Solucoes Exatas Equacoes de Navier-Stokes

Soluções exatas das equações de Navier-Stokes

Prof. Ricardo Lopes Ferreira

Novembro de 2010 2010

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Exemplo 1)

Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície plana

inclinada em um filme laminar, permanente, completamente desenvolvido e de espessura h. Simplifique as equações da continuidade e de NavierStokes para modelar este campo de escoamento. e scoamento. Obtenha expressões para o perfil de velocidades do líquido, a distribuição de tensões de cisalhamento, a vazão volumétrica e a velocidade média. Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica por unidade de profundidade da superfície normal ao escoamento. Calcule a vazão volumétrica em um filme d’água com espessura

largura

b  1 m, inclinada

h  1 mm, escoando

sobre uma superfície com

de   15o em relação à horizontal.



Exemplo

2)

Considere o escoamento em regime permanente,

incompressível, laminar de um fluido newtoniano no espaço estreito entre duas placas paralelas infinitas. A placa superior está se movendo à velocidade V , e a placa inferior está fixa. A distância entre essas duas placas é h, e a gravidade age na direção negativa do eixo z (para (para dentro do plano da figura abaixo). Não há nenhuma outra pressão aplicada a não ser a pressão hidrostática em virtude da gravidade. Esse escoamento é chamado de escoamento de Couette. Calcule os campos de velocidade e pressão, e estima a força de cisalhamento por unidade de área agindo na placa inferior.



Exemplo 3)

Considere a forma modificada do escoamento de Couette na

qual há dois líquidos imiscíveis entre duas placas planas, paralelas e infinitamente longas, conforme figura abaixo. O escoamento é permanente, incompressível, paralelo e laminar. A placa superior se move a uma velocidade V para para a direita, e a placa inferior está estacionária. A gravidade age na direção

 z (para

baixo na figura). Não há gradiente de pressão

empurrando os fluidos através do canal – o escoamento se estabelece somente pelos efeitos viscosos criados pela placa superior em movimento. Você pode ignorar os efeitos da tensão superficial e considerar que a interface seja horizontal. A pressão na parte inferior do escoamento do escoamento  z  0 é igual a p0. (a) Determine os campos de velocidade e de pressão nos dois líquidos (b) Sendo o fluido 1 a água e o fluido 2 óleo usado de motor, ambos a 80oC, faça o gráfico de u como uma função de z através de todo o canal.



Exemplo 4)

Considere o escoamento laminar, em regime permanente,

incompressível, de um fluido newtoniano em um tubo infinitamente longo de diâmetro D ou raio efeitos

da



R  D 2 , conforme

gravidade.

É

aplicado

figura abaixo. Ignoramos os

um

gradiente

de

pressão

  x2  x1  , na direção x, onde x e x são duas localizações

 P  x  P 2  P 1

arbitrárias ao longo do eixo x, e

1

P 1

e

P 2 são

2

as pressões naquelas duas

localizações. Esse escoamento é chamado de escoamento de Poiseuille. Note que adotamos um sistema de coordenadas cilíndricas modificado com x em

lugar de z como componente axial, ou seja, r , , x  e ur , u , u .

Deduza uma expressão para o campo de velocidade dentro do tubo e estime a força de cisalhamento viscoso por unidade de área da superfície agindo na parede do tubo.

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