, c ∈ R, c > 0 e 0 < a ≠ 1, é correto afirmar:

centro (c, 0) que é tangente à reta r. (08) O triângulo cujos vértices são a origem e os pontos de interseção da reta r com os eixos coordenados tem área igual a

(01) O ponto (0, b) pertence ao gráfico de f. (02) A função f é crescente se e somente se a > 1 e b > 0. f( x + 1) − b é constante. (04) A função g: R → R dada por g( x) = f ( x) − b

25 unidades de área. 12

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Questão 10. Considerando que os números reais a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica e satisfazem a igualdade, 1 log2 a + + 2 log4 c = 9 logb 2

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Questão 08. Com base nos conhecimentos sobre geometria espacial, pode-se afirmar: (01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então toda reta perpendicular à reta r é também perpendicular ao plano α. (02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe um único plano passando por P, paralelo à reta s. (04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s é reversa a r, então a reta s intercepta o plano α. (08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma reta perpendicular a α, que não está contida em β, então r é paralela a β. (16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro. (32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma reta ou um ponto.


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Questão 09. Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura, em relação ao terreno, é uma função quadrática de sua distância à reta que contém o mastro.

(16) A imagem da reta r pela rotação de ângulo de 60º, em torno do

5  ponto  , 0  , no sentido anti-horário, coincide com o eixo das 2  abscissas. (32) Dado um ponto (a, b)∉ r, existem infinitas circunferências de centro (a, b) que interceptam r.

O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Determine, em metros, a altura máxima alcançada pelo projétil.

Questão 10. A figura representa a circunferência com centro no ponto O e diâmetro AC medindo 168cm.

(01) Existem exatamente 16 segmentos de reta cujos extremos são vértices do cubo e que não são arestas do cubo. (02) Existem exatamente seis triângulos cujos vértices são o ponto P e dois vértices não consecutivos do cubo. (04) Existem exatamente 12 tetraedros cujos vértices são o ponto P e três vértices de uma mesma face do cubo. (08) A razão entre as medidas da diagonal e do lado do cubo é igual a 3 . (16) Qualquer triângulo cujos vértices sejam também vértices do cubo é um triângulo retângulo. (32) O volume do cubo é igual a seis vezes o volume de uma pirâmide cujos vértices são o ponto P e os vértices de uma mesma face do cubo.

Sabendo que o ângulo BÔC mede 60º, determine a medida, em centímetros, do raio da circunferência de centro P∈AC que tangencia o segmento AB e passa pelo ponto O.

UFBA-09.1ª etapa Questão 01. Sobre números reais, é correto afirmar:

com a13 = 72 e a15 = 18 , é correto afirmar: (01) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então todos os termos são positivos. (02) Se a14 = 30, então a seqüência não é uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica. (04) Se a seqüência é uma progressão aritmética, então a soma dos 15 primeiros termos é igual a 3105. (08) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então a120 . 2 (16) Se a seqüência é uma progressão geométrica, então a a121 = ±

Questão 02. Sobre a função f: [0, 1] → R, representada pelo gráfico ao lado, é correto afirmar:

seqüência log a1, log a2 , log a3 ,...,log an ,... , é uma PA. (32)

Se

a

seqüência

satisfaz

a

fórmula

de

recorrência

a 30 387 an +1 = n + , então a12 = . 3 4 2

Questão 08. Sendo a média aritmética de três números inteiros positivos distintos igual a 60, pode-se afirmar:

(01) A imagem da função f é o intervalo [0, 1]. 1 (02) Existe um único x∈[0, 1] tal que f (x ) = . 2

(01) Pelo menos um dos números é menor que 60. (02) Nenhum dos números é maior que 177. (04) Se os três números formam uma progressão aritmética, então um dos números é igual a 60. (08) Se um dos números é igual a 60, então o produto dos três números é menor que 216000. (16) Se os três números são primos, então um deles é igual a 2. (32) Se o máximo divisor comum dos três números é igual a 18, então os números são 36, 54 e 90.

 1 1  (04) A função f é decrescente em  0 ,  e crescente em  ,1  .  2 2  (08) A imagem da função g: [-1, 0] → R definida por g(x) = f(-x) é o intervalo [0, 1]. (16) f(f(f(0))) = 0 e f(f(f(1))) = 1. (32) fofof é a função identidade.

