INTRODUCCION Cada unidad de este modulo contiene los elementos teóricos necesarios de cada uno de los temas señalados utilizando un lenguaje sencillo, el cual pueda generar confianza hacia el estudiante, además cada capítulo contiene un número suficiente de ejercicios resueltos junto con ejercicios propuestos, actividades diagnosticas, actividades evaluativas, talleres y evaluaciones tipo SABER-ICFES. TABLA DE CONTENIDO UNIDAD 1 PENSAMIENTO NUMERICO-VARIACIONAL” ……………………………….3 Conjuntos Numéricos. Números Reales. Desigualdades e inecuaciones. Solución De Inecuaciones de Primer Grado Con Una Incógnita. Solución De Inecuaciones Cuadráticas Y Racionales. Valor Absoluto, Propiedades. Ecuaciones E Inecuaciones Con Valor Absoluto. Repaso de inecuaciones. UNIDAD 2 “PENSAMIENTO GEOMETRICO-METRICO”….…………………………….81 Sucesiones. Términos general. Representación gráfica. Clasificación. Sucesiones, acotadas, convergentes, divergentes. Límite de sucesiones. Límite de una función en un punto. Propiedades. Límites en el infinito. Ramas Infinitas. Asíntotas de una curva. Cálculo de límites. El número e. Función continua en un punto y en un intervalo. Propiedades. Teoremas relacionados con la continuidad de las funciones. Derivadas. Formula de derivación. Área bajo una curva. Concepto de Derivada de una función en un punto. Función derivada de otra función. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones. Aplicaciones de la derivada. Representación de funciones polinómicas y racionales. primitivas. Concepto de integral de una función continúa. Propiedades de la integral. Relación de la integral con la derivada. Teorema fundamental. Aplicaciones matemáticas y Físicas de la integral. BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………………………205 NOTA: todas las unidades cuentan con actividades, ejercicios, talleres, evaluaciones, trabajos prácticos, actividades de nivelación, talleres tipo SABERICFES, ejercicios o actividades complementarias, ejercicio resuelto, entre otras.
UNIDAD 1 PENSAMIENTO NUMÉRICO VARIACIONAL CONJUNTOS NUMERICOS
REPASANDO: NÚMEROS IRRACIONALES (I, Q') Son aquellos números decimales infinitos no periódicos. Los números = 3,141592 …, 2 = 1,414213 … son ejemplos de números irracionales. OBSERVACIÓN: La definición y algunas propiedades de las raíces cuadradas, para a y b números racionales no negativos, son:
DEFINICIÓN:
a
b
b
2
a
PROPIEDADES: 1)
a
b
ab
2)
a b
a b
3)
a b
a2b
EJEMPLOS 1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional? A) 4 B) 9 C) 16 D) 27 E) 0,25 2. Si a = 2 y b = 8, entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) número(s) irracional(es)? I) ab II) ab2 III) a b A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) Sólo II y III E) Sólo Ninguna de las anteriores 3. Al ordenar en forma creciente los números a = obtiene A) a, b, c B) a, c, b C) b, c, a D) c, a, b E) b, a, c
4 2
,b=
3 3
y c =2
7
, se
NÚMEROS REALES (lR) La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el conjunto de los números reales el cual se expresa como lR; Es decir, IR
Q
Q'
OPERATORIA EN lR * El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional (excluyendo la división por cero). * La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.
* Por otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q’) da como resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero. OBSERVACIÓN No son números reales las expresiones de la forma
n
a,
con a < 0 y n par.
EJEMPLOS 1. La expresión 5 x es un número real para: I) Cualquier valor de x. II) x = 5 III) x < 5 Es(son) verdadera(s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguna de ellas 2. Si
q
1 2
y
p
irracional(es)? I) q2 · p II) p2 · q III) p : q A) Sólo I C) Sólo I y III E) I, II y III
2 , ¿cuál(es) de las
siguientes expresiones es(son) número(s)
B) Sólo II D) Sólo II y III ACTIVIDAD 1
1. Clasifico los siguientes números como naturales, enteros, racionales irracionales o reales: -3
2,7
3
2
2
3
3
4
7
1,5
3
8
7
2
3
9
1,020020002…
3
2
2,131331333…
2. Ordeno los siguientes números reales, de menor a mayor: a)
11 20 y 5 9
10 y 3
b)
2 8 y 3 13
c)
33 10
0,34 d) 0,3444… y
e) 3,45 y
13
e) 2,05 y
5
TALLER TIPO TEST (SABER-ICFES) 1. ¿Cuál de los siguientes números es racional? A) 5 B) 5 5 C) 25 5 5 25
D) E)
0
5
2. ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)? I) 3 12 II) 2 2 2 III)
5 125
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
4. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Al dividir dos números irracionales el cuociente es irracional. II) Al multiplicar un número real con un número racional, el producto es racional. III) Al sumar dos números irracionales, la suma es un número real. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III D) Todas ellas E) Ninguna de ellas
a es irracional si: (1) a es primo. (2) a es múltiplo de 3. A) (1) por sí sola 3. Al ordenar en forma decreciente los B) (2) por sí sola números a = 3 5 , b = 4 3 y c = 5 2 , C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) se obtiene E) Se requiere información adicional A) c, b, a B) a, b, c 6. Sean r = x 2 y s = x + 2 . Los C) b, a, c números r y s son racionales si: D) c, a, b (1) x es un número irracional E) b, c, a
5.
negativo. (2) x es el inverso aditivo de 2 . A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
DESIGUALDADES E INECUACIONES Inecuaciones. Desigualdad: se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad , , , . Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente igual a la unidad. Expresión general: son de la forma ax by c y todas sus equivalentes ax by c , o ax by c , etc. … Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas. Pueden ser de grado mayor que uno en las dos o en una sola de las variables. y x 2 2x 5 , o bien x 2 y2 16 . Como mucho estudiaremos del tipo primero, las del tipo segundo requieren de un conocimiento de las cónicas del que aún no disponemos. Las del tipo primero, pese a tratarse también de cónicas, éstas ya las conocemos como función cuadrática o parábola simple, es decir,
2
ecuaciones de la forma y ax bx c .
Método de resolución: se trata en el fondo de ecuaciones de rectas o parábolas que debemos resolver y luego analizar las zonas del plano en que se cumple la desigualdad inicial. Para las inecuaciones de la forma ax by c , pasamos primero a la ecuación lineal y mx b , despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecuación de una recta en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que y mx b y el otro los puntos tales que y mx b . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello: Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abscisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la recta es tal que y mx b , prolongando la perpendicular encontraremos los puntos tales que y mx b , y por debajo estarán los que cumplen que y mx b . Ejemplo_1: sea la inecuación 2x y 4 . Pasamos a la ecuación de la recta y 2x 4 , la cual dibujamos dando valores a x e y.
x 0 2
y 4 0
con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos
puntos pasa una y solo una recta. Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que ésta corta a la recta la ordenada y cumple la ecuación de la misma, es decir y = r, un punto por encima es mayor y uno por debajo es menor. 2x 4 , los Como la y, es ysombreado. puntosnuestra que la inecuación, cumplen sondespejada los del semiplano La recta no está incluida por ser la desigualdad estricta.
Ejemplo_2: 2x y 4 , es similar al anterior, solo cambia el sentido de la desigualdad y el hecho de que ahora no es estricta. Pasamos a la ecuación y 2x 4 , igual que antes. Damos valores a x e y para dibujarla:
x 0 2
y 4 0
la dibujamos y procedemos como antes. Ahora la rec-
ta está incluida en la solución.
y>r y=r y
y>r y=r y
c 0 , pasamos primero a Para las inecuaciones de la forma dy ax 2 bx 2 la ecuación y Ax Bx C , despejando de modo adecuado. Ésta no es más que la ecuación de una parábola en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que y Ax 2 Bx C y el otro los puntos tales que y Ax 2 Bx C . Se trata pues de determinar qué puntos son los que cumplen la desigualdad o inecuación previa. Para ello:
Dibujamos la parábola, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abscisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que ésta corta a la parábola es tal que y Ax 2 Bx C , prolongando la perpendicular encontraremos los puntos tales que y Ax 2 Bx C , y por debajo estarán los que cumplen que y Ax 2 Bx C . Ejemplo_1: sea la inecuación x 2 y 1 . Pasamos a la ecuación, des pejando siempre la y, y x 2 1 la cual dibujamos dando valores a x e y, o bien aplicando las técnicas vistas para dibujar parábolas, es decir: Buscar el vértice y los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas, los cuales son:
b 0 0 yv 1 2a 2 1 Puntos de corte con el OX x2 1 0 x Punto de corte con el OY y c y 1
Vértice,
xv
1
Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que ésta corta a la parábola la
ordenada y cumple la ecuación de la misma, es decir y = p, un punto por encima es mayor y uno por debajo es menor. Como nuestra inecuación, despejada la y, es y x 2 1 , los puntos que la cumplen son los del semiplano sombreado. La parábola no está incluida por ser la desigualdad estricta.
y>p
y=p
y
Sistemas de inecuaciones mixtas con dos variables: son sistemas formados por una inecuación de primer grado y dos
variables con otra de primer grado, también con dos variables. O bien ambas de segundo grado. O bien una de cada.
Sistemas de dos ecuaciones y dos variables de primer grado: son de la a x b y c
forma a1 x b1 y c1 , o cualquiera de sus variaciones.
2
2
2
Método de resolución: dibujamos ambas rectas por separado. Buscamos los semiplanos que cada recta produce en el plano, y por último buscamos las zonas de intersección de ambos, o los puntos del plano que cumplen ambas desigualdades simultáneamente.
x y 5
Ejemplo_1: 2x y 2 Solución No está incluida Está incluida
Sistemas de dos ecuaciones y dos variables, una de primer grado y la a1 x b1 y c1 2 d1 y a 2 x b2 x
otra de segundo: son de la forma
c2
0
, o cualquiera
de variaciones. sus Método de resolución: dibujamos la recta y la parábola en el mismo plano y buscamos la zona del plano común a ambas desigualdades.
x 2 y 4 , la solución en la gráfica_2. y 2x
Ejemplo_2:
Sistemas de dos ecuaciones y dos variables, ambas de segundo grado: 2 d1 y a1x b1 x 2 d2 ya 2 x b2 x
son de la forma
c1 c2
0 0
, o cualquiera de sus variaciones.
Método de resolución: dibujamos ambas parábolas y buscamos la zona del plano que cumple ambas desigualdades.
No están incluidos los cierres
Solución
Gráfica_2
x 2 y 4 Ejemplo_3: , la solución en la gráfica_3. 2 y x 4
No están incluidos los cierres Gráfica_3
Solución
Sistemas de más de dos ecuaciones y dos variables de primer grado: a1 x b1 y c1 a x b y c 2 2 2 son de la forma a 3 x b3 y c3 , o cualquiera de sus variaciones. a n x bn y cn
Método de resolución: el mismo seguido hasta ahora, la dificultad estará solo en el número de ecuaciones que intervengan y en el orden y claridad que sigamos para ir dibujando las distintas regiones pertenecientes a cada inecuación por separado, para de este modo poder ver con claridad cual es la región común a todas ellas, conocida ésta como región factible.
4x y 20
Ejemplo_1: y 8
x 2y 12
4x 3y 12 x 2y 6 Ejemplo_2: x y 5 x0 y 0
ACTIVIDAD 1 P1.- Resolver las siguientes inecuaciones con dos incógnitas: a) x 2y 5
b)
d)
e)
3x 2y 2
2y 3 2
x 1 3
c)
3x 2y 5 0
f) x 3 x 1 y
2x 3y 0 2
g) x 1 x 2 y
h)
x
4x 3 y
i) x 2 y
P2.- Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas: x y 3
a) 3x 3y 9
x y 3y 8
b) y 2x 4
x 3y 2 0
x y 2 0
c) x 1 y
y 8
x y
d) 2x y 3 0
e) x y 0
4x 3y 12 x 2 y 6 g) xx y0 5 y 0
x 0 y 0 h) 2x 3y 12 4x 9 y 30
x 4y 12 0
x1x3 x 3 2 j) 4x 2 x 1 x 4 3 x 3y 2 0
x 0 y 0 y x x 2y 12
x y
2 x 2
n) x y 0
2 p) x 2 y 32 x y 4x
2 q) y 4x x y x 1
x
1 x 2 3x
i) 3 x 2 5x x 0 y 0 l) y 2 x y x 1
m) 2x y 3 0
x 4y 12 0
f) 4x y 20 x 2y 12
2x y 2 0
k)
2x y 2 0
o) y 4
xy10
y x 1 r) x 2 y 1 y x2 x
x 3y 2 0
x 2y 3 0
0 s) 2x y 3
t) x 2y 3 0
x 2y 4 0 x 2y 7 0 2x 3y 0 2x y 4 0
3x y 3 0
EJERCICIOS ECUACIONES E INECUACIONES Ejercicio nº 1.Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones: a)
x
2
16 3
x
2 3x x 2 3 3
b)x 4 5 x 2 36 0
Solución: a)
x 2 16 2 3x x 2 x 3 3 3 x 2 16 3 x 2 3 x x 2 3 3 3 3
x 2 16 3 x 2 3 x x 2 2x 2 18 0 2x 2 18 x2 9
x
9
x 3 x 3
b) x 4 5 x 2 36 0 Cambio: x 2 z
x 4 z2
2
z 5z 36 0 z
5
25 144 2
Dos soluciones: x1
5 169 2
x2
5 13 2
z 9 x 3 z 4 (no vale)
u)
Ejercicio nº 2.-
Resuelve: a)
x
5 x 3
4x
b)
x
2
x
x
2
14 3
Solución: a)
x 5 x 3 x 5
3x
x 5 9 x 2 6x
0 x 2 5x 4 x
5 25 16 2
5 9
2
53 2
x 1 x 4
Comprobación: x 1
4 1 2 1 3
x 4
1 4 1 4 5 3
x 1 sí vale x 4 no vale
Hay una solución: x b)
4x x 14 x 2 x 2 3 14x 2 x 2 12x x 2 3 x x 2 2 3x 2 3x 2 3x 2 x 2 x 2 x
12x 2 24 x 3 x 2 6 x 14 x 2 4 2
2
15x 18x 14x 56 x2
x
18x 56 0
18
324 224 2
Ejercicio nº 3.-
Factoriza y resuelve:
18
100 2
18 10 2
x 14 x 4
x
4
x 3 9x 2 9 x 0
Solución: Sacamos factor común: x4
x 3 9x 2 9x x x 3 x 2 9x 9 0
Factorizamos x 3 x 2 9 x 9 :
x 0 x 1 0 x 1 1 x 3 x 3 0 x x 9 x 9 x x x x 3 0 x 3 x 3 0 x 3 4
3
2
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 0,
x 2 1,
x 3 3,
x 4 3
Ejercicio nº 4.-
En un examen tipo test, que constaba de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de 32,5 puntos, ¿cuántas preguntas acertó? Solución:
Llamamos x al número de preguntas que acertó. Así :
Acertó x Falló 40 x
Como cada acierto vale un punto, y cada fallo resta medio punto, la puntuación total fue:
x 0, 5 40 x 32, 5
Resolvemos la ecuación: x 20 0, 5 x 32, 5
0, 5 x 12, 5 x
12, 5 25 0, 5
Por tanto, acertó 25 preguntas. Ejercicio nº 5.-
Resuelve analíticamente el siguiente sistema de ecuaciones e interpreta gráficamente la solución: x
1 3
3x
y
2 7 y
2
Solución:
x 1
y 2 3 2 3x y 7
2 x 2 3y 12 6 6 6 3x y 7
2x 3y 14 3x y 7
y 7 3 x;
2x 21 9 x 14 ;
Solución: x
2 x 2 3 y 12 3x y 7
2x 3 7 3 x 14
2x 9 x 14 21;
7x 7 ; x 1; y 7 3 1 7 3 4
y
14 2 x 3 Estas dos rectas se cortan en el punto (1, 4). y 7 3x
2x 3y 14
y
3x y 7
Ejercicio nº 6.-
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x y 6 x
y 3
Solución: 2x y 6
y 6 2x
6 2x
x 3
x y 3
x 3 y
3 2x
x
2
3 2x 2
x
13
x ;
9 4 x 2 12x x;
169 144 8
13 8
25
4 x 2 13x 9 0
13 5 8
18 9 x 8 4 no válida x 1 y 4
La solución x 9 no es válida, puesto que 3 2 9 3 4 4 2
La única solución del sistema es x
9 3 4 2
y
Ejercicio nº 7.-
En empresa obtienen 6 pierden euros depor beneficio por cada envío hacen;2 pero si elunaenvío es defectuoso, él 8 euros. En un día que hicieron 100 envíos, obteniendo 9 688 euros de beneficio. ¿Cuántos envíos válidos y cuántos defectuosos hicieron ese día? Solución: Llamamos x al número de envíos válidos e y al número de envíos defectuosos. Así:
x y 2 100 6 x 8y 9 688
y 2 100 x
6 x 8 2 100 x 9 688
6 x 16 800 8 x 9 688; 14x 26 488;
x
1 892
y 2 100 1 892 208
Por tanto, el número de envíos válidos fue de 1 892 y el de envíos defectuosos, 208. Ejercicio nº 8.Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 3x 2 4 2 x 6 x 1
Solución: 3x 2 4
3 x 6 x 2 x 7 x 7
2 x 6 x 1
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: {x < 2 y x
x
x
Ejercicio nº 9.Resuelve gráficamente:
2x y Solución: 2x y x y Representamos la recta 2x y
y
x
dos mitades. desigualdad. Por tanto, las soluciones de la inecuación 2x y puntos de la región señalada, incluida la recta:
Ejercicio 10.- de las sig uientes ecuaciones: Obtén lasnºsoluciones a) x x
4 5
1
x x
b) x 4
3
48x 2 49 0
Solución: a) x x 4 5 x2
4x 5
x x 1 3 x2
x 3
3 x 2 12x 15 x 2 x 2x 2 13x 15 0
x
13 169 120 4
13 289 4
13 17 4
x 1 30 15 x 4 2
b) x 4 48 x 2 49 0 Cambio: x 2 z z2
x 4 z2
48z 49 0
z
48
2 304 196 2
Dos soluciones: x1
48
2 500 2
z 49 x 7 48 50 2 z 1 (no vale)
x2
Ejercicio nº 11.Resuelve estas ecuaciones: a)
3 x 16 2 x 1
b)
3 x
Solución:
2 x
2
1
4 x
2
3 x 16 2 x 1
a)
2
3 x 16 2x 1 2
3 x 16 4 x 1 4 x 0 4 x 2 7 x 15 x
7
49 240 8
7
289 8
x 3 x 10 5 8 4
7 17 8
Comprobación: x 3 x
5 4
25 5
x 3 sí vale.
49 7 7 4 2 2
x
Hay una solución: x b)
3 2 4 1 2 x x2 x 3x x2
2 x2
x2 x2
4 x2
3x 2 x 2 4 0 x 2 3x 2 x
3
98 2
3 1 2
x 2 x 1
Ejercicio nº 12.Resuelve la siguiente ecuación: x
3
4x 2 x 4 0
Solución:
Factorizamos:
5 4
no vale.
