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Ministerio de Educación
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PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA COMUNICACIÓN, MATEMÁTICA Y CIUDADANÍA EDUCACIÓN PRIMARIA-IV-V CICLOS
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MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES MULTIPLICATIVAS
Ministro de Educación: Jaime Saavedra Chanduví
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Viceministro de Gestión Pedagógica: Flavio Figallo Rivadeneyra
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MINISTERIO DE EDUCACIÓN Avenida de la Arqueología, cuadra 2- San Borja Lima, Perú Teléfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión: xx Tiraje: XXx ejemplares
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Módulo de actualización en didáctica de la Matemática Significado y uso de las operaciones multiplicativas Educación Primaria IV y V Ciclos
Directora General de Educación Básica Regular: Cecilia Ramírez Gamarra
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Autoras: Mirna Antonio Mateo Nora Ysela Espinoza Chirinos
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Coordinadora del Programa de Actualización Docente: Susana Córdova Avila
Editor: xxxxxxx
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Coordinación pedagógica: Nora Ysela Espinoza Chirinos
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Corrección de estilo: xxxxxxxxxxxxx
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Diseño y diagramación: xxxxxxxxxxx Impresión: xxxxxxxxxx Tiraje: xxxxxxxxxx Primera edición, primera impresión, xxxxx 2015 Hecho el Depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2015 - 04616
AGRADECIMIENTO
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A la comunidad educativa, personal directivo, profesores y profesoras, personal administrativo, padres de familia y estudiantes de la I. E. 6049 Ricardo Palma, UGEL 07, en especial a su director Julio Effio León y a la docente María Enma Rodas Solis por su generosa colaboración en el registro fotográfico de las situaciones relatadas en el módulo.
CONTENIDO
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I. INFORMACIÓN GENERAL 6
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Programa de Actualización de Educación Primaria - IV y V Ciclos....................................... Presentación del módulo de actualización
Significado y uso de las operaciones multiplicativas .............................................
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Secuencia formativa del módulo.......................................................................... 10
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Productos previstos para este módulo ................................................................. 12
II. CONSTRUYENDO EL PENSAMIENTO MULTIPLICATIVO
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Lectura previa: El aprendizaje de la multiplicación ............................................... 13
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Primera situación para la reflexión pedagógica:
Usamos la multiplicación para tomar decisiones .................................................. 16 Primer taller presencial ............................................................................ 40
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Segunda situación para la reflexión pedagógica:
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Aplicamos estrategias multiplicativas para comprobar conjeturas........................... 42 Círculo de interaprendizaje colaborativo 1 ................................................... 62
Profundización teórica y pedagógica: Segundo taller presencial ......................................................................... 74
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Del pensamiento aditivo al desarrollo del pensamiento multiplicativo ......................... 64
Presentación de las propuestas para la práctica pedagógica Foro de intercambio: Planificación de las prácticas 1 y 2................................... 75
Círculo de interaprendizaje colaborativo 2 ................................................... 76
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Ejecución de la práctica pedagógica 1 en el aula y elaboración de la narración documentada.............................................................................. 77
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Tercer taller presencial ............................................................................ 78
Ejecución de la práctica pedagógica 2 en el aula y elaboración
Círculo de interaprendizaje colaborativo 3.................................................... 80
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de la narración documentada ............................................................................. 79
Continuación de la elaboración de las narraciones documentadas ......................... 80
Círculo de interaprendizaje colaborativo 4.................................................... 81
Entrega de las propuestas y narraciones documentadas ....................................... 82 Cuarto taller presencial............................................................................ 83
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Autoevaluación del participante sobre el módulo................................................... 84 Glosario ........................................................................................................... 85
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Bibliografía ....................................................................................................... 87
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Anexo 1: ........................................................................................................... 88
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Condiciones DOCENTE Y ROL para aprender CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO
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PROGRAMAS DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA COMUNICACIÓN, MATEMÁTICA Y CIUDADANÍA – EDUCACIÓN PRIMARIA - IV y V CICLOS
MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN
DIDÁCTICA DE LACOMUNICACIÓN
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L E E R Y E S C R I B I R PA R A A P R E N D E R S O B R E U N T E M A D E E S T U D I O
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LEER Y ESCRIBIR PARA LEER Y ESCRIBIR PARA APRENDER SOBRE UN APRENDER SOBRE UN TEMA DE ESTUDIO TEMA DE ESTUDIO
PARTICIPAMOS CONVIVENCIA PARA CONVIVIR DEMOCRÁTICA DEMOCRÁTICAMENTE
EN UN AMBIENTE SANO
MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA EN DESARROLLO PERSONAL
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PA RT I C I PA M O S PA RA C O N V I V I R DEMOCRÁTICAMENTE EN UN AMBIENTE SANO
SIGNIFICADO Y USO ESTRATEGIAS APLICANDO DEPARA LAS OPERACIONES MULTIPLICAR Y MULTIPLICATIVAS DIVIDIR MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN
DIDÁCTICA DE MATEMÁTICA APLICANDO ESTRATEGIAS PARA MULTIPLICAR Y DIVIDIR
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LOS DOCENTES PARTICIPANTES
Reflexionan críticamente sobre su desempeño docente e identifican dificultades y aciertos relacionados a la enseñanza de la multiplicación y proponen mejoras bajo el
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enfoque de resolución de problemas.