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(01) O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional. (02) O produto de qualquer número inteiro não nulo por um número irracional qualquer é um número irracional. (04) O quadrado de qualquer número irracional é um número irracional. (08) Se o quadrado de um número natural é par, então esse número também é par. (16) Todo múltiplo de 17 é um número ímpar ou múltiplo de 34. (32) A soma de dois números primos quaisquer é um número primo. (64) Se o máximo divisor comum de dois números inteiros positivos é igual a 1, então esses números são primos.

Questão 07. Considerando-se uma seqüência de números reais a1, a2, a3,..., an,... ,

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Questão 06. Considerando-se um cubo com centro em um ponto P, é correto afirmar:

MATEMÁTICA

Questão 03. Um grupo de 90 pessoas, interessadas em viajar de férias, contata uma companhia aérea que faz a seguinte proposta: se o número de pessoas que confirmarem a viagem for igual a n, cada uma delas pagará o valor p(n)=1600 - 10n pela passagem. Sendo A = {1, 2, ... , 90}, define-se a função p: A→R. Se o valor total a ser recebido pela Companhia é dado pela função r: A→R, definida por r(n) = 1600n - 10n2, então pode-se afirmar: (01) A função p é decrescente. (02) O valor de cada passagem é um número inteiro pertencente ao intervalo [700, 1590]. (04) Tem-se p(n) = 1352 para algum n∈A. (08) A função r é crescente. (16) Cada confirmação de viagem provoca um acréscimo constante no valor de r. (32) Existe um único n∈A tal que r(n) = 63000. (64) O valor total recebido pela Companhia será máximo, se n = 80.

Com base nas informações apresentadas e considerando-se o quadro de medalhas, é correto afirmar: (01) Do total de medalhas conquistadas, 37,5% foram de ouro. (02) A média do número de medalhas de prata conquistadas pelos seis países do quadro é igual a 0,5. (04) O desvio-padrão do número de medalhas de bronze

Questão 04. Considerando-se que a concentração de determinada substância no t

5 . 3 (08) A mediana do número de medalhas conquistadas pelos seis países do quadro é igual a 2. (16) Dos países sul-americanos participantes do evento, 50% não ganharam medalha de ouro. (32) Considerando-se que o número de medalhas de bronze conquistadas pelo Brasil, nesse evento, foi 50% menor que o obtido na Olimpíada de 2000, então o Brasil conquistou menos que seis medalhas de bronze na Olimpíada de 2000.

corpo humano é dada, em miligramas, por C(t ) = 15 ⋅ 2 4 , sendo t ≥ 0 o tempo, em horas, contado desde a ingestão da substância, é correto afirmar:

conquistadas pelos seis países do quadro é igual a

(01) A concentração inicial da substância é igual a 30mg. (02) Duas horas após a ingestão, a concentração da substância é 15 mg . igual a 2 (04) A imagem da função C é o intervalo [0, 15]. (08) A função C é decrescente. (16) Dado k∈]0, 15], o único valor de t que satisfaz a equação C(t)=k

 15  é t = 4 log2   .  k  (32) A cada período de quatro horas, o valor de C(t) se reduz à metade. (64) Se t1, t2, ... , tn é uma progressão aritmética, então C(t1), C(t2), ... , C(tn) é também uma progressão aritmética.

Questão 07. Em relação a um prisma pentagonal regular, é correto afirmar: (01) O prisma tem 15 arestas e 10 vértices. (02) Dado um plano que contém uma face lateral, existe uma reta que não intercepta esse plano e contém uma aresta da base. (04) Dadas duas retas, uma contendo uma aresta lateral e outra contendo uma aresta da base, elas são concorrentes ou reversas. (08) A imagem de uma aresta lateral por uma rotação de 72º em torno da reta que passa pelo centro de cada uma das bases é outra aresta lateral. (16) Se o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 4,7cm e 5,0cm, então a área lateral do prisma é igual a 115cm2. (32) Se o volume, o lado da base e a altura do prisma medem, respectivamente, 235,0cm3, 4,7cm e 5,0cm, então o raio da circunferência inscrita na base desse prisma mede 4,0cm.

