2
INTRODUCCION Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos, actividades diagnosticas, actividades actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES.
TABLA DE CONTENIDO .................................................................................................................. 6 Sistemas lógicos. Lógica matemática Proposiciones. Términos de enlace. Negación de proposiciones simples. Proposiciones compuestas. compuestas. Conectivos lógicos. Conjunción, Conjunción, disyunción. Valor de Verdad. Verdad. Negación de proposiciones compuestas. Cuantificadores. Conjuntos.- Elemento. Diagramas de Venn – Euler. Determinación de conjuntos. Subconjunto. Conjunto vacio. Conjunto universal. Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, complemento. Propiedades de los conjuntos. Diferencia. Diferencia simétrica. Sistema de numeración. Sistemas antiguos de numeración. Sistema de numeración Maya. Sistema de numeración decimal. Lectura y escritura de números. Sistema Sistema de numeración binario. Sistema de numeración en otras bases. Sistema de numeración Romano. UNIDAD 1 “PENSAMIENTO NUMERICO”
UNIDAD 2 “PENSAMIENTO NUMERICO -VARIACIONAL”
................................ ................ ........................... ........... 39 Sistema numérico natural. Operaciones en el conjunto de los números naturales (adición, sustracción, multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números naturales (Potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y Logaritmación). Variación y ecuaciones. Nociones de cambio (fenómenos con cambio de tiempo y cambio de posición, cambios simultáneos)Ecuaciones (conceptos iníciales, solución de ecuaciones y lenguaje algebraico). Números enteros .Propiedades. Aplicación de los números enteros en la vida cotidiana. Operaciones en el conjunto de los números enteros (adición, sustracción, multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números enteros (potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y logaritmación).Variación y ecuaciones. UNIDAD 3 “PENS AMIENTO
GEOMÉTRICO-METRICO” ............................... ............... ................................ ................ 81 Conceptos básicos de la geometría. Punto. Línea recta. Semirrecta. Segmento. Plano. Construcción de perpendiculares y de paralelas con escuadras. Elementos básicos de geométria. Definición de ángulo. Clasificación de los ángulos según su amplitud y según la suma de sus medidas. Ángulos determinados por dos paralelas y una secante. Construcción de ángulos con transportador. Polígonos. Definición.
2
INTRODUCCION Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos, actividades diagnosticas, actividades actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES.
TABLA DE CONTENIDO .................................................................................................................. 6 Sistemas lógicos. Lógica matemática Proposiciones. Términos de enlace. Negación de proposiciones simples. Proposiciones compuestas. compuestas. Conectivos lógicos. Conjunción, Conjunción, disyunción. Valor de Verdad. Verdad. Negación de proposiciones compuestas. Cuantificadores. Conjuntos.- Elemento. Diagramas de Venn – Euler. Determinación de conjuntos. Subconjunto. Conjunto vacio. Conjunto universal. Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, complemento. Propiedades de los conjuntos. Diferencia. Diferencia simétrica. Sistema de numeración. Sistemas antiguos de numeración. Sistema de numeración Maya. Sistema de numeración decimal. Lectura y escritura de números. Sistema Sistema de numeración binario. Sistema de numeración en otras bases. Sistema de numeración Romano. UNIDAD 1 “PENSAMIENTO NUMERICO”
UNIDAD 2 “PENSAMIENTO NUMERICO -VARIACIONAL”
................................ ................ ........................... ........... 39 Sistema numérico natural. Operaciones en el conjunto de los números naturales (adición, sustracción, multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números naturales (Potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y Logaritmación). Variación y ecuaciones. Nociones de cambio (fenómenos con cambio de tiempo y cambio de posición, cambios simultáneos)Ecuaciones (conceptos iníciales, solución de ecuaciones y lenguaje algebraico). Números enteros .Propiedades. Aplicación de los números enteros en la vida cotidiana. Operaciones en el conjunto de los números enteros (adición, sustracción, multiplicación, división y solución de expresiones aritméticas). Otras operaciones en el conjunto de los números enteros (potenciación y propiedades, expresiones con potencias, radicación, expresiones con raíces y logaritmación).Variación y ecuaciones. UNIDAD 3 “PENS AMIENTO
GEOMÉTRICO-METRICO” ............................... ............... ................................ ................ 81 Conceptos básicos de la geometría. Punto. Línea recta. Semirrecta. Segmento. Plano. Construcción de perpendiculares y de paralelas con escuadras. Elementos básicos de geométria. Definición de ángulo. Clasificación de los ángulos según su amplitud y según la suma de sus medidas. Ángulos determinados por dos paralelas y una secante. Construcción de ángulos con transportador. Polígonos. Definición.