Interactúan en comunidades de aprendizaje dialogando e intercambiando experiencias
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de su quehacer en el aula para fortalecer sus competencias pedagógicas y disciplinares. Planifican y diseñan situaciones didácticas bajo el enfoque de resolución de problemas
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en las cuales los estudiantes diseñan y aplican estrategias multiplicativas para resolver situaciones problemáticas de contexto real.
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Desarrollan situaciones de aprendizaje junto con sus estudiantes en las que estos participen activamente trabajando en equipo, planteando diversas estrategias y argumentando sus acciones en medio de un clima que favorezca el logro de sus
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aprendizajes.
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TEMARIO
La multiplicación para la toma de decisiones Estrategias multiplicativas Del pensamiento aditivo al pensamiento multiplicativo
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PRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES MULTIPLICATIVAS
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Este módulo tiene por finalidad aportar a la práctica pedagógica que diariamente realizas en el aula, con el objetivo de orientar a los estudiantes en el logro de aprendizajes en el área de Matemática.
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Hoy sabemos que enseñar a través de la explicación, de los ejemplos y de pedir a los estudiantes que repitan una serie de procedimientos con el fin de que sean capaces de reproducirlos no se traduce en una comprensión real de ideas y procedimientos matemáticos. Alternativamente, se han desarrollado otras perspectivas que ponen a los estudiantes en el centro de la “acción” educativa, haciéndolos partícipes como constructores activos de conocimiento. Estos aportes implican una serie de profundas variaciones en el papel del docente: ¿cómo lograr que los estudiantes desarrollen sus conocimientos?, ¿cómo seleccionar y organizar las tareas?, ¿cómo gestionar las interacciones y discusiones colectivas?, ¿cómo asegurar que los estudiantes construyan ideas fundamentales sobre los temas y desarrollen sus competencias matemáticas?
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El significado y uso de las operaciones multiplicativas debe ser comprendido por los estudiantes a partir del desarrollo de diversas situaciones problemáticas contextualizadas que les generen interés y que les permitan diseñar y aplicar una variedad de estrategias conducentes a la o las soluciones que demande cada caso.
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Relacionada a esta temática, te presentaremos dos situaciones didácticas: a. Usamos la multiplicación para tomar decisiones b. Aplicamos estrategias multiplicativas para comprobar conjeturas
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Estamos seguros de que este módulo contribuirá a lograr en tus estudiantes los aprendizajes esperados.
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ACTIVIDADES Y TAREAS
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En este módulo, el participante de la modalidad semipresencial intervendrá en talleres presenciales y círculos de interaprendizaje colaborativo. Además, interactuará en un foro, elaborará propuestas pedagógicas para aplicarlas en el aula y presentará tareas y narraciones documentadas de la práctica realizada.
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El participante que siga la modalidad virtual (e-learning 1 o 2) participará en todas las actividades mencionadas, excepto en los talleres presenciales y los círculos de interaprendizaje colaborativo.
A continuación, te presentamos la secuencia formativa del módulo en la modalidad semipresencial.
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SECUENCIA FORMATIVA DEL MÓDULO
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(MODALIDAD SEMIPRESENCIAL)
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PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MÓDULO
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Los productos previstos se elaborarán a partir de la planificación e implementación en el aula de dos propuestas pedagógicas. Cada una ellas consiste en una secuencia didáctica que puede durar una o más sesiones de aprendizaje. Las narraciones documentadas deberán evidenciar la aplicación de ambas propuestas en tus sesiones de clases.
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Estos productos son los siguientes:
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La competencia actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad implica desarrollar modelos de solución numérica, la comprensión del sentido numérico y de la magnitud, la construcción del significado de las operaciones; del mismo modo que debe aplicarse diversas estrategias de cálculo y estimación al resolver una situación problemática.
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a. Una propuesta de práctica pedagógica y su narración documentada en la que se evidencie el uso de la multiplicación para tomar decisiones relacionada a la primera situación para la reflexión pedagógica.
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b. Una propuesta de práctica pedagógica y su narración documentada en la que se evidencien el uso de diversas estrategias multiplicativas para la resolución de una situación problemática relacionada a la segunda situación para la reflexión pedagógica.
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Las propuestas se ejecutarán en el aula con un propósito determinado y a partir de una situación problemática, de alta demanda cognitiva, que genere interés en los estudiantes.
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Debes asegurar que tu intervención en el proceso de aprendizaje esté en función de las necesidades y dificultades de tus estudiantes. Las narraciones documentadas irán acompañadas de evidencias del Encontrarás más orientaciones sobre la proceso (fotos, diálogos, trabajos de elaboración de estos productos durante algún estudiante, entre otras). el desarrollo del módulo.
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LECTURA
PREVIA
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EL APRENDIZAJE DE LA MULTIPLICACIÓN
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La planificación de la enseñanza de la multiplicación implica más que la estructuración de las ideas matemáticas involucradas en esta operación. Es importante, a su vez, pensar en cómo podrán aprender los estudiantes, en cómo podrán progresar, y ser conscientes de que no todos aprenden al mismo ritmo y por igual.