Questão 05. Os candidatos de um concurso foram submetidos a uma prova de 100 questões, consistindo cada uma delas de uma afirmação a ser assinalada como verdadeira ou como falsa. O total de pontos de cada candidato foi obtido somando-se 5 para cada acerto e subtraindo-se 2 para cada erro e 1 para cada questão sem resposta. Com base nessas informações, pode-se afirmar: (01) O total de pontos obtidos por cada candidato é um número inteiro pertencente ao intervalo [0, 500]. (02) Se um candidato obteve zero ponto, então ele acertou mais do que uma questão. x   (04) Se A = (5 −2 −1) e B =  y  sendo x, y e z, respectivamente, z   o número de acertos, erros e questões sem resposta de um candidato, então sua pontuação é o único elemento da matriz A.B. (08) É possível que um candidato tenha obtido 115 pontos, errando exatamente 37 questões. (16) Se um candidato obteve 231 pontos, com o número de acertos igual ao número de erros mais o dobro do número de questões sem resposta, então o produto entre o número de acertos e o de erros é igual a 1357. (32) Se um candidato assinala aleatoriamente cada afirmação como verdadeira ou como falsa, sem deixar nenhuma sem resposta, então a probabilidade de esse candidato acertar todas as questões é igual a 1/100.

Questão 08. Em uma escola, seis meninos e duas meninas disputam uma prova de natação. Cada nadador ocupa uma das oito raias da piscina, numeradas de 1 a 8, e os que obtiverem o primeiro, o segundo e o terceiro lugar subirão ao pódio para premiação. Com base nessas informações e admitindo-se que não existe a possibilidade de empate, é correto afirmar: (01) Existem exatamente 40320 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias. (02) Existem exatamente 720 maneiras distintas de distribuir os nadadores nas raias de modo que a 1 e a 8 sejam ocupadas por meninas. (04) Existem exatamente 336 formações distintas para o pódio. (08) Existem exatamente 60 formações distintas para o pódio com dois meninos e uma menina. (16) Se for sorteado um nadador para ocupar a raia 1, a probabilidade de ser menino é igual a 6/8. (32) Sorteando-se os nadadores para definir suas posições nas raias, a probabilidade de que os meninos ocupem as raias de 1 a 6 é igual a 1/28.

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Questão 06. O quadro a seguir apresenta todas as medalhas ganhas por países da América do Sul durante os jogos olímpicos de Atenas realizados no ano 2004. Dos 12 países sul-americanos, apenas um não participou do evento.

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Questão 09. No plano cartesiano, considere a reta r que passa pelos pontos P(24, 0) e Q(0, 18) e a reta s, perpendicular a r, que passa pelo ponto médio de P e Q. Assim sendo, determine a hipotenusa do triângulo cujos vértices são o ponto Q e os pontos de intersecção da reta s com a reta r e com o eixo Oy. Questão 10. Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa de juros compostos de 40% ao ano, resulta no montante de R$9 800,00. Sendo x% a taxa anual de juros simples que, aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo montante, determine x.

PROPOSIÇÕES VERDADEIRAS

GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01 + 02 01 + 04 + 16 + 32 01 + 04 + 08 + 16 + 32 01 + 02 + 16 04 + 08 + 16 + 32 01 + 04 + 08 + 16 02 + 04 + 08 + 32 08 + 32 * -

03 53 61 19 60 29 46 08 04 08

Obs: * Anulada a Proposição (32). O gabarito passa a ser 08.

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Gabarito Matemática – UFBA-08.1ªetapa QUESTÃO


GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01 + 08 04 + 08 + 16 08 + 16 + 32 02 + 08 + 16 01 + 02+ 04 + 08 + 32 01 + 08 + 32 02 + 04 + 08 + 16 + 32 01 + 02 + 04 + 08 + 16 -

09 28 56 26 47 41 62 31 18 28

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GABARITO

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

01 + 02 + 08 + 16 01 + 04 + 08 + 16 01 + 02 + 64 01 + 02 + 64 02 + 04 + 08 + 16 01 + 02 + 04 01 + 04 + 08 + 32 01 + 04 + 16 + 32 -

27 29 67 58 30 07 45 53 25 48

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