Propiedades y aplicación. Unidades de medida. Unidades de longitud, de peso, capacidad, superficie, volumen
3
UNIDAD 4 “PENSAMIENTO ALEATORIO”
.............................................................................................................110 .............................................................................................................110 Estadística. Conceptos (Estadística. Tipos de estadísticas. Aplicaciones. Usos). Población. Muestra. Elemento. Datos. Variables. Clases de variables. Concepto de investigación y de estudio. Medidas de tendencia central. Moda, mediana y media aritmética. BIBLIOGRAFIA.......................................................................................... 125 NOTA: NOTA: todas las unidades cuentan con actividades, ejercicios, talleres, evaluaciones, trabajos prácticos, actividades de nivelación, talleres tipo SABER-ICFES, ejercicios o actividades complementarias, ejercicios resueltos, entre otras.
UNIDAD 1 “PENSAMIENTO
4
NUMERICO”
PROPOSICIONES LÓGICAS Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F) Notación Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Proposición q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V) s: El perro es un ave. (F) t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F) u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición p: ¡Viva el Perú 1! EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones ACTIVIDAD 1 I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: a) 5 + 7 = 16 - 4 ( ) b) ¡Estudie lógica proposicional! ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( ) d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2 23 x 5 ( ) e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( ) f) 20 -18 = 2 ( ) g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( ) h) Un lápiz no es un cuaderno ( )
i) ¿Eres estudiante de matemática? j) 15 < 13 k) Ponga atención
5
( ) ( ) ( )
ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable". Ejemplos: a) p: x es la capital del Perú Sí x: Lima, Quito…
Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es verdadero (V) Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F) b) q: y + 4 = 11 , y es número natural Y: 0; 1; 2; 3; 4;…..
Para q (1): 1+ 4 = 11 q (7): 8+4 = 11
, es falso (F) , es verdadero (V) ACTIVIDAD 2
1. Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas y falsas a) x es hermano de y b) 28 < 15 c) El es arquitecto d) Tenga calma ,no se impaciente e) 9x + 3 = 12 , x R f) x es Ingeniero y Juan es Matemático g) 3x – 8 > 15 , x R h) x + y 15 , x , y R i) 2x + 5 > 11, x R j) 3x + 7 = 11, x N l) x es un animal CLASE DE PROPOSICIONES A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional. Por ejemplo, sea la proposición p: 3 + 6 = 9 B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo:
6
r: Pitágoras era griego y era geómetra p q Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra. Ejemplo: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples: r: Juan es profesor y s : Manuel es arquitecto Es decir , p : r o s CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan proposiciones simples A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba:
1.-NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: P : Diego estudia matemática ~p : Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p
~p
V F
F V
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.
7
Ejemplo: La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es ~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática
2.-CONJUNCIÓN
Símbolo ~
Operación asociada Significado no p o no es Negación cierto que p pyq Conjunción o producto lógico
p o q (en sentido incluyente)
Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación
p implica q, o si p entonces q p si y sólo si q
Diferencia simétrica p o q (en sentido excluyente) Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q") Ejemplo: Sea la declaración i) 5 es un número impar y 6 es un número par
p q vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son
8
p: 5 es un número impar q: 6 es un número par y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera. Tabla de verdad p V V F F
q V F V F
p q V F F F
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7 q : Todo número par es múltiplo de dos Entonces : p q : 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera 3.-DISYUNCIÓN Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q , se lee ” poq“ Ejemplo 1.
Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V. La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera Tabla de verdad p V V F F
q V F V F
p q V V V F
Ejemplo2 Si p : Hace frió en Invierno , y q : Napoleón invadió Lima p q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió Lima Por ser al menos una de la proposiciones verdadera la conjunción es verdadera
9
4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. Ejemplo. Supongamos la implicación i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro p
q
La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.
p V V F F
Tabla de verdad q p q V V F F V V F V
La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q")
10
Ejemplo 1: p : Karina ingresa a la universidad q : Karina estudia mucho Entonces: p q : Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho. Ejemplo 2: Sea i) a = b si y sólo si a² = b² El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a² = b² Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.
p V V F F
Tabla de verdad q p q V V F F V F F V
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos: p
q
V V F F
V F V F
p q V F V V
qp
(p q) (q p)
V V F V
V F F V
Diferencia Simétrica Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:
11
p V V F F
q V F V F
p q F V V F
La verdad de p q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Ejemplo. Sea i) o vamos a Lima o vamos a Ica Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Ejemplo. Sea p: p q, recordamos su tabla de verdad
p V V F F
q V F V F
p q V F V V
Ahora bien , si analizamos la proposición q: ~p q, su tabla de verdad resulta: p V V F F
q V F V F
~p q V F V V
12
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p q) (~p q)
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:
~{ (p q) (s t) } Tautología Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo.
Si analizamos la proposición t: p ~p realizando su tabla de verdad: p
~p
p ~p
V F
F V
V V
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición t: p ~p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología. Ejemplo.Analizemos ahora la fórmula lógica { ( p q ) p } q
p V V F F
q V F V F
p q V F V V
qp V F F F
{ ( p q ) p } q V V V V
13
En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Contradicción Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo Analizemos la fórmula lógica p ~p
p
~p
p ~p
V F
F V
F F
Contingencia Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia. p LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL V V F F
q V F V F
pq V F V V
(p ~q) F V F F
~(p ~q) p q ~(p ~q) V V F V V V V V
Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: Involución ~(~p) p (se lee "no, no p, equivale a p") Idempotencia (p ~p) p (p ~p) p Conmutatividad
14
a) de la disyunción: p q q p b) de la conjunción: p q q p Asociatividad a) de la disyunción: (p q) r p (q r) b) de la conjunción: (p q) r p (q r) Distributividad a)de la conjunción respecto de la disyunción: (p q) r (p r) (q r) b)de la disyunción respecto de la conjunción: (p q) r (p r) (q r) Leyes de De Morgan ~( p q ) ~p ~q " La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones" ~( p q ) ~p ~q "La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones" Negación de una Implicación
Las proposiciones p q y ~(p ~q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes: Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir ~(p q) ~{ ~(p ~q)}, y podemos concluir entonces que: ~( p q ) ( p ~q) Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente.
Funciones proposicionales y cuantificadores
15
Cuantificadores A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos x y x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones Cuantificador Universal: Para todo x, se verifica p (x) ,se denota por x : p(x) Cuantificador existencial Existe x, tal que se verifica p (x) , se denota por x / p(x) Corresponden a una función proposicional p (x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo. Ejemplo.
Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" Es "Existen enteros que no son impares" y en símbolos: x / ~p(x) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional. Ejemplo.
Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario. Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales: p(x) : es alumno de mi colegio q(x) : es aplicado Tenemos: x : p(x) q(x)
Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:
16
x / p(x) ~q(x)
Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta: Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados TALLER 1 1.-Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur. b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5 c).- 24 es un número par y 42 es un número impar d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita con Chile. 2.- Formalice las siguientes proposiciones a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer la docencia d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo" e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodia f) Si te cuesta entender las cosas , pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio Aritmética h) Roxana estudia o trabaja , pero si no estudia entonces trabaja . En consecuencia , Roxana no trabaja hoy no es lunes 3. - Clasifique como tautología, contradicción moleculares: a)[(pΛ q)