1 x 1 x 4 0 x 3 4 x 2 x 4 x
x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 4 0 x 4
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: x1 1,
x 2 1,
x 3 4
Ejercicio nº 13.-
Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son? Solución: Llamamos x al número de amigos. Cada uno tiene que pagar
500 euros. x
Si fueran x 500 12,5 euros ( 12,5 euros menos) x
500 12, 5 500 x
Como en total son 500 euros, x 2
Resolvemos la ecuación: 500 12, 5 x
12, 5 x
1 000 25 500 x
1 000 25 0 x
12,5 x 2 1 000 25x 0 12, 5 x 2 25 x 1 000 0 x
25 625 50000 25
25 50625 25
25 225 25
Son, por tanto, 8 amigos. Ejercicio nº 14.-
Resuelve analítica y gráficamente este sistema: y y
x 2 3x 2 x 6 0
x 8 x 10 (no vale)
Solución:
y x 2 3x
y x 2 3x y 2 x 6 0
5
25 24
x
2
5
2
x1 3
x2 2
y 1 0
y 2 2
y
Solución :
x 2 3 x 2x 6 0;
y x 2 3x y 2x 6
1
5 1 2
x 2 5x 6 0
x 3 y 0 x 2 y 2
La parábola y la recta se cortan en lo s puntos (3, 0) y ( 2, 2)
Ejercicio nº 15.Resuelve el siguiente sistema: 1 x
1
y 1
x
y
2
5 5
2
Solución: 1
2
5 5 2 x y xy 1 1
5 2x
2 ; x
5 2x y
5 2 x 2y 5 5 xy 1 xy 2y 2 x 5 xy
5 x 2x 2 2;
0 2x 2 5 x 2
y
1 x
x
5
25 16 4
5
9
4
Hay dos soluciones:
53 4
1 x 2 y 2 2 1 x 4 2 y 2
1 2 x2 2 y 1 y1 y 2 2 2 x1
Ejercicio nº 16.-
Se mezcla cierta cantidad de café de 6 euros/kg con otra cantidad de café de 4 euros/kg, obteniendo 8 kg de mezcla. Sabiendo que el precio del café mezclado es de 4,5 euros/kg, ¿cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase? Solución: Llamamos x a la cantidad de café (en kg) del primer tipo e y a la cantidad de café (en kg) del segundo tipo. Así: xy 8
xy 8 y 8x 6 x 4y 4, 5 8 6 x 4y 36 6 x 4 8 x 36 6 x 32 4 x 36;
2x 4;
x
2 y 82 6
Se han mezclado 2 kg de café de 6 euros/kg con 6 kg de café de 4 euros/kg.
Ejercicio nº 17.-
Resuelve: y 2 2
3x x
Solución: 3x y
x y
3 x y 2 0 Representamos la s rectas x 2
y 3 x 2
Sustituyendo (2, 1) en la desigualdad 3x y Además, x
x
Tomando las soluciones comunes a las dos desigualdades, llegamos al recinto solución del sistema (la parte coloreada y las semirrectas que lo limitan):
Ejercicio nº 18.-
Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerseys tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha tenido que pagar por cada jersey? Solución: Llamamos x a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos. Los que tienen un 15% de descuento valdrán ahora 0,85x. El que está rebajado un 20% costará 0,8x. Por tanto, el total que ha pagado es: 3 · 0,85x x x 2,55x x x 4,35x x
108, 75 25 euros 4, 35
Por el que no tiene descuento ha pagado 25 euros. El que tiene un 20% de descuento cuesta ahora 20 euros. Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 15% ha tenido que pagar 21,25 euros. Ejercicio nº 19.-
Resuelve analíticamente e interpreta gráficamente el sistema de ecuaciones:
y y
x 2 2x x 6 0
Solución:
y x 2 2x y x 6 0
x
Solución :
1
1 24 2
y x 2 2x x 2 2x x 6 0;
1
25 2
x1 3
x 2 2
y 1 3
y2 8
y
1 5 2
x2 x 6 0
x 3 y 3 x 2 y 8
y x 2 2x La parábola y la recta se cortan en lo s puntos (3, 3) y (2, 8). y 6x
Ejercicio nº 20.-
Halla las soluciones de este sistema: y
3x 1 y 4 y x
x
Solución: y 3x 1
x y 4 y x
y 3x 1 x 3x 1 4 3x 1 x
4 x 5 2x 1;
4 x 5 2x 1
2
4 x 5 4 x 2 1 4 x;
4 4x 2 ;
x2
1
x 1 no válida x 1 y 4
x 1
Hay una solución: x
y
Ejercicio nº 21.La suma de dos números es 12 y la de sus inversos es
3 . ¿Cuales son esos números? 8
Solución:
Llamamos x e y a los números que buscamos. Así: x y 12 1 1 3 x
x y 12 y 12 x y 8 8 y 8 x 3 xy 8 12 x 8x 3 x 12 x
96 8 x 8 x 36x 3 x 2 ; x 2 12 x 32 0;
x
3 x 2 36 x 96 0
12
144 128
Los números son el 4 y el 8. Ejercicio nº 22.-
Resuelve gráficamente: x x
y 1 y 3
Solución:
2
12 2
16
12 4 2
x 8 y 4 x 4 y 8
x y x y
x y x y x y 1 0 y x 1 x y 3 0 y x 3
Representamos las dos rectas:
Sustituyendo el punto (0, 0) en las desigualdades, vemos que se cumplen. Y si tenemos en cuenta que las soluciones del sistema son la soluciones comunes a ambas inecuaciones, obtenemos que las soluciones del sistemas son los puntos de la zona coloreada (incluyendo las semirrectas que la limitan):
Ejercicio nº 23.-
Encuentra las soluciones de las ecuaciones siguientes: a)
x
4 4 x 12
b)
2x
1 4 11 x 1 2
x
Solución: a) x 4
4 x 12
x 4 2 4 x 12 x 2 16 8 x 4 x 12 x 2 4x 4 0 x
4 16 16 2
4 2
2
Comprobación: x 2
b)
2 4
2x 1 4 11 x x 1 2
sí es válida
2 2x 1 x 1 8x 11x x 1 2 x x 1 2 x x 1 2x x 1
2 2x 2 3 x 1 8 x 11x 2 11x
4 x 2 6 x 2 8 x 11x 2 11x 0 7 x 2 13x 2 13
x
169 56 14
13 14
225
13 15 14
x 2 x 2 1 14 7
Ejercicio nº24.Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno? Solución: Llamamos x a la edad que tiene actualmente Carlos y hacemos un cuadro que resuma la información:
La edad de Cristina hace 2 años era el doble que la de Carlos, es decir: x 6 2x 2 Resolvemos la ecuación: x 6 2x 4
x
Por tanto, Carlos tiene 10 años y Cristina, 18. Ejercicio nº 25.-
Resuelve analíticamente el siguiente sistema e interprétalo gráficamente: y y
4 x 2 0 x 2 3 x
Solución:
y 4x 2
y 4 x 2 0 y x 2 3x
x
Solución :
1
1 8 2
4 x 2 x 2 3 x;
1
9 2
1 3 2
0 x2 x 2
x 2 y 10 x 1 y 2
x1 2
x2 1 y 2 y 1 10 y 2
y 4x 2 y x 2 3x
La recta y la parábola se cortan en los puntos (2, 10) y ( 1, 2).
Ejercicio nº26.-
Resuelve el siguiente sistema: 0 2 x y 3 3
x
x
y
Solución: 2
x 2 3 0 0 y x y 3 x y x2 2 x y 3 3; 6 x x 2 9 2 x y 3 2 x
3
x
3
0 x 2 6x 9;
x
6
36 36 2
6 3 2
y 3
Solución: x
y
Ejercicio nº 27.-
Alberto compró 3 bolígrafos y 2 cuadernos, pagando en total 2,9 euros. Una semana después, los bolígrafos tenían un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar 2,42 euros. ¿Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno? Solución: Llamamos x al precio de cada bolígrafo e y al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja. Así: 3 x 2y 2, 9 0, 8 3 x 0, 85 2y 2, 42
3 x 2y 2, 9
2, 9 3 x y
2, 4 x 1, 7y 2, 42
2
2, 9 3 x 2, 42
2, 4 x 1, 7
2, 4 x
2 4, 93 5,1x 2, 42 2
4, 8 x 4, 93 5,1x 4, 84
0, 3x 0, 09 x 0, 3
y 1
Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0,3 euros y cada cuaderno, 1 euro. Ejercicio nº 28.-
Resuelve e interpreta gráficamente la inecuación: x2
x
Solución:
x2 x 6 0
x
1 1 24 2
1 25 2
1 5 2
x 2 x 3
La parábola y x2 x
X
Ejercicio nº 29.-
Resuelve gráficamente: x y 2 y 4
Solución: x y
x y x y 2 0 y 4
Representamos las rectas:
y x 2
Si sustituimos el punto (0, 0) en las dos desigualdades, vemos que se cumplen: 0 0 2 0 4
Por tanto, las soluciones del sistema corresponden al recinto coloreado (incluyendo las dos semirrectas que lo limitan):
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
Al inicio de la sesión de clase se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│ -a│. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c. Ejemplos para discusión: 1) │3x - 4│ = 5 2) 1 x 1 2
5
3) │3x - 1│+ 2 = 5 4) │x + 2│ = │x - 7│
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 1) │3x - 4│= 23 2) │2x + 1│ + 3 = 8 3)
2 3
x4 2
4) │x - 6│ = │5x + 8│
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
¿Qué significa │x│< 2? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.
Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2 y 2. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a. Ejemplos para discusión: 1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8 4) │2(x – 1) + 4│ < 8
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones: 1) │x│≤ 5 2) │x - 6│ < 15 3) │2 + 3(x – 1)│< 20
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c ¿Qué significa │x│> 2? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo.
De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a. Ejemplos para discusión: 1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5 4) 3
2 3
x 5
Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. 1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2
3)
│-5x - 2│>13
4)
7 x 16
>-6
5)
10x 13 <2
6)
5 x 11 ≤
9
7)
1 2
x 8 ≤ -12
REPASO DE INECUACIONES INECUACIONES LINEALES Ecuaciones
Igualdades ( = )
Inecuacion
Desi ualdades < , ; > ,
De rimer
3x – 2 = 1 x 1 =4 2
3x – 2 < 1
x 1 >4 2
x + y = 24
x + y 24
-2x + 1 = x – 3
-2x + 1
–
x
3
Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad. Ejemplos: Resolver
a) 3 x – 2 < 1 Despejando
Aplicando propiedades
3x – 2 < 1 3x <1+2
3x–2<1 3x–2 +2 < 1+ 2
3x <3 x<3:3 x<1
Solución: S = ( - , 1 )
1 3
3x <
1 3 3
x<1
Representación gráfica:
b)
x 1 2
4
Despejando
Aplicando propiedades x 1 2
x 1 2
> 4
x+1
> 4.2 x+ 1 > 8 x > 8-1 x > 7
Solución: S = ( 7 , +
x 1 . 2
>4
2 > 4.2
x+
1>8 x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 7
)
Representación gráfica:
c) x + y
24
Es una ecuación lineal con dos incógnitas que se verifica para infinitas parejas de números. Por ejemplo: x= 0
;
y = 24
x= 2 ; x = -3 ;
y = 23 y = 30
x=
1 2
;
y = ....
x = ....
y=
x= 1
y = 10
;
2
¿ verifican la ecuación ? d) -2 x + 1
x–3
Despejando
Aplicando propiedades -2 x + 1 x - 3 -2 x + 1 + (-x ) x - 3 + (- x ) - 3- 1 [-2 x + (-x ) ] + 1 [ x + (- x ) ] - 3 - 4 x - 4 : (- 3) -3 x + [ 1 + (-1 ) ] - 3 + (-1 ) 4 -3 x - 4 x
-2x+1 -2x-x -3x
x-3
3
- 1 . (-3) x
x
3
Solución: S = [
4 3
- 1 .(-4) 3
4 3
,+)
Representación gráfica:
Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?.
En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:
Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones
no es menor que
415 kg
875 - 4 . x
415
Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad 415 - 875 Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 460
- 4.x
- 4.x
Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por - 1
4
(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad)
x
1
4 460
Hacemos el cálculo
x 115
Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:
TALLER 1 Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x 4 - x c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8 3 x + 1 e) 2 . x - 1 > 3 x
2
f) a 2 a 1 4
3
g) 3 x - 12
5x- 6
4
h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5 i) x x 5 3
j) 4x k)
-
2
-4
5x 2 3
-
x 6
5x - 1 3 6
x 8 4
l) x x 1 - x 2
m) 2
n) x -
7
-
3
x - 3
2
> 0
1
x 14 2 2
4 . -
-2 0 1 2
x
7
4
0
TALLER 2 1. Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta: 3
x 3
x
1 2
< 2
x
< 2x
3
<
3 <
1
3
<
2
2
2x 2x x
PROBLEMAS: Ejercicio 1 :
¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?.
Ejercicio 2 :
¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1 ?. Ejercicio 3 :
Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?. Ejercicio 4 :
El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?.
Ejercicio 5 :
Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo. Ejercicio 6 :
Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?. Ejercicio 7 :
Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.
Ejercicio 8
Determinar
Ejercicio 9
: Sean A = { x/x R
x+
1< 4} y
B = (-
,
3 2
] [3 , + ) .
AB
: Determinar: {x / x R
2 x- 4 > 0 }
{x / x R
3-x 0}
TALLER TIPO SABER-ICFES 1. Se tiene la ecuación:
Se desea despejar A; la ecuación sería:
2. Si la variable a despejar es D, la ecuación se expresaría
3. El conjunto solución para la siguiente ecuación 2x+60 ≥30 es: a. [-15 , +oo) b. (-15, 15) c. (-oo, -15] d. (-15 , +oo) 4. El conjunto solución para la siguiente ecuación -15≤x-5<6 es: a. (-10,6) b. [-10,11) c. [-10,6] d. [-10,5)
Contesta las preguntas 5 al 9 con la siguiente información: Una tabla de distribución de frecuencias con intervalos sirve para resumir un conjunto de datos estadísticos. Por ejemplo, está tabla muestra las 500 notas o calificaciones recibidas en el examen final del programa de ingeniería en una universidad. Intervalo Marca de clase Frecuencia 0-1 [0, 1) 0,5 20 1 -2 [1,2) 1,5 21 2-3 [2, 3) 2,5 46 3-4 [3, 4) 3,5 283 4-5 [4,5) 4,5 130 La primera columna es la lista de los cinco intervalos en que se han agrupado las notas. La segunda, el punto medio de cada intervalo. La tercera muestra el número de notas de cada intervalo, es decir, su frecuencia. (Por ejemplo hay 20 notas entre 0 y 1). 5. La marca de clase es un número: a. Natural b. Entero c. Racional d. Irracional 6. a. ¿Cuántos 20 b. estudiantes 21 c. 41 obtuvieron d. 87 una nota menor que 1? 7. Si para aprobar el examen es necesario obtener una nota de 3 o más, ¿cuántos estudiantes aprobaron el examen? a. 87 b. 283 c. 413 d. 46 8. Si un estudiante obtiene una nota de: intervalo: a.
[1,2)
b. [2,3) c . [3,4)
“4,1”;
pertenece al
d. [4,5)
9. Al obtener una nota de 3, lo ubicamos a. [1,2) b. [2,3) c. [3,4) d. [4,5)
en el intervalo:
10.
La gráfica representa el intervalo:
Liliana se imagina que la cuerda de su yoyo, que Tiene una longitud L, coincide con el eje y del plano cartesiano. Liliana define como positivo el movimiento de su yoyo hacia arriba y negativo hacia abajo. El srcen lo considera como una posición fija de su mano desde donde comienza el movimiento del yoyo.
11. El intervalo que recorre el yoyo desde que Liliana lo suelta hasta que se desenrolla toda la cuerda es:
12. Se desea adquirir un terreno de forma cuadrada con un perímetro entre 4 y 20 metros. Si x representa el lado del terreno, los valores que puede condición dada son:tomar x para que el perímetro del terreno cumpla la A. 4 < x < 20 B. 0 < x < 16 C. 2 < x < 10 D. 1 < x < 5 Responde a las preguntas 13 y 14 con la información suministrada por el gráfico, que muestra la posición de dos cuerpos en función del tiempo.
13. La velocidad del cuerpo A, en el intervalo A. 5 m/s. B. 10 m/s C. 0 D. 20 m/s.
0 < t <2 s, es:
14. El cuerpo A se encuentra en estado de reposo durante el intervalo A. 0
La gráfica anterior muestra los resultados de un estudio de contaminación ambiental aplicado a una autopista determinada, de acuerdo con la siguiente clasificación:
Se recomienda realizar una intervención ambiental en aquellas zonas de la autopista con niveles altos en contaminación o superiores.
15.