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Simon (1995) utiliza la metáfora del marinero, velerista, para explicar su concepto de trayectoria de aprendizaje, recurso que nos parece fundamental para concebir la enseñanza de la multiplicación. El marinero tiene un plan global que incluye hitos específicos y una definición clara de hacia dónde quiere llegar al final de su viaje. No obstante, sabe que debe ajustarlo sucesivamente de acuerdo a diversos acontecimientos –condiciones climáticas, desempeño del navío o los imprevistos que surjan–. Esos ajustes también pueden incluir etapas no previstas. Al igual que el marinero, el maestro debe tener un plan global que le permita orientar las propuestas de trabajo que organiza. Tiene que ir cambiando su plan general, teniendo en cuenta el aprendizaje de cada alumno, las ideas o preguntas que surgen y las contingencias que le sobrevengan. Al igual que el marinero, planea cada etapa de su viaje teniendo en cuenta una trayectoria hipotética y las condiciones derivadas de la aplicación de las etapas anteriores.
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Establecer el plan general de “viaje”, que constituye el aprendizaje de la multiplicación, implica comenzar por aclarar cuáles son los principales hitos que demarcan las etapas de una ruta no lineal. En un nivel macro –plan global del viaje– la trayectoria hipotética
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de aprendizaje incluye una definición de la progresión de las ideas matemáticas y las estrategias y los modelos asociados con la multiplicación. Incluye, asimismo, una visión secuencial flexible, ya que la trayectoria efectuada determina los ajustes y los caminos a seguir en la próxima etapa. Incluye, finalmente, la progresión y la interconexión de los aspectos que siempre están detrás del diseño y selección de las propuestas de trabajo para los estudiantes1.
BROCARDO, Joana, MENDES, Fátima y OLIVEIRA, Hélia. “La Multiplicación: Construyendo oportunidades para su aprendizaje”. En ResearchGate. Mes de año. http://www.researchgate.net/profile/Helia_Oliveira/publication/265643552_La_Multiplicacin_Construyendo_oportunidades_ para_su_aprendizaje/links/541778b80cf203f155ad58a1.pdf
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El aprendizaje matemático
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Los aprendizajes matemáticos se logran cuando el estudiante elabora abstracciones matemáticas a partir de la obtención de información, de observar propiedades, establecer relaciones y resolver problemas concretos. Para ello es necesario traer al aula situaciones cotidianas que supongan desafíos matemáticos atractivos, como también el uso habitual de variados recursos y materiales didácticos que los estudiantes puedan manipular.
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Sólo después de haber comprendido el concepto, es adecuado presentar al alumnado el símbolo que lo representa. Al hacerlo, se busca que empiece a practicar para alcanzar el dominio de los mecanismos que rigen su representación simbólica. En ningún caso se dará por conocido y dominado un concepto, propiedad o relación matemática por el hecho de haber logrado presentar al alumnado el dominio mecánico de su simbología.
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En este proceso, la resolución de problemas constituye uno de los ejes principales de la actividad matemática. Esta se caracteriza por presentar desafíos intelectuales que el niño o la niña quiere y es capaz de entender, pero que, a primera vista, no sabe cómo resolver, lo cual conlleva, entre otras cosas, leer comprensivamente, reflexionar, debatir en un grupo de iguales, establecer un plan de trabajo, revisarlo y modificarlo si es necesario, llevar este a cabo y, finalmente, utilizar mecanismos de autocorrección para comprobar la solución o la ausencia de la misma y comunicar los resultados.
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En este proceso, el alumnado se enfrenta con su propio pensamiento, colocándose frente a situaciones o problemas abiertos de ingenio en los que existan datos innecesarios, soluciones múltiples o la falta de ellas (en este caso deberá explicar por qué no hay solución), en los que se conozca el resultado y las condiciones en las que se desarrolla –y deba averiguar el punto de partida–, etc. En definitiva, resolver problemas reales próximos al entorno del alumnado, y por tanto relacionados con elementos culturales propios, es el único modo que le permitirá construir su razonamiento matemático a medida que se van abordando los contenidos del área en el aula.
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En este sentido es importante diferenciar la resolución de problemas de los ejercicios mecánicos. Cuando el alumnado sabe cómo alcanzar la solución a través de un algoritmo de cálculo automatizado, estamos ante un ejercicio de aplicación y no ante una situación de resolución de problemas. La automatización de estrategias y algoritmos también es importante, pero solo después de la comprensión a través de la manipulación real de objetos y situaciones, la verbalización de lo observado y su respectiva transcripción a lenguaje gráfico y simbólico.
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En este planteamiento curricular que lleva la realidad a la escuela, las matemáticas escolares deben potenciar un doble enfoque, de cálculo aproximado y cálculo exacto, para definir la realidad, puesto que hay contextos en los que solo tiene sentido realizar una aproximación y otros en los que es importante cuantificar con exactitud. Es imprescindible, desde los primeros niveles de la etapa, el desarrollo de estrategias personales de estimación y cálculo mental, que, una vez automatizadas, se utilizarán para la creación y práctica de algoritmos diversos en cada operación. De esta manera, se contribuye a un aspecto fundamental e imprescindible en esta etapa: la comprensión exhaustiva del sistema de numeración decimal.
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Para la consecución de los objetivos del área es imprescindible la construcción del pensamiento matemático en el alumnado, lo cual requiere el desarrollo paulatino de las siguientes habilidades intelectuales:
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a. La clasificación, que es una habilidad básica en la construcción de los diferentes conceptos matemáticos como son los números y las operaciones numéricas. Se inicia a partir de una primera diferenciación de los objetos, según posean o no una cualidad determinada; es decir, se parte de una colección de objetos en dos bloques diferentes: los que poseen una cualidad y los que no la poseen. b. La habilidad del alumnado para clasificar evoluciona gradualmente hasta ser capaz de establecer categorías según un criterio preestablecido y determinar qué elementos pertenecen a cada categoría; por ejemplo, clasificaciones geométricas o categorías para organizar y representar un conjunto de datos.
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c. La flexibilidad del pensamiento, que implica que el alumnado puede encontrar múltiples expresiones matemáticas equivalentes, estrategias de cálculo alternativas y resolver un problema de distintas formas, a veces utilizando vías de solución que no le han sido enseñadas previamente.
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d. La reversibilidad, que le permite al alumnado no solo resolver problemas, sino también plantearlos a partir de un resultado u operación, o una pregunta formulada. Se refiere de igual modo a seguir una secuencia en orden progresivo y regresivo, al reconstruir procesos mentales en forma directa o inversa; es decir, la habilidad de hacer acciones opuestas simultáneamente. Un aspecto importante del desarrollo de esta habilidad es la comprensión de la relación parte-todo, imprescindible para los conceptos de suma/resta y multiplicación/división, entre otros.
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e. La estimación, que es una habilidad que permite dar una idea aproximada de la solución de un problema, anticipando resultados antes de hacer mediciones o cálculos, y se optimizará cuanto mejor sea la comprensión del sistema de numeración decimal y de los conceptos y procedimientos que se manejen, favoreciendo a su vez tanto el sentido numérico como el de orden de magnitud.
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f. La generalización, que permite extender las relaciones matemáticas y las estrategias de resolución de problemas a otros bloques y áreas de conocimiento independientes de la experiencia. A esta habilidad se llega después de un proceso que se inicia con la comprensión desde la realidad y su evidencia y finaliza con la abstracción mediante juegos y ejercicios de aplicación.
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g. La visualización mental espacial, que implica desarrollar procesos que permitan ubicar objetos en el plano y en el espacio; interpretar figuras tridimensionales en diseños bidimensionales; imaginar el efecto que se produce en las formas geométricas al someterlas a trasformaciones; estimar longitudes, áreas, capacidades, etc.2 h. La representación y comunicación, que permitirán confeccionar modelos e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos; crear símbolos matemáticos no convencionales y utilizar símbolos matemáticos convencionales y no convencionales para organizar, memorizar, realizar intercambios entre representaciones matemáticas para su aplicación en la resolución de problemas; y comunicar las ideas matemáticas de forma coherente y clara, utilizando un lenguaje matemático preciso. Recuperado de http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/udg/ord/documentos/curriculo07/prim/8Matematicas.pdf
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PRIMERA SITUACIÓN PARA LA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA
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Usamos la multiplicación para tomar decisiones
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Como docentes, sabemos que los estudiantes aprenden cuando los enfrentamos a situaciones complejas que les resulten desafiantes y motivadoras, que procedan de su entorno, que les generen interés y despierten su curiosidad, y que requieran la movilización de sus capacidades y actitudes para encontrar la solución. Solo cuando los “toca” resulta ser significativo para ellos, logrando así el aprendizaje. De esta manera, estas condiciones serán las que tomaremos en cuenta al momento de formular una situación problemática, con el propósito de asegurar el desarrollo de la competencia matemática.
APRENDIZAJE QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES
PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD
REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD
CIERRE DE LA ACTIVIDAD
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PROPÓSITO
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A continuación, introducimos una situación problemática que se desarrolla en un aula de primaria, de una escuela citadina del Perú. Desde la presentación de la misma, los niños y niñas irán construyendo sus propias estrategias multiplicativas. Se espera que desde sus experiencias, y movilizando su saberes previos, lleguen a comprender el significado y uso de las operaciones multiplicativas con el fin de generar en ellos la toma de decisiones.
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En el presente año, por efectos del fenómeno del Niño, la infraestructura de una institución educativa de la ciudad de Trujillo está siendo remodelada para contribuir al bienestar de toda la comunidad escolar. Entre las mejoras, se ha considerado el revestimiento del piso rectangular del patio con el empleo de porcelanatos (bloques de cerámica para revestir pisos y paredes).
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La comisión encargada de la remodelación ha pedido a la docente Vilma que ayude en la elección del lugar donde se comprarán los porcelanatos, pues hay dos proformas presentadas. Vilma ha decidido formular una situación problemática ligada al contexto y a la realidad cercana a los estudiantes, considerando el pedido de la comisión, de tal manera que puedan aportar en la toma de decisiones para la mejora de su institución.
PROPÓSITO Resolver situaciones problemáticas contextualizadas de su interés, aplicando diversas estrategias de multiplicación, para contribuir en las decisiones de mejora de la infraestructura de su institución educativa.
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APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES Identifican datos relevantes en situaciones cotidianas y/o de contexto real referidos a las acciones de repetir una cantidad para aumentarla.
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Expresan situaciones cotidianas empleando lenguaje matemático básico sobre los procedimientos aplicados en problemas aditivos y multiplicativos. relacionadas a cantidades y operaciones.
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Representan y comunican sus estrategias multiplicativas.
Resuelven situaciones problemáticas de contexto real empleando estrategias multiplicativas.
PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD
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El docente:
Se prepara adecuadamente para el desarrollo de la actividad: colecciona y/o elabora materiales concretos pertinentes; indaga y consulta sobre la mejoras que se harán en la institución educativa.
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Se informa sobre la pertinencia del empleo del porcelanato en ciudades como Trujillo.
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Garantiza los recursos necesarios para el desarrollo de la situación planteada: materiales concretos, láminas de porcelanato, tijeras, goma, etc. Prevé las posibles respuestas de los niños y niñas a fin de organizar la información para la toma de decisiones con respecto a las proformas presentadas.
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Organiza el aula para que los estudiantes puedan realizar el trabajo en equipos.
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REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD
PORCELANATO
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Docente:
1 metro
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La docente Vilma dialoga con los estudiantes sobre las mejoras en la infraestructura que se está desarrollando en la institución educativa. Con ello busca plantearles una situación problemática.
1 metro Como ustedes observan, se están realizando diversas mejoras en la infraestructura de nuestra institución educativa. La siguiente semana se va a realizar la remodelación del patio y para ello se ha previsto colocar porcelanatos en toda su superficie rectangular, como la imagen que se muestra en la pizarra. (Señala la pizarra). Los porcelanatos son bloques de cerámica que se usan para revestir pisos y paredes. Se sabe que las longitudes del patio son 28 metros de largo y 12 metros de ancho. La comisión responsable ha recibido dos ofertas y nos solicitan ayudarlos en la elección de la mejor.
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La docente les informa a los estudiantes sobre ambas propuestas: Comercial TROME: Vende los porcelanatos únicamente por piezas. El precio de cada una es S/. 10. Por la compra de cada ciento de piezas se obsequia una docena de ellas.
¿Cuál es la oferta que recomendarían elegir? Deben fundamentar su respuesta.
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Docente:
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Comercial ALFA: Vende los porcelanatos únicamente por cajas completas. El precio de la caja que contiene 24 piezas es S/. 210.
La docente busca que los estudiantes analicen la información para comprender el problema
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La docente busca que los estudiantes se familiaricen con el problema. Como se trata de una situación que genera interés y expectativas (por ser de su contexto y ligada directamente a su institución), centra el diálogo en la identificación de información que les ayude a encontrar la solución. Así, solicita que lean el problema las veces que sea necesario, que identifiquen qué datos tienen, qué es lo que deben calcular primero, etc.
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IMAGEN DE UNA CLASE DE MATEMÁTICA (EN LA PIZARRA HAY UN TÍTULO: SITUACIÓN PROBLEMÁTICA), UN NIÑO ESTÁ DE PIE PARTICIPANDO, LA MAESTRA ATIENDE.
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Max:
Sí, profesora Vilma, nosotros tenemos que recomendar en qué tienda comprar. Yo creo que Comercial TROME es mejor por los regalos que nos dan.
Max, nuestro aporte será significativo. Lo que tú expresas respecto a Comercial TROME es una conjetura, llamada también hipótesis. Cada uno puede plantear la suya, sin embargo, debemos comprobarlas. ¿Qué es lo que necesito para comenzar el desarrollo de la situación? ¿Qué opinan? ¿Qué información necesitamos para realizar nuestra recomendación? ¿Alguien puede contarme el problema con sus palabras?
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Docente:
Bien, niños, es importante que trabajemos en equipo para analizar el problema y para brindar una buena recomendación, la cual debemos fundamentar.
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Docente:
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Sofía:
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Yo, profesora Vilma. Quieren saber dónde comprar los porcelanatos para el patio. Nos dicen que hay dos tiendas, una que vende a S/. 10 cada pieza y otra que vende las cajas de 24 piezas a S/. 210. Tenemos que decidir en cuál comprar.
Docente:
Para decidir, ¿qué datos requerimos?
Cristian:
Lo que gastaremos en cada tienda.
Al vincular la situación planteada a eventos cercanos y cotidianos, el docente busca familiarizar al estudiante con el problema para favorecer su comprensión.
Efectivamente, es una información que necesitamos. ¿Qué datos son necesarios para calcular el gasto en cada tienda? Veamos: cuando ustedes van a una tienda a realizar una compra, ¿qué datos necesitan? Piensen y díganme un ejemplo.
Sofía:
Cuando voy a comprar, tengo que saber lo que voy a comprar, profesora. Por ejemplo, si mi mamá me envía a comprar pan a la panadería, debo saber cuántos panes voy a comprar, así sabré cuánta plata gastaré.
Estudiantes: (En coro). ¡Sí! Omar:
Ya sé… Necesitamos saber cuántas piezas de porcelanato debemos comprar.
Docente:
¿Es una información que nos dan en la situación o no? ¿Hay algún dato más que debamos considerar? Lean el problema, por favor.
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Es importante verificar que los estudiantes hayan comprendido qué les pide el problema y qué datos les brinda para encontrar la solución.
¿Están de acuerdo con lo que comenta Sofía?
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Docente:
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Docente:
Sí, nos indica que cada pieza mide 1 metro de ancho y 1 metro de largo. También nos dice que el largo del patio es 28 metros y el ancho, 12 metros.
Docente:
¿Y con esos datos podemos calcular la cantidad de piezas que se requieren? Los invito a que relean individualmente el problema y luego dialoguen en grupo sobre cómo pueden calcular la cantidad de piezas que se van a requerir para cubrir todo el patio. Les voy a entregar una hoja cuadriculada para que la utilicen en sus cálculos. (Señalando al estante de materiales). Pueden disponer de los materiales que necesiten para realizar sus cálculos.
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Cristian:
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La docente promueve el trabajo colaborativo y la socialización de estrategias
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Los estudiantes trabajan en equipo y de manera colaborativa, diseñando y ensayando algunas estrategias que les permitan calcular el total de piezas necesarias para cubrir el patio de la institución educativa.
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La docente Vilma recorre el aula y verifica que en cada equipo los estudiantes intercambien ideas y propuestas, que dialoguen, asegurando así un clima adecuado de confianza y respeto entre ellos. Asimismo, anima a todos para que participen en sus equipos, revisa los avances y los orienta de forma pertinente.
IMAGEN DE TRABAJO EN EQUIPOS DE LOS ESTUDIANTES DE UNA CLASE
Cuando observa que algún estudiante no se integra, interviene de manera sutil; por ejemplo: “veo que ya tienen un avance, ¿puedes comentarme?”, o “¿qué datos del problema han utilizado para su avance”, etc. Al observar que un equipo ha obtenido el número de piezas de porcelanato necesarias, entonces interviene.
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Se describe a continuación la interacción del docente con este equipo. He observado que todos han estado aportando a la solución. ¿Me pueden describir su estrategia?
Sofía:
Claro, profesora Vilma. Hemos usado chapitas para representar a cada pieza de porcelanato. Como cada pieza tiene 1 metro de largo y 1 metro de ancho, y las medidas del patio son 12 metros de ancho y 28 metros de largo, necesitamos 12 filas de 28 piezas para cubrir toda la superficie.
Max:
Hemos usado la hoja que repartió para hacer 12 filas de 28 piezas cada una.
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Docente:
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Luego hemos calculado el total de piezas sumando las 12 filas:
56
+
˗
56
+
56
˗
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112
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28 ˗ 28 + 28 ˗ 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 ˗ 28 ˗ 28 + 28
224
+
55
+
+
56
˗
56
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Los estudiantes trabajan en equipos, justifican sus procedimientos y argumentan la estrategia empleada.
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336
¿Habrá otra forma de calcular el total de piezas?
Jairo:
Podemos multiplicar 28 x 12, pero es difícil, profesora.
Docente:
Los reto a calcularlo. Pueden descomponer, agrupar o emplear alguna estrategia que les facilite calcular el producto.
Sofía:
No sé cómo multiplicar esos números, pero se puede descomponer el número 12 así (escribe sobre un papel 12 = 10 + 2). Entonces, la operación sería: 28 x 12 = 28 x (10 + 2)
Docente:
Ah… qué interesante. A ver, Sofía, en tu propuesta hay un factor que multiplica a una suma de dos términos. ¿Recuerdas si hay alguna propiedad que te facilite el cálculo?
Jairo:
(Haciendo un gesto de recuerdo). ¡Claro! Aplico la propiedad distributiva:
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Docente:
28 x 12 = 28 x (10 + 2) = (28 x 10) + (28 x 2) =280 + 56 = 336
La docente ha promovido que los estudiantes muestren y describan sus estrategias de cálculo.
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La docente propicia la participación de todos los equipos al compartir las estrategias de solución
A continuación, se muestra el trabajo de un equipo respecto a los costos de Comercial Trome
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Una vez calculado el número de piezas necesarias, la docente pide que elijan la oferta que recomendarían. Para ello, se reinicia el trabajo al interior de los equipos.
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La docente Vilma nota que han concluido su estrategia, así que se acerca, observa y pregunta.
Bien, niños, veo que ya han calculado el costo de la propuesta del Comercial TROME.
Ana:
(Muestra la representación y la estrategia desarrolladas por su equipo). Sí, como en 336 piezas hay:
100
piezas
100
+
piezas
= 36 PIEZAS
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piezas
100
+
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Docente:
100
100
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Y en Comercial Trome, por cada ciento se entregan 12 piezas de cortesía, tendríamos:
piezas
piezas
piezas
+
+
+
12 piezas de cortesía
12 piezas de cortesía
12 piezas de cortesía
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100
TOTAL: 36 PIEZAS
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Es lo que necesitamos en total, comprar tres cientos en esta tienda. Como cada pieza, cuesta S/. 10, por 100 piezas pagaremos: 10 x 100 = 1 000 nuevos soles. Como son tres cientos, calculamos 3 x 1 000.