→
q]v p
b) (p q) v p c) p (pΛq) →
→
d) ˜(p v q) Λ p e) [ (p ˜ q) Λ p ] f) ˜p v ˜( p v q ) →
˜q
→
y contingencia. Los siguientes
esquemas
17
4. - Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente , halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p V ( p q ) b) ( p V q ) p
c) p Λ ( p q ) d) (p V q ) [ p Λ ( p q ) ]
→
→
→
↔
→
5.- Si p=V , q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: r e) ( p ˜ q ) r a) (p Λ q ) ( ˜ p V r ) c) p Λ q →
b) ˜ r Λ [p
→
(rV q)]
→
6.- a)Si la proposición p
d) )[(pΛ q)
→
↔
(q Λ r )]
↔
˜p
f) ( ˜ p V q )
→
(˜rΛq)
→
( ˜ p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ˜ (p V q ) b) Si la proposición ( p Λ q ) ( q r ) , es falsa determine el valor de : p V r →
→
→
7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o indeterminaciones(contingencias)? a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no estoy loco. b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no tengo razón. c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar Equivocado. Por tanto, estoy equivocado. d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo Tiempo. e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta. 8. Clasifica los siguientes enunciados: Proposición, Enunciado abierto, enunciado I)
35 – 17 = 18
(…………….) II) 2 + 5 > 3 (…………….) III) ¿Estudias Matemática? (…………….) IV) 9 es número primo (…………….) V) ¡Eres grande Perú! (………… ..) VI) 27 - x = 40 (……………)
9. -Formalice la siguiente proposición: Es falso que, estudie y no voy al cine 10. - Decir si la siguiente proposición es tautología, contingencia o contradicción: ( p q) (
p
q)
11. - Dada las siguientes premisas: p: Hoy es feriado
18
q: Mañana es día laborable r: Voy a clase
Formaliza la proposición: “No es verdad que, Hoy sea feriado y que no asista a clase. Por lo tanto voy a
clase. 12. -Si la proposición: ( p q)
p
(p
p
q)
(
p
q)
, es falsa indicar el valor de verdad de la proposición:
13. -A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar equivocado. Por tanto, estoy equivocado CONECTIVOS LÓGICOS ^ conjunción
~ negación
V disyunción p
P
q implicación
q
SINÓNIMOS y También Aún A la vez No obstante Además Pero Sin embargo Aunque No es cierto que Es falso que No es el caso que No sucede que O A menos que p es condición suficiente para q Si p , q q si p Que p siempre que q Cuando p , q q es condición necesaria para p En caso de que p entonces q p solo si q Si y sólo si Cuando y sólo cuando Equivale a Es necesario y suficiente para En el caso , y sólo en el caso , de que
19
14. - Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones , función proposicional .Determine su valor de verdad: a) El pisco es peruano b) 3 es un número racional c) ¡ Viva el Perú! d) Un triángulo es un polígono de tres lados e) x es hermano de y f) 28 < 15 g)¿Te gusta la Matemática? h) El es arquitecto i) 36 2 2 8
2
1
j)Tenga calma ,no se impaciente k) 9x + 3 = 12 , x R l)18 es múltiplo de 3 ll) x R, x x1 m)x es Ingeniero y Juan es Matemático n) x Q / 1 .x 1 3
ñ)Los cuadriláteros tienen 3 lados o)3x – 8 > 15 , x R p) x + y 15 , x , y R q) 2x + 5 > 11, x R r) 3x + 7 = 11, x N t)x es un animal 15. a) Si p es verdadera determinar el valor de verdad de ~p q b)Si p es falsa p vq c) Si p es falsa , entonces ~p q es d) Si la proposición (p ^ q) r es falsa , determina el valor de las proposiciones: →
→
d .1( p r ) q d .2( p q) r
d .3( p q) r d .4(r p) (q p)
16. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la siguiente información :
[(p v q ) ^ ~q] q es falsa y
[(~p ^ ~q )
→
→
20
q ] ^ (p v q ) es verdadera
17. - Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: e) x R, x
a) x N , x 1 2 b) x N / x 7 0 c) x Q, x 2
4 d ) Si. x , x 2 0
0
1
f ) x R / x 1 g ) x R /
ll ) x / x 4
1 x
x 2 4 x 2
h) x R / x 2
x 2
4
i ) x Q / 2 x 1 0
m) x R , x
x
j ) x Z , x 2
n) x R , x
x
ñ) x R, x 1
2 x 1 0 k ) x I / x 3 0 l ) x x 2 0
1 x
9 0
TEORÍA DE CONJUNTOS Definición Conjunto: es la colección de reunión de objetos en la que se sabe cuáles pertenecen a ella y cuáles no. Los objetos que componen un conjunto se denominan elementos. Hay conjuntos que tienen un solo elemento; otros no tienen elemento alguno. Ejemplos de conjuntos:
Conjunto formado por todas las piezas de un carro. Conjunto compuestos por los objetos dentro de la cartera de una Dama. Conjunto constituido por las instalaciones de un Conjunto Residencial. Conjunto formado por los componentes de un computador. Conjunto formado por las piezas publicitarias para un producto. Conjunto al que pertenecen los números pares.
Formas de determinar o describir conjuntos Existen dos formas para determinar, describir o definir un conjunto: por extensión y por compresión.
Por Extensión Un conjunto se determina por extensión cuando se nombran cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A={parachoques, cauchos, amortiguadores, motor, caja, volante..........} B={monedero, lentes, lápiz labial, polvo compacto, pastillero..............} C={apartamentos, conserjería, ascensores, estacionamiento, escaleras....} D={pantalla, mouse, teclado, unidad de discos, cpu}
E={comercial de tv, anuncio de radio, vallas, anuncios de prensa, volantes, internet}
21
Por Comprensión Un conjunto se determina por extensión cuando se da por una propiedad o una regla que verifican todos sus elementos y solo ellos. Ejemplos: A={ piezas de un carro} B={ objetos dentro de la cartera de una Dama} C={ instalaciones de un Conjunto Residencial} D={ componentes de un computador} E={ piezas publicitarias para un producto} Simbología Los conjuntos como ya se expreso en los puntos anteriores se representan usualmente con letras mayúsculas (A, B, C....), los elementos con letras minúsculas van separados por comas y encerrados entre llaves ({}).
La forma gráfica de representar los conjuntos es mediante el uso del diagrama de Venn. En estos diagramas se utilizan áreas rectangulares y circulares para visualizar los conjuntos. Como se muestra en la siguiente figura. D
C
E
Para denotar que un elemento x forma parte de un conjunto A, lo denotamos dela siguiente forma: x A que expresa que: “ x pertenece a A”. La no pertenencia o bien la propiedad de no ser el elemento a un objeto del conjunto A, lo expresamos como sigue: a A que expresa: “ x no pertenece a A”. En el desarrollo del curso se usaran con frecuencia entre otros los siguientes símbolos: = símbolo de igualdad símbolo usado para expresar “diferente de”
> mayor que mayor o igual que
< menor que
22
menor o igual que
/ tal que subconjunto de intersección de conjuntos
C complementación de conjuntos Clases de Conjuntos
Conjunto Vacío: es el que no contiene ningún elemento y se simboliza por Ø o { }. Ejemplo: A={conjunto de perros que hablan} Conjunto Unitario: reciben el nombre de conjunto unitario aquellos conjuntos compuestos por un sólo elemento. Ejemplo: B={mes del año que empiece por f} Conjunto Finito: es el conjunto compuesto por un número determinado de elementos. C= {x / x Z+ , x < 5} o C=={1,2,3,4} Conjunto Infinito: es el conjunto que por su cantidad de elementos es difícil de cuantificar. Ejemplo: C= {x / x Z} Z son los números enteros Conjunto Universal Conjuntos Disjuntos o Disyuntos son los conjuntos cuya intersección no existe, es decir no se interceptan entre sí Operaciones con Conjuntos
Antes de describir las operaciones de conjuntos vale destacar las siguientes relaciones de conjuntos. Relación de Contenencia o Subconjunto: si todos los elementos de un conjunto cualquiera S pertenecen a otro R, decimos que el primero está incluido en el segundo o que S es subconjunto de R y se denota: S R
R S
23
Partes de un conjunto: se denomina parte de un conjunto A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se simboliza por P(A). El número de elementos del conjuntos partes de A es 2n, donde n es el número de elementos de A. Ejemplo: Dado el conjunto A={ guante, pelota, bate} El número de subconjuntos de A es 8, ya que 2 3 = 8 y dichos subconjuntos son: {guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate}, { guante, pelota, bate}, { } Luego P(A)= {{guante},{pelota}, {bate},{guante, pelota}, {guante, bate}, {pelota, bate}, { guante, pelota, bate}, { }} El cardinal de un conjunto: es el número de elementos de un determinado conjunto y se denota con la letra n y acompañado entre paréntesis del nombre del conjunto. Ejemplo el cardinal del conjunto A se representará como n(A). Las operaciones con conjunto más comunes son: la unión, la intersección, el complemento y la diferencia. Unión: cuando se unen dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por todos los elementos de A, de B de a ambos. La unión se simboliza A B En general: AB = C ={ x / x A x B } U A
B
n(A B)= n(A)+n(B)- n(A B) Intersección: cuando se intersecan dos conjuntos A y B, se obtiene un tercer conjunto C formado por los elementos comunes a los dos conjuntos. La unión se simboliza A B y se lee A intersección B. En general: AB = C ={ x / x A x B }