La extensión de la autopista sometida al estudio mide en total
A. 300 km B. 280 km C. 340 km D. 320 km 16. De las siguientes afirmaciones sobre el estudio de contaminación, la única falsa es A. El 20% de la autopista posee niveles muy bajos de contaminación B. El 20% de la autopista debe ser intervenida ambientalmente C. El 50% de la autopista está debajo del nivel medio de contaminación D. El 50% de la autopista tiene al menos un nivel medio de contaminación 17. De las siguientes afirmaciones sobre la situación de contaminación, la única verdadera es A. 90 km de la autopista poseen los niveles más bajos de contaminación B. la mayor parte de la autopista tiene que ser intervenida ambientalmente C. El 70% de la autopista no tiene que ser intervenida ambientalmente D. 100 km de la autopista tienen que ser intervenidos ambientalmente
18. El perímetro de la anterior figura es: a. 59 56cm b. cm c. 24 cm² d. 37 cm.
19. La base de un triángulo isósceles mide 30 cm. Si su perímetro es 72 cm., cada uno de sus lados mide: a) 14 cm. b) 18 cm. c) 21 cm. d) 42 cm. 20. Si la figura está formada por cinco cuadrados de perímetro 40 cm. cada uno, ¿cuál es el perímetro de la fi gura?:
a) 120 cm. b) 160 cm. c) 180 cm. d) 200 cm RECUERDE: FIGURA/CUERPO Triángulo Cuadrado
PERÍMETRO ÁREA l1+ l 2+ l3 b* h es la suma de la medida 2 de todos los lados es la suma de la medida l 2 de todos los lados
TALLER TIPO SABER 2
1. Observa el siguiente cuadrado que representa un terreno en el cual se indican las medidas de sus lados, ¿qué expresión algebraica representa el área del terreno? A) x22 + 49x + 49 B) x + 7x + 7 C) x2 + 7x + 14 D) x2 + 14x + 49 2. El cuarto de Jessica es de forma cuadrada y tiene un área de 25 cm2. ¿cuál es la ecuación que permite obtener la medida de cada lado de su cuarto? A) x2 + 25 = 0 B) x - 252 = 0 C) x + 252 = 0 D) x2 - 25 = 0 3. Lee con atención el siguiente problema: "Se reparten 133 chocolates entre dos grupos de alumnos, de manera que el segundo grupo recibe 19 chocolates más que el primero". ¿Cuál es la ecuación que determina el número de chocolates que recibe el primer grupo? A) 2x - 19 = 133 B) x + 19 = 133 C) 2x + 19 = 133 D) x + 19 = 133/2
4. Sebastián tiene 4 pedazos de lámina como los que se muestran en el dibujo, el quiere dos triángulos congruentes de lámina y para obtenerlos sólo debe hacer un corte por alguna de las diagonales de algún pedazo. ¿Qué pedazo de lámina debe cortar Sebastián? A) El 4 B) El 2 C) El 3 D) El 1 5. A Karime le pidió su profesor de matemáticas que identificará el criterio que no cumple con los conocidos de "semejanza de triángulos". Por lo tanto debe indicar que dos triángulos son semejantes si: A) Si tienen un lado igual y un ángulo proporcional entre ellos. B) Sus tres lados son proporcionales. C) Tienen dos ángulos iguales. D) Tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
6. Eduardo hace un corte paralelo al centro de una esfera cuyo radio es de 13 cm. La distancia a la que hace el corte es de 5 cm, como se muestra en la imagen. ¿Cuál es el valor del radio (r) de la circunferencia que queda al hacer el corte? A) 13.34 cm B) 12.64 cm C) 13.92 cm D) 12.00 cm
7. Observa el siguiente triángulo-rectángulo, ¿Cuál de los siguientes cocientes identifica a la
razón tangente del ángulo B? A) 3/4 B) 4/5 C) 3/4 D) 4/3
8. ¿En cuál de las siguientes figuras homotéticas se localiza una figura con razón -1? A) opción B B) opción A C) opción C D) opción D
9. Una fábrica de motocicletas tiene en existencia 110 unidades. Si cada mes produce 140 unidades que se almacenan con la producción anterior, ¿cuál es la gráfica que describe la cantidad de motocicletas que se guardarán en la bodega durante los 3 meses siguientes? A) Gráfica B B) Gráfica A C) Gráfica C D) Gráfica D
10. Carlos sale de su casa en auto y acelera hasta llegar a una vía rápida; ahí mantiene su auto a velocidad constante hasta que se va frenando poco a poco por el tráfico. Después de un cierto tiempo
parado empieza a avanzar despacio hasta entroncar otra vez una vía rápida, en la que empieza a fluir con su velocidad habitual. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa la situación anterior? A) Gráfica C B) Gráfica B C) Gráfica A D) Gráfica D 11. Si tenemos un rectángulo en el que su base es igual a x + 10 y su altura es igual a x + 9, ¿cuál será la expresión algebraica correcta que deberá representar el área de nuestra figura? A) x2 + 19x + 90 B) x2 + 10x + 9 C) x2 + 19x + 9 D) x2 + 90x + 90 12. A Enrique su profesor le propuso que resolviera la ecuación 2x2 - 50 = 0 ¿Qué valor debe tener si solo se considera el valor positivo? A) 3 B) 5 C) 7 D) 9
13. Entre Carmen y Margarita sembraron un terreno de 400 m 2 . Del total qué sembró Carmen ocupó sólo 2/3 para maíz y del total que sembró Margarita ocupó 3/4 para maíz y el resto para trigo. Si entre las dos sembraron 280 m2 de maíz, ¿qué sistema de ecuaciones al resolverse nos dará el total de m2 que sembró cada una?
A) sistema C B) sistema B C) sistema A D) sistema D
14. Dada una circunferencia, se trazan 4 líneas, como se muestra en la imagen, ¿cuál de las líneas es tangente a la circunferencia? A) La 1 B) La 2 C) La 3 D) La 4
15. Observa el siguiente dibujo donde se muestran los triángulos semejantes ABC y ADE. Si el lado AB = 3u, BD = 2u, y BC=1u entonces, ¿cuál de las siguientes relaciones nos dará el valor del lado DE? A) (2)(1)/3 B) (5)(1)/3
C) (5)(2)/3 D) (5)/1
16. Un tejado con inclinación de 55° respecto a la vertical se soporta en un marco de madera en forma de un triángulo-rectángulo. Si la pieza vertical del marco mide 1.40 m entonces, ¿cuál de las siguientes expresiones nos representa el valor de la medida x que es la longitud horizontal del marco de madera? A) (1.40)(tan 55°) B) (1.40)(sen 55°) C) (cos 55°)/1.40 D) (tan 55°)/1.40 17. Las homotecias son un tipo de transformación que preserva la forma, es decir, que los ángulos de las figuras no cambian. Su característica principal es que tienen un centro y que su razón está representada por el número k. ¿Qué sucede si k>1? A) La figura se amplía. B) La figura se reduce. C) La figura se invierte y se amplía. D) Se obtiene la misma figura pero invertida.
18. ¿Qué tipo de representación gráfica es la más adecuada de utiizar si deseamos mostrar la información del porcentaje de personas que se encuentran activas (trabajando) en edad mayores a los 40 años en México con respecto al total de la población? A) Pictogramas B) Histogramas C) Circular o de sectores D) Líneas o poligonales
19. Jorge sale hacia su trabajo caminando cada vez más rápido. Como se da cuenta que lleva buen tiempo, empieza a caminar más lento; de pronto ve que su camión hace alto en la esquina y sin pensarlo corre para alcanzarlo en el alto. Pero el camión arranca y él empieza a bajar la rapidez en su carrera poco a poco. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa esta situación? A) gráfica B B) Gráfica A C) Gráfica C D) Gráfica D 20. La expresión x2 + 11x + 24 es un trinomio de segundo grado. ¿Cuál de los siguientes productos
equivale a esta expresión? A) (x + 3)(x - 8) B) (x - 3)(x + 8) C) (x + 3)(x + 8) D) (x - 3)(x - 8)
21. A continuación se muestra el procedimiento de resolución de la ecuación x2 + 76 = 400 que realizaron en el salón de clase varios alumnos. ¿Cuál de ellos lo hizo adecuadamente en todas las operaciones? A) Ruth B) Juan C) Pedro D) Estela 22. ¿Cual de las siguientes situaciones se resuelve mediante la ecuación x2 + 2x - 120 = 0? A) El largo de un rectángulo es igual a la base más 2 unidades y su área equivale a 60 cm 2? B) La base de un triángulo es 2cm menor que su altura y su área vale 60 cm 2? C) El largo de un rectángulo es 4 cm mayor que su base y el área equivale a 120 cm 2. D) La altura de un triángulo es 4 cm mayor que el doble de su base y su área es de 120 cm 2 23. ¿Cuál es la característica de una recta secante en una circunferencia? A) Corta en dos puntos a la circunferencia
B) Toca solo un punto de la circunferencia. C) Va del centro de la circunferencia a un punto de la circunferencia. D) Va del centro de la circunferencia a dos puntos no colineales de la circunferencia.
24. Observa la figura donde se muestran dos triángulos semejantes. Si los datos corresponden a la medida del piso hasta el tablero de básquetbol y "x" representa a Juan parado sobre el piso entonces, ¿cuál debe ser el tamaño de "x"? A) 0.76 m B) 0.61 m C) 1.31 m D) 1.63 m
25. Dos lámparas que emiten un rayo laser están acomodadas de tal forma que debajo de ellas se forma un círculo de radio 10 m la atura de estas lámparas es de 24 m, como lo muestra la imagen. ¿Con cuál expresión se puede obtener la mitad del ángulo que hay entre las dos lámparas? A) sen B = 10/26 B) sen B = 24/26 C) cos B = 10/26 D) tan B = 24/10
26. Una lámpara emite luz a 25 cm de distancia de una figura triangular, proyectando la sombra
amplificada en una pared que dista 75 cm de la figura. ¿Cuál es la razón entre la figura y su sombra proyectada en la pared si la figura pequeña mide 2.5 cm de altura? A) -4 B) -0.25 C) 1/4 D) 4
27. Cierto hotel representa en el siguiente gráfico la cantidad de huéspedes que ha recibido por año desde que se inauguró en el año 2000, ¿cuál de las siguientes tablas es la que se utilizó para plasmar la información de esta gráfica? A) Tabla A B) Tabla B C) Tabla C D) Tabla D
28. Adrián es un vendedor de carros y tiene un registro de ventas que hizo durante 7 semanas. Él vendió en las primeras 4 semanas un número de carros igual al cuadrado del número de semana, a partir de ahí vendió 4 carros por semana. ¿Qué gráfica muestra el comportamiento de ventas de Adrián? A) Gráfica A B) C) Gráfica CB D) Gráfica D 29. El resultado de multiplicar dos binomios fue x2 - 64 ¿Qué binomios se multiplicaron? A) (x + 8)(x + 8) B) (x + 8)(x - 8) C) (x - 8)(x - 8) D) (x + 8)(x)
30. El material radiactivo ocupado para tratamientos médicos tiene un porcentaje de degradación conforme pasan los días. Este comportamiento se muestra en la tabla, ¿qué ecuación determina el porcentaje de degradación del material radioactivo? 2
A) B) x102 + +10x == 00 C) 10x2 + 10 =0 D) x2 + 10x = 0 31. Qué problema es representado por el siguiente sistema de ecuaciones? 5x + 4y = 22 3x + y = 9 A) El punto (9, 22) es la intersección de las rectas 5x + 4y; 3x + y B) El punto (22, 9) es la intersección de las rectas 5x + 4y; 3x + y C) 5 veces el dinero de José más 4 veces dinero de Luis suman $22, después de ir a la tienda 3 veces el dinero de José más el dinero de Luis suman 9 D) 5 veces el dinero de José más 4 veces el dinero de Luis suman $22, después de ir a la tienda 3 veces el dinero de Luis más el dinero de José suman $9 32. ¿Cuánto mide el ángulo que se forma entre la recta tangente a una circunferencia y el radio que pasa por el punto de tangencia? A) 90° B) 45° C) 120°
D) 135°
33. La profesora de Edna le pidió que observara detenidamente la siguiente figura en la que se utilizan triángulos semejantes, se le indicó que el lado a = 4cm, b = 2cm y c = 3cm, entonces, ¿cuánto debe medir el lado d si se está aplicando el teorema de Tales para calcularlo? A) 1.14 cm B) 1.50 cm C) 2.60 cm D) 3.50 cm
34. La cancha para practicar lanzamiento de disco está representada en la siguiente imagen, si un jardinero debe pintar en el arco mayor de la cancha, ¿cuántos metros pintará? considera pi = 3.14 A) 87.64 B) 27.91 C) 43.82
D) 55.82
35. A Nacho que es el jefe de constructores el arquitecto le dijo que para trazar el puente vehicular debo considerar que la subida tiene una inclinación de 30° y una altura máxima de 23 m, tal como se muestra en el dibujo, con base en estos datos Nacho tiene que calcular la longitud total de la vía en posición diagonal que descansa sobre el soporte de 23 m, ¿cuál debe ser su tamaño? (sen30°= 0.5, cos30°=0.86, tan30°=0.57) A) 11.5 m B) 46.0 m C) 19.9 m D) 26.5 m 36. Considerando que en el año 2010 hubieron aproximadamente 58.7 millones de personas activas en México (que se encuentran trabajando de acuerdo con datos estadísticos) y el índice de desocupación laboral ha aumentado de 5.44% del mes de septiembre a noviembre del 2010 a 5.70% entonces, ¿cuál será la cantidad de nuevas personas desocupadas hasta ese momento? A) 152620 B) 260000 C) 26000 D) 15260
37. ¿Cuál de las gráficas relaciona el radio de una esfera con su volumen? A) Gráfica A B) Gráfica CB C) Gráfica D) Gráfica D
38. A continuación se muestra una gráfica que representa el dinero que ahorra Edna en el transcurso de la semana. Si los números del eje x representan los días desde el lunes hasta el viernes y no ahorra el fin de semana, entonces ¿cuántos pesos habrá de ahorrado en 18 días? A) 1350
B) 1125 C) 1050 D) 750 39. El número de empleados de una empresa en el primer, segundo y tercer año son 4, 12 y 22 respectivamente, ¿cuál es la expresión que representa el crecimiento del número de empleados? A) 22 + 2x B) x2 + 3x C) x2 + 5x - 2 D) 2x2 + 3x - 1 40. El número de ventas de un teléfono celular al paso de los días se puede determinar con la ecuación x2 - 6x + 9 = 0 ¿Cuál es la factorización correcta de esta ecuación? A) (x - 3)(x + 2) B) (x + 3)(x + 3) C) (x - 3)(x - 3) D) (x + 3)(x - 2)
41. La producción de muñecas en una fábrica de juguetes es constante durante 24 horas en tres turnos. Si el conteo de muñecas empieza desde cero y a la cuarta hora del primer turno se han producido 128 muñecas, ¿qué tabla representa el comportamiento de la producción de muñecas? A) La 3 B) La 1 C) La 2
D) La 4
42. Observa el círculo y contesta lo que se te pide A) Opción A B) Opción B C) Opción C D) Opción D 43. Si tenemos un banderín en forma de triángulo-rectángulo sujeto a un asta (o palo) por su cateto más pequeño y hacemos girar el asta o palo sobre su propio eje rápidamente, ¿qué figura geométrica generaremos? A) Una esfera B) Una dona C) Un cono D) Un cilindro
44. Para el deporte olímpico de lanzamiento de bala se utiliza un área circular de concreto de 3 m de radio inscrita en una circunferencia de 4.5 m, la parte que rodea la circunferencia de concreto debe llevar un material llamado tartán, como se muestra en la figura, ¿cuánto mide el área de tartán? (considera pi = 3.14) A) 35.32 m2 B) 14.79 m2 C) 28.26 m2 D) 63.58 m2
45. La pecera de Antonio tiene forma de cilindro con medidas como se muestra en la figura. Él requiere saber el volumen de la pecera para saber los litros de agua que necesitará para llenarla, ¿cuál es el volumen que busca Antonio? (Considera pi=3.14) A) 62500 cm3 B) 58875 cm3 C) 70650 cm3 D) 75000 cm3 46. ¿Cuál será la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas salgan dos águilas? A) 1/6 B) 1/4 C) 1/8 D) 1/2
47. El costo de la fabricación de una caja de cartón y las ganancias por su venta se muestran en la gráfia. ¿Cuál es la ecuación algebraica que determina las ganancias dependiendo de las ventas de las cajas? A) y = 3x2 - 2 B) y = 2x2 - 3 C) y = 2x2 + 3 D) y = 3x2 + 2
48. Observa la gráfica donde se muestran las posiciones de dos autos (A con líneas punteadas y B con línea continua) que salen del mismo punto de partida. Con base en la gráfica indica el momento en que aproximadamente ambos autos (A y B) han recorrido la misma distancia. A) A las 3:00 horas B) A las 3:35 horas C) A las 4:35 horas D) A las 6:00 horas
49. Observa las figuras, si las caras que se pueden ver de las figuras 1, 2 y 3 son 3, 9 y 17 respectivamente, ¿con cuál expresión algebraica se obtiene el número de caras que se pueden ver en la enésima figura? A) n2 + 2n B) n2 + 3n - 1
C) 2n2 + 1 D) 3n2 - n + 1
50. Observa detenidamente la figura, ¿cuánto debe valer la dimensión de x en el anterior paralelogramo si su área es de 72 cm2? A) 11 cm B) 6 cm C) 9 cm D) 8 cm
51. El número de pasajeros de un transporte público va aumentando conforme avanzan las horas, en la tabla se oberva este comportamiento, ¿cuál es la ecuación que representa el número de pasajeros que dependen de las horas? A) x22 + 4x + 4 B) x + 2x - 1 C) x2 + x + 2 D) x2 + 2x + 1 52. Ruth mandó ampliar una fotografía que tiene en su casa, la cual tiene de medidas 22 cm de largo por 12 cm de ancho. Si la pidió de tal manera que el lado homólogo del lado que mide 12 cm mida
20 cm en la fotografía ampliada, ¿cuánto deberá medir el otro lado? A) 34.00 cm B) 36.66 cm C) 13.20 cm D) 10.90 cm
53. ¿Cuál de los desarrollos planos pertenece al cilindro? A) Opción C B) Opción B C) Opción A D) Opción D
54. Para detener el techo de lámina del establo, don José decidió poner una viga como se muestra en el dibujo. (En el se muestran las medidas de la altura de la pared y el largo de la lámina), si la viga se encuentra a 2m del piso y embona justo a 3 m de la pared, entonces, ¿cuánto debe medir el largo de la viga? A) 4.29 m B) 6.68 m C) 3.49 m D) 3.80 m
55. En el trabajo de Ricardo hay un módulo para tomar agua y los vasos de papel tienen forma de cono, como se muestra en la imagen, ¿cuántos cm3caben en el cono? (considere pi= 3.14) A) 50.24
B) 25.12 C) 37.68 D) 56.52
56. ¿En cuál gráfica se observa que la razón de cambio entre las variables es menor que cero? A) Gráfica B B) Gráfica A C) Grafica C D) Gráfica D
57. Un niño explorador vende chocolates para ganarse una bicicleta, él establece un calendario de las ventasdel quedíadebe hacermás en 10 quedando que el número chocolatesdequeventas? vende en un día es el cuadrado anterior uno,días, ¿cuál de las gráficas modela de el calendario A) Opción C B) Opción A C) Opción B D) Opción D
UNIDAD 2 “PENSAMIENTO GEOMETRICO-METRICO”
SUCESIONES
Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales.
Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta. El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin ninguna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación. Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas: Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la sucesión ... el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo. Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo a n b , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico del término, y b es el valor numérico del término. Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ...
Ejemplo:
a7
37 4
nos dice que el término séptimo de la serie tiene
el valoresnumérico treinta y siete cuartos. Término general: la formaasociado en la quedenos referiremos a un término cualquiera de la sucesión, se suele indicar por a n ; a k ; a i etc. .. Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo: 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14.
Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepenúltimo, en general el a k 1 y el a n k , es decir a 2 y a n -1 ; a 3 y a n -2 , etc. ...
Clases de sucesión: Limitadas , cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc. 1 ; 1.1 ; 1.2 ; 1.3 ; 1.4 ; 1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.9 ; 2
Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito. 1 ; 2 ; 3 ; ; n 1 ;
Acotadas superiormente: una sucesión a n está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la sucesión.
a n acotada superiormente M
*
1 2 3 0, , , L 1 , acotada 4 5 6
Ejemplo:
bn
¡ /m
bn,
n
¥*
1 35 , , ,L 0 acotada 1 2 5 10
2n 1 n
2
Ejemplo:
an
n
p,
an
0.
9 , desarróllala y compruébalo. 8n 12 n
2
Negativas: una sucesión a n se define negativa si p
* ¥ / n
p,
an
Ejemplo:
bn
0
5n n 1
, desarróllala y compruébalo.
Alternantes: una sucesión a n se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo. n Ejemplo: cn 1 2n 1 , desarróllala y compruébalo. Monotonía:
n 1 n2
superiormente por 0,5 e inferiormente por 0. Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente. Positivas: una sucesión a n se define positiva si p ¥* /
bn acotada inferiormente m
an
¥
superiormente por 1 e inferiormente por 0. Acotadas inferiormente: una sucesión bn está acotada inferiormente si existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la sucesión.
