CA Matematicas III

MATEMÁTICAS III Cuadernillo de actividades de aprendizaje

Derechos Reservados © Número de registro en trámite 2010 Secretaría de Educación Pública/Dirección del Bachillerato ASIGNATURA Cuadernillo de ActividadesGeneral de Aprendizaje José María Rico 221 Col. del Valle 03100 Delegación Benito Juárez ©Secretaría de Educación Pública. México, junio de 2010. ISBN en trámite Subsecretaría de Educación Media Superior. Dirección General del Bachillerato DCA, DSA ISBN: En trámite Derechos Reservados

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III

PRESENTACIÓN Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación Básica y Media Superior, La Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos propósitos son consolidar la identidad de este nivel educativo en todas sus modalidades y subsistemas que permitan, además, una educación pertinente para el alumnado que posibiliten que establezcan una relación entre la escuela y su entorno, acorde con los contextos social, histórico, cultural y globalizado que actualmente vivimos. ¿Para qué sirven las matemáticas?, pues bien, aplicaciones hay muchas, solamente depende del interés, la curiosidad y de la inteligencia del que la utiliza. Tomemos por ejemplo el caso del fútbol en donde mientras todo el mundo observa si los jugadores logran hacer entrar una pelota en la portería del equipo contrario para lograr el tan ansiado ¡Gol! hay unos que ven además una parábola, o bien algo más complejo, si estudias el movimiento de los planetas alrededor del Sol puedes ver que se forman elipses, si se requiere calentar agua en un lugar en donde se le dificulta a la gente conseguir leña, para hacerlo, se puede formar una cavidad de frente al Sol, la cubres con un material reflejante y colocas el recipiente en ella, lo ves, se trata de no son sólo aprender números o fórmulas por aprenderlos todos ellos tienen una aplicación que utilizaras en un momento u otro de tu vida cotidiana. Estudiar Geometría Analítica, a lo largo de los diferentes bloques de esta guía, te permitirá entender las matemáticas de otros modos, podrás convertir lo que estás aprendiendo, en una situación real y conocer más sobre el lenguaje matemático al hacer ecuaciones, las cuales se requieren por ejemplo para calcular la trayectoria rectilínea de un avión, o la trayectoria de una bala, o hacer ecuaciones de la recta que forma el pasamanos de una escalera, etc. A lo largo de esta asignatura verás en el Bloque I lo referente a los lugares geométricos, a través de tablas, gráficas y diagramas, en el Bloque II identificarás las características y propiedades de los segmentos rectilíneos y polígonos, el Bloque III y IV complementa tu aprendizaje de los lugares geométricas integrando los elementos de la recta, conociendo y aprendiendo a utilizar la ecuación de la recta.

En el Bloque V y VI verás el tópico referente a la circunferencia aprendiendo sus propiedades, el uso y aplicación de diferentes ecuaciones, mientras que el Bloque VII y VIII identificarás las características y aplicarás ecuaciones referentes a la parábola, por último en los Bloques IX y X tratarás lo relacionado a características y ecuaciones de la elipse. ¿Pero lo anterior, para que podría servirte? Bueno la idea es que pongas a trabajar tu mente, que puedas descubrir y ver lo que oculta la naturaleza y que sólo las mentes privilegiadas -como la tuya- pueden verlo, si lo miramos de otra manera. La idea general es que tú aprendas a utilizar las cosas, de acuerdo con René Descartes padre de la Geometría Analítica, todo lo que nos rodea está compuesto de puntos, rectas y curvas, por lo tanto la naturaleza y sus procesos pueden ser interpretados matemáticamente por medio de ecuaciones y gráficos que las contengan… ¿Qué tal? Para facilitar su manejo, todos los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje están estructurados a partir de cuatro secciones en cada bloque de aprendizaje: ¿Qué voy a aprender? Se describe el nombre y número de bloque, las unidades de competencia a desarrollar, así como una breve explicación acerca de lo que aprenderás en cada bloque. Desarrollando competencias. En esta sección se presentan las actividades de aprendizaje para desarrollar las competencias señaladas en el programa de estudios, para lo cual es necesario tu compromiso y esfuerzo constantes por aprender, ya que se implementan actividades que tendrás que ir realizando a lo largo del curso: en forma individual, en binas o parejas, en equipos o en forma grupal. Dichas actividades van enfocadas a despertar en ti el interés por investigar en diferentes fuentes, para que desarrolles habilidades y destrezas que propicien tu aprendizaje. ¿Qué he aprendido? En esta sección te presentamos actividades de consolidación o integración del bloque que te permitirán verificar cuál es el nivel de desarrollo de las competencias que posees en cada bloque de aprendizaje.

A lo largo del Cuadernillo podrás encontrar señaladas, a través de viñetas, estrategias de organización del trabajo o de evaluación como los siguientes:

Trabajo en pareja

Coevaluación

Trabajo en equipo

Autoevaluación

Trabajo en grupo

Potafolios de evidencia

Ideas 0 sugerencias

Quiero aprender más. En esta sección la consulta de diversas fuentes de información actualizadas, que son importantes para complementar y consolidar lo aprendido. Es por ello que encontrarás varias sugerencias de estos materiales, los cuales serán el medio a través del cual podrás investigar y descubrir otros asuntos y tópicos por aprender.

Como podrás darte cuenta, acabamos de presentarte un panorama general de la asignatura y las características de los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje. Ahora sólo falta que tú inicies el estudio formal de Matemáticas III, para lo cual te deseamos:

¡ MUCHO ÉXITO !


ÍNDICE Bloque I 6 Reconoce lugares geométricos.

Bloque II 17 Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

Bloque III 25 Integra los elementos de una recta como lugar geométrico.

Bloque IV 35 Utiliza distintas formas de la ecuación de una recta.

Bloque V 47 Emplea la ecuación de la circunferencia con centro en el origen.

Bloque VI 54 Utiliza distintas ecuaciones de la circunferencia.

Bloque VII 62 Emplea la ecuación de la parábola con vértice en el origen.

Bloque VIII 71 Utiliza distintas ecuaciones de la parábola.

Bloque IX 82 Emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen

Bloque X 93 Utiliza distintas ecuaciones de la elipse.

¿Qué voy a aprender?

BLOQUE I RECONOCE LUGARES GEOMÉTRICOS UNIDADES DE COMPETENCIA Analiza las relaciones entre las variables que conforman las parejas ordenadas que determinan un lugar geométrico. Interpreta la información contenida en tablas, gráficas, mapas, diagramas etc.; a partir de noción de parejas ordenadas. Argumenta la relación inferida entre los elementos de conjuntos de parejas ordenadas para establecer que define un lugar geométrico.

La Geometría Analítica es una rama de las matemáticas que tuvo sus inicios en los trabajos del filósofo y matemático francés René Descartes. Esencialmente, el objetivo de esta disciplina es conectar la geometría con el álgebra, por lo que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas y a la inversa, dada una expresión algebraica puede obtenerse su representación gráfica. A lo largo de este bloque de aprendizaje plantearás problemas teóricos o prácticos relacionados con las coordenadas cartesianas de un punto, mediante la ubicación de objetos en un sistema de ejes coordenados, así como la investigación de lugares geométricos y del comportamiento de las gráficas, ejercitando tus habilidades comunicativas en la traducción del lenguaje gráfico al lenguaje coloquial.

Desarrollando competencias EJES COORDENADOS La Geometría de la Edad Moderna nace por las aportaciones de René Descartes que propone un nuevo método de resolver problemas geométricos. Para tal método resulta esencial una construcción en el plano que se conoce como “Ejes coordenados” y que sirven para ubicar la posición de cualquier punto o lugar geométrico. Busca información sobre ejes coordenados, abscisa, ordenada, punto de referencia y elabora un resumen en tu cuaderno anotando por lo menos dos ejemplos. En parejas y con ayuda de materiales como papel bond, cartulinas y marcadores traza en un plano cartesiano la localización de los siguientes puntos. a) A (-3,2) b) B (-3,0) c) C (-3,-1) d) D (-3,-2) e) E (-2,1) f) F (-4,5) g) G (1,2) h) H (0,3) i) I (-2,0) j) J (5,0) Al terminar compara la gráfica que obtuviste con la de tus compañeros. Comenta el uso de los diversos cuadrantes y su relación con los signos de las coordenadas.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III También es posible identificar las coordenadas de puntos ya representados. Elijan a un representante del grupo para que frente al grupo ubique las coordenadas de los puntos que se muestran y asignen a cada punto una letra mayúscula para su identificación.

Observa la siguiente representación gráfica:

Forma equipos de 3 personas e indica las coordenadas de los puntos marcados. Cambia el orden de los números en cada par ordenado y represéntalos de nuevo gráficamente, después comenta con tus compañeros las siguientes preguntas.  ¿Obtuviste la misma representación gráfica de las coordenadas?  ¿Por qué cambia la nueva posición de las coordenadas?

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Bloque uno Al finalizar comenten en grupo el tópico con respecto a la igualdad de pares ordenados y su representación gráfica. Pero los ejes coordenados no sólo se usan en planos hipotéticos, también los puedes encontrar en tu entorno, por eso te invitamos a que realices la siguiente actividad. Reúnete en equipos de cinco compañeros y supongan que se encuentran en la capital de Estado, nos encontramos en la esquina del parque x, y queremos hacer una visita al Palacio de Gobierno, al Mercado y a la Papelería. •

Al Palacio de Gobierno: dos manzanas a la derecha, giramos a la izquierda, pasamos ocho manzanas y enfrente se encuentra nuestro objetivo, anotamos (2 derecha , 8 cuesta arriba)

•

Mercado: dos a la izquierda, giramos a la izquierda y recorremos una manzana, anotamos (2 izquierda, 1 abajo)

•

Papelería: anotamos (2 izquierda, 7 abajo) y sólo tendremos que cruzar la acera.

Podemos simplificar nuestra notación asignando signo + para ir a la derecha (Este), y signo - para ir a la izquierda (Oeste), también asignamos el + para ir arriba (Norte) y el - para ir cuesta abajo (Sur), (esta asignación es sólo para tomar notas rápidas). Veamos cómo nos queda: 1. Palacio de Gobierno (+2,+8) 2. Mercado (-2, -1) 3. Papelería (-2,-7) A las rectas las llamaremos ejes de coordenadas. •

¿Qué coordenadas tendremos nosotros?

Es importante que aprendas a ubicar de manera correcta las coordenadas de diferentes sistemas coordenados, realiza la siguiente actividad para que practiques nuevamente la ubicación de puntos.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Observa la siguiente sopa de letras la cual puedes visualizar como un sistema de ejes coordenados y determina cuáles serían las coordenadas donde se encuentran los espacios en blanco de manera individual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1.-

(

,

)

9.-

(

,

)

2.-

(

,

)

10.-

(

,

)

3.-

(

,

)

11.-

(

,

)

4.-

(

,

)

12.-

(

,

)

5.-

(

,

)

13.-

(

,

)

6.-

(

,

)

14.-

(

,

)

7.-

(

,

)

15.-

(

,

)

8.-

(

,

)

16.-

(

,

)

Los sistemas de coordenadas no sólo los puedes usar para ubicar lugares o puntos, sino también para analizar información que está contenida en gráficas.

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Bloque uno Para la siguiente actividad reúnete en parejas para analizar la siguiente gráfica y elabora un breve reporte en el cual contestes las preguntas que aparecen al final, tomando en cuenta su comportamiento con respecto a los ejes coordenados.

GASTO MENSUAL DE LA SECRETARIA DE TURISMO 2.300.000 2.250.000 2.2O0.000 2.150.000 2.100.000 2.050.000 2.000.000 1.950.000 1.900.000 FEB

MAR 2004

ABR

MAY

JUN

2005

JUL

2006

AGO 2007

SEP

OCT

NOV

DIC

2008

1.- ¿Cuál fue el gasto que se tuvo en el mes de julio del año 2006?

2.- ¿En qué mes y año se alcanzo el máximo gasto?

3.- ¿En qué mes y año se tuvo el gasto más bajo?

Una vez que hayas finalizado comenta con tus compañeros el “Por qué” esta gráfica se comporta como un sistema de ejes coordenados, así como cuál sería su interpretación.

LUGAR GEOMÉTRICO Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Elijan a un representante del grupo para que escriba los registros tabulares y grafique el lugar geométrico de la expresión

y = x 2 − 4 , además de identificar cómo se llama el lugar geométrico. Recordemos  Los registros tabulares son aquellos obtenidos mediante la sustitución de los valores de la variable independiente x en la función a utilizar.  La representación algebraica se refiere al uso del lenguaje matemático con números y letras que hacen referencia al comportamiento de una condición en particular  La representación verbal nos explica con lenguaje común como se comporta cierta función o condición.

Durante la actividad comenten conceptos importantes como la representación tabular, verbal y algebraica de los lugares geométricos.

x x -3 -2 -1 0 1 2 3

y

y

-3

-2 -1

0 1

2 3

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Bloque uno Los sistemas de coordenadas no sólo los puedes usar para ubicar lugares o puntos, sino también para analizar información que está contenida en gráficas. Ahora analizarás el siguiente caso, describe la representación verbal y algebraica del lugar geométrico que se encuentra dibujado en la siguiente gráfica:

¿Cómo se llama este lugar geométrico? ¿Cuál es la expresión matemática que la representa?

BIBLIOGRAFIA:

Fuentes de información

• Mata Holguín, Patricia. Matemáticas III, Bachillerato. 2a ed., México, ST Editorial, 2007. • Guerra, Manuel y Silvia Figueroa. Geometría Analítica (Edición revisada). México, McGraw Hill, 2004. • Caballero, Arquímedes. Geometría Analítica, México, Editorial Esfinge, 2004. SITIOS EN INTERNET •

DESCARTES.CNICE.MECD.ES (Web en línea) http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/intro_geom_analitica_jasg/index.htm [Consulta: 05/06/2010]

•

GEOCITIES.COM (Web en línea) http://www.geocities.com/geometriaanalitica/ [Consulta: 05/06/2010]

•

ELOSIODELOSANTOS.COM (Web en línea) http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html [Consulta: 05/06/2010]

•

PERSONAL.REDESTB.ES (Web en línea) http://personal.redestb.es/javfuetub/geometria/geoanali.htm [Consulta: 05/06/2010]

•

OMERIQUE.NET (Web en línea) http://www.omerique.net/calcumat/analitica1.htm [Consulta: 05/06/2010]

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¿Qué he aprendido?