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Esta multiplicación es sencilla porque solo multiplicamos el 3 por el dígito 1 y le agregamos tres ceros (pues se trata de una unidad de millar). 3 x 1 000 = 3 000 nuevos soles
A continuación, se muestra el trabajo de un equipo respecto a los costos de Comercial ALFA.
La docente Vilma nota que han concluido su estrategia, así que se acerca, observa y pregunta. Docente:
Los felicito. He visto que ya han calculado los costos de la propuesta del Comercial ALFA.
Cristian:
Gracias, profesora, le explicaremos lo que hemos hecho. (Presenta lo trabajado al interior de su equipo). En el caso de COMERCIAL ALFA, cada caja de 24 piezas cuesta S/. 210, entonces:
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- Hemos organizado los datos en una tabla, considerando el número de cajas, el número de piezas y el costo. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Nro. de piezas
24
48
72
96
120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
Costo
210
420
630
840 1050 1260 1470 1680 1890 2100 2310 2520 2730 2940
O
Cajas
AB AJ
- Hemos completado la tabla aumentando 24 piezas a cada caja hasta llegar al total de piezas que necesitamos, que son 336. Esto es 14 cajas, según la tabla. Como el precio por caja es S/. 210 , entonces el costo sería: 14 x 210. - No sabíamos cómo hallar este producto. Entonces recordamos lo que hizo Jairo y así lo calculamos. 14 x 210 = 14 x (200 + 10) = 14 x 200 + 14 x 10 = 2800 + 140 = 2 940 nuevos soles.
Los estudiantes comparten diversas estrategias.
E
TR
Cristian explica que, como 200 y 10 son “números seguidos de ceros” (múltiplos de 10), es más fácil multiplicarlos. Solo se opera 14 x 2 y 14 x 1, y a los productos se le agregan los ceros a la derecha.
TO
D
La docente felicita al equipo por su trabajo y resalta la aplicación de la estrategia heurística “Hacer una tabla”. Luego invita a otro equipo a participar con alguna estrategia distinta para que comparta su desarrollo con los demás. Pregunta qué les ha parecido lo que han socializado sus compañeros y escucha atentamente las intervenciones. Analiza la información con ayuda de los estudiantes para la toma de decisiones
EN
La docente Vilma comenta que ya se tienen los costos de ambas tiendas: El de la tienda TROME : 3 000 nuevos soles
M
El de la tienda ALFA
C U
Luego pregunta:
: 2 940 nuevos soles.
Es importante que el docente dialogue con los estudiantes sobre los procesos y emociones que experimentaron al resolver una situación.
Cuál de las dos tiendas recomendarían para realizar la compra?
Max:
Yo pensé que convenía la tienda TROME, ¿recuerda?, por los obsequios, pero es mejor comprar en la tienda ALFA, profesora Vilma, porque allí se gastará menos.
D O
Docente:
Docente:
Bueno, Max, en un inicio tenemos conjeturas que al comprobarlas se validan o no. En este caso, vemos que no se validó.
Cristian:
Sí, al resolver el problema hemos podido verificar que Comercial ALFA es la que conviene.
La docente felicita a los estudiantes por el trabajo desplegado en equipo, el cual permitió arribar a la solución de la situación planteada y comprobar la conjetura inicial. A continuación, comenta la importancia de comprobar las conjeturas para poder tomar decisiones en diversos ámbitos de nuestra realidad, y destaca que, como han comprobado, la matemática es una herramienta que nos ayuda mucho en ello.
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Docente:
En este caso específico, ¿qué nociones matemáticas hemos empleado?
Javier:
Hemos sumado.
Docente:
Así es, Javier, pero ¿solo hemos usado la suma?
Los estudiantes revisan sus trabajos, dialogan y responden: “También hemos multiplicado, profesora”.
TR
AB AJ
O
La docente indica que las sumas y multiplicaciones realizadas han permitido resolver la situación; también resalta la importancia de utilizar convenientemente las operaciones aritméticas, además del empleo de diversas estrategias, para resolver situaciones cotidianas, tal como lo han experimentado. A su vez, recuerda las diversas estrategias desarrolladas y repasa la que haya resultado más innovadora. Enseguida lanza algunas preguntas para que las resuelvan en parejas, como: “En una tienda venden 3 polos por S/. 50, y cada unidad a S/. 17. Si tengo que comprar 12 polos, ¿cómo me conviene más comprar?”. Finalmente, la docente asigna un tiempo y luego va pidiendo al azar que algunas parejas brinden sus respuestas y las justifiquen.
E
CIERRE DE LA ACTIVIDAD
TO
D
Dialoga sobre las estrategias usadas para responder las preguntas. Comenta que la multiplicación permite encontrar rápidamente “cantidades grandes”. Para ello, se entiende que, ante una situación problemática planteada, se debe promover y observar que los estudiantes: Lean y entiendan el problema
EN
Trabajen con los datos del problema
Utilicen estrategias personales para organizar la información Empleen modelos concretos, grafías figurativas o el algoritmo
M
Reconozcan las veces que el número o la colección se repite, si es el caso.
C U
Recuerda como “factores” a las cantidades que se multiplican y a “producto” como el resultado de una multiplicación, por ejemplo: 14 x 21 = 294 Factores
Productos
D O
Comenta que la multiplicación la podemos utilizar en diversas situaciones cotidianas, como por ejemplo, la cantidad total de estudiantes distribuidos equitativamente en 3 columnas con 5 filas cada una, o la cantidad de combinaciones que puede usar un joven que tiene 3 pantalones y 4 camisas, etc. La docente realiza junto con los estudiantes una “mirada hacia atrás” sobre el proceso desarrollado La docente Vilma conversa con los estudiantes sobre cómo se sintieron al trabajar en equipo, cómo descubrieron la estrategia que implementaron, si les funcionó desde un inicio, si en algún momento sintieron que no lo lograrían. Luego les pide que describan ese momento, qué les pareció la estrategia de los otros equipos, cuál les pareció más fácil o más difícil, etc.
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[
REFLEXIONANDO SOBRE
TAREA
LA PRIMERA SITUACIÓN PROPUESTA
AB AJ
O
Reflexiona sobre la situación presentada. A partir de ella responde las preguntas que se presentan a continuación. Lo harás por escrito para enviarlo como tarea.
1. ANÁLISIS DEL TEXTO
a. ¿Consideras que durante el desarrollo de la situación mostrada la docente Vilma logró el propósito establecido? Justifica tu respuesta.
TR
b. La permanente interacción entre la docente y los estudiantes ¿de qué manera ha contribuido a la resolución de la situación propuesta por parte de los estudiantes?
E
c. ¿Crees que las situaciones problemáticas que permiten el análisis para la toma de decisiones promueven el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes? Justifica tu respuesta.
D
2. RELACIÓN CON TU PRÁCTICA PEDAGÓGICA
TO
a. ¿Qué consideraciones tienes, como docente, al formular situaciones problemáticas en tus estudiantes?
EN
b. ¿Promueves el diseño y la aplicación de diversas estrategias de resolución de situaciones problemáticas en tus estudiantes? Justifica tu respuesta.
3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES
D O
C U
M
Apartir de la situación mostrada, plantea tres aspectos que como docente debes considerar al facilitar la resolución de una situación problemática planteada a tus estudiantes.
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[
4. RELACIÓN CON LAS RUTAS DEL APRENDIZAJE Revisa el documento Rutas del Aprendizaje de Matemática para el IV Ciclo: ¿Qué y cómo aprenden nuestros estudiantes? (Páginas 12-15). Luego responde:
AB AJ
O
¿Qué aspectos del enfoque de resolución de problemas se encuentran en la primera situación para la reflexión: “Usamos la multiplicación para tomar decisiones”?
TR
Indicaciones
TO
D
E
Extensión máxima del documento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat_ IV ciclo_ PrimIII_ tarea_1_Apellido_ Nombre
EN
Participante en la modalidad semipresencial: Lleva una copia impresa de su tarea al primer taller presencial
D O
C U
M
Participante en la modalidad virtual: Coloca su tarea en el foro de intercambio.
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PRIMER TALLER PRESENCIAL
AB AJ
O
Los talleres presenciales tienen la finalidad de fortalecer disciplinar y didácticamente a los docentes en su proceso de formación profesional y desarrollo personal, así como promover la reflexión sobre los temas que aborda el módulo en relación a la práctica profesional docente. Los talleres presenciales ofrecen información actualizada y difunden prácticas pedagógicas, secuencias didácticas bajo el enfoque de resolución de problemas, actividades, videos y publicaciones específicas. En ellos, es necesario generar un clima favorable para la interacción entre docentes y formadores.
1. PROPÓSITOS
TR
El participante:
Expresan sus inquietudes y expectativas sobre el módulo, considerando las lecturas realizadas durante la primera semana de implementación del módulo.
Insertar imagen de docentes de primaria reunidos en talleres
D
E
Plantean actividades que desarrollen estrategias multiplicativas para resolver situaciones problemáticas de alta demanda cognitiva.
TO
Dialogan sobre la estructura multiplicativa y las nociones de multiplicación como suma repetida, como razón, como producto cartesiano, etc.
EN
Socializa sus respuestas de la tarea correspondiente a la primera situación para la reflexión analizando el rol desempeñado por la docente y los estudiantes..
2. TEMAS A TRATAR
M
Lectura previa: “El aprendizaje de la multiplicación”.
C U
Primera situación para la reflexión pedagógica: “Usamos la multiplicación para tomar decisiones”.
D O
Actividades que promuevan el desarrollo del pensamiento multiplicativo en los estudiantes. Estrategias multiplicativas para la resolución de situaciones problemáticas de alta demanda.
3. ACUERDOS Y COMPROMISOS Desarrollar con los estudiantes las actividades y estrategias compartidas durante el taller. Iniciar la elaboración de la primera propuesta de práctica pedagógica.
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