Ejemplo:
¡/M a,n n
Monótonas crecientes: una sucesión a n es creciente si cada término de la misma es igual o mayor que el inmediatamente anterior al mismo.
n
Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión a n es estrictamente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).
a n es estrictamentecreciente a 1 a 2
Ejemplo:
an
n4
L a
n
, desarróllala y compruébalo.
n
Monótonas decrecientes: una sucesión a n es decreciente si cada término de la misma es igual o menor que el inmediatamente anterior al mismo.
a 1 a 2 a n esdecreciente
Monótonas estrictamente decrecientes: una sucesión a n es estrictamente decreciente si cada término de la misma es menor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual).
La
n
a n es estrictamente decreciente a 1 a 2
Ejemplo:
L a
n
1
, desarróllala y compruébalo.
bn
n
Monótonas constantes: aquella en la que todos los términos toman el mismo valor constantemente.
a 1a 2 L a
a n escreciente
a ne sconstante
a a1 a2
3 La
kn
Punto de acumulación, aproximación: un punto a es un punto de acumulación de una sucesión a n cuando en cualquiera de sus entornos reducidos a, x / a x a , y
xa
a, a , por pequeño que sea ,
existen términos de la sucesión.
Ejemplo:
an
1
n
2n 3
n
7 9 11 13 5, , , , ,L 2 3 4 5
, se puede ver que los
términos negativos van tendiendo hacia −2 y los positivos hacia 2. Límite de una sucesión: se dice que una sucesión a n tiene límite un número a
cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeño como queramos, se puede encontrar un término, a p, de la sucesión a partir del cual todos los demás caen dentro del entorno. lím a n a 0, n ¥ / pn, a p a, , en términos de n a n a 0, n ¥ /p n,a distancia lím n
a
p
Ejemplo:
an
2n 4
tiene límite y este vale 2, ya que, aún fijando
n
un radio de entorno grande, como de una décima, tenemos que para que se cumpla la definición
2
2p4
4
1
p
10
p
p
40 ,
es decir,
a partir del término 41 todos ellos están dentro del entorno de 2, 2,101 . Si queremos podemos fijar un entorno aún más pequeño, por ejemplo de diezmilésimas, en cuyo caso 2
2p 4
4
p
p
10000
1
p
40000 , es
decir que a partir del
término 40001, todos los demás estarán dentro del entorno 2,104 . Como la sucesión es ilimitada podemos concluir que lím
n
2n 4
2.
n
Unicidad del límite: si una sucesión tiene límite éste es único. Demostración (reducción al absurdo): supongamos que existieran dos límites, a y a’, distintos para una misma sucesión a n , necesariamente podremos encontrar dos entornos, uno de a y otro de a’, disjuntos, es decir, sin puntos o elementos comunes, en términos de conjuntos, en a, , del siguiente modo: ya ', '/ a, a', ' Sea a a ' , es decir, la distancia entre los dos límites,
a
a’
’
’
tomemos entonces y ' , de este modo los entornos ya no 3
3
solapan. Por otro lado, de la definición de límite tenemos: Si lím a n a n1 ¥* / p na1 , p a, 3 n
* Si lím a n a ' n2 ¥ /p n2a, n
p
a,
3
Sea ahora n máx n,1 n 2 , existirá entonces p ¥ / p n , de modo que por ser p n 2 y al mismo tiempo ser p n1 , entonces ap
estará o pertenecerá simultáneamente a ambos entornos, con lo que en contradicción a como hemos construido a, a', ' éstos, luego no puede ser y el límite ha de ser único. Las sucesiones que tienen por límite un número real finito se llaman convergentes. Si una sucesión tiene límite entonces está acotada superior e inferiormente. Lo contrario no es cierto necesariamente
Por definición de límite a,1 dentro del cual se encuentran todos los términos de la sucesión a partir de un cierto término pésimo. Sea entonces k máx a1 ,a,2 a 3 L a,p a 1 , éste será una cota superior para la sucesión, y del mismo modo m mín a1 ,a,2 a 3 L a,p a 1 será una cota inferior para la misma.
Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Por ser monótona será creciente o decreciente, luego una de las dos de las siguientes afirmaciones y demostraciones será suficiente. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite, y éste coincide con su extremo inferior. Se demuestra que si a n es una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente, tendrá un extremo inferior m, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que m será la mayor de todas las cotas inferiores y si es un número positivo, m + no puede ser una cota inferior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término a p de la sucesión para el que se verifique que m + > ap > m. Por otro lado, por ser una sucesión monótona decreciente n pm aap m a n m, , es decir, m es el n límite de la sucesión. Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite, y éste coincide con su extremo superior.
Si a n es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, tendrá un extremo superior k, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que k será la menor de todas las cotas superiores y si es un número positivo, k − no puede ser una cota superior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término a p de la sucesión para el que se verifique que k − < ap < k. Por otro lado, por ser una sucesión monótona creciente
n pk aap n
ka
k, , es decir, k es el límite
n
de la sucesión. Operaciones con límites: Límite de una suma: lím an bn lím a n lím bn n n n
a
b,
siendo a y b
los límites respectivos de a n y bn Lo mismo sería si se tratara de una resta.
líma b lím a
Límite de un producto: n n n los límites respectivos de a n y bn
n
lím b
nn
a b
n
, siendo a y b
a n líma n a n , siendo a y b los límites bn b bn lím n
Límite de un cociente: lím n
respectivos de a n y bn , siempre que b 0
lím bn
Límite de una potencia: lím a n b nlím a n n
límites respectivos de a n y bn Límite de una constante por una sucesión: límkb ním bn kb , siendo b el límite de bn n kl n
lím a n a k , Límite de la potencia de una sucesión: lím a n k n n
n
n
a b , siendo a y b los
k
siendo a el límite de a n Cálculo práctico de límites: Se trata de sustituir n por su valor en el límite, , y realizar las operaciones indicadas, teniendo en cuenta que:
p
; ; ;
p k
si p es par ; k si p es impar
,conk constante ¡
;
; k , conk constante ¡ y k
0
k
0
, conk
constante ¡ yk
,conk constante ¡
; ;
; ;
k
, conk
constante ¡ yk
0
k
, conk
constante ¡ yk
0
k
0, c on k ¡
, con k
constante
; ;
;
¡ constante yk
0
;
¡ constante yk
0
;
¡ constante yk
0
;
¡ constante yk
0
k
k
, con k
, con k
k
, con k
k
Ejemplos:
E1.-
3n 2 7n 1 lím n 5n 2 4n 9 n lím
3 7
n 5n
7n
2
2
n
7
1 2 n lím n n 9 2 5 4
3n 2
4n
2
n
n
2
2
n
2n 2 3n E3.- lím 2 n 7n 6n 3 2
2
2
3 2 3 0 0 3 5 4 9 2 5 0 0 5 n n 2 3n 2 2 E2.- lím lím 3 3 3 n n n n 1
4
4n 9
lím n
2n 2 7n
3n 1
2
6n
lím
E4.E5.E6.-
4 1 lím
n
2 5
lím 4 n n
n
8 n
2
6
6n
lím 4 n
n
4
4 1 2 5
42 2
4 4
n
1 4 6
8
4
4 6
1
4
1 1
3n 2
n 4n
2 3 1 4 9 34 2 76 4 7
n
9
1
3n 2
1
4
9
El número e, o número de Neper: definimos el número e como el límite de la n 1 m 1 + sucesión a n 1 1 , es decir, e= lní n n
n
Expresiones indeterminadas, tipos de indeterminaciones:
, se suele dar al calcular el límite de sucesiones definidas como
cociente de polinomios
an
n2
4n 3
3n2
. Para superar la indeterminación
5
debemos dividir todos los términos de ambos polinomios por n elevado al mayor exponente que aparezca en uno cualquiera de los dos polinomios, o en ambos (ver ejemplos 1 y 3), antes de proceder a calcular de nuevo el límite. En estos casos se suelen dar tres circunstancias básicas:
0, si p q a lím si p, q , donde p y q son los grados de los polinon Qq x b ,sip q Pp x
mios P y Q respectivamente, y a y b son los coeficientes de los términos de mayor grado de P y Q, respectivamente. , suele darse en muy variados casos, así pues veamos algunos y cómo superarla en cada caso según la circunstancia:
E1.-
n2 n 1
lím n
n
n3 n
2
1 , en este caso procedemos 1
primero a realizar las operaciones de dentro del paréntesis antes de volver a calcular el límite, así n4 n 3 n2 n2 n 1 n n2 1 n3 n 3 n 1 1 0 1 límite ahora será lím n 3 nn 1 0 1 n2
n
E2.-
1
lím
n
n3
n2
1
1
n
n4
n
n 3 1 y el 3 n n
1
, en este caso procederemos como si
hiciéramos una racionalización a la inversa, multiplicamos y dividimos todo por el “conjugado” de la expresión, así pasaríamos al nuevo
límite lím
2 n1 n
n
E3.-
lím n
n
n
2
n
lím n
1 n2 1 0 2 n 1 n 2
n 1 n , en este caso procederemos a hacer
n2 n 1 n
n1
una doble racionalización inversa del numerador y del denominador,
quedándonos, una vez reducidos términos, el siguiente límite
n n n n 1 n 2
lím n
1
2
lím n n n n 1 n 2
n
n
n
lím n
2
n 1 n n
1
n
1
1
1 1
1 , suele darse en los límites de potencias de base polinómica y exponente
polinómico. Siempre podemos superarla con la siguiente aproximación, si b lím a n 1 , entonces el verdadero valor del límite coincidirá con el de n n
la expresión
límb
en
n
an 1
. n
n 3 1 , podemos resolver aplicando la fórmula o n n2
E1.-
lím
razonando, personalmente prefiero razonar ya que las fórmulas tienden al olvido, así pues intentaré hacer que mi límite se parezca lo más posible al del número e, para ello sumo y resto uno a la expresión del paréntesis,
n
n 3 n 2 1 lím 1 n n n 2 n 2 lím 1
n 3
n
n
1
lím 1
n
n
que ya 2
se va pareciendo más al límite del número e, el último arreglo nos deja n 1 lím 1 lím 1 n n n 2
n 2
1 n
n
lím n
1 n 2 lím 1 n 2 por definición e
n 2
n 2
n
n
2
ya que el límite del exponente es 1. Hazlo aplicando la fórmula y comprueba el resultado. n
n 1 , vamos a intentar hacerlo de modo n n 1
E2.-
lím p
parecido al anterior, así n
1 n n n p n lím 1 lím p lím 1 n n n n 1 n 1 n 1 n 1
n
lím 1 n
n n 1
1 1p n 1 1 lím n n 1 n 1
lím 1 1 n 1 por definición e n 1
n
1p
lím
n
p n 1 1 e p n
p
e
1
n p
n
n
lím n
1
1 n 1
n 1
p n 1
e
n 2 1
3n 2 5 E3.- lím 2 n 3n 9 3n 2 5
lím 1 n 3n 2 9
n 2 1
3n
2
9
14
2
1
1
2
3n 2
9
n 2 1
9
14 lím n 2 1 2 n 3n 9 14
e 3
3
e14 e4
3
e2
una indeterminación del tipo , ya
Límites de funciones: sea f(x) una función real de variable real definida en el intervalo abierto I a, b , y sea c a, b , f no tiene porqué estar necesariamente definida en c, entonces decimos que tiene límite en el punto c, y escribimos lím f x L , si 0 y 0 , respectivamente radios de x c entornos de L y c, tales que términos,
L f x
lím f x L 0, 0 / f x x c
n 2 1
5
3n 9 3n 2 5 3n 2
0 , siempre se puede convertir en
que 0 0
3n 2
lím 1 n
1
14 1 lím 3n 9 por definición e n
1 lím n
siempre que c x , o en otros L, que x s iempre
c,
Límites laterales: siempre nos podemos acercar a un punto del intervalo por dos sentidos, por la derecha y por la izquierda del punto, y así podemos decir que hay dos límites en función de por dónde nos aproximemos al punto, de este modo:
1 c f x L 0y 0talesque si Límite lateral por la derecha: xlím tomamos valores por la derecha de c, esto es, x c, , entonces las imágenes estarán todas comprendidas en un entorno de L 1, f x L 1 , . Límite lateral por la izquierda: lím f x L 0y 0talesque si tomamos valores por la 2 x c
izquierda de c, esto es, x c, , entonces las imágenes estarán todas comprendidas en un entorno de L 2, f x L 2 , . Límites y continuidad: una función real de variable real definida en un intervalo abierto I a, b es continua en un punto c de dicho intervalo si está bien f x definida en él y además lím x c siempre que x
f c
0,
0 / f x
f c
,
c, .
Condiciones un punto: necesarias y suficientes de continuidad de una función en lím f x L1y lím x fc x L 2 , ambos finitos y además iguales x c
-
entre sí y con el valor de la función en el punto, esto es, L1 L2 f c
Clasificación de los puntos de discontinuidad: Primer grado, o evitable. Se suele dar en los siguientes casos: Cuando por error hemos dejado sin definir un punto. Por ejemplo:
x 1 si x 5 f ( x) 6 si 5 x 7 , en este caso el punto x = 5 ha que 13 x si x 7
dado sin definir, para evitar la discontinuidad basta con hacer x 1 si x 5 si 5 x 7 . 13 x si x 7
f ( x) 6
Cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por ejemplo:
x 1 si x 5 si x 5 , ya que por la izquierda de 5 toma el 13 x si x 5
f ( x ) 6
valor 6 y por la derecha también, luego sería lógico decir que en 5 debería tomar el valor 6, y no –6 como figura. Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar en el caso: La función está definida por zonas y en el límite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo:
x 1 si x 5 si 5 x 7 , se ve que por la izquierda de 5 13 x si x 7
f ( x) 6
toma el valor 6 y por la derecha el valor –6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7. Segundo grado, segunda especie, o salto infinito. Se suele dar en los casos: En funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la función explota, o cuando en alguno de los límites de zona la función explota, por ejemplo:
x 1 f ( x ) 6 13 x x 7
si x 5 si 5 x 7 , en
este caso al acercarnos a 7 por
si x 7
la derecha la función explota a .
si x 5 si 5 x 7 , en
este caso en los límites de zona
si x 7
no hay problemas, pero en la zona Ⅲ, es decir, para x ≥ 7, en x = 12, la función explota. En todas aquellas funciones definidas en forma de fracción cuando el denominador se anula, por ejemplo:
x 1 f ( x ) 6 13 x x 12
f ( x)
2x 1
log x 2 1
, cuando
x2
1 1 , la función explota, es
decir, cuando x 2 . Álgebra de límites: sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real, ambas definidas en un intervalo abierto I a, b y sea c a, b tal que ambas tienen límite en él, límf límg x L 2 x L1 yademás x c x c
x gx L1 L2 x c f Límite de una suma de funciones: lím Límite de un producto de funciones: lím fx gx L1 L2 x c
Límite de un cociente de funciones: lím x c
f x L 1 , siempre que g x L2
L2
0
p
p Límite de la potencia de una función: lím f x L1 x c
Límite de una potencia de funciones: lím f x x c
g x
L
L2
1
Límites e indeterminaciones: al igual que con las sucesiones, en los límites de funciones se nos pueden presentar las mismas indeterminaciones que con aquellas, la forma de superarlas será la misma que entonces. Además se nos puede presentar la indeterminación
0
en los casos, sobre todo, de cocientes de
0
funciones polinómicas en las que ambas tengan raíces comunes en el punto en el que calculamos el límite, así:
x2
6x9 2 x 9
32 6 39 32 9
0
, esto nos dice que tanto el polinomio
lím
numerador como el denominador son divisibles por x 3 . Debemos descomponer ambos en factores, simplificar y volver a calcular el límite de la expresión simplificada, así 2 2 x 3 x 6x 9 x 3 3 3 0 lím lím 0 lím x 3 x 3 x 3 2 x 9 x 3 x 3 x 3 3 3 6 Si aún persistiera la indeterminación deberíamos seguir simplificando
x 3
0
hasta eliminarasíntotas todas las raíces. Límites infinitos, verticales: se dice que una función tiene límite infinito cuando x ayf x , en términos de definición de límite límf x x a
0,
0 / f x
L, cuando x
a,
, se dice que
la función explota. La recta x a es una asíntota vertical para la función. De igual modo pueden ocurrir uno de los siguientes casos: límf x , en este caso explota por la izL1 pero límf x x
a
x
a
quierda del punto.
límf x x a
, en este caso explota por la
L2p ero límf x x a
derecha del punto. lím f x lím f x x a x a
, en este caso explota por ambos lados y
en el mismo sentido.
lím fx x a
lím fx
x a
m
, en este caso explota por ambos
lados pero mientras por un lado lo hace en un sentido por el otro lo hace en sentido opuesto.
Límites en el infinito, asíntotas horizontales: cuando al tender la variable a más o menos infinito las imágenes se mantienen en un entorno de un valor f x L 0yM>0 x L, cuando x M finito, así lím , y de /f x igual modo
lím f x
x
L
0yM>0 x / f
L, cuando x
M
. En
ambos casos la recta y L es una asíntota horizontal para la función. Límites en el infinito, asíntotas oblicuas: cuando al tender la variable a más o f x menos infinito las imágenes de x se mantienen en un entorno de un valor f x f x L 0y M>0 / L, cuando finito, así lím , y de x M x x
igual modo
lím
x
f x
x
L
f x
L, cuando x
0 y M>0 /
x
M
. En
x
ambos casos hay una asíntota oblicua para la función de pendiente L y ordenada en el srcen Lím f (x) ax b , es decir, de ecuación y L x b . x
Resumen del comportamiento asintótico: Hay asíntotas verticales cuando: Dado un valor de x concreto, x 0:
Lím f ( x) Lím f ( x)
x x 0
x x 0
Lím f ( x) Lím f ( x ) , y
x x 0
x x 0
uno de los dos no es finito.
La recta de ecuación x x 0 es una asíntota vertical. Hay asíntotas horizontales cuando: Lím f (x) L1, siendo L1 un valor finito. La ecuación de la asínx
tota horizontal será abscisas.
y L1 , y
Lím f (x) L2 , siendo L2 un valor finito. La ecuación de la
x
asíntota horizontal será
y L2 ,
y si L2 = 0, entonces es el eje
de Lím abscisas. f ( x) Lím f (x) L, finito , en este caso habría una única x
si L1 = 0, entonces es el eje de
x
asíntota horizontal común a toda la gráfica Hay asíntotas oblicuas cuando:
Lím
x
f (x) x
L 0 , en cuyo caso:
yL.
a Lím
f (x)
x
x
L
Lím f (x) ax b x
La ecuación de la asíntota será: y ax b Un modo sencillo para su cálculo en funciones racionales es: Hacemos la división de la fracción y el cociente es la fórmula de la asíntota. 2
Ejemplo:
x
2
x 1 asíntota y x3 1x3 x 3 x3 1 x2
x
2
Esquemáticamente: (Para funciones racionales) Una función tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no pertenezcan al numerador. b) Una función tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. c) Una función tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del denominador. a)
Funciones reales de variable real: Límites y estudio de la continuidad. Actividades de aplicación.