Has finalizado el Bloque I ahora es tiempo de evaluar lo que has aprendido, con respecto a los tópicos de Lugar Geométrico, ubicación de puntos y representación de gráficas, por eso realiza los siguientes ejercicios, en todas y cada una de las actividades después de realizarlas deberás integrarlas a tu portafolios de evidencias. Los siguientes tres ejercicios debes realizarlos de manera individual, una vez que hayas terminado intercambia tus respuestas con alguno de tus compañero para que cada uno revise ejercicios distintos a los que elaboró. 1.-Indica las coordenadas de los puntos marcados en negro en el siguiente dibujo.

2.- Observa los puntos representados en las siguientes gráficas, escribe las coordenadas y menciona que tienen de particular.

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Bloque uno 3.-Observa el siguiente mapa.

Fuente:redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/proyectos/reinos_oto2006/actt1_parte2.htm

¿Podrías tomar los ángulos mostrados como parte de un sistema de ejes coordenados? ¿Qué punto tomarías como referencia central? Da las coordenadas de los puntos blancos ubicados en a) América del Norte b) América del Sur c) África d) Europa e) Asia 4.-Forma equipos de cinco personas y bosqueja la gráfica de las siguientes ecuaciones, puedes ayudarte de Papel Bond, cartulinas, marcadores, colores, etc. Al finalizar, de manera aleatoria, selecciona a algunos de tus sus compañeros para que vayan anotando las respuestas en el pizarrón, recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando. a) y = 3x -1 b) 4x + 5y =10 (Sugerencia: Es más fácil construir una tabla de pares ordenados si despejas “y” en la ecuación antes de llenar la tabla.) c) y = x d) y = 2 x − 3 x + 1 2

e) y = − x + 2 x − 1 2

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Quiero aprender más

Una forma divertida de practicar el manejo de ejes coordenados es la batalla naval el cual es un juego de estrategia en el que participan dos jugadores. Se juega con lápiz y papel, y no interviene el azar. Preparación: Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado dos tableros cuadrados de 10 × 10 casillas. Las filas horizontales se numeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del 1 al 10. Basta con indicar las coordenadas de un disparo con un par letra/número (por ejemplo, A6 o J9).

En el cuadrado de la izquierda se coloca la flota propia (se muestra un ejemplo). En el cuadrado de la derecha se irán marcando los disparos que el jugador efectúa en el mar del contrincante: barcos tocados, hundidos y disparos al agua. La flota: Cada jugador dispone en su tablero izquierdo una flota completa, sin que el contrincante vea su posición. Los barcos no pueden tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota está formada por: 1. Portaaviones (de cuatro cuadraditos) 2. Acorazados (de tres cuadraditos) 3. Buques (de dos cuadraditos) 4. Submarinos (de un cuadradito)

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Bloque uno Mecánica del juego: El turno pasa alternativamente de un jugador a otro. En su turno, el jugador hace un disparo a una posición del mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente (letra y cifra). Si no hay barcos en ese cuadradito, el otro jugador dice: « ¡agua!»; si el disparo ha dado en algún barco dice: « ¡tocado!»; si con dicho disparo el rival logra completar todas las posiciones del barco, debe decir « ¡hundido!» En el ejemplo, un primer disparo sobre H9 sería «agua»; sobre G5, «tocado», y sobre D7, «hundido». Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival. Practícalo con alguno de tus compañeros. Además te ofrecemos una serie de textos los cuales complementaran tus conocimientos de este capítulo.

• Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997. • Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973. • Fuller Gordon, et al. Geometría Analítica. Addison Wesley. México 1999. • Santalo Marcelo, et al. Geometría Analítica. Textos Universitarios, S.A. México, 1976. • Smith, Stanley, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.

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BLOQUE II APLICA LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos y polígonos, al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Cuantifica y representa magnitudes en segmentos y polígonos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de segmentos y polígonos.

Estás por empezar el Bloque II en el cual resolverás problemas aplicando los conceptos, técnicas y procedimientos relativos a propiedades geométricas y analíticas de segmentos; rectas y polígonos, así como la división de un segmento dada una razón, distancia entre dos puntos y el cálculo de perímetros y áreas de figuras planas, ejercitando tus habilidades comunicativas a nivel oral y escrito.

Desarrollando competencias

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La longitud de un objeto se determina generalmente comparándolo con una unidad de medida, como puede ser: el metro, el centímetro, el milímetro, etc. Para efectuar la comparación se han fabricado instrumentos que contienen impresa una escala y mediante su uso se determina la longitud de un segmento, la arista de un polígono, etc. En el ámbito de la Geometría Analítica a veces no se tiene un instrumento con una escala tan precisa para medir la longitud de un segmento, por lo que se han creado técnicas específicas que toman como base las coordenadas de los puntos extremos del segmento.

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Bloque dos La fórmula para obtener la distancia entre dos puntos es:

d=

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2

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Te sugerimos que realices la siguiente actividad con otro compañero donde deben analizar la manera adecuada de utilizar la fórmula correspondiente a la distancia entre dos puntos.

Una empresa debe pavimentar un camino recto que une a dos calles (A= Tomas Moro y B =Apoquindo).

Observa que se puede representar en un plano cartesiano en el que se muestra la posición de estas calles y la distancia entre ellas.

Entonces ¿Podemos calcular esta distancia?, ¿Qué relación hay entre el Teorema de Pitágoras y la fórmula anteriormente dada? Coméntalo con tus compañeros.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Ahora aplicarás la formula de distancia entre dos Puntos, de forma individual representa gráficamente en el plano los siguientes pares de puntos y luego cálcula la distancia entre ellos: a) A (4; -1) y B (3; - 2) b) C (-4; 0) y D (-1; -3) c) E (-2; 2) y F (0; 0)

¿Obtuviste el mismo resultado de tus compañeros?, ¿La representación gráfica también coincide? Prepara una exposición de este tópico para presentarla ante el resto del grupo, recuerda que tanto el informe que presentes como la exposición misma deberán contener el procedimiento y el razonamiento que usaste. Si tienes alguna duda con respecto a algún concepto o en la aplicación correcta de la fórmula puedes apoyarte en la bibliografía que te presentaremos al final del Bloque II. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. El resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas. La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra. Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

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Bloque dos Realiza una breve investigación de las fórmulas que dividen un segmento y la forma en cómo son obtenidas analíticamente, elabora un informe y ve si coinciden con las que te presentamos.

x=

x1 + rx2 y + ry2 ,y= 1 1+ r 1+ r

Existe un caso particular en donde si el punto de división P(X, Y) está a la mitad del segmento AB como se indica en la figura tendremos lo que llamaremos Punto Medio.

El punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento. La fórmula para determinar el punto medio de un segmento en el plano, con coordenadas (x, y) es:

x +x y +y  Pm =  1 2 , 1 2  2   2 Realiza la siguiente actividad en equipos de 4 alumnos, para que puedas comprender mejor la aplicación de las formulas anteriores. Consigue una cuerda de 1 metro, 3 ó 4 hojas de Papel Bond, regla y marcadores ó colores. Divide la cuerda en 4 partes iguales y marca las divisiones con un marcador. Marca también la mitad de la cuerda con un marcador de color diferente. ¿Cuánto mide cada parte? ¿Cuánto mide la mitad de la cuerda? Ahora aplica las fórmulas, con las coordenadas (-2, -3), (4, 5) calcula las coordenadas para dividir este segmento en 4 partes iguales y la distancia de cada uno de los segmentos. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos que dividen en cuatro partes iguales? ¿Cuánto mide cada segmento? ¿Cuáles serían las coordenadas del punto medio? Bien ahora comprobemos lo hecho experimentalmente y lo obtenido matemáticamente. Con las hojas de papel bond dibuja un sistema de ejes coordenados, donde abscisas y ordenadas vayan de -7 a 7 como puntos extremos, y cada unidad equivalga a 10 cm. Coloca la cuerda sobre tu sistema de ejes coordenados y has que coincidan sus extremos con los puntos (-2, -3) y (4, 5). ¿Coinciden las coordenadas y las marcas de la cuerda? ¿La distancia de los segmentos son las mismas?

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Una vez elaborado el ejercicio, elijan a uno de los equipos para que expongan su proceso ante el resto del grupo, al finalizar la presentación los alumnos que hablaron sobre su proceso podrán hacer preguntas al resto del grupo con la finalidad de conocer que tan comprensible quedo el tópico que expusieron. La aplicación de las fórmulas debe servirte para comprobar mediciones hechas experimentalmente. Comprueba una vez más esto realizando la siguiente actividad. En compañía de otro alumno, elabora un modelo, maqueta o estructura de la siguiente figura.

Utiliza materiales como cuerdas, palillos u otros materiales para representarla, de manera que la distancia de dos de los lados sea de 73 cm y los otros dos lados sean de 80cm, ten en cuenta que los lados iguales deben ser opuestos. Dado el cuadrilátero con puntos A ( −3, 4 ) , B ( 5,3) , C ( 3, −4 ) , D ( −5, −3) demuestra que la recta que une los puntos , medios de AD y BC pasa por el punto medio del segmento que une los puntos medio AB y CD como se muestra en la figura. Comprueba los resultados que obtuviste matemáticamente, comparándolas con las medidas de la maqueta que hiciste anteriormente. Una vez que terminen, en plenaria comenten sus opiniones acerca del trabajo que realizaron sus compañeros, recuerden que no es una crítica, es un ejercicio de retroalimentación a fin de mejorar el desempeño académico de cada uno.

ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS REPRESENTADOS EN EL PLANO La Geometría Analítica nos da herramientas para poder calcular el perímetro o el área de cualquier polígono si conocemos las coordenadas de los vértices. Por lo que respecta a las áreas, existen varios métodos como la formula de Herón o por determinantes. Realiza una búsqueda de información sobre las formas y fórmulas para obtener el perímetro y área de polígonos representados mediante coordenadas en el plano cartesiano e inclúyela en tu portafolio de evidencias, posteriormente comenta con el grupo cuáles son y cómo sería su aplicación.

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Bloque dos Ahora en parejas realiza los siguientes ejercicios y al terminar compara tus respuestas con el resto del grupo. Determina el perímetro y el área del triángulo cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas A (1, 2), B (3, 6) y C (7, 1).

Determina el área y perímetro del polígono cuyos vértices tienen las coordenadas: A (-2, 1), B (-2, 4), C (1, 1) y D (-2, -2)

BIBLIOGRAFÍA

• Mata Olguin, Patricia. Matemáticas 3, Bachillerato. México ST editorial, 2005, pp.68-127. • Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analitica.15a Ed., México, Esfinge, 2003. pp. 80-116. • Silva, Lazo. Fundamentos de Matematicas.6a Ed., México, Limusa 2005, pp. 667-697. SITIOS EN INTERNET •

COMENIUS.USACH.CL (Web en línea) http://www.comenius.usach.cl/pcmat/Productos/Tabla-Objetivo-Recursos/segundo/tabla25.htm [Consulta: 05/06/2010]

•

DESCARTES.CNICE.MECD.ES (Web en línea) http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_0.htm [Consulta: 05/06/2010]

•

ESCOLAR.COM (Web en línea) http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm [Consulta: 05/06/2010]

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III •

GALEON.COM (Web en línea) http://galeon.com/profedemateyfisica/GEOMETRIA/LARECTA.doc. [Consulta: 05/06/2010]

•

ACADEMICA.UES.EDU.SV (Web en línea) http://www.academica.ues.edu.sv/.../Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/2.%20Linea%20Recta.pdf [Consulta: 05/06/2010]

•

VALLE.FCIENCIAS.UNAM.MX (Web en línea) http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach1/Lugares/index.html [Consulta: 05/06/2010]


Realiza la siguiente autoevaluación. Realiza los siguientes ejercicios a) Demuestra que los puntos A ( 3,8 ) , B ( −11,3) , C ( −8, −2 ) son los vértices de un triángulo isósceles (recuerda que un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales y otro diferente). b) Demuestra que los puntos A ( 7,5 ) , B ( 2,3) , C ( 6, −7 ) son los vértices de un triángulo rectángulo. c) Demuestra que los tres puntos siguientes son co lineales A ( −3, −2 ) , B ( 5, 2 ) , C ( 9, 4 ) . c) Un albañil se dispone a trazar y construir una escalera, la cual debe tener seis escalones en un espacio definido como el que se muestra en la figura, cómo ayudarías al albañil a determinar las dimensiones de la plantilla y altura de la misma.

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Bloque dos d) En una carta de navegación el origen se sitúa en un puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las unidades de la carta corresponden a kilómetros? e) Con lo que sabes hasta ahora, puedes ayudar al herrero Abundio a fabricar una escalera. Abundio quiere que la escalera mida tres metros de largo, y desea colocarle nueve peldaños. ¿Cómo determinarías a qué distancia debe poner cada peldaño si el tramo de material está en posición horizontal como se muestra en la figura?

Una vez que concluiste esta actividad, utiliza la siguiente lista para llevar a cabo tu autoevaluación. AREAS DE MEJORA

BUENO

REGULAR

MEJORABLE

Uso de material didactico (gráficas, maquetas, modelos). Ubicación espacial de coordenadas y datos. Conocimiento de las expresiones matematicas y su aplicación. Colaboración de todo el equipo.

COMO PUEDO MEJORAR


Ofrecemos una serie de textos los cuales complementaran tus conocimientos de este capítulo. •

Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997.

•

Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973.

•

Fuller Gordon, et al. Geometría Analítica. Addison Wesley. México 1999.

•

Santalo Marcelo, et al. Geometría Analítica. Textos Universitarios, S.A. México, 1976.

•

Smith, Stanley, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.

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BLOQUE III INTEGRA LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos sobre la línea recta como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la recta.

Bienvenido al Bloque III en el cual comprenderás los elementos de una recta empezando por la relación que existe entre su ángulo de inclinación y la pendiente de la misma lo que posteriormente te dará las condiciones para reconocer cuando se tienen rectas paralelas o perpendiculares. Identificarás y construirás modelos de fenómenos que involucran razones de cambio constantes que se presentan en tu entorno. Comprenderás la existencia de una recta específica, identificando su forma y los elementos requeridos para obtener su ecuación. Asimismo analizarás la influencia de los parámetros pendiente y ordenada en la ecuación de una recta y su representación gráfica. Sin duda alguna, la geometría analítica te proporcionará los elementos necesarios para crear posteriormente modelos matemáticos que te permitan plantear soluciones a ciertas situaciones problemáticas de la vida cotidiana; basándonos en datos numéricos que sean susceptibles de conocer y usar para plantear dicha situación.

Desarrollando competencias Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una función de dos variables, siempre y cuando dicha función sea capaz de expresar la condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos que constituyen dicha línea. PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN. El ángulo de inclinación y la pendiente son conceptos que se asocian indisolublemente a las rectas y que aún cuando guardan una intima relación son diferentes, por lo que deben distinguirse con claridad, por esa razón iniciaremos este apartado precisando los aspectos esenciales de ambos conceptos para comprenderlos bien.

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Bloque tres El ángulo de inclinación de una recta es aquel que se forma entre ella y el eje de las abscisas (eje de las x), tomado en su sentido positivo, es decir, en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

En ocasiones, resulta conveniente tomar el ángulo en sentido negativo, es decir, siguiendo el giro de las manecillas del reloj, principalmente cuando el ángulo de inclinación de la recta esta cercano a los 360° o a un múltiplo de él. Cuando se hace esto, el ángulo de inclinación tiene signo negativo y se calcula restándolo a 90°. Veamos la figura A.

Se define como pendiente de una recta, al grado de inclinación que dicha recta posee con respecto a un sistema de referencia, o coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de una recta es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas, y se denota convencionalmente con la literal m. Conociendo las coordenadas de los extremos de un segmento, se puede calcular la pendiente y ángulo de inclinación del mismo. Ya aprendimos a localizar un segmento en el plano cartesiano utilizando las coordenadas de sus extremos, aprendimos también a calcular la medida de este segmento; es decir la distancia entre los dos puntos extremos. Otra característica importante de este segmento es su inclinación con respecto al eje x que puede ser medida de diferentes formas. La pendiente de un segmento AB es una medida de la inclinación de este segmento con respecto al eje x. La pendiente de un segmento es el cociente de dos incrementos o cambios: el de las ordenadas de los dos extremos, entre el de las abscisas de éstos. Si las coordenadas de los puntos extremos son A ( x1 , y1 ) y B ( x2 , y2 ) , lo que hemos dicho se puede expresar como sigue:

pendiente = mAB =

incremento en y y2 − y1 = incrmento en x x2 − x1

Supongamos los extremos de un segmento son: A (1,0) B (4,3), por lo que su pendiente se calcula como:

m=

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3−0 3 = =1 4 −1 3

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Ubica los puntos y traza la gráfica correspondiente:

Ahora bien, este segmento de recta tiene un ángulo de inclinación medido desde el eje x positivo, en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj hasta el segmento dado. En el ejemplo anterior si trasladamos una recta horizontal, es decir paralela al eje x hasta el punto extremo A, formamos un triángulo rectángulo y el ángulo α de inclinación puede expresarse como:

tan α =

y −y cateto opuesto = 2 1 cateto adyacente x2 − x1

Y, este cociente, como se estableció anteriormente es el valor de la pendiente del segmento AB . Por lo que: Para determinar el ángulo α de inclinación:

tan α = m

α = tan −1 m En plenaria comenten la información anterior y discutan las siguientes preguntas: ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de los segmentos horizontales?, ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de los segmentos verticales? Forma parejas y determina la pendiente y el ángulo de inclinación de los segmentos: 1. A (1,3), B (5,9) 2. A (1,1), B (-4,-4) 3. A (2,6), B (-6,7) Usa papel Bond o cartulinas para hacer su representación gráfica y que puedas presentarlas ante el grupo y expliques tu procedimiento para obtener los resultados.

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Bloque tres RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES La pendiente de una recta es un gran auxiliar para saber si dos rectas son paralelas o perpendiculares o si hay un punto en el que se cruzan. Las rectas paralelas son aquellas que no se intersecan en ningún punto y que se mantienen siempre a la misma distancia una de otra. En el caso de las rectas paralelas, la pendiente tiene exactamente el mismo valor para cada una de ellas. Para l1 � l2 se tiene m1 = m2

En tu entorno también puedes encontrarlas

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Las rectas perpendiculares, por su parte, son aquellas que al cortarse forman un ángulo de exactamente 90°. Los ejes cartesianos son ejemplo de rectas perpendiculares porque siempre generan al cruzarse ángulos de 90°. Para las rectas perpendiculares las pendientes son recíprocas y de signo contrario, por lo que su producto siempre da como resultado -1, es decir: Para l1 ⊥ l2 se tiene m1m2 = −1

Veamos ahora como lo puedes aplicar: Los puntos A y B pertenecen a la recta 1 y los puntos P y Q a la recta 2. Con esta información determina si las rectas son paralelas o perpendiculares. A (2, 4), B (3, 8), P (2, 0), Q (6, 8) Primero obtén las pendientes de cada recta

m1 =

-

=

m2 =

-

=

Una vez obtenidas las pendientes ya puedes decir ¿son paralelas o perpendiculares?

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Bloque tres Comprueba tu resultado trazando las rectas.

Al finalizar, de manera aleatoria, selecciona a uno de tus compañeros para que vayan anotando las respuestas en el pizarrón, recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando. ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN En esta forma de la ecuación de la recta sólo es necesario conocer la pendiente y la intersección con el eje de ordenadas (y), la forma punto-ordenada al origen, también llamada ecuación de la recta en forma reducida, está dada por: y = mx + b donde como ya sabes m es la pendiente y b la ordenada al origen o la intersección con el eje de ordenadas (y).

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Ahora obtengamos la gráfica de la recta basada en su pendiente y su ordenada. Ya sabemos que la ordenada al origen b nos da el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas, lo que equivale a conocer un punto por donde pasa la recta por trazar. La pendiente m puede interpretarse, sin necesidad de recurrir a las tablas matemáticas, recordando que la tangente trigonométrica de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. De acuerdo al significado de la constante m. Trazar la línea recta cuya ecuación es: y = 2 x − 5

La ecuación común de la línea recta y la ecuación dada son:

y = mx + b ↑ ↑ y = 2x − 5 Igualando coeficientes, se tiene m=2 y b=-5, pero se sabe que:

m=2=

4 y = 2 x

Por lo tanto x=2, y=4 lo que nos indica que del punto de intersección recorreremos 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba para obtener otro punto de la recta, como se observa en la gráfica.

Tomando en cuenta lo anterior realiza la gráfica de la ecuación y =

4 x + 3 en hojas de papel Bond, 5

determina quién es la pendiente y la ordenada, elijan un representante de grupo para que muestre su gráfica ante todos y comenten cómo se comporta con respecto de los parámetros m y b.

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Bloque tres RAZÓN DE CAMBIO Reúnete en equipos de cinco personas y desarrollen la siguiente actividad Un estanque tiene un grifo que vierte 5 litros por minuto. Haz una tabla que relacione el tiempo transcurrido (en minutos) y el volumen (en litros) de estanque que se llena. Escribe la fórmula que relaciona el volumen y el tiempo. Representa gráficamente los resultados. Repite el apartado anterior suponiendo que el estanque tiene un volumen inicial de 20 litros. ¿Y si partiésemos de un volumen inicial de 10 litros, cuáles serían los resultados? Compara las gráficas obtenidas e indica que tienen en común y en qué se diferencian. ¿Qué fórmula correspondería a esta situación gráfica?

BIBLIOGRAFIA • • • •

Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3 bachillerato, ST Editorial, México, 2005. Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. México, Publicaciones Cultural, 2004, 371 pp. Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp. Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México, 1998, 320 pp.


El Bloque III a finalizado y es tiempo de realizar las siguientes actividades y valorar lo que has aprendido. 1.- La gráfica mostrada pertenece a las ventas (en miles de pesos) de cierto producto (en centenas) en los siete meses que se indican desde el día de su lanzamiento. A partir del concepto de pendiente di cuántas veces las ventas han sido positivas, cuántas negativas o no han sufrido cambios.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III 2.- Los puntos A y B pertenecen a la recta 1 y los puntos P y Q a la recta 2. Con esta información determina si las rectas son paralelas o perpendiculares usando la definición de pendiente y comprobándolo gráficamente. A (-4, 6), B (4, 2), P (-1, 0), Q (3, 8)

3.- En parejas realiza la gráfica de las siguientes ecuaciones en papel milimétrico e indica quien es la pendiente y la ordenada al origen. a) y = 2 x − 1 b) y =

1 x+3 3

c) y =

5 x−4 3

4.- En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establece una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y represéntala gráficamente. 5.- Por el alquiler de un coche cobran $100 diarios más $ 0.30 por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar? 6.- En una fábrica el costo total de la producción de cierto producto es de 700, 000 pesos en un trimestre si se han producido 35,000 unidades, y de 1, 400,000 pesos en otro trimestre cuando la producción es de 70,000 unidades. Suponiendo que la relación tiene un comportamiento lineal, ¿Cuál es la ecuación de dicha relación? 7.- Un joven, desea calcular la altura de un cerro que se encuentra pegado a un pueblo llamado Héroes de Chapultepec. Un punto en el suelo se encuentra a 98 m de la base del cerro que se sitúa en el origen del sistema coordenado (ver la figura), el punto de la cúspide de la torre es B (0,1141); determina: a) la altura de la torre,

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Bloque tres b) el ángulo de elevación del punto A hacia la cúspide de la estructura y, c) Valor del ángulo B

Realiza el siguiente ejercicio de autoevaluación. AREAS DE MEJORA

BUENO

REGULAR

MEJORABLE

Conocimiento de los elementos de una recta y sus fórmulas. Representación gráfica de los elementos de una gráfica. Elaboración de modelos matemáticos a partir de problemas de aplicación. Aplicación y uso de las expresiones matemáticas de la recta.

COMO PUEDO MEJORAR


Fuentes de información Te ofrecemos una serie de textos los cuales complementaran tus conocimientos de este capítulo. •

Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997.

•

Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973.

•

Fuller Gordon, et al. Geometría Analítica. Addison Wesley. México 1999.

•

Santalo Marcelo, et al. Geometría Analítica. Textos Universitarios, S.A. México, 1976.

•

Smith, Stanley, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Addison-Wesley Longman, México, 1998.

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BLOQUE IV UTILIZA DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la recta al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con diferentes formas de la ecuación de la recta. Argumenta la pertenencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la recta, dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio.

En este Bloque asociaras las intersecciones de una recta con los ejes cartesianos y la ecuación de la recta en su forma simétrica. Relacionaras las formas de la ecuación pendiente-ordenada al origen, simétrica y general entre sí y transitaras de una forma a otra para determinar la forma más adecuada de representación de la recta dependiendo de la situación. Finalizando con el cálculo de distancias entre puntos y rectas.


Son muchos los tópicos que abarca la geometría analítica, pero en esta unidad nos enfocaremos al tópico de “la línea recta”, la cual es un instrumento útil que te servirá para estudiar diversas situaciones o fenómenos que tienen un comportamiento lineal, es decir, que su gráfica en el plano cartesiano de acuerdo con sus datos describen una línea recta y su ecuación o modelo matemático es un polinomio de grado CERO o UNO. Los tópicos vistos en los Bloques anteriores de este cuadernillo como ejes coordenados, lugares geométricos, segmentos rectilíneos y polígonos basados en coordenadas cartesianas, te servirán como herramientas básicas que facilitarán el aprendizaje de los tópicos de este bloque.

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Bloque cuatro ECUACIONES DE LA RECTA La recta puede representarse de varias formas dependiendo de los elementos que te hayan proporcionado, investiga cuáles son las formas de la recta y completa el siguiente cuadro.

FORMA

CARACTERÍSTICAS

ECUACIÓN

Pendiente-Ordenada

Punto-Punto

Punto-Pendiente

Simétrica

General

En parejas realicen los siguientes ejercicios los cuales te ayudaran a entender mejor las ecuaciones de la recta. 1.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. Un primer paso sería graficar

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III ¿Cuáles son los elementos que te están proporcionando?

¿Te sirven todos o tendrías que modificar alguno? ¿Cuál?

Como conocemos el punto P (4,-1) podemos calcular dicha recta, pero también es necesario determinar el valor de la pendiente m. ¿Cuál es el valor de la pendiente? No olvides que si bien es cierto que pendiente y ángulo de inclinación están relacionados no son lo mismo. Ahora que ya tienes los elementos correctos. ¿Qué ecuación de la recta sería la más conveniente para usar?

Sustituye los valores en la expresión.

y−(

)=______ ( x −

)

y + _____ = __ x + ____ y = __ x − _____ De la ecuación anterior ¿Cuáles son los valores de m y b?

2.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos

(–7, 11), (1, 7)

Por medio de los puntos dados puedes buscar el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente

m=

−

=

Luego sustituye los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, tomamos el punto (1,7) y obtenemos:

y −(

)=

(x −

)

Nota: Puedes tomar cualquiera de los dos puntos eso no afectara el resultado.

y − 7 = ____ x + ____ y = _____ x + ______

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Bloque cuatro FORMA SIMÉTRICA DE LA RECTA Para determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica es necesario conocer los puntos de intersección con los dos ejes coordenados, te darás cuenta que no todas las rectas se pueden representar de esta manera.

Ya que la recta que pasa por el origen de coordenadas no tiene forma simétrica pues dicha forma está dada por

x y + = 1 donde a y b son la intersección con los ejes y como podrás darte cuenta a y b deben ser diferentes a cero, ya que a b de lo contrario de acuerdo con las propiedades de los números reales una división entre cero no está determinada. Determina la ecuación de la recta en su forma simétrica de acuerdo a la siguiente gráfica.

Observando la gráfica y sus intersecciones con los ejes coordenados puedes decir que: La abscisa es La ordenada es

Por lo que la forma simétrica de la ecuación de esta recta se representaría

x

+

y

=1

Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes. FORMA GENERAL DE LA RECTA La ecuación de la recta también la podemos expresar con todos los términos en lado izquierdo de la ecuación, igualados a cero. Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. Debes tener en consideración tres aspectos para su obtención correcta:  La ecuación debe estar igualada a cero.  No debe haber coeficientes fraccionarios.  La variable independiente x debe tener signo positivo.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III De manera individual practica el cambiar la ecuación de una recta dada en cualquier otra forma (Pendiente-Ordenada, PuntoPendiente, Simétrica) a su forma general. RECTA

y=

FORMA ORIGINAL

PROCEDIMIENTO

FORMA GENERAL

1 x −8 2

y + 3 = 4( x − 6)

x y + =1 5 3

Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0, 0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje x, esta forma es la conocida como Ecuación Normal.

La ecuación normal de una recta es x cos ω + ysenω − p = 0 pero hay que saberla relacionar con la forma general, por esto busca en la bibliografía que esté a tu disposición o en internet cómo puedes relacionarlas, una vez que tengas esa información en plenaria expongan los principales aspectos a considerar.

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Bloque cuatro DISTANCIA ENTRE PUNTOS Y RECTAS En este apartado vamos a revisar tres casos de distancias importantes. Te recomendamos que antes de empezar realices una breve investigación acerca de la distancia entre puntos y rectas. a) De un punto cualquiera a una recta b) Del origen a una recta c) Entre rectas paralelas La distancia mínima de un punto ( x1 , y1 ) a una recta con ecuación en forma general Ax + By + C = 0 está dada por:

d=

Ax1 + By1 + C A2 + B 2

Por ejemplo encuentra la distancia del punto (1, 2) a la recta y = −

3 1 x− 4 2

Lo primero que tienes que hacer es escribir la ecuación en la forma general

3 1 y =− x− 4 2

 → FORMA GENERAL

__________________________

De donde observamos que A= 3, B=4 y C=______ Para poder sustituir nuestros valores en la formula

d=

Ax1 + By1 + C A2 + B 2

=

3(

) + 4(

)+

______ + ______

d= ¿Has visto que para resolver este ejercicio has empleado competencias que has desarrollado ya? Para poder obtener la distancia de una recta al origen sólo debes considerar que el origen tiene coordenadas (0, 0).

De esta forma la ecuación d =

d=

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C A2 + B 2

Ax1 + By1 + C A2 + B 2

se reduce porque x1 = 0, y1 = 0 y quedaría.


Calcula la distancia del origen a la recta y =

2 x+3 5

Pero, ¿qué sucede si queremos obtener la distancia entre dos rectas paralelas?, bueno recuerda que una de las características de estas es precisamente que en cualquier punto tienen la misma distancia.

Por lo que de nuevo nuestra fórmula original de distancia puede ser modificada

d=

Ax1 + By1 + C A2 + B 2

=

C1 − C2 A2 + B 2

Donde C1 y C2 son los términos independientes de las rectas.

Calcula la distancia entre las rectas paralelas y compara tus resultados con tus compañeros. A : 3 x − 4 y + 4 y B : 9 x − 12 y − 4 = 0

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Bloque cuatro

Fuentes de información BIBLIOGRAFIA • Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analítica. México 15a Ed. Esfinge. 2003, pp.143-167. • Silva, Lazo. Fundamentos de Matemáticas. 6a. ed., México Limusa.2005, pp. 721- 753. SITIOS EN INTERNET •

ESCOLAR.COM (Web en línea) http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm [Consulta: 05/06/2010]

•

GALEON.COM (Web en línea) http://galeon.com/profedemateyfisica/ [Consulta: 05/06/2010]

¿Qué he aprendido? Resuelve los siguientes ejercicios de opción múltiple y marca con una cruz la respuesta correcta.Organízate en equipos de tres personas y elijan a un representante del equipo para que muestre ante el resto del grupo cuales fueron sus resultados y procedimientos, utiliza apoyos visuales como rotafolios, gráficas o el pizarrón. 1.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:

a) y = 4x - 1 b) y = x - 4 c) y - x - 4= 0 d) y = 4 - x e) Ninguna de las anteriores

2.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:

a) y = x - 1 b) y = 1 - x c) y - x = 1 d) y = 1 - 2x e) Ninguna de las anteriores

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III 3.- La ecuación de la recta representada en el gráfico corresponde:

a) y = x - 3 b) y = 3x - 1 c) y + x - 3= 0 d) y = 1 - 2x e) Ninguna de las anteriores


a) y = 2x - 1 b) y = x - 1 c) y - 2x - 1= 0 d) y = 1 - 2x e) Ninguna de las anteriores


a) y = x - 2 b) y = x c) y + 2 = 0 d) y = 2 - x e) Ninguna de las anteriores


a) y + 5 = x b) y = x + 5 c) x + 5 = 0 d) y = 5 - x e) Ninguna de las anteriores

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Bloque cuatro Forma parejas para resolver el siguiente problema, al terminar intercambia tus respuestas con otra pareja y realicen el ejercicio de co evaluación presentado al final. Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las 8 vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales

Para evaluar la actividad asigna los siguientes puntos.  Un punto por la ecuación de cada una de las 8 vigas.(8 puntos en total)  Un punto por las pendientes de las vigas 1 y 2. ( 2 puntos en total)  Un punto por encontrar la longitud de cada una de las vigas. (8 puntos en total)  2 puntos por obtener la longitud total de las vigas.

Puntos totales obtenidos:

Si obtuviste de 16 a 20 puntos ¡Excelente! Has conseguido comprender y aplicar el concepto de la ecuación de una recta. Si obtuviste de 11 a 15 puntos ¡Bien! Tienes la idea principal de cómo se relacionan los elementos de la recta, continua esforzándote para desarrollar las unidades de competencia. Si obtuviste 10 o menos puntos ¡A mejorar! Repasa de nueva cuenta el tópico de las ecuaciones de la recta y sus elementos, recuerda que el error forma parte del aprendizaje y el comienzo es identificarlos para trabajar sobre ellos.

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ECUACIONES DE RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO Existen problemas teóricos o de aplicación práctica a partir de la determinación de la ecuaciones de las rectas notables de un triángulo, así como sus puntos de intersección, en particular el centro y el circuncentro, utilizando los conceptos básicos y el conocimiento sobre rectas. Medianas La mediana de un triángulo es un segmento de recta que se traza de un vértice al punto medio del lado opuesto.

G es el punto donde se cruzan las medianas y es llamado baricentro, centro de gravedad o gravicentro.

Alturas Analicemos la siguiente gráfica para establecer la manera de determinar la ecuación de las alturas de un triángulo. Sean los vértices de un triángulo A(X1, Y1), B(X2, Y2), C(X3, Y3), donde h1, h2, h3, son las alturas del triángulo que parten de cada uno de los vértices al lado opuesto en forma perpendicular.

Finalmente, las coordenadas del ortocentro se obtienen calculando el punto de intersección de dos de las alturas del triángulo de las cuales ya conocemos sus ecuaciones.

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Bloque cuatro Mediatrices La mediatriz es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los puntos de los extremos de un determinado segmento de recta; en otras palabras, es la recta que pasa por el punto medio del segmento y además es perpendicular a dicho segmento.

Una vez que conocemos las ecuaciones de las mediatrices del triángulo, podemos determinar el circuncentro, que es el punto donde se cruzan las mediatrices y por lo tanto lo podemos calcular de la misma manera que el baricentro y el ortocentro.

Te recomendamos también que visites los siguientes sitios en Internet, te pueden ayudar a entender un poco más de la recta. •

GEOAN (Web en línea) http://www.geoan.com/ [Consulta: 05/06/2010]

•

ELOSIO DE LO SANTOS (Web en línea) http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/geometan.html [Consulta: 05/06/2010]

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BLOQUE V EMPLEA LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos sobre la circunferencia como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas representaciones de la circunferencia.

Ejecutarás los cortes convenientes para obtener las cónicas y resolverás problemas teóricos o prácticos relativos a la circunferencia, a partir de su caracterización como lugar geométrico, aplicando e integrando sus propiedades y ecuaciones ordinaria y general, recuperando conceptos, técnicas y procedimientos, geométricos y analíticos, sobre puntos, rectas y segmentos. En las unidades pasadas tuviste la oportunidad de iniciar el estudio de una relación algebraica-geométrica al identificar segmentos y rectas como el lugar geométrico, determinado por conjuntos de puntos cuyas coordenadas en el plano cartesiano se relacionan de manera especial.


El cono es una superficie geométrica tridimensional generada por una familia de segmentos de líneas, cada segmento contiene como un punto extremo a punto de una curva plana cerrada y un punto fijo que no se encuentra en el plano de la curva. Al punto fijo le llamamos vértice, la curva cerrada es la directriz, el área limitada por la directriz es la base y los segmentos de línea son elementos o generadores del cono. Los conos se diferencian de acuerdo a la forma de la directriz, un cono circular tiene una circunferencia como directriz, mientras que en un cono elíptico su directriz es elíptica. Si la directriz es una curva que tiene centro, entonces los segmentos de línea entre el centro y el vértice se le llaman eje del cono. Un cono circular recto (o cono de una revolución) es un cono circular cuyo eje es perpendicular a su base. La distancia del vértice a la base se llama altura.

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Bloque cinco CÓNICAS Una sección cónica es una curva formada por la intersección de un plano con un cono circular recto o superficie cónica. Cuando la intersección del plano es perpendicular al eje de la superficie cónica, o sea paralelo a la base del cono, la cónica formada es la circunferencia. Cuando el plano es paralelo a un elemento del cono o al generador de la superficie, la cónica es una parábola. Si los planos no son paralelos al generador de la superficie, ni perpendiculares al eje sino que son oblicuos a los mismos, entonces se describen dos tipos de curvas la elipse y la hipérbola. La hipérbola es una curva con dos ramas. Está formada por el plano que corta dos conos rectos y es paralelo al eje común de los conos. Una elipse es una curva formada por un plano que intercepta el eje de un cono circular y no es paralelo a un elemento del cono. Una sección cónica se mueve para que la razón de la distancia de un punto fijo (llamado Foco) a su distancia de una línea fija llamada Directriz, sea constante. A esta razón se le llama Excentricidad de la curva (y que identificamos por la letra e). El valor de la excentricidad determina el tipo y forma de la sección cónica.

Fuente: http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo4/4.1.htm

Las secciones cónicas las puedes encontrar representadas en cualquier parte.

Parábola

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Parábola


Parábola, Elipse, Circunferencia, Hipérbola Hipérbola Parábola, Elipse, Circunferencia,

Elipse

Elipse

Ahora que ya sabes cuales son las cónicas y como se representan, escribe 5 ejemplos de cónicas que puedas encontrar en tu entorno. 1.2.3.4.5.-

CIRCUNFERENCIA Una cónica que no es muy complicada es la circunferencia pues como los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales entonces las factorizaciones que se hacen en una variable se tienen que hacer en la otra. Para este Bloque V y los sucesivos te recomendamos que repases como factorizar un trinomio cuadrado perfecto pues para todas las cónicas es muy utilizada esta técnica. Circunferencia: es el lugar geométrico formado por todos aquellos puntos del plano cuya distancia a un punto fijo es constante.

De manera individual has una investigación acerca de la circunferencia y sus elementos para poder contestar las siguientes preguntas.

En la circunferencia existe un punto fijo que equidista de los demás y se llama

.

La distancia que es constante hacia un punto fijo de la circunferencia se llama

.

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Bloque cinco Ubícalos en la siguiente gráfica

P(x, y)

(a, b)

La ecuación ordinaria de la circunferencia es tiene su centro en .

y su principal característica es que

Supongamos que tienes un CD, al fin y al cabo tiene la forma de una circunferencia. Aplica los conceptos que investigaste y encuentra la ecuación de la circunferencia del orificio central del CD cuyo radio es 3

Así como puedes encontrar la ecuación de la circunferencia si te dan los elementos, de la misma forma si te dan la ecuación puedes encontrar los elementos y graficarlos. Recuerda que la circunferencia está en muchas de las cosas que usamos a diario.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Dada la ecuación

x 2 + y 2 = 4 determina su centro, radio y dibuja su gráfica.

Fuentes de información BIBLIOGRAFÍA • • • •

Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3 bachillerato, ST Editorial, México, 2005. Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. Mexico, Publicaciones Cultural, 2004, 371 pp. Capitulo 8. La circunferencia. Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp. Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México, 1998, 320 pp.

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Bloque cinco ¿Qué he aprendido? 1. Encuentra los elementos de cada una de las siguientes circunferencias y grafícalas todas en el mismo plano de ejes coordenados. a) x 2 + y 2 = 9 b) x 2 + y 2 = 36 c) x 2 + y 2 = 49 d) x 2 + y 2 = 64

¿Cómo se comportan?, ¿Qué característica tienen todas en común? 2.- Junto con un tres de tus compañeros utiliza materiales de apoyo como papel Bond, cartulinas, plastilina, unicel, cartoncillo, marcadores, lápices de colores, etc. Y representa cada una de las secciones cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola), en tres dimensiones. Elijan un representante por equipo que exponga las características de alguna de las cónicas.

Al finalizar el equipo que realizó la exposición deberá autoevaluarse, explicando sus motivos al resto del grupo, el cual realizará observaciones con respecto a su desempeño en la presentación del tópico, el uso de material didáctico, el trabajo en equipo y las áreas donde pueden mejorar.

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Origen de las secciones cónicas: originadas en la geometría griega se describen en la actualidad mediante ecuaciones cuadráticas como curvas en el plano coordenado. Los griegos de la época de Platón consideraban que tales curvas procedían de la intersección de un cono por un plano (de ahí el nombre de “secciones cónicas”). Existen varios tipos posibles de intersecciones. Kepler, en sus comentarios acerca de los movimientos de Marte (1609), trabajo en el que enunció sus dos primeras leyes (órbitas elípticas, áreas iguales en tiempos iguales), hizo un minucioso análisis de estas secciones cónicas en busca de aquellas propiedades suyas que pudieran ser útiles en astronomía. La óptica, tema de interés para los matemáticos desde la época de los griegos (Claudio Tolomeo se interesó en la refracción, pero cuando la Ley de Snell lo eludió, ajustó sus datos con una parábola) recibió mucha más atención tras la invención del telescopio y del microscopio, a principios del siglo XVII. La necesidad de diseñar lentes y espejos supuso un interés por la forma de sus superficies, el interés se extendió a las formas de sus curvas generadoras. En muchos de los espejos curvos usados en los telescopios de reflexión, estas curvas son secciones cónicas. La introducción de la idea de una Tierra en movimiento requirió nuevos principios de la mecánica que diesen cuenta de las trayectorias de los objetos en movimiento. Esto supuso, asimismo, el estudio de curvas. Entre los objetos móviles, los proyectiles se hicieron muy importantes, ya que para entonces los cañones podían alcanzar blancos situados a miles de metros. En una primera aproximación, los proyectiles se mueven a lo largo de parábolas. Cuando los matemáticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos de los griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de aquellos métodos de demostración. Era preciso desarrollar un método especial de las secciones cónicas. La visión puramente geométrica (secciones de un cono) de las secciones cónicas fue finalmente sustituida por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Guiobaldo del Monte, por ejemplo definió en 1579 la elipse como el conjunto de puntos de un plano cuya suma de distancias a los focos es una constante. Desde el punto de vista de las aplicaciones, el estudio de las secciones cónicas en el siglo XVII proporcionó la matemática necesaria para describir las trayectorias de cometas, planetas y asteroides que se mueven por el espacio bajo la influencia de fuerzas gravitacionales. La misma matemática describe las órbitas de los satélites que lanzamos ahora. Sabido que la trayectoria de un cuerpo en movimiento, sea un planeta o un electrón, es una sección cónica, conocemos también otras muchas propiedades del movimiento del cuerpo. Fuente: http://geometriaparatodos.blogspot.com/2009/06/blog-post.html

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BLOQUE VI UTILIZA DISTINTAS ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA. UNIDAD DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la circunferencia al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la ecuación de la circunferencia. Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la circunferencia dependiendo de la naturaleza de la situación bajo estudio.

En este Bloque determinarás la ecuación ordinaria de una circunferencia a partir de las coordenadas de su centro y la medida de su radio, las coordenadas de su centro y un punto de la misma circunferencia o las coordenadas de los extremos de uno de sus diámetros. Obtendrás los elementos de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación. Trazarás la gráfica de una circunferencia y a partir de su ecuación explicarás la influencia de los parámetros más importantes de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma. Realizarás la transformación de una forma de la ecuación de la circunferencia a otra. Comprenderás las posibilidades analíticas y geométricas de determinar una circunferencia conocidos tres de sus puntos. Aplicarás las formas de la ecuación de la circunferencia como un modelo simbólico en la realización de ejercicios y resolución de problemas.


La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que están normalmente en la vida, aunque no lo parezca, está en todas partes. Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos puntos importantes. La circunferencia es la línea “imaginaria” que rodea un círculo, todos los puntos de la línea están a la misma distancia del centro. Para lograr una perfecta precisión, se han fijado puntos claves en la circunferencia, como lo es el punto O (o centro) y con eso, el llamado diámetro y el radio.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III El diámetro es un segmento que une 2 puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Y el radio es un segmento que une un sólo punto de la circunferencia con el punto O, por lo tanto un diámetro es igual a dos radios. Hay que aclarar que se pueden hacer infinitos radios, como también infinitos diámetros.

Observa la siguiente gráfica y determina sus elementos.

Centro: (

,

) y radio =

.

Ahora que determinaste sus elementos utiliza la ecuación circunferencia representada. Sustituye los valores Desarrolla los cuadrados

( x − h) + ( y − k )

(x −

2

) +(y− 2

2

= r 2 y encuentra la ecuación de la

)

2

=(

)

2

x 2 + ____ x + ____ + y 2 − ____ y + ____ = ____

Finalmente iguala a cero y reduce términos semejantes

x 2 + y 2 ____ x − ____ y + ____ = 0 55

Bloque seis El ejemplo anterior fue el caso en el que tienes el centro y el radio, pero no es el único, ve el siguiente caso. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) y que pasa por el punto (-1,5). Primero necesitas determinar el radio ¿Cuál sería la fórmula adecuada para encontrarlo? Recuerda que puedes usar formulas y ecuaciones vistas con anterioridad. .

Bien, si la usas para encontrar el radio su valor sería r=

.

Una vez que ya tienes los dos elementos principales encuentra la ecuación de la circunferencia.

¿Tus compañeros tienen la misma respuesta? ¿Siguieron el mismo procedimiento? Traza su gráfica.

Para encontrar la ecuación de una circunferencia usaras las competencias que has desarrollado a lo largo del curso. 56

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5, -1) y (-3, 7).

En este nuevo ejercicio te hacen falta los dos elementos importantes para encontrar la ecuación, el centro y el radio, sin embargo es posible encontrarlos. Una vez más tendrás que usar conocimientos ya adquiridos.

Para encontrar el centro aplica Punto Medio

Y para el radio usa Distancia entre dos Puntos con las coordenadas del centro que ya obtuviste y alguno de los extremos, el que decidas utilizar no afectara tu resultado.

Te darás cuenta que una vez que ya tienes el centro y el radio ya puedes aplicar tu ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.

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Bloque seis Veamos uno de los casos más extensos para encontrar la circunferencia donde además de usar conocimientos adquiridos en este semestre sino también de semestres anteriores. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5, 3) (6, 2) y (3, -1). Y (5,3)

(6,2)

X

(3, -1)

La siguiente expresión es la ecuación general de la circunferencia x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Contiene tres constantes indeterminadas con lo que serán necesarias tres condiciones para determinarlas. Como la circunferencia debe pasar por los tres puntos dados, se pueden hallar los coeficientes sustituyendo las coordenadas de los puntos en lugar de x e y resolviendo, a continuación, las tres ecuaciones lineales en D, E y F. Encuentra los valores faltantes para tener el sistema de ecuaciones:

____ + 9 + ___ D + ____ E + F = 0 36 + ___ + ___ D + ____ E + F = 0 ____ + ___ + 3D − ____ E + F = 0

Resolviendo este sistema de tres incógnitas obtienes:

D= 58

.

E=

.

F=

.

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Sustituyendo estos valores de D, E y F, resulta la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 − 8 x − 2 y + 12 = 0 En los casos anteriores obtuviste la ecuación de la circunferencia dados los elementos, ahora tendrás que conseguir los elementos si te dan la ecuación. Hallar el centro y el radio de la circunferencia siguiente. x 2 + y 2 − 8 x + 10 y − 12 = 0 Te recomendamos que antes repases los siguientes tópicos para que te sea más fácil llegar a tu respuesta.  Completar cuadrados  Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Agrupa tus términos por factor común. x 2 − 8 x + y 2 − 2 y = −12 Completa los cuadrados de ambas literales x 2 − 8 x + ____ + y 2 − 2 y + ___ = −12 + _____ + ____ Factoriza ambos trinomios cuadrados perfectos y simplifica.

( x − ____ ) + ( y − _____ ) 2

2

= ______

Ahora ya tienes la ecuación de la circunferencia con centro (h, k), ya puedes determinar sus elementos. Centro ( , ) y radio=

.

BIBLIOGRAFIA • Mata Olguin, Patricia. Matemáticas 3, Bachillerato. México ST editorial, 2005, pp. 68-127. • Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analitica.15a Ed., México, Esfinge, 2003. pp. 80-116. • Silva, Lazo. Fundamentos de Matematicas.6a Ed., México, Limusa 2005, pp. 667-697.

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Bloque seis ¿Qué he aprendido?

En los siguientes ejercicios reúnete con uno de tus compañeros, resuelvan los ejercicios en su cuaderno y grafiquen cada uno. 1. Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas. 2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es: 9 x ² + 9 y ² − 12 x + 36 y − 104 = 0 Traza la circunferencia 3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación: 4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0. 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8,-2) y B (4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia. 5. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: x

2

+ y

2

− 16 x + 2 y + 65 = 0

6. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: x ² + y ² − 2 x − 8 y + 13 = 0 7. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A (-8,-2) y B (4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia. 8. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0).

Una vez finalizados los ejercicios presenten de manera aleatoria ante el grupo sus respuestas y coméntenlas. Completa el siguiente cuadro donde autoevaluaras tu aprendizaje relacionado con los dos Bloques anteriores.

AREAS DE MEJORA Conocer e Identificar los conceptos de radio y centro. Reconocer las formas de la ecuación de una circunferencia. Uso de los elementos para obtener la ecuaciones y viceversa Realizacion de Gráficas de acuerdo al problema planteado.

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BUENO

REGULAR

MEJORABLE

COMO PUEDO MEJORAR



La Circunferencia en la Música Se utilizan técnicas circunferenciales para muchas cosas. Por ejemplo; los CD, piezas ordinarias en la música actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circunferencia. Al centro se observa otro orificio redondo. Estas piezas de la electrónica requieren de mucha precisión para su correcto funcionamiento. Por lo tanto para su fabricación se usan las técnicas del radio y el diámetro. La Circunferencia en las Armas Como ya hemos dicho, el diámetro es un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro, este diámetro es lo que se usa para medir el tamaño de agujeros como lo es en las armas. Se habla normalmente de pistolas calibre de 6.35 mm, 7.65 mm, 9 mm, etc. Esto no es sólo un “nombre”, sino que esto se refiere al tamaño del agujero (cañón) por donde salen los proyectiles (balas) del arma, usando el tamaño del diámetro y usando una medida milimetrada para lograrlo. Teniendo en cuenta que las armas son utilizadas muchas veces con motivos militares, es importante que las armas sean probadas a la perfección respecto a sus diámetros, ya que el menor desperfecto puede ocasionar anomalías muy peligrosas. La Circunferencia en el Transporte En el transporte también podemos apreciar la presencia de la Circunferencia, de hecho, donde se puede notar y ejemplificar mejor es en la Bicicleta, un conjunto de tubos metálicos con dos ruedas que aplican la geometría perfectamente: Las ruedas están hechas de un “arco” . La mejor parte de esto es que la rueda se afirma desde el centro y desde éste salen un montón de alambres delgados llamados “rayos” y estos son radios que mantienen la forma circunferencial de la rueda perfectamente. Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 24, 26, etc. Y esto se hace usando el diámetro. La Circunferencia en los Deportes Quizás parezca que en la única parte en donde podría aplicarse la Circunferencia en los deportes sería en los balones... Pero no, si sólo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geométricas y Circunferencias que determinan situaciones reglamentarias, etc. Los campos de Fútbol, las canchas de Básquetbol, los campos de Fútbol Americano y en muchas más. La Circunferencia, también presente en la Naturaleza: Los árboles, tipos de vida antiquísimos, crecen con el pasar de los años. Primero crecen pequeñas ramificaciones desde el suelo. Luego crecen más y con esto va aumentando el grosor de su Tronco. La circunferencia se aplica entonces debido a que las personas relacionadas con la Naturaleza como los Ingenieros Forestales, saben perfectamente que al cortar un árbol, se pueden apreciar muchos “anillos” que están en el tronco. Y con el “tamaño” de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto árbol. Lo que nuevamente se usa, entonces, es el diámetro de cada anillo. •

AZUL.BNCT.IPN.MX (Web en línea) http://azul.bnct.ipn.mx/Libros/polilibros/poli11/capitulo3/3.4.htm [Consulta: 05/06/2010]

•

DCB.FIC.UNAM.MX (Web en línea) http://dcb.fic.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CapsulasAntecedentes/circunferencia.html [Consulta: 05/06/2010]

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BLOQUE VII EMPLEA LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos sobre la parábola como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones, reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la parábola.

Reconocerás la parábola como lugar geométrico. Identificarás los elementos asociados a la parábola. Integraras los elementos necesarios para el trazado de la parábola en la escritura de su ecuación con vértice en el origen y eje focal coincidente con el eje x o y. Comprenderás la existencia de una parábola específica conocidos su vértice, foco y directriz. Obtendrás los elementos de una parábola horizontal o vertical con vértice en el origen a partir de su ecuación. Resolverás problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación de parábolas horizontales o verticales con vértice en el origen.

Desarrollando competencias La parábola, la cual será un instrumento útil que te servirá para estudiar diversas situaciones o fenómenos que tienen un comportamiento parabólico, es decir, que su gráfica en el plano cartesiano de acuerdo con sus datos describen una parábola, y su ecuación o modelo matemático es un polinomio de grado DOS al igual que la circunferencia, pero a diferencia de ésta, la ecuación de la parábola sólo tiene un término cuadrático. Los tópicos vistos en las unidades anteriores como el sistema de coordenadas cartesianas; así como la línea recta y la circunferencia te ayudarán en el aprendizaje de los temas de la presente unidad. Para introducirnos al tema de la parábola, realiza la siguiente actividad en la cual utilizaras una pluma o lápiz y una hoja blanca de papel, (si esta dentro de tus posibilidades en vez de la hoja blanca, te sugerimos un pedazo de papel encerado más o menos del tamaño de una hoja de tamaño carta). Una vez que tengas dicho material sigue las instrucciones que a continuación se enumeran:

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Uno: coloca tu hoja en forma vertical y marca muy bien un punto en un lugar céntrico de ésta. Dos: toma el lado inferior de la hoja y dóblala hacia arriba haciendo coincidir dicho lado con el punto trazado. Tres: marca el doblez perfectamente. Cuatro: sobre el doblez marca un nuevo punto que este en la misma dirección del anterior. Cinco: toma el lado inferior de tu hoja y dobla, de tal manera que dicho lado sea tangencial al primer punto que indicaste y marca el dobles. Seis: repite el paso anterior varias veces, tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho de tu hoja (entre mas dobleces tenga, será mejor). La curva que finalmente puedes visualizar es a lo que se conoce como parábola.

Investiga qué es la parábola y contesta lo siguiente: Definición de parábola

ELEMENTO VÉRTICE FOCO DIRECTRIZ LADO RECTO EJE FOCAL PARÁMETRO

DEFINICIÓN

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Bloque siete Ahora escribe los nombres de los elementos faltantes en la siguiente gráfica:

La gráfica de la actividad anterior es llamada parábola, y cómo pudiste darte cuenta, las parábolas al igual que la línea recta y la circunferencia también tienen ciertas ecuaciones que las definen y caracterizan. Las ecuaciones de las parábolas se describen básicamente en función de su vértice y el valor que toma el parámetro p. En equipos de trabajo, investiguen en la bibliografía que tengan a la mano de Geometría analítica o en cualquier otro medio de consulta el procedimiento para determinar las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen. Después, elaboren fichas de trabajo donde se especifiquen los pasos que siguieron para determinar la ecuación en los dos casos.

Completa la siguiente tabla acerca de las ecuaciones de la parábola con vértice en el origen, con la información recabada.

HORIZONTAL HACIA LA DERECHA Vértice: Ecuación: Foco: Directriz: HORIZONTAL HACIA LA IZQUIERDA Vértice: Ecuación: Foco: Directriz:

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PARÁBOLA VERTICAL HACIA ARRIBA Vértice: Ecuación: Foco: Directriz: VERTICAL HACIA ABAJO Vértice: Ecuación: Foco: Directriz:

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Todas las parábolas tienen una línea que es la distancia de los puntos paralelos al foco y que se le conoce como Lado Recto y cuya ecuación es LR = 4 P Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:

Recuerda que la orientación depende del signo del parámetro p. Como ya vimos anteriormente, la gráfica de una parábola contiene vértice, foco, eje focal o de simetría, parámetro, lado recto y directriz. Estos seis elementos los podemos obtener a partir de la ecuación que la describe, así como su gráfica. Veamos cómo obtener sus seis elementos a partir de su ecuación. Sea la parábola x 2 = −8 y Observando la ecuación puedes decir ¿es horizontal o vertical? ¿Por qué?

Es una parábola de la forma x 2 = −4 py Por lo tanto el primer elemento que puedes obtener es el vértice V = (

,

)

Así como el eje focal=

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Bloque siete Ahora saquemos el foco, para esto encontremos el parámetro p dividiendo el coeficiente de x entre 4.

x 2 = −4 py ↑

↑

x 2 = −4 y

⇒

− 4 p = −4 −4 p= =1 −4

Bien ahora también podemos determinar el foco = ( , ) La directriz =____________________ Y su lado recto=________________________ Finalmente lo único que nos hace falta es la gráfica. Ubica los elementos que constan de coordenadas como el vértice y el foco, luego traza el lado recto y la directriz. Ahora une el vértice con los extremos de tu lado recto y tendrás tu parábola.

Encontrar los elementos de una parábola no es complicado por eso te sugerimos que hagas los siguientes ejercicios, donde deberás encontrar vértice, foco, directriz, lado recto y gráfica, esta ultima hazla en papel Bond o Cartulinas para que tengas una mejor perspectiva de lo que es una parábola. a) y 2 = 16 x b) y 2 = 12 x c) y 2 = 16 x d) x 2 = 32 y e) x 2 = 36 y

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Con respecto a las parábolas no siempre te dan la ecuación a veces hay que buscarla dependiendo de los elementos que te hayan dado, veamos dos casos en donde sólo nos den dos elementos y tengas que buscar la ecuación de la parábola.

Hallar la ecuación de la parábola con Vértice (0, 0) y foco (5,0)

Te sugerimos que ubiques gráficamente los elementos que te dieron.

Si observas la ubicación de los puntos, te darás cuenta que su eje focal es el eje y, a demás de que el foco está por encima del vértice con lo que puedes determinar que la ecuación más conveniente a usar sería

Lo único que haría falta seria encontrar el parámetro p, no olvides que el parámetro es la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz. P= Ahora que ya tienes los elementos necesarios, la ecuación de la parábola que estamos buscando sería:

Termina de trazar la gráfica de la ecuación que obtuviste.

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Bloque siete En el segundo caso que veremos, los datos que tenemos son el vértice y la directriz. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz x=3. De nuevo te sugerimos que ubiques gráficamente los elementos que ya tienes.

Una vez que ubicaste los elementos podrías decir que la forma de la ecuación que utilizarías es:

Y es una parábola ¿horizontal o vertical? El parámetro p sería: Por lo tanto después de haber analizado los elementos que te dieron la ecuación que estas buscando es:

Cuando te piden la ecuación de una parábola los dos elementos más importantes a considerar son el vértice y el parámetro p. Si te dieran como elementos el foco y la directriz ¿podrías encontrar la ecuación? ¿Donde estaría ubicado el vértice? ¿Y el parámetro p como lo obtendrías? Comenta en plenaria las respuestas de las preguntas anteriores y en tu cuaderno escribe las conclusiones a las que llegaron. Te invitamos a que realices los siguientes ejercicios en parejas y practiques la ecuación de la parábola. Realiza la gráfica correspondiente. Vértice (0, 0) y foco (-4,0) Vértice en el origen y directriz x=2. Vértice (0, 0) y foco (0,-6) Vértice en el origen y directriz y=-3. Vértice (0, 0) y foco (2,0) Vértice en el origen y directriz y=1.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III BIBLIOGRAFIA • • • •

Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. Mexico, Publicaciones Cultural, 2004, 371 pp. Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp. Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México, 1998, 320 pp. Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3 bachillerato, ST Editorial, México, 2005.

¿Qué he aprendido? 1.-Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. a) 6 y 2 − 12 x = 0 b) 2 y 2 = −7 x c) 15 x 2 = −42 y Después de encontrar los elementos represéntalas gráficamente, compáralas con las de tus compañeros, ¿coinciden en todos los puntos? ¿Las aperturas son las mismas? ¿Son iguales? 2.- Determina las ecuaciones de las parábolas, grafícalas y al finalizar elijan a varios compañeros para que expongan su procedimiento ante todo el grupo. a) De directriz x = -3, de foco (3, 0). b) De directriz y = 4, de vértice (0, 0). c) De directriz y = -5, de foco (0, 5). d) De directriz x = 2, de foco (-2, 0). e) De foco (2, 0), de vértice (0, 0). Realicen una evaluación basada en los siguientes puntos:

Obtuvieron de manera correcta: La representación gráfica Los elementos faltantes Le ecuación de la Parábola Trabajo todo el equipo

SI

No

Si el equipo obtuvo 4 “SI” merece el reconocimiento de todo el grupo por su aprendizaje. Si el equipo obtuvo 3 “SI” merece una felicitación por su trabajo, donde deberá esforzarse un poco más para alcanzar su máximo aprovechamiento. Si el equipo obtuvo 2 o menos “SI” merecen ser alentados a que practiquen con más ahincó otra vez los conceptos del Bloque.

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Bloque siete Quiero aprender más

Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer converger o divergir un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloide. Las parábolas tienen una propiedad: Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirán o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.

Fuentes de información REFERENCIAS A CONSULTAR Mata Olguín, Patricia. Matemáticas 3, Bachillerato. ST. Editorial, México, 2005, pp. 166-211. Caballero, Martínez, Bernárdez. Geometría analítica. México 15a Ed. Esfinge. 2003, pp.143-167. Silva, Lazo. Fundamentos de Matemáticas. 6a. ed., México Limusa.2005, pp. 721- 753. •

CIDSE.ITCR.AC.CR (Web en línea) http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t1-conicas/2-Parabola/index.html [Consulta: 11/06/2010]

•

DISFRUTA LAS MATEMATICAS (Web en línea) http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/parabola.html [Consulta: 11/06/2010]

•

VITUTOR (Web en línea) http://www.vitutor.com/geo/coni/iActividades.html [Consulta: 11/06/2010]

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BLOQUE VIII UTILIZA DISTINTAS ECUACIONES DE LA PARÁBOLA UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la parábola al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la ecuación de la parábola. Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la parábola dependiendo de la naturaleza de la tarea que tenga que realizar.

En el Bloque anterior trataste el tópico de parábola con vértice en el origen, en este Bloque VIII continuaras con la parábola pero ahora determinaras su ecuación con vértice fuera del origen. Obtendrás los elementos de parábolas horizontales y verticales. Explicarás la influencia de los parámetros h, k, p en el comportamiento gráfico de la misma. Desarrollarás la ecuación general de la parábola a partir de la forma ordinaria de la misma. Transitarás entre las formas ordinaria y general. Realizarás ejercicios que te permitan determinar la forma mas adecuada de representación de la parábola dependiendo de la situación. Finalizarás aplicando las formas de la ecuación de la parábola como un modelo simbólico en la realización de ejercicios y resolución de problemas.

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Bloque ocho Desarrollando competencias

La parábola es uno de los lugares geométricos más usados en nuestro entorno, y por lo tanto no se limita a tener su vértice en el origen como lo viste en el Bloque anterior. Realiza una primera búsqueda de las ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen y sus elementos. Después realiza la siguiente actividad completando los datos que falten.

Ecuación general de la Parábola Horizontal

Vertical

a ___ + d ___ + e ___ + f = 0

a ___ 2 + d ___ + e ___ + f = 0

2

Ecuación Canónica de la Parábola Vértice Ecuación Foco Directriz Vértice Ecuación Foco Directriz

Vertical hacia arriba

Vertical hacia abajo

Horizontal derecha

Horizontal izquierda

Al igual que las parábolas con vértice en el origen también se tiene un lado recto y su ecuación es la misma

LR = 4 p Para encontrar los elementos de una parábola con vértice fuera del origen te recomendamos que repases temas como factorización, completar cuadrados, binomio al cuadrado y simplificación. Encuentra los elementos de la siguiente parábola.

y 2 − 2 x + 14 y + 41 = 0 Agrupa los términos con y de un lado y los de x en el otro. El término independiente agrúpalo con la variable que no tenga cuadrado

y 2 + 14 y = _________ 72

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Completa cuadrado del lado de la variable cuadrática y no olvides aumentar este mismo coeficiente al lado derecho.

y 2 − 2 x + _____ = 2 x − 41 + _____ Observa que del lado derecho se tienen los términos de un trinomio cuadrado perfecto por lo tanto puedes factorizarlo. Y del otro lado simplifica términos semejantes.

( y + ___ )

2

= 2 x − ____

Si factorizas el coeficiente de la variable lineal del lado derecho la ecuación que obtienes es:

( y + ___ )

2

= ___ ( x − ____ )

Que es la ecuación canónica de la parábola y con la que puedes obtener los elementos de la misma. Empezando por el vértice Vértice: (

,

)

Nota: al obtener las coordenadas del vértice debes cambiarles el signo con el que aparecen, esto es debido a la forma de la ecuación que contempla un signo menos.

El siguiente elemento que puedes determinar seria el parámetro p, si divides el coeficiente que tenia la variable x entre 4.

4p = 2 p=

Ahora que ya cuentas con p puedes encontrar el foco y la directriz. Sólo sustituye en la ecuación correspondiente de cada uno. Foco

Directriz

F = ( h + p, k )

x = h− p x = _____

F =(

,

)

Finalmente el lado recto de la parábola seria LR: ________

73

Bloque ocho Has obtenido todos los elementos de la parábola, excepto la gráfica, para dibujarla ubica en tus ejes coordenados primero los elementos que tengan coordenadas (vértice, foco) y luego aquellos que sean longitudes (directriz, lado recto).

Te darás cuenta que el procedimiento para graficar fue similar al de la parábola con centro en el origen. Encuentra los elementos de las siguientes parábolas y grafícalas. Al terminar compara y comenta ante todo el grupo tus resultados.

a) x 2 + 10 x + 8 y − 1 = 0 b) y 2 + 4 x − 12 = 0 c) y 2 − 4 y + 6 x − 8 = 0 d) 9 x 2 + 26 x − 6 y − 24 = 0 e) y 2 − 4 y − 6 x + 13 = 0

74

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III La ecuación de una parábola se puede encontrar dependiendo de los elementos que nos den como lo vimos en el Bloque anterior, sólo que en esta ocasión primero tendrás que llegar a la ecuación canónica para posteriormente llegar a la general. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice (-5, 1) y foco en (2, 1) Ubica tus coordenadas en el plano.

Como el vértice esta a la izquierda del foco, puedes deducir que se trata de una parábola ¿horizontal o vertical?________________________ Por lo que su ecuación tiene la forma ( y − k ) = 4 p ( x − h ) 2

La distancia del vértice y del foco es de 7 unidades por lo que puedes deducir que p es igual a__________. Si sustituyes en su ecuación ordinaria quedaría ( y -

)

2

= 4(

)( x +

)

Debes desarrollar el cuadrado y efectuar las multiplicaciones respectivas.

y 2 − ___ y + ____ = _____ x + ____ Para terminar iguala a cero y simplifica términos semejantes.

y 2 − _____ x − _____ y + _____ = 0 Los elementos de la parábola que te proporcionan determinaran la forma en que debes resolverla, observa otro caso.

75

Bloque ocho Encuentra la ecuación de la parábola de foco (-2, 6) y directriz y-2=0 La ubicación de los elementos en una gráfica siempre es de gran ayuda, pero debes tener cuidado al interpretar bien los elementos. Si ubicas tu directriz sería una recta horizontal que corta el eje y en el punto 2, por el despeje que se tiene que hacer.

La ubicación del foco con respecto a la directriz te indica que su eje focal es paralelo al eje y por lo tanto tienes una parábola que tiene por ecuación: ________________________________. Pero necesitas el vértice para poder usar la ecuación, no olvides que el vértice es el punto medio del foco y la directriz. Usa la fórmula del punto medio con el foco (-2,6) y el punto (-2,2) que pertenece a la directriz y que esta sobre el eje focal.

Tu vértice seria V= ( ,

76

)

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Ya que has conseguido el vértice también puedes saber el valor de p=______. Sustituye tus valores en la ecuación canónica de una parábola vertical que abre hacia arriba. Desarrolla esta ecuación y llega a la general.

No olvides terminar de trazar gráficamente tu parábola y compara tu resultado con el resto del grupo. En parejas calcula la ecuación ordinaria de la parábola, los elementos faltantes y la gráfica según los datos conocidos.

a) V (-5, 2) y F (-2, 2) b) V (3, -5) y F (3, -2) c) F (3, -5) y directriz y-1=0 d) F (0, 0), y vértice V (2, 0) e) F (3, -1) y directriz y=5 f) V (4, 3) y directriz x=-1 g) F (0, -3) y directriz y - 3 = 0

Compara tu procedimiento con el de otras parejas, intercambien cuadernos y confirmen que tienen el mismo resultado. Como ya se ha dicho la parábola se presenta en la vida cotidiana. Analiza el siguiente ejemplo donde aplicas el concepto de parábola a un problema real. Se lanza una piedra horizontalmente desde la cima de una torre de 185 metros con una velocidad de 15 m/s. Hallar la distancia del punto de caída al pie de la torre suponiendo que el suelo es horizontal.

77

Bloque ocho Cuando se trata de problemas de aplicación lo mejor es que hagas un dibujo o representación gráfica que te ayude a ubicarte con respecto a los elementos.

En esta figura tomamos como el vértice el punto donde cae la piedra y el lugar de donde fue lanzada sería uno de los extremos del Lado Recto. Así, tomaremos el foco como el punto (X, 0) que es la base del edificio, esto resulta conveniente porque de esta forma tendrías el valor del parámetro p que sería X. Por lo anterior la parábola que tenemos es una parábola horizontal que abre a la derecha y su ecuación es:

y 2 = 4 px Donde el parámetro p coincide con el valor de X. Sustituye los valores en la ecuación y obtendrás tu resultado haciendo los despejes respectivos.

(185) = 4 x( x) 2 (185) = 4 x 2 2

185 = 4 x 2 185 = 2 x 185 x= 2 x = 92.5

Para resolver problemas de parábolas sólo hay que relacionarlos con alguna de las diversas ecuaciones que tiene la parábola.

78



Encuentra los elementos y la gráfica de las siguientes parábolas. 1.- ( x + 6 ) = −4( y − 1) 2

2.- ( y + 12 ) = −14( x + 1) 2

3.- 2 x 2 − 12 y − 16 x + 20 = 0 4.- 3 x 2 − 30 y − 18 x − 1 = 0 5.- y 2 +20 x − 40 = 0 Encuentra la ecuación de la parábola dados los siguientes elementos: 1.- Con vértice en (3,4) y foco en el punto (3,2) 2.-Con vértice en V (2, 0) y foco en (0, 0). 3.- Foco es el punto (4,-1) y la ecuación de su directriz es y=-5. 4.- Foco es el punto (3,0) y la ecuación de su directriz es x=-8.

Realiza los siguientes problemas prácticos de parábolas en parejas, al terminar elijan al azar a parejas para que pasen a exponer sus problemas, su procedimiento y resultado. 1.- En Cuencame, Durango, desde el mes de marzo del año en curso se han estado construyendo aulas; hace unas semanas, descargaron un camión lleno de grava en nuestro plantel, este montón de grava describe aproximadamente una forma parabólica que al medirlo vimos que la altura máxima era de 1.5 metros y un ancho de 3.8 metros; determina la ecuación que describe dicho montón.

2.- Un puente colgante de Estados Unidos está distribuido uniformemente entre dos torres de soporte colocadas a una distancia de 400 metros uno de otro y la altura de dichas torres miden 90 metros sobre la carretera. El cable que pende de estas torres tiene forma parabólica y el punto central más bajo esta a una altura de 10 metros sobre la carretera. Introduciendo ejes coordenados.

79

Bloque ocho a) Determinar la ecuación de la parábola que describe el cable. b) Calcula el cable sobre la carretera a 50 metros de una torre, medida sobre la carretera. c) Si para soportar el puente se usan nueve cables verticales, los cuales están a una misma distancia uno de otro al parabólico, determinar la longitud total de dichos soportes (cables).

3.- Una manguera que se encuentra arriba de una azotea de un edificio está a una altura de 40 metros sobre el suelo y arroja agua a una velocidad de 12 m/s. Este chorro describe una forma parabólica con vértice en (0, 40) el extremo de la manguera. a) Haz el dibujo representativo. b) Determina la ecuación de la parábola. c) ¿En qué punto del suelo cae el chorro? 4.- Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba a una velocidad de 20 m/s y su trayectoria está dada aproximadamente por la ecuación cuadrática h = 20t – 3t 2 , donde h es la altura sobre el piso dada en metros y t instante en segundos. Determinar el instante en que golpeara la pelota el piso (Escribe la ecuación de la trayectoria en su forma ordinaria, donde un punto cualquiera de la curva será (t, s)). Es importante que conozcas que tan claros te quedaron los tópicos de este Bloque por lo que te sugerimos que realices el siguiente ejercicio de autoevaluacion.

AREAS DE MEJORA Identificar la figura de la parábola en nuestro entorno Ubicación gráfica de los elementos principales de una parábola. Manejo de la ecuación de una parabola para obtener sus elementos y viceversa. Elaboración de modelos matemáticos basados en problemas de aplicación real.

80

BUENO

REGULAR

MEJORABLE

COMO PUEDO MEJORAR



Un tema muy importante en la geometría analítica es el estudio de las cónicas, como habrás visto en Bloques anteriores y se llaman así pues las podemos obtener con distintos cortes a uno o dos conos. Por tanto aprender a reconocerlas por su ecuación general también lo es. La ecuación general de segundo grado es:

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 El termino B determina si los ejes de la curva son paralelos a los ejes coordenados y también el criterio a usar para identificar la curva. Si B=0 los ejes de la curva son paralelos a los ejes coordenados y el criterio es el siguiente. • • • •

Circunferencia si A=C Parábola si A ó C =0 Elipse si A≠C pero tienen el mismo signo Hipérbola si A y C tienen signos contrarios.

Como podrás darte cuenta sólo tomas los valores de los términos cuadráticos. Así por ejemplo la ecuación 2 x 2 + 2 y 2 = 7 es una circunferencia ya que los términos A y C son iguales. Si B≠0 los ejes de la cónica están inclinados con respecto a los ejes coordenados y el criterio es el siguiente. Se usa la expresión I = B 2 − 4 AC que recibe el nombre de indicador o invariante. • Parábola si I=0 • Elipse si I<0 • Hipérbola si I>0 Entonces si te dan la ecuación 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 − 40 x + 20 y = 0 tomas los valores respectivos A=2 B=-4 C=2 y se evalúan en la fórmula del indicador.

I = ( −4 ) − 4 ( 2 )( 2 ) = 16 − 16 = 0 2

Por lo tanto se trata de una parábola.

UADY.MX (Web en línea) http://www.uady.mx/~prepa2/matematicas/mat3/g_%20parabola.pdf [Consulta: 11/06/2010]

81


BLOQUE IX EMPLEA LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos sobre la elipse como lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas en distintas representaciones de la elipse.

Determinarás las condiciones necesarias que caracterizan una elipse como lugar geométrico. Integrarás en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipse y su efecto en la conformación de su ecuación con centro en el origen y eje focal paralelo con el eje x o y. Obtendrás los elementos de elipses horizontales y verticales con centro en el origen. Resolverás problemas que implican la determinación o el análisis de la ecuación con centro en el origen.

Desarrollando competencias Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es una constante. Así que, no importa dónde estés en la elipse, puedes sumar las distancias al punto “A” y al punto “B” y siempre saldrá lo mismo. (Los puntos “A” y “B” se llaman los focos de la elipse)

82

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Obtener la representación gráfica de una elipse se puede hacer de varias formas. Te presentamos tres que te pueden ser de utilidad.

1.- Papel y lápiz Dibuja en un plano dos puntos fijos F y F’ que llamaras focos. Toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz tensiona la cuerda y al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto P describe la elipse pedida.

2.- Sólo papel Dibuja una circunferencia en una hoja de papel. Dibuja un punto dentro de la circunferencia (que no coincida con el centro). Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado, deshaz el dobles. Repite la acción anterior haciendo coincidir otro punto de la circunferencia. Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El punto dibujado es uno de los focos, el otro foco es el centro de la circunferencia. 3.- En 3D Otra forma de encontrar una elipse es hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la dirección del corte debe ser de lado alado de las paredes del cono sin llegar a la base. Mientras más paralelo a la base sea el corte menos excentricidad tendrá la elipse y parecerá una circunferencia. El perímetro de este corte será una elipse. Al terminar en parejas, usando una cartulina, papel Bond, marcadores, colores, unicel, plastilina, etc. Realicen la representación de la elipse. De manera aleatoria elijan a 3 parejas para que realicen una exposición en el grupo de sus elipses y expliquen como la obtuvieron.

83

Bloque nueve La elipse al igual que las otras cónicas tiene cierto elementos que debes considerar. Realiza una investigación acerca de ellos y anota sus definiciones en el siguiente cuadro: ELEMENTOS Centro

DEFINICIÓN

Foco Vértice Eje mayor Eje menor Lado recto Excentricidad

La ecuación general de la parábola cuando el eje focal es paralelo a algún eje coordenado es:

Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Con A ≠ 0, B ≠ 0 , A y C tienen el mismo signo. Mientras que las ecuaciones ordinarias son las siguientes: Elipse Horizontal con centro en el origen

x2 y 2 + =1 a 2 b2

Elementos Centro (0, 0) Focos ( ± c, 0 ) Vértices ( ± a, 0 )

Lado recto =

2b 2 a

Longitud Eje mayor = 2a Longitud Eje menor =2b

Excentricidad =

c a

Se cumple la relación

a 2 = b2 + c2

84

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Elipse Vertical con centro en el origen

x2 y 2 + =1 b2 a 2

Elementos Centro (0, 0) Focos ( 0, ± c ) Vértices ( 0, ± a )

Lado recto =

2b 2 a

Longitud Eje mayor = 2a Longitud Eje menor =2b

Excentricidad =

c a

Se cumple la relación a 2 = b 2 + c 2

Una condición importante para que puedas reconocer una elipse horizontal de una vertical tiene que ver con los parámetros a y b, investiga cual es esa condición y reconoce cada una de las siguientes elipses, subrayando la respuesta correcta.

x2 y 2 + =1 1.4 36

HORIZONTAL

VERTICAL

2.-

x2 y 2 + =1 25 16

HORIZONTAL

VERTICAL

3.-

x2 y 2 + = 1 49 36

HORIZONTAL

VERTICAL

x2 y 2 + = 1 4.9 25

HORIZONTAL

VERTICAL

El que sepas identificar las elipses es fundamental para saber elegir las formas adecuadas que deben tomar sus elementos y por consecuencia su gráfica. Encuentra los elementos de la siguiente elipse.

x2 y 2 + =1 9 25 85

Bloque nueve Como el numero 25 está debajo de la variable y, la ecuación indica que es una elipse vertical, de donde comparando con la ecuación ordinaria encontramos que

a = 25 = 5 y b = 9 = 3 Por lo tanto si usas la condición a 2 = b 2 + c 2 , el valor de c=_______________________ Ahora que ya tienes los parámetros a, b y c puedes encontrar los elementos de la elipse, sustituyendo en la formas de los elementos. Vértices V1= (

,

) V2= (

,

)

Focos F1= (

,

)

,

)

F2= (

Lado recto=_________

Excentricidad=_____________

Eje mayor=__________

Eje menor=______________ Ubica los elementos que obtuviste y traza tu elipse.

Al igual que la circunferencia y la parábola que ya has visto en Bloques anteriores, se puede encontrar la ecuación de la elipse dependiendo de los elementos que te den. Veamos algunos casos para que te familiarices con el procedimiento. Halla la ecuación de la elipse con Vértices V1 (0, 5) y

V2 (0, - 5) y focos F1 (0, 4) F2 (0, -4)

Por los datos sabes que la elipse tiene su centro en el origen pues es el punto medio entre los vértices o entre los focos, y sabes que se trata una elipse vertical ya que tanto los vértices como los focos tienen abscisa cero. La ecuación que vamos a usar es:_________________________

86

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Entonces necesitamos conocer los valores de a y b. por las coordenadas de los vértices sabemos que a = _________ y por las coordenadas de los focos, que c =_______________. Entonces como a 2 =b 2 + c 2 , podemos despejar b 2

b2 = a 2 − c2 b 2 = ____ − ____ b 2 = _____ b = _____ b = _____ Así, sustituyendo en la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, nos queda:

x2

+

y2

=1

Si se desea, puedes obtener los elementos faltantes de la elipse:

LR =

2b 2 a

e=

LR =

2( )2 _____

e=

c a

Ya con todos los elementos anteriores y estos últimos, se puede hacer la gráfica de la elipse.

y

V (0, 5)

F (0,-4)

b=3

x´

x F (0,-

Lr=18 /

y´

V´ (0,-

87

Bloque nueve La ecuación dada en su forma ordinaria podemos transformarla en la forma general; esto se hace suprimiendo denominadores y pasando el término independiente al primer miembro de la ecuación:

x2 y 2 + =1 9 25

25 x 2 + 9 y 2 =1 (9)(25) 25 x 2 + 9 y 2 = (1)(9)(25) 25 x 2 + 9 y 2 = 225 25 x 2 + 9 y 2 − 225 = 0

← Ecuación General pedida

Revisemos un ejemplo más. Halla la ecuación de la elipse con vértices V (4, 0) y

V´ (- 4, 0) y su excentricidad e = ¾

Por los vértices sabemos que es una elipse horizontal con el centro en el origen y que a = _______

c 3 y e = , entonces c =_____. 4 2 a

Como sabemos que la e =

Tenemos que b 2 =a 2 − c y sustituyendo los valores de a y c: b2 = ______ Así que la ecuación es:

x2

y2

+

=1

Puedes determinar los demás elementos de la elipse:

F1 (

,

)

F2 (

,

)

88

LR =

e=

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Traza la gráfica de la elipse.

Bien, es tiempo de que apliques los conocimientos adquiridos, realiza los siguientes ejercicios. Al finalizar compara tus respuestas con las de tus compañeros. 1.- Halla la ecuación de la elipse con vértice V (0,5) y V´ (0,-5) y lados rectos Lr = 4 2.- Halla la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’ (-3, 0), y uno de los vértices es el punto (5, 0). 3.- Halla la ecuación de la elipse con vértice (0, -13) y foco en (0, -5).

BIBLIOGRAFIA Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973. Mata Holguín, Patricia. Matemáticas 3 bachillerato, ST Editorial, México, 2005. Ruiz Basto, Joaquín. Geometría Analítica. Mexico, Publicaciones Cultural, 2004, 371 pp. Capitulo 8. La circunferencia. Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp. Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México, Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997. SITIOS DE INTERNET ESCOLAR.COM (Web en línea) http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm [Consulta: 05/06/2010] GALEON.COM (Web en línea) http://galeon.com/profedemateyfisica/GEOMETRIA/LARECTA.doc. [Consulta: 05/06/2010]

Fuentes de información 89

Bloque nueve ¿Qué he aprendido?

Reúnete en equipos de cinco personas y halla la ecuación de la elipse conociendo alguno de sus elementos o determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses. Según sea el caso. Al terminar presenta tus resultados y gráficas ante el grupo. 1.-

x2 y 2 + =1 16 12

2.-

x2 y 2 + =1 16 18

3.- x 2 + 4 y 2 = 16 4.- 3 x 2 + 2 y 2 = 6 5.- 9 x 2 + 4 y 2 = 36 6.- Un foco en (2, 0) y Vértice (3,0) 7.- Un foco en (2, 0) y Vértice (3,0) 8.- Vértices del eje mayor en (6,0) y (-6,0) y lado recto 2 9.- Una elipse tiene su centro en origen; uno de sus vértices es el punto (0,5), y uno de sus focos es el punto (0,4). Una vez que terminen de revisarlos, en plenaria comenten sus opiniones acerca del trabajo que realizaron sus compañeros, recuerden que no es una crítica, es un ejercicio de retroalimentación a fin de mejorar el desempeño académico de cada uno. Asigna 3 puntos si consideras que fue excelente, 2 puntos si fue Bueno y un punto si fue Deficiente. Áreas de Mejora Uso correcto de términos y conceptos Claridad en la presentación del ejercicio asignado. Manejo de expresiones matemáticas Elaboración de material didáctico Participación de todo el equipo

Puntos

13 a 15 puntos

13 a 15 puntos ¡Muy Bien! Continúa con ese aprovechamiento y aprendizaje que has obtenido hasta el momento. 10 a 12 puntos ¡Bien! Has conseguido un buen nivel de aprendizaje, esfuérzate un poco más y obtendrás el máximo de tu aprovechamiento. Menos de 10 puntos ¡Adelante! Necesitas dedicarle más tiempo de estudio a los tópicos presentados en el Bloque, concéntrate en los puntos básicos para que puedas desarrollar posteriormente los más complejos.

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Quiero aprender más El rincón de la Ciencia Elipses y parábolas a nuestro alrededor (RC-80) M. A. Gómez nº 30 (Marzo-2005)

Elipses La elipse es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del Sol, pero, por razones obvias no podemos verla tal cual. Encontrar elipses a nuestro alrededor, aparentemente es difícil, pero sólo aparentemente. Vamos a ver a continuación algunos ejemplos. En muchas ciudades es fácil encontrar plazas de planta elíptica, normalmente conocidas por el nombre de “plaza elíptica”. Por ejemplo, en Madrid y Bilbao existen plazas de este tipo. Sin embargo, la plaza de planta elíptica más famosa en el mundo probablemente sea la Plaza de San Pedro en el Vaticano.

Plaza de San Pedro del Vaticano Plaza de San Pedro del Vaticano

También podemos encontrar edificaciones con planta elíptica. Un ejemplo es la iglesia del Monasterio de San Bernardo, más conocido por “Las Bernardas” en Alcalá de Henares. Un templo con una única nave y planta elíptica, con cúpula del mismo trazado. En sus muros se abren seis capillas, cuatro de ellas también de planta elíptica, con diferentes tamaños de sus portadas.

Monasterio de San Bernardo, “Las Bernardas”, en Alcalá de Henares

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Bloque nueve Pero también podemos encontrar elipses en algunos objetos de uso más o menos cotidiano como los que se muestran a continuación.

Mesa elíptica

Altavoz de tres vías

Fuentes de información SITIOS EN INTERNET

• WEBCACHE (Web en línea) http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:bA0pBFvnp-gJ:189.149.15.22/cecyte_files/PLANES%2520Y%2520PROGRAMAS%2520DE%2520 ESTUDIO/BASICO%2520Y%2520PROP/GUIAS/GEOM%2520AN/GUIA.doc+parabola+ejercicios+practicos&cd=2&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-a [Consulta: 11/06/2010] • DISFRUTALASMATEMATICAS (Web en línea) http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjunto-todos-puntos.html [Consulta: 11/06/2010] • CENTROS5.PNTIC.MEC.ES (Web en línea) http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/rc-80/rc-80.html [Consulta: 11/06/2010]

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BLOQUE X UTILIZA DISTINTAS ECUACIONES DE LA ELIPSE UNIDADES DE COMPETENCIA Construye e interpreta modelos auxiliándose de distintas formas de la ecuación de la elipse al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas relacionadas con distintas formas de la ecuación de la elipse. Argumenta la pertinencia de utilizar una forma específica de la ecuación de la elipse dependiendo de la naturaleza de la tarea que tenga que realizar.

Reconocerás la ecuación de la elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de sus elementos. Obtendrás los elementos de una elipse a partir de su ecuación. Explicarás la influencia de los parámetros de la ecuación de la elipse en el comportamiento gráfico de la misma. Desarrollarás la ecuación general de la elipse a partir de la forma ordinaria de la misma. Transitarás entre las formas ordinaria y general de la elipse. Realizarás ejercicios y problemas que implican la determinación o análisis de la ecuación de las elipses.

93

Bloque diez Desarrollando competencias

En el bloque anterior aprendiste el tópico de Elipse con centro en el origen, continuaras con la Elipse pero ahora la veras con Centro en (h, k). Realiza una investigación en la bibliografía de geometría analítica que este a tu disposición, acerca de los elementos de la elipse con centro fuera del origen y completa el siguiente cuadro. Al finalizar, de manera aleatoria, seleccionen a alguno de sus compañeros para que vayan anotando los elementos en el pizarrón, recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando.

Elementos

Elipse Horizontal

Elipse Vertical

Ecuación Ordinaria

Centro

Focos

Vértices

Lado recto

Excentricidad

Como te darás cuenta el lado recto y la excentricidad no cambiaron con respecto a la elipse con centro en el origen, además la relación a 2 = b 2 + c 2 también se sigue cumpliendo, así como la longitud del eje mayor y menor. Te recomendamos de nueva cuenta que repases conceptos como Factorización, Binomios al Cuadrado, simplificación.

94

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Para que obtengas los elementos de la elipse con centro (h, k) tendrás que seguir procedimientos similares a los de la parábola y la circunferencia. Empieza con un ejemplo sencillo.

( x − 5)

Encuentra los elementos y la gráfica de la elipse

2

4

( y + 2) +

2

16

=1

Esta elipse ya está en su forma ordinaria por lo que puedes de deducir que su centro es el punto

C( ,

)

NOTA: las coordenadas del centro parecen sufrir un cambio de signo al obtenerlas por la presencia de un signo negativo en la ecuación ordinaria original.

Y los parámetros a, b también los puedes observar inmediatamente, estos serían:

a: _________

b: _____________

Por lo que puedes deducir que se trata de una elipse vertical debido a que el parámetro a se encuentra debajo de la variable y. Encuentra el parámetro c con la condición a 2 = b 2 + c 2 despejándolo. c: ________________

Una vez que ya cuentas con todos los parámetros sólo debes sustituirlos en las formas correspondientes a los elementos. Empieza con los vértices y focos.

→V1 = (5, Vértices ( h, k ± a )  →V1 = (5, Focos ( h, k ± c ) 

) )

V2 = ( 5, V2 = ( 5,

) )

Eje mayor =________

Eje menor =__________

Lado recto =_________

Excentricidad =__________

95

Bloque diez El último paso es la realización de su gráfica, ubica primero los elementos que tengan coordenadas y luego los que sean longitudes.

La gráfica de la elipse sólo movió su ubicación con respecto al centro pero conserva la misma forma que una elipse con centro en el origen. La obtención de elementos una vez que tienes la ecuación ordinaria de la elipse es muy similar a la elipse con centro en el origen, pero que sucede si te dan una elipse en su forma general. Analiza el siguiente ejemplo: Encuentra los elementos de la elipse con ecuación 4 x 2 + 9 y 2 − 48 x + 72 y + 144 = 0 Esta ecuación la debes poner primero en su forma ordinaria, para eso usaras conocimientos aprendidos en materias anteriores. Agrupa términos semejantes

4 x 2 − 48 x + 9 y 2 + 72 y = −144 Factoriza el término común de cada variable Completa los cuadrados de ambas variables

4( x 2 − 12 x) + 9( y 2 + 8 y ) = −144

4( x 2 − 12 x + 62 ) + 9( y 2 + 8 y + 42 ) = −144 + 4(62 ) + 9(42 )

NOTA: para completar cuadrados debes dividir entre dos el coeficiente del término lineal y elevarlo al cuadrado. Para que se mantenga la igualdad el término que agregues de un lado de la igualdad debes agregarlo también en el otro lado.

96

Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Factoriza los trinomios cuadrados prefectos y simplifica los términos independientes.

Dividiendo entre 144

4 ( x − 6 ) + 9 ( y + 4 ) = 144 2

2

4 9 144 2 2 ( x − 6) + ( y + 4) = 144 144 144

( x − 6) 36

2

( y + 4) + 16

2

=1

Ya obtuviste la forma ordinaria de la ecuación con lo que te será más fácil encontrar sus elementos. Junto con un compañero encuentren los elementos de la elipse anterior y grafíquenla. Una vez que tengan elaborada su gráfica, intercámbienla con sus compañeros de clase, de tal manera que cada pareja revise una gráfica distinta a la que elaboró. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses. 1.- x 2 + 2 y 2 − 2 x + 8 y + 5 = 0 2.- 25 x 2 + 9 y 2 − 18 y − 216 = 0 3.- x 2 + 3 y 2 − 6 x + 6 y = 0 4.- 3 x 2 + y 2 − 24 x + 39 = 0 Al finalizar, de manera aleatoria, selecciona a algunos de tus compañeros para que vayan anotando las respuestas en el pizarrón, recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de ser necesarias las respuestas que se van anotando.

ECUACIÓN DE UNA ELIPSE DADOS CIERTOS ELEMENTOS La ecuación de una elipse se puede obtener si te proporcionan algunos elementos como centro, vértices o focos pero no son los únicos, como en la elipse con centro en el origen sólo tienes que asociar los elementos que te den para obtener los para metros a, b, y el centro ya que con ellos podrás encontrar la ecuación. Halla la ecuación de la elipse con centro (-1,-1), uno de los vértices es el punto (5, -1) y excentricidad e= 2/3.

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Bloque diez Empieza ubicando tus puntos te será más fácil relacionarlos.

Como el centro es (-1, -1) y el vértice (5, -1), tienes que a =__________ y puedes determinar que la elipse es

horizontal y la ecuación que usaras es

Y con la excentricidad e =

c 2 = = a 3

( x − h) a2

2

(y −k) + b2

2

=1

puedes encontrar el valor de c =_________

Por otra parte utilizando a 2 = b 2 + c 2 y despejando b su valor seria b =_______

Para encontrar la ecuación ordinaria sólo tienes que sustituir los parámetros a, b y el centro.

(x + (

) )

2

2

(y+ ) + 2 ( )

2

=1

La anterior es la ecuación ordinaria pero encontremos también la general.

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III Desarrolla los binomios al cuadrado de cada variable.

x2 + x + 1 y 2 + y + 1 + =1 36 20 Y multiplica toda la expresión por el común denominador de los términos para quitar los denominadores

 x2 + x + 1 y 2 + y + 1  + = 1 180  20  36  2 2 5 x + 5 x + 5 + 9 y + 9 y + 9 = 180 2 2 Finalmente ordena los términos y obtendrás 5 x + 9 y + 5 x + 9 y − 166 = 0

Para obtener la ecuación general debes encontrar primero la ordinaria y desarrollarla. Dados los siguientes elementos encuentra la ecuación de la elipse en su forma ordinaria y general. 1.- Centro (3, 1) y un vértice en (3, -2) y excentricidad e= 1/3 2.- Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en (3,1), (3,9) y eje menor de longitud 6. 3.- Determinar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (1, -2), eje mayor horizontal 8 y excentricidad 3/4. 4.-Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (2, 1) y longitud de eje mayor de 5 y longitud del eje menor 2. Al terminar compara tus resultados con tus compañeros a manera de retroalimentación.

Fuentes de información BIBLIOGRAFIA • • • •

Aleksandrov A. D., et al. La matemática: su contenido, métodos y significado I. Alianza Editorial. Madrid 1973. Hernández Velasco Fernando Fabián. Geometría Analítica para principiantes. CCH Oriente. 1997. Salazar Vásquez P. y L. Magaña Cuellar Matemáticas III. México Nueva Imagen, (Colección Científica), 2003, 293 pp. Torres Alcaraz Carlos. Geometría Analítica. México, Santillana, México,

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Bloque diez ¿Qué he aprendido?

Evalúa ahora que tanto aprendiste sobre las diferentes aplicaciones de la ecuación de la elipse, resuelve los siguientes ejercicios. En parejas utiliza el método de completar cuadrados para encontrar la ecuación ordinaria de la elipse dada en forma general y obtén todos sus elementos, incluyendo su gráfica. Y presenta tus resultados ante el grupo. 1.- 25 x 2 + 9 y 2 + 100 x − 18 y − 116 = 0 2.- 3 x 2 + y 2 + 18 x − 2 y + 4 = 0 3.- 16 x 2 + 25 y 2 − 96 x − 200 y + 144 = 0 4.- 4 x 2 − 12 x + 6 y 2 + 36 y + 36 = 0 5.- 9 x 2 + 4 y 2 + 108 y − 56 x + 484 = 0 Al finalizar cada presentación los demás integrantes del grupo llevarán a cabo el ejercicio de retroalimentación, señalando las aéreas de oportunidad aso como los aciertos que tuvo cada presentación. Con los siguientes elementos encuentra la ecuación ordinaria y general de la elipse. 1.- Elipse con centro en (1, -1), Vértice en (1, 4) y Foco (1, 2) 2.- Elipse con centro en (-3, 2), Vértice en (2, 2) y Foco (-1, 2) Resuelve los siguientes problemas en equipos de 4 personas. Una vez elaborado el ejercicio, elijan a dos de los equipos para que expongan su proceso ante el resto del grupo, al finalizar la presentación los alumnos que hablaron sobre su proceso podrán hacer preguntas al resto del grupo con la finalidad de conocer que tan comprensible quedo el tema que expusieron. 1.- Un arco tiene forma de semielipse con una luz de 150 metros siendo su máxima altura de 45 metros. Halla la longitud de dos soportes verticales situados cada uno a igual distancia del extremo del arco.

2.- La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los focos. Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 1, 485 X108 kilómetros y que la excentricidad es 1/62, halla la máxima y la mínima distancia de la tierra al sol

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Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemáticas III A continuación te presentamos una rúbrica de evaluación, esta te ayudará a autoevaluar las competencias planteadas para esta asignatura.

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Bloque diez Quiero aprender más

Te recomendamos visitar los siguientes sitios de internet en donde encontraras más información acerca de los temas vistos en el bloque.

Fuentes de información •

WEBCACHE.GOOGLEUSERCONTENT.COM (Web en línea) http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:bA0pBFvnp-gJ:189.149.15.22/cecyte_files/PLANES% 2520Y%2520PROGRAMAS%2520DE%2520ESTUDIO/BASICO%2520Y%2520PROP/GUIAS/GEOM%2520AN/GUIA. doc+parabola+ejercicios+practicos&cd=2&hl=es&ct=clnk&gl=mx&client=firefox-a [Consulta: 11/06/2010]

•

DISFRUTALASMATEMATICAS.COM (Web en línea) http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/conjunto-todos-puntos.html [Consulta: 11/06/2010]

•

TELEFONICA.NET (Web en línea) http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Geometria/Diferencial/Curvas/Enelplano/Conicas/Elipse.htm [Consulta: 11/06/2010]

•

VITUTOR.COM (Web en línea) http://www.vitutor.com/geo/coni/gActividades.html [Consulta: 11/06/2010]

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CA Matematicas III

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