Complemente-de-Matematica

Nicolae Cotfas

Liviu Adrian Cotfas

COMPLEMENTE DE ˘ MATEMATICA

˘ ¸ II DIN BUCURES EDITURA UNIVERSITAT ¸ TI

Introducere Modelele teoretice au un rol important ˆın ˆınt¸elegerea fenomenelor fizice dar ˆın general implic˘ a un aparat matematic destul de elaborat. Familiarizarea cu not¸iunile ¸si rezultatele matematice strict necesare creaz˘a frecvent probleme studentului pasionat de fizic˘a. In literatura de specialitate exist˘a tratate excelente scrise atât de fizicieni teoreticieni cˆ at ¸si de matematicieni dar parcurgerea lor necesit˘a timp iar tânarul fizician dore¸ste s˘ a aib˘ a cˆ at mai curând capacitatea de a citi anumite lucr˘ari ¸si de a g˘asi o formulare matematic˘ a adecvat˘a pentru modelele teoretice pe care dore¸ste s˘a le propun˘ a. Prezenta lucrare ˆı¸si propune s˘ a ofere un acces cât mai facil la câteva dintre not¸iunile ¸si rezultatele matematice frecvent utilizate ˆın descrierea fenomenelor fizice, ˆın inginerie ¸si ˆın anticiparea evolut¸iei ˆın domeniul economic ¸si financiar. Elementele de teorie, reduse la strictul necesar, sunt bogat ilustrate cu exemple adecvate. Autorii consider˘ a c˘ a aceast˘ a abordare este potrivit˘a pentru un prim contact cu not¸iunile matematice prezentate ¸si ofer˘ a o bun˘a baz˘a pentru lectura ulterioar˘a a unor lucr˘ari cont¸inând o abordare mai profund˘a. Se urm˘ are¸ste ca ˆın paralel cu prezentarea not¸iunilor ¸si rezultatelor matematice cititorul s˘a fie familiarizat cu facilit˘ a¸tile oferite de programul MATHEMATICA ˆın rezolvarea problemelor ˆın care ele intervin. Textul este ilustrat un num˘ar mare de figuri utile ˆın ˆınt¸elegerea cont¸inutului matematic. Lucrarea se adreseaz˘a student¸ilor de la facult˘ a¸tile de fizic˘ a, dar poate fi util˘a ¸si student¸ilor de la facult˘a¸tile cu profil tehnic sau economic.

Bucure¸sti, 2009

Nicolae Cotfas Liviu Adrian Cotfas 5

Cuprins 1 Elemente de analiz˘ a complex˘ a

9

1.1

Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Functii complexe de variabil˘a complex˘a . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3

Integrala complex˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.4

Serii Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

1.5

Calculul integralelor cu ajutorul reziduurilor . . . . . . . . . . . . . .

66

2 Tensori

79

2.1

Dualul unui spat¸iu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2.2

Tensori

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.3

Operat¸ii cu tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

2.4

Exemple de tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3 Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare

91

3.1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntâi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.2

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordin superior . . . . . . . . . . . . . .

97

3.3

Sisteme diferent¸iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Funct¸ii sferice

119

4.1

Polinoame Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.2

Funct¸ii Legendre asociate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.3

Funct¸ii sferice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4

Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 133 7

8

CUPRINS

5 Transformarea Fourier 141 5.1 Distribut¸ii temperate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.2 Transformarea Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6 Grupuri ¸si reprezent˘ arile lor liniare 6.1 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Reprezent˘ ari liniare . . . . . . . . . . . 6.3 Reprezent˘ ari ireductibile . . . . . . . . 6.4 Reprezent˘ ari unitare ¸si ortogonale . . 6.5 Grupul rotat¸iilor. Reprezent˘ari liniare

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

7 Algebre Lie ¸si reprezent˘ arile lor liniare 7.1 Algebre Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Reprezent˘ ari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Reprezent˘ ari ireductibile . . . . . . . . . . . . . 7.4 Reprezent˘ arile algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3)

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

163 163 165 168 170 173

. . . .

181 181 189 191 194

Capitolul 1

Elemente de analiz˘ a complex˘ a 1.1

Numere complexe

Ecuat¸ia 2+x=1 nu admite solut¸ie ˆın mult¸imea numerelor naturale N = { 0, 1, 2, 3, . . . }

dar admite solut¸ia x = −1 ˆın mult¸imea numerelor ˆıntregi Z = { . . . , 2, −1, 0, 1, 2, . . . }

care este o extensie a lui N obt¸inut˘ a prin ad˘augarea ˆıntregilor negativi −1, −2, −3, . . . Ecuat¸ia 2x = 1 nu admite solut¸ie ˆın Z dar admite solut¸ie ˆın mult¸imea numerelor rat¸ionale Q=

n n ∈ Z, k ∈ {1, 2, 3, . . .} k

format˘a din clase de fract¸ii echivalente n n0 ∼ 0 k k

daca 9

n k 0 = n0 k.

/∼

10

Complemente de Matematic˘a

Solut¸ia ecuat¸iei considerate este num˘arul rat¸ional care se poate reprezenta folosind oricare dintre fract¸iile echivalente 2 3 4 1 ∼ ∼ ∼ ∼ ··· 2 4 6 8 Fiecare num˘ ar intreg n se identific˘a cu num˘arul rat¸ional pentru care fract¸ia n1 este reprezentant. Mult¸imea numerelor rat¸ionale devine ˆın acest fel o extensie a mult¸imii numerelor ˆıntregi Z. In afar˘ a de reprezentarea sub form˘a de fract¸ie, pentru fiecare num˘ar rat¸ional se utilizeaz˘ a reprezentarea sub form˘a de fract¸ie zecimal˘a obt¸inut˘a prin efectuarea ˆımp˘ art¸irii num˘ ar˘ atorului la numitor. De exemplu, 1 = 0, 5000... = 0, 5 2

2 = 0, 666... = 0, (6) 3

2 = 0, 1333... = 0, 1(3) . 15

Deoarece in cazul num˘ arului nk pe parcursul efectu˘arii ˆımp˘art¸irii lui n la k singurele resturi posibile sunt 0, 1, . . . , k − 1 rezult˘a c˘a ˆın cazul reprezent˘arii unui num˘ar rat¸ional sub form˘ a de fract¸ie zecimal˘a pot apare doar fract¸iile zecimale finite, cele periodice ¸si cele periodice mixte. Se poate constata c˘a, de exemplu, fract¸iile 0.5 ¸si 0.4(9) reprezint˘ a acela¸si num˘ ar rat¸ional 0, 4(9) =

1 49 − 4 = = 0, 5 . 90 2

Pentru ca reprezentarea numerelor rat¸ionale sub form˘a de fract¸ie zecimal˘a s˘a fie unic˘a este suficient sa elimin˘ am fract¸iile zecimale cu perioada 9. Ecuat¸ia x2 = 2 √ nu admite solut¸ie ˆın Q dar admite solut¸iile x = ± 2 in mult¸imea numerelor reale ( R=

) n ∈ Z si nu exista k astfel incat n, a1 a2 a3 ... aj = 9 oricare ar fi j ≥ k

care este o extindere a mult¸imii numerelor rat¸ionale. Se ¸stie c˘a ˆın cazul ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 ecuat¸ia de gradul al doilea (a 6= 0) ax2 + bx + c = 0 admite solut¸iile reale x1,2

√ −b ± ∆ = 2a

Elemente de analiz˘ a complex˘ a

11

¸si c˘a ˆın cazul ∆ = b2 − 4ac < 0 ecuat¸ia considerat˘a nu admite r˘adacini reale. Admit¸ând c˘ a ˆın afar˘ a de numerele reale exist˘a un “num˘ar imaginar” i astfel ˆıncât i2 = −1 ecuat¸ia considerat˘ a admite ˆın cazul ∆ = b2 − 4ac < 0 solut¸iile x1,2

√ −b ± i −∆ = 2a

apart¸inˆ and mult¸imii numerelor complexe C = R + Ri = {z = x + yi | x, y ∈ R }.

Mult¸imea C reprezint˘ a o extindere a mult¸imii numerelor reale R, fiecare num˘ar real x putând fi identificat ˆın mod natural cu num˘arul complex x+0i. Avem astfel relat¸ia (a se vedea figura 1.1) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Figura 1.1

12


Mult¸imea numerelor complexe C considerat˘a ˆımpreun˘a cu operat¸iile de adunare a numerelor complexe (x + yi) + (x0 + y 0 i) = (x + x0 ) + (y + y 0 )i ¸si de ˆınmult¸ire cu un num˘ ar real α(x + yi) = αx + αyi este un spat¸iu vectorial real de dimensiune 2. Scrierea unui num˘ar complex sub forma z = x + yi reprezint˘ a dezvoltarea lui ˆın raport cu baza {1, i}. Aplicat¸ia R2 −→ C : (x, y) 7→ x + yi

este un izomorfism care permite identificarea celor dou˘a spat¸ii vectoriale. Relat¸ia i2 = −1 permite definirea unei operat¸ii suplimentare pe C, f˘ar˘a analog ˆın R2 (x + yi)(x0 + y 0 i) = (xx0 − yy 0 ) + (xy 0 + yx0 )i. numit˘a ˆınmult¸irea numerelor complexe. Mult¸imea C considerat˘a ˆımpreuna cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire a numerelor complexe este un corp comutativ. In particular, fiecare num˘ ar complex nenul admite un invers (x + yi)−1 =

1 x − yi x y = 2 = 2 − 2 i. 2 2 x + yi x +y x +y x + y2

Definit¸ia 1.1 Fie z = x + yi un num˘ ar complex. Num˘ arul Re z = x se nume¸ste partea real˘a a lui z. Num˘ arul Im z = y se nume¸ste partea imaginar˘a a lui z. Num˘ arul z¯ = x − yi se nume¸ste conjugatul lui z. p Num˘ arul |z| = x2 + y 2 se nume¸ste modulul lui z. Propozit¸ia 1.2 Relat¸iile z1 ± z2 = z¯1 ± z¯2

z1 z2 = z¯1 z¯2

(z n ) = (¯ z )n

|¯ z | = |z|

|z|2 = z z¯

(¯ z) = z

z Re z = z+¯ 2

z Im z = z−¯ 2i

z = Re z+ Im z i.

au loc oricare ar fi numerele complexe z1 , z2 ¸si z.


13

Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezult˘ a direct din definit¸ia anterioar˘a.

Propozit¸ia 1.3 Oricare ar fi num˘ arul complex z = x + yi avem 

|x| 

≤ |x+yi| ≤ |x| + |y|

|y|  adic˘ a



|Re z| 

≤ |z| ≤ |Re z| + |Im z|.

|Im z|  Demonstrat¸ie. Avem |x + yi| =

q

x2 + y 2 ≥

√

x2 = |x|

|x + yi| =

q

x2 + y 2 ≥

q

y 2 = |y|

iar relat¸ia q

x2 + y 2 ≤ |x| + |y|

este echivalent˘ a cu relat¸ia evident adev˘arat˘a x2 + y 2 ≤ (|x| + |y|)2 . Propozit¸ia 1.4 Aplicat¸ia modul | | : C −→ R,

q

x2 + y 2

|z| = |x + yi| =

este o norm˘ a pe spat¸iul vectorial real C, iar d : C × C −→ R,

d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | =

q

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

este distant¸a asociat˘ a. Demonstrat¸ie. Oricare ar fi num˘ arul complex z = x + yi avem |z| =

q

x2 + y 2 ≥ 0

¸si |z| = 0

⇐⇒

z = 0.

14


Dac˘a α este un num˘ ar real atunci |αz| = |(αx) + (αy)i| =

q

(αx)2 + (αy)2 =

q

α2 (x2 + y 2 ) = |α| |z|.

Oricare ar fi numerele z1 = x1 + y1 i ¸si z2 = x2 + y2 i avem relat¸ia |z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(¯ z1 + z¯2 ) = |z1 |2 + |z2 |2 + z1 z¯2 + z¯1 z2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2Re (z1 z¯2 ) ≤ |z1 |2 + |z2 |2 + 2|Re (z1 z¯2 )| ≤ |z1 |2 + |z2 |2 + 2|z1 z¯2 | = (|z1 | + |z2 |)2 din care rezult˘ a c˘ a |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Observat¸ia 1.1 Dac˘ a consider˘ am R2 ˆınzestrat cu norma uzual˘a || || : R2 −→ R,

||(x, y)|| =

q

x2 + y 2

atunci ||(x, y)|| =

q

x2 + y 2 = |x + yi|

ceea ce arat˘ a c˘ a aplicat¸ia liniar˘ a R2 −→ C : (x, y) 7→ x + yi

este un izomorfism de spat¸ii vectoriale normate care permite identificarea spat¸iilor normate (R2 , || ||) ¸si (C, | |). Dac˘ a se are ˆın vedere doar structura de spat¸iu vectorial 2 normat, spat¸iile (R , || ||) ¸si (C, | |) difer˘a doar prin notat¸iile utilizate. Distant¸a d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | =

q

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

dintre dou˘ a numere z1 = x1 + y1 i ¸si z2 = x2 + y2 i ˆın planul complex corespunde distant¸ei dintre punctele corespunz˘atoare din planul euclidian (a se vedea figura 1.2) q d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2


15

Figura 1.2 Observat¸ia 1.2 |z1 − z2 | = distanta in planul complex intre z1 si z2 . |z| = |z − 0| = distanta in planul complex intre z si origine. Fie a ∈ C fixat ¸si r ∈ (0, ∞). Mult¸imea Br (a) = { z | |z−a| < r } se nume¸ste discul (deschis) de centru a ¸si raz˘a r (a se vedea figura 1.3).

Figura 1.3

16


Definit¸ia 1.5 Spunem c˘ a o mult¸ime M ⊂ C este m˘arginit˘a dac˘ a exist˘ a a ∈ C ¸si r ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at M ⊆ Br (a). Exercit¸iul 1.1 Mult¸imea M este m˘arginit˘a dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a r ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |z| ≤ r, oricare ar fi z ∈ M .

Figura 1.4 Definit¸ia 1.6 O mult¸ime D ⊆ C este numit˘ a mult¸ime deschis˘a dac˘ a oricare ar fi a ∈ D exista r ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at Br (a) ⊂ D. Spunem c˘ a despre o mult¸ime F ⊆ C c˘ a este ˆınchis˘ a dac˘ a mult¸imea C\F este deschis˘ a. Exemplul 1.2 a) Discul B1 (0) este mult¸ime deschis˘a. b) Semiplanul { z | Im z > 0 } este mult¸ime deschis˘a. c) Orice mult¸ime finit˘ a F ⊆ C este o mult¸ime ˆınchis˘a. d) Semiplanul { z | Re z ≥ 0 } este mult¸ime ˆınchis˘a. Definit¸ia 1.7 O mult¸ime K ⊆ C este numit˘ a mult¸ime compact˘a dac˘ a este ˆınchis˘ a ¸si m˘ arginit˘ a. Exercit¸iul 1.3 S˘ a se arate c˘ a relat¸iile a)

|z1 z2 | = |z1 | |z2 |

b)

| |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 |

c)

|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + 2 |z2 |2


17

au loc oricare ar fi numerele complexe z1 ¸si z2 . Rezolvare. a) Avem (x1 x2 − y1 y2 )2 + (x1 y2 + x2 y1 )2 = (x21 + y12 )(x22 + y22 ). b) Din |z1 | = |z1 − z2 + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 |,

|z2 | = |z2 − z1 + z1 | ≤ |z2 − z1 | + |z1 |

rezult˘a relat¸ia −|z1 − z2 | ≤ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | echivalent˘ a cu | |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 |. c) Prin calcul direct obt¸inem |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(¯ z1 + z¯2 ) + (z1 − z2 )(¯ z1 − z¯2 ) = 2 |z1 |2 + 2 |z2 |2 . Definit¸ia 1.8 Spunem c˘ a ¸sirul (zn )n≥0 este convergent la a ¸si scriem lim zn = a

n→∞

dac˘ a lim |zn − a| = 0.

n→∞

Observat¸ia 1.3 Din relat¸ia 

|xn − α|  |yn − β| 

≤ |(xn + yn i) − (α + βi)| ≤ |xn − α| + |yn − β|

rezult˘a c˘ a lim (xn + yn i) = α + βi

n→∞

⇐⇒

  limn→∞ xn = α  lim n→∞ yn = β.

adic˘a ¸sirul de numere complexe (zn )n≥0 este convergent dac˘a ¸si numai dac˘a ¸sirurile de numere reale (Re zn )n≥0 ¸si (Im zn )n≥0 sunt convergente ¸si lim zn = lim Re zn + i lim Im zn .

n→∞

n→∞

n→∞

18


Definit¸ia 1.9 Un ¸sir (zn )n≥0 este m˘arginit dac˘ a exist˘ a r ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |zn | ≤ r,

oricare ar fi n ≥ 0.

Observat¸ia 1.4 Din relat¸ia 

|xn |  |yn | 

≤ |xn + yn i| ≤ |xn | + |yn |

rezult˘a c˘ a ¸sirul de numere complexe (zn )n≥0 este m˘arginit dac˘a ¸si numai dac˘a ¸sirurile de numere reale (Re zn )n≥0 ¸si (Im zn )n≥0 sunt m˘arginite. Observat¸ia 1.5 Oricare ar fi ϕ ¸si ψ avem (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) +i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) = cos(ϕ+ψ) + i sin(ϕ+ψ). Utilizând notat¸ia lui Euler eit = cos t + i sin t relat¸ia anterioar˘ a devine eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ) . Observat¸ia 1.6 Pentru orice num˘ar nenul z = x+yi exist˘a arg z ∈ (−π, π] ˆıncât z = |z|(cos(arg z) + i sin(arg z)) = |z| ei argz .

Figura 1.5


19

Num˘arul arg z, numit argumentul principal al lui z = x+yi, este

arg z =

            

arctg xy

daca x > 0

π + arctg xy

daca x < 0, y > 0

−π + arctg xy

daca x < 0, y < 0

π 2

daca x = 0, y > 0

π 2

daca x = 0, y < 0.

           

Se ¸stie c˘ a ˆın cazul numerelor reale este util˘a introducerea simbolurilor ∞ ¸si −∞ cu propriet˘ a¸ti binecunoscute din matematica de liceu ¸si considerarea dreptei reale ˆıncheiate ¯ = R ∪ {−∞, ∞}. R In cazul planului complex se obt¸in avantaje similare prin adaugarea, de aceast˘a dat˘a, a unui singur punct “de la infinit” notat cu ∞ ¸si prin considerarea planului complex extins C∞ = C ∪ {∞}. Definit¸ia 1.10 Spunem c˘ a ¸sirul de numere complexe (zn )n≥0 are limita infinit˘a lim zn = ∞

n→∞

dac˘ a lim |zn | = ∞.

n→∞

Observat¸ia 1.7 Programul MATHEMATICA permite utilizarea comod˘a a funct¸iilor Re

Im

¯

||

arg.

20



21

22

1.2


Functii complexe de variabil˘ a complex˘ a

Prin funct¸ie complex˘ a se ˆınt¸elege orice funct¸ie cu valori complexe. In cazul funct¸iilor reale de variabil˘ a real˘ a, not¸iunea de funct¸ie derivabil˘a este binecunoscut˘a din liceu. Definit¸ia 1.11 Spunem c˘ a funct¸ia real˘ a de variabil˘ a real˘ a f : (a, b) −→ R este derivabil˘ a ˆın punctul t0 ∈ (a, b) dac˘ a exist˘ a ¸si este finit˘ a limita f 0 (t0 ) = lim

t→t0

f (t) − f (t0 ) t − t0

numit˘ a derivata funct¸iei f ˆın punctul t0 . Observat¸ia 1.8 Definit¸ia anterioar˘a nu poate fi extins˘a direct la funct¸iile de dou˘a variabile f : D ⊆ R2 −→ R deoarece relat¸ia f 0 (x0 , y0 ) =

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) − f (x0 , y0 ) (x, y) − (x0 , y0 )

este f˘ar˘ a sens, ˆımp˘ art¸irea cu vectorul (x−x0 , y−y0 ) = (x, y)−(x0 , y0 ) nefiind definit˘a. Posibilitatea ˆımp˘ art¸irii cu un num˘ar complex nenul permite ins˘a definirea derivabilit˘a¸tii unei funct¸ii de variabil˘ a complex˘a urmând direct analogia cu cazul real. Definit¸ia 1.12 Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a. Spunem c˘ a funct¸ia complex˘ a f : D −→ C este C-derivabil˘ a (sau olomorf˘ a) ˆın punctul z0 ∈ D dac˘ a exist˘ a ¸si este finit˘ a limita f 0 (z0 ) = lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

numit˘ a derivata funct¸iei f ˆın punctul z0 . In loc de f 0 (z0 ) scriem uneori

df dz (z0 ).


23

Exemplul 1.4 a) Funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z 3

este C-derivabil˘ a ˆın orice punct z0 ∈ C f 0 (z0 ) = lim

z→z0

z 3 − z03 = lim (z 2 + z0 z + z02 ) = 3z02 z→z0 z − z0

¸si f 0 (z) = 3z 2 , adic˘ a avem (z 3 )0 = 3z 2 . b) Funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z¯

nu este C-derivabil˘ a ˆın z0 = 1 deoarece limita lim

z→1

nu exist˘ a. Alegˆ and ¸sirul zn =

n n+1

cu limn→∞ zn = 1 obt¸inem lim

n→∞

dar alegˆ and ¸sirul zn = 1 +

1 n+1 i

z¯ − 1 z−1

z¯n − 1 =1 zn − 1

cu limn→∞ zn = 1 obt¸inem lim

n→∞

z¯n − 1 = −1. zn − 1

Observat¸ia 1.9 Bazˆ andu-ne pe identificarea lui C cu R2 C −→ R2 : x + yi 7→ (x, y)

putem descrie orice funct¸ie complex˘a de o variabil˘a complex˘a f : D −→ C cu ajutorul a dou˘ a funct¸ii reale de câte dou˘a variabile reale f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i

24


unde u = Re f : D −→ R este partea reala a lui f v = Im f : D −→ R este partea imaginara a lui f. Exemplul 1.5 a) In cazul funct¸iei f : C −→ C,

f (z) = z¯

avem f (x + yi) = x − yi adic˘a u(x, y) = x,

v(x, y) = −y.

b) In cazul funct¸iei f (z) = z 2

f : C −→ C, avem

f (x + yi) = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi ¸si prin urmare u(x, y) = x2 − y 2 ,

v(x, y) = 2xy.

Observat¸ia 1.10 Conform definit¸iei, funct¸ia f : D −→ C,

f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i

este C-derivabil˘ a ˆın z0 = x0 + y0 i dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a ¸si este finit˘a limita lim

z→z0

Pentru ca lim

z→z0

f (z) − f (z0 ) . z − z0

f (z) − f (z0 ) = α + βi z − z0

este necesar ca lim

t→0

f (z0 + t) − f (z0 ) = α + βi, t

lim

t→0

f (z0 + ti) − f (z0 ) = α + βi ti

adic˘a s˘a aib˘ a loc relat¸iile lim

t→0

u(x0 + t, y0 ) − u(x0 , y0 ) v(x0 + t, y0 ) − v(x0 , y0 ) + lim i = α + βi t→0 t t


25

u(x0 , y0 + t) − u(x0 , y0 ) v(x0 , y0 + t) − v(x0 , y0 ) + lim i = α + βi t→0 ti ti echivalente cu lim

t→0

∂v ∂u (x0 , y0 ) = α = (x0 , y0 ), ∂x ∂y

∂v ∂u (x0 , y0 ) = β = − (x0 , y0 ). ∂x ∂y

In particular, dac˘ a f este C-derivabil˘a ˆın z0 = x0 +y0 i atunci f 0 (x0 + y0 i) =

∂u ∂v (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) i. ∂x ∂x

Teorema 1.13 (Cauchy-Riemann) Funct¸ia f : D −→ C,

f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i

definit˘ a pe mult¸imea deschis˘ a D ⊆ C este C-derivabil˘ a ˆın punctul z0 = x0 +y0 i ∈ D dac˘ a ¸si numai dac˘ a funct¸iile reale u : D −→ R,

v : D −→ R

sunt R-diferent¸iabile ˆın (x0 , y0 ) ¸si verific˘ a relat¸iile Cauchy-Riemann ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ), ∂x ∂y

∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ). ∂y ∂x

In aceste condit¸ii f 0 (x0 + y0 i) =

∂u ∂v (x0 , y0 ) + (x0 , y0 ) i. ∂x ∂x

Demonstrat¸ie. A se vedea [4]. Definit¸ia 1.14 Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a. Spunem c˘ a funct¸ia f : D −→ C este C-derivabil˘ a (sau olomorf˘ a) dac˘ a este C-derivabil˘ a ˆın orice punct din D. Exercit¸iul 1.6 S˘ a se arate ca funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z 2

26


este olomorf˘ a ¸si s˘ a se determine f 0 (z). Rezolvare. Utiliz˘ am teorema Cauchy-Riemann. Avem f (x + yi) = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi ¸si prin urmare u(x, y) = x2 − y 2 ,

v(x, y) = 2xy.

Funct¸iile u ¸si v sunt R-diferent¸iabile ˆın orice punct ¸si ∂u ∂v (x, y) = 2x = (x, y), ∂x ∂y

∂u ∂v (x, y) = −2y = − (x, y). ∂y ∂x

Derivata lui f este f 0 (x + yi) =

∂v ∂u (x, y) + (x, y) i = 2x + 2yi ∂x ∂x

adic˘a, f 0 (z) = 2z. Exercit¸iul 1.7 S˘ a se arate ca funct¸ia f : C −→ C,

f (z) = z¯

nu este C-derivabil˘ a ˆın niciun punct. Rezolvare. Utiliz˘ am teorema Cauchy-Riemann. Avem f (x + yi) = x − yi adic˘a u(x, y) = x,

v(x, y) = −y.

In acest caz relat¸iile Cauchy-Riemann nu sunt verificate ˆın niciun punct deoarece ∂u (x, y) = 1, ∂x

∂v (x, y) = −1. ∂y


27

Definit¸ia 1.15 Funct¸ia f (z) = ez

f : C −→ C, unde

ex+yi = ex eyi = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + i ex sin y este numit˘ a funct¸ia exponent¸ial˘ a (complex˘ a). Observat¸ia 1.11 Funct¸ia exponent¸ial˘a este o funct¸ie periodic˘a cu perioada 2πi ez+2πi = ez ¸si ez1 +z2 = ez1 ez2 oricare ar fi z1 , z2 ∈ C. Exercit¸iul 1.8 S˘ a se arate ca funct¸ia exponent¸ial˘a f : C −→ C,

f (z) = ez

este olomorf˘ a ¸si (ez )0 = ez . Rezolvare. Utiliz˘ am teorema Cauchy-Riemann. Din relat¸ia f (x + yi) = ex cos y + i ex sin y rezult˘a c˘ a u(x, y) = ex cos y ¸si v(x, y) = ex sin y. Funct¸iile reale u ¸si v sunt R-diferent¸iabile ˆın orice punct ¸si ∂u ∂v (x, y) = ex cos y = (x, y), ∂x ∂y

∂u ∂v (x, y) = −ex sin y = − (x, y). ∂y ∂x

Derivata lui f este f 0 (z) = f 0 (x + yi) =

∂u ∂v (x, y) + (x, y) i = ex cos y + i ex sin y = ez . ∂x ∂x

28


Observat¸ia 1.12 a) Dac˘ a funct¸iile f, g : D −→ C sunt olomorfe atunci (αf ± βg)0 = α f 0 + β g 0

(f g)0 = f 0 g + f g 0

oricare ar fi α, β ∈ C. Dac˘ a ˆın plus g(z) 6= 0, oricare ar fi z ∈ D, atunci 0 f

g f

=

f 0g − f g0 . g2

g

b) Dac˘a funct¸iile D −→ C −→ C sunt olomorfe atunci d (g(f (z)) = g 0 (f (z)) f 0 (z). dz Exercit¸iul 1.9 Funct¸iile complexe cos : C −→ C,

cos z =

eiz +e−iz 2

sin : C −→ C,

sin z =

eiz −e−iz 2i

ch : C −→ C,

ch z =

ez +e−z 2

sh : C −→ C,

shz =

ez −e−z 2

sunt olomorfe ¸si (cos z)0 = − sin z

(sin z)0 = cos z

(ch z)0 = sh z

(sh z)0 = ch z.

Rezolvare. Calcul direct. Observat¸ia 1.13 Funct¸ia exponent¸ial˘a real˘a R −→ (0, ∞) : x 7→ ex

este bijectiv˘ a. Inversa ei este funct¸ia logaritm natural (0, ∞) −→ R : x 7→ ln x. Avem x = eln x


29

oricare ar fi x ∈ (0, ∞). In cazul complex, putem obt¸ine o relat¸ie oarecum similar˘a z = |z| ei arg z = eln |z| ei arg z = eln |z|+i(arg z+2kπ) adev˘arat˘ a oricare ar fi k ∈ Z. Definit¸ia 1.16 Fie mult¸imea D0 = C\{ z | Im z = 0, Re z ≤ 0 }. Funct¸iile logk : D0 −→ C,

logk z = ln |z| + i(arg z + 2kπ)

depinzˆ and de parametrul k ∈ Z sunt numite ramuri uniforme ale funct¸iei logaritmice. Exercit¸iul 1.10 S˘ a se determine funct¸ia olomorf˘a f : C −→ C care ˆındepline¸ste condit¸iile Im f (x, y) = 2xy + y,

f (i) = i.

Rezolvare. C˘ autˆ and funct¸ia f de forma f (x + yi) = u(x, y) + (2xy + y)i din teorema Cauchy-Riemann deducem relat¸iile ∂u (x, y) = 2x + 1, ∂x

∂u (x, y) = −2y ∂y

din care rezult˘ a c˘ a u(x, y) = x2 − y 2 + x + c, unde c este o constant˘a. Impunând condit¸ia suplimentar˘ a f (i) = i obt¸inem f (x + yi) = x2 − y 2 + x + 1 + (2xy + y)i = (x + yi)2 + (x + yi) + 1 adic˘a f (z) = z 2 + z + 1.

30

1.3


Integrala complex˘ a

Propozit¸ia 1.17 Fie D ⊆ C. Aplicat¸ia γ : [a, b] −→ D,

γ(t) = ϕ(t) + ψ(t) i.

este continu˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a aplicat¸iile reale ϕ = Re γ : [a, b] −→ R,

ψ = Im γ : [a, b] −→ R

sunt continue. Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din relat¸ia 

|ϕ(t) − ϕ(t0 )|  |ψ(t) − ψ(t0 )| 

≤ |γ(t) − γ(t0 )| ≤ |ϕ(t) − ϕ(t0 )| + |ψ(t) − ψ(t0 )|.

Definit¸ia 1.18 Spunem c˘ a aplicat¸ia γ : (a, b) −→ D este derivabil˘ a ˆın punctul t0 ∈ (a, b) dac˘ a exist˘ a ¸si este finit˘ a limita γ 0 (t0 ) = lim

t→t0

γ(t) − γ(t0 ) . t − t0

Spunem c˘ a γ este aplicat¸ie derivabil˘a dac˘ a este derivabil˘ a ˆın orice punct t0 ∈ (a, b). Observat¸ia 1.14 In cazul unei aplicat¸ii γ : [a, b] −→ D prin γ 0 (a) ¸si γ 0 (b) vom ˆınt¸elege derivatele laterale γ 0 (a) = lim

t&a

γ(t) − γ(a) , t−a

γ 0 (b) = lim

t%b

γ(t) − γ(b) . t−b


31

Propozit¸ia 1.19 Aplicat¸ia γ : [a, b] −→ D,

γ(t) = ϕ(t) + ψ(t) i.

este derivabil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a aplicat¸iile reale ϕ = Re γ : [a, b] −→ R,

ψ = Im γ : [a, b] −→ R

sunt derivabile ¸si γ 0 (t) = ϕ0 (t) + ψ 0 (t) i. Demonstrat¸ie. Avem γ 0 (t0 ) = lim

t→t0

γ(t) − γ(t0 ) ϕ(t) − ϕ(t0 ) ψ(t) − ψ(t0 ) = lim + lim i. t→t0 t→t0 t − t0 t − t0 t − t0

Definit¸ia 1.20 Fie D ⊆ C. Prin drum neted ˆın D se ˆınt¸elege o aplicat¸ie derivabil˘ a γ : [a, b] −→ D cu derivata γ 0 : [a, b] −→ C continu˘ a. Exemplul 1.11 a) Oricare ar fi z ∈ C aplicat¸ia constant˘a γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = z

este un drum neted ˆın C (numit drum punctual). b) Oricare ar fi numerele complexe z1 ¸si z2 aplicat¸ia γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = (1 − t) z1 + t z2

este un drum neted ˆın C (drumul liniar ce leag˘a z1 cu z2 ). c) Oricare ar fi z0 = x0 + y0 i ∈ C ¸si r ∈ (0, ∞) aplicat¸ia γ : [0, 2π] −→ C,

γ(t) = z0 + reit = x0 + r cos t + (y0 + r sin t)i

este un drum neted ˆın C (numit drum circular de raz˘a r ¸si centru z0 ).

32


Figura 1.6 Definit¸ia 1.21 Fie f : D −→ C o funct¸ie continu˘ a ¸si fie γ : [a, b] −→ D un drum neted ˆın D. Prin integrala complex˘a a funct¸iei f de-a lungul drumului γ (a se vedea figura 1.6) se ˆınt¸elege num˘ arul Z b

Z

f (z)dz =

f (γ(t)) γ 0 (t) dt.

a

γ

Exercit¸iul 1.12 Fie funct¸ia f : C∗ −→ C,

f (z) =

1 z

unde C∗ = C\{0} ¸si drumul neted γ : [0, 2π] −→ C∗ , S˘a se calculeze

γ(t) = eit .

Z

f (z)dz. γ

Rezolvare. Deoarece f (γ(t)) = Z 2π

Z

= e−it ¸si γ 0 (t) = ieit obt¸inem 0

Z 2π

f (γ(t)) γ (t) dt =

f (z)dz = γ

1 γ(t)

0

0

e−it i eit dt = 2πi.


33

Observat¸ia 1.15 In cazul unui drum punctual γ(t) = z avem γ 0 (t) = 0 ¸si prin urmare Z

f (z) dz = 0 γ

oricare ar fi funct¸ia f . Observat¸ia 1.16 Dac˘ a f (x + yi) = u(x, y) + v(x, y)i ¸si γ(t) = ϕ(t) + ψ(t) i atunci R γ

f (z)dz =

Rb

0 a [u(ϕ(t), ψ(t)) ϕ (t)

+i

− v(ϕ(t), ψ(t)) ψ 0 (t)] dt

Rb

a [u(ϕ(t), ψ(t)) ψ

Exercit¸iul 1.13 Calculat¸i

0 (t)

+ v(ϕ(t), ψ(t)) ϕ0 (t)] dt.

Z

z¯ dz γ

unde γ este drumul liniar ce leag˘ a z1 = 1 cu z2 = i. Rezolvare. Deoarece γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = (1 − t)1 + ti

avem relat¸iile f (γ(t)) = γ(t) = 1 − t − ti ¸si γ 0 (t) = −1 + i din care rezult˘a Z 1

Z

z¯ dz = γ

(1 − t − ti)(−1 + i)dt =

Z 1

Z 1 0

0

dt = i.

(−1 + 2t)dt + i 0

Definit¸ia 1.22 Fie D ⊆ C o submult¸ime. Spunem c˘ a drumurile netede γ : [a, b] −→ D

si

γ1 : [a1 , b1 ] −→ D

sunt echivalente dac˘ a exist˘ a o aplicat¸ie bijectiv˘ a derivabil˘ a strict cresc˘ atoare χ : [a1 , b1 ] −→ [a, b] astfel ˆıncˆ at γ1 (s) = γ(χ(s)),

oricare ar f i s ∈ [a1 , b1 ].

34


Observat¸ia 1.17 Relat¸ia definit˘a este o relat¸ie de echivalent¸˘a care permite ˆımp˘art¸irea mult¸imii drumurilor netede ˆın clase de echivalent¸˘a. Fiecare clas˘a de echivalent¸˘ a corespunde unei curbe netede, elementele clasei fiind numite parametriz˘ ari ale curbei considerate. Propozit¸ia 1.23 Dac˘ a f : D −→ C este o funct¸ie continu˘ a ¸si dac˘ a drumurile netede γ : [a, b] −→ D,

γ1 : [a1 , b1 ] −→ D

sunt echivalente atunci Z

Z

f (z) dz =

f (z) dz γ1

γ

adic˘ a valoarea integralei depinde de curba aleas˘ a ¸si nu de parametrizarea utilizat˘ a. Demonstrat¸ie. Folosind metoda schimb˘arii de variabil˘a obt¸inem R γ1

f (z) dz =

R b1

=

R b1

a1 a1

f (γ1 (s)) γ10 (s) ds f (γ(χ(s))) γ 0 (χ(s)) χ0 (s) ds =

Observat¸ia 1.18 Orice drum γ : [a, b] −→ D

Rb a

f (γ(t)) γ 0 (t) dt =

R γ

f (z) dz.


35

este echivalent cu un drum definit pe [0, 1] ¸si anume γ0 : [0, 1] −→ D,

γ0 (t) = γ((1 − t)a + tb).

Definit¸ia 1.24 Fie γ : [a, b] −→ D un drum neted. Drumul γ˜ : [a, b] −→ D,

γ˜ (t) = γ(a + b − t)

se nume¸ste inversul drumului γ. Propozit¸ia 1.25 Dac˘ a f : D −→ C este o funct¸ie continu˘ a ¸si γ : [a, b] −→ D un drum neted ˆın D atunci Z

f (z) dz = −

Z

f (z) dz. γ

γ ˜

Demonstrat¸ie. Utilizˆ and schimbarea de variabil˘a s = a + b − t obt¸inem R γ ˜

f (z) dz =

Rb

=

Ra

a b

f (˜ γ (t)) γ˜ 0 (t) dt = −

Rb

f (γ(s)) γ 0 (s) ds = −

a

f (γ(a + b − t)) γ 0 (a + b − t) dt

R γ

f (z) dz.

Definit¸ia 1.26 Fie D ⊆ C. Prin drum neted pe portiuni ˆın D se ˆınt¸elege o aplicat¸ie continu˘ a γ : [a, b] −→ D cu proprietatea c˘ a exist˘ a o diviziune a = t0 < t1 < . . . < tn = b astfel ˆıncˆ at 1) restrict¸iile γ|(ti−1 ,ti ) sunt derivabile oricare ar fi i ∈ {1, 2, . . . , n} 2) exist˘ a ¸si sunt finite limitele lim γ 0 (t),

t&a

lim γ 0 (t),

t&tj

oricare ar fi j ∈ {1, 2, . . . , n − 1}.

lim γ 0 (t),

t%tj

lim γ 0 (t) t&b

36


Observat¸ia 1.19 Drumul neted pe port¸iuni considerat este format din drumurile netede γ1 : [t0 , t1 ] −→ D, γ1 = γ|[t0 ,t1 ] γ2 : [t1 , t2 ] −→ D,

γ2 = γ|[t1 ,t2 ]

................................................ γn : [tn−1 , tn ] −→ D,

γn = γ|[tn−1 ,tn ]

¸si pentru orice funct¸ie continu˘ a f : D −→ C definim integrala complex˘ a a funct¸iei f de-a lungul drumului γ ca fiind Z

f (z)dz = γ

n Z X

f (z)dz =

n Z tj X

f (γ(t)) γ 0 (t) dt.

j=1 tj−1

j=1 γj

Toate drumurile pe care le vom considera ˆın continuare vor fi drumuri netede pe port¸iuni ¸si le numim simplu drumuri.

Figura 1.7 Exemplul 1.14 Aplicat¸ia (a se vedea figura 1.7) γ : [0, 2] −→ C,

γ(t) =

( πit e

daca t ∈ [0, 1]

2t − 3 daca t ∈ (1, 2]

este un drum neted pe port¸iuni ˆın C ¸si pentru orice funct¸ie continu˘a f : C −→ C


avem

37

Z 1

Z

f (z)dz =

f (eπit ) πieπit dt +

Z 2

f (2t − 3) 2dt.

1

0

γ

Definit¸ia 1.27 Spunem c˘ a funct¸ia f : D −→ C definit˘ a pe o mult¸ime deschis˘ a D admite primitiv˘a ˆın D dac˘ a exist˘ a g : D −→ C funct¸ie olomorf˘ a cu proprietatea g 0 (z) = f (z),

oricare ar f i z ∈ D.

Exemplul 1.15 a) Dac˘ a k ∈ {0, 1, 2, . . .} atunci funct¸ia f (z) = z k = z| · z{z· · · z} n ori

f : C −→ C, admite ˆın C primitiva g : C −→ C, deoarece z k+1 k+1

g(z) =

z k+1 k+1

!0

= zk ,

oricare ar fi z ∈ C.

b) Dac˘ a k ∈ {2, 3, 4, . . .} atunci funct¸ia f : C∗ −→ C,

f (z) = z −k =

1 zk

admite ˆın C∗ = C\{0} primitiva g : C∗ −→ C, deoarece z 1−k 1−k

g(z) =

z 1−k 1 =− 1−k (k − 1)z k−1

!0

= z −k ,

oricare ar fi z ∈ C∗ .

38


c) Funct¸ia exponent¸ial˘ a f : C −→ C,

f (z) = ez

g : C −→ C,

g(z) = ez

admite ˆın C primitiva deoarece (ez )0 = ez ,


d) Funct¸ia cos : C −→ C,

f (z) = cos z

admite ˆın C primitiva g : C −→ C,

g(z) = sin z

deoarece (sin z)0 = cos z,


e) Funct¸ia sin : C −→ C,

f (z) = sin z

admite ˆın C primitiva g : C −→ C,

g(z) = − cos z

deoarece (− cos z)0 = sin z,


Propozit¸ia 1.28 Dac˘ a funct¸ia continu˘ a f : D −→ C admite ˆın D o primitiv˘ a g : D −→ C ¸si dac˘ a γ : [a, b] −→ D este un drum cont¸inut ˆın D atunci Z γ

γ(b)

f (z)dz = g(z)|γ(a) = g(γ(b)) − g(γ(a)).


39

Demonstrat¸ie. Utilizˆ and formula de schimbare de variabil˘a obt¸inem R γ

Rb

f (z)dz =

a

f (γ(t)) γ 0 (t) dt =

Rb 0 0 a g (γ(t)) γ (t) dt

Rb d z=γ(b) t=b a dt g(γ(t)) dt = g(γ(t))|t=a = g(z)|z=γ(a) .

=

Observat¸ia 1.20 Din propozit¸ia anterioar˘a rezult˘a c˘a ˆın cazul ˆın care funct¸ia f : D −→ C admite primitiv˘ a ˆın D, integrala pe un drum γ : [a, b] −→ D cont¸inut ˆın D depinde doar de capetele γ(a) ¸si γ(b) ale drumului. Dac˘a γ : [a, b] −→ D,

γ1 : [a, b] −→ D

sunt dou˘ a drumuri ˆın D astfel ˆıncât γ(a) = γ1 (a) ¸si γ(b) = γ1 (b) atunci Z

Z

f (z)dz =

f (z)dz. γ1

γ

Exercit¸iul 1.16 S˘ a se calculeze integralele Z γ

z 3 dz,

Z γ

1 dz, z2

Z

ez dz,

γ

Z γ

(2z 3 +

5 − ez ) dz z2

γ fiind un drum ˆın C∗ cu originea z1 = 1 ¸si extremitatea z2 = i ( a se vedea figura 1.8).

Figura 1.8

40


Rezolvare. Fie γ : [a, b] −→ C∗ un drum cu originea z1 = 1 ¸si extremitatea z2 = i, adic˘a astfel ˆıncˆ at γ(a) = 1 ¸si γ(b) = i. Avem z=γ(b)

z=i

z 4 i4 14 z 4 = = − z dz = = 0, 4 z=γ(a) 4 z=1 4 4 γ

Z

1 z=i 1 1 z=γ(b) 1 = − = − + 1 = 1 + i, dz = − z2 z z=γ(a) z z=1 i

Z γ

Z

3

z=γ(b)

γ

i ez dz = ez |z=γ(a) = ez |z=i z=1 = e − e = cos 1 + i sin 1 − e,

R

γ (2z

3

+

5 z2

− ez ) dz = 2

R γ

z 3 dz + 5

R

1 γ z2

dz −

R γ

ez dz

= 5 + e − cos 1 + (5 − sin 1)i. Definit¸ia 1.29 Spunem c˘ a γ este un drum ˆınchis dac˘ a γ(a) = γ(b) adic˘ a originea γ(a) ¸si extremitatea γ(b) coincid. Propozit¸ia 1.30 Dac˘ a funct¸ia continu˘ a f : D −→ C admite ˆın D o primitiv˘ a g : D −→ C ¸si dac˘ a γ : [a, b] −→ D este un drum ˆınchis cont¸inut ˆın D atunci Z

f (z)dz = 0. γ

Demonstrat¸ie. Deoarece γ(a) = γ(b) avem Z γ

γ(b)

f (z)dz = g(z)|γ(a) = g(γ(b)) − g(γ(a)) = 0.


41

Exercit¸iul 1.17 Fie drumul circular γ(t) = eit = cos t + i sin t.

γ : [0, 2π] −→ C,

a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a k ∈ Z\{−1} = {. . . , −3, −2, 0, 1, 2, 3, . . .} atunci Z

z k dz = 0

γ

dar Z

z

−1

Z

dz =

γ

γ

1 dz = 2πi. z

b) S˘ a se arate c˘ a Z γ

a−2 a−1 + + a0 + a1 z + a2 z 2 dz = 2πia−1 z2 z

oricare ar fi numerele a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 ∈ C. Rezolvare. a) Drumul γ este cont¸inut ˆın mult¸imea deschis˘a C∗ = C\{0} ¸si funct¸ia f : C∗ −→ C,

f (z) = z k

admite ˆın C∗ primitiva g : C∗ −→ C,

g(z) =

z k+1 k+1

oricare ar fi k ∈ Z\{−1}. b) Utilizˆ and direct definit¸ia integralei complexe obt¸inem Z γ

1 dz = z

Z 2π 0

1 0 γ (t) dt = γ(t)

Z 2π 1 0

eit

i eit dt = i

Z 2π

dt = 2πi. 0

Observat¸ia 1.21 Din exercit¸iul anterior rezult˘a c˘a funct¸ia olomorf˘a f : C∗ −→ C, nu admite primitiv˘ a ˆın C∗ .

f (z) =

1 z

42


Exercit¸iul 1.18 Fie drumul circular γ(t) = z0 + reit

γ : [0, 2π] −→ C,

a) S˘ a se arate c˘ a dac˘ a k ∈ Z\{−1} atunci Z

(z − z0 )k dz = 0

γ

dar Z

(z − z0 )−1 dz =

γ

Z γ

1 dz = 2πi. z − z0

b) S˘ a se arate c˘ a Z γ

a−2 a−1 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 dz = 2πia−1 2 (z − z0 ) z − z0

oricare ar fi numerele a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 ∈ C. Rezolvare. a) Drumul γ este cont¸inut ˆın mult¸imea deschis˘a C\{z0 } ¸si funct¸ia f (z) = (z − z0 )k

f : C\{z0 } −→ C, admite ˆın C∗ primitiva g : C\{z0 } −→ C,

g(z) =

(z − z0 )k+1 k+1

oricare ar fi k ∈ Z\{−1}. b) Utilizˆ and direct definit¸ia integralei complexe obt¸inem Z γ

1 dz = z − z0

Z 2π 0

1 γ 0 (t) dt = γ(t) − z0

Z 2π 1 0

reit

it

Z 2π

i r e dt = i

dt = 2πi. 0

Observat¸ia 1.22 Din exercit¸iul anterior rezult˘a c˘a funct¸ia olomorf˘a f : C\{z0 } −→ C, nu admite primitiv˘ a ˆın C\{z0 }.

f (z) = (z − z0 )−1 =

1 z − z0


43

Definit¸ia 1.31 Spunem c˘ a mult¸imea D ⊆ C este conex˘a (prin drumuri) dac˘ a oricare ar fi punctele z1 , z2 din D exist˘ a un drum cont¸inut ˆın D cu originea z1 ¸si extremitatea z2 . O mult¸ime deschis˘ a ¸si conex˘ a este numit˘ a domeniu.

Figura 1.9 √ Exemplul 1.19 Mult¸imea B1 (0) ∪ B1 (−1 + i 2) este domeniu dar B1 (0) ∪ B1 (2 + i) nu este domeniu (a se vedea figura 1.9). Observat¸ia 1.23 S ¸ tim c˘ a orice drum γ : [a, b] −→ D este echivalent cu drumul [0, 1] −→ D : t 7→ γ((1 − t)a + tb). F˘ar˘a a reduce generalitatea, putem utiliza doar drumuri definite pe intervalul [0, 1]. Definit¸ia 1.32 Spunem c˘ a drumurile cu acelea¸si extremit˘ a¸ti γ0 ¸si γ1 sunt omotope ˆın domeniul D dac˘ a sunt cont¸inute ˆın D ¸si se pot deforma continuu unul ˆın cel˘ alalt f˘ ar˘ a a ie¸si din D, adic˘ a dac˘ a exist˘ a o aplicat¸ie continu˘ a h : [0, 1] × [0, 1] −→ D : (s, t) 7→ h(s, t) astfel ˆıncˆ at urmatoarele condit¸ii s˘ a fie ˆındeplinite a) h(0, t) = γ0 (t), oricare ar fi t ∈ [0, 1], b) h(1, t) = γ1 (t), oricare ar fi t ∈ [0, 1], c) h(s, 0) = γ0 (0) = γ1 (0), oricare ar fi s ∈ [0, 1], d) h(s, 1) = γ0 (1) = γ1 (1), oricare ar fi s ∈ [0, 1].

44


Figura 1.10 Exemplul 1.20 Drumurile γ0 , γ1 : [0, 1] −→ C, γ0 (t) = e2πit ,

γ1 (t) =

1 1 2πit + e 2 2

¯ 1 ( 1 ). In acest caz putem alege (a se vedea figura 1.11). sunt omotope ˆın D = C\B 2 4

h(s, t) = (1 − s) γ0 (t) + s γ1 (t).

Figura 1.11 Observat¸ia 1.24 In continuare, pentru a decide dac˘a dou˘a drumuri sunt omotope ˆın raport cu anumit domeniu ne vom rezuma la a analiza vizual figura (!).


45

Exemplul 1.21 Drumul circular γ0 : [0, 1] −→ C,

γ0 (t) = 3e2πit = 3 cos 2πt + 3i sin 2πt

este omotop ˆın C∗ cu drumul eliptic γ1 : [0, 1] −→ C,

γ1 (t) = 3 cos 2πt + i sin 2πt

dar cele dou˘ a drumuri nu sunt omotope ˆın D = C\{2i} (a se vedea figura 1.12).

Figura 1.12 Exemplul 1.22 Drumurile γ0 , γ1 : [0, 1] −→ C, γ0 (t) = 1 − 2t,

γ1 (t) = eπit

sunt omotope ˆın C, dar nu sunt omotope ˆın C\{ 21 i} (a se vedea figura 1.13).

Figura 1.13

46


Definit¸ia 1.33 Spunem c˘ a drumul ˆınchis γ : [a, b] −→ C este omotop cu zero ˆın D dac˘ a el este omotop ˆın D cu drumul punctual [a, b] −→ D : t 7→ γ(a).

Figura 1.14 Exemplul 1.23 Drumul circular γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = e2πit

este omotop cu zero ˆın D = C\{2i}, dar nu este omotop cu zero ˆın C∗ .

Figura 1.15


47

Teorema 1.34 (Cauchy) Dac˘ a D ⊆ C este o mult¸ime deschis˘ a, f : D −→ C este o funct¸ie olomorf˘ a ¸si γ : [a, b] −→ D este un drum ˆınchis omotop cu zero ˆın D atunci Z

f (z) dz = 0. γ

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4]. Propozit¸ia 1.35 Dac˘ a D ⊆ C este o mult¸ime deschis˘ a, f : D −→ C este o funct¸ie olomorf˘ a ¸si γ0 : [a, b] −→ D,

γ1 : [a, b] −→ D

sunt dou˘ a drumuri omotope ˆın D atunci Z

Z

f (z) dz = γ0

f (z) dz. γ1

Figura 1.16

(1.1)

48


Demonstrat¸ie. Drumul obt¸inut compunând γ0 cu inversul γ˜1 al drumului γ1 este un drum ˆınchis omotop cu zero ˆın D. Utilizând teorema Cauchy obt¸inem relat¸ia Z

Z

f (z) dz + γ0

f (z) dz = 0. γ ˜1

echivalent˘ a cu (1.1). Observat¸ia 1.25 Fie k un num˘ ar ˆıntreg pozitiv. Drumul γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = z0 + e2kπit

se rote¸ste de k ori ˆın jurul lui z0 ˆın sens direct ¸si 1 2πi

Z γ

1 dz = k. z − z0

Drumul γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = z0 + e−2kπit

se rote¸ste de k ori ˆın jurul lui z0 ˆın sens invers ¸si 1 2πi

Z γ

1 dz = −k. z − z0

Figura 1.17 Drumul γ din figura 1.17 este omotop ˆın C\{z0 } cu drumul γ1 : [0, 1] −→ C,

γ1 (t) = z0 + re4πit


49

¸si prin urmare 1 2πi

Z γ

1 1 dz = z − z0 2πi

Z γ1

1 dz = 2. z − z0

In general, dac˘ a γ este un drum ˆınchis care nu trece prin z0 num˘arul n(γ, z0 ) =

1 2πi

1 dz z − z0

Z γ

numit indexul lui γ fat¸˘ a de z0 , ne arat˘a de câte ori se rote¸ste γ ˆın jurul lui z0 . O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4]. Teorema 1.36 (Formulele lui Cauchy) Orice funct¸ie olomorf˘ a f : D −→ C definit˘ a pe o mult¸ime deschis˘ a D este nelimitat derivabil˘ a ¸si oricare ar fi drumul γ : [0, 1] −→ D omotop cu zero ˆın D are loc formula n(γ, z) f

(k)

k! (z) = 2πi

Z γ

f (ζ) dζ (ζ − z)k+1

pentru orice k ∈ N ¸si orice z ∈ D\{ γ(t) | t ∈ [0, 1] }. O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4].

Figura 1.18 Observat¸ia 1.26 Programul MATHEMATICA permite reprezentarea grafic˘a a drumurilor ¸si calculul direct al integralelor complexe pe drumuri poligonale.

50



51

52

1.4


Serii Laurent

Definit¸ia 1.37 Fie D ⊆ C o submult¸ime ¸si fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Spunem c˘ a seria de funct¸ii complexe ∞ X

fn

n=0

este convergent˘ a (uniform convergent˘a) dac˘ a ¸sirul sumelor part¸iale (sk )k≥0 , unde k X

sk =

fn

n=0

este convergent (respectiv, uniform convergent). Limita acestui ¸sir ∞ X n=0

fn = lim sk = lim k→∞

k X

k→∞

fn = lim (f0 + f1 + · · · fk ) k→∞

n=0

se nume¸ste suma seriei. Spunem c˘ a seria considerat˘ a este absolut convergent˘a dac˘ a seria de funct¸ii reale ∞ X

|fn |

n=0

este convergent˘ a. Propozit¸ia 1.38 Dac˘ a z este astfel ˆıncˆ at |z| < 1 atunci seria geometric˘ a ∞ X

zn

n=0

este convergent˘ a ¸si suma ei este |z| < 1

1 1−z ,

adic˘ a

=⇒

∞ X n=0

zn =

1 . 1−z


53

Demonstrat¸ie. Dac˘ a |z| < 1 atunci lim

k→∞

k X n=0

1 1 − z k+1 = . k→∞ 1 − z 1−z

z n = lim (1 + z + z 2 + · · · + z k ) = lim k→∞

Teorema 1.39 (Weierstrass) Fie D ⊆ C o submult¸ime ¸si fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Dac˘ a exist˘ a o serie convergent˘ a de numere reale ∞ X

αn

n=0

astfel ˆıncˆ at |fn (z)| ≤ αn ,

oricare ar f i z ∈ D, n ∈ N

atunci seria de funct¸ii complexe

∞ X

fn

n=0

este absolut ¸si uniform convergent˘ a. Definit¸ia 1.40 Prin serie de puteri ˆın jurul lui z0 se ˆınt¸elege o serie de forma ∞ X

an (z − z0 )n

n=0

cu coeficient¸ii a0 , a1 , a2 ,. . . numere complexe. Ea mai poate fi scris˘ a ¸si sub forma a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · . Observat¸ia 1.27 Orice serie de puteri este o serie de funct¸ii ∞ X

fn

n=0

ˆın care funct¸iile fn au forma particular˘a fn : D −→ C,

fn (z) = an (z − z0 )n .

54


Definit¸ia 1.41 Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : D −→ C,

fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Spunem c˘ a ¸sirul de funct¸ii (fn )n≥0 converge uniform pe compacte la f dac˘ a oricare ar fi mult¸imea compact˘ a K ⊂ D, ¸sirul restrict¸iilor (fn |K ) converge uniform la f |K . Teorema 1.42 (Weierstrass) Fie D ⊆ C o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : D −→ C,

fn : D −→ C,

n∈N

funct¸ii definite pe D. Dac˘ a funct¸iile fn sunt olomorfe ¸si dac˘ a ¸sirul (fn )n≥0 converge uniform pe compacte la f atunci f este funct¸ie olomorf˘ a ¸si lim f (k) n→∞ n

= f (k) ,

oricare ar f i k ∈ N.

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4]. Teorema 1.43 (Weierstrass) Dac˘ a seria de funct¸ii olomorfe ∞ X

fn

n=0

converge uniform pe compacte ˆın mult¸imea deschis˘ a D atunci suma ei S : D −→ C,

S(z) =

∞ X

fn (z)

n=0

este o funct¸ie olomorf˘ a ¸si S (k) =

∞ X

fn(k) ,

oricare ar f i k ∈ N.

n=0

Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a direct din teorema precedent˘a. Teorema 1.44 (Abel) Dac˘ a seria de puteri ∞ X n=0

an (z − z0 )n


55

este convergent˘ a pentru z = z1 6= z0 atunci ea este convergent˘ a ˆın discul { z | |z − z0 | < |z1 − z0 | } de centru z0 ¸si raz˘ a |z1 − z0 |. Demonstrat¸ie. Seria

P∞

n=0 an (z1

− z0 )n fiind convergent˘a avem

lim an (z1 − z0 )n = 0

n→∞

¸si prin urmare exist˘ a n0 ∈ N astfel ˆıncât |an (z1 − z0 )n | < 1, adic˘a |an | <

oricare ar fi n ≥ n0

1 , |z1 − z0 |n

oricare ar fi n ≥ n0 .

Din relat¸ia |an (z − z0 )n | <

|z − z0 | |z1 − z0 |

n

oricare ar fi n ≥ n0

,

¸si convergent¸a seriei geometrice ∞ X |z − z0 | n

|z1 − z0 |

n=0

pentru |z − z0 | < |z1 − z0 | rezult˘ a conform criteriului comparat¸iei convergent¸a seriei P∞ n ¸iul normat (C, | |) fiind complet, orice serie absolut convern=0 |an (z − z0 ) |. Spat gent˘a este convergent˘ a. Observat¸ia 1.28 Fie seria de puteri ∞ X

an (z − z0 )n .

n=0

Pentru z astfel ˆıncˆ at exist˘ a lim

n→∞

q n

|an (z − z0 )n | < 1

adic˘a astfel ˆıncˆ at |z − z0 | <

1 p

limn→∞ n |an | seria considerat˘ a este absolut convergent˘a conform criteriului r˘ad˘acinii.

56


Teorema 1.45 (Cauchy-Hadamard) In cazul unei serii de puteri ∞ X

an (z − z0 )n

n=0

exist˘ a R=

 0    

1

 limn→∞   

√ n

|an |

∞

daca limn→∞

p n

daca limn→∞

p n

daca limn→∞

p n

|an | = ∞ |an | 6∈ {0, ∞} |an | = 0

(numit raza de convergent¸˘ a) astfel ˆıncˆ at : a) In discul (numit disc de convergent¸˘a) BR (z0 ) = { z | |z − z0 | < R } seria converge absolut ¸si uniform pe compacte. ¯R (z0 ) = { z | |z − z0 | > R } seria este divergent˘ b) In C\B a. c) Suma seriei S : BR (z0 ) −→ C,

S(z) =

∞ X

an (z − z0 )n

n=0

este funct¸ie olomorf˘ a d) Seria derivat˘ a este o serie de puteri cu aceea¸si raz˘ a de convergent¸˘ a ¸si S 0 (z) =

∞ X

nan (z − z0 )n−1 ,

oricare ar f i k ∈ BR (z0 ).

n=1

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4]. Observat¸ia 1.29 Se poate ar˘ ata c˘a dac˘a exist˘a limita lim

n→∞

|an+1 | |an |

atunci limn→∞

q n

|an | = lim

n→∞

|an+1 | . |an |


57

Exemplul 1.24 a) Raza de convergent¸˘ a a seriei geometrice ∞ X

zn

n=0

este R = 1 deoarece ˆın acest caz an = 1, oricare ar fi n ∈ N. b) Raza de convergent¸˘ a a seriei ∞ X zn n=0

este R = limn→∞

1/n! 1/(n+1)!

n!

= limn→∞ (n + 1) = ∞.

Observat¸ia 1.30 Admit¸ˆ and c˘ a f este suma unei serii de puteri ˆın jurul lui z0 f (z) =

∞ X

an (z − z0 )n

n=0

cu raza de convergent¸˘ a nenul˘ a, din teorema Cauchy-Hadamard rezult˘a relat¸ia f (k) (z) =

∞ X

[an (z − z0 )n ](k) ,

oricare ar fi k ∈ N

n=0

care conduce la

f (k) (z0 ) . k! Teorema 1.46 (Dezvoltarea ˆın serie Taylor) Dac˘ a funct¸ia ak =

f : Br (z0 ) −→ C este olomorf˘ a ˆın discul Br (z0 ) ¸si R este raza de convergent¸˘ a a seriei Taylor asociate ∞ X f (n) (z0 )

n!

n=0

(z − z0 )n

atunci R ≥ r ¸si f (z) =

P∞

n=0

f (n) (z0 ) n!

= f (z0 ) + oricare ar fi z ∈ Br (z0 ).

(z − z0 )n

f 0 (z0 ) 1!

(z − z0 ) +

f 00 (z0 ) 2!

(z − z0 )2 + · · ·

58


O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4].

Exemplul 1.25 Din teorema dezvoltarii ˆın serie Taylor rezult˘a dezvolt˘arile ∞ X 1 = zn = 1 + z + z2 + · · · 1 − z n=0 ∞ X zn

ez =

n=0

sin z =

∞ X

(−1)n

n=0

n!

=1+

z z2 + + ··· 1! 2!

pentru |z| < 1

pentru orice

z3 z5 z 2n+1 =z− + + ··· (2n + 1)! 3! 5!

z∈C z ∈ C.

pentru orice

Din aceste dezvolt˘ ari, prin substitut¸ie ¸si/sau derivare putem obt¸ine alte dezvolt˘ari ∞ X 1 = (−1)n z n = 1 − z + z 2 − · · · 1 + z n=0

pentru |z| < 1

∞ X 1 = nz n−1 = 1 + 2z + 3z 2 + · · · (1 − z)2 n=0

pentru |z| < 1

∞ X 1 n(−1)n−1 z n−1 = 1 − 2z + 3z 2 − · · · = (1 + z)2 n=0

cos z =

∞ X

(−1)n

n=0

z 2n z2 z4 =1− + + ··· (2n)! 2! 4!

pentru |z| < 1

pentru orice

z ∈ C.

Definit¸ia 1.47 Prin serie Laurent ˆın jurul lui z0 se ˆınt¸elege o serie de forma ∞ X

an (z − z0 )n

n=−∞

cu coeficient¸ii an numere complexe. Ea mai poate fi scris˘ a ¸si sub forma ··· +

a−2 a−1 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · . 2 (z − z0 ) z − z0


59

Teorema 1.48 (Coroana de convergent¸˘ a) Fie seria Laurent ∞ X

an (z − z0 )n

n=−∞

r = limn→∞

q n

|a−n |

¸si R=

 0    

1

√

 limn→∞ n |an |   

∞

daca limn→∞

p n

daca limn→∞

p n

daca limn→∞

p n

|an | = ∞ |an | 6∈ {0, ∞} |an | = 0.

Dac˘ a r < R atunci: a) In coroana circular˘ a (numit˘ a coroana de convergent¸˘a) { z | r < |z − z0 | < R } seria Laurent converge absolut ¸si uniform pe compacte. b) Seria Laurent diverge ˆın { z | |z − z0 | < r } ∪ { z | |z − z0 | > R }. c) Suma seriei Laurent S : D −→ C, S(z) =

∞ X

an (z − z0 )n =

n=−∞

∞ X

a−n (z − z0 )−n +

n=1

este funct¸ie olomorf˘ a. O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4].

Figura 1.19

∞ X n=0

an (z − z0 )n

60


Teorema 1.49 (Dezvoltarea ˆın serie Laurent). Dac˘ a funct¸ia f : D = { z | r < |z − z0 | < R } −→ C definit˘ a pe coroana D este olomorf˘ a atunci exista o unic˘ a serie Laurent ∞ X

an (z − z0 )n

n=−∞

cu coroana de convergent¸˘ a incluzˆ and pe D ¸si astfel ˆıncˆ at ∞ X

f (z) =

an (z − z0 )n

oricare ar f i z ∈ D.

n=−∞

Exemplul 1.26 a) Funct¸ia olomorf˘ a f : D = { z | 0 < |z| < 1 } −→ C,

f (z) =

1 z 2 (1 − z)

admite ˆın coroana D dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul lui 0 f (z) =

1 1 1 1 1 = 2 (1 + z + z 2 + · · ·) = 2 + + 1 + z + z 2 + · · · 2 z 1−z z z z

(1.2)

b) Funct¸ia olomorf˘ a f : D = { z | 0 < |z − i| < ∞ } −→ C,

f (z) =

ez (z − i)2

admite ˆın coroana D dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul lui i f (z) =

ez (z−i)2

=

ei (z−i)2

ez−i = =

ei (z−i)2

ei (z−i)2

1+

ei z−i

+

+

z−i 1! ei 2!

+

+

(z−i)2 2!

ei 3! (z

+ ···

(1.3)

− i) + · · ·

c) Funct¸ia olomorf˘ a 1

f (z) = z 2 e z

f : D = { z | 0 < |z| < ∞ } −→ C,

admite ˆın coroana D dezvoltarea ˆın serie Laurent ˆın jurul lui 0 1

f (z) = z 2 e z = z 2 1 + = ··· +

1 1 4! z 2

+

1 1 3! z

1 1 1! z

+

+

1 2!

1 1 2! z 2

+

1 1!

+ ···

z + z2 + 0 z3 + 0 z4 + · · ·

(1.4)


61

Definit¸ia 1.50 Fie f : D −→ C o funct¸ie olomorf˘ a definit˘ a pe mult¸imea deschis˘ a D. Spunem c˘ a punctul z0 ∈ C\D este un punct singular izolat al funct¸iei f dac˘ a exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at coroana circular˘ a { z | 0 < |z − z0 | < r } este cont¸inut˘ a ˆın D. Coeficientul a−1 din dezvoltarea Laurent f (z) = · · · +

a−1 a−2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · . 2 (z − z0 ) z − z0

a lui f ˆın acest˘ a coroan˘ a se nume¸ste reziduul lui f ˆın punctul singular izolat z0 ¸si a se noteaz˘ a cu Rezz0 f , adic˘ Rezz0 f = a−1 . Exemplul 1.27 a) Singurul punct singular izolat al funct¸iei f : D = { z | 0 < |z| < 1 } −→ C,

f (z) =

1 z 2 (1 − z)

este z = 0 ¸si din (1.2) rezult˘ a c˘a Rez0 = 1. b) Singurul punct singular izolat al funct¸iei f : D = { z | 0 < |z − i| < ∞ } −→ C,

f (z) =

ez (z − i)2

este z = i ¸si din (1.3) rezult˘ a c˘a Rezi f = ei . c) Singurul punct singular izolat al funct¸iei 1

f (z) = z 2 e z

f : D = { z | 0 < |z| < ∞ } −→ C, este z = 0 ¸si din (1.4) rezult˘ a c˘a Rez0 f =

1 3!

= 16 .

Definit¸ia 1.51 Fie D o mult¸ime deschis˘ a ¸si f : D −→ C o funct¸ie olomorf˘ a. Prin zero multiplu de ordinul n al lui f se ˆınt¸elege un punct z0 ∈ D astfel ˆıncˆ at f (z0 ) = f 0 (z0 ) = . . . = f (n−1) (z0 ) = 0

si

f (n) (z0 ) 6= 0.

62


Spunem despre un punct singular izolat z0 al lui f c˘ a este pol de ordinul n dac˘ a este 1 un zero multiplu de ordinul n pentru funct¸ia f .

Teorema 1.52 Dac˘ a punctul singular izolat z0 al funct¸iei olomorfe f : D −→ C este un pol de ordinul n atunci exist˘ a r > 0 astfel ˆıncˆ at coroana circular˘ a { z | 0 < |z − z0 | < r } este cont¸inut˘ a ˆın D ¸si ˆın acest˘ a coroan˘ a f admite o dezvoltare Laurent de forma f (z) =

a−1 a−n + ··· + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · (z − z0 )n (z − z0 )

Observat¸ia 1.31 a) Dac˘ a z0 este un pol simplu atunci ˆın jurul lui z0 funct¸ia f admite dezvoltarea f (z) =

a−1 + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · (z − z0 )

Inmult¸ind cu (z − z0 ) obt¸inem relat¸ia (z − z0 ) f (z) = a−1 + a0 (z − z0 ) + a1 (z − z0 )2 + a2 (z − z0 )3 + · · · care conduce la Rezz0 f = a−1 = lim (z − z0 ) f (z). z→z0

b) Dac˘ a z0 este un pol dublu atunci ˆın jurul lui z0 funct¸ia f admite dezvoltarea f (z) =

a−2 a−1 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · 2 (z − z0 ) (z − z0 )

Inmult¸ind cu (z − z0 )2 ¸si apoi derivând obt¸inem relat¸ia [(z − z0 )2 f (z)]0 = a−1 + 2a0 (z − z0 ) + 3a1 (z − z0 )2 + · · ·


63

care conduce la Rezz0 f = a−1 = lim [(z − z0 )2 f (z)]0 . z→z0

c) Dac˘ a z0 este un pol triplu atunci ˆın jurul lui z0 funct¸ia f admite dezvoltarea f (z) =

a−3 a−2 a−1 + + + a0 + a1 (z − z0 ) + · · · 3 2 (z − z0 ) (z − z0 ) (z − z0 )

Inmult¸ind cu (z − z0 )3 ¸si apoi derivând de dou˘a ori obt¸inem relat¸ia [(z − z0 )3 f (z)]00 = 2! a−1 + 6a0 (z − z0 ) + 12a1 (z − z0 )2 + · · · care conduce la Rezz0 f = a−1 =

1 lim [(z − z0 )3 f (z)]00 . 2! z→z0

d) Dac˘ a z0 este un pol de ordinul n atunci Rezz0 f =

1 lim [(z − z0 )n f (z)](n−1) . (n − 1)! z→z0

Exemplul 1.28 Funct¸ia f : C\{0, 1} −→ C,

f (z) =

1 − z)

z 2 (1

are dou˘ a puncte singulare izolate z = 0 ¸si z = 1. Punctul z = 0 este pol dublu ¸si 1 Rez0 f = lim [z f (z)] = lim z→0 z→0 1 − z 0

2

0

= lim

z→0

1 = 1. (1 − z)2

(1.5)

Punctul z = 1 este pol simplu ¸si −1 = −1. z→1 z 2

Rez1 f = lim (z − 1) f (z) = lim z→1

(1.6)

Observat¸ia 1.32 Programul MATHEMATICA ofer˘a importante facilit˘a¸ti privind dezvoltarea ˆın serie Laurent ¸si calculul reziduurilor.

64



65

66

1.5


Calculul integralelor cu ajutorul reziduurilor

Observat¸ia 1.33 Dac˘ a γ : [a, b] −→ C\{z0 } este un drum ˆınchis care nu trece prin z0 atunci R a−2 γ

(z−z0

)2

a−1 (z−z0 )

+

+ a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 dz = a−1

dz γ z−z0

R

(1.7)

= 2πia−1 n(γ, z0 )

oricare ar fi numerele a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 ∈ C. Punctul z0 este un punct singular izolat (pol de ordinul al doilea) pentru funct¸ia f : C\{z0 } −→ C, f (z) =

a−2 a−1 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 (z − z0 )2 (z − z0 )

¸si Rezz0 f = a−1 . Relat¸ia (1.7) se mai poate scrie Z γ

f (z) dz = 2πi n(γ, z0 ) Rezz0 f.

Teorema 1.53 (Teorema reziduurilor). Dac˘ a D ⊆ C este o mult¸ime deschis˘ a, f : D −→ C este o funct¸ie olomorf˘ a , S este mult¸imea punctelor singulare izolate ale lui f ¸si dac˘ a γ : [a, b] −→ D ˜ = D ∪ S atunci este un drum omotop cu zero ˆın D Z

f (z) dz = 2πi γ

X

n(γ, z) Rezz f.

z∈S

O demonstrat¸ie poate fi g˘ asit˘ a ˆın [4]. Exercit¸iul 1.29 S˘ a se calculeze Z γ

(z 2

4 dz + 1)(z − 3)2


67

unde γ : [0, 1] −→ C,

γ(t) = 2 e2πit .

Rezolvare. Consider˘ am D = C\{3, i, −i} ¸si funct¸ia olomorf˘a f : D −→ C,

f (z) =

(z 2

4 . + 1)(z − 3)2

Mult¸imea punctelor singulare izolate ale lui f este S = {3, i, −i} ¸si drumul γ este omotop cu zero ˆın D ∪ S = C. Conform teoremei reziduurilor avem Z γ

(z 2

4 dz = 2πi (n(γ, 3) Rez3 f + n(γ, i) Rezi f + n(γ, −i) Rez−i f ) . + 1)(z − 3)2

Figura 1.20 Deoarece drumul γ (figura 1.20 ) se rote¸ste de zero ori ˆın jurul lui 3 ¸si o singur˘a dat˘a ˆın jurul lui i ¸si −i rezult˘ a c˘ a n(γ, 3) = 0,

n(γ, i) = n(γ, −i) = 1

¸si prin urmare Z γ

4 dz = 2πi (Rezi f + Rez−i f ) . (z 2 + 1)(z − 3)2

Punctele singulare i ¸si −i fiind poli simpli avem 4 4 3 4 = − i = 2 2 z→i (z − 3) (z + i) 2i(i − 3) 25 25

Rezi f = lim(z − i)f (z) = lim z→i

68

Complemente de Matematic˘a 4 4 3 4 = = + i 2 2 z→−i (z − 3) (z − i) −2i(i + 3) 25 25

Rez−i f = lim (z + i)f (z) = lim z→−i

¸si Z γ

(z 2

4 dz 12 = πi. 2 + 1)(z − 3) 25

Exercit¸iul 1.30 S˘ a se calculeze

ez dz z3

Z γ

unde γ(t) = e−4πit .

γ : [0, 1] −→ C, Rezolvare. Consider˘ am funct¸ia olomorf˘a

f : C∗ −→ C definit˘a pe mult¸imea deschis˘ a C∗ = C\{0}. Punctul singular z = 0 este un pol de ordinul al treilea. Pentru calculul reziduului lui f ˆın 0 putem utiliza dezvoltarea Laurent ˆın jurul lui 0 f (z) =

ez z3

=

1 z3

=

1 z3

1+ +

z 1!

1 1 1! z 2

+ +

z2 2!

+

1 1 2! z

z3 3!

+

+ ··· 1 3!

+

1 4! z

+ ···

sau relat¸ia 1 lim (z 3 f (z))00 = 2! z→0 Observˆ and c˘ a γ se rote¸ste de dou˘a ori ˆın jurul lui 0 formula Z 1 dz n(γ, 0) = = −2 2πi γ z Rez0 f =

obt¸inem Z γ

1 . 2 ˆın sens invers sau utilizând

ez dz = 2πi n(γ, 0) Rez0 f = −2πi. z3

Exercit¸iul 1.31 S˘ a se calculeze integrala Z γ

unde γ este drumul din figura 1.21.

1 dz − z)

z 2 (1


69

Figura 1.21 Rezolvare. Funct¸ia olomorf˘ a f : C\{0, 1} −→ C,

f (z) =

1 − z)

z 2 (1

are punctele singulare z = 0 ¸si z = 1. S¸tim c˘a Rez0 f = 1 ( a se vedea relat¸ia (1.5))¸si Rez1 f = −1 ( a se vedea relat¸ia (1.6)). Deoarece drumul γ se rote¸ste de dou˘a ori ˆın jurul lui 0 ¸si o dat˘ a ˆın jurul lui 1, din teorema reziduurilor rezult˘a c˘a 1 dz = 2πi (2 Rez0 f + Rez1 f ) = 2πi. − z)

Z γ

z 2 (1

Exercit¸iul 1.32 S˘ a se calculeze integrala Z 2π

I= 0

1 dt a + cos t

unde a ∈ (1, ∞).

Rezolvare. Integrala real˘ a cerut˘ a poate fi privit˘a ca o integral˘a ˆın planul complex ¸si calculat˘ a folosind teorema reziduurilor. Avem I=

R 2π 0

1 it −it a+ e +e 2

= −i

dt =

R 2π 1

2 γ z 2a+z+ 1 z

R 1

0

2 (eit )0 dt ieit 2a+eit +e−it

dz = −i

R

2 γ z 2 +2az+1 dz.

unde γ : [0, 2π] −→ C, γ(t) = eit . Funct¸ia f : C\{z1 , z2 } −→ C,

f (z) =

z2

2 + 2az + 1

70


unde z1 = −a +

p

a2 − 1,

z2 = −a −

p

a2 − 1

sunt r˘ad˘ acinile polinomului z 2 + 2az + 1, are dou˘a puncte singulare izolate (poli simpli) z1 ¸si z2 .

Figura 1.22 Deoarece z1 , z2 sunt numere reale, −1 < z1 < 0 ¸si z2 < −1 rezult˘a c˘a n(γ, z1 ) = 1 ¸si n(γ, z2 ) = 0 ( a se vedea figura 1.22). Conform teoremei reziduurilor I = −i

R

2 γ z 2 +2az+1 dz

= 2πRezz1 f = 2π limz→z1 (z − z1 )f (z)

2 = = 2π limz→z1 (z − z1 ) (z−z1 )(z−z 2)

Figura 1.23

4π z1 −z2

=

√ 2π . a2 −1


71

Propozit¸ia 1.54 Fie α < β ¸si o funct¸ie continu˘ a f : D −→ C definit˘ a pe un domeniu D ce cont¸ine imaginile drumurilor ( a se vedea figura 1.23) γr : [α, β] −→ C,

γr (t) = reit

oricare ar fi r ∈ (0, ∞). Dac˘ a lim z f (z) = 0

z→∞

atunci

Z

lim

r→∞ γr

f (z) dz = 0.

Demonstrat¸ie. Din relat¸ia limz→∞ z f (z) = 0 rezult˘a c˘a oricare ar fi ε > 0 exist˘a rε ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |z| > rε

=⇒

|z f (z)| < ε.

In particular, pentru r > rε avem Z Z β Z β β it it it it dt = (β − α)ε. |f (re ) ri e | dt < ε f (re ) ri e dt ≤ f (z) dz = α α α γr

Z

Observat¸ia 1.34 Oricare ar fi z1 , z2 ∈ C au loc relat¸iile |z1 | = |z1 − z2 + z2 | ≤ |z1 − z2 | + |z2 |,

|z2 | = |z2 − z1 + z1 | ≤ |z1 − z2 | + |z1 |

care conduc la −|z1 − z2 | ≤ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | adic˘a la | |z1 | − |z2 | | ≤ |z1 − z2 |. Exercit¸iul 1.33 S˘ a se calculeze integrala Z ∞

I= 0

x2 dx (x2 + 1)(x2 + 4)

72


Rezolvare. Integrala I este o integral˘a real˘a improprie. Intervalul de integrare este nem˘arginit dar funct¸ia considerat˘ a este m˘arginit˘a, numitorul neanulându-se pe axa real˘a. Deoarece 2 x (x2 +1)(x2 +4) lim 1 x→∞ x2

=1

integralele Z ∞ 1

x2 dx, (x2 + 1)(x2 + 4)

si

Z ∞ 1 1

x2

dx

au aceea¸si natur˘ a. S ¸ tim ˆıns˘ a c˘ a integrala improprie Z ∞ 1 1

xλ

dx

este convergent˘ a pentru λ > 1. Rezult˘a astfel c˘a integrala considerat˘a Z ∞

I= 0

x2 dx = (x2 + 1)(x2 + 4)

Z 1 0

x2 dx + (x2 + 1)(x2 + 4)

Z ∞ 1

x2 dx (x2 + 1)(x2 + 4)

este convergent˘ a.

Figura 1.24 Pentru a calcula valoarea integralei vom considera funct¸ia olomorf˘a f : C\{−2i, −i, i, 2i} −→ C,

f (z) =

z2 (z 2 + 1)(z 2 + 4)

¸si drumul de integrare din figura 1.24 compus din γr : [0, π] −→ C,

γr (t) = r eit


73

¸si γ : [−r, r] −→ C,

γ(t) = t.

Conform teoremei reziduurilor, oricare ar fi r > 2 avem relat¸ia Z r

Z

f (z)dz +

f (x)dx = 2πi (Rezi f + Rez2i f )

γr

−r

Z

Z ∞

care conduce la lim

r→∞ γr

f (z)dz + −∞

f (x)dx = 2πi (Rezi f + Rez2i f ).

(1.8)

Deoarece |z f (z)| =

|z 3 | |z 3 | |z|3 = =≤ |z 2 + 1| · |z 2 + 4| |z 2 − (−1)| · |z 2 − (−4)| | |z|2 − 1| · | |z|2 − 4|

avem lim z f (z) = 0

z→∞

¸si ˆın virtutea propozit¸iei 1.54 Z

lim

r→∞ γr

f (z)dz = 0.

Din relat¸ia (1.8), ¸tinˆ and seama ¸si de faptul c˘a f (−x) = f (x), rezult˘a Z ∞

f (x)dx = πi (Rezi f + Rez2i f ). 0

Dar

z2 i = z→i (z + i)(z 2 + 4) 6

Rezi = lim(z − i) f (z) = lim z→i

z2 i =− 2 z→2i (z + 1)(z + 2i) 3

Rez2i = lim (z − 2i) f (z) = lim z→2i

¸si deci

Z ∞

f (x)dx = πi 0

i i − 6 3

=

π . 6

Exercit¸iul 1.34 S˘ a se arate c˘ a 1≥

sin t 2 ≥ t π

oricare ar fi t ∈ 0,

π . 2

74


Rezolvare. Funct¸ia π ϕ : 0, −→ R, 2 este descresc˘ atoare deoarece

ϕ(t) =

sin t t

t cos t − sin t ≤ 0. t2

ϕ0 (t) =

Figura 1.25 Propozit¸ia 1.55 (Lema lui Jordan). Dac˘ a funct¸ia continu˘ a f : { z = x + yi | y ≥ 0 } −→ C este astfel ˆıncˆ at lim f (z) = 0

(1.9)

z→∞

¸si γr : [0, π] −→ C,

γr (t) = r eit

( a se vedea figura 1.25) atunci Z

lim

r→∞ γr

f (z) eiz dz = 0

Demonstrat¸ie. Fie ε > 0. Din relat¸ia (1.9) rezult˘a c˘a exist˘a rε > 0 astfel ˆıncât r > rε

=⇒

|f (r eit )| <

2ε π


75

¸si R γr f (z) eiz dz =

R π 0 f (r eit ) eir(cos t+i sin t) ireit dt

≤

Rπ

≤

2ε R π −r π2 t dt πr 0 e

0

|f (r eit )| e−r sin t r dt ≤ 2ε −π π r 2r

=

2ε R π −r sin t dt πr 0 e 2

π

e−r π t 2 = ε(1 − e−r ) ≤ ε. 0

Figura 1.26 Exercit¸iul 1.35 S˘ a se arate c˘ a Z ∞ sin x

x

0

dx =

π 2

(integrala Poisson)

Rezolvare. Fie 0 < r < R ¸si drumurile ( a se vedea figura 1.26) γR (t) = R eit

γR : [0, π] −→ C,

γr (t) = r ei(π−t) .

γr : [0, π] −→ C,

Din teorema reziduurilor (sau teorema Cauchy) rezult˘a relat¸ia Z γR

eiz dz + z

Z −r ix e

x

−R

Z

dx + γr

eiz dz + z

Z R ix e r

x

dx = 0

care se mai poate scrie Z γR

eiz dz + z

Z γr

eiz dz + z

Z R ix e − e−ix r

x

dx = 0

(1.10)

76


sau Z γR

eiz dz + z

Z γr

1 dz + z

Z γr

eiz − 1 dz + 2i z

Z R sin x

x

r

dx = 0

Utilizând relat¸ia 1 dz = −πi z

Z γr

¸si notând cu g o primitiv˘ a a funct¸iei f (z) = Z γR

eiz −1 z

obt¸inem

eiz dz − πi + (g(r) − g(−r)) + 2i z

Z R sin x

x

r

dx = 0.

Deoarece conform lemei lui Jordan Z

lim

R→∞ γR

eiz =0 z

pentru R → ∞ ¸si r → 0 obt¸inem relat¸ia 2i

Z ∞ sin x

x

0

dx = πi.

Definit¸ia 1.56 Fie ϕ : R −→ C. Funct¸ia F[ϕ] : R −→ C,

F[ϕ](ξ) =

Z ∞

eiξx ϕ(x)dx

−∞

(ˆın cazul ˆın care exist˘ a) se nume¸ste transformata Fourier a lui ϕ. Exercit¸iul 1.36 S˘ a se arate c˘ a 2

F[e−ax ](ξ) =

r

π − ξ2 e 4a a

oricare ar fi a ∈ (0, ∞). Rezolvare. Avem 2

F[e−ax ](ξ) =

Z ∞

2

e−ax eiξx dx =

Z ∞

−∞

e−x

2 +iξx

ξ2

dx = e− 4a

Z ∞

−∞

ξ

2

e−a(x−i 2a ) dx.

−∞

Plecând de la integrala Z r −r

2

e−at dt +

Z r−i ξ 2a r

2

e−az dz −

Z r−i ξ 2a ξ −r−i 2a

2

e−az dz +

Z −r ξ −r−i 2a

2

e−az dz = 0


77

a funct¸iei f (z) = e−az

f : C −→ C,

2

de-a lungul drumului dreptunghiular din figura 1.27 ar˘at˘am c˘a Z ∞

2

ξ

e−a(t−i 2a ) dt =

Z ∞

−∞

Avem

1 2 e−at dt = √ a −∞

Z r

lim

−at2

r→∞ −r

e

Z ∞

dt =

Z ∞

2

e−x dx =

r

−∞

π . a

2

e−at dt.

−∞

ξ Alegând pentru drumul liniar ce une¸ste r cu r − i 2a parametrizarea

γ1 : [0, 1] −→ C,

γ1 (t) = r − it

ξ 2a

obt¸inem relat¸ia Z r−i ξ 2a

e

−az 2

r

Z 1

2

ξ −a(r−it 2a )

e

dz = 0

din care rezult˘ a lim

ξ ξ 2 (−i) dt = −i e−ar 2a 2a

Z r−i ξ 2a

r→∞ r

2

e−az dz = 0.

Figura 1.27 Similar se arat˘ a c˘ a

Z −r

lim

r→∞ −r−i ξ 2a

2

e−az dz = 0

Z 1 0

eirtξ+

t2 ξ 2 4a

dt

78


ξ ξ Alegând pentru drumul liniar ce une¸ste −r − i 2a cu r − i 2a parametrizarea

γ2 : [−r, r] −→ C,

γ2 (t) = t − i

ξ 2a

obt¸inem relat¸ia Z r−i ξ 2a ξ −r−i 2a

din care rezult˘ a lim

r→∞

2

e−az dz =

Z r−i ξ 2a ξ −r−i 2a

Z r

ξ

2

e−a(t−i 2a ) dt

−r

2

e−az dz =

Z ∞ −∞

ξ

2

e−a(t−i 2a ) dt.

Capitolul 2

Tensori 2.1

Dualul unui spat¸iu vectorial

Propozit¸ia 2.1 Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial peste corpul K atunci V ∗ = { ϕ : V −→ K | ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K } ˆınzestrat cu operat¸iile de adunare V ∗ × V ∗ −→ V ∗ : (ϕ, ψ) 7→ ϕ + ψ

unde

ϕ + ψ : V −→ K (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)

¸si ˆınmult¸ire cu scalari K × V ∗ −→ V ∗ : (λ, ϕ) 7→ λϕ

unde

λϕ : V −→ K (λϕ)(x) = λ ϕ(x)

este spat¸iu vectorial (numit dualul lui V ). Notat¸ie. Pentru a simplifica scrierea unor expresii vom utiliza uneori indici superiori pentru a indexa coordonatele vectorilor. Dezvoltarea x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en a unui vector x ∈ V ˆın raport cu baza B = {e1 , e2 , ..., en } se scrie comprimat folosind convent¸ia de sumare a lui Einstein x = xi e i 79

80


(indicele i care apare ˆın produsul xi ei o dat˘a ca indice superior ¸si o dat˘a ca indice inferior este indice de sumare). Teorema 2.2 Oricare ar fi spat¸iul vectorial V avem dim V ∗ = dim V. Demonstrat¸ie. Fie B = {e1 , e2 , ..., en } o baz˘a a lui V . Ar˘at˘am c˘a B ∗ = {e1 , e2 , ..., en }, unde ( 1 daca i = j i i i e : V −→ K, e (ej ) = δj = 0 daca i 6= j adic˘a ei : V −→ K,

ei (x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ) = xi

este o baz˘ a a lui V ∗ , numit˘ a duala bazei B. ∗ B este sistem de vectori liniar independent¸i. Fie α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en = 0 adic˘a (α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en )(x) = 0,

∀x ∈ V

ceea ce se mai scrie α1 e1 (x) + α2 e2 (x) + · · · + αn en (x) = 0,

∀x ∈ V.

Alegând x = e1 obt¸inem α1 = 0, alegând x = e2 obt¸inem α2 = 0, etc. B ∗ este sistem de generatori. Dac˘ a ϕ ∈ V ∗ atunci notând ϕi = ϕ(ei ) obtinem ϕ(x) = ϕ(x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ) = x1 ϕ(e1 ) + x2 ϕ(e2 ) + · · · + xn ϕ(en ) = e1 (x) ϕ1 + e2 (x) ϕ2 + · · · + en (x) ϕn = (ϕ1 e1 + ϕ2 e2 + · · · + ϕn en )(x) oricare ar fi x ∈ V , adic˘ a ϕ = ϕ1 e1 + ϕ2 e2 + · · · + ϕn en = ϕi ei .

Tensori

2.2

81

Tensori

Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si fie dou˘a baze ale lui V B = {e1 , e2 , ..., en }

(baza veche)

B 0 = {e01 , e02 , ..., e0n }

(baza noua)

¸si B ∗ = {e1 , e2 , ..., en } B 0 ∗ = {e01 , e02 , ..., e0n } dualele lor. Fiecare vector x ∈ V se poate dezvolta ˆın raport cu cele dou˘a baze x = xi ei = x0j e0j ¸si am ar˘ atat c˘ a xi = ei (x),

x0j = e0j (x).

Similar, fiecare element ϕ ∈ V ∗ admite dezvolt˘arile ϕ = ϕi ei = ϕ0j e0j ¸si ϕi = ϕ(ei ),

ϕ0j = ϕ(e0j ).

Utilizând un indice inferior si unul superior pentru elementele matricei de trecere de la baza B la baza B 0 relat¸iile e01 = α11 e1 + α12 e2 + · · · + α1n en = α1i ei e02 = α21 e1 + α22 e2 + · · · + α2n en = α2i ei ....................................................... e0n = αn1 e1 + αn2 e2 + · · · + αnn en = αni ei se scriu comprimat e0i = αij ej

82


iar matricea de trecere este α11

α21

· · · αn1

  2  α1 S=   ··· 

α22

· · · αn2 



··· ···



  .  ···  

α1n α2n · · · αnn

Propozit¸ia 2.3 Matricea S este inversabil˘ a ¸si inversa ei β11

β21

· · · βn1

  2  β1 −1 S =   ··· 

β22

· · · βn2 



β1n

··· ···



    ···  

β2n · · · βnn

este matricea de trecere de la B 0 la B. Demonstrat¸ie. Fie ej = βjk e0k . Din relat¸iile ej = βjk e0k = βjk αki ei ,

e0i = αij ej = αij βjk e0k

rezult˘a ¸tinˆ and seama de unicitatea reprezent˘arii unui vector ˆın raport cu o baz˘a c˘a βjk αki = δji ,

αij βjk = δik .

Teorema 2.4 Cu notat¸iile de mai sus e0i = αij ej x = xj ej = x0i e0i

    

=⇒

    j 0 0i ϕ = ϕj e = ϕi e

 0i x = βji xj    

e0i = βji ej

   

ϕ0i = αij ϕj

Demonstrat¸ie. Din relat¸ia xj ej = x0i e0i = x0i αij ej rezult˘a xj = αij x0i

(2.1)

Tensori

83

¸si ¸tinând seama de (2.1) βjk xj = βjk αij x0i = δik x0i = x0k adic˘a x0k = βjk xj . Deoarece x0k = e0k (x) ¸si xj = ej (x) relat¸ia anterioar˘a se poate scrie sub forma e0k (x) = βjk ej (x) sau e0k (x) = (βjk ej )(x). Relat¸ia avˆ and loc pentru oricare x ∈ V rezult˘a e0k = βjk ej. Folosind liniaritatea lui ϕ obt¸inem ϕ0i = ϕ(e0i ) = ϕ(αij ej ) = αij ϕ(ej ) = αij ϕj . Observat¸ia 2.1 Coordonatele noi x0i ale unui vector x ∈ V se exprim˘a cu ajutorul coordonatelor vechi xj prin formula x0i = βji xj similar˘a cu formula e0i = βji ej de schimbare a bazei duale. Formula ϕ0i = αij ϕj este similar˘a cu e0i = αij ej . Observat¸ia 2.2 Vectorii x ∈ V sunt obiecte matematice care ˆın raport cu fiecare baz˘a B a lui V sunt descrise prin coordonatele x1 , x2 , ..., xn ¸si care la o schimbare de baz˘a e0i = αij ej se schimb˘ a dup˘a formula x0i = βji xj . Similar, elementele ϕ ∈ V ∗ (numite forme liniare sau 1-forme) sunt obiecte matematice care in raport cu fiecare baz˘ a B ∗ sunt descrise prin coordonatele ϕ1 , ϕ2 , ..., ϕn ¸si care la o schimbare de baz˘ a e0i = αij ej se schimb˘a dup˘a formula ϕ0i = αij ϕj .

84


Definit¸ia 2.5 Prin tensor de tip (p, q) (adic˘ a, tensor de p ori contravariant ¸si de q ori covariant) se ˆınt¸elege un obiect matematic T descris ˆın raport cu fiecare baz˘ a i1 i2 ...ip j 0 a ei = αi ej se B a lui V prin coordonatele Tj1 j2 ...jq ¸si care la o schimbare de baz˘ schimb˘ a dup˘ a formula i

i i ...i

m

k1 k2 ...kp . T 0 j11 j22 ...jpq = βki11 βki22 · · · βkpp αjm1 1 αjm2 2 · · · αjq q Tm 1 m2 ...mq

Observat¸ia 2.3 Elementele spat¸iului vectorial V sunt tensori de tip (1, 0), iar elementele lui V ∗ sunt tensori de tip (0, 1). Observat¸ia 2.4 Un tensor de tip (1, 1) este descris prin coordonatele Tji care la schimbarea bazei se schimb˘ a dup˘ a formula i

k . T 0 j = βki αjm Tm

În cazul unui tensor de dou˘ a ori contravariant formula devine ij

j T km T 0 = βki βm

iar in cazul unui tensor de dou˘ a ori covariant Tij0 = αik αjm Tkm . Observat¸ia 2.5 Un tensor este complet determinat dac˘a i se cunosc coordonatele ˆıntr-o baz˘ a fixat˘ a.

Tensori

2.3

85

Operat¸ii cu tensori i i ...i

i i ...i

Propozit¸ia 2.6 (Suma a doi tensori). Dac˘ a Aj11 j22 ...jpq ¸si Bj11 j22 ...jpq sunt coordonatele a doi tensori A ¸si B de tip (p, q) atunci i i ...i

i i ...i

i i ...i

Tj11j22...jpq = Aj11 j22 ...jpq + Bj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q) notat cu A + B, adic˘ a i i ...i

i i ...i

i i ...i

(A + B)j11 j22 ...jpq = Aj11 j22 ...jpq + Bj11 j22 ...jpq . Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem i

i

i

k k k T 0 j = A0 j + B 0 j = βki αjm Akm + βki αjm Bm = βki αjm (Akm + Bm ) = βki αjm Tm . i i ...i ˆ Propozit¸ia 2.7 (Inmult ¸irea unui tensor cu un scalar). Dac˘ a λ ∈ K ¸si Aj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor A de tip (p, q) atunci i i ...i

i i ...i

Tj11j22...jpq = λAj11 j22 ...jpq sunt coordonatele unui tensor de tip (p, q) notat cu λA, adic˘ a i i ...i

i i ...i

(λA)j11 j22 ...jpq = λAj11 j22 ...jpq . Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem i

i

k . T 0 j = λA0 j = λβki αjm Akm = βki αjm Tm

Propozit¸ia 2.8 ( Produsul tensorial a doi tensori, ˆıntr-un caz particular). Dac˘ a i l Ajk sunt coordonatele unui tensor A de tip (1, 2) ¸si Bm sunt coordonatele unui tensor B de tip (1, 1) atunci il l Tjkm = Aijk · Bm

sunt coordonatele unui tensor de tip (2, 3) notat cu A ⊗ B, adic˘ a l (A ⊗ B)iljkm = Aijk · Bm .

86


Demonstrat¸ie. Avem il

i

l

s s ar T 0 jkm = A0 jk · B 0 m = βai αjb αkc Aabc βrl αm Bsr = βai βrl αjb αkc αm Tbcs .

Observat¸ia 2.6 Generalizarea definit¸iei produsului tensorial la tensori de orice tip este imediat˘ a. Produsul tensorial x ⊗ ϕ dintre un vector x ∈ V si o 1-form˘a ϕ ∈ V ∗ are coordonatele (x ⊗ ϕ)ij = xi ϕj iar produsul tensorial x ⊗ y a doi vectori coordonatele (x ⊗ y)ij = xi y j . Propozit¸ia 2.9 ( Contract¸ia unui tensor, ˆıntr-un caz particular). Fie Aij klm coordonatele unui tensor A de tip (2, 3). Numerele n X

j Tkm =

Aij kim

i=1

sunt coordonatele unui tensor de tip (1, 2) obt¸inut prin contract¸ia lui A ˆın raport cu primul indice de contravariant¸˘ a ¸si al doilea indice de covariant¸˘ a. Demonstrat¸ie. Avem 0 ij i=1 A kim

T 0 jkm =

Pn

=

Pn

i j c d r ab i=1 βa βb αk αi αm Acdr =

P

n i d i=1 βa αi

j c r r δ d Aab = βbj αkc αm a cdr = βb αk αm

P

r Aab = δ d β j αc αr Aab βbj αkc αm a b k m cdr cdr

n ab a=1 Acar

r Tb . = βbj αkc αm cr

Observat¸ia 2.7 Operat¸ia de contract¸ie se poate face ˆın raport cu orice pereche de indici format˘ a dintr-un indice de contravariant¸˘a (superior) ¸si un indice de covariant¸˘a (inferior). Exercit¸iul 2.1 S˘ a se arate c˘ a dac˘a x ∈ V ¸si ϕ ∈ V ∗ atunci num˘arul γ = x i ϕi este un tensor de tip (0, 0), numit scalar.

Tensori

87

Rezolvare. Num˘ arul γ se obt¸ine prin contract¸ie din x ⊗ ϕ ¸si nu depinde de baza aleas˘a n n γ0 =

X i=1

x0i ϕ0i =

X i=1

βji αik xj ϕk = δjk xj ϕk = xj ϕj = γ.

88

2.4


Exemple de tensori

Exercit¸iul 2.2 S˘ a se arate c˘ a obiectul matematic care are coordonatele (

Tji

=

δji

=

1 daca i = j 0 daca i 6= j

indiferent de baza utilizat˘ a, este un tensor de tip (1, 1). Rezolvare. Avem i

k k T 0 j = δji = βki αjk = βki αjm δm = βki αjm Tm .

Propozit¸ia 2.10 Orice operator liniar A : V −→ V este un tensor de tip (1, 1) ale c˘ arui coordonate ˆıntr-o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } sunt coeficient¸ii Aji din dezvoltarea Aei = Aji ej . Demonstrat¸ie. Din relat¸ia Ae0i = A0 ji e0j rezult˘a j

A(αik ek ) = A0 i αjm em relat¸ie care scris˘ a sub forma j

αik Aek = αjm A0 i em conduce la j

m 0 αik Am k em = αj A i em

adic˘a j

m 0 αik Am k = αj A i .

Din aceast˘ a relat¸ie obt¸inem j

s s m 0 βm αik Am k = βm αj A i

relat¸ie echivalent˘ a cu s

s A0 i = β m αik Am k s α m A0 j = δ s A0 j = A0 s . deoarece βm i j j i i

Tensori

89

Definit¸ia 2.11 Spunem c˘ a aplicat¸ia g : V × V −→ K este o aplicat¸ie biliniar˘a dac˘ a g(αx + βy, z) = αg(x, z) + βg(y, z) g(x, αy + βz) = αg(x, y) + βg(x, z) oricare ar fi x, y, z ∈ V ¸si α, β ∈ K. Propozit¸ia 2.12 Orice aplicat¸ie biliniar˘ a g : V × V −→ K este un tensor de tip (0, 2) ale c˘ arui coordonate ˆın baza B = {e1 , e2 , ..., en } sunt numerele gij = g(ei , ej ). Demonstrat¸ie. Avem 0 gij = g(e0i , e0j ) = g(αik ek , αjm em ) = αik αjm g(ek , em ) = αik αjm gkm .

Definit¸ia 2.13 Aplicat¸ia g : V ∗ × V −→ K este numit˘ a aplicat¸ie biliniar˘a dac˘ a este liniar˘ a ˆın fiecare argument, adic˘ a g(αϕ + βψ, x) = αg(ϕ, x) + βg(ψ, x) g(ϕ, αx + βy) = αg(ϕ, x) + βg(ϕ, y) oricare ar fi ϕ, ψ ∈ V ∗ , x, y ∈ V ¸si α, β ∈ K. Propozit¸ia 2.14 Orice aplicat¸ie biliniar˘ a g : V ∗ × V −→ K este un tensor de tip (1, 1) ale c˘ arui coordonate intr-o baz˘ a B = {e1 , e2 , ..., en } cu duala B ∗ = {e1 , e2 , ..., en } sunt gji = g(ei , ej ). Demonstrat¸ie. Avem i

i

k . g 0 j = g(e0 , e0j ) = g(βki ek , αjm em ) = βki αjm g(ek , em ) = βki αjm gm

Propozit¸ia 2.15 Orice tensor de tip (1, 1) poate fi identificat cu o aplicat¸ie biliniar˘ a g : V ∗ × V −→ K. Demonstrat¸ie. Folosind coordonatele Tji ale tensorului T de tip (1, 1) ˆıntr-o baz˘a fixat˘a B = {e1 , e2 , ..., en } cu duala B ∗ = {e1 , e2 , ..., en } definim aplicatia biliniar˘a g : V ∗ × V −→ K,

g(ϕ, x) = g(ϕi ei , xj ej ) = Tji ϕi xj .

90


Aplicat¸ia g astfel definit˘ a nu depinde de alegerea bazei B utilizate deoarece alegând 0 alt˘a baz˘ a B obt¸inem b T a α i ϕ β m xj g(ϕ0k e0 k , x0 m e0m ) = T 0 km ϕ0k x0 m = βak αm b k i j

= δai δjb Tba ϕi xj = Tji ϕi xj . Observat¸ia 2.8 Rezultatele prezentate mai sus pot fi generalizate ˆın mod natural. Orice aplicat¸ie (p + q)-liniar˘ a ∗ ×V × · · · × V} −→ K T :V × V ∗ {z × · · · × V ∗} × V | {z | p ori

q ori

este un tensor de tip (p, q) ale c˘ arui coordonate ˆıntr-o baz˘a B = {e1 , e2 , ..., en } cu ∗ 1 2 n duala B = {e , e , ..., e } sunt i i ...i

Tj11j22...jpq = T (ei1 , ei2 , ..., eip , ej1 , ej2 , ..., ejq ) ¸si fiec˘arui tensor de tip (p, q) ˆıi corespunde ˆın mod natural o astfel de aplicat¸ie (p + q)-liniar˘ a. Observat¸ia 2.9 Plecˆ and de la dualul V ∗ al lui V se poate defini dualul dualului lui V V ∗∗ = (V ∗ )∗ numit bidualul lui V . Se poate ar˘ata c˘a V ∗∗ se poate identifica ˆın mod natural cu V asociind lui x ∈ V aplicat¸ia liniar˘a V ∗ −→ K : ϕ 7→ ϕ(x) apart¸inˆ and bidualului lui V . Observat¸ia 2.10 Dac˘ a ϕ : V −→ K ¸si ψ : W −→ K sunt aplicat¸ii liniare atunci g : V × W −→ K,

g(v, w) = ϕ(v) · ψ(w)

este o aplicat¸ie biliniar˘ a numit˘ a produsul tensorial al lui ϕ cu ψ ¸si notat˘a cu ϕ ⊗ ψ.

Capitolul 3

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale liniare 3.1

Ecuat¸ii diferent¸iale de ordinul ˆıntˆ ai

Definit¸ia 3.1 O ecuat¸ie diferent¸ial˘a de ordinul ˆıntâi este o ecuat¸ie de forma F (x, y, y 0 ) = 0

(3.1)

unde x este variabila independent˘ a, y funct¸ia necunoscut˘ a, y 0 derivata funct¸iei necunoscute ¸si F : I × R × R −→ R este o funct¸ie continu˘ a, I ⊆ R fiind un interval. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (3.1) se ˆınt¸elege o funct¸ie derivabil˘ a ϕ : (a, b) −→ R cu (a, b) ⊆ I ¸si astfel ˆıncˆ at F (x, ϕ(x), ϕ0 (x)) = 0,

∀x ∈ (a, b).

Definit¸ia 3.2 Spunem c˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘ a y 0 = f (x, y)

unde

f : D ⊆ R2 −→ R

este o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a scris˘ a sub form˘a normal˘a. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (3.2) se ˆınt¸elege o funct¸ie derivabil˘ a ϕ : (a, b) −→ R 91

(3.2)

92


astfel ˆıncˆ at 1) (x, ϕ(x)) ∈ D, ∀x ∈ (a, b) 0 2) ϕ (x) = f (x, ϕ(x)), ∀x ∈ (a, b). Observat¸ia 3.1 Ecuat¸ia (3.2) se mai poate scrie dy = f (x, y) dx

(3.3)

dy = f (x, y) dx

(3.4)

sau sub forma

numit˘a form˘ a simetric˘ a. Solut¸ia ecuat¸iei (3.4) se poate c˘auta sub forma y = y(x) sau x = x(y) sau, mai general, sub form˘ a parametric˘a (

x = x(t) y = y(t).

Ecuat¸ia (3.4) este caz particular pentru ecuat¸ia P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

unde P, Q : D ⊆ R2 −→ R

care este forma general˘ a a unei ecuat¸ii simetrice. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (3.5) se ˆınt¸elege o pereche de aplicat¸ii derivabile ϕ, ψ : (a, b) −→ R astfel ˆıncˆ at 1) (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D, ∀t ∈ (a, b) 0 2) P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t)) ψ 0 (t) = 0, Observat¸ia 3.2 S ¸ tim din liceu c˘ a dac˘a f : (a, b) −→ R

∀t ∈ (a, b).

(3.5)

Ecuat¸ii ¸si sisteme de ecuatii diferent¸iale liniare

93

este o funct¸ie continu˘ a atunci funct¸ia F : (a, b) −→ R,

Z x

f (t) dt

F (x) = x0

este o primitiv˘ a a lui f oricare ar fi x0 ∈ (a, b), adic˘a avem d dx

Z x

∀x ∈ (a, b).

f (t) dt = f (x), x0

Teorema 3.3 Fie ecuat¸ia cu variabile separabile y 0 = f (x) g(y)

(3.6)

unde f : I −→ R ¸si g : J −→ R sunt funct¸ii continue definite pe intervalele I ¸si J. a) Dac˘ a y0 ∈ J este astfel ˆıncˆ at g(y0 ) = 0 atunci funct¸ia constant˘ a ϕ : I −→ R,

ϕ(x) = y0

este o solut¸ie a ecuat¸iei (3.6). b) Dac˘ a y0 ∈ J este astfel ˆıncˆ at g(y0 ) 6= 0 atunci relat¸ia Z y y0

1 du = g(u)

Z x

f (v) dv + C

(3.7)

x0

unde x0 ∈ I ¸si C este o constant˘ a, define¸ste implicit o solut¸ie local˘ a y = y(x) a ecuat¸iei (3.6). Demonstrat¸ie. a) Deoarece ϕ0 (x) = 0 ¸si g(ϕ(x)) = g(y0 ) = 0 rezult˘a c˘a ϕ0 (x) = f (x) g(ϕ(x)),

∀x ∈ I.

b) Derivˆ and relat¸ia (3.7) ˆın raport cu x considerând y = y(x) rezult˘a 1 y 0 (x) = f (x) g(y(x)) adic˘a y 0 (x) = f (x) g(y(x)).

94


Observat¸ia 3.3 Ecuat¸ia (3.6) poate fi scris˘a sub forma dy = f (x) g(y) dx sau forma simetric˘ a f (x) g(y) dx − dy = 0. Forma diferent¸ial˘ a f (x) g(y) dx−dy nu este diferent¸iala total˘a a unei funct¸ii. Inmult¸ind 1 se obt¸ine ecuat¸ia ecuat¸ia anterioar˘ a cu factorul integrant g(y) f (x) dx −

1 dy = 0 g(y)

(3.8)

al c˘arei membru stˆ ang este o diferent¸ial˘a total˘a deoarece ∂ ∂ 1 (f (x)) = − . ∂y ∂x g(y)

Ecuat¸ia (3.8) se poate scrie sub forma dF = 0 unde

Z x

F (x, y) =

f (t)dt −

x0

Z y y0

1 dt. g(t)

Rezult˘a c˘ a relat¸ia F (x, y) = C, adic˘a Z x

f (u)du −

x0

Z y y0

1 dv = C g(v)

define¸ste implicit o solut¸ie a ecuat¸iei (3.6) dac˘a alegem y0 astfel ˆıncât g(y0 ) 6= 0. Propozit¸ia 3.4 Ecuat¸ia omogen˘ a y0 = f

y x

se reduce la o ecuat¸ie cu variabile separabile dac˘ a se utilizeaz˘ a schimbarea de variabil˘ a y(x) = x z(x), unde z(x) este noua funct¸ie necunoscut˘ a.


95

Demonstrat¸ie. Derivˆ and y(x) = x z(x) obt¸inem relat¸ia y 0 (x) = z(x) + x z 0 (x) care ne permite s˘ a scriem ecuat¸ia sub forma 1 (f (z) − z). x Propozit¸ia 3.5 Ecuat¸ia liniar˘ a omogen˘a z0 =

y 0 = f (x) y are solut¸ia general˘ a

Rx

y(x) = C e

x0

f (t)dt

unde C este o constant˘ a arbitrar˘ a. Demonstrat¸ie. T ¸ inˆ and seama de teorema 3.3 rezolvarea ecuat¸iei poate fi prezentat˘a dupa cum urmeaz˘ a dy dx = f (x) y dy y

= f (x) dx

R y du Rx y0 u = x0 f (t) dt

ln |y| − ln |y0 | = Rx

y(x) = y0 e

x0

Rx x0

f (t) dt

f (t) dt

.

Propozit¸ia 3.6 Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene y 0 = f (x) y + g(x)

(3.9)

se obt¸ine adunˆ and solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare omogene asociate y 0 = f (x) y cu o solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei (3.9). Demonstrat¸ie. Dac˘ a y verific˘ a (3.10) ¸si y˜ verific˘a (3.9) atunci (y+ y˜)0 (x) = f (x) y(x)+f (x) y(x)+g(x) = f (x) (y+ y˜)(x)+g(x). Dac˘a y ¸si y˜ verific˘ a (3.9) atunci y − y˜ verific˘a (3.10) (y− y˜)0 (x) = f (x) y(x)+g(x)−f (x) y˜(x)−g(x) = f (x) (y− y˜)(x).

(3.10)

96


Propozit¸ia 3.7 O solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei liniare neomogene y 0 = f (x) y + g(x) poate fi g˘ asit˘ a folosind metoda variat¸iei constantei cautˆ and-o de forma Rx

y˜(x) = C(x) e

x0

f (t)dt

.

Demonstrat¸ie. Inlocuind in ecuat¸ie obt¸inem relat¸ia −

0

C (x) = g(x) e

Rx x0

f (t)dt

care permite determinarea funct¸iei C(x). Propozit¸ia 3.8 Ecuat¸ia Bernoulli y 0 = f (x) y + g(x) y α se reduce la o ecuat¸ie liniar˘ a dac˘ a se utilizeaz˘ a schimbarea de variabil˘ a z = y 1−α . Demonstrat¸ie. Dac˘ a α = 1 atunci ecuat¸ia este deja o ecuat¸ie liniar˘a. In cazul α 6= 1, α ˆımp˘art¸ind cu y obt¸inem ecuat¸ia y −α y 0 = f (x) y 1−α + g(x) care se poate scrie 1 (y 1−α )0 = f (x) y 1−α + g(x). 1−α Propozit¸ia 3.9 Ecuat¸ia Riccati y 0 = f (x) y 2 + g(x) y + h(x) se poate rezolva utilizˆ and schimbarea de variabil˘ a 1 z ˆın cazul ˆın care se cunoa¸ste o solut¸ie particular˘ a yp . y = yp +

Demonstrat¸ie. In urma schimb˘ arii de variabil˘a indicate ecuat¸ia devine z 0 = −(2f (x) yp (x) − g(x)) z − f (x) adic˘a o ecuat¸ie liniar˘ a.


3.2

97

Ecuat¸ii diferent¸iale liniare de ordin superior

Definit¸ia 3.10 O ecuat¸ie diferent¸ial˘a liniar˘a de ordinul n este o ecuat¸ie de forma a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + · · · + an−1 (x) y 0 + an (x) y = f (x)

(3.11)

unde a0 , a1 , ..., an , f : I −→ R sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ⊆ R ¸si a0 (x) 6= 0, oricare ar fi x ∈ I. Prin solut¸ie a ecuat¸iei (3.11) se ˆınt¸elege o funct¸ie ϕ : I −→ R astfel ˆıncˆ at: 1) ϕ admite derivate continue pˆ an˘ a la ordinul n (n) (n−1) 2) a0 (x) ϕ (x) + a1 (x) ϕ (x) + · · · + an (x) ϕ(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b). Teorema 3.11 (de existent¸˘ a ¸si unicitate). Dac˘ a a0 , a1 , ..., an , f : I −→ R sunt funct¸ii continue ¸si a0 (x) 6= 0

∀x ∈ I

atunci ecuat¸ia diferent¸ial˘ a a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n−1) + · · · + an−1 (x) y 0 + an (x) y = f (x) admite pentru fiecare (x0 , y00 , y01 , ..., y0n−1 ) ∈ I × Rn o unic˘ a solut¸ie ϕ : I −→ R astfel ˆıncˆ at ϕ(x0 ) = y00 ,

ϕ0 (x0 ) = y01 ,

...

, ϕ(n−1) (x0 ) = y0n−1 .

98


Observat¸ia 3.4 Utilizˆ and operatorul diferent¸ial L = a0 (x) Dn + a1 (x) Dn−1 + · · · + an−1 (x) D + an (x) unde D=

d , dx

D2 =

d2 , dx2

...

, Dn =

dn dxn

ecuat¸ia (3.11) se scrie Ly = f. Operatorul linar L : C n (I) −→ C 0 (I) unde C n (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ admite derivate continue pana la ordinul n } C 0 (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ este functie continua } este un operator liniar L(α ϕ + β ψ) = α Lϕ + β Lψ

∀α, β ∈ R, ∀ϕ, ψ ∈ C n (I).

Teorema 3.12 Spat¸iul V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor solut¸iilor ecuat¸iei liniare omogene Ly = 0 este un spat¸iu vectorial de dimensiune n. Demonstrat¸ie. Dac˘ a ϕ, ψ ∈ V atunci L(αϕ + βψ) = αLϕ + βLψ = 0 oricare ar fi α, β ∈ R. Conform teoremei de existent¸˘a ¸si unicitate, pentru x0 ∈ I fixat aplicat¸ia A : V −→ Rn ,

Aϕ = (ϕ(x0 ), ϕ0 (x0 ), ..., ϕ(n−1) (x0 ))


99

este un izomorfism liniar. Rezult˘ a c˘a spat¸iile vectoriale V ¸si Rn sunt izomorfe ¸si prin urmare dim V = dim Rn = n. Observat¸ia 3.5 Rezolvarea ecuat¸iei Ly = 0 ˆınseamn˘ a determinarea spat¸iului vectorial V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor solut¸iilor, ceea ce se poate realiza indicând o baz˘a {y1 , y2 , ... , yn }, caz ˆın care V = { c1 y1 + c2 y2 + · · · + cn yn | c1 , c2 , ... , cn ∈ R }. Funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R din V formeaz˘ a o baz˘ a a lui V dac˘a sunt liniar independente, adic˘a dac˘a α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn = 0

=⇒

α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Propozit¸ia 3.13 Funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R din V sunt liniar independente dac˘ a ¸si numai dac˘ a ˆıntr-un punct fixat x0 ∈ I avem y1 (x0 ) y 0 (x ) 1 0 ··· (n−1) y (x0 ) 1

y2 (x0 ) y20 (x0 ) ··· (n−1) y2 (x0 )

··· yn (x0 ) ··· yn0 (x0 ) ··· ··· (n−1) · · · yn (x0 )

6= 0.

(3.12)

Demonstrat¸ie. Deoarece A : V −→ Rn ,

Aϕ = (ϕ(x0 ), ϕ0 (x0 ), ..., ϕ(n−1) (x0 ))

este un izomorfism liniar funct¸iile y1 , y2 , ... , yn : I −→ R sunt liniar independente dac˘a ¸si numai dac˘ a vectorii corespunz˘atori (n−1)

(x0 ) )

(n−1)

(x0 ) )

Ay1 = ( y1 (x0 ), y10 (x0 ), ... , y1 Ay2 = ( y2 (x0 ), y20 (x0 ), ... , y2

....................................................... (n−1)

Ayn = ( yn (x0 ), yn0 (x0 ), ... , yn

(x0 ) )

100


sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu (3.12). Teorema 3.14 (Abel-Liouville) Dac˘ a y1 , y2 , ... , yn : I −→ R sunt n solut¸ii ale ecuat¸iei Ly = 0 atunci funct¸ia (numit˘ a wronskian) y1 (x) y2 (x) ··· 0 (x) y 0 (x) y ··· 1 2 W (x) = · · · · · · ··· (n−1) (n−1) y (x) y2 (x) · · · 1

W : I −→ R

yn (x) yn0 (x) ··· (n−1) yn (x)

verific˘ a relat¸ia −

W (x) = W (x0 ) e

Rx

a1 (t) x0 a0 (t)

dt

(3.13)

unde x0 ∈ I este un punct fixat. Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Ar˘ at˘ am c˘a W verific˘a ecuat¸ia liniar˘a W 0 (x) = −

a1 (x) W (x). a0 (x)

In cazul n = 2 ecuat¸ia Ly = 0, adic˘a a0 (x) y 00 + a1 (x) y 0 + a2 y = 0 conduce la y 00 = −

a1 (x) 0 a2 (x) y − y a0 (x) a0 (x)

¸si W 0 (x)

=

y (x) y (x) 1 2 0 y1 (x) y20 (x) y10 (x) y20 (x) y1 (x) y2 (x) + y10 (x) y20 (x) y100 (x) y200 (x)

d dx

=

a (x) = − a10 (x) W (x).

Observat¸ia 3.6 Din relat¸ia (3.13) rezult˘a c˘a dac˘a W se anuleaz˘a ˆıntr-un punct din I atunci se anuleaz˘ a ˆın toate punctele.


101

Propozit¸ia 3.15 Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei liniare neomogene Ly = f se obt¸ine adunˆ and la solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei omogene asociate Ly = 0 o solut¸ie particular˘ a y˜ a ecuat¸iei neomogene. Demonstrat¸ie. Deoarece L˜ y = f obt¸inem Ly = 0 =⇒ L(y + y˜) = f

Ly = f =⇒ L(y − y˜) = 0.

si

Teorema 3.16 (Metoda variat¸iei constantelor.) Dac˘ a y(x) =

n X

ck yk (x)

k=1

este solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei omogene Ly = 0 atunci o solut¸ie particular˘ a a ecuat¸iei neomogene Ly = f poate fi g˘ asit˘ a c˘ autˆ and-o de forma y˜(x) =

n X

ck (x) yk (x)

k=1

cu c1 (x), c2 (x), ... , cn (x) solut¸ie a sistemului  Pn 0   k=1 ck (x) yk (x) = 0      Pn   0 0   k=1 ck (x) yk (x) = 0   

..........................................

  Pn  (n−2) 0   (x) = 0 k=1 ck (x) yk         (n−1) f (x) 0  Pn k=1 ck (x) yk

(x) =

a0 (x) .

(3.14)

102


Demonstrat¸ie. T ¸ inˆ and sema de (3.14) obt¸inem relat¸iile y˜(x) =

Pn

y˜0 (x) =

Pn

k=1 ck (x) yk (x) 0 k=1 ck (x) yk (x)

............................................ y˜(n−1) (x) = y˜(n) (x) =

(n−1) (x) k=1 ck (x) yk

Pn

(n) k=1 ck (x) yk (x)

Pn

+

f (x) a0 (x) .

care conduc la L˜ y = a0 (x) y˜(n) + a1 (x) y˜(n−1) + · · · + an−1 (x) y˜0 + an (x) y˜ =

Pn

k=1 ck (x)

(n)

(n−1)

a0 (x) yk +a1 (x) yk

+· · · + an−1 (x) yk0 +an (x) yk +f (x) = f (x).

Definit¸ia 3.17 Prin ecuat¸ie diferent¸ial˘a liniar˘a de ordinul n cu coeficient¸i constant¸i se ˆınt¸elege o ecuat¸ie de forma a0 y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an−1 y 0 + an y = f (x)

(3.15)

unde a0 , a1 , ..., an sunt numere reale ¸si f : I −→ R este o funct¸ie continu˘ a definit˘ a pe un interval I ⊆ R. Observat¸ia 3.7 Ecuat¸ia (3.15) este un caz particular pentru ecuat¸ia (3.11) ¸si anume cel ˆın care funct¸iile a0 (x), a1 (x), ... , an (x) sunt funct¸ii constante. Ecuat¸ia (3.15) se poate scrie sub forma P (D)y = f unde P este polinomul P (r) = a0 rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an numit polinomul caracteristic asociat ecuat¸iei considerate. Observat¸ia 3.8 Folosind notat¸ia lui Euler eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ


103

definim pentru fiecare num˘ ar complex r = α + iβ funct¸ia complex˘a R −→ C : x 7→ erx = e(α+iβ)x = eαx cos(βx) + i eαx sin(βx)

cu propriet˘ a¸tile D e(α+iβ)x = (α + iβ) e(α+iβ)x Re (D erx ) = D( Re erx ) Im (D erx ) = D( Im erx )

unde Re z ¸si Im z reprezint˘ a partea real˘a ¸si repectiv imaginar˘a a num˘arului z. Propozit¸ia 3.18 Funct¸ia y(x) = erx

y : R −→ C, este solut¸ie a ecuat¸iei omogene

P (D)y = 0 dac˘ a ¸si numai dac˘ a r este r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului caracteristic, adic˘ a dac˘ a a0 rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an = 0. Demonstrat¸ie. Deoarece Dk erx = rk erx ¸si P (D) erx = ( a0 rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an )erx avem P (D) erx = 0

⇐⇒

P (r) = 0.

Propozit¸ia 3.19 Dac˘ a polinomul caracteristic P (r) are r˘ ad˘ acinile r1 , r2 , ... , rk cu multiplicit˘ a¸tile m1 , m2 , ... , mk , adic˘ a P (r) = a0 (r − r1 )m1 (r − r2 )m2 · · · (r − rk )mk atunci P (D) admite factorizarea P (D) = a0 (D − r1 )m1 (D − r2 )m2 · · · (D − rk )mk ordinea factorilor putˆ and fi schimbat˘ a f˘ ar˘ a a afecta rezultatul.

104


Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezult˘ a din linearitatea lui D ¸si din relat¸ia Dp Dq = Dp+q . Propozit¸ia 3.20 Dac˘ a Q(r) este un polinom ¸si ϕ(x) este o funct¸ie atunci Q(D) (erx ϕ) = erx Q(D + r)ϕ oricare ar fi r ∈ C. Demonstrat¸ie. Ar˘ at˘ am mai ˆıntˆ ai prin induct¸ie c˘a Dk (erx ϕ) = erx (D + r)k ϕ. Avem D (erx ϕ) = erx Dϕ + rerx ϕ = erx (D + r)ϕ. Presupunˆ and c˘ a Dk (erx ϕ) = erx (D + r)k ϕ obt¸inem Dk+1 (erx ϕ) = D(erx (D + r)k ϕ) = erx (D + r)(D + r)k ϕ = erx (D + r)k+1 ϕ. Dac˘a Q(r) = α0 rm + α1 rm−1 + · · · + αm−1 r + αm atunci Q(D) (erx ϕ) = α0 Dm (erx ϕ)+α1 Dm−1 (erx ϕ)+ · · · +αm−1 D(erx ϕ)+αm erx ϕ = erx [α0 (D+r)m +α1 (D+r)m−1 + · · · +αm−1 (D+r)+αm ]ϕ = erx Q(D + r)ϕ. Propozit¸ia 3.21 Solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (D − r)k y = 0 este y(x) = c0 erx + c1 x erx + · · · + ck−1 xk−1 erx . Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei anterioare avem relat¸a Dk (e−rx y) = e−rx (D − r)k y care arat˘ a c˘ a ecuat¸ia (D − r)k y = 0 este echivalent˘a cu ecuat¸ia Dk (e−rx y) = 0


105

care implic˘ a e−rx y(x) = c0 + c1 x + · · · + ck−1 xk−1 adic˘a y(x) = c0 erx + c1 x erx + · · · + ck−1 xk−1 erx . Propozit¸ia 3.22 Fie ecuat¸ia diferent¸ial˘ a liniar˘ a omogen˘ a cu coeficient¸i reali P (D)y = 0 unde P (r) = a0 rn + a1 rn−1 + · · · + an−1 r + an este polinomul caracteristic. a) Dac˘ a rj este r˘ ad˘ acin˘ a real˘ a a lui P cu multiplicitatea mj atunci funct¸iile erj x ,

x erj x ,

···

, xmj −1 erj x

sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0. b) Dac˘ a rj = αj +iβj este r˘ ad˘ acin˘ a complex˘ a a lui P cu multiplicitatea mj atunci eαj x cos(βj x),

x eαj x cos(βj x),

···

, xmj −1 eαj x cos(βj x),

eαj x sin(βj x),

x eαj x sin(βj x),

···

, xmj −1 eαj x sin(βj x)

sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0. Demonstrat¸ie. Conform prop. 3.19 ecuat¸ia P (D)y = 0 admite o factorizare de forma Q(D) (D − rj )mj y = 0 ¸si (D−rj )mj y = 0 implic˘ a P (D)y = 0. Deoarece ec. P (D)y = 0 are coeficient¸i reali P (D)y = 0

=⇒

  P (D) (Re y) = Re ( P (D)y ) = 0  P (D) (Im y) = Im ( P (D)y ) = 0

adic˘a ˆın cazul ˆın care rj este r˘ ad˘ acin˘a complex˘a cu multiplicitatea mj funct¸iile

y : R −→ R,

y(x) = Re c0 erj x + c1 x erj x + · · · + cmj −1 xmj −1 erj x

y : R −→ R,

y(x) = Im c0 erj x + c1 x erj x + · · · + cmj −1 xmj −1 erj x

¸si

106


sunt solut¸ii ale ecuat¸iei P (D)y = 0 oricare ar fi constantele reale c0 , c1 , ... , cmj −1 . Observat¸ia 3.9 Se poate demonstra c˘a ˆın toate cazurile ˆın spat¸iul solut¸iilor exist˘a o baz˘a format˘ a din solut¸ii particulare de tipul celor prezentate in propozit¸ia anterioar˘a. Exercit¸iul 3.1 S˘ a se determine solut¸ia general˘a a ecuat¸iilor y 00 − 5y 0 + 6y = 0

a)

b) y 000 − 6y 00 + 12y 0 − 8y = 0 c) y 00 + y 0 + y = 0 d)

(D2 − D + 1)3 y = 0

e)

(D − 3)4 (D2 + 2)2 y = 0.

R˘ aspuns. a)

y(x) = c1 e2x + c2 e3x

b)

y(x) = c1 e2x + c2 x e2x + c3 x2 e2x 1

c) y(x) = c1 e− 2 x cos(

√

3 2 x)

1

+ c2 e− 2 x sin(

√

3 2 x)

√ 1 3 3 x 2 sin( 2 x) + c2 e 2 x) √ √ 1 1 +c3 x e− 2 x cos( 23 x) + c4 x e− 2 x sin( 23 x) √ √ 1 1 +c5 x2 e− 2 x cos( 23 x) + c6 x2 e− 2 x sin( 23 x) 1

d) y(x) = c1 e 2 x cos(

√

e) y(x) = c1 e3x + c2 x e3x + c3 x2 e3x + c4 x3 e3x √ √ √ √ +c5 cos( 2x) + c6 sin( 2x) + c7 x cos( 2x) + c8 x sin( 2x). Propozit¸ia 3.23 Ecuat¸ia Euler a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + · · · + an−1 x y 0 + an y = 0 se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ial˘ a liniar˘ a cu coeficient¸i constant¸i prin schimbarea de t variabil˘ a x = e , unde t este noua variabil˘ a independent˘ a. Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Notˆ and cu z(t) noua funct¸ie necunoscut˘a avem relat¸ia y(x) = z(ln x)


107

care prin deriv˘ ari succesive conduce la y 0 (x) =

1 x

z 0 (ln x) = e−t z 0 (t)

y 00 (x) =

1 x2

z 00 (ln x) −

y 000 (x) =

1 x3

z 000 (ln x) −

1 x2

z 0 (ln x) = e−2t ( z 00 (t) − z 0 (t) )

3 x3

z 00 (ln x) −

2 x3

z 0 (ln x) = e−3t ( z 000 (t) − 3z 00 (t) + 2z 0 (t) )

In urma schimb˘ arii de variabil˘ a, ecuat¸ia Euler a0 x3 y 000 + a1 x2 y 00 + a2 x y 0 + a3 y = 0 devine a0 z 000 + (−3a0 + a1 )z 00 + (2a0 − a1 + a2 )z 0 + a3 z = 0. Observat¸ia 3.10 Relat¸ia x = et , echivalent˘a cu t = ln x, conduce la d dt d 1 d d = = = e−t . dx dx dt x dt dt Ecuat¸ia Euler se poate scrie !

dn−1 d dn + an y = 0 a0 xn n + a1 xn−1 n−1 + · · · + an−1 x dx dx dx ¸si formal, schimbarea de variabil˘ a x = et ˆın ecuat¸ia Euler se poate realiza ˆınlocuind d d x cu et ¸si operatorul de derivare dx cu e−t dt . De remarcat c˘a

e

−t

d dt

2

−t

=e

d d e−t dt dt

= e−2t

d2 d − e−2t . 2 dt dt

108


3.3

Sisteme diferent¸iale liniare

Definit¸ia 3.24 Prin sistem diferent¸ial liniar de ordinul ˆıntâi se ˆınt¸elege un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale de forma  0 y1 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + f1 (x)         y20 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + · · · + a2n (x)yn + f2 (x)

(3.16)

 .............................................................      0   yn = an1 (x)y1 + an2 (x)y2 + · · · + ann (x)yn + fn (x)

unde x este variabila independent˘ a, y1 , y2 , ... , yn sunt funct¸iile necunoscute ¸si aij : I −→ R fi : I −→ R

i, j ∈ {1, 2, ..., n}

unde

sunt funct¸ii continue definite pe un interval I ⊆ R. Observat¸ia 3.11 Sistemul diferent¸ial liniar (3.16) se poate scrie sub forma matriceal˘a Y 0 = A(x)Y + F (x) utilizând notat¸iile    

Y =  

y1 y2 .. . yn

   ,  

a11 (x) a12 (x) · · · a1n (x)

   a21 (x)  A(x) =   ···   

 a2n (x)    , ···    

a22 (x) · · · ···



···



an1 (x) an2 (x) · · · ann (x)

Teorema 3.25 (de existent¸˘ a ¸si unicitate). Dac˘ a aij : I −→ R fi : I −→ R

unde

 

F (x) =  

i, j ∈ {1, 2, ..., n}



f1 (x) f2 (x) .. . fn (x)

   .  


109

sunt funct¸ii continue atunci oricare ar fi (x0 , y10 , y20 , ..., yn0 ) ∈ I × Rn exist˘ a o unic˘ a solut¸ie Y (x) ˆıncˆ at 

Y 0 = A(x) Y + F (x)

 

si

Y (x0 ) =   

y10 y20 .. . yn0

   .  

Teorema 3.26 Spat¸iul V al tuturor solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar omogen Y 0 = A(x) Y este un spat¸iu vectorial de dimensiune n. Demonstrat¸ie. Pentru x0 ∈ I fixat, din teorema de existent¸˘a ¸si unicitate rezult˘a c˘a aplicat¸ia liniar˘ a V −→ Rn : Y 7→ Y (x0 ) este un izomorfism liniar. Observat¸ia 3.12 Rezolvarea sistemului omogen Y 0 = AY este echivalent˘a cu g˘asirea unei baze al lui V, adic˘ a cu g˘ asirea a n solut¸ii liniar independente. Definit¸ia 3.27 Plecˆ and de la n solut¸ii ale sistemului omogen Y 0 = A(x)Y   

Y1 =   

y11 y21 .. . yn1





  ,  

 

Y2 =   

y12 y22 .. . yn2





  ,  

 

...

, Yn =   

construim matricea Wronski    

W =

y11 y12 y21 y22 ··· ··· yn1 yn2

· · · y1n · · · y2n ··· ··· · · · ynn

¸si wronskianul w = det W.

    

y1n y2n .. . ynn

     

110


Teorema 3.28 Solut¸iile Y1 , Y2 , ... , Yn formeaz˘ a o baz˘ a a spat¸iului vectorial V dac˘ a ¸si numai dac˘ a wronskianul lor este nenul ˆıntr-un punct fixat x0 ∈ I, adic˘ a w(x0 ) 6= 0. Demonstrat¸ie. Deoarece V −→ Rn : Y 7→ Y (x0 ) este un izomorfism liniar, solut¸iile Y1 , Y2 , ... , Yn sunt liniar independente dac˘a ¸si numai dac˘ a vectorii Y1 (x0 ), Y2 (x0 ), ... , Yn (x0 ) din Rn sunt liniar independent¸i, ceea ce este echivalent cu w(x0 ) 6= 0. Teorema 3.29 Wronskianul solut¸iilor Y1 , Y2 , ... , Yn verific˘ a relat¸ia Rx

w(x) = w(x0 ) e

x0

tr A(t) dt

(3.17)

unde tr A(t) = a11 (t) + a22 (t) + · · · + ann (t) este urma matricei A(t). Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Avem y (x) y12 (x) d 11 w0 (x) = dx y (x) y (x) 21 22

0 y11 (x) y12 (x) = y 0 (x) y (x) 22 21

a11 (x) y11 (x)+a12 (x) y21 (x) y12 (x) = a (x) y (x)+a (x) y (x) y (x) 21 11 22 21 22

0 (x) y11 (x) y12 + y (x) y 0 (x) 21 22

y11 (x) a11 (x) y12 (x)+a12 (x) y22 (x) + y (x) a (x) y (x)+a (x) y (x) 21 21 12 22 22

= (a11 (x) + a22 (x)) w(x) adic˘a w verific˘ a ecuat¸ia diferent¸ial˘a liniar˘a w0 = tr A(x) w. Observat¸ia 3.13 Din relat¸ia (3.13) rezult˘a c˘a dac˘a wronskianul se anuleaz˘a ˆıntr-un punct x0 ∈ I atunci el se anuleaz˘ a ˆın toate punctele x ∈ I. Propozit¸ia 3.30 Solut¸ia general˘ a a sistemului liniar neomogen Y 0 = A(x) Y + F (x)


111

se obt¸ine adunˆ and la solut¸ia general˘ a a sistemului liniar omogen asociat Y 0 = A(x) Y o solut¸ie particular˘ a Y˜ a sistemului neomogen. Demonstrat¸ie. Deoarece Y˜ 0 = A(x) Y + F (x) obt¸inem =⇒ (Y + Y˜ )0 = A(x) (Y + Y˜ ) + F (x)

Y 0 = A(x) Y

Y 0 = A(x) Y + F (x) =⇒ (Y − Y˜ )0 = A(x) (Y − Y˜ ). Observat¸ia 3.14 Folosind matricea Wronski W asociat˘a unei baze {Y1 , Y2 , ... , Yn } a lui V solut¸ia general˘ a Y = c1 Y1 + c2 Y2 + · · · + cn Yn a ecuat¸iei liniare omogene Y 0 = A(x) Y se poate scrie sub forma 

Y (x) = W (x) C

unde

 

C=  

c1 c2 .. . cn

    ∈ Rn .  

Teorema 3.31 (Metoda variat¸iei constantelor). Dac˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului Y 0 = A(x) Y este Y (x) = W (x) C atunci o solut¸ie particular˘ a sistemului neomogen Y 0 = A(x) Y + F (x) se poate obt¸ine c˘ autˆ and-o de forma Y˜ (x) = W (x) C(x) unde C(x) este o solut¸ie a sistemului C 0 (x) = W −1 (x) F (x).

112


Demonstrat¸ie. Deoarece W 0 = A(x)W ¸si Y˜ 0 (x) = W 0 (x) C(x) + W (x) C 0 (x) avem Y˜ 0 = A(x) Y˜ + F (x) dac˘a ¸si numai dac˘ a W (x) C 0 (x) = F (x) Definit¸ia 3.32 Prin sistem diferent¸ial liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i se ˆınt¸elege un sistem de ecuat¸ii de forma Y 0 = AY

A ∈ Mn×n (R).

unde

Propozit¸ia 3.33 Funct¸ia vectorial˘ a Y : R −→ Cn , Y (x) = w eλx , unde    w=  

w1 w2 .. . wn

    ∈ Cn  

verific˘ a relat¸ia Y 0 = AY dac˘ a ¸si numai dac˘ a Aw = λw. Demonstrat¸ie. Deoarece Y 0 (x) = λw eλx ˆınlocuind ˆın Y 0 = AY obt¸inem Aw = λw. Observat¸ia 3.15 Fie λ o r˘ ad˘ acin˘a a polinomului caracteristic det (A − λI) = 0. Dac˘a λ ∈ R atunci λ este valoare proprie a matricei A ¸si alegând un vector propriu corespunz˘ ator w ∈ Rn obt¸inem solut¸ia netrivial˘a Y (x) = w eλx a sistemului Y 0 = AY . Dac˘ a λ 6∈ R atunci exist˘ a w ∈ Cn astfel ˆıncât Aw = λw ¸si

Y1 (x) = Re w eλx , sunt solut¸ii ale sistemului Y 0 = AY .

Y2 (x) = Im w eλx


113

Exercit¸iul 3.2 S˘ a se determine solut¸ia general˘a a sistemului (

y10 = y1 + y2 y20 = −y1 + y2 .

Rezolvare. Ecuat¸ia 1−λ 1 −1 1−λ

=0

are r˘ad˘ acinile λ1 = 1 + i ¸si λ2 = 1 − i. O solut¸ie particular˘a a ecuat¸iei Av = (1 + i)v, adic˘a ! ! ! v1 1 1 v1 = (1 + i) v2 −1 1 v2 este v =

1 i

!

. Rezult˘ a c˘ a solut¸ia general˘a a sistemului este 1 i

!

1 i

!

cos x − sin x

!

(

Y (x) = c1 Re (

= c1 Re = c1

)

e(1+i)x

(

1 i

+ c2 Im

!

)

e(1+i)x

)

(

ex (cos x + i sin x) + c2 Im ex + c2

sin x cos x

1 i

!

)

ex (cos x + i sin x)

!

ex .

Observat¸ia 3.16 Dac˘ a matricea A ∈ Mn×n (R) este diagonalizabil˘a ¸si {v1 , v2 , ..., vn } unde       v11 v12 v1n        v21   v22   v2n       v1 =  .  , v2 =  .  , ··· vn =  .    ..   ..   ..  vn1

vn2

vnn

Rn

este o baz˘ a a lui format˘ a din vectori proprii ai lui A corespunz˘atori valorilor proprii λ1 , λ2 , ... , λn (distincte sau nu) atunci solut¸ia general˘a a sistemului Y 0 = AY este    Y (x) = c1   

v11 v21 .. . vn1





   λ x   e 1 + c2     

v12 v22 .. . vn2





   λ x   e 2 + · · · + cn     

v1n v2n .. . vnn

   λ x e n .  

114


Exercit¸iul 3.3 S˘ a se determine solut¸ia general˘a a sistemului  0   y1 = y2 + y3

y0 = y + y

1 3 2   y0 = y + y 1 2 3

Rezolvare. Rezolvˆ and ecuat¸ia −λ 1 1

1 1 −λ 1 1 −λ

=0

obt¸inem λ1 = 2, ¸si λ2 = λ3 = −1. Deoarece subspat¸iile proprii corespunz˘atoare sunt V2 = { α(1, 1, 1) | α ∈ R },

V−1 = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R }.

rezult˘a c˘ a solut¸ia general˘ a a sistemului este 











0 1 1    −x   2x  Y (x) = c1  1  e + c2  0  e + c3  1  e−x . −1 −1 1 Observat¸ia 3.17 S ¸ tim c˘ a, ˆın general, o matrice A ∈ Mn×n (R) nu este diagonalizabil˘a. Dac˘ a λ este o r˘ ad˘ acin˘ a real˘a (respectiv, complex˘a) cu multiplicitatea m a polinomului caracteristic atunci partea din solut¸ia general˘a corespunz˘atoare lui λ poate fi g˘ asit˘ a c˘ autˆ and-o de forma    

Y (x) = 

α11 xm−1 + α12 xm−2 + · · · + α1m−1 x + α1m α21 xm−1 + α22 xm−2 + · · · + α2m−1 x + α2m ................................................................... αn1 xm−1 + αn2 xm−2 + · · · + αnm−1 x + α1m

   λx e 

unde coeficient¸ii αjk sunt reali (respectiv, compleçsi). In cazul complex, ˆın final se separ˘a p˘ art¸ile real˘ a ¸si imaginar˘ a ale a solut¸iei gasite. Exercit¸iul 3.4 S˘ a se determine solut¸ia general˘a a sistemului  0   y1 = −y1 + y2 0

y2 = −y2 + 4y3   y 0 = y − 4y 1 3 3


115

Rezolvare. Valorile proprii sunt λ1 = 0 ¸si λ2 = λ3 = −3, iar subspat¸iile proprii corespunz˘ atoare V0 = { α(4, 4, 1) | α ∈ R },

V−3 = { α(1, −2, 1) | α ∈ R }.

Deoarece dimV−3 = 1 rezult˘ a c˘ a matricea sistemului nu este diagonalizabil˘a. C˘autând partea din solut¸ia general˘ a referitoare la λ2 = λ3 = −3 de forma 



α1 x + β1   Y (x) =  α2 x + β2  e−3x α3 x + β3 g˘asim 







x 1     Y (x) = α1  −2x + 1  e−3x + β1  −2  e−3x . x−1 1 Solut¸ia general˘ a a sistemului este 











1 x 4       Y (x) = c1  4  + c2  −2x + 1  e−3x + c3  −2  e−3x . 1 x−1 1 Observat¸ia 3.18 O alt˘ a metod˘a de rezolvare a sistemelor liniare omogene cu coeficient¸i constant¸i, numit˘ a metoda elimin˘ arii, se bazeaz˘a pe faptul c˘a fiecare dintre funct¸iile necunoscute yj verific˘ a o ecuat¸ie diferent¸ial˘a liniar˘a. Exercit¸iul 3.5 S˘ a se rezolve sistemul  0   y1 = y2 0

y2 = y3   y0 = y . 1 3 Rezolvare. Funct¸ia necunoscut˘ a y1 verific˘a ecuat¸ia liniar˘a y1000 − y1 = 0. √

Deoarece P (r) = r3 − 1 are r˘ ad˘ acinile r1 = 1 ¸si r2,3 = − 21 ± i 23 , rezult˘a c˘a √ √ 3 3 x − 21 x − 12 x y1 (x) = c1 e + c2 e cos x + c3 e sin x. 2 2

116


Prin derivarea lui y1 se obt¸in y2 ¸si y3 . Observat¸ia 3.19 Deoarece izomorfismul de spat¸ii vectoriale 2

Mn×n (K) −→ Kn :     

a11 a12 a21 a22 ··· ··· an1 an2

· · · a1n · · · a2n ··· ··· · · · ann

    7→ (a11 , a12 , ..., a1n , a21 , a22 , ..., a2n , ..., an1 , an2 , ..., ann )  2

permite identificarea spat¸iului vectorial Mn×n (K) cu Kn , aplicat¸ia

|| · || : Mn×n (K) −→ R,

    

a11 a12 a21 a22 ··· ··· an1 an2

· · · a1n · · · a2n ··· ··· · · · ann

    = 

v uX u n t |aij |2 i,j=1

este o norm˘ a pe Mn×n (K). In particular, o serie de matrice ∞ X

ak Ak

k=0

este convergent˘ a dac˘ a exist˘ a limita lim

m→∞

m X

ak Ak

k=0

adic˘a dac˘ a exist˘ a B ∈ Mn×n (K) astfel ˆıncât m X k ak A − B = 0. lim m→∞ k=0

Propozit¸ia 3.34 Dac˘ a seria de puteri ∞ X

ak xk

k=0

are raza de convergent¸˘ a R > 0 ¸si dac˘ a A ∈ Mn×n (K) este astfel ˆıncˆ at ||A|| < R atunci seria de matrice ∞ X k=0

este convergent˘ a.

ak Ak


117

Demonstrat¸ie. Alegˆ and r astfel ˆıncât ||A|| < r < R obt¸inem relat¸ia ak Ak = |ak | Ak ≤ |ak | ||A||k < |ak | r k . P∞

k a, din criteriul comparat¸iei rezult˘a c˘a seria k=0 ak r fiind absolut convergent˘ P k k a, ceea ce implic˘a convergent¸a seriei ∞ k=0 ||ak A || este convergent˘ k=0 ak A .

Seria P∞

Observat¸ia 3.20 Deoarece seria exponent¸ial˘a ex =

∞ X xk k=0

=1+

k!

x x2 + + ··· 1! 2!

are raza de convergent¸˘ a r = ∞ rezult˘a c˘a pentru orice matrice A ∈ Mn×n (K) putem defini matricea ∞ X A A2 Ak =1+ + + ··· eA = k! 1! 2! k=0 numit˘a exponent¸iala matricei A. Se poate ar˘ata c˘a funct¸ia matriceal˘a R −→ Mn×n (K) : t 7→ etA

este derivabil˘ a ¸si c˘ a (etA )0 = A etA adic˘a Y (t) = etA C este solut¸ie a sistemului liniar Y 0 = AY , oricare ar fi C ∈ Rn . Exercit¸iul 3.6 S˘ a se determine solut¸ia sistemului  0   y1 = y2 + y3 0

y2 = y1 + y3   y0 = y + y . 1 2 3 Rezolvare. Matricea sistemului 



0 1 1   A= 1 0 1  1 1 0

118


este diagonalizabil˘ a 



2 0 0   S −1 AS =  0 −1 0  0 0 −1 Deoarece





1 1 0   1 . S= 1 0 1 −1 −1

unde





2 0 0   A = S  0 −1 0  S −1 0 0 −1 obt¸inem k







2k 0 0 2 0 0   −1   k 0  S −1 A = S  0 −1 0  S = S  0 (−1)k 0 0 −1 0 0 (−1)k ¸si etA =

∞ X (tA)k k=0

k!









2k 0 0 e2t 0 0    −1  k 0  S = S  0 e−t 0  S −1 = S  0 (−1) k! k=0 0 0 e−t 0 0 (−1)k ∞ k X t

relat¸ie care permite scrierea explicit˘a a solut¸iei generale.

Capitolul 4

Funct¸ii sferice

4.1

Polinoame Legendre

Propozit¸ia 4.1 Proiect¸ia ortogonal˘ a a vectorului x pe vectorul u 6= 0 este vectorul Pu x =

hx, ui u. hu, ui

Figura 4.1 Demonstrat¸ie. Proiect¸ia lui x pe u este un vector de forma λu. Impunând ca proiect¸ia s˘ a fie ortogonal˘ a , adic˘ a (x − λu) ⊥ u 119

120


obt¸inem relat¸ia (a se vedea figura 4.1) hx − λu, ui = 0 care conduce la λ =

hx,ui hu,ui .

Teorema 4.2 (Metoda de ortogonalizare Gram-Schmidt). Dac˘ a {v1 , v2 , v3 , ... } este un sistem liniar independent (finit sau infinit) atunci {w1 , w2 , w3 , ... }, unde w1 = v 1 w2 = v 2 −

hv2 ,w1 i hw1 ,w1 i

w1

w3 = v 3 −

hv3 ,w1 i hw1 ,w1 i

w1 −

hv3 ,w2 i hw2 ,w2 i

w2

.......................................................... este un sistem ortogonal astfel incˆ at spat¸iul vectorial generat de {v1 , v2 , ... , vk } este acela¸si cu spat¸iul vectorial generat de {w1 , w2 , ... , wk }, oricare ar fi k ∈ {1, 2, 3, ...}. Demonstrat¸ie. Avem

hw2 , w1 i = v2 −

hv2 , w1 i w1 , w 1 hw1 , w1 i

= hv2 , w1 i −

hv2 , w1 i hw1 , w1 i = 0. hw1 , w1 i

Similar se arat˘ a c˘ a oricare vector wk este ortogonal pe vectorii w1 , w2 , ... , wk−1 . Definit¸ia 4.3 Polinoamele P0 , P1 , P2 . . . satisf˘ acˆ and condit¸ia Pn (1) = 1 obt¸inute ortogonalizˆ and ¸sirul 1, x, x2 , . . . ˆın raport cu produsul scalar hϕ, ψi =

Z 1

ϕ(x) ψ(x) dx −1

se numesc polinoame Legendre.

Funct¸ii sferice

121

Exercit¸iul 4.1 S˘ a se determine polinoamele Legendre P0 , P1 ¸si P2 . Rezolvare. Ortogonalizˆ and 1, x, x2 rezult˘a polinoamele Q0 (x) = 1 Q1 (x) = x −

hx,Q0 i hQ0 ,Q0 i

Q2 (x) = x2 −

Q0 (x) = x

hx2 ,Q0 i hQ0 ,Q0 i

Q0 (x) −

hx2 ,Q1 i hQ1 ,Q1 i

Q1 (x) = x2 − 31 .

Obt¸inem polinoamele P0 , P1 , P2 c˘ autându-le de forma Pn = αn Qn cu constantele αn determinate astfel ˆıncˆ at Pn (1) = 1. Rezult˘a P0 (x) = 1, P1 (x) = x ¸si P2 (x) = 23 x2 − 12 . Teorema 4.4 (Formula lui Rodrigues) Polinomul Legendre Pn verific˘ a relat¸ia Pn (x) =

i(n) 1 h 2 n (x − 1) n! 2n

oricare ar fi n ∈ N. (0) = 1 = P0 (x). Fie n > 0 fixat ¸si fie Pñ (x) = Demonstrat¸ie. Avem 0!120 (x2 − 1)0 1 2 n (n) . Deoarece P ñ este un polinom de gradul n rezult˘a c˘a exist˘a α0 , n! 2n (x − 1) α1 ,. . . αn ∈ R astfel ˆıncˆ at

Pñ = α0 P0 + α1 P1 + · · · + αn Pn . Avem h1, Pñ i =

1 n! 2n

Z 1

[(x2 − 1)n ](n) dx =

−1

1 1 2 n (n−1) [(x − 1) ] = 0. −1 n! 2n

Dac˘a n > 1, integrˆ and prin p˘ art¸i obt¸inem hx, Pñ i = =

1 n! 2n 1 n! 2n

R1

2 −1 x[(x

− 1)n ](n) dx 1

x [(x2 − 1)n ](n−1)

−1

−

1 n! 2n

R1

−1 [(x

2

− 1)n ](n−1) dx = 0

¸si ˆın general, hxk , Pñ i = 0

oricare ar fi k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

122


Din relat¸ia precedent˘ a rezult˘ a hPk , Pñ i = 0

oricare ar fi k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.

Tinând seama de ortogonalitatea polinoamelor Legendre obt¸inem relat¸ia 0 = hPk , Pñ i = hPk , α0 P0 + α1 P1 + · · · + αn Pn i = αk hPk , Pk i din care rezult˘ a oricare ar fi k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}

αk = 0,

¸si deci Pñ = αn Pn . Deoarece Pn (1) = 1 ¸si 

Pñ (1) =



n X

1  C j [(x − 1)n ](j) [(x + 1)n ](n−j)  n! 2n j=0 n

=1

x=1

rezult˘a c˘ a αn = 1 ¸si deci Pñ = Pn . Propozit¸ia 4.5 Oricare ar fi n ∈ N, ecuat¸ia (numit˘ a ecuat¸ia polinoamelor Legendre) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + n(n + 1)y = 0 admite o solut¸ie polinomial˘ a dar nu admite solut¸ii polinomiale liniar independente. Demonstrat¸ie. Din teoria general˘ a a ecuat¸iilor diferent¸iale ¸stim c˘a spat¸iul solut¸iilor ecuat¸iei considerate este un spat¸iu vectorial de dimensiune 2. Dac˘a ecuat¸ia ar admite dou˘a solut¸ii polinomiale liniar independente atunci ele ar forma o baz˘a ˆın spat¸iul solut¸iilor ¸si prin urmare toate solut¸iile ar fi polinomiale. C˘autând solut¸ii dezvoltabile ˆın serie de puteri y(x) =

∞ X

cm xm

m=0

ar˘at˘am c˘ a ecuat¸ia admite atˆ at solut¸ii polinomiale cât ¸si nepolinomiale. Deoarece ˆın domeniul de convergent¸˘ a y 0 (x) =

∞ X m=1

mcm xm−1 ,

y 00 (x) =

∞ X m=2

m(m − 1)cm xm−2

Funct¸ii sferice

123

ˆınlocuind ˆın ecuat¸ie obt¸inem relat¸ia [2c2 + n(n + 1)c0 ] + [3 · 2c3 + (n − 1)(n + 2)c1 ]x + · · · +[(m + 2)(m + 1)cm+2 + (n − m)(m + n + 1)cm ]xm + · · · = 0 din care rezult˘ a (m + 2)(m + 1)cm+2 + (n − m)(m + n + 1)cm = 0,

oricare ar fi m ∈ N.

Alegând c0 = 1, c1 = 0 obt¸inem solut¸ia y0 (x) = 1 −

n(n + 1) 2 (n − 2)n(n + 1)(n + 3) 4 x + x − ··· 2! 4!

iar alegˆ and c0 = 0, c1 = 1 obt¸inem solut¸ia y1 (x) = x −

(n − 1)(n + 2) 3 (n − 3)(n − 1)(n + 2)(n + 4) 5 x + x − ··· 3! 5!

Deoarece lim

m→∞

(m − n)(m + n + 1) |cm+2 | = lim =1 m→∞ |cm | (m + 2)(m + 1)

solut¸iile y0 ¸si y1 sunt convergente pentru |x2 | < 1, adic˘a pentru |x| < 1. Dac˘a n este num˘ar par atunci y0 este solut¸ie polinomial˘a (seria are un num˘ar finit de coeficient¸i nenuli) iar y1 este solut¸ie nepolinomial˘a. Dac˘a n este num˘ar impar atunci y1 este solut¸ie polinomial˘ a ¸si y0 nepolinomial˘a. Propozit¸ia 4.6 Solut¸ia polinomial˘ a a ecuat¸iei (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + n(n + 1)y = 0 care verific˘ a condit¸ia y(1) = 1 este polinomul Legendre Pn . Demonstrat¸ie. Fie u(x) = (x2 − 1)n . Avem u0 = 2nx

x2

u −1

adic˘a (x2 − 1)u0 = 2nx u.

124


Derivând relat¸ia anterioar˘ a de (k + 1) ori folosind formula lui Leibniz (k+1)

(f g)

=

k+1 X

j Ck+1 f (j) g (k+1−j)

j=0

obt¸inem (x2 − 1)u(k+2) + 2(k + 1) x u(k+1) + 2 Inmult¸ind cu

1 n! 2n

(k + 1)k (k) u = 2nx u(k+1) + 2(k + 1)nx u(k) . 2

relat¸ia rezultat˘ a ¸si ˆınlocuind k cu n rezult˘a (1 − x2 )(u(n) )00 − 2x(u(n) )0 + n(n + 1)u(n) = 0

adic˘a (1 − x2 )Pn00 − 2xPn0 + n(n + 1)Pn = 0. Propozit¸ia 4.7 (Seria binomial˘ a) Dezvoltˆ and ˆın serie Taylor ˆın jurul lui 0 funct¸ia f : (−1, 1) −→ R,

f (x) = (1 + x)α = eα ln(1+x)

obt¸inem (1 + x)α = 1 + α x +

α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 x + x + ··· 2! 3!

Demonstrat¸ie. Deoarece f (n) (x) = [(1 + x)α ](n) = α(α − 1) . . . (α − n + 1) (1 + x)α−n seria Taylor corespunz˘ atoare lui f f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 x+ x + ··· 1! 2!

este seria de puteri 1 + αx +

α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3 x + x + ··· 2! 3!

cu raza de convergent¸˘ a |α − n + 1| = 1. n→∞ n

R = lim

Funct¸ii sferice

125

Teorema 4.8 (Funct¸ia generatoare). Pentru x ∈ (−1, 1) ¸si t ˆıntr-o vecin˘ atate suficient de mic˘ a a lui 0 avem √

∞ X 1 = Pn (x) tn . 1 − 2xt + t2 n=0

Demonstrat¸ie. Fie x ∈ (−1, 1) ¸si γx un drum ˆınchis care se rote¸ste o dat˘a ˆın jurul lui x ˆın sens direct (a se vedea figura 4.2).

Figura 4.2 Utilizând formula lui Cauchy obt¸inem P∞

n=0 Pn (x) t

n

tn 2 n=0 n! 2n [(x

=

P∞

=

P∞

=

1 2πi

− 1)n ](n)

(z 2 −1)n tn n! R n=0 n! 2n 2πi γx (z−x)n+1 dz

P∞ R

h

n=0 γx

i (z 2 −1)t n 1 z−x dz. 2(z−x)

2

−1)t Pentru t ˆıntr-o vecin˘ atate a lui 0 aleas˘a astfel ˆıncât (z 2(z−x) < 1 avem

P∞

n=0 Pn (x) t

n

P∞ h (z 2 −1)t in

=

1 R 1 2πi γx z−x

=

1 R 1 1 2πi γx z−x 1− (z2 −1)t 2(z−x) 1 R dz πi γx −tz 2 +2z+t−2x

=

n=0

2(z−x)

dz

dz

Punctele singulare ale funct¸iei f de sub integral˘a √ √ 1 − 1 − 2xt + t2 1 + 1 − 2xt + t2 z1 = si z2 = t t

126


verific˘a relat¸iile limt→0 z1 = x ¸si limt→0 |z2 | = ∞. Pentru t ˆıntr-o vecin˘atate destul de mic˘a a lui 0 din teorema reziduurilor rezult˘a P∞

n n=0 Pn (x) t

=

1 πi

2πi Rezz1 f = 2 limz→z1 (z − z1 ) f (z)

= 2 limz→z1 (z − z1 ) −t(z−z11)(z−z2 ) =

−2 t(z1 −z2 )

=

√

1 . 1−2xt+t2

Teorema 4.9 Polinoamele Legendre verific˘ a relat¸ia de recurent¸a ˘ (n + 1)Pn+1 (x) − (2n + 1)xPn (x) + nPn−1 (x) = 0 oricare ar fi n ≥ 1. Demonstrat¸ie. Derivˆ and ˆın raport cu t relat¸ia √

∞ X 1 = Pk (x) tk . 2 1 − 2xt + t k=0

obt¸inem relat¸ia ∞ X −(t − x) √ = kPk (x) tk−1 2 2 (1 − 2xt + t ) 1 − 2xt + t k=0

care se mai poate scrie (x − t)

∞ X

Pk (x) tk = (1 − 2xt + t2 )

k=0

∞ X

kPk (x) tk−1 .

k=0

Identificˆ and coeficient¸ii lui tn din cei doi membri a ultimei identit˘a¸ti obt¸inem relat¸ia de recurent¸˘ a din enunt¸ul teoremei. Teorema 4.10 (Norma polinoamelor Legendre) Avem s

||Pn || =

2 2n+1

si

hPn , Pn0 i =

2 δnn0 . 2n+1

Demonstrat¸ie. Integrˆ and de n ori prin p˘art¸i obt¸inem ||Pn ||2 = hPn , Pn i = =

R1

1 2 −1 Pn (x) n! 2n [(x

(−1)n n! 2n

− 1)n ](n) dx

(n) 2 −1 Pn (x)(x

R1

− 1)n dx.

Funct¸ii sferice

127

Deoarece Pn(n) (x) = avem

(2n)! 1 [(x2 − 1)n ](2n) = n n! 2 n! 2n

(−1)n (2n)! ||Pn || = n! 2n n! 2n 2

unde

Z 1

(x2 − 1)n dx =

−1

Z 1

In =

(−1)n (2n)! In (n! 2n )2

(x2 − 1)n dx.

−1

Utilizând relat¸ia de recurent¸˘ a (obt¸inut˘a integrând prin p˘art¸i) In =

R1

−1 (x

=

2

− 1)n dx =

1 R1 2n −1 x

R1

2 −1 (x

− 1)(x2 − 1)n−1 dx

· [(x2 − 1)n ]0 dx − In−1 =

−1 2n In

− In−1

care conduce la In = −

2n 22n+1 (n!)2 In−1 = · · · = (−1)n 2n + 1 (2n + 1)!

obt¸inem ||Pn ||2 =

2n+1 (n!)2 (−1)n (2n)! (−1)n (2n)! 2 n2 I = (−1) = . n n 2 n 2 (n! 2 ) (n! 2 ) (2n + 1)! 2n + 1

Observat¸ia 4.1 Se poate ar˘ ata c˘ a ¸sirul de polinoame (r

2n + 1 Pn 2

) n∈N

este o baz˘ a ortonormat˘ a ˆın spat¸iul Hilbert L2 (−1, 1).

128

4.2


Funct¸ii Legendre asociate

Definit¸ia 4.11 Funct¸iile m

Plm : (−1, 1) −→ R,

(m)

Plm (x) = (1 − x2 ) 2 Pl

(x)

unde l ∈ N ¸si m ∈ {0, 1, . . . , l} sunt numite funct¸ii Legendre asociate. Exercit¸iul 4.2 S˘ a se determine P00 , P10 , P11 , P20 , P21 ¸si P22 . Rezolvare. Deoarece P0 (x) = 1, P1 (x) = x ¸si P2 (x) = 23 x2 − P00 (x) = 1

1 2

avem

P20 (x) = 32 x2 − 21 √ P21 (x) = 3x 1 − x2

P10 (x) = x √ P11 (x) = 1 − x2

P22 (x) = 3(1 − x2 ) Teorema 4.12 Ecuat¸ia (numit˘ a ecuat¸ia funct¸iilor Legendre asociate) "

#

m2 (1 − x )y − 2xy + λ − y=0 1 − x2 2

00

0

(4.1)

admite ˆın cazul λ = l(l + 1) cu l ∈ {m, m+1, . . .} ca solut¸ie funct¸ia Plm . Demonstrat¸ie. Funct¸ia m

y(x) = (1 − x2 ) 2 z(x) verific˘a ecuat¸ia (4.1) dac˘ a ¸si numai dac˘a z este solut¸ie a ecuat¸iei (1 − x2 )z 00 − 2(m + 1)xz 0 + [l(l + 1) − m(m + 1)]z = 0. Polinomul Legendre Pl verific˘ a ecuat¸ia (1 − x2 )Pl00 − 2xPl0 + l(l + 1)Pl = 0. Derivând aceast˘ a relat¸ie de m ori obt¸inem relat¸ia (m) 00

(1 − x2 )(Pl

(m) 0

) − 2(m + 1)x(Pl

(m)

) + [l(l + 1) − m(m + 1)]Pl

= 0.

Funct¸ii sferice

129

Observat¸ia 4.2 Utilizˆ and formula lui Rodrigues obt¸inem relat¸ia m

(m)

Plm (x) = (1 − x2 ) 2 Pl

m 1 (1 − x2 ) 2 [(x2 − 1)l ](l+m) l! 2l

(x) =

care are sens ¸si pentru m ∈ {−l, −l + 1, . . . , −1}. Mai mult, se poate ar˘ata c˘a Plm verific˘a ecuat¸ia #

"

m2 y=0 (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + λ − 1 − x2 oricare ar fi l ∈ N ¸si m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l}. Teorema 4.13 (Norma funct¸iilor Legendre asociate) Avem s

||Plm ||

=

2 (l+m)! 2l+1 (l−m)!

hPlm , Plm 0 i =

si

2 (l+m)! δll0 . 2l+1 (l−m)!

oricare ar fi m ∈ N ¸si l, l0 ∈ {m, m+1, m+2, . . .}. Demonstrat¸ie. Derivˆ and de m ori ecuat¸ia (1 − x2 ) Pl00 (x) − 2x Pl0 (x) + l(l + 1) Pl (x) = 0 verificat˘ a de polinomul Legendre Pl obt¸inem relat¸ia (m+2)

(1 − x2 ) Pl

(m+1)

−2x Pl

(m+1)

(x) − 2mx Pl

(m)

(x) − 2m Pl

(m)

(x) − m(m − 1) Pl (m)

(x) + l(l + 1) Pl

(x)

(x) = 0

care dup˘ a ˆınmult¸irea cu (1 − x2 )m se poate scrie sub forma (m+1)

[(1 − x2 )m+1 Pl

(x)]0 = −[l(l + 1) − m(m + 1)] (1 − x2 )m Plm (x).

130


Pentru m > 0, utilizˆ and integrarea prin p˘art¸i ¸si relat¸ia precedent˘a obt¸inem hPlm , Plm 0 i =

R1

−1 (1

(m)

− x2 )m Pl (m)

= (1−x2 )m Pl

(m)

(x) Pl0

(x) dx

R1 (m−1) 1 (m) (m−1) |−1 − −1 [(1−x2 )m Pl (x)]0 Pl0 (x) dx

(x) Pl0

= (l − m + 1)(l + m)

R1

−1 (1

(m−1)

− x2 )m−1 Pl

(m−1)

(x) Pl0

(x) dx

= (l − m + 1)(l + m)hPlm−1 , Plm−1 i 0 = (l − m + 1)(l − m + 2)(l + m − 1)(l + m)hPlm−2 , Plm−2 i = ··· 0 = (l − m + 1)(l − m + 2) . . . (l + m)hPl0 , Pl00 i =

2 (l+m)! 2l+1 (l−m)!

δll0 .

Observat¸ia 4.3 Se poate ar˘ ata c˘ a oricare ar fi m ∈ N sistemul (s

2n + 1 (l − m)! m P 2 (l + m)! l

) l∈{m,m+1,...}

este o baz˘ a ortonormat˘ a ˆın spat¸iul Hilbert L2 (−1, 1). Utilizând schimbarea de variabil˘a x = cos θ rezult˘ a imediat c˘ a sistemul de funct¸ii (s

)

2n + 1 (l − m)! m P (cos θ) 2 (l + m)! l

l∈{m,m+1,...}

este un sistem ortonormat in raport cu produsul scalar hf, gi =

Z π

f (θ) g(θ) sin θ dθ. 0

Funct¸ii sferice

4.3

131

Funct¸ii sferice

Observat¸ia 4.4 In coordonate sferice (a se vedea figura 4.3)

Figura 4.3  x = r sin θ cos ϕ    

y = r sin θ sin ϕ

   

z = r cos θ

punctele sferei unitate S = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = 1 } sunt complet descrise de variabilele unghiulare θ ¸si ϕ. Definit¸ia 4.14 Funct¸iile Ylm : S −→ R, Ylm (θ, ϕ) =

 m  Pl (cos θ) cos mϕ 

|m|

Pl

daca m ∈ {0, 1, . . . , l}

(cos θ) sin mϕ daca m ∈ {−l, −l + 1, . . . , −1}

se numesc funct¸ii sferice fundamentale. Exercit¸iul 4.3 S˘ a se determine Y00 , Y1−1 , Y10 , Y11 , Y2−2 , Y2−1 , Y20 , Y21 ¸si Y22 . Rezolvare. Deoarece P00 (x) = 1

P10 (x) = x √ P11 (x) = 1 − x2

P20 (x) = 32 x2 − 21 √ P21 (x) = 3x 1 − x2 P22 (x) = 3(1 − x2 )

132


avem Y2−2 (θ, ϕ) = −3 sin2 θ sin 2ϕ

Y00 (θ, ϕ) = 1

Y2−1 (θ, ϕ) = −3 sin θ cos θ sin ϕ Y1−1 (θ, ϕ) = − sin θ sin ϕ

Y20 (θ, ϕ) =

Y10 (θ, ϕ) = cos θ

Y21 (θ, ϕ) = 3 cos θ sin θ cos ϕ

Y11 (θ, ϕ) = sin θ cos ϕ

Y22 (θ, ϕ) = 3 sin2 θ cos 2ϕ

3 2

cos2 θ −

1 2

Observat¸ia 4.5 Funct¸iile Plm fiind definite oricare ar fi m ∈ {−l, −l+1, · · · , l−1, l} putem considera funct¸iile (numite de asemenea funct¸ii sferice fundamentale) Ylm : S −→ C,

Ylm (θ, ϕ) = Plm (cos θ) eimϕ

oricare ar fi l ∈ N ¸si m ∈ {−l, −l + 1, . . . , l − 1, l}. Teorema 4.15 Sistemul de funct¸ii (s

)

(l − |m|)! m 2l + 1 Y (θ, ϕ) 2π(1 + δ0m ) (l + |m|)! l

l∈N m ∈ {−l, l + 1, . . . , l}

este un sistem ortonormat ˆın raport cu produsul scalar hf, gi =

Z π Z 2π

f (θ, ϕ) g(θ, ϕ) sin ϑ dϕ dθ. 0

0

Demonstrat¸ie. Deoarece Z 2π 0

0

cos mϕ cos m ϕ dϕ = π (1 + δ0m ) δmm0

   0

daca m 6= m0 π daca m = m0 = 6 0 =   2π daca m = m0 = 0

ˆın cazul m ≥ 0, m0 ≥ 0 utilizˆ and schimbarea de variabil˘a x = cos θ obt¸inem 0

hYlm , Ylm 0 i =

R π R 2π 0

0

0

0 Plm (cos θ) Plm 0 (cos θ) cos mϕ cos m ϕ sin θ dϕ dθ

= π (1+δ0m ) δmm0

R1

m m −1 Pl (x) Pl0 (x) dx

=

2π (l+m)! 2l+1 (l−m)!

(1+δ0m ) δmm0 δll0 .

Similar se analizeaz˘ a celelalte cazuri. Observat¸ia 4.6 Se poate ar˘ ata c˘ a sistemul ortonormat considerat ˆın teorema precedent˘a este o baz˘ a ortonormat˘ a ˆın spat¸iul L2 (S) al funct¸iilor de p˘atrat integrabil definite pe suprafat¸a sferei unitate.

Funct¸ii sferice

4.4

133

Problema Dirichlet pentru ecuat¸ia Laplace

Expresia ˆın coordonate sferice a operatorului diferent¸ial ∆=

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

numit laplacean, este ∂ 1 ∂ r2 ∆= 2 r ∂r ∂r

1 ∂ ∂ + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ

+

∂2 1 . r2 sin2 θ ∂ϕ2

Propozit¸ia 4.16 Funct¸ia u(r, θ, ϕ) = R(r) Y (θ, ϕ) = R(r) T (θ) F (ϕ) este solut¸ie a ecuat¸iei Laplace ∆u = 0

(4.2)

dac˘ a exist˘ a constantele µ ¸si λ astfel ˆıncˆ at a) Funct¸ia F verific˘ a ( 00 F + µF = 0

(4.3)

F (ϕ + 2π) = F (ϕ) b) Funct¸ia y(x) = T (arccos x) verific˘ a i h  2  (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + λ − m 2 y = 0 1−x 

(4.4)

y(±1) = f init

c) Funct¸ia R verific˘ a ecuat¸ia Euler r2 R00 + 2r R0 − λR = 0.

(4.5)

Demonstrat¸ie. C˘ autˆ and pentru ecuat¸ia (4.2) solut¸ii de forma u(r, θ, ϕ) = R(r) Y (θ, ϕ) obt¸inem relat¸ia "

R(r) 1 ∂ ∂Y 1 d 2 0 (r R (r)) Y (θ, ϕ) + 2 sin θ 2 r dr r sin θ ∂θ ∂θ

1 ∂2Y + sin2 θ ∂ϕ2

#

=0

134


pe care o scriem sub forma r2 R00 + 2r R0 = R

∂ 1 sin θ ∂θ

sin θ

∂Y ∂θ

+

1 ∂2Y sin2 θ ∂ϕ2

−Y (θ, ϕ)

.

Deoarece membrul stˆ ang este o funct¸ie de r ¸si membrul drept este o funct¸ie de θ ¸si ϕ egalitatea precedent˘ a este posibil˘ a numai dac˘a funct¸iile R ¸si Y sunt astfel ˆıncât cei doi membri sunt funct¸ii constante egale. Notând cu λ constanta respectiv˘a rezult˘a c˘a R trebuie s˘ a fie astfel ˆıncˆ at r2 R00 + 2r R0 − λR = 0 ¸si Y astfel ˆıncˆ at ∂Y 1 ∂ sin θ sin θ ∂θ ∂θ

+

1 ∂2Y + λY = 0. sin2 θ ∂ϕ2

C˘autând pentru ultima ecuat¸ie solut¸ii de forma Y (θ, ϕ) = T (θ) F (ϕ) obt¸inem relat¸ia sin θ

d sin θ T 0 (θ) F (ϕ) + T (θ) F 00 (ϕ) + λ sin2 θ T (θ) F (ϕ) = 0 dθ

pe care o scriem sub forma sin2 θ T 00 (θ) + sin θ cos θ T 0 (θ) + λ sin2 θ T (θ) F 00 (ϕ) = . T (θ) −F (ϕ) Membrul stˆ ang fiind o funct¸ie de θ ¸si membrul drept una de ϕ, egalitatea este posibil˘a numai dac˘ a exist˘ a o constant˘ a µ astfel ˆıncât F 00 (ϕ) + µ F (ϕ) = 0 ¸si sin2 θ T 00 (θ) + sin θ cos θ T 0 (θ) + λ sin2 θ T (θ) − µ T (θ) = 0. In ultima ecuat¸ie utiliz˘ am schimbarea de variabil˘a x = cos θ care conduce la p d dx d d d = = − sin θ = − 1 − x2 . dθ dθ dx dx dx

Notând y(x) = T (arccos x) deducem c˘a funct¸ia y trebuie s˘a verifice ecuat¸ia p

−(1 − x2 ) 1 − x2

d dx

p

− 1 − x2

dy dx

− x(1 − x2 )

dy + [λ(1 − x2 ) − µ]y = 0 dx

Funct¸ii sferice

135

care se poate scrie sub forma "

#

m2 (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + λ − y = 0. 1 − x2 Propozit¸ia 4.17 a) Dac˘ a µ = m2 cu m ∈ N atunci solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (4.3) este F (ϕ) = am cos mϕ + bm sin mϕ unde am ¸si bm sunt constante arbitrare. b) Dac˘ a µ = m2 cu m ∈ N ¸si λ = l(l + 1) cu l ∈ {m, m+1, m+2, . . .} atunci ecuat¸ia (4.4) admite ca solut¸ie funct¸ia Legendre asociat˘ a Plm . c) Dac˘ a λ = l(l + 1) cu l ∈ N atunci solut¸ia general˘ a a ecuat¸iei (4.5) este R(r) = Al rl +

Bl . rl+1

Demonstrat¸ie. a) Avem F 00 (ϕ)+m2 F (ϕ) = 0 ¸si F (ϕ+2π) = F (ϕ), oricare ar fi ϕ. b) Afirmat¸ia rezult˘ a din teorema 4.12. c) Utiliz˘ am schimbarea de variabil˘a r = et ¸si de funct¸ie Z(t) = R(et ) care conduce d d la t = ln r, dr = e−t dt ¸si la ecuat¸ia Z 00 + Z 0 − l(l + 1)Z = 0 cu solut¸ia general˘ a Z(t) = Al elt + Bl e−(l+1)t . Solut¸ia general˘a a ecuat¸iei (4.5) este R(r) = Z(ln r) = Al el ln r + Bl e−(l+1) ln r = Al rl +

Bl . rl+1

Observat¸ia 4.7 Din ultimele dou˘a propozit¸ii rezult˘a c˘a funct¸iile de forma u(r, θ, ϕ) = R(r) Y (θ, ϕ) = R(r) T (θ) F (ϕ)

Bl rl+1

Plm (cos θ) (am cos mϕ + bm sin mϕ)

Bl rl+1

(am Ylm (θ, ϕ) − bm Yl−m (θ, ϕ))

= Al r l + = Al r l +

sunt solut¸ii ale ecuat¸iei Laplace, oricare ar fi m ∈ N ¸si l ∈ {m, m+1, m+2, . . .}.

136


Definit¸ia 4.18 Funct¸iile de forma Yl (θ, ϕ) =

l X

alm Ylm (θ, ϕ)

m=−l

cu l ∈ N sunt numite funct¸ii sferice de ordinul l. Observat¸ia 4.8 Funct¸iile de forma Bl ul (r, θ, ϕ) = Al r + l+1 r

l

Yl (θ, ϕ)

cu l ∈ N sunt solut¸ii ale ecuat¸iei Laplace. Deoarece ecuat¸ia Laplace este o ecuat¸ie liniar˘a, orice sum˘ a finit˘ a de astfel de solut¸ii este solut¸ie. Mai mult, orice serie u(r, θ, ϕ) =

∞ X

ul (r, θ, ϕ)

l=0

care este convergent˘ a ¸si poate fi derivat˘a termen cu termen define¸ste o solut¸ie u(r, θ, ϕ) a ecuat¸iei Laplace. Teorema 4.19 Fie f : { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = R2 } −→ R o funct¸ie continu˘ a. Problema Dirichlet interioar˘ a   ∆u = 0  u(R, θ, ϕ) = f (θ, ϕ)

admite solut¸ia u : { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 } −→ R, u(r, θ, ϕ) =

∞ l X l X r l=0

R

alm Ylm (θ, ϕ)

m=−l

iar problema Dirichlet exterioar˘ a solut¸ia u : { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≥ R2 } −→ R, u(r, θ, ϕ) =

l ∞ l+1 X X R l=0

unde alm =

r

alm Ylm (θ, ϕ)

m=−l

2l + 1 (l − |m|)! m hY , f i. 2π(1 + δ0m ) (l + |m|)! l

(4.6)

Funct¸ii sferice

137

Demonstrat¸ie. Funct¸iile indicate sunt solut¸ii ale ecuat¸iei Laplace ¸si u(R, θ, ϕ) =

∞ X l X

alm Ylm (θ, ϕ).

l=0 m=−l

Relat¸ia (4.6) rezult˘ a din teorema 4.15. Exercit¸iul 4.4 S˘ a se determine solut¸ia problemei Dirichlet   ∆u = 0  u(R, θ, ϕ) = sin2 θ cos 2ϕ − π + sin θ sin ϕ 4

ˆın interiorul sferei de raz˘ a R cu centrul ˆın origine. Rezolvare. S ¸ tim c˘ a solut¸ia este de forma u(r, θ, ϕ) =

l ∞ l X X r l=0

R

alm Ylm (θ, ϕ)

m=−l

¸si u(R, θ, ϕ) =

∞ X l X

alm Ylm (θ, ϕ) = sin2 θ cos 2ϕ −

l=0 m=−l

π 4

+ sin θ sin ϕ.

Deoarece (a se vedea exercit¸iul 4.3) π sin θ cos 2ϕ − 4 2

√

√ 2 2 2 −2 + sin θ sin ϕ = Y2 (θ, ϕ) − Y (θ, ϕ) + Y11 (θ, ϕ) 6 6 2

prin identificare obt¸inem c˘ a

alm =

  1     √     62 √  2   −  6     

0

daca l = 1 si m = 1 daca l = 2 si m = 2 daca l = 2 si m = −2 in alte cazuri

¸si deci solut¸ia problemei considerate este √

u(r, θ, ϕ) = =

√

2 6

r 2 R

r 2 R

sin2 θ cos 2ϕ −

Y22 (θ, ϕ) −

2 6 π 4

r 2 R

+

r R

Y2−2 (θ, ϕ) +

r R

Y11 (θ, ϕ)

sin θ sin ϕ.

Observat¸ia 4.9 Programul MATHEMATICA ofer˘a importante facilit˘a¸ti ˆın ceea ce prive¸ste polinoamele Legendre, funct¸iile Legendre asociate ¸si funct¸iile sferice.

138


Funct¸ii sferice

139

140

Capitolul 5

Transformarea Fourier 5.1

Distribut¸ii temperate

Propozit¸ia 5.1 Spat¸iul S(R) al funct¸iilor indefinit derivabile ϕ : R −→ C cu proprietatea c˘ a oricare ar fi k, m ∈ N exist˘ a o constant˘ a ck,m astfel ˆıncˆ at |xk ϕ(m) (x)| ≤ ck,m

oricare ar f i x ∈ R

considerat impreun˘ a cu operat¸iile de adunare ¸si inmult¸ire cu scalari uzuale (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x),

(λ ϕ)(x) = λ ϕ(x)

este un spat¸iu vectorial complex (numit spat¸iul funct¸iilor de prob˘a [17]). Demonstrat¸ie. Deoarece |xk (ϕ + ψ)(m) (x)| ≤ |xk ϕ(m) (x)| + |xk ψ (m) (x)| |xk (λ ϕ)(m) (x)| = |λ| |xk ϕ(m) (x)| operat¸iile adunare ¸si inmult¸ire cu scalari sunt bine definite, adic˘a ϕ ∈ S(R) ψ ∈ S(R)

)

=⇒ ϕ + ψ ∈ S(R) 141

142


¸si ϕ ∈ S(R) λ∈C

)

=⇒ λϕ ∈ S(R).

Verificarea axiomelor spat¸iului vectorial este imediat˘a. Exercit¸iul 5.1 Oricare ar fi a ∈ (0, ∞) funct¸ia ϕ : R −→ C,

2

ϕ(x) = e−ax

apart¸ine spat¸iului S(R). Definit¸ia 5.2 Spunem c˘ a ¸sirul (ϕn )n≥0 din S(R) converge la funct¸ia constant˘ a0 lim ϕn = 0

n→∞

dac˘ a n→∞

sup xk ϕ(m) n (x) −→ 0 x∈R

oricare ar fi k, m ∈ N. Definit¸ia 5.3 Spunem c˘ a o funct¸ie liniar˘ a f : S(R) −→ C este continu˘ a dac˘ a lim ϕn = 0

n→∞

=⇒

lim f (ϕn ) = 0.

n→∞

Definit¸ia 5.4 Prin distribut¸ie temperat˘a se ˆınt¸elege o aplicat¸ie f : S(R) −→ C care este liniar˘ a ¸si continu˘ a. In cazul unei distribut¸ii f ˆın loc de f (ϕ) scriem hf, ϕi. Propozit¸ia 5.5 Spat¸iul distribut¸iilor temperate S 0 (R) = { f : S(R) −→ C | f este liniara si continua } considerat ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare ¸si ˆınmult¸ire cu scalari hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi, este un spat¸iu vectorial.

hλ f, ϕi = λ hf, ϕi

Transformarea Fourier

143

Definit¸ia 5.6 Spunem c˘ a funct¸ia f : R −→ C este local integrabil˘ a dac˘ a este integrabil˘ a pe orice interval m˘ arginit. Exemplul 5.2 Orice funct¸ie continu˘a f : R −→ C este local integrabil˘a. Definit¸ia 5.7 Spunem c˘ a funct¸ia f : R −→ C este cu cre¸stere lent˘ a dac˘ a exist˘ a k ∈ N ¸si M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncˆ at |f (x)| ≤M (1 + x2 )k

oricare ar f i x ∈ R.

Exemplul 5.3 Orice funct¸ie polinomial˘a este o funct¸ie cu cre¸stere lent˘a. Funct¸iile R −→ R : x 7→ sin x

si

R −→ R : x 7→ cos x

fiind marginite, sunt evident funct¸ii cu cre¸stere lent˘a. Funct¸ia exponent¸ial˘a R −→ R : x 7→ ex

nu este o funct¸ie cu cre¸stere lent˘ a. Propozit¸ia 5.8 Dac˘ a funct¸ia local integrabil˘ a f : R −→ C este cu cre¸stere lent˘ a atunci aplicat¸ia Tf : S(R) −→ C,

hTf , ϕi =

Z ∞

f (x) ϕ(x) dx −∞

este distribut¸ie temperat˘ a. Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia Tf este liniar˘a hTf , αϕ + βψi = αhTf , ϕi + βhTf , ψi. Funct¸ia f fiind cu cre¸stere lent˘ a, exist˘a k ∈ N ¸si M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncât |f (x)| ≤M (1 + x2 )k

oricare ar fi x ∈ R.

144


Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci n→∞

sup |xm ϕn (x)| −→ 0 x∈R

oricare ar fi m ∈ N ¸si prin urmare R ∞

|hTf , ϕn i| = =

−∞ f (x) ϕn (x) dx ≤

|f (x)| −∞ (1+x2 )k

R∞

R ∞ |(1+x2 )k+1 ϕn (x)|

≤M

Pk+1

≤ πM

−∞ |f (x)| |ϕn (x)| dx

|(1 + x2 )k ϕn (x)| dx ≤ M

=M

−∞

R∞

1+x2

dx ≤ M

R∞

−∞ |(1

+ x2 )k ϕn (x)| dx

R ∞ |x2m ϕn (x)| m m=0 Ck+1 −∞ 1+x2

Pk+1

R 1 m 2m ϕ (x)| ∞ n m=0 Ck+1 supx∈R |x −∞ 1+x2 2m ϕ (x)| n→∞ m −→ n m=0 Ck+1 supx∈R |x

Pk+1

dx

dx

0

adic˘a lim hTf , ϕn i = 0.

n→∞

Definit¸ia 5.9 Distribut¸iile temperate definite de funct¸ii local integrabile cu cre¸stere lent˘ a sunt numite distribut¸ii regulate sau de tip funct¸ie. Celelalte distribut¸ii sunt numite distribut¸ii singulare. Observat¸ia 5.1 Utiliz˘ am notat¸ia Tf pentru distribut¸ia corespunz˘atoare funct¸iei clasice f pentru a sesiza mai u¸sor unde avem o funct¸ie clasic˘a ¸si unde avem o distribut¸ie. In mod uzual, ˆın loc de Tf se scrie tot f , deducându-se din context dac˘a este vorba despre funct¸ie clasic˘ a sau distribut¸ia corespunz˘atoare. Cititorul ¸stie din ¸scoal˘a c˘ a la introducerea numerelor ˆıntregi, pentru a defini mai usor operat¸iile cu numere ˆıntregi, se noteaz˘ a cu +1 num˘arul ˆıntreg corespunz˘ator num˘arului natural 1, cu +2 num˘ arul ˆıntreg corespunz˘ ator num˘arului natural 2, etc. Dup˘a familiarizarea cu numerele ˆıntregi ˆın loc de +1 se scrie 1, ˆın loc de +2 se scrie 2, etc. Propozit¸ia 5.10 (Distribut¸ia Dirac). Aplicat¸ia δa : S(R) −→ C,

hδa , ϕi = ϕ(a)

este o distribut¸ie temperat˘ a, oricare ar fi a ∈ R.


145

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia δa este liniar˘a hδa , αϕ + βψi = αϕ(a) + βψ(a) = αhδa , ϕi + βhδa , βi. Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci n→∞

sup |ϕn (x)| −→ 0 x∈R

¸si prin urmare n→∞

|hδa , ϕn i| = |ϕn (a)| ≤ sup |ϕn (x)| −→ 0. x∈R

Observat¸ia 5.2 Se poate ar˘ ata c˘ a distribut¸ia Dirac δa este o distribut¸ie singular˘a. In cazul ˆın care a = 0 ˆın loc de δ0 se scrie simplu δ, adic˘a avem δ : S(R) −→ C,

hδ, ϕi = ϕ(0).

Propozit¸ia 5.11 (Derivarea distribut¸iilor). Dac˘ a f : S(R) −→ C este o distribut¸ie temperat˘ a atunci aplicat¸ia f 0 : S(R) −→ C,

hf 0 , ϕi = −hf, ϕ0 i

este de asemenea o distribut¸ie temperat˘ a, numit˘ a derivata lui f . Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia f 0 este liniar˘a hf 0 , αϕ + βψi = −hf, αϕ0 + βψ 0 i = −αhf, ϕ0 i − βhf, ψ 0 i = αhf 0 , ϕi + βhf 0 , ψi. Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci ¸sirul (ϕ0n )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 ¸si prin urmare lim hf 0 , ϕn i = − lim hf, ϕ0n i = 0.

n→∞

n→∞

Observat¸ia 5.3 Orice distribut¸ie temperat˘a este indefinit derivabil˘a. Derivata de ordin k a unei distribut¸ii f este distribut¸ia f (k) : S(R) −→ C,

hf (k) , ϕi = (−1)k hf, ϕ(k) i

146


Exemplul 5.4 Funct¸ia Heaviside (

H : R −→ R,

H(x) =

0 daca x < 0 1 daca x ≥ 0

fiind local integrabil˘ a ¸si cu cre¸stere lent˘a define¸ste distribut¸ia temperat˘a TH : S(R) −→ C,

hTH , ϕi =

¸si 0

0

h(TH ) , ϕi = −hH, ϕ i = −

Z ∞ 0

Z ∞

Z ∞

ϕ(x) dx

H(x) ϕ(x) dx = −∞

0

ϕ0 (x) dx = −ϕ(x)|∞ 0 = ϕ(0) = hδ, ϕi

adic˘a avem (TH )0 = δ. Observat¸ia 5.4 Funct¸ia Heaviside nu este derivabil˘a ˆın 0 ( 0

H (x) =

0 daca x 6= 0 nu exista daca x = 0

dar distribut¸ia corespunz˘ atoare este indefinit derivabil˘a (TH )0 = δ,

(TH )00 = δ 0 ,

(TH )000 = δ 00 , . . .

Exercit¸iul 5.5 Fie funct¸ia (

f : R −→ R,

f (x) =

x2 daca x ≤ 0 √ x + 2 daca x > 0.

S˘a se arate c˘ a (Tf )0 = Tf 0 + 2δ Rezolvare. Integrˆ and prin p˘ art¸i obt¸inem h(Tf )0 , ϕi = −hTf , ϕ0 i = −

R∞

R0

+

=

−∞ x

2 ϕ0 (x) dx

−∞ f (x) ϕ

0 (x) dx

R∞ √ 0

( x + 2)ϕ0 (x) dx

0 = −x2 ϕ(x)|0−∞ + −∞ 2x ϕ(x) dx R∞ 1 √ √ −( x + 2)ϕ(x)|∞ 0 + 0 2 x ϕ(x) dx

R

= 2ϕ(0) +

R∞

−∞ f

0 (x) ϕ(x) dx

= h(Tf 0 ) + 2δ, ϕi


147

unde f 0 este derivata clasic˘ a    2x

daca x < 0 nu exista daca x = 0 f (x) =  √ 1  daca x > 0 2 x 0

prelungit˘ a arbitrar ˆın x = 0. Observat¸ia 5.5 Dac˘ a funct¸ia f : R −→ R este derivabil˘a clasic atunci derivata (Tf )0 : S(R) −→ C, h(Tf )0 , ϕi = −hTf , ϕ0 i = −

R∞

n 0 −∞ x ϕ (x) dx

= −xn ϕ0 (x)|∞ −∞ + =

R∞

−∞ nx

R∞

−∞ x

n−1 ϕ(x) dx

=

n ϕ0 (x) dx

R∞

−∞ f

0 (x) ϕ(x) dx

a distribut¸iei Tf este distribut¸ia regulat˘a definit˘a de derivata clasic˘a f 0 : R −→ R. De exemplu, derivata distribut¸iei regulate corespunz˘atoare funct¸iei f (x) = xn este distribut¸ia regulat˘ a care corespunde funct¸iei f 0 (x) = nxn−1 (Txn )0 = Tnxn−1 . Derivarea ˆın sensul distribut¸iilor prelunge¸ste operat¸ia de derivare clasica la cazuri ˆın care ea nu este aplicabil˘ a. Propozit¸ia 5.12 (Multiplicarea unei distribut¸ii cu xk ) Dac˘ a k ∈ N ¸si f : S(R) −→ C este o distribut¸ie temperat˘ a atunci aplicat¸ia xk f : S(R) −→ C,

hxk f, ϕi = hf, xk ϕi

este de asemenea o distribut¸ie temperat˘ a. Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia xk f este liniar˘a hxk f, αϕ + βψi = αhf, xk ϕi + βhf, xk ψi = αhxk f, ϕi + βhxk f, ψi.

148


Dac˘a (ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 atunci ¸sirul (xk ϕn )n≥0 este un ¸sir din S(R) convergent la 0 ¸si prin urmare lim hxk f, ϕn i = lim hf, xk ϕn i = 0.

n→∞

n→∞

Observat¸ia 5.6 Se poate ar˘ ata c˘ a aplicat¸ia ϑf : S(R) −→ C,

hϑf, ϕi = hf, ϑϕi

este o distribut¸ie dac˘ a f este distribut¸ie ¸si dac˘a ϑ apart¸ine mut¸imii M(R) a funct¸iilor indefinit derivabile ϑ : R −→ R cu proprietatea c˘ a oricare ar fi k ∈ N exist˘a m ∈ N ¸si C ∈ (0, ∞) ˆıncât |ϑ(k) (x)| ≤ C(1 + |x|)m ,


Exercit¸iul 5.6 S˘ a se arate c˘ a dac˘a ϑ ∈ M(R) atunci ϑδa = ϑ(a) δa . Rezolvare. Avem hϑδa , ϕi = hδa , ϑϕi = (ϑϕ)(a) = ϑ(a) ϕ(a) = ϑ(a)hδa , ϕi = hϑ(a) δa , ϕi oricare ar fi ϕ ∈ S(R). Exercit¸iul 5.7 S˘ a se arate c˘ a relat¸iile xδ (k) = −kδ (k−1)

xk δ (k) = (−1)k k! δ

au loc oricare ar fi k ∈ {1, 2, 3, . . .}. Rezolvare. Utilizˆ and formula lui Leibniz (f g)(k) =

k X j=0

Ckj f (j) g (k−j)


149

obt¸inem hxδ (k) , ϕi = hδ (k) , xϕi = (−1)k hδ, (xϕ)(k) i = (−1)k hδ, xϕ(k) + kϕ(k−1) i = (−1)k kϕ(k−1) (0) = −k(−1)k−1 hδ, ϕ(k−1) i = −khδ (k−1) , ϕi = h−kδ (k−1) , ϕi ¸si hxk δ (k) , ϕi = hδ (k) , xk ϕi = (−1)k hδ, (xk ϕ)(k) i D P k

= (−1)k δ,

E

D

E

j k (j) (k−j) = (−1)k δ, Ckk (xk )(k) ϕ = h(−1)k k!δ, ϕi j=0 Ck (x ) ϕ

oricare ar fi ϕ ∈ S(R). Definit¸ia 5.13 Spunem c˘ a ¸sirul de distribut¸ii (fn )n≥0 converge la distribut¸ia f lim fn = f

n→∞

dac˘ a lim hfn , ϕi = hf, ϕi,

n→∞

oricare ar f i ϕ ∈ S(R).

Figura 5.1 Exercit¸iul 5.8 Funct¸iei (a se vedea figura 5.1 ) fn : R −→ R,

fn (x) =

  n2

daca |x| ≤

1 n

 0

daca |x| >

1 n

150


ˆıi corespunde distribut¸ia regulat˘ a Tfn : S(R) −→ C,

hTfn , ϕi =

Z ∞ −∞

fn (x) ϕ(x) dx =

n 2

Z 1/n

ϕ(x) dx −1/n

oricare ar fi n ∈ N∗ . S˘ a se arate c˘ a lim Tfn = δ.

n→∞

Rezolvare. Utilizˆ and schimbarea de variabil˘a t = nx obt¸inem limn→∞ hTfn , ϕi = limn→∞ =

1 2

n R 1/n 2 −1/n ϕ(x) dx

limn→∞

R1

t −1 ϕ n

dt =

1 R1 2 −1 ϕ(0) dt

= ϕ(0) = hδ, ϕi.

Exercit¸iul 5.9 Funct¸iei (a se vedea figura 5.2 ) fn : R −→ R,

fn (x) =

1 sin nx π x

ˆıi corespunde distribut¸ia regulat˘ a Tfn : S(R) −→ C,

hTfn , ϕi =

1 π

Z ∞ sin nx −∞

x

ϕ(x) dx

oricare ar fi n ∈ N∗ . S˘ a se arate c˘ a lim Tfn = δ.

n→∞

Rezolvare. Utilizˆ and relat¸ia (1.10) ¸si schimbarea de variabil˘a t = nx obt¸inem R ∞ sin nx −∞ x ϕ(x) dx R ∞ sin t t 1 R ∞ sin t = π1 limn→∞ −∞ t ϕ n dt = π −∞ t ϕ(0) dt = ϕ(0) = hδ, ϕi.

limn→∞ hTfn , ϕi = limn→∞

1 π

Observat¸ia 5.7 Funct¸ia f : R∗ −→ R,

f (x) =

1 x

nu este local integrabil˘ a ¸si aplicat¸ia S(R) −→ C : ϕ 7→

Z ∞ ϕ(x) −∞

x

dx


151

nu este distribut¸ie temperat˘ a. Se poate ˆıns˘a ar˘ata c˘a aplicat¸ia 1 P : S(R) −→ C, x

1 P , ϕ = lim ε&0 x

Z −ε ϕ(x) −∞

x

dx +

Z ∞ ϕ(x)

x

ε

dx

este distribut¸ie (numit˘ a valoare principal˘ a a lui x1 .) Exercit¸iul 5.10 S˘ a se arate c˘ a x·P

1 = 1. x

Rezolvare. Avem D

E

D

E

x · P x1 , ϕ = P x1 , x ϕ = limε&0

R

−ε xϕ(x) −∞ x

=

dx +

R ∞ xϕ(x) ε

x

R∞

−∞ ϕ(x) dx

dx

= h1, ϕi

oricare ar fi ϕ ∈ S(R). Exercit¸iul 5.11 Fie funct¸ia f : R∗ −→ R,

f (x) = ln |x|.

S˘a se arate aplicat¸ia f˜ : S(R) −→ C,

D

E

f˜, ϕ = lim

Z −ε

ε&0

ln |x| ϕ(x) dx + −∞

Z ∞

ln |x| ϕ(x) dx

ε

este distribut¸ie temperat˘ a ¸si 1 (f˜)0 = P . x Rezolvare. Utilizˆ and integrarea prin p˘art¸i obt¸inem R R −ε ln(−x) ϕ(x) dx + ε∞ ln x ϕ(x) dx h(f˜)0 , ϕi = −hf˜, ϕ0 i = limε&0 −∞

= limε&0 ϕ(ε) − ϕ(−ε) + oricare ar fi ϕ ∈ S(R).

R −ε ϕ(x) −∞

x

dx +

R ∞ ϕ(x) ε

x

dx = hP x1 , ϕi

152


5.2


Definit¸ia 5.14 Fie ϕ : R −→ C. Funct¸ia F[ϕ] : R −→ C,

F[ϕ](ξ) =

Z ∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

(ˆın cazul ˆın care exist˘ a) se nume¸ste transformata Fourier a lui ϕ. Exercit¸iul 5.12 Fie a ∈ (0, ∞) ¸si (

ϕ : R −→ R,

ϕ(x) =

S˘a se arate c˘ a F[ϕ](ξ) =

1 daca |x| ≤ a 0 daca |x| > a.

2 sin aξ. ξ

Rezolvare. Pentru ξ 6= 0 avem F[ϕ](ξ) =

Z ∞

iξx

e

Z a

e

ϕ(x) dx = −a

−∞

iξx

a 1 eiξa − e−iξa 2 dx = eiξx = = sin aξ. iξ iξ ξ −a

Exercit¸iul 5.13 S˘ a se arate c˘ a F[e−a|x| ](ξ) =

a2

2a + ξ2

oricare ar fi a ∈ (0, ∞). Rezolvare. Considerˆ and integrala ˆın sensul valorii principale avem F[e−a|x| ](ξ) =

R∞

iξx −a|x| dx −∞ e e

=

R∞

−a|x| (cos ξx −∞ e

+ i sin ξx) dx

R∞

R = −∞ e−a|x| cos ξx dx = 2 0∞ e−ax cos ξx dx.

Integrând de dou˘ a ori prin p˘ art¸i obt¸inem relat¸ia ∞ R R ∞ −ax cos ξx dx = 1ξ e−ax sin ξx + aξ 0∞ e−ax sin ξx dx 0 e 0 ∞ 2 R 2 R = − ξa2 e−ax cos ξx − aξ2 0∞ e−ax cos ξx dx = ξa2 − aξ2 0∞ e−ax cos ξx dx 0


adic˘a

153

Z ∞

e

−ax

0

din care deducem

a a2 cos ξx dx = 2 − 2 ξ ξ Z ∞

e−ax cos ξx dx =

0

Z ∞

e−ax cos ξx dx

0

a2

a . + ξ2

Propozit¸ia 5.15 Dac˘ a ϕ ∈ S(R) atunci transformata Fourier a lui ϕ F[ϕ] : R −→ C,

F[ϕ](ξ) =

Z ∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

apart¸ine de asemenea spat¸iului S(R) si au loc relat¸iile (F[ϕ])(k) = F[(ix)k ϕ]

F[ϕ(k) ] = (−iξ)k F[ϕ].

Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia F[ϕ] se define¸ste cu ajutorul unei integrale improprii cu parametru. Din definit¸ia spat¸iului S(R) rezult˘a c˘a exist˘a M ∈ (0, ∞) astfel ˆıncât |x2 ϕ(x)| ≤ M


Din acest˘ a relat¸ie rezult˘ a c˘ a pentru x 6= 0 avem majorarea |eiξx ϕ(x)| ≤ Convergent¸a integralei

R∞

iξx −∞ e ϕ(x) dx

Z −1 1 −∞

x2

M . x2

rezult˘a din convergent¸a integralelor Z ∞ 1

dx

1

x2

dx

pe baza criteriului comparat¸iei. Din faptul c˘a ϕ descre¸ste la infinit mai repede decât orice putere a lui x rezult˘ a posibilitatea de a deriva sub integral˘a de un num˘ar nelimitat de ori. Se obt¸ine astfel relat¸ia (F[ϕ])(k) (ξ) =

Z ∞

(ix)k eiξx ϕ(x) dx.

−∞

convergent¸a integralei rezultˆ and din existent¸a unei constante Mk ∈ (0, ∞) astfel ˆıncât |xk+2 ϕ(x)| ≤ Mk

oricare ar fi x ∈ R

154


¸si a major˘ arii Mk . x2 Deducem astfel c˘ a transformata Fourier F[ϕ] : R −→ C este o funct¸ie indefinit derivabil˘ a ¸si cu derivatele funct¸ii m˘arginite. Relat¸ia |(ix)k eiξx ϕ(x)| ≤

(k)

F[ϕ

Z ∞

iξx (k)

e

](ξ) =

ϕ

k

Z ∞

(x) dx = (−iξ)

eiξx ϕ(x) dx = (−iξ)k F[ϕ](ξ)

−∞

−∞

obt¸inut˘ a utilizˆ and integrarea prin p˘art¸i conduce la egalitatea | ξ k F[ϕ](ξ) | = | F[ϕ(k) ](ξ) | care arat˘ a c˘ a F[ϕ] ∈ S(R). Exercit¸iul 5.14 S˘ a se arate c˘ a 2

F[e−ax ](ξ) =

r

π − ξ2 e 4a a

oricare ar fi a ∈ (0, ∞). Rezolvare. A se vedea exercit¸iul 1.5 . Teorema 5.16 Transformarea Fourier a funct¸iilor de prob˘ a F : S(R) −→ S(R) : ϕ 7→ F[ϕ],

F[ϕ](ξ) =

Z ∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

este o aplicat¸ie bijectiv˘ a ¸si inversa ei este transformarea F −1 : S(R) −→ S(R) : ψ 7→ F −1 [ψ],

F −1 [ψ](x) =

1 2π

Z ∞

e−iξx ψ(ξ) dξ.

−∞

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi a ∈ (0, ∞) avem R∞

−aξ 2 −iξx dξ −∞ F[ϕ](ξ) e

=

R∞

=

−∞ ϕ(y)

R ∞ hR ∞ −∞

iξy −∞ ϕ(y) e

hR

i

dy e−aξ i

∞ iξ(y−x) −aξ 2 e −∞ e

dξ dy =

2 −iξx

dξ

q R π ∞ a

− −∞ ϕ(y) e

√ Utilizând schimbarea de variabil˘ a y = x + 2 at obt¸inem relat¸ia Z ∞ −∞

F[ϕ](ξ) e−aξ

2 −iξx

√ Z dξ = 2 π

∞

−∞

√ 2 ϕ(x + 2 at) e−t dt

(y−x)2 4a

dy.


155

care pentru a & 0 devine Z ∞

−iξx

F[ϕ](ξ) e

√ Z dξ = 2 π

−∞

∞

2

ϕ(x) e−t dt = 2π ϕ(x)

(5.1)

−∞

adic˘a F −1 [F[ϕ]] = ϕ oricare ar fi ϕ ∈ S(R). Relat¸ia (5.1) s-a obt¸inut utilizând formula Z ∞

2

e−t dt =

√

π.

−∞

Similar se poate ar˘ ata c˘ a F[F −1 [ϕ]] = ϕ. Observat¸ia 5.8 Din relat¸ia (5.1) care se poate scrie sub forma 1 √ 2π

Z ∞ 1

√

−∞

Z ∞

2π

eiξy ϕ(y) dy e−iξx dξ = ϕ(x)

−∞

rezult˘a variantele alternative pentru definit¸ia transform˘arii Fourier 1 F[ϕ](ξ) = √ 2π

Z ∞

1 F[ϕ](ξ) = √ 2π

Z ∞

eiξx ϕ(x) dx

−∞

1 F −1 [ψ](x) = √ 2π

Z ∞

e−iξx ψ(ξ) dξ

−∞

sau e

−iξx

ϕ(x) dx

F

−∞

−1

1 [ψ](x) = √ 2π

Z ∞

eiξx ψ(ξ) dξ.

−∞

Observat¸ia 5.9 Transform˘ arile Fourier direct˘a ¸si invers˘a au expresii foarte asemanatoare. Utilizˆ and schimbarea de variabil˘a ξ = −y obt¸inem F

−1

1 [ψ](x) = 2π

Z ∞

e −∞

−iξx

1 ψ(ξ) dξ = 2π

adic˘a F −1 [ψ] =

Z ∞

eixy ψ(−y) dy =

−∞

1 ˘ F[ψ] 2π

unde ψ˘ este aplicat¸ia ψ˘ : R −→ C,

˘ ψ(y) = ψ(−y).

1 ˘ F[ψ](x) 2π

156


Teorema 5.17 Dac˘ a κ ∈ (0, ∞) atunci transformarea ˜ F˜ : S(R) −→ S(R) : ϕ 7→ F[ϕ],

˜ F[ϕ](ξ) =

Z ∞

eiκξx ϕ(x) dx

−∞

este bijectiv˘ a ¸si inversa ei este transformarea Z ∞

κ F˜ −1 [ψ](x) = 2π

F˜ −1 : S(R) −→ S(R) : ψ 7→ F˜ −1 [ψ],

e−iκξx ψ(ξ) dξ.

−∞

Demonstrat¸ie. Oricare ar fi a ∈ (0, ∞) avem R∞

−aξ 2 −iκξx dξ ˜ −∞ F[ϕ](ξ) e

=

R∞

−∞ ϕ(y)

=

R ∞ hR ∞

hR

−∞

i

dy e−aξ

iκξy −∞ ϕ(y) e

∞ iκξ(y−x) −aξ 2 e −∞ e

i

dξ dy =

2 −iκξx

dξ

q R π ∞ a

− −∞ ϕ(y) e

κ2 (y−x)2 4a

dy.

√

Utilizând schimbarea de variabil˘ a y = x + 2 κa t obt¸inem relat¸ia √ Z √ ! Z ∞ 2 π ∞ a 2 −aξ 2 −iξx ˜ F[ϕ](ξ) e dξ = ϕ x+2 t e−t dt κ −∞ κ −∞ care pentru a & 0 devine √ Z 2 π ∞ 2π 2 −iξx ˜ F[ϕ](ξ) e dξ = ϕ(x) e−t dt = ϕ(x) κ −∞ κ −∞

Z ∞

(5.2)

adic˘a ˜ F˜ −1 [F[ϕ]] =ϕ oricare ar fi ϕ ∈ S(R). Relat¸ia (5.2) s-a obt¸inut utilizând formula Z ∞

2

e−t dt =

√

π.

−∞

Similar se poate ar˘ ata c˘ a ˜ F˜ −1 [ϕ]] = ϕ. F[ Observat¸ia 5.10 Alegˆ and κ = 2π obt¸inem variantele alternative pentru definit¸ia transform˘ arii Fourier F[ϕ](ξ) =

Z ∞

e2πiξx ϕ(x) dx

F −1 [ψ](x) =

Z ∞

−∞

¸si F[ϕ](ξ) =

Z ∞

e −∞

e−2πiξx ψ(ξ) dξ

−∞

−2πiξx

ϕ(x) dx

F

−1

Z ∞

[ψ](x) = −∞

e2πiξx ψ(ξ) dξ.


157

Teorema 5.18 Dac˘ a f : S(R) −→ C este o distribut¸ie temperat˘ a atunci aplicat¸ia F[f ] : S(R) −→ C,

hF[f ], ϕi = hf, F[ϕ]i

este de asemenea o distribut¸ie temperat˘ a (numit˘ a transformata Fourier a lui f ). Demonstrat¸ie. A se vedea [17]. Propozit¸ia 5.19 Transformarea Fourier a distribut¸iilor F : S 0 (R) −→ S 0 (R) : f 7→ F[f ],

hF[f ], ϕi = hf, F[ϕ]i

este bijectiv˘ a ¸si inversa ei este F −1 : S 0 (R) −→ S 0 (R) : f 7→ F −1 [f ],

hF −1 [f ], ϕi = hf, F −1 [ϕ]i.

Demonstrat¸ie. Avem hF[F −1 [f ]], ϕi = hF −1 [f ], F[ϕ]i = hf, F −1 [F[ϕ]]ϕi = hf, ϕi ¸si hF −1 [F[f ]], ϕi = hF[f ], F −1 [ϕ]i = hf, F[F −1 [ϕ]]ϕi = hf, ϕi oricare ar fi ϕ ∈ S(R) ¸si f ∈ S 0 (R). Exercit¸iul 5.15 S˘ a se arate c˘ a F[δ] = 1

F[1] = 2π δ.

Rezolvare. Avem hF[δ], ϕi = hδ, F[ϕ]i = F[ϕ](0) =

Z ∞ −∞

ei0x ϕ(x) dx =

Z ∞

ϕ(x) dx = h1, ϕi

−∞

hF[1], ϕi = h1, F[ϕ]i = hF[δ], 2πF −1 [ϕ]i ˘ = hδ, 2π ϕi ˘ = 2πϕ(0) = h2πδ, ϕi. oricare ar fi ϕ ∈ S(R).

158


Propozit¸ia 5.20 Relat¸iile (F[f ])(k) = F[(ix)k f ]

F[f (k) ] = (−iξ)k F[f ].

au loc oricare ar fi distribut¸ia temperat˘ af Demonstrat¸ie. Utilizˆ and propriet˘a¸tile transform˘arii Fourier a funct¸iilor de prob˘a (propozit¸ia 5.15) obt¸inem h(F[f ])(k) , ϕi = (−1)k hF[f ], ϕ(k) i = (−1)k hf, F[ϕ(k) ]i = (−1)k hf, (−iξ)k F[ϕ]i = h(iξ)k f, F[ϕ]i = hF[(iξ)k f ], ϕi hF[f (k) ], ϕi = hf (k) , F[ϕ]i = (−1)k hf, (F[ϕ])(k) i = (−1)k hf, F[(ix)k ϕ]i = (−1)k hF[f ], (ix)k ϕi = h(−ix)k F[f ], ϕi oricare ar fi ϕ ∈ S(R) ¸si f ∈ S 0 (R). Exercit¸iul 5.16 S˘ a se arate c˘ a 1 F (δa + δ−a ) = cos ax 2

iax

F[δa ] = e

F[cos ax] = π(δa + δ−a ).

Rezolvare. Avem hF[δa ], ϕi = hδa , F[ϕ]i = F[ϕ](a) =

Z ∞

eiax ϕ(x) dx = heiax , ϕi

−∞

Transformarea Fourier fiind liniar˘ a obt¸inem

F

1 1 eiax + e−iax (δa + δ−a ) = (F[δa ] + F[δ−a ]) = = cos ax. 2 2 2

Din relat¸ia precedent˘ a rezult˘ a ca 1 F −1 [cos ax] = (δa + δ−a ). 2 Dar efectuˆ and schimbarea de variabil˘a x 7→ −x obt¸inem hF[cos ax], ϕi = hcos ax, F[ϕ]i = =

R∞

−∞ cos ax

R

∞ −ixt ϕ(t)dt −∞ e

R∞

−∞ cos ax

R

∞ ixt −∞ e ϕ(t)dt

dx

dx = hcos ax, 2πF −1 [ϕ]i = h2πF −1 [cos ax], ϕi


159

adic˘a F[cos ax] = 2πF −1 [cos ax]. Exercit¸iul 5.17 S˘ a se arate c˘ a F[xk ] = 2π(−i)k δ (k)

F[δ (k) ] = (−iξ)k .

Rezolvare. Avem F[xk ] = (−i)k F[(ix)k 1] = (−i)k (F[1])(k) = 2π(−i)k δ (k) ¸si F[δ (k) ] = (−iξ)k F[δ] = (−iξ)k 1 = (−iξ)k . Observat¸ia 5.11 Transformarea Fourier joac˘a un rol fundamental ˆın matematic˘a ¸si ˆın aplicat¸iile ei. Integrala Z ∞

eiξx xk dx

−∞

nefiind convergent˘ a pentru k ∈ N, rezult˘a c˘a funct¸iile constante ¸si cele polinomiale nu admit transformate Fourier dac˘a ne limit˘am la abordarea clasic˘a. Utilizarea distribut¸iilor temperate large¸ste considerabil posibilit˘a¸tile de utilizare a transform˘arii Fourier. Exercit¸iul 5.18 Fie TH distribut¸ia regulat˘a corespunz˘atoare funct¸iei Heaviside (

H : R −→ R,

H(x) =

0 daca x < 0 1 daca x ≥ 0.

S˘a se arate c˘ a F[TH ] = −i P

1 + π δ. ξ

Rezolvare. Plecˆ and de la relat¸ia (TH )0 = δ deducem succesiv F[(TH )0 ] = 1 −ix F[TH ] = 1 F[TH ] = −i P x1 + C δ

160


unde C este o constant˘ a. Ultima relat¸ie este echivalent˘a cu 1 hF[TH ], ϕi = −i P , ϕ + Chδ, ϕi, x

oricare ar fi ϕ ∈ S(R).

(5.3)

Deoarece ξ2 √ 2 2 hF[TH ], e−x i = hTH , F[e−x ]i = hTH , πe− 4 i

√ R ∞ −( ξ )2 √ R 2 π 0 e 2 dξ = 2 π 0∞ e−t dt = π

= ¸si

1 2 P , e−x x

Z −ε −x2 e

= lim

ε&0

x

−∞

dx +

Z ∞ −x2 e ε

x

!

dx

2

=0 2

rezult˘a c˘ a ˆın cazul ϕ(x) = e−x relat¸ia (5.3) devine π = C hδ, e−x i = C. Exercit¸iul 5.19 S˘ a se arate c˘ a 1 = πi Tsign . x

F P

unde Tsign este distribut¸ia regulat˘ a corespunz˘atoare funct¸iei

sign : R −→ R,

sign(x) =

   −1 daca x < 0

0

daca x = 0 daca x > 0.

  1

Rezolvare. Plecˆ and de la relat¸ia x · P x1 = 1 deducem succesiv i

h

F x · P x1 = 2π δ h

i

−iF ix · P x1 = 2π δ

h

h

i

−i F P x1

i0

= 2π δ

F P x1 = 2πi H + C unde C este o constant˘ a. Ultima relat¸ie este echivalent˘a cu

F P

1 , ϕ = 2πi hH, ϕi + Ch1, ϕi, x

oricare ar fi ϕ ∈ S(R).

(5.4)

Deoarece

F P

1 2 , e−x x

h i x2 1 1 √ 2 = P , F e−x = P , πe− 4 x x

=0

2

ˆın cazul ϕ(x) = e−x relat¸ia (5.4) devine Z ∞

e

0 = 2πi

−x2

Z ∞

dx + C

2

e−x dx

−∞

0

¸si conduce la C = −πi. Dar 2πi H − πi ¸si sign definesc aceea¸si distribut¸ie .

161

162


Capitolul 6

Grupuri ¸si reprezent˘ arile lor liniare 6.1

Grupuri

Vom prezenta cˆ ateva elemente referitoare la grupuri ¸si reprezent˘arile lor liniare. Definit¸ia 6.1 Prin grup se ˆınt¸elege o mult¸ime G pe care este definit˘ a o lege de compozit¸ie intern˘ a G × G −→ G : (x, y) 7→ x y satisf˘ acˆ and condit¸iile: 1) (g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 ), ∀g1 , g2 , g3 ∈ G; 2) exist˘ a e ∈ G astfel ˆıncˆ at ge = eg = g, ∀g ∈ G; 3) oricare ar fi g ∈ G exist˘ a g −1 ∈ G astfel ˆıncˆ at gg −1 = g −1 g = e. Grupul este numit grup comutativ (sau abelian) dac˘ a, ˆın plus, 4) g1 g2 = g2 g1 ∀g1 , g2 ∈ G. Propozit¸ia 6.2 a) Elementul e cu proprietatea ge = eg = g,

∀g ∈ G

este unic ˆın G ¸si se nume¸ste element neutru. b) Pentru orice g ∈ G elementul g −1 cu proprietatea gg −1 = g −1 g = e 163

164


este unic ˆın G ¸si se nume¸ste inversul lui g. Demonstrat¸ie. Avem ge = eg = g, ge0 = e0 g = g,

∀g ∈ G ∀g ∈ G

)

=⇒

e = ee0 = e0

¸si gg −1 = g −1 g = e gh = hg = e

)

=⇒ h = he = h(gg −1 ) = (hg)g −1 = eg −1 = g −1 .

Observat¸ia 6.1 In cazul ˆın care ˆın locul notat¸iei multiplicative g1 g2 se utilizeaz˘a notat¸ia aditiv˘ a g1 +g2 elementul neutru este notat cu 0. Elementul h cu proprietatea h + g = g + h = 0 este notat cu −g ¸si numit opusul lui g.

Grupuri ¸si reprezent˘ arile lor liniare

6.2

165

Reprezent˘ ari liniare

Definit¸ia 6.3 Fie G ¸si G0 dou˘ a grupuri. O aplicat¸ie f : G −→ G0 este numit˘ a morfism de grupuri dac˘ a f (g1 g2 ) = f (g1 ) f (g2 ),

∀g1 , g2 ∈ G.

Exercit¸iul 6.1 Mult¸imea tuturor automorfismelor unui spat¸iu vectorial V GL(V ) = { A : V −→ V | A este liniara si bijectiva } ˆımpreun˘ a cu operat¸ia de compunere este un grup (grupul automorfismelor lui V ). Definit¸ia 6.4 Prin reprezentare liniar˘a a grupului G ˆın spat¸iul vectorial V peste corpul K (numit˘ a ¸si reprezentare K-liniar˘a) se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ GL(V ) : g 7→ T (g) adic˘ a o aplicat¸ie astfel ˆıncˆ at T (g1 g2 ) = T (g1 ) T (g2 ),

∀g1 , g2 ∈ G.

Dimensiunea reprezent˘ arii este prin definit¸ie dimensiunea spat¸iului vectorial V . Exercit¸iul 6.2 Mult¸imea matricelor inversabile de ordinul n cu elemente din K GL(n, K) = { A ∈ Mn×n (K) | det A 6= 0 } ˆımpreun˘ a cu ˆınmult¸irea matricelor este grup (se nume¸ste grupul general linear). Definit¸ia 6.5 Prin reprezentare matriceal˘a n-dimensional˘ a a unui grup G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri de forma T : G −→ GL(n, K) : g 7→ T (g). Reprezentarea este numit˘ a real˘ a ˆın cazul K = R ¸si complex˘ a ˆın cazul K = C.

166


Propozit¸ia 6.6 Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K. Dac˘ a {e1 , e2 , ..., en } este o baz˘ a a lui V ¸si T : G −→ GL(V ) : g 7→ T (g) o reprezentare liniar˘ a a unui grup G ˆın V atunci aplicat¸ia 

t11 (g) t12 (g) · · · t1n (g)

   t21 (g)  T : G −→ GL(n, K) : g → 7 T (g) =   ···  

 

t22 (g) · · · t2n (g)   ···

···

···

tn1 (g) tn2 (g) · · · tnn (g)

    

unde elementele tij (g) sunt astfel ˆıncˆ at T (g)ej =

n X

∀g ∈ G, ∀j ∈ {1, 2, ..., n}

tij (g)ei ,

i=1

este o reprezentare matriceal˘ a n-dimensional˘ a a lui G. Demonstrat¸ie. Deoarece T (g1 g2 ) = T (g1 ) T (g2 ), din relat¸iile T (g1 g2 )ej T (g1 ) T (g2 )ej

=

Pn

i=1 tij (g1 g2 )ei

= T (g1 ) =

Pn

=

Pn

rezult˘a c˘ a tij (g1 g2 ) =

Pn

k=1 tkj (g2 )ek

k=1 tkj (g2 )

n X

i=1 (

=

Pn

k=1 tkj (g2 )T (g1 )ek

Pn

i=1 tik (g1 )ei

Pn

k=1 tik (g1 )tkj (g2 )) ei

tik (g1 ) tkj (g2 ),

∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}

k=1

adic˘a T (g1 g2 ) = T (g1 ) T (g2 ). Observat¸ia 6.2 Matricea T (g) este matricea transform˘arii liniare T (g) : V −→ V ˆın raport cu baza considerat˘ a. Alegând o alt˘a baz˘a {e01 , e02 , ..., e0n } se poate defini ˆın mod similar reprezentarea T 0 : G −→ GL(n, K) : g 7→ T 0 (g).


167

S¸tim ˆıns˘ a c˘ a cele dou˘ a reprezent˘ ari matriceale sunt legate prin relat¸ia T 0 (g) = S −1 T (g) S,

∀g ∈ G

unde S este matricea de trecere de la baza {e1 , e2 , ..., en } la {e01 , e02 , ..., e0n }. Definit¸ia 6.7 Dou˘ a reprezent˘ ari matriceale n-dimensionale peste K ale unui grup T1 : G −→ GL(n, K)

si

T2 : G −→ GL(n, K)

sunt numite echivalente dac˘ a exist˘ a S ∈ GL(n, K) astfel ˆıncˆ at T2 (g) = S −1 T1 (g) S,

∀g ∈ G.

Exercit¸iul 6.3 Aplicat¸ia R : R −→ GL(R2 ) : t 7→ R(t) unde R(t) : R2 −→ R2 , R(t)(x, y) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t) este o reprezentare liniar˘ a a grupului aditiv (R, +) ˆın spat¸iul vectorial R2 . Alegând ˆın R2 baza {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} obt¸inem reprezentarea matriceal˘a R : R −→ GL(2, R) : t 7→ R(t) = Rezolvare. Avem R(t + s) = R(t) R(s).

cos t − sin t sin t cos t

!

.

168

6.3


Reprezent˘ ari ireductibile

Definit¸ia 6.8 Dou˘ a reprezent˘ ari liniare n-dimensionale peste K ale unui grup G T1 : G −→ GL(V1 )

si

T2 : G −→ GL(V2 )

sunt numite echivalente dac˘ a exist˘ a un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel ˆıncˆ at T1 (g) = S −1 T2 (g) S,

∀g ∈ G

adic˘ a astfel ˆıncˆ at diagrama T1 (g)

V1

- V1

S ?

V2

S ? - V2

T2 (g)

este comutativ˘ a. Definit¸ia 6.9 Fie T : G −→ GL(V ) o reprezentare liniar˘ a a grupului G ˆın V . Spunem c˘ a subspat¸iul vectorial W ⊆ V este invariant fat¸˘ a de T dac˘ a T (g)(W ) ⊆ W,

∀g ∈ G.

Definit¸ia 6.10 Spunem c˘ a reprezentarea liniar˘ a T : G −→ GL(V ) este o reprezentare ireductibil˘ a dac˘ a singurele subspat¸ii invariante sunt {0} ¸si V . In caz contrar, reprezentarea este numit˘ a reductibil˘a. Exercit¸iul 6.4 Reprezentarea liniar˘a T : R −→ GL(R3 ) : t 7→ T (t) unde T (t) : R3 −→ R3 , T (t)(x, y, z) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t, z) este o reprezentare liniar˘ a reductibil˘a a grupului aditiv (R, +) ˆın R3 . Rezolvare. Subspat¸iul W = { (x, y, 0) | x, y ∈ R } ⊂ R3 este subspat¸iu invariant.


169

Propozit¸ia 6.11 Dac˘ a T1 : G −→ GL(V1 )

si

T2 : G −→ GL(V2 )

sunt dou˘ a reprezent˘ ari K-liniare atunci aplicat¸ia T : G −→ GL(V1 ⊕ V2 ),

T (g)(x1 , x2 ) = (T1 (g)x1 , T2 (g)x2 )

este o reprezentare K-liniar˘ a a grupului G ˆın spat¸iul produs direct V1 ⊕ V2 , numit˘ a suma reprezent˘ arilor T1 ¸si T2 , notat˘ a cu T1 ⊕ T2 . Demonstrat¸ie. Avem T (g1 g2 )(x1 , x2 ) = (T1 (g1 g2 )x1 , T2 (g1 g2 )x2 ) = (T1 (g1 ) T1 (g2 )x1 , T2 (g1 ) T2 (g2 )x2 ) = T (g1 )(T1 (g2 )x1 , T2 (g2 )x2 ) = T (g1 )T (g2 )(x1 , x2 ). Propozit¸ia 6.12 Dac˘ a  

T : G −→ GL(n, K) : g 7→ T (g) =  

t11 (g) · · · t1n (g) ···

···

   

···

tn1 (g) · · · tnn (g)  

R : G −→ GL(k, K) : g 7→ R(g) =  

r11 (g) · · · r1k (g) ···

···

   

···

rk1 (g) · · · rkk (g) sunt dou˘ a reprezent˘ ari matriceale atunci 

t11 (g) · · · t1n (g)

  ··· ··· ···    t (g) · · · t (g) nn  n1 T ⊕ R : G −→ GL(n+k, K) : g 7→    0 0 0    0 0 0 

0

0

0

0

0

···

···

0

0

r11 (g) · · · ···

···

0



     0    r1k (g)    ···  

···

rk1 (g) · · · rkk (g)

este o reprezentare matriceal˘ a a lui G, numit˘ a suma reprezent˘arilor T ¸si R.

170

6.4


Reprezent˘ ari unitare ¸si ortogonale

Definit¸ia 6.13 O submult¸ime H ⊆ G este numit˘ a subgrup al grupului G dac˘ a g1 ∈ H g2 ∈ H

)

=⇒

g1 g2−1 ∈ H.

Exercit¸iul 6.5 Fie V un spat¸iu vectorial euclidian complex. form˘arilor unitare

Mult¸imea trans-

U (V ) = { A : V −→ V | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ V } este un subgrup al grupului GL(V ) al tuturor automorfismelor lui V . Definit¸ia 6.14 Prin reprezentare unitar˘a a grupului G ˆın spat¸iul vectorial euclidian complex V se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ U (V ). Observat¸ia 6.3 Dac˘ a T : G −→ U (V ) este o reprezentare unitar˘a atunci hT (g)x, T (g)yi = hx, yi,

∀x, y ∈ V, ∀g ∈ G.

Exercit¸iul 6.6 Fie A ∈ Mn×n (C) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente numere complexe ¸si fie A∗ = t A¯ adjuncta ei. Relat¸iile A A∗ = I,

A∗ A = I,

A−1 = A∗ .

unde I ∈ Mn×n (C) este matricea unitate, sunt echivalente. Definit¸ia 6.15 Matricea A ∈ Mn×n (C) este numit˘ a matrice unitar˘a dac˘ a A∗ A = I (condit¸ie echivalent˘ a cu A−1 = A∗ ¸si A A∗ = I). Observat¸ia 6.4 Dac˘ a A este o matrice unitar˘a atunci |detA| = 1. Intr-adev˘ar A∗ A = I

=⇒

detA detA∗ = 1

=⇒

|detA|2 = 1.


171

Teorema 6.16 Mult¸imea matricelor unitare de ordinul n U (n) = { A ∈ Mn×n (C) | A∗ A = I } are o structur˘ a de grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor, iar SU (n) = { A ∈ U (n) | det A = 1 } este un subgrup al lui U (n). Demonstrat¸ie. a) Produsul a dou˘ a matrice unitare A ¸si B este o matrice unitar˘a (AB)∗ (AB) = B ∗ A∗ AB = B ∗ B = I ¸si inversa unei matrice unitare A este o matrice unitar˘a A−1 = A∗

=⇒

(A−1 )∗ = (A∗ )∗ = A = (A−1 )−1 .

b) Afirmat¸ia rezult˘ a din relat¸iile det(AB) = detA detB,

det(A−1 ) = (detA)−1 .

Definit¸ia 6.17 Prin reprezentare matriceal˘a unitar˘a a grupului G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ U (n). Exercit¸iul 6.7 Fie V un spat¸iu vectorial euclidian real. Mult¸imea transform˘arilor ortogonale O(V ) = { A : V −→ V | hAx, Ayi = hx, yi, ∀x, y ∈ V } este un subgrup al grupului GL(V ) al tuturor automorfismelor lui V . Definit¸ia 6.18 Prin reprezentare ortogonal˘a a grupului G ˆın spat¸iul vectorial euclidian real V se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ O(V ).

172


Observat¸ia 6.5 Dac˘ a T : G −→ O(V ) este o reprezentare ortogonal˘a atunci hT (g)x, T (g)yi = hx, yi,

∀x, y ∈ V, ∀g ∈ G.

Exercit¸iul 6.8 Fie A ∈ Mn×n (R) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente numere reale ¸si fie t A transpusa ei. Relat¸iile A t A = I,

t

A−1 = t A.

A A = I,

unde I ∈ Mn×n (C) este matricea unitate, sunt echivalente. Definit¸ia 6.19 Matricea A ∈ Mn×n (C) este numit˘ a matrice ortogonal˘a dac˘ a t

A A=I

(condit¸ie echivalent˘ a cu A−1 = t A ¸si A t A = I). Observat¸ia 6.6 Dac˘ a A este o matrice ortogonal˘a atunci detA ∈ {−1, 1}. Teorema 6.20 Mult¸imea matricelor ortogonale de ordinul n O(n) =

n

A ∈ Mn×n (R) |

t

A A=I

o

are o structur˘ a de grup ˆın raport cu ˆınmult¸irea matricelor, iar SO(n) = { A ∈ O(n) | det A = 1 } este un subgrup al lui U (n). Demonstrat¸ie. A se vedea demonstrat¸ia teoremei 6.16. Definit¸ia 6.21 Prin reprezentare matriceal˘a ortogonal˘a a grupului G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri T : G −→ O(n).


6.5

173

Grupul rotat¸iilor. Reprezent˘ ari liniare

Propozit¸ia 6.22 (

SO(2) =


) ! t ∈ [0, 2π) .

Demonstrat¸ie. Avem cos t − sin t sin t cos t

!−1

=

cos t sin t − sin t cos t

cos t sin t

!

,

− sin t cos t

=1

¸si α β γ δ

!

∈ SO(2)

=⇒

  α2 + γ 2 = 1    β 2 + δ2 = 1  αβ + γδ = 0   

αδ − βγ = 1.

Din relat¸iile α2 + γ 2 = 1 ¸si β 2 + δ 2 = 1 rezult˘a c˘a exist˘a t, s ∈ [0, 2π) ˆıncât α β γ δ

!

=

cos t sin s sin t cos s

!

dar αβ + γδ = 0 αδ − βγ = 1.

)

=⇒

sin(t + s) = 0 cos(t + s) = 1.

)

=⇒

   s = −t

sau

  s = 2π − t.

Exercit¸iul 6.9 Dac˘ a A ∈ SO(3) atunci exist˘a t ∈ [0, 2π) ¸si o matrice S ∈ O(3) astfel ˆıncˆ at   1 0 0   S −1 AS =  0 cos t − sin t  . 0 sin t cos t Rezolvare. Fie 



a11 a12 a13   A =  a21 a22 a23  ∈ SO(3). a31 a32 a33

174


Matricea A este matricea ˆın raport cu baza canonic˘a a unei transform˘ari ortogonale A : R3 −→ R3 . Ecuat¸ia caracteristic˘a corespunz˘atoare este 3

a 22 a32

2

−λ +(a11 + a22 + a33 )λ −

a23 a33

a 11 + a31

a13 a33

a 11 + a21

a12 a22

! λ − det A = 0

Deoarece t A = A−1 , adic˘ a 



a11 a21 a22 a13 a23

  a12

     a31   a32  =    a33     

−

a22 a23 a32 a33 a21 a31 a23 a33 a21 a31 a22 a32

− −

a12 a32 a13 a33 a11 a31 a13 a33 a11 a31 a12 a32

a 12 a13 a 11 − a13 a 11 a12

a22 a23 a21 a23 a21 a22

             

¸si det A = 1 rezult˘ a c˘ a λ = 1 este valoare proprie a lui A. Fie e1 un vector propriu corespunz˘ ator cu ||e1 || = 1, adic˘ a Ae1 = e1 . Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1 V = {x ∈ R3 | hx, e1 i = 0 } este un subspat¸iu invariant x∈V

=⇒

hAx, e1 i = hAx, Ae1 i = hx, e1 i = 0.

Dac˘a {e2 , e3 } este o baz˘ a ortonormat˘a ˆın V atunci B = {e1 , e2 , e3 } este o baz˘a 3 ortonormat˘ a a lui R ˆın raport cu care matricea lui A are forma 



1 0 0   A0 =  0 α β  0 γ δ !

α β unde este o matrice ortogonal˘a. Notând cu S matricea de trecere de la γ δ baza canonic˘ a la baza B avem relat¸ia 







1 0 0 a11 a21 a31    −1   0 α β  = S  a12 a22 a32  S 0 γ δ a13 a23 a33


din care rezult˘ a

ceea ce arat˘ a c˘ a

175

α γ

α β γ δ

β δ

=1

!

∈ SO(2). Conform exercit¸iului anterior exist˘a t ∈ [0, 2π)

ˆıncât α β γ δ

!

=


!

.

Observat¸ia 6.7 Matricea 



1 0 0    0 cos t − sin t  0 sin t cos t este matricea unei rotat¸ii ˆın jurul vectorului e1 (vectorul propriu corespunz˘ator valorii proprii λ = 1). Grupul SO(3) este grupul rotat¸iilor spat¸iului tridimensional. Exercit¸iul 6.10 Aplicat¸ia SO(3) −→ O(R3 ) prin care matricei 



a11 a12 a13   g =  a21 a22 a23  ∈ SO(3) a31 a32 a33 i se asociaz˘ a transformarea ortogonal˘a g : R3 −→ R3 , g(x1 , x2 , x3 ) = (a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 , a21 x1 +a22 x2 +a23 x3 , a31 x1 +a32 x2 +a33 x3 ) este o reprezentare ortogonal˘ a a grupului SO(3) ˆın R3 . Exercit¸iul 6.11 Aplicat¸ia T : SO(3) −→ GL(F(R3 , C)) : g 7→ T (g) unde T (g) : F(R3 , C) −→ F(R3 , C),

(T (g)f )(x) = f (g −1 x)

este o reprezentare liniar˘ a ˆın spat¸iul vectorial complex F(R3 , C) al tuturor funct¸iilor f : R3 −→ C.

176


Rezolvare. Avem (T (g1 g2 )f )(x) = f ((g1 g2 )−1 x) = f (g2−1 g1−1 x) = f (g2−1 (g1−1 x)) = (T (g2 )f )(g1−1 x) = (T (g1 )(T (g2 )f ))(x) = (T (g1 )T (g2 )f )(x). Exercit¸iul 6.12 Mult¸imea de matrice n

O(1, 3) = A ∈ GL(4, R) | A I1,3 t A = I1,3 unde

   

I1,3 = 

1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

o

    

considerat˘ a ˆımpreun˘ a cu ˆınmult¸irea este grup (se nume¸ste grupul Lorentz). Exercit¸iul 6.13 (

α β −β¯ α ¯

SU (2) =

! ) 2 2 α, β ∈ C, |α| + |β| = 1

Rezolvare. Avem !

α β γ δ

∈ SU (2) =⇒

      

α ¯ γ + β¯ δ = 0 −βγ + αδ = 1

=⇒

 γ = −β¯   

δ=α ¯

  

|α|2 + |β|2 = 1.

  e−i(ϕ+ψ)/2 cos 21 θ

0 ≤ ϕ < 2π 0≤θ≤π −2π ≤ ψ ≤ 2π

|α|2 + |β|2 = 1

Observat¸ia 6.8 Grupul SU (2) admite parametrizarea     ei(ϕ+ψ)/2 cos 12 θ  SU (2) =   i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 12 θ

i ei(ϕ−ψ)/2 sin 21 θ

cu proprietatea 

ei(ϕ+ψ)/2 cos 12 θ

i ei(ϕ−ψ)/2 sin 21 θ





i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 12 θ

e−i(ϕ+ψ)/2 cos 12 θ





eiϕ/2

0



cos 21 θ

i sin 12 θ



e−iϕ/2



i sin 12 θ

cos 12 θ



0

=

eiψ/2

0



e−iψ/2



0

    


177

parametrii ϕ, θ, ψ fiind numit¸i unghiurile lui Euler. Exercit¸iul 6.14 Dac˘ a a, b ∈ Mn×n (K) atunci tr (ab) = tr (ba). Rezolvare. Avem tr (ab) =

n X

n X n X

i=1

i=1 j=1

(ab)ii =

aij bji =

n X n X

bji aij =

j=1 i=1

n X

(ba)jj = tr (ba).

j=1

Observat¸ia 6.9 Folosind baza canonic˘a a lui R3 , putem identifica grupul SO(3) cu grupul de transform˘ ari { A : R3 −→ R3 | detA = 1, ||Ax|| = ||x||,

∀x ∈ R3 }.

Propozit¸ia 6.23 a) Spat¸iul matricelor antihermitice de urm˘ a nul˘ a de ordinul doi W = { u ∈ M2×2 (C) | u∗ = −u, tr u = 0 } este un spat¸iu vectorial real de dimensiune 3 ¸si 3

h : R −→ W,

ix3 −x2 + ix1 x2 + ix1 −ix3

h(x1 , x2 , x3 ) =

!

este un izomorfism cu proprietatea ||x||2 = det h(x),

∀x ∈ R3 .

b) Aplicat¸ia η : SU (2) −→ SO(3) : g 7→ η(g) unde η(g) : R3 −→ R3 ,

η(g)x = h−1 (g h(x) g ∗ )

este un morfism de grupuri cu nucleul (

Ker η =

g ∈ SU (2) η(g) =

1 0 0 1

! )

(

=

1 0 0 1

!

,

−1 0 0 −1

!)

.

178


Demonstrat¸ie. a) Avem u=

α11 + iβ11 α12 + iβ12 α21 + iβ21 α22 + iβ22

!

∈ W =⇒ u =

iβ11 α12 + iβ12 −α12 + iβ12 −iβ11

!

.

b) Din definit¸ia lui η rezult˘ a c˘ a η(g1 g2 )x = h−1 ((g1 g2 ) h(x) (g1 g2 )∗ ) = h−1 (g1 g2 h(x) g2∗ g1∗ ) = h−1 (g1 h(h−1 (g2 h(x) g2∗ ))g1∗ ) = η(g1 )(η(g2 )x) = (η(g1 ) η(g2 ))x. Utilizând baza canonic˘ a a lui R3 obt¸inem relat¸iile 

0

0

e−iϕ/2

η



η





cos ϕ − sin ϕ 0  = cos ϕ 0   sin ϕ 0 0 1 

eiϕ/2





1 0 0  =  0 cos θ − sin θ  1 cos 2 θ 0 sin θ cos θ

i sin 12 θ

cos 12 θ i sin 12 θ



din care deducem c˘ a det η(g) = 1. Deoarece (g h(x) g ∗ )∗ = g (h(x))∗ g ∗ = −g h(x) g ∗ )∗ = g tr(g h(x) g ∗ ) = tr(g g ∗ h(x)) = tr h(x) = 0 ||η(g)x||2 = det (g h(x) g ∗ ) = det h(x) = ||x||2 rezult˘a c˘ a η este un morfism de grupuri bine definit. Elementul g ∈ SU (2) apart¸ine nucleului lui η dac˘ a ¸si numai dac˘ a η(g)x = x oricare ar fi x ∈ R3 . Din relat¸iile η(g)(1, 0, 0) = (1, 0, 0), (

se deduce c˘ ag∈

1 0 0 1

η(g)(0, 1, 0) = (0, 1, 0), !

,

−1 0 0 −1

η(g)(0, 0, 1) = (0, 0, 1)

!)

.

Observat¸ia 6.10 Prin morfismul η : SU (2) −→ SO(3) fiecare element al lui SO(3) corespunde la dou˘ a elemente din SU (2) care difer˘a doar prin semn, η(g) = η(−g). Orice reprezentare liniar˘ a T : SU (2) −→ GL(V )


179

cu proprietatea T (g) = T (−g) define¸ste o reprezentare liniar˘a a grupului SO(3). Exercit¸iul 6.15 Aplicat¸ia SU (2) −→ GL(C2 ) obt¸inut˘a asociind fiecarui element !

α β −β¯ α ¯

g=

∈ SU (2)

transformarea ¯ 1+α g(z1 , z2 ) = (αz1 + βz2 , −βz ¯ z2 )

g : C2 −→ C2 ,

este o reprezentare unitar˘ a bidimensional˘a a lui SU (2). Rezolvare. Avem (g1 g2 )(z1 , z2 ) = g1 (g2 (z1 , z2 )). Exercit¸iul 6.16 Aplicat¸ia T : SU (2) −→ GL(F(C2 , C)) obt¸inut˘a asociind fiecarui element g ∈ SU (2) transformarea (T (g)f )(z1 , z2 ) = f (g −1 (z1 , z2 ))

T (g) : F(C2 , C) −→ F(C2 , C),

este o reprezentare liniar˘ a a grupului SU (2) in spat¸iul vectorial complex al tuturor 2 funct¸iilor f : C −→ C. b) Pentru orice n ∈ N subspat¸iul vectorial al polinoamelor omogene de grad n (

En =

2

f : C −→ C, f (z1 , z2 ) =

n X

ak z1k z2n−k

k=0

) ak ∈ C

este un subspat¸iu invariant al reprezent˘arii definite la punctul a). Rezolvare. Inversul elemntului α β −β¯ α ¯

g=

!

∈ SU (2)

este g

−1

=

¸si ˆın cazul f (z1 , z2 ) =

α ¯ −β β¯ α n X k=0

!

ak z1k z2n−k

180


obt¸inem (T (g)f )(z1 , z2 ) = f (g −1 (z1 , z2 )) =

n X

¯ 1 + αz2 )n−k . ak (¯ αz1 − βz2 )k (βz

k=0

Observat¸ia 6.11 Se poate ar˘ ata c˘a reprezent˘arile lui SU (2) induse ˆın subspat¸iile En sunt reprezent˘ ari ireductibile ¸si c˘ a ele sunt pân˘a la o echivalent¸˘a toate reprezent˘arile ireductibile ale grupului SU (2). Notând j = (n − 1)/2, adic˘a n = 2j + 1, obt¸inem f (z1 , z2 ) =

n X

ak z1k z2n−k

=

j X

aj+m z1j+m z2j−m .

m=−j

k=0

¸si (T (g)f )(z1 , z2 ) =

j X

¯ 1 + αz2 )j−m . aj+m (¯ αz1 − βz2 )j+m (βz

m=−j

Pentru fiecare element a ∈ SO(3) exist˘a exact dou˘a elemente ga ¸si −ga ˆın SU (2) ˆıncât a = η(ga ) = η(−ga ). Deoarece (T (−g)f )(z1 , z2 ) = (−1)2j (T (g)f )(z1 , z2 ) in cazul in care j este intreg, relat¸ia SO(3) −→ GL(E2j+1 ) : a 7→ T (ga ) este o reprezentare ireductibil˘ a (2j + 1)-dimensional˘a a grupului SO(3) ˆın spat¸iul vectorial E2j+1 .

Capitolul 7

Algebre Lie ¸si reprezent˘ arile lor liniare 7.1

Algebre Lie

Vom prezenta cˆ ateva elemente referitoare la algebre Lie ¸si reprezent˘arile lor liniare. Definit¸ia 7.1 Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebr˘a asociativ˘a peste corpul K se ˆınt¸elege o mult¸ime A considerat˘ a ˆımpreun˘ a cu trei operat¸ii A × A :−→ A : (a, b) 7→ a + b K × A :−→ A : (α, a) 7→ αa

A × A :−→ A : (a, b) 7→ ab

(adunarea) (inmultirea cu scalari) (inmultirea interna)

astfel ˆıncˆ at A ˆımpreun˘ a cu primele dou˘ a operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si 1) a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ A; 2) (a + b)c = ac + bc, ∀a, b, c ∈ A; 3) a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ A; 4) α(ab) = (αa)b = a(αb), ∀a, b ∈ A, ∀α ∈ K. Prin dimensiunea algebrei A se ˆınt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial corespunz˘ ator. Exercit¸iul 7.1 a) Mult¸imea Mn×n (K) a tuturor matricelor p˘atrate de ordinul n considerat˘ a ˆımpreun˘ a cu operat¸iile de adunare a matricelor, ˆınmult¸ire cu scalari ¸si produsul matricelor este o algebr˘ a asociativ˘a peste K. 181

182


b) Dac˘a V este un spat¸iu vectorial peste K atunci mult¸imea L(V ) a tuturor operatorilor liniari A : V −→ V considerat˘a ˆımpreun˘a cu adunarea operatorilor, ˆınmult¸irea cu scalari ¸si compunerea operatorilor este o algebr˘a asociativ˘a peste K. Definit¸ia 7.2 Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebr˘a Lie peste corpul K se ˆınt¸elege o mult¸ime L considerat˘ a ˆımpreun˘ a cu trei operat¸ii L × L :−→ L : (a, b) 7→ a + b K × L :−→ L : (α, a) 7→ αa

L × L :−→ L : (a, b) 7→ [a, b]

(adunarea) (inmultirea cu scalari) (crosetul)

astfel ˆıncˆ at L ˆımpreun˘ a cu primele dou˘ a operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si 1) [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c], ∀a, b, c ∈ L, ∀α, β ∈ K; 2) [a, b] + [b, a] = 0, ∀a, b ∈ L; 3) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, ∀a, b, c ∈ A (identitatea Jacobi). Prin dimensiunea algebrei Lie se ˆınt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial corespunz˘ ator. Observat¸ia 7.1 O algebr˘ a Lie L poate fi privit˘a ca un spat¸iu vectorial L pe care s-a definit o lege de compozit¸ie intern˘a suplimentar˘a L × L :−→ L : (a, b) 7→ [a, b] compatibil˘ a cu structura de spat¸iu vectorial. Propozit¸ia 7.3 a) Plecˆ and de la orice algebr˘ a asociativ˘ a A se obt¸ine o structur˘ a de algebr˘ a Lie pe A definind cro¸setul prin [a, b] = ab − ba. b) Algebra Lie peste K obt¸inut˘ a plecˆ and de la Mn×n (K) se noteaz˘ a cu gl(n, K). c) Algebra Lie peste K obt¸inut˘ a plecˆ and de la L(V ) se noteaz˘ a cu gl(V ). Demonstrat¸ie. Avem [αa+βb, c] = (αa + βb)c−c(αa + βb) = α(ac − ca)+β(bc − cb) = α[a, c]+β[b, c] [a, b] = ab − ba = −(ba − ab) = −[b, a] [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = [(ab − ba), c] + [(bc − cb), a] + [(ca − ac), b] = (ab−ba)c−c(ab−ba)+(bc−cb)a−a(bc−cb)+(ca−ac)b−b(ca−ac) = 0.

Algebre Lie ¸si reprezent˘ arile lor liniare

183

Definit¸ia 7.4 Prin baz˘ a a algebrei Lie L se ˆınt¸elege o baz˘ a {v1 , v2 , ... , vn } a spat¸iului k L privit ca spat¸iu vectorial. Coeficient¸ii cij ∈ K din relat¸iile [vi , vj ] =

n X

ckij vk

k=1

se numesc constantele de structur˘a ale algebrei L referitoare la baza aleas˘ a. Observat¸ia 7.2 Notˆ and       eij =      



··· 0 0 0 ··· 0  ··· ··· ··· ··· ··· ···   ··· 0 0 0 ··· 0   ··· 0 1 0 ··· 0   ··· 0 0 0 ··· 0    ··· ··· ··· ··· ··· ···  ··· 0 0 0 ··· 0

0 ··· 0 0 0 ··· 0

(singurul element nenul este la intersect¸a dintre coloana i ¸si linia j), orice matrice admite reprezentarea 

a11

a12

· · · a1n

  2  a1 a22 · · · a2n    ··· ··· ··· ··· 

an1

an2

· · · ann

   n X  = aji eij = aji eij .   i,j=1 

In cazul n = 2 a11 a12 a21 a22

!

=

a11

1 0 0 0

!

+

a12

0 1

!

+

0 0

a21

0 0 1 0

!

+

a22

= a11 e11 + a12 e21 + a21 e12 + a22 e22 . Propozit¸ia 7.5 Algebra Lie gl(n, K), de dimensiune n2 , admite baza { eij | i, j ∈ {1, 2, ..., n} } i ek . Demonstrat¸ie. Avem eij ekm = δm j

cu

i k [eij , ekm ] = δm ej − δjk eim .

0 0 0 1

!

184


Definit¸ia 7.6 Prin subalgebr˘ a Lie a algebrei L se ˆınt¸elege un subspat¸iu vectorial L1 ⊆ L astfel ˆıncˆ at a ∈ L1 b ∈ L1

)

=⇒ [a, b] ∈ L1 .

Observat¸ia 7.3 Fiecare subalgebr˘a Lie a unei algebre L are o structur˘a de algebr˘a Lie. Exercit¸iul 7.2 a) Mult¸imea matricelor de urm˘a nul˘a sl(n, K) = { g ∈ gl(n, K) | tr g = g11 +g22 + · · · +gnn = 0 } este o subalgebr˘ a Lie de dimensiune n2 −1 a algebrei gl(n, K). b) Mult¸imea matricelor antihermitice u(n) = { g ∈ gl(n, C) | t g¯ = −g } are o structur˘ a natural˘ a de algebr˘a Lie real˘a de dimensiune n2 . c) Mult¸imea matricelor antihermitice de urm˘a nul˘a su(n) = u(n) ∩ sl(n, C) = { g ∈ u(n) | tr g = 0 } are o structur˘ a natural˘ a de algebr˘a Lie real˘a de dimensiune n2 − 1. d) Mult¸imea matricelor strˆ amb simetrice o(n) = { g ∈ gl(n, R) | t g = −g } are o structur˘ a natural˘ a de algebr˘a Lie real˘a de dimensiune e) Mult¸imea de matrice     

 1 0 0  0 −1 0  o(1, 3) = g ∈ gl(4, R) g    0 0 −1    0 0 0

0 0 0 −1





    =−   

n(n−1) . 2

1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1



    

 t  g     


185

are o structur˘ a natural˘ a de algebr˘ a Lie real˘a de dimensiune 6 (numit˘a algebra Lie a grupului Lorentz). Rezolvare. a) Avem tr(a + b) = tr a + tr b, tr(αa) = α tr a, tr ab =

n X

(ab)kk =

n X n X

akj bjk =

k=1 j=1

k=1

n X n n X X bjk akj = (ba)jj = tr ba j=1 k=1

j=1

¸si prin urmare, tr [a, b] = tr(ab−ba) = 0, oricare ar fi a, b ∈ gl(n, K). O baz˘a a algebrei Lie sl(n, K) este { ejk | k 6= j } ∪ { ekk −enn | k ∈ {1, 2, ..., n−1} }. b) Dac˘a α ∈ R ¸si a, b ∈ u(n) atunci t (αa) t (a

=α ¯ ta ¯ = −(αa),

+ b) = t a ¯ + t¯b = −a − b = −(a + b),

t [a, b]

= t (ab − ba) = t¯b t a ¯ − ta ¯ t¯b = ba − ab = −[a, b].

O baz˘a a algebrei Lie u(n) este { ejk −ekj | k < j } ∪ { i(ejk +ekj ) | k < j } ∪ { i ekk | k ∈ {1, 2, ..., n} }. c) O baz˘ a a algebrei Lie su(n) este { ejk −ekj | k < j } ∪ { i(ejk +ekj ) | k < j } ∪ { i (ekk − enn ) | k ∈ {1, 2, ..., n−1} }. d) O baz˘ a a algebrei Lie o(n) este { ejk −ekj | k < j }. e) Se obt¸ine    0     α  1 o(1, 3) =    α2   

α3



α1 α2 α3  0 α4 α5   α , α , ... , α6 ∈ R −α4 0 α6  1 2 −α5 −α6 0

    

.

   

O baz˘a a algebrei Lie o(1, 3) este { e21 +e12 , e31 +e13 , e41 +e14 , e31 −e13 , e24 −e42 , e34 −e43 }.

186


Definit¸ia 7.7 Fie G ⊆ GL(n, K) un subgrup. Prin subgrup cu un parametru al grupului G se ˆınt¸elege un morfism de grupuri g : R −→ G adic˘ a o aplicat¸ie astfel ˆıncˆ at ∀t, s ∈ R.

g(t + s) = g(t) g(s),

Exercit¸iul 7.3 Oricare ar fi matricea a ∈ gl(n, K) aplicat¸ia g(t) = eta

g : R −→ GL(n, K),

este un subgrup cu un parametru al lui GL(n, K) astfel ˆıncât dg (0) = a dt (a poate fi privit ca fiind “generatorul infinitezimal” al subgrupului considerat). Rezolvare. T ¸ inˆ and seama de definit¸ia exponent¸ialei unei matrice obtinem d ta e = aeta . dt

g(t + s) = e(t+s)a = eta esa = g(t) g(s),

Observat¸ia 7.4 Dac˘ a matricea A ∈ Mn×n (K) este diagonalizabil˘a atunci exist˘a o matrice inversabil˘ a S ∈ Mn×n (K) ¸si λ1 , λ2 , ... , λn astfel ˆıncât    

A = S −1 

λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ··· ··· ··· ··· 0 0 · · · λn

   S 

relat¸ie din care rezult˘ a tr A = λ1 + λ2 + ... + λn ¸si egalitatea  λ e 1  0  eA = S −1   ···

0

0 eλ2 ··· 0

··· 0 ··· 0 ··· ··· · · · eλn

   S 

care conduce la det eA = eλ1 +λ2 +...+λn = etr A .


187

Se poate ar˘ ata c˘ a relat¸ia det eA = etr A are loc pentru orice matrice A. Exercit¸iul 7.4 a) Dac˘ a g : R −→ SL(n, K) este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ sl(n, K). ta b) Dac˘a a ∈ sl(n, K) atunci e ∈ SL(n, K), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ SL(n, K),

g(t) = eta

este un subgrup cu un parametru al lui SL(n, K) astfel ˆıncât

dg dt (0)

= a.

Rezolvare (cazul n=2). Dac˘ a 

g : R −→ SL(n, K),

g(t) = 

g11 (t) g12 (t) g21 (t) g22 (t)

 

este un subgrup cu un parametru atunci g (t) g (t) 12 11 g21 (t) g22 (t)

= 1,

∀t ∈ R.

Derivând aceast˘ a relat¸ie obt¸inem egalitatea g 0 (t) g 0 (t) 11 12 g21 (t) g22 (t)

g (t) g (t) 12 11 + 0 0 (t) g21 (t) g22

= 0,

∀t ∈ R

care ˆın cazul t = 0 devine g 0 (0) g 0 (0) 11 12 0 1

adic˘a tr

1 0 + 0 0 (0) g21 (0) g22

dg 0 0 (0) = g11 (0) + g22 (0) = 0. dt

Exercit¸iul 7.5 a) Dac˘ a g : R −→ U (n)

=0

188


este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ u(n). ta b) Dac˘a a ∈ u(n) atunci e ∈ U (n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ U (n),

g(t) = eta

este un subgrup cu un parametru al lui U (n) astfel ˆıncât

dg dt (0)

= a.

Rezolvare. Dac˘ a g : R −→ U (n) este un subgrup cu un parametru atunci g(t) t g(t) = I

∀t ∈ R.

Derivând aceast˘ a relat¸ie obt¸inem egalitatea d d g(t) t g(t) + g(t) t g(t) = 0 dt dt care ˆın cazul t = 0 devine

d d g(0) + t g(0) = 0. dt dt

Exercit¸iul 7.6 a) Dac˘ a g : R −→ SU (n) este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ su(n). ta b) Dac˘a a ∈ su(n) atunci e ∈ SU (n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ SU (n),

g(t) = eta

este un subgrup cu un parametru al lui SU (n) astfel ˆıncât

dg dt (0)

= a.

Exercit¸iul 7.7 a) Dac˘ a g : R −→ O(n) este un subgrup cu un parametru, atunci dg dt (0) ∈ o(n). ta b) Dac˘a a ∈ o(n) atunci e ∈ O(n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia g : R −→ O(n),

g(t) = eta

este un subgrup cu un parametru al lui O(n) astfel ˆıncât

dg dt (0)

= a.


7.2

189

Reprezent˘ ari liniare

Definit¸ia 7.8 Fie L o algebr˘ a Lie peste K ¸si L0 o algebr˘ a Lie peste K0 , unde corpurile K ¸si K0 apart¸inˆ and lui {R, C} sunt astfel ˆıncˆ at K ⊆ K0 . Prin morfism de algebre Lie de la L la L0 se ˆınt¸elege o aplicat¸ie liniar˘ a A : L −→ L0 cu proprietatea ∀a, b ∈ L.

A([a, b]) = [Aa, Ab],

Definit¸ia 7.9 Spunem ca algebrele Lie L ¸si L0 peste acela¸si corp K sunt izomorfe dac˘ a exist˘ a un morfism bijectiv de algebre Lie (numit izomorfism) A : L −→ L0 . Propozit¸ia 7.10 Dac˘ a algebrele Lie L ¸si L0 peste acela¸si corp K ¸si de aceea¸si dimensiune au ˆın raport cu dou˘ a baze {e1 , e2 , ..., en } ¸si respectiv {e01 , e02 , ..., e0n } acelea¸si constante de structur˘ a [ei , ej ] =

n X

[e0i , e0j ] =

ckij ek ,

k=1

n X

ckij e0k

k=1

atunci ele sunt izomorfe. Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A : L −→ L0 , Aej = e0j , adic˘a n X

A(

n X

ai ei ) =

i=1

ai e0i

i=1

este un izomorfism de algebre Lie. Ea este, evident, liniar˘a, bijectiv˘a ¸si A[a, b] = A

hP

n i=1 ai ei ,

j=1 bj ej =

=

Pn

Pn

=

Pn

[e0i , e0j ] =

i,j=1 ai bj i,j=1 ai bj

i

Pn

k k=1 cij Aek

Pn

=

Pn

i,j=1 ai bj

Pn

i,j=1 ai bj

i,j=1 ai bj

A[ei , ej ]

Pn

k 0 k=1 cij ek

[Aei , Aej ] = [Aa, Ab].

Propozit¸ia 7.11 Algebrele Lie reale o(3) ¸si su(2) sunt izomorfe. Demonstrat¸ie. Algebra Lie o(3) admite baza { o1 = e23 − e32 , o2 = e31 − e13 , o3 = e12 − e21 }

190


cu [o1 , o2 ] = o3 ,

[o2 , o3 ] = o1 ,

[o3 , o1 ] = o2

iar algebra Lie su(2) baza i 1 i { u1 = − (e11 − e22 ), u2 = − (e12 − e21 ), u3 = − (e12 + e21 ) } 2 2 2 cu [u1 , u2 ] = u3 ,

[u2 , u3 ] = u1 ,

[u3 , u1 ] = u2 .

Definit¸ia 7.12 Prin reprezentare liniar˘a a algebrei Lie L ˆın spat¸iul vectorial complex V (numit˘ a ¸si reprezentare C-liniar˘a) se ˆınt¸elege un morfism de algebre % : L −→ gl(V ), adic˘ a o aplicat¸ie liniar˘ a cu proprietatea %([a, b]) = %(a) %(b) − %(b) %(a),

∀a, b ∈ L.

Exercit¸iul 7.8 Dac˘ a L este o algebr˘a Lie complex˘a atunci aplicat¸ia % : L −→ gl(L) : a 7→ %(a) unde %(a) : L −→ L,

%(a)x = [a, x]

este o reprezentare liniar˘ a a algebrei L ˆın spat¸iul L, numit˘a reprezentarea adjunct˘ a. Rezolvare. Aplicat¸ia % este bine definit˘a %(a)(αx + βy) = [a, αx + βy] = α[a, x] + β[a, y] = α %(a)x + β %(a)y liniar˘a %(αa + βb)x = [αa + βb, x] = α[a, x] + β[b, x] = (α %(a) + β %(b))x ¸si din identitatea Jacobi rezult˘ a %([a, b])x = [[a, b], x] = −[[b, x], a] − [[x, a], b] = [a, [b, x]] − [b, [a, x]] = %(a)(%(b)x) − %(b)(%(a)x) = (%(a)%(b) − %(b)%(a))x = [%(a), %(b)]x.


7.3

191

Reprezent˘ ari ireductibile

Definit¸ia 7.13 Fie % : L −→ gl(V ) o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın V . Spunem c˘ a subspat¸iul vectorial W ⊆ V este invariant fat¸˘ a de % dac˘ a %(a)(W ) ⊆ W, adic˘ a dac˘ a x∈W a∈L

∀a ∈ L

)

=⇒ %(a)x ∈ W.

Definit¸ia 7.14 Spunem c˘ a reprezentarea liniar˘ a % : L −→ gl(V ) este o reprezentare ireductibil˘ a dac˘ a singurele subspat¸ii invariante sunt {0} ¸si V . In caz contrar, reprezentarea este numit˘ a reductibil˘ a. Propozit¸ia 7.15 Fie L1 , L2 dou˘ a algebre Lie izomorfe, ϕ : L1 −→ L2 un izomorfism de algebre Lie. Dac˘ a %2 : L2 −→ gl(V ) este o reprezentare liniar˘ a a algebrei L2 atunci %1 : L1 −→ gl(V ),

%1 (a) = %2 (ϕ(a))

este o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L1 ˆın V . Reprezentarea %1 este ireductibil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a reprezentarea %2 este ireductibil˘ a. Demonstrat¸ie. Avem %1 (αa + βb) = %2 (ϕ(αa + βb)) = %2 (α ϕ(a) + β ϕ(b)) = α%2 (ϕ(a)) − β%2 (ϕ(b)) = α%1 (a) − β%1 (b) %1 ([a, b]) = %2 (ϕ([a, b])) = %2 ([ϕ(a), ϕ(b)])) = [%2 (ϕ(a)), %2 (ϕ(b))] = [%1 (a), %1 (b)]. Dac˘a W ⊂ V este un subspat¸iu vectorial atunci avem x ∈ W =⇒ %2 (a)x ∈ W,

∀a ∈ L2

192


dac˘a ¸si numai dac˘ a x ∈ W =⇒ %1 (a)x = %2 (ϕ(a)) ∈ W,

∀a ∈ L1 .

Observat¸ia 7.5 Cunoa¸sterea reprezent˘arilor ireductibile ale algebrei Lie o(3) este echivalent˘ a cu cunoa¸sterea reprezent˘arilor ireductibile ale algebrei Lie su(2). Exercit¸iul 7.9 Dac˘ a S : V1 −→ V2 este un izomorfism de spat¸ii vectoriale ¸si %2 : L −→ gl(V2 ) este o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın spat¸iul vectorial V2 atunci %1 : L −→ gl(V1 ),

%1 (a) = S −1 %2 (a) S

este o reprezentare liniar˘ a a algebrei Lie L ˆın spat¸iul vectorial V1 . Reprezentarea %1 este ireductibil˘ a dac˘a ¸si numai dac˘a %2 este ireductibil˘a. Rezolvare. Avem %1 (αa + βb) = S −1 %2 (αa + βb) S = α S −1 %2 (a) S + β S −1 %2 (b) S = α %1 (a) + β %1 (b) %1 ([a, b]) = S −1 %2 ([a, b]) S = S −1 (%1 (a) %1 (b) − %1 (b) %1 (a)) S −1 = S %2 (a) S S −1 %2 (b) S − S −1 %2 (b) S S −1 %2 (a)) S = %1 (a) %1 (b) − %1 (b) %1 (a) = [%1 (a), %1 (b)]. Subspat¸iul W ⊂ V1 este invariant dac˘a ¸si numai dac˘a S(W ) ⊂ V2 este invariant. Dac˘a subspat¸iul S(W ) este invariant, adic˘a y ∈ S(W ) =⇒ %2 (a)y ∈ S(W ),

∀a ∈ L

atunci x ∈ W =⇒ %1 (a)x = S −1 %2 (a) Sx ∈ W, Deoarece %2 (a) = S%1 (a)S −1 , din x ∈ W =⇒ %1 (a)x ∈ W,

∀a ∈ L

∀a ∈ L.


193

rezult˘a Sx ∈ S(W ) =⇒ %2 (a)Sx = S%1 (a)x ∈ S(W ),

∀a ∈ L.

Definit¸ia 7.16 Spunem c˘ a reprezent˘ arile liniare %1 : L −→ gl(V1 )

si

%2 : L −→ gl(V2 )

sunt echivalente dac˘ a exist˘ a un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel ˆıncˆ at %1 (a) = S −1 %2 (a) S

(7.1)

adic˘ a dac˘ a diagrama V1

%1 (a)

S ?

V2 este comutativ˘ a oricare ar fi a ∈ L.

- V1

S %2 (a)

? - V2

194

7.4


Reprezent˘ arile algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3)

Exercit¸iul 7.10 S˘ a se arate c˘ a matricele 1

1 a3 = 2

0

0 −1

!

,

0 1

a+ =

!

0 0

,

a− =

0 0

!

1 0

formeaz˘ a o baz˘ a a algebrei Lie complexe sl(2, C) ¸si [a3 , a± ] = ±a± ,

[a+ , a− ] = 2 a3 .

Dac˘a % : sl(2, C) −→ gl(V ) este o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C) ˆın spat¸iul V atunci operatorii liniari A3 = %(a3 ),

A+ = %(a+ ),

A− = %(a− )

verific˘a relat¸iile [A3 , A± ] = ±A± ,

[A+ , A− ] = 2 A3 .

Rezolvare. Matricea α11 α12

!

∈ M2×2 (C)

α21 α22

apartine algebrei Lie sl(2, C) dac˘ a ¸si numai dac˘a α11 + α22 = 0. Dar ˆın acest caz α11

!

α12

α21 −α11

= 2α11 a3 + α12 a+ + α21 a− .

Deoarece % este morfism de algebre Lie obt¸inem [A3 , A± ] = [%(a3 ), %(a± )] = %([a3 , a± ]) = %(±a± ) = ±%(a± ) = ±A± [A+ , A− ] = [%(a+ ), %(a− )] = %([a+ , a− ]) = %(2 a3 ) = 2%(a3 ) = 2 A3 . Propozit¸ia 7.17 Dac˘ a % : sl(2, C) −→ gl(V ) este reprezentare ireductibil˘ a de dimensiune n = 2j+1 atunci exist˘ a v 6= 0 astfel ˆıncˆ at A3 v = jv unde A3 = %(a3 ), A+ = %(a+ ).

si

A+ v = 0


195

Demonstrat¸ie. Operatorul liniar A3 : V −→ V admite cel put¸in o valoare proprie λ ∈ C. Fie x0 ∈ V un vector propriu corespunz˘ator, adic˘a A3 x0 = λx0 . Deoarece A3 (A+ x0 ) = (A3 A+ )x0 = (A+ A3 + A+ )x0 = A+ A3 x0 + A+ x0 = (λ + 1)A+ x0 rezult˘a c˘ a vectorul x1 = A+ x0 verific˘a relat¸ia A3 x1 = (λ + 1)x1 . Similar, din A3 (A+ x1 ) = (A3 A+ )x1 = (A+ A3 + A+ )x1 = A+ A3 x1 + A+ x1 = (λ + 2)A+ x1 rezult˘a c˘ a vectorul x2 = A+ x1 = (A+ )2 x0 verific˘a relat¸ia A3 x2 = (λ + 2)x2 . Se poate astfel ar˘ ata c˘ a tot¸i vectorii din ¸sirul x0 ,

x1 = A+ x0 ,

x2 = (A+ )2 x0 ,

x3 = (A+ )3 x0 ,

...

verific˘a relat¸ia A3 xk = (λ + k)xk . Vectorii nenuli din acest ¸sir sunt vectori proprii ai lui A3 ¸si deoarece corespund la valori proprii distincte ei sunt liniar independent¸i. Spat¸iul V fiind finit dimensional, rezult˘a ca ¸sirul x0 , x1 , x2 , ... poate cont¸ine doar un num˘ar finit de vectori nenuli, adic˘a exist˘ a xl 6= 0 cu xl+1 = A+ xl = 0. Alegând v = xl avem A+ v = 0. Fie ¸sirul de vectori w0 = v, w1 = A− w0 , w2 = (A− )2 w0 , ... Avem A3 w0 = (λ + l)w0 A3 w1 = A3 (A− w0 ) = (A3 A− )w0 = (A− A3 − A− )w0 = (λ + l − 1)w1 A3 w2 = A3 (A− w1 ) = (A3 A− )w1 = (A− A3 − A− )w1 = (λ + l − 2)w2 ¸si ˆın general A3 wk = (λ + l − k)wk .

196


La fel ca mai sus se arat˘ a c˘ a ¸sirul w0 , w1 , w2 , ... cont¸ine un num˘ar finit de termeni nenuli, c˘ a exist˘ a wm 6= 0 cu wm+1 = A− wm = 0. Deoarece A+ w1 = A+ (A− w0 ) = (A+ A− )w0 = ([A+ , A− ] + A− A+ )w0 = 2 A3 w0 = (2λ + 2l)w0 A+ w2 = A+ (A− w1 ) = (A+ A− )w1 = ([A+ , A− ] + A− A+ )w1 = (2 A3 + A− A+ )w1 = 2(λ + l − 1)w1 + (2λ + 2l)A− w0 = 2(2λ + 2l − 1)w1 A+ w3 = A+ (A− w2 ) = (A+ A− )w2 = ([A+ , A− ] + A− A+ )w2 = (2 A3 + A− A+ )w2 = 2(λ + l − 2)w2 + 2(2λ + 2l − 1)A− w1 = 3(2λ + 2l − 2)w2 ¸si ˆın general A+ wk = k(2λ + 2l − k)wk−1 subspat¸iul W = hw0 , w1 , ... , wm i generat de vectorii liniar independent¸i w0 , w1 , ... , wm este invariant fat¸˘a de act¸iunea operatorilor A3 , A+ ¸si A− . Reprezentarea % fiind ireductibil˘a trebuie ca W = V ¸si deci n = m + 1. Matricea operatorului A3 ˆın raport cu baza {w0 , w1 , ... , wm } este matricea diagonal˘ a       

λ+l 0 0 λ+l−1 ··· ··· 0 0 0 0

··· 0 0 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· λ + l − m + 1 0 ··· 0 λ+l−m

    .  

Pe de alt˘ a parte din relat¸ia [A+ , A− ] = 2 A3 rezult˘a c˘a trA3 =

1 1 tr([A+ , A− ]) = (tr(A+ , A− ) − tr(A− A+ )) = 0. 2 2

Deducem c˘ a (λ + l) + (λ + l − 1) + · · · (λ + l − m) = 0


197

adic˘a (m + 1)(λ + l) −

m(m + 1) = 0. 2

Deoarece n = m + 1, rezult˘ a c˘ a m n−1 = 2 2

λ+l =

¸si notând j = (n − 1)/2 obt¸inem A3 v = j v. Propozit¸ia 7.18 Dac˘ a % : sl(2, C) −→ gl(V ) este reprezentare ireductibil˘ a de dimensiune n = 2j +1 si v 6= 0 este astfel ˆıncˆ at A3 v = j v,

A+ v = 0

atunci sistemul de vectori { v−j , v−j+1 , ... , vj } definit prin relat¸iile vj = v,

A− v k =

q

j(j + 1) − k(k − 1) vk−1

este o baz˘ a a lui V astfel ˆıncˆ at A3 v k = k v k ,

A+ vk =

q

j(j + 1) − k(k + 1) vk+1 .

Demonstrat¸ie. Deoarece j(j + 1) − k(k − 1) = 0

=⇒

k = −j sau k = j + 1

rezult˘a c˘ a exist˘ a constantele nenule c1 , c2 , ... , c2j astfel ˆıncât v j = w0 ,

vj−1 = c1 w1 ,

vj−2 = c2 w2 ,

...

v−j = c2j w2j

unde {w0 , w1 , ..., w2j } este baza lui V obtinut˘a ˆın demonstrat¸ia propozit¸iei precedente. Deoarece A3 wk = (j − k)wk rezult˘a c˘a A3 vk = k vk . Din relat¸ia A− vj =

q

j(j +1) − j(j −1) vj−1 =

p

2j vj−1

198


rezult˘a A+ vj−1 =

√1 2j

=

√1 2j

Presupunˆ and c˘ a A+ vk =

p

A+ A− vj = √12j (A− A+ + 2A3 )vj p √ 2j vj = 2j vj = j(j +1) − (j −1)j vj .

j(j + 1) − k(k + 1) vk+1 obt¸inem

A+ vk−1 = √

1 j(j+1)−k(k−1)

=√

1 j(j+1)−k(k−1)

p

=√

1 j(j+1)−k(k−1)

( (j(j + 1) − k(k + 1)) + 2k ) vk

=

A+ A− v k = √

1 j(j+1)−k(k−1)

(A− A+ + 2A3 )vk

j(j + 1) − k(k + 1)A− vk+1 + 2A3 vk

p

j(j + 1) − (k − 1)k vk .

Teorema 7.19 a) Oricare ar fi n ∈ {0, 1, 2, ...}, oricare ar fi spat¸iul vectorial complex V de dimensiune n = 2j+1 ¸si oricare ar fi baza {v−j , v−j+1 , ... , vj } a lui V aplicat¸ia % : sl(2, C) −→ gl(V ) definit˘ a prin relat¸iile A3 v k = k v k ,

A ± vk =

q

j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1

(7.2)

unde A3 = %(a3 ) ¸si A± = %(a± ), este o reprezentare ireductibil˘ a a algebrei Lie sl(2, C). b) Reprezent˘ arile (7.2) care au aceea¸si dimensiune sunt echivalente. c) Reprezent˘ arile (7.2) sunt pˆ an˘ a la o echivalent¸˘ a toate reprezent˘ arile ireductibile finit dimensionale ale algebrei Lie sl(2, C). Demonstrat¸ie. a) Avem [A3 , A± ] vk = (A3 A± − A± A3 )vk p

p

= (k ± 1) j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 − k j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 p

= ± j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 = ±A± vk [A+ , A− ] vk = (A+ A− − A− A+ )vk =

p

j(j + 1) − k(k − 1) A+ vk−1 −

p

j(j + 1) − k(k + 1) A− vk+1

= (j(j + 1) − k(k − 1))vk − (j(j + 1) − k(k + 1))vk = 2k vk = 2A3 vk


199

ceea ce arat˘ a c˘ a relat¸iile (7.2) definesc o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C). Fie W 6= {0} un subspat¸iu invariant ¸si fie x = x−j v−j + x−j+1 v−j+1 + · · · + xj vj ∈ W un vector nenul fixat. Cel put¸in unul dintre coeficient¸ii lui x este nenul. Fie k = min{ l | xl 6= 0 } Din (7.2) rezult˘ a c˘ a (A+ )j−l x = c vj unde c este o constant˘ a nenul˘ a. Deoarece W este invariant, din relat¸ia precedent˘a rezult˘a c˘ a vj ∈ W ¸si apoi c˘ a vectorii A− v j ,

(A− )2 vj ,

(A− )3 vj ,

... ,

(A− )2j vj

care coincid pˆ an˘ a la ˆınmult¸irea cu anumite constante nenule cu vectorii vj−1 ,

vj−2 ,

... ,

v−j

apart¸in lui W . Rezult˘ a astfel c˘ a orice subspat¸iu invariant nenul W coincide cu V . b) Dac˘a % : sl(2, C) −→ gl(V ), %0 : sl(2, C) −→ gl(V 0 ) sunt dou˘ a reprezent˘ ari liniare de dimensiune n = 2j + 1 ¸si {v−j , v−j+1 , ... , vj },

0 0 {v−j , v−j+1 , ... , vj0 }

bazele corespunz˘ atoare atunci S : V −→ V 0 ,

Svk = vk0

este un izomorfism liniar ¸si %(a) = S −1 %0 (a) S,

∀a ∈ sl(2, C).

c) Afirmat¸ia rezult˘ a din propozit¸iile 7.17 ¸si 7.18.

200


Propozit¸ia 7.20 Dac˘ a %1 : L −→ gl(V1 ),

%2 : L −→ gl(V2 )

sunt reprezent˘ ari liniare ale algebrei Lie L, atunci aplicat¸ia %1 ⊕ %2 : L −→ gl(V1 ⊕ V2 ) definit˘ a prin relat¸ia (%1 ⊕ %2 )(a)(x1 , x2 ) = (%1 (a)x1 , %2 (a)x2 ) este o reprezentare liniar˘ a (numit˘ a suma direct˘a a reprezent˘ arilor %1 ¸si %2 ) ˆın V1 ⊕ V2 = { (x1 , x2 ) | x1 ∈ V1 , x2 ∈ V2 }. Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia %1 ⊕ %2 este liniar˘a (%1 ⊕ %2 )(αa + βb) = α(%1 ⊕ %2 )(a) + β(%1 ⊕ %2 )(b) ¸si (%1 ⊕ %2 )([a, b])(x1 , x2 ) = (%1 ([a, b])x1 , %2 ([a, b])x2 ) = ([%1 (a), %1 (b)]x1 , [%2 (a), %2 (b)]x2 ) = (%1 (a)%1 (b)x1 − %1 (b)%1 (a)x1 , %2 (a)%2 (b)x2 − %2 (b)%2 (a)x2 ) = (%1 ⊕ %2 )(a) (%1 (b)x1 , %2 (b)x2 ) − (%1 ⊕ %2 )(b) (%1 (a)x1 , %2 (a)x2 ) = [(%1 ⊕ %2 )(a), (%1 ⊕ %2 )(b)](x1 , x2 ). Observat¸ia 7.6 In teorema 7.19 am descris reprezent˘arile ireductibile ale algebrei Lie sl(2, C). Se poate ar˘ ata c˘ a orice reprezentare liniar˘a finit dimensional˘a a algebrei Lie sl(2, C) este o sum˘ a direct˘ a de astfel de reprezent˘ari. Propozit¸ia 7.21 Fie L o algebr˘ a Lie real˘ a. Definind pe complexificatul spat¸iului vectorial L C L = { a + i a0 | a, a0 ∈ L } cro¸setul [a + i a0 , b + i b0 ] = [a, b] − [a0 , b0 ] + i ([a, b0 ] + [a0 , b]) obt¸inem o algebr˘ a Lie complex˘ a numit˘ a complexificata algebrei Lie reale L.


201

Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arat˘a c˘a [(α + iα0 )(a + ia0 ) +(β + iβ 0 )(b + ib0 ), c + ic0 ] = (α + iα0 )[a + ia0 , c + ic0 ] + (β + iβ 0 )[b + ib0 , c + ic0 ] [a + ia0 , b + ib0 ] = −[b + ib0 , a + ia0 ] [[a + ia0 , b + ib0 ], c + ic0 ] +[[b + ib0 , c + ic0 ], a + ia0 ] +[[c + ic0 , a + ia0 ], b + ib0 ] = 0. Propozit¸ia 7.22 a) Dac˘ a L este o algebr˘ a Lie real˘ a ¸si dac˘ a % : L −→ gl(V ) este o reprezentare liniar˘ a (ˆın spat¸iul vectorial complex V ) atunci %˜ : CL −→ gl(V ),

%˜(a + ia0 )x = %(a)x + i %(a0 )x

este o reprezentare liniar˘ a. b) Reprezentarea %˜ este ireductibil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a % este ireductibil˘ a. Demonstrat¸ie. a) Se arat˘ a prin calcul direct c˘a %˜ este aplicat¸ie C-liniar˘a %˜( (a + ia0 ) + (b + ib0 ) ) = %˜(a + ia0 ) + %˜(b + ib0 ) %˜( (α + iβ)(a + ia0 ) ) = (α + iβ) %˜(a + ia0 ) ¸si c˘a %˜( [a + ia0 , b + ib0 ]) = [˜ %(a + ia0 ), %˜(b + ib0 )]. b) Dac˘a W ⊂ V este astfel ˆıncˆ at x∈W

=⇒

%(a)x ∈ W

oricare ar fi a ∈ L, atunci x∈W

=⇒

%˜(a + ia0 )x = %(a)x + i %(a0 )x ∈ W

oricare ar fi a + ia0 ∈ C L. Invers, dac˘a x∈W

=⇒

%˜(a + ia0 )x ∈ W

202


oricare ar fi a + ia0 ∈ C L, atunci x∈W

=⇒

%(a)x = %˜(a + i0)x ∈ W

oricare ar fi a ∈ L. Observat¸ia 7.7 L poate fi identificat˘a cu o submult¸ime a lui C L folosind aplicat¸ia L −→ C L : a 7→ a + i 0. Mai mult, [a, b] = [a + i0, b + i0],

∀a, b ∈ L.

Dac˘a {b1 , b2 , ..., bn } este o baz˘ a a algebrei Lie reale L, L = { α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn | αj ∈ R } atunci {b1 , b2 , ..., bn } este ˆın acela¸si timp baz˘a a algebrei Lie complexe C L, C

L = { α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn | αj ∈ C }.

Propozit¸ia 7.23 a) Dac˘ a % : CL −→ gl(V ) este o reprezentare liniar˘ a a complexificatei algebrei Lie reale L atunci %|L : L −→ gl(V ),

%|L (a)x = %(a + i0)x

este o reprezentare liniar˘ a a lui L. b) Reprezentarea %|L este ireductibil˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a % este ireductibil˘ a. Demonstrat¸ie. a) Aplicat¸ia %|L este R-liniar˘a %|L (a + b) = %(a + b + i0) = %(a + i0) + %(b + i0) = %|L (a) + %|L (b) %|L (αa) = %(αa + i0) = α%(a + i0) = α%|L (a) ¸si %|L ([a, b]) = %([a, b] + i0) = %([a + i0, b + i0]) = [%(a + i0), %(b + i0)] = [%|L (a), %|L (b)].


203

b) Dac˘a W ⊂ V este astfel ˆıncˆ at x∈W

%(a + ia0 )x ∈ W

=⇒

oricare ar fi a + ia0 ∈ CL, atunci x∈W

=⇒

%|L (a)x = %(αa + i0)x ∈ W

oricare ar fi a ∈ L. Invers, dac˘ a x∈W

=⇒

%|L (a)x ∈ W

oricare ar fi a ∈ L, atunci x∈W

%(a + ia0 )x = %(a + i0)x

=⇒

= %( (a + i0) + (0 + i) (a0 + i0) )x = %(a + i0)x + i%(a0 + i0)x = %|L (a)x + i%|L (a0 )x ∈ W oricare ar fi a + ia0 ∈ CL. Propozit¸ia 7.24 Complexificata C su(2) a algebrei su(2) este izomorf˘ a cu sl(2, C). Demonstrat¸ie. Algebra Lie real˘ a su(2) admite baza i 1 i { u1 = − (e11 − e22 ), u2 = − (e12 − e21 ), u3 = − (e12 + e21 ) } 2 2 2 cu [u1 , u2 ] = u3 ,

[u2 , u3 ] = u1 ,

[u3 , u1 ] = u2

iar algebra Lie complex˘ a sl(2, C) baza

1 a3 = (e11 − e22 ), a+ = e21 , a− = e12 2

cu [a3 , a± ] = ±a± ,

[a+ , a− ] = 2 a3 .

204


Aplicat¸ia C-liniar˘ a A : C su(2) −→ sl(2, C) definit˘a prin Au1 = −i a3 ,

Au2 =

1 (a+ − a− ), 2

i Au3 = − (a+ + a− ) 2

este un izomorfism de algebre Lie deoarece h

i

[Au1 , Au2 ] = −i a3 , 21 (a+ − a− ) = − 2i [a3 , a+ ] + 2i [a3 , a− ] = − 2i (a+ + a− ) = A u3 = A [u1 , u2 ] [Au2 , Au3 ] =

h

1 2

i

(a+ − a− ), − 2i (a+ + a− ) = − 4i ([a+ , a− ] − [a− , a+ ])

= − 2i [a+ , a− ] = −i a3 = Au1 = A [u2 , u3 ] h

i

[Au3 , Au1 ] = − 2i (a+ + a− ), −i a3 = − 12 [a+ , a3 ] − 12 [a− , a3 ] = − 21 a+ − 12 a− = Au2 = A [u3 , u1 ]. Observat¸ia 7.8 Din propozit¸ia 7.23 rezult˘a c˘a descrierea reprezentarilor ireductibile ale algebrelor Lie izomorfe o(3) ¸si su(2) este echivalent˘a cu descrierea reprezentarilor ireductibile ale algebrei Lie complexe Csu(2). Pe de alt˘ a parte, din propozit¸iile 7.15 ¸si 7.24 rezult˘a c˘a descrierea reprezent˘arilor ireductibile ale algebrei Csu(2) este echivalent˘a cu descrierea reprezent˘arilor ireductibile ale algebrei sl(2, C), reprezent˘ ari descrise ˆın teorema 7.19. Propozit¸ia 7.25 Plecˆ and de la orice algebr˘ a Lie complex˘ a L se poate obt¸ine o algebr˘ a Lie real˘ a L0 prin restrict¸ia scalarilor ¸si dimR L0 = 2 dimC L. Observat¸ia 7.9 Alegˆ and baze adecvate, se poate ar˘ata c˘a algebra Lie real˘a sl(2, C)0 obt¸inut˘ a din sl(2, C) prin restrict¸ia scalarilor este izomorf˘a cu algebra Lie o(1, 3) a grupului Lorentz.

Bibliografie [1] I. Armeanu, Analiz˘ a Funct¸ional˘ a, Editura Universit˘a¸tii din Bucure¸sti, 1998. ´ [2] D. Beklémichev, Cours de Géométrie Analytique et d’Algèbre Linéaire, Editions Mir, Moscou, 1988. [3] V. Brˆınz˘ anescu, O. St˘ an˘ a¸sil˘ a, Matematici Speciale. Teorie, Exemple, Aplicat¸ii, Editura ALL EDUCATIONAL S. A., 1998. [4] P. Hamburg, P. Mocanu ¸si N. Negoescu, Analiz˘a Matematic˘a (Funct¸ii complexe), Editura Didactic˘ a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1982. [5] L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analiz˘ a Funct¸ional˘ a, Editura S¸tiint¸ific˘a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1986. [6] W. Miller, Jr., Lie Theory and Special Functions, Academic Press, New York, 1968. [7] G. Mocic˘ a , Probleme de Funct¸ii Speciale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1988. ´ [8] M. Na¨ımark, A. Stern, Théorie des Représentations des Groupes, Editions Mir, Moscou, 1979. [9] C. N˘ ast˘ asescu, C. Nit¸˘ a, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol I, Editura Academiei, Bucure¸sti, 1986. [10] M.-E. Piticu, M. Vraciu, C. Timofte, G. Pop, Ecuat¸ii Diferent¸iale. Culegere de Probleme, Editura Universit˘ a¸tii Bucure¸sti, 1995. 205

206


[11] I. . Popescu, I. Armeanu, D. Blideanu, N. Cotfas ¸si I S¸andru, Probleme de Analiz˘ a Complexa, Editura Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1995. [12] R. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics, Springer-Verlag, 1978. [13] J.D. Talman, Special Functions. A Group Theoretical Approach, Benjamin, New York, 1968. [14] C. Teleman, M. Teleman, Elemente de teoria grupurilor cu aplicat¸ii ˆın topologie ¸si fizic˘ a, Editura S ¸ tiint¸ific˘ a, Bucure¸sti, 1973. [15] C. Udri¸ste, C. Radu, C. Dicu, O. M˘al˘ancioiu, Algebr˘ a, Geometrie ¸si Ecuat¸ii Diferent¸iale, Editura Didactic˘a ¸si Pedagogic˘a, Bucure¸sti, 1982. [16] N. Ja. Vilenkin, Fonctions Spéciales et Théorie de la Représentation des Groupes, Dunod, Paris, 1969. [17] V. S. Vladimirov, Ecuat¸iile Fizicii Matematice, Editura S¸tiint¸ific˘a ¸si Enciclopedic˘ a, Bucure¸sti, 1980. [18] V. Vladimirov, Distributions en Physique Mathématique , Editions MIR, Moscou, 1979. [19] V. S. Vladimirov ¸si alt¸ii, Culegere de Probleme de Ecuat¸iile Fizicii Matematice, Editura S ¸ tiint¸ifc˘ a ¸si Enciclopedic˘a , Bucure¸sti, 1981.

Complemente-de-Matematica

Recommend Documents