Calcula los siguientes límites de sucesiones:
P1.-
2
3
3n 5 5n 6 4n 3 5n 2 2n 3 c) lím n 7n 2 3n 8 3n 4 5n 2 4n 2 e) lím n 7n 4 6n3 2n 4 2 n 3 g) lím n n 1 n2
a)
P2.-
lím 2n2 n 3n
b)
lím n
5n 7n 12 8n3 6n 2 3n 2
7n 10 2n 2 4n 5 2n 3 6n 2 5n 4 f) lím n 1 2n 3n 2 5n 3 2 n 1 h) lím n n 1 n2
d)
lím n
6n 2
5n 3
Calcula los siguientes límites de sucesiones:
3n 2 2n 3 6n 9 n a) lím 2n 1 4 5 n 6n1 3n 2 5n 2 6n 2 5n 4 e) lím n 3 3n 4 2n3 3n 6n 2 2 g) lím 2 n 3n 1 n 3
c)
i)
2n 2 4n 3
lím
lím
n
4n 2
4n 2
4 2n
9n 2 4 3n n 2n 1 3n 2 m) lím n n n2 5 2n 4n 2 5 o) lím n 2 4n 9 2n
k)
q)
lím
lím n n 2 n
1
n3 2n 3n 2 4n 1 n 2 b) lím n 2n 1 n 1 3n 11
5 8n 2 8 2 3n 4n 2 6 4n f) lím n 5 5n 3
d)
lím
h)
lím
j)
lím
n
3n 2
n2
4 n
n2
9 n
n
n
n n2 4 n n 1 n2 4 n n) lím 2 n n 9 n
l)
lím
p)
lím
l)
lím
n
n
n2
1
n
1
5n 3 3 n22
n 2
n2
2
96
P3.-
Calcular los siguientes límites del número e:
8
n
a)
lím 1
d)
lím 1
g)
lím 1 5 5 n 3n
n
n
3
n
e)
lím 1
h)
lím n 4 n n 1
n
n
P4.-
lím 1
v)
lím
x
4
n
lím 1
i)
lím n 2 n n 1
l)
lím
n
2x
n 3
n 1 n n 3
n 2
n
2n 3 2 n) lím n 2n 1
4n 5 4 o) lím n 4n 1
2n 2 3
3n 1
3n
2n 3
n2 1 q) lím n n2 1
5x
6 3x x 3x 8
n
n
n 6 5 k) lím n n 3
3x 2
f)
n
2n
2n
s)
14
lím 1
n
n 3 j) lím n n 4
5n 2 p) lím n 5n 2
c)
n
3n 2
2n
3n 5 m) lím n 3n 1
3n
n
2n 1
lím 1
n
n
b)
lím 1
w)
lím 1
2
x
n
n 1 u) lím n n 6 n 5 1
t)
n
3n 3
n2 3 r) lím n n2 1
4
2 x 1 2x
6n 2
4x
x)
2
lím 3x 2 x 1 x
Calcular, si existen, los siguientes límites de funciones: a)
3x 2 2 x 2x 1
x
lím x 0
2
b)
x3
lím x 0
x 2 5x3 c) x 2 3x 4
1
d) g)
lím x 0
lím
e)
x x2
lím x 1
j)
1 1 x2
1
x 2 2x 1 x 2 3x 2
x 1
x2
1
x 1
h)
k)
p)
4 q) x 2 2 x 4x 4 lím
x2
2
f)
x2
1
x 2 2x 1 x5 1
i)
lím x 1
lím x 3
x
3
1 x 2 x2
9
lím 5 x x 0
lím
1 5
x x3
x 1
l)
x 1
x
lím
2 2x
x 0
1
1 x 1 n) lím x 1 x 1
lím
x 1
x 0
x 1
m)
x 1
lím 2 x
lím
3x 2 3x 1
x3 x 2 x5 1
x 1
1 2 x 3x 2 o) lím x 2 2 x 4
r)
lím
x 1
lím
x
x 2
3
6x 2 12x 8 x 3 2x 2 4x 8
x3
97
s) v) y) B)
P5.-
lím
1 x 3
x 4
lím
x
x
lím x 1
x x
4
lím
5 x w)
lím
1 1
z)
2 1 x 1
x
t)
16
x2 3
lím
2
C)
x
x
x 3
x 3
lím
x x
x2
x
1
x 3
x 1
x
3
lím
x)
lím
A)
lím
3 2
1 x
x 0
u)
x
x
x 3
x3x3
x 2
3x 6
x 2
2
4x 7 2 x 2
3x 2
lím
x
¿Para qué valores de x pueden ser discontinuas las siguientes funciones?: a)
f(x)
1
b)
x
d)
f(x)
f)
f (x)
1
f(x)
x
3x 2
2
4
9x 2 11x 21
x3
x
g)
16
2
f (x)
x
2
x 6
c)
f (x)
e)
f (x) 9 x
h)
f(x)
x
f(x)
3
x
l)
f (x)
n)
f(x)
f(x)
u)
f(x)
f(x)
3
f(x)
1
2
o)
9
f(x)
x 5
x
2
4
3x 2x 2x 7
x 3
x3
3x 2 2
v)
3x
x 5
1 9x
3
6x
2
7x 12
2
f (x) 9 49x 2
m)
f(x)
p)
f(x)
r)
f (x)
t)
f(x)
5x 1
x 2 1 six 0 A) f x x 1 six 0, 2 2 x 4x 2six 2
w)
f(x)
2
1
x2
x 3 3x 4 2
1
x 4
25x
2
144
x2
x
f(x)
2
k)
x
2
x
y)
4
1
x
s)
5
x
x2
f(x)
2x 2 15x
x3
x
q)
j)
4
2
5x 6
3x 2
x
i)
2
2
5x 6 3
2x3 3x 2 6x 9 x 3 25x x
4
z)
f(x)
B)
f (x) 1
x
six
2
si 2 x
x 6 six 5
5
98
six 1 3 C) f (x) 1 2x si 1 x 1 3x 1 six 1
1 x 2 six 1 D) f x 1 x x 3 six 1
5x 2 six 1 E) f (x) 2 six 2 1 x six 2 2
x2 4 six 2 F) f(x) x 2 3 six 2
G)
x 2 six 3 f(x) x 2 six 3 x 2
I)
f(x)
x2 4 si 4 x 2x 1 six 4
H)
1
f (x) x
si 8 x 4 2 si 4 x 2
8 si2 x x 2x six 0 J) f (x) x 2 1 si0 x 1 six 4 x 4
4
x si 4 x 0 2 K) f (x) x 2 si0 x 2 x 6s i2 x 4 2
4
six 2 3 3x 3 si2 x 0 L) f(x) 2 si x x2 9x2x 183si 0x x3 3
P6.-
2 La función f x x 9 , ¿Es continua en x = −3?.
P7.-
Calcular el valor de k para que la función f x x 2 1
x3
x 1 k
six
1
six
1
, sea continua en x = 1.
Estudia la continuidad de f x x 2 1 en los puntos x = −1, x = 0 y x = 1. 3
P8.-
x
P9.P10.-
1
Estudia la continuidad en x = 0 y en x
2
Indica para qué valores de a y b son continuas las funciones: x 1 six 1 a) f x a x 2 si1 x 1 2 b x si x 1
3
de la función f x
2
x
.
2
x 2 1 six 0 b) fx ax bsi0 x 3 x 5 si x 1
99
x 2 asix 1 c) f x x 1 six 1,1 2 b s ix 1 P11.- Indica para qué valores de k son 2x
six 2 a) f x 4 x 2 x k six 2 P12.-
continuas las siguientes funciones: x 2 2x 1 six 1 b) f x x 2 k six 1
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la función 12t 2 3t 1 , donde t expresa los años transcurridos desde su plantación. f x 2 t
9t 10
a) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años?. b) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?.
100
Límites y Continuidad Idea intuitiva de límite funcional.Observa la gráfica de la siguiente función: f ( x) 2.0,68x Podemos ver en la gráfica que a medida que los valores de x están más próximos a cero los valores de la función se “aproximan” más a dos. Esto lo apreciamos claramente en la siguiente tabla de valores: x 1,92 0,1 1,99 0,01 1,999 0,001 1,9999 0,0001 .... -0,001 -0,01 f(x) ……. 02 .... …… 2,0007 2,007 -0,1 2,078 Observa la gráfica de esta otra función: f ( x)
1
x 2 Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a -2 los valores funcionales de f ( x) se hacen cada vez mayores. Esto se aprecia en la siguiente tabla de valores: 1
2
1
x -1,9 -1,99 -1,999 .... -2 ... -2,001 -2,01 -2,1 f1(x) 100 10000 1000000 …. …. 1000000 10000 100 Observa la gráfica de esta nueva función: f ( x)
8
x En este caso podemos ver que a medida que los valores de x se hacen mayores los valores funcionales se “aproximan” cada vez más a cero. Observa la siguiente tabla de valores: x 10 100 1000000 .... f1(x) 0,8 0,08 0,000008 …. 0
Por último, observa la gráfica de esta función: T (l ) 2. l En este caso, sobre la gráfica se observa que a medida que los valores de “l” crecen los valores de “T” crecen, también, cada vez más. Sobre una tabla de valores podemos comprobar lo dicho anteriormente: l 10 100 1000000 .... T 6,32 20 2000 …. Todos estos ejemplos nos llevan a poder dar una idea intuitiva del significado del concepto de límite funcional. 101
Diremos que el límite de una función f es A ( A puede ser cualquier número real o ) cuando x se aproxima a a ( a puede ser cualquier número real o ) si sucede que cuanto más se concentran los valores de x en las proximidades de a , los valores funcionales correspondientes se concentran en las proximidades de A . Todo esto se escribe de modo matemático así:
lím f ( x) A x a
1. Límite de una función en un punto.A) LÍMITES LATERALES FINITOS. A1) Límite por la izquierda: Se dice que lím f ( x) A si cuando x toma valores próximos a a , por su izquierda, x a
f ( x) toma valores cada vez más próximos al número A . A2) Límite por la derecha: Se dice que lím f ( x) A si cuando x toma valores próximos a a , por su derecha, x a
f ( x) toma valores cada vez más próximos al número A . Ejemplo.-
Observa sobre el gráfico de esta función como se cumple que: lím f ( x) 0 x 2
lím f ( x) 3 x 2
Fíjate ahora en este otro ejemplo: La función que tiene esta gráfica cumple que: lím f ( x) 0 x1
lím f ( x) 0 x1
En el primer caso los límites laterales en el valor de x =2 son distintos, mientras que en el segundo ejemplo los límites laterales en el valor de x = 1 coinciden (valen cero). Se dice entonces que si los límites laterales toman el mismo valor, es decir, lím f ( x) A y x a
lím f ( x) A existe el límite de x a
f ( x) en x a , se escribe:
lím f ( x) A x a
102
Si los límites laterales toman distinto valor en x a se dice que no existe el límite de f ( x) en x a . B) LÍMITES LATERALES NO FINITOS. B1) Límite por la izquierda: Se dice que lím f ( x) si cuando x toma valores próximos a a , por su izquierda, x a
f ( x) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que éste sea. B2) Límite por la derecha: Se dice que lím f ( x) si cuando x toma valores próximos a a , por su derecha, x a
f ( x) toma valores cada vez mayores, llegando a superar a cualquier valor, por muy grande que éste sea. Ejemplo.-
En esta gráfica de la función f ( x) vemos que se verifica: lím f ( x) 1
1
x 2
lím f ( x) 1
x 2
B3) Límite por la izquierda: Se dice que lím f ( x) si cuando x toma valores próximos a a , por su izquierda, x a
f ( x) toma valores cada vez “más negativos”(o sea, más pequeños).
B4) dice Límite la derecha: f ( x) si cuando x toma valores próximos a a , por su derecha, Se queporlím x a
f ( x) toma valores cada vez “más negativos”(o sea, más pequeños). Ejemplo.-
En esta gráfica de la función f ( x) vemos que se verifica: lím f ( x) , lím f ( x) x0
x0
Si lím f ( x) y lím f ( x) entonces: lím f ( x) x a
Si lím f ( x) y x a
xa
x a
lím f ( x) entonces x a
lím f ( x) x a
Si los límites laterales toman distinto valor en x a se dice que no existe el límite de f ( x) en x a . C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. C1) lím ( f ( x) g ( x)) lím f ( x) lím g ( x) x a
x a
x a
Siempre que no aparezca la indeterminación:
C2) lím ( f ( x).g ( x)) lím f ( x).lím g ( x) x a
x a
x a
Siempre que no aparezca la indeterminación: 0. 103
C3) lím ( x a
f ( x) f ( x) lím ) xa con g ( x) lím g ( x)
lím ( g ( x)) 0 x a
x a
Siempre que no aparezcan las indeterminaciones:
C4) lím ( f ( x) g ( x ) ) lím f ( x) x a
g ( x) lím x a
x a
con
0 0
o
f ( x) 0
(*La función potencia solo está definida para valores positivos de la base) Siempre que no aparezcan las indeterminaciones: 0 ,00 ,1
2. Límites en el infinito.A) LÍMITE FINITO. Se dice que lím ( f ( x)) A si al aumentar los valores de x tanto como queramos los x
valores de la función f ( x) se concentran en las proximidades de A . Se dice que lím ( f ( x)) A si al hacer los valores de x tan negativos como queramos x
los valores de la función f ( x) se concentran en las proximidades de A . Se dice que lím ( f ( x)) no existe, si al aumentar (o disminuir) los valores de x cada x
vez más (cada vez más pequeños) los valores de f ( x) ni crecen ni decrecen ni se acercan, cada vez más, a ningún número. Ejemplo.-
lím ( f x
2
( x)) 3
lím ( f ( x)) 0 x
lím ( f x
4
( x))
no existe
B) LÍMITE NO FINITO. x ( f ( x )) si al aumentar los valores de x tanto como queramos los Se dice que lím valores de la función f ( x) son cada vez más grandes. Se dice que lím ( f ( x)) si al aumentar los valores de x tanto como queramos los x
valores de la función f ( x) son cada vez más negativos. Se dice que lím ( f ( x)) si al hacerse más negativos los valores de x los valores x
de la función f ( x) se hacen cada vez más grandes. 104
Se dice que lím ( f ( x)) si al hacerse más negativos los valores de x los valores x
de la función f ( x) se hacen cada vez más negativos. Todo lo referente a las propiedades de los límites de una función en un punto se cumple también en el caso de límites en el infinito. Es decir, todas las propiedades vistas en el apartado anterior se cumplen ahora poniendo en lugar de a , Ejemplo.-
Observa sobre la gráfica de la función f que se cumple: lím ( f ( x)) 1
x
1
En la gráfica de f puedes ver que se cumple: lím ( f ( x)) 3
x
3
Dibuja tú la gráfica de una función que modelice los límites: lím ( f ( x)) y lím ( f ( x)) x
x
Observación.- Al calcular este tipo de límites en el infinito puede que obtengamos una
indeterminación (en apariencia), que no lo es en realidad.
Comparación de infinitos ( f ( x)) y ( g ( x)) Si tenemos que lím lím x x Se dice que f es un infinito de orden superior a g si se verifica: f x gx o lo que es lo mismo: lím 0 lím g x x x f x
Es fácil comprobar las siguientes afirmaciones: Dadas dos potencias de “x”, la de mayor exponente es un infinito de orden superior: 3 2 x3 x3 x2 lím lím 1 lím x 2 x x 7 x x 7 x Dadas dos funciones exponenciales de bases mayores que 1 (el límite cuando x
de estas funciones es un infinito pues cuando x 2 x sedice un infinitésimo), la de mayor base es un infinito de orden superior. lím x x 1,5 Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia:
2
x
lím x 5000x
50
105
Tanto las funciones exponenciales de base mayor que 1 como las potencias de “x” son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica: 1,5x lím x lím x ln x x ln x Dos polinomios del mismo grado o dos potencias de la misma base son infinitos del f x l 0 mismo orden, es decir: lím x g x 2x 1 8x 3 2 x 2 8 8 3 4 0 lím x 0 lím 5 2 x 2 x 5 x 1 x 52
Familiarízate con estos sencillos resultados pues son muy útiles para el cálculo de límites.
3. Ramas infinitas. Asíntotas de una curva.Al desarrollar el tema nos hemos encontrado en alguna ocasión tramos de una curva que se alejan indefinidamente, son las llamadas Ramas infinitas. Cuando una Rama infinita se ciñe (se aproxima) a una recta, a esta recta se la llama Asíntota de la curva y a la rama correspondiente se le llama: Rama asintótica.
A) Rama infinita en x=a. Asíntota Vertical. Las únicas ramas infinitas que se pueden encontrar en valores concretos de la abscisa ( x a) son las ramas asintóticas verticales. Así, si una función f ( x) verifica que lím f ( x) decimos que ( x a) es una Asíntota Vertical de dicha función. x a
La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de los límites laterales.
106
Ejemplo.-
x 2 son: x 0 y x 2 x 2x Posición x 0 x 0 x 2 x 2 -0,01 0,01 1,99 2,01 x f ( x) positiva negativa negativa positiva resulta lím f ( x) lím f ( x) lím f ( x) lím f ( x) 2
Las Asíntotas verticales de la función f ( x)
x0
x0
x0 x2
2
x 2
x 2
lím f ( x) lím f ( x) lím f ( x) lím f ( x) x0
x0
x 2
x 2
Ejemplo.-
Observa la gráfica de la función e indica si tiene Asíntota Vertical: En este caso la función presenta una Asíntota vertical Porque se verifica que: lím f ( x) y lím f ( x) x0
( x 0)
x0
En consecuencia: lím f ( x) x0
B) Ramas infinitas cuando x . Parabólica.
Asíntota Horizontal. Asíntota oblicua. Rama
Hay varios tipos de ramas infinitas cuando x : B1) Asíntota Horizontal.- Si se verifica que lím ( f ( x)) A decimos entonces que la x
recta de ecuación y A es Asíntota Horizontal de la función. La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de f ( x) A . Ejemplo.2x tiene una Asíntota Horizontal y 2 , se cumple que: lím ( f ( x)) 2 y x x3 ( f ( x)) 2 , la posición de la curva respecto a la Asíntota la determina el signo de la
La función y
lím diferencia entre los valores: f ( x) A x
2x 6 2 x3 x3 x positivo f encima asíntota x negativo f debajo asíntota
107
(Tiene además una Asíntota vertical en x 3 ) Ejemplo.-
La función cuya gráfica es la dada más abajo, tiene una Asíntota horizontal y 0 Se cumple que
lím ( f ( x)) 0 x
Evidentemente la gráfica muestra que la función está por encima de la Asíntota para los valores de x Ejemplo.-
La función cuya gráfica es la de f ( x) , tiene Asíntota horizontal y 3 Se cumple que lím ( f ( x)) 3 2
2
x
Evidentemente la gráfica muestra que la función está por debajo de la Asíntota para los valores de x B2) Asíntota Oblicua.- Hay funciones f ( x) que al hacer que x (o que ( x ) ) se aproximan mucho a una recta de ecuación y mx n m 0 ciñéndose a ella. Dicha recta se dice Asíntota Oblicua para esa función. Para que dicha recta sea Asíntota Oblicua de f ( x) se ha de cumplir f ( x) x f ( x ) x x f ( x ) a) lím b) m lím x 0 c) n lím mx La posición de la curva respecto a la asíntota depende del signo de f ( x) mx n . Ejemplo.-
x 3x 1 tiene una Asíntota Oblicua y x 2 x 1 x 3x 1 x 3x 1 lím x 1 x 3x 1 1 a) x x 1 b) m lím x x x x 3 1 x x lím x x 1 2x 1 x 3x 1 1.x lím c) n lím 2 x x x 1 x 1 2
La función y 2
2
2
2
2
2
Ejemplo.-
La función x y x 2x 3
2
x 50 100 1000 x 3x 1 f ( x) 47,98 97,99 997,999 x 1 yx2 48 98 998 DIFERENCIA 0,02 0,01 0,001
→
∞
→
0
2
108
tiene una Asíntota oblicua. Asíntota Oblicua: y x 2 Haz tú los cálculos como en el ejemplo anterior:
B3) Ramas Parabólicas.- Si se cumple
lím f ( x) y la curva no tiene Asíntota x
Oblicua entonces la curva presenta una Rama Parabólica. Hay dos tipos: 1. Tipo 1.- La curva crece, o decrece, cada vez más deprisa. De este tipo son las ramas parabólicas de las funciones polinómicas y exponenciales.
-
2. Tipo 2. La curva crece, o decrece, cada vez más despacio. De este tipo son las ramas parabólicas de las funciones radicales y logarítmicas. Ejemplo.-
La función f ( x) x 1 tiene una Rama parabólica tipo 2 La función crece cada vez más despacio.
lím f ( x) x
Ejemplo.-
La función y 2.(0,68) x tiene una Rama parabólica tipo 1 La función decrece cada vez más rápido.
lím f ( x) x
Ejemplo.-
Dadas las funciones: y log x y y 3x . Determina sus ramas parabólicas. 3
109
4. Calculo de Límites. El número e.A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-
x2 x 1 2 x 1 Calcula el siguiente límite: lím x 1 x 1 indeterminación
Para resolverla efectuamos la operación indicada entre paréntesis: x ( x 1).(x 1) x x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x x x 1 x 1 1 1 x 1 2
2
2
2
2
2
Por tanto se cumple que:
2
2
x2 x 1 2 x 1 si x 1 = lím 2 x 1 x 1 x1 x 1 x 2 1 lím si x 1 y
Observa la gráfica de: f ( x)
2x 1
x 1 2
x
-9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
En otros casos, sobre todo aquellos en que aparecen radicales, basta multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.
Calcula el siguiente límite: lím x x indeterminación x
Para resolverla multiplicamos la expresión ( x x ).( xy dividimos x) x x dada por su conjugada. x x = lím = lím lím x x x x (x x ) x Evidentemente el último límite es más infinito pues crece más rápidamente el numerador que el denominador. 2
B) INDETERMINACIÓN 0. 110
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-
x x 1 . indeterminación 0. x x 1 x Para resolverla efectuamos la operación indicada entre paréntesis: x x 1 x .( x 1) x 1 . y en consecuencia: x 1 x ( x 1).x x 1 x x 1 x 1 1 . = lím lím x x 1 x x x 1
Calcula el siguiente límite: lím
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
0
C) INDETERMINACIÓN
0 0
Cuando solamente aparecen funciones racionales basta con descomponer factorialmente numerador y denominador. Ejemplo.-
x 2 5x 6 indeterminación 2 x 3x 10
Calcula el siguiente límite: lím x 2
0 0
Para resolverla descomponemos factorialmente numerador y denominador. 2 x 3 3. x x 5x 6 x en consecuencia: x x x x 2 x5 3 10 5 . x 5x 6 x 3 1 x x 3x 10 = lím x lím x 5 7 2
2
2
2
2
2
En aquellos casos en los que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-
x 1 0 indeterminación x 1 0 x Para resolverla multiplicamos numerador y denominador por 1 x . x 1.1 x x 1 1 x .1 x = lím = lím = lím 1 x 1 1 2 lím x 1 x 1 x x x 1 x . 1 x x
Calcula el siguiente límite: lím 1
1
1
1
D) INDETERMINACIÓN
1
En la mayoría de los casos basta con dividir numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplo.111
x 1 indeterminación x 1 2 Para resolverla dividimos numerador y denominador por x 4x 2
Calcula el siguiente límite: lím
2
x
lím x
4x
x 1 = x x 1 lím 2
4x 2
x 1
x 1 2
2
x
x = lím 2
4
x
2
1
x 1
1
x
1
x =4 4 2
1
2
Ejemplo.-
Calcula el siguiente límite: lím x x indeterminación 2
x
x
Para resolverla dividimos numerador y denominador por x 1 x x 1 x x x x x= x x = lím = lím = lím lím x x x x x x 1 x x x Observa la siguiente gráfica: 2
2
2
2
1 1
1
Gráfica de: x x f ( x) x
y 4
2
3 2
x f ( x) 1
1
x -4 - 3 -
2 - 1
1
2
3
A.H . : y 1
4
-1 -2
x f ( x) 1 A.H . : y 1
-3 -4
Observa que en el caso de que x el límite: lím x x 1 se obtendría dividiendo 2
x
x
numerador y denominador por: x (Dentro de una raíz cuadrada el número ha de ser positivo) y así se explica que ese límite valga -1. E) INDETERMINACIÓNES: 1 ,0 , Para resolver este tipo de indeterminaciones usaremos la denominada Regla de L’hôpital basada en las derivadas y que veremos más adelante. 0
0
De todas formas (si la indeterminación es 1 ) hay una fórmula de resolución para esa indeterminación de uso muy frecuente basada en el número e. Veámosla, pero primeramente recordemos que: 112
n
1 La sucesión numérica definida por an 1 tiene límite finito cuyo valor es un número n irracional que se representa por la letra ( e ). Aproximadamente este número vale: e 2,718281....... Veamos ahora distintos límites relacionados con el número e que nos van a permitir establecer la fórmula de resolución de las indeterminaciones: 1 1 A) lím 1 n n e (siendo n cualquier sucesión con lím n 0 ) n
n 0
En efecto, hagamos n
1
n
Sustituyendo en A)
tenemos que lím n 0 y n n
lím 1 n
1 n
n 0
1
n
n
1
n
1 lím 1 e n n
1
e 1 e 1 1 Si hacemos n tendremos que: lím n 0 y n n n n
B)
lím 1 n n n
1 1 1 n lím n lím n 0 n
C)
1 x lím n n
n
Si hacemos n
log 1 n
n
1 n lím n 0
1
1 n
1 e 1 e
x x tendremos que: lím n 0 y n n n n
n
n 0
n
ex
1 x lím 1 n lím n n 0 n
D) lím
1
x
n 1 n lím n 0
x
1 n
ex
log e . En efecto:
log 1 n lím log1n n lím n
log lím 1 n n 0
log e E) Sean n y n dos sucesiones tales que: lím n 1 y lím n n 0
0
1 n
n
En este caso tendremos la indeterminación:
1 n
n
lím n n 1
n
Se verifica la siguiente igualdad de límites: 113
lím n n 1
n n e n lím n Como: lím n 1 0 n
n
n
lím n n
n
lím 1 n 1 n
1 n 1 1 n 1
n n 1
1 n 1
n n 1
y A)
lím n n 1
e n
Ejemplo.-
Calcula el límite: lím x tenemos una indeterminación 1 x x 1 Aplicamos pues la fórmula dada más arriba y tenemos que: 2
2 x 3
x2
2 x 3
x 2 lím x 1 = e
2 x 3 . 1 lím x 1 x
=e
lím x
4 x6
x 1
e4
x
Calcula tú como ejercicio el límite siguiente del mismo modo: x x 3 Solución: e lím x x 2 2
4
2
5. Función un punto y enya un Intervalo.La idea continua de funciónen continua es, como sabemos, la de aquella cuya gráfica puede ser construida con un solo trazo. Al trabajar con la expresión analítica de la función, veremos que el concepto de límite es fundamental para el estudio de la continuidad, de tal modo que estableceremos un criterio, basado en el límite , para determinar cuando una función es o no continua. Ejemplo.-
Observa las gráficas de distintas funciones: Esta función tiene por expresión analítica: si x 0 4 f ( x) 4 x si 0 x 5 2 x 11 si x 5 Observa su trazo continuo en todo Esta otra función tiene por expresión analítica: 114
x 3 si x 1 f ( x) 2 si x 1 x Observa su trazo continuo en su dominio D [3,)
En estos dos primeros casos las funciones dadas son ambas de trazo continuo, pero hay otros casos en los que las funciones tienen una gráfica que no puede ser dibujada con un único trazo. Veamos distintos casos: Esta función tiene por expresión analítica: si x 0 x f ( x) 2 x si 0 x 3 x 2 si x 3 Observa su trazo no continuo en el valor de x=3 2
En los demás puntos de su dominio su trazo es continuo
Observa las gráficas de distintas funciones que no tienen un único trazo y por tanto no son continuas:
Veamos pues ahora cual es la formalización matemática del concepto de continuidad. Diremos que una función de expresión analítica y f ( x) es continua en un “punto” de su dominio x a si se verifican estas condiciones: a) Existe f (a) b) Existe lím f ( x) x a c) lím f ( x) f (a) x a Observación 1: la palabra existe de la condición a) quiere decir que el resultado sea un número real Observación 2: la condición c) basta para definir la continuidad en un punto de la función dada pues si esta condición c) se verifica, necesariamente se han de dar a) y b). Observación 3: cuando una función no es continua en un punto se dice discontinua
Diremos que una función y f ( x) es continua en un intervalo abierto a, b si es continua en todos y cada uno de los puntos de dicho intervalo. 115
Diremos que una función y f ( x) es continua por la derecha en un punto de su dominio x a si se cumple lím f ( x) f (a) x a
Diremos que una función y f ( x) es continua por la izquierda en un punto de su dominio x a si se cumple lím f ( x) f (a) x a
Diremos que una función y f ( x) es continua en un intervalo cerrado a, b si: 1. y f ( x) es continua en el intervalo abierto a, b 2. y f ( x) es continua por la derecha en x a 3. y f ( x) es continua por la izquierda en x b Es conveniente señalar aquí que todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (lineales, cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas) son todas continuas en los puntos en los que están definidas (o sea, en su dominio).
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. Sean f ( x) y g ( x) dos funciones continuas en x a se tiene entonces que: 1. f ( x) g ( x) es continua en x a 2. f ( x).g ( x) es continua en x a 3.
f ( x) g ( x)
es continua en x a
4. f ( x) g x es continua en x a ( suponiendo f (a) 0 ) ( )
Tipos de Discontinuidad de las Funciones.Ya hemos señalado anteriormente que una función es Discontinua en un punto x a cuando no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad en ese punto. De ahí que podamos establecer distintos tipos de Discontinuidad: 1. Evitable.- Cuando existe el lím f ( x) pero no coincide con el valor de f (a) ,por una de x a
estas dos razones, son distintos los valores o no existe f (a) Ejemplo.-
caso elenpunto es: aes: 1f)(1) 4 El valor(En de este la función el punto El valor del límite en ese punto es: lím f ( x) 2 x1
En este caso son distintos los valores.
(En este caso el punto es: a 2 ) 116
El valor de la función en el punto f (2) No existe El valor del límite en ese punto es lím f ( x) 3 x 2
En este caso no existe f (2)
2. De Salto.- Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. Ejemplo.-
117
lím f ( x) 6 y lím f ( x) 5 x3
x3
En este caso los límites laterales no coinciden siendo ambos finitos.
Salto lím f ( x) lím f ( x) 5 6 1 xa
x a
3. Asintótica.-Alguno de los límites laterales(o ambos) no es finito. Ejemplo.-
Para esta función los límites laterales en x 1 son ambos no finitos, de hecho: lím f ( x) lím f ( x) x1
x 1
4. Esencial.- Cuando no existe alguno (o ambos) de los límites laterales Ejemplo.- Observa la gráfica de la siguiente función:
1 sin si x 0 f ( x) x sin(x) si x 0
lím f ( x) No hay;
lím f ( x) 0
x 0
x 0
y
x -2
-1
1
2
118
6. Teoremas relacionados con la continuidad de las funciones. Muchas de las propiedades de las funciones continuas las acepta como evidentes nuestro sentido común, sobre todo cuando las interpretamos geométricamente mediante la representación gráfica. Sin embargo, el rigor matemático, en aras a evitar errores y paradojas, exige elaborar demostraciones de estas propiedades apoyándose en definiciones precisas de los conceptos básicos. En este nivel de 2º de Bachillerato y, atendiendo a las recomendaciones de la (CIUGA), evitaremos dichas demostraciones que no aportan métodos operativos interesantes desde un punto de vista práctico. Sin embargo, en todos los casos se incluirán explicaciones plausibles y figuras que ayuden a entender el significado de los teoremas. Teorema de conservación del signo.Si la función f es continua en x0 y f x0 0 existe un entorno de x0 en el que f x toma el mismo signo que f x0 Explicación.- Si una función f es continua en x0 las imágenes de los puntos cercanos a x0 no se separan mucho de f x0 por lo que tendrán el mismo signo que esta última. Interpretación gráfica.-
Cuando f es continua en x0 siempre hay algún entorno de x0 en el que la función mantenga el signo de f x0 . Ejemplo:la función no es continua en x0 y no hay ningún entorno de x0 en el que la función conserve el signo. Teorema de Bolzano (o teorema de los ceros).Si la función f es continua en el intervalo a, b y toma distinto signo en los extremos del mismo, entonces se anula en algún punto c a, b O sea hay al menos un valor c a, b en el que f c 0
119
Explicación.- La gráfica de una función continua no tiene agujeros ni interrupciones, y si “atraviesa” una línea recta, forzosamente tendrá un punto común con ella. Interpretación gráfica.-
La gráfica de la función necesariamente ha de atravesar al eje X al pasar del semiplano inferior al semiplano superior, y por lo tanto f x se anulará al menos en un punto (en este caso concreto en tres). Aunque la función cambie de signo en los extremos de
a, b, observa que si no es continua en dicho intervalo (en el ejemplo es discontinua en x0 a, b) puede que no se anule en ningún punto de ese intervalo (como en la del ejemplo).
Teorema de Darboux (o teorema de los valores intermedios).Si la función f es continua en el intervalo a, b y k es un número comprendido entre f a y f b , o sea f a k f b , entonces existe algún punto c a, b tal que f c k consecuencia Explicación.Es una inmediata del teorema de Bolzano. La gráfica de una función continua f en el intervalo a, b atravesará cualquier recta horizontal situada entre f a y f b . Por lo tanto, la función tomará dentro del intervalo a, b cualquier valor comprendido entre f a y f b . Interpretación gráfica.120
Intenta demostrar este teorema como consecuencia directa del de Bolzano: ¡Aplica Bolzano a la función g x f x k !
Otra consecuencia inmediata del teorema de Bolzano es. f y g son dos funciones continuas en a, b y f a g a y f b g b entonces existe un numero c a, b tal que f c g c ¡Aplica Bolzano a la función h x f x g x !
Teorema de Weierstrass.Si f es una función continua en el intervalo a, b entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos en ese intervalo. Es decir, existen dos números c y d de dicho intervalo para los que se verifica:
cualquier x a, b cumple f c f x f d
En la función f del gráfico, observa como el máximo o el mínimo pueden alcanzarse, bien en un extremo, bien en un punto interior del intervalo. Así en este ejemplo el mínimo se alcanza en “a” y el máximo en “c”.
121
Observa que si el intervalo fuese abierto no podríamos asegurar la existencia de máximo o mínimo en el intervalo. En el ejemplo anterior, f no tendría mínimo en el intervalo a, b ya que a a, b . Si f no fuese continua en a, b , en el siguiente ejemplo es discontinua en c , no estaría garantizada la existencia de máximo o mínimo en dicho intervalo pues la función podría no estar acotada (como en el ejemplo) en dicho intervalo.
La consecuencia inmediata del teorema de Weierstrass (y teniendo en cuenta el teorema de los valores intermedios), es que el recorrido de la función f está en el intervalo m, M .
122
Derivada y Diferencial Introducción: El concepto de derivada surgió como resultado de grandes esfuerzos de los matemáticos (durante muchos años), dirigidos a resolver dos problemas: 1. Determinar la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. 2. Encontrar el valor de la velocidad instantánea en movimientos no uniformes. El primero que formuló la idea de derivada fue Fermat (1602-1665), al estudiar las tangentes a una curva con el fin de resolver problemas de máximos y mínimos. En el siglo XVII un gran matemático como Isaac Newton dio una respuesta completa a estos problemas mediante la invención de la derivada. Otro gran matemático como Leibniz, contemporaneo de Newton y coinventor de la derivada, introdujo la notación actual de derivada como cociente de dos cantidades infinitamente dy pequeñas dx
Un siglo más tarde, un matemático tan importante como Euler contribuyó a mejorar el concepto inventado por Newton y Leibniz. Todos estos matemáticos progresaron en la definición de derivada sin perfilar el concepto de límite. No fue hasta principios del siglo XIX cuando Cauchy, al relacionar el concepto de derivada con el de límite, hizo que el cálculo de derivadas se transformase en un proceso claro y sistemático que permite hoy en día manejar este concepto con mayor soltura que los grandes matemáticos anteriores a Cauchy. Al estudiar las funciones podemos proceder con un enfoque estático (¿cuánto vale “y” para u n valor concreto de “x”?) o bien mediante un enfoque dinámico (¿con qué rapidez se produce la variación de la variable “y” en relación a la variación de la variable “x”?).
En esta unidad didáctica haremos un estudio de las funciones desde un punto de vista dinámico, empezaremos estudiando la variación relativa (que se corresponde con el concepto de tasa de variación media de una función) y a partir de aquí definiremos la variación instantánea que se corresponderá con el concepto de derivada de una función en un punto.
123
1. Concepto de derivada de una función en un punto Observa la gráfica de estas dos funciones: y 9
y
9
8
7
6
6
5 4
B
3
5
f(x)
B
4 3
2
x 1 2 3
4 5 6
7 8 9 1
pendiente=3
2
pendiente=1/3
1
A -1
g(x)
8
7
A
1
x
0 11
-1
-1
1
2
3
4
-1
La función f ( x) x crece 3 unidades al pasar del punto A(0,0) al B(9,3) La función g ( x) x crece 3 unidades al pasar del punto A(1,1) al B(2,4) . 2
Sin embargo el crecimiento medio de cada una es muy distinto: 3
1
9
3
Para f ( x) x su crecimiento medio es: en el intervalo [0,9] Para g ( x) x su crecimiento medio es: 3 3 en el intervalo [1,2] 2
1
[ a, b]
Se define la Tasa de variación media (TVM) de una función y f ( x) en un intervalo como el cociente: TVM [ a,b]
f (b) f (a) ba
Frecuentemente el intervalo [a, b] se designa: [a, a h] en el que h es la longitud del intervalo. En tal caso tendremos que: TVM [ a,ah]
f ( a h) f ( a ) h
Geométricamente la TVM de la función y f ( x) en un intervalo [a, a h] nos da la pendiente de la recta secante que une los puntos A y B siendo A(a, f (a)) , B(a h, f (a h))
Observa la gráfica de la función: f ( x) x (en azul), los puntos de coordenadas A(1,1) B(9,3) C (4,2) . 124
y
4
B
3
2
1
f(x)
recta tangente C a f(x) en A
secantes
A x
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
La recta secante que une A con B tiene por pendiente, según hemos visto, la TVM de la función f ( x) x en el intervalo [1,9] . La recta secante que une A con C tiene por pendiente, según hemos visto, la TVM de la función f ( x) x en el intervalo [1,4] . La recta tangente a la función f ( x) x en el punto A se obtiene como límite de las rectas secantes. Es lógico, por tanto, que su pendiente sea el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando la longitud del intervalo: h se hace cero ( h 0 ). Así pues, si el incremento medio de una función en un intervalo se mide por la TVM de dicha función en ese intervalo, el incremento instantáneo de una función en un punto se mide por la pendiente de la recta tangente a esa función en dicho punto. Esa pendiente de la recta tangente a f ( x) en el punto A (a, f (a)) , que se designa por f (a) , se obtiene mediante el siguiente límite: f (a) lím h0
f (a h) f (a) h
Acabamos de ver que la derivada de una función en un punto, f (a) , se obtiene como un límite. Para que este límite exista, sabemos que han de existir los límites laterales correspondientes, que en este caso se les denomina derivadas laterales y se obtienen: f (a h) f (a) es la derivada por la izquierda de f ( x) en A f (a ) lím h0
f (a
)
lím h0
h f (a h) f (a) h
es la derivada por la derecha de f ( x) en A .
125
Si las derivadas laterales existen y valen lo mismo, es decir, f (a ) f (a ) diremos que la función f ( x) es derivable en A y su valor es: f (a) f (a ) f (a ) Ejemplo.-
Sea la función g ( x) x . Calcula la derivada,si existe, en el punto a 1 2
g (1 h) g (1) 1 h 2 1 h 2 2h lím lím lím h 2 2 h h h h0 h0 h0 h0 2 2 g (1 h) g (1) 1 h 1 h 2h g (1 ) lím lím lím lím h 2 2 h h h h0 h0 h0 h0 g (1 ) lím
g (1) g (1 ) g (1 ) 2
La función g ( x) x es derivable en a 1 y su derivada vale: 2, que como ya sabemos es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto de abscisa a 1 . 2
y 9
tangente a g(x) en x=a
8
g(x)
7 6 5 4 3
pend iente=2
2
A
1
x -1
1
2
3
4
-1
Ejemplo.-
Sea la función g ( x) x calcula la derivada, si existe, en el punto a 0 3
1
g (0 ) lím
2 1 g (0 h) g (0) h 3 0 lím lím h 3 lím 3 2 h h h0 h0 h0 h
g (0 ) lím
2 g (0 h) g (0) h 3 0 1 lím lím h 3 lím 3 2 h h h 0 h0 h 0 h
h0
1
h 0
Las derivadas laterales valen lo mismo pero no son finitas de ahí que digamos que g ( x) x no es derivable en a 0 . De hecho la recta tangente a la función en el punto de abscisa a 0 es perpendicular al eje X(coincide con el ejeY). 3
126
y
g(x) tangente a g(x) en a=0 (eje Y)
x -4
-3 -
2
-1
1
2
3
4
Derivabilidad y continuidad.Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable en él. Acabamos de ver en el ejemplo anterior para g ( x) x , que es continua en x 0 , sin embargo no es derivable en x 0 (en ese punto la recta tangente es perpendicular) Fíjate ahora en este otro ejemplo.3
La función: f ( x) x 2 si x 1 2
x 2 si x 1
es continuaseencumple todo su x una 1 , yfunción efectivamente que:dominio, de hecho sólamente hay que demostrarlo para
lím f ( x) lím f ( x) f (1) 3 x1
x 1
Sin embargo esta función no es derivable en x 1 ya que: f (1 ) lím
2 f (1 h) f (1) [1 h 2] 3 2h h 2 lím lím lím 2 h 2 h h h h 0 h0 h0
f (1 ) lím
f (1 h) f (1) [1 h 2] 3 h lím lím lím1 1 h h h h0 h0 h0
h0
h0
Por tanto
f (1 ) f (1 ) no existe f (1) , f ( x)
no es derivable en
x 1.
127
Hemos visto que Continuidad no implica Derivabilidad.
Sin embargo, (condición necesaria de derivabilidad) Si una función f es Derivable en a necesariamente es Continua en a . Demostración.0 f a lím sii lím h f a h h f a h f a f a h f a lím f a h f a h lím h h0 h0 h0 f a h f a h f a .0 0 lím lím h f derivable h0 h0
f
es continua en
a
0
0
en x a
2. Función Derivada de otra función.Vamos a motivar este concepto mediante el siguiente Ejemplo.-
Calcula la derivada de la función f ( x) x 2x en los puntos de abscisa: 2
-2,-1,0,1,2,3,4. Solución.-
128
Para la función f ( x) x 2 x su derivada en los puntos dados vale: 2
-2 -4 -1 -2 0 10 22 34 46 f x( x) -6 Podemos observar que se trata de una función f que asocia a cada abscisa el valor de la derivada de f en ese punto (la pendiente de la recta tangente a f en el punto dado). A f se le denomina Función Derivada de la función f .El nombre de derivada viene de que esta función f deriva (proviene) de la función f . 129
Los puntos de la tabla anterior: (-2,-6);(-1,-4);............;(4,6). Corresponden todos a la gráfica de la recta de ecuación: y 2 x 2 , es decir, la función derivada de f ( x) x 2 x es f ( x) 2 x 2 . 2
Para probarlo basta con obtener la expresión de la derivada de f en un punto cualquiera mediante el cálculo del límite que ya conocemos. f ( x h) f ( x) x h 2 x h ( x 2x) f ( x) lím lím h h h h x 2 xh h 2 x 2h x 2 x 2 xh h 2h 2 x h 2h 2
0
x
2
0
2
2
2
2
lím
lím
lím 2 x h 2 2xh 2 . h 0
lím
h
h 0
h
h 0
h0
x f(x)
f'(x)
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-22,0000 -20,0000 -18,0000 -16,0000 -14,0000 -12,0000 -10,0000 -8,0000 -6,0000 -4,0000 -2,0000 0 2,0000 4,0000 6,0000 8,0000 10,0000 12,0000 14,0000 16,0000 18,0000
120,0000 99,0000 80,0000 63,0000 48,0000 35,0000 24,0000 15,0000 8,0000 3,0000 0 -1,0000 0 3,0000 8,0000 15,0000 24,0000 35,0000 48,0000 63,0000 80,0000
y
f(x)
x
-9 - 8 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 - 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f´(x)
Ejemplo.- Dada la función cuya expresión analítica es: f ( x)
1
x
. Calcula:
a) su función derivada mediante el límite del cociente incremental. b) los valores de f (2) f (2) f 1 f 5 2
c) para que valor(es) de x es f ( x) 1 f ( x) 1 f ( x) 0 1
1
xxh a) f ( x) lím f ( x h) f ( x) lím x h x lím x x h lím h 0 x h .x.h h 0 h h x h .x.h h h 1 1 h 2 lím lím h0 x h .x x h x h .x.h 0
0
0
130
b) f (2) 1 1 f (2) 1 1
4 4 2 1 1 1 1 1 f ( ) 4 f ( 5) 2 2 1 2 5 1 5 4 2 c) f ( x) 1 21 1 x 2 1 x 1 1 x 1 1 2 f ( x) 1 2 1 x 1 x 1 no hay
2
2
2
f ( x) 0
x1 0 no hay x2 y 2
f(x) 1
x -2
-1
1
f´(x)
2
f´(x) -1
f(x) -2
131
3. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones.Tabla de derivadas Suma
f g f g
Constante
kf k f
Producto
f .g f g fg
Cociente Composición
f f g fg g2 g f g x f g x g x
Inversa
f x
Potencias
1
1
f f 1 x
A)x n n x n 1
B) f x n n f x n 1 f x
1 1 A) x x 2 2 x
f x B) f x 2 f x 1 f x B) 2 f x f x
1 1 A) x 1 2 x x
A)senx cos x A)cos x senx A)tgx 1 tg 2 x
Trigonométricas Funciones arco
Exponenciales Logarítmicas
B)senf x cos f x f x B)cos f x senf x f x
B)tgf x 1 tg 2 f x f x f x 1 B)arcsenf x A)arcsenx 2 1 x 1 f 2 x 1 f x A)arccos x B)arccos f x 2 1 x 1 f 2 x f x 1 B)arctgf x A)arctgx 1 x2 1 f 2 x A)e x e x B)e f x e f x f x x x f x f x A)a a 1 ln a B)a a f f xx ln a B)ln f x A)ln x x f x 1 1 f x 1 B)lg a f x A)lg a x x ln a f x ln a
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
132
133
Ya sabemos que si una función f es derivable en todos los puntos de un intervalo, I, la función f que asocia x f x definida en I se le llama Función derivada de f Ahora si f es derivable, su derivada se escribe f (se lee f segunda). Así sucesivamente, f ;..........; f n (f tercera, f cuarta,......., f n-ésima) Ejemplo.- Halla las derivadas 1ª,2ª y 3ª de las funciones: 5 2 a ) f ( x) x
a) f ( x) 5 x 4
b) f ( x) x cos x
c) f ( x) sen x cos 2 x x
f ( x) 20 x 3
f ( x) 60 x 2
b) f ( x) cos x xsenx f ( x) senx senx x cos x 2senx x cos x f ( x) 2 cos x cos x xsenx 3 cos x xsenx c) f ( x) sen 2 x cos 2 x x 1 x f ( x) 0 1 1 f ( x) f ( x) 0
Ejemplo.- Calcula f 1 si f x x
3
3x
2 3x 2 5
e4 134
Ejemplo.- Calcula f si f x cos 3x sen 3x sen 6x 2
2
6
Ejemplo.- Calcula f 0 si f x ln x x 1 2
1 3
arc tg
2x 1 3
Derivabilidad en un punto utilizando las reglas de derivación En algunas ocasiones se nos presenta el problema de determinar si una función es derivable en un punto x0 en el que la función es continua y la derivada de esa función existe en las proximidades de dicho punto x0 135
En esta situación podemos calcular las derivadas laterales de la función f ( x) en el punto x como límites laterales de f ( x) , y si éstas valen lo mismo entonces la función es derivable en dicho punto x .Todo lo dicho se formaliza matemáticamente: 0
0
Si la función f ( x) es continua en x0 Si f ( x) existe en los intervalos a, x0 x0 , b . Si f ( x ) lím f ( x) y f ( x ) lím f ( x) coinciden, entonces : 0
0
x x0
x x0
f ( x) es derivable en x0 Ejemplo.Estudia la derivabilidad en a 2 de la función: x 2 si x 2 f ( x) 3x 2 si x 2
Solución.La función es continua en a 2 pues lím f ( x) lím x 4 y lím f ( x) lím3x 2 6 2 4 por tanto: 2
x 2
x 2
x 2
x 2
lím f ( x) f 2 4 x2
Para ver si es derivable en a 2 calculamos mediante las reglas de derivación la función derivada de f en ,2 2, 2 x si x 2 f x 3 si x 2
f 2 lím f x 2 2 4 x 2
y f 2 lím f x 3 x 2
Como las derivadas laterales en a 2 no coinciden, la función no es derivable en a 2 Es un punto anguloso de la función. Ejemplo.Calcula el valor que han de tener las letras “a” y “b” para que la función: x 3 x si x 1 f ( x) ax 2 bx si x 1
sea derivable en x 1
Solución.La función dada es, evidentemente,continua en todos los puntos de su dominio (lo son las funciones polinómicas elementales que la determinan ) salvo a lo sumo en el punto x 1 Según hemos dicho anteriormente una función derivable en un punto ha de ser necesariamente continua en ese punto( en este caso en x 1 ). f ( x) debe pues ser continua en x 1, o sea, f (1) lím f ( x) x1
136
f (1) a(1) 2 b(1) a b
Ahora para que exista el límite: lím f ( x) han de coincidir los laterales: x1
lím f ( x) lím x3 x 13 1 0 lím f ( x) lím ax 2 bx a1 2 b 1 a b x1
x1
x1
x1
Por tanto se ha de cumplir que: a b0 Para que f ( x) sea derivable en x 1 se ha de cumplir que las derivadas laterales sean coincidentes y finitas. Como existe la derivada de f ( x) en los intervalos: ,1 1, y su expresión analítica es: 2 f ( x) 32xax 1b sisi xx11
Calculamos las derivadas laterales de f ( x) en el punto x 1 mediante los límites laterales de f ( x) , es decir, f (1 ) lím (3x 1) 2 y f (1 ) lím (2ax b) 2a b 2
x1
x1
Para que f ( x) sea derivable en x 1 las derivadas laterales han de coincidir: 2 2a b Resolviendo el sistema de ecuaciones dado, más abajo, obtenemos los valores de a y b: a b 0 2a b 2 Si lo resolvemos por reducción obtenemos: a 2 b 2
Nuevas técnicas de Derivación A) Derivación Implícita.En muchas ocasiones las funciones están dadas mediante expresiones del tipo x, y 0 en las que resulta difícil, e incluso imposible, despejar la “y” . En estas expresiones los valores de “y” quedan implícitamente determinados y no es posible (o bien resulta muy complicado) obtener explícitamente una expresión del tipo y f ( x) A pesar de ésto, el cálculo de la derivada: f ( x) o y en estas expresiones x, y 0 no es difícil. Veámoslo en algún ejemplo Ejemplo.La ecuación 3x 2 y 5 0 define implícitamente una función lineal (recta). En este caso obtenerla en forma explícita sería muy sencillo basta despejar 3 3 5 y x y su derivada sería y 2
2
y
para obtener
2
En el caso en que quisiésemos obtener y en forma implícita procederíamos: Derivamos miembro a miembro la ecuación en forma implícita teniendo en cuenta la regla de la cadena y que x 1(en general y 1) 137
3. 1 2
y 0 0 2 y 3 y
3 2
Ejemplo.La ecuación x y 4 0 corresponde a una circunferencia de centro en el srcen y radio 2. Para hallar y en forma implícita efectuamos 2
2
2 x 2 y y 0 0 2 y y 2 x
y
x y
y viene dada ,en este caso, en fución de x e y Para determinar el valor de la derivada en un punto necesitamos conocer tanto la “abscisa” como la “ordenada” d e dicho punto. Por ejemplo si la circunferencia pasa por el punto de abscisa x 3 y ordenada y 1 entonces
y x 3 1 y
3 2
Ejemplo.- Comprueba que senx y y x 2 pasa por 2, y calcula el valor de 2
2
16
4
y
en
dicho punto. 2
sen 2 2 2 2 sen 2 2 0 2 2 16 16 16 16 16 4 4 cos x 2 y 2 x y x 2 y 2 y y 1 0 cos x 2 y x2 y 2 y y 1 cos x 2 y 2 x y 1 cosx 2 y 2 x y y cosx 2 y x 2 2 y 1 cosx 2 y 2 x y y cos x 2 y x 2 2 y 1 cos 2( 1) 1 1 y 8 2, 8 4 cos 4 4 2
2
2
138
A) Derivación Logarítmica. En muchas ocasiones, tomando logaritmos y aprovechando sus propiedades, simplificamos notablemente el cálculo de la derivada de una función. Ejemplo.- dada la función y x x calcula su derivada y . Esta función no es potencial pues el exponente no es constante. Esta función no es exponencial pues la base no es constante. No tenemos ninguna regla para determinar su derivada, pero podemos tomar logaritmos previamente en dicha expresión y derivar la expresión resultante utilizando la regla de la cadena. Este modo de proceder se le denomina un tanto absurdamente derivación logarítmica. Procedamos pues: A) tomamos logaritmos en los dos miembros: ln y x ln x B) derivamos mediante la r. de la cadena: y 1ln x x y x x ln x 1 y
x
Muchas veces se utiliza esta técnica de derivación para demostrar alguna de las reglas de derivación de la tabla de derivadas. Ejemplo.Calcula la derivada de las funciones: a) y senxx b) y x senx y cos x cos x a) ln y x lnsenx 1ln senx x y senx x ln senx x y senx senx y 1 senx b) ln y senx ln x cos x ln x senx y x senx cos x ln x y x x
Ejemplo.- (demostración de la derivada de un producto de dos funciones) Vamos a comprobar mediante la derivación logarítmica esta igualdad f .g f g f g
Si llamamos ( x) f ( x).g ( x) Tomamos logaritmos en esa expresión ln ( x) ln f ( x) ln g ( x) Derivamos y obtenemos ( x) f ( x) g ( x) ( x)
f ( x)
g ( x)
Despejamos ( x) y operamos obteniendo: ( x)
f ( x) g ( x) f ( x).g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f x g x f x g ( x) f ( x) g ( x)
Diferencial de una función.139
Observa la siguiente figura en la que aparece la gráfica de la función f ( x) y su tangente en el punto T a, f a
Sabemos que el incremento de una función f en a correspondiente a un incremento h de la variable independiente x es: f a f (a h) f (a) . Definimos la diferencial de la función f en el punto a y escribimos df a como la función lineal de h definida por: df a f a .h
La tangente a una curva en un punto es la recta que mejor se “ciñe” a la curva. Por eso la diferencial es una buena aproximación del incremento en las proximidades de a (es decir, cuando h 0 ). En efecto:
lím dff aa lím f a f hahf h0
h0
a f 1a
lím f a hh f h a
a f 1a f a ff aa 1 son
infinitésimos equivalentes. La diferencial de una función en un punto nos da pues el incremento de la ordenada de la tangente correspondiente a un incremento h de x . Si en lugar de considerar la diferencial en un punto concreto a se considera un punto genérico x hablaremos de la diferencial df x y df x f x .h Para la función identidad g ( x) x tendremos que: dg ( x) g ( x) h y como g x 1 entonces se verifica dx dg( x) 1. h h h dx Así podremos escribir la derivada de una función f como cociente de diferenciales: f x
df x dy dx dx
Ejemplo.- Un cuadrado de perímetro 4 metros, aumenta su lado en 1 mm. Calcular el incremento de superficie y el error que se comete, cuando en lugar de manejar incrementos, se usan diferenciales. Primero recordemos que la superficie de un cuadrado de lado l es S l
2
140
Este cuadrado de perímetro 4 tiene de lado l 1 Con los incrementos tenemos: S l h l 1 0,001 1 0,002001m Con la diferencial (en l 1 ): dS S l dl 2 l dl 2 1(0,001) 0,002000 m Error cometido E S dS 0,000001 10 m 2
2
2
2
2
2
6
2
Ejemplo.- Calcular el espacio recorrido por una partícula cuya posición viene dada por la ecuación: s(t ) 2t t t s en cm. t en s. desde t 4 hasta t 4,01. a) Exactamente b) aproximadamente. 4
3
2
a) el espacio recorrido entre t 4 y t 4,01 viene dado por: s s(4,01) s(4) 468,73813102 464 4,73813102cm b) con la diferencial (en t 4 ) ds s (t ) dt 8t 3 3t 2 2t dt (472).0,01 4,72 cm
Ejemplo.- En un proceso isotérmico, un gas ideal mantiene la constante 10 at.l. La variación de presión es de 1 at. /min. ¿Cuál es la variación de volumen por minuto, cuando el manómetro marca 5 atmósferas? La ley de Boyle-Mariotte, que regula el proceso es: p.V 10 o también: V
10
p
Según el enunciado dp 1 at. min . Si calculamos la diferencial de V respecto a p tenemos que dt 10 dV V p dp dV 2 dp p
Aplicando la regla de la cadena para diferenciales tenemos: dV dV dp 10 10 2 1 2 dt dp dt p p
En el momento a considerar es cunado p 5 at. por tanto: dV 10 10 0,4 l. min 25 dt p5 p 2
En ese preciso instante, para el que p 5 at. , el volumen del gas está disminuyendo a razón de 0,4 litros por minuto.
4. Aplicaciones de la derivada.Las aplicaciones de la derivada de una función son numerosas. Nosotros en este apartado nos limitaremos a ver las siguientes: 1. 2. 3. 4.
obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos. estudio de la monotonía de una curva y obtención de sus extremos. estudio de la curvatura de una curva y puntos de inflexión.. resolución de problemas de optimización. 141
5. regla de L´hôpital,para el cálculo de límites 6. teoremas de Rolle ,teorema del valor medio y sus aplicaciones.
1. Obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos Como ya sabemos la ecuación de una recta que tiene de pendiente m y pasa por el punto de coordenadas P( x , y ) es y y m( x x ) . La recta tangente a una curva f ( x) en un punto de coordenadas P( x , y ) tiene por pendiente en ese punto, según sabemos, m f ( x ) y por tanto su ecuación es: y y f ( x )( x x ) Ejemplo.Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f ( x) 4 x en los puntos de corte con el eje de abscisas. Solución.Los puntos de corte de la función y f ( x) 4 x se determinan resolviendo la ecuación: 4 x 0 x 4 x 2 por tanto esos puntos de corte de la función con el eje X son: (2,0) (-2,0) Q x Q(2,0) P(2,0) P Calculamos la derivada de la función -7 -6 - 5 -4 -3 -2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 que es: f ( x) 2 x y sabemos que 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
la pendiente de la recta tangente en esos puntos es m f (2) 4 y m f (2) 4 y = 4x+8 Las rectas tangentes en los puntos Q(2,0) y P(2,0) son por tanto: y 0 4( x 2) 4x 8 ; y 0 4( x (2)) 4x 8 1
2
y = -4x+8
142
2. Estudio de la monotonía de una curva y obtención de sus extremos.A) Crecimiento y Decrecimiento de una función en un punto.f ( x) creciente en x0 x0 a, x0 a signo( x x0 ) signo( f ( x) f ( x0 ))
Análogamente se define función decreciente en un punto (hazlo tú) Relación del crecimiento de una función con el valor de su derivada: f x derivable y creciente en x f x 0 f x derivable y decreciente en x f x 0 0
0
0
0
Criterio que nos permite relacionar la monotonía de una función en un punto con el signo que toma su derivada en dicho punto. (se demuestra,más adelante, como aplicación del teorema del valor medio) Sea f ( x) una función derivable en
x0
f ( x0 ) 0 f creciente en x0 f ( x0 ) 0 f decreciente en x0
(**En el caso de que una función no fuese derivable en el punto habría que estudiar su monotonía a través de la definición de creciente o decreciente). B) Máximos y mínimos relativos de una función. f ( x) tiene en x0 existe un número real a tal que 0 0 0) , ( ) ( un Máximo relativo si x x a x a f x f x f ( x) tiene en x0 existe un número real a tal que si x x a , x a f ( x ) f ( x ) un Mínimo relativo 0 0 0
Condición necesaria de extremo relativo. Si f ( x) tiene máximo o mínimo relativo en x0 f ( x0 ) 0
(**esta condición es necesaria pero no suficiente). Definimos puntos singulares o puntos críticos de una función, como aquellos en los que la primera derivada se anula: f ( x) 0 (tg. horizontal) Los puntos críticos pueden ser: Máximos, mínimos o puntos de inflexión.
Regla para identificar extremos relativos de una función basada en el signo de su primera derivada en las proximidades de un punto.
143
Un punto crítico es:
Máximo f 0 a su izquierda f 0 a su derecha mínimo f 0 a su izquierda f 0 a su derecha Inflexión f tiene el mismo signo a ambos lados del punto
Ejemplo.Dada la función f ( x) x 3 3x 2 estudia su monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) determina los puntos críticos y decide si son máximos, mínimos o puntos de inflexión.
Solución.Sabemos que una función es creciente en un punto si su derivada es positiva en dicho punto y en consecuencia será creciente en un intervalo cuando su derivada sea positiva en todos los puntos de dicho intervalo(análogamente se dice para decreciente). Por tanto tendremos que calcular los puntos en los que la derivada de la función es cero y a partir de aquí(por ser continua la función derivada)determinar en que intervalos la derivada es positiva y por tanto la función creciente y en que intervalos la derivada es negativa y en consecuencia la función es decreciente. f ( x) 0 3x 3 0 x 1. Estudiamos en ,1 f 0 f creciente en 1,1 f 0 f decreciente
pues
2
el
signo
de
la
derivada
en 1, f 0 f creciente Como la función en x 1 pasa de creciente a decreciente, f ( x) tiene en x 1 un Máximo relativo que vale:( f (1) 4 ). Como la función en x 1 pasa de decreciente a creciente, f ( x) tiene en x 1 un Mínimo relativo que vale:( f (1) 0 ). (-1,4) P
crece -4 -
3 -
2 -
1
y f(x)
crece
decrece 1
2
3
x
4
Q (1,0)
3. Estudio de la curvatura y la obtención de los puntos de inflexión.A)Concepto de Curvatura de una curva en un punto.144
Observa el gráfico de la curva y f ( x) . Dada la recta tangente a la curva en el punto P , de ecuación: y t ( x) , puede ocurrir: -Si en las proximidades de P es t ( x) f ( x) la curva es cóncava en P (en ejemplo P B ) -Si en las proximidades de P es t ( x) f ( x) la curva es convexa en P (en ejemplo P A ) -Si la tangente en P atraviesa a la curva, es P Psese decir, de de cumple: la derecha cumple t ( x) f ( x) (o viceversa) se dice que la curva t ( x) fsi( xa) lay aizquierda y f ( x) tiene en P un punto de Inflexión (en ejemplo P C ).
Relación de la curvatura con el valor de la segunda derivada. Si f tiene derivada segunda en x0 f cóncava en x0 f es creciente en x0 f x0 0 f convexa en x0 f es decreciente en x0 f x0 0 f tiene un punto de Inflexión en x0 f x0 0
Criterio para determinar la curvatura de una curva. f y f derivables en x0 Si f ( x0 ) 0 f es cóncava en x0 Si f ( x0 ) 0 f es convexa en x0 f x0 0 Si f tiene en x0 Inflexión f x0 0
Es también interesante exponer un criterio,basado en el signo de la derivada segunda, para determinar los puntos extremos de la función (se demuestra,más adelante, como aplicación del teorema del valor medio) Si f ( x0 ) 0 y existe f ( x0 ) f ( x0 ) 0 f tiene un mínimo en x0 f ( x0 ) 0 f tiene un máximo en x0
Ejemplo.Estudia la curvatura de la curva f ( x) x 3 3x 2 y puntos de inflexión. Solución.Ya hemos estudiado esta función para determinar su monotonía y sus puntos extremos . Sabemos que su derivada es: f ( x) 3x 2 3 y su derivada segunda es: f ( x) 6 x 145
Resolvemos los valores que anulan la derivada segunda, es decir, 6x 0 x 0 en ,0 f 0 f convexa en 0, f 0 f concava
En consecuencia, en el punto de abscisa x 0 (punto R(0,2) ) tiene una inflexión puesto que ha cambiado la curvatura de convexa a cóncava en ese punto R(0,2) (También podríamos haber determinado que el punto R es de inflexión, calculando la tercera derivada de la función y comprobando que no se anula en la abscisa de R, así: f ( x) 6 0 sea cual sea el valor de x por tanto f (0) 6 0 y por tanto el punto R(0,2) es un punto de inflexión de la curva dada. Vemos también en la gráfica como la recta tangente a la curva en el punto R(0,2) atraviesa a la curva. y
f(x)
P
convexa R(0,2) cóncava
crece -4
-3 -
2
-1
crece
decrece 1
2
Q3
x
4
recta tangente en x = 0
4. Resolución de problemas de optimización.Los problemas en que es necesario optimizar una función son muy frecuentes en Economía, Física,Biología,Geometría etc.Así en muchas ocasiones se trata de hacer máximos unos beneficios, y en otras se trata de hacer mínimosenunos costes,una un área, unaconocida fuerza. La dificultadundevolumen estos problemas, normalmente, no estriba optimizar función sino en hallar la expresión analítica de la función que tenemos que optimizar. Para resolver convenientemente este tipo de problemas tenemos que: 1. Aprender la técnica más conveniente de calcular los extremos de una función que viene dada por su expresión analítica en un intervalo. 146
2. Aprender, mediante la práctica continua, a escribir de modo analítico las funciones que se describen mediante un enunciado. 3. Para el primer punto señalaremos las siguientes orientaciones: Si tenemos que optimizar f ( x) en un intervalo [a, b] , no nos interesan los extremos relativos en dicho intervalo sino los extremos absolutos. a) Si f es derivable en dicho intervalo, los extremos absolutos se encuentran entre los puntos críticos y los extremos del intervalo, se calcula: f (a), f (b) y todos los valores x a, b que anulan la derivada ( f ( x) 0 ) Con estos valores se podrá determinar cual es el máximo y cual es el mínimo. b)Si hay algún punto del intervalo x0 (a, b) en que la función no sea derivable ,aunque sí continua, calcularíamos además el valor f ( x0 ) pues podría ser un extremo. c) Si hay algún punto del intervalo x0 (a, b) en que la función no sea continua estudiaríamos además el comportamiento de la función en las proximidades de x0
Para el segundo punto conviene señalar la importancia de adiestrarse en la traducción algebraica de enunciados, aprendida durante los cursos de ESO, y que ahora resultará fundamental para abordar con éxito los problemas. En este apartado es muy importante recordar que si al plantear analíticamente el enunciado nos aparecen dos variables, tendremos que encontrar una relación entre las mismas que nos permita escribir la función a optimizar en una única variable. (para así derivar la función obtenida respecto a esa variable). También conviene recordar que hay que comprobar si los valores obtenidos corresponden verdaderamente a los óptimos. Para ello se puede recurrir, tanto a la regla del signo de la primera derivada en las proximidades del candidato a óptimo, como el criterio del signo de la segunda derivada en dicho punto. Ejemplo.-
Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en € vienen dados por la función: I 28x 36000x , mientras que sus gastos(también en €) vienen dados por la función G( x) 44x 12000x 700000, donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determina: a) la función que define el beneficio anual en €. b) cantidad de unidades vendidas para que el beneficio sea máximo. c) el beneficio máximo. 2
2
Solución.a) Los beneficios de una empresa vienen dados por la diferencia entre los ingresos y los gastos anuales,es decir: B( x) I ( x) G( x) 16x 24000x 700000 2
147
b) Queremos obtener el máximo de la función B( x) para ello calculamos: B( x) 32x 24000 Calculamos los puntos críticos: 32x 24000 0 x 750 Comprobamos que es un máximo: B( x) 32 B(750) 32 en x 32 hay máximo Para obtener el máximo beneficio se han de vender x 750 unidades. c) Para calcular el beneficio máximo evaluamos el beneficio en x 750 B(750) 9000000 18000000 700000 8300000€ y 900
diez miles de euros
(750,830) P
800 700 600
B(x)
500 400 300 200 100
x 100
200
300
400
500
600
700
800
900
5. Regla de de L´hôpital,para el cálculo de límites.Observa el gráfico de la izquierda. Cuando el lím f ( x) existe, significa que la relación entre las x a
g ( x)
ordenadas de y f ( x) y las de y g ( x) tiende a estabilizarse.
f ( x) Si existe el lím x a g ( x ) significa que tiende a estabilizarse la relación entre sus pendientes.
Si f y g son funciones derivables en un entorno a r, a r de a . 148
Si lím f ( x) 0 y el límite lím f ( x) l entonces también: x a
g ( x)
xa g ( x) f ( x) f ( x) lím l lím x a g ( x ) xa g ( x)
0
Este proceso por el que se puede determinar un límite del tipo
0 0
mediante el cálculo del
límite del cociente de sus derivadas se llama regla d L`hôpital A veces, después del primer paso, se llega a otra indeterminación similar, por lo que se puede repetir el proceso. 3
2
x 2x x Ejemplo.- resuelve el siguiente límite lím x x x x 1 3
2
1
Este límite es del tipo
0 0
y cumple las condiciones de la regla d L`hôpital
0
0
x 3 2x 2 x 0 3x 2 4 x 1 0 6x 4 2 1 lím lím lím 3 2 2 4 2 x x x 1 3 x 2 x 1 x1 x1 x1 6 x 2 x Ejemplo.- resuelve el siguiente límite lím e x 1
x2
x 0
0
lím x0
0
ex x 1 0 ex 1 0 e x 1 lím lím 2 2x 2 x x 0 x0 2
Ampliación de la regla de L´hôpital Los límites del tipo lím f ( x) en los que x a
g ( x)
a
es un número o
Si dan lugar a una indeterminación del tipo
0 0
o
pueden obtenerse derivando numerador y
denominador y calculando (si existe) el límite del cociente de sus derivadas. Las indeterminaciones del tipo 1 0 y otras se pueden poner, con algo de habilidad, en forma de cociente para que se les pueda aplicar la regla de L´hôpital. Ejemplo.- Calcula los siguientes límites 1 1 1 2 1 x 0 2 x 2 ln 2 0 0 1 1 1 x x 2 x ln 2 ln 2 ln a) 1 2 x x x x x 1 2 lím 21 lím lím lím x x
b) lím cos x senx
1
x
Este límite es del tipo 1 para ponerlo en forma de cociente tomamos
x 0
logaritmos en f ( x) cos x senx
1
x
149
lncos x senx 1 límln f x lím lncos x senx lím x lncos x senx lím x 1
x 0
x
x 0
x 0
x 0
senx cos x cos x senx
0
senx cos x 1 lím lím 1 x 0 x 0 cos x senx que lím ln f x ln lím f x entonces tendremos: x0 x0 ln lím f x límln f x 1 e1 lím f x lím cos x senx x0 x0 x0 x0 0
lím cos x senx
1
x
1
Como sabemos
x
e
x0
c) lím x
3x
x
3
lím x
3 x ln 3 3x
2
lím x
3 x ln 3 6x
2
3x
lím x
ln 3 6
3
6
En este último ejemplo comprobamos mediante la regla d L`hôpital, que una función exponencial es un infinito de orden superior a una función potencial. 6.Teorema de Rolle, Teorema del valor medio y aplicaciones.-
150
Teorema de Rolle.La idea del teorema de Rolle es que una curva continua y sin “picos” que toma los mismos valores en los extremos de un intervalo, necesariamente tiene algún punto con tangente horizontal. En este ejemplo la función f ( x) que es continua y sin “picos” y toma los mismos valores en los extremos del intervalo a, b tiene dos puntos del intervalo en los que la tangente a la curva es horizontal (o sea de pendiente cero). Enunciado del teorema de Rolle f continua en a, b f c 0 f derivable ena, b existe al menos un c a,b tal que f a f b
Teorema del valor medio.La idea del teorema del valor medio es que en una curva continua y sin “picos” que va del punto A al punto B, hay algún punto es intermedio el que laAB. tangente a la curva en dicho paralela alensegmento (Es decir, tienen la misma pendiente) Enunciado del teorema del valor medio f continua en a, b f b f a que f c existe al menos un c a, b tal f derivable ena, b ba
3
x 3x b 0 no puede tener más de Ejemplo.el teorema de Rolle,que demuestra que de 1,1 cualquiera una raíz enAplicando el intervalo sea el valor b (hazlo por reducción al absurdo: supón que hay dos raíces en 1,1 ). La función f x x 3x b es continua en 1,1 (es un polinomio). Es derivable en 1,1 y su derivada es f x 3x 3 . 3
2
x 1 x 1
Si calculamos donde se anula la derivada, f 0 3x 3 0 2
151
Veamos pues, que x 3x b 0 no puede tener más de una raíz en 1,1 Supongamos que f x x 3x b tiene dos raíces a y a en 1,1 es decir 3
3
1
2
f a1 f a2 0
Rolle: Pero sabemos que
f continua en 1,1 f c 0 f derivable en 1,1 existe al menos un c a1 , a 2 tal que f a1 f a2 x 1 f se anula en que no están incluidos en a1 , a2 puesto que x 1
1 a1 , a2 1 , hemos llegado a una contradicción. x 3 3x b 0 b
1,1
como máximo tiene una raíz en
Por tanto
si x 4 2 x 3 2 x 10 x 19 si x 4
Ejemplo.- ¿Cumple la función f x
.
las hipótesis del teorema del valor
medio en 2,6? ¿En que punto cumple la tesis? A) f continua en 2,6, efectivamente pues es continua en x 4 ya que lím f (x) lím 2x 3 5 y lím f ( x) lím x 10x 19 5 2
x 4
x4
x 4
x 4
B) f derivable en 2,6 , su función derivada en ,4 4, es: si x 4 2 f x 2 x 10 si x 4
Para x 4
f
es derivable: f 4 2 ya que:
lím f ( x) lím 2 2 y lím f ( x) lím 2x 10 2 x 4
x 4
x 4
x 4
f continua en 2,6 f 6 f 2 ,6 / f c c f derivable en2,6 62
2
1
si x 4 2 9 f x 1 2c 10 c 4,5 2 2 x 10 si x 4
Aplicaciones del teorema del valor medio.A lo largo del tema hemos visto propiedades como: f creciente y derivable en x0 f x0 0
En las que a partir de propiedades de la función se obtienen consecuencias sobre la derivada. Hemos dejado sin demostrar otras como: f x0 0 f creciente en x0
En las que a partir de alguna propiedad de la derivada obtenemos datos de la función. Con el teorema del valor medio se simplifican las demostraciones de este último tipo de teoremas. Función constante.152
f continua en a, b f derivable en a, b f CONSTANTE en a, b f x 0 x a, b
Tomamos dos puntos cualesquiera x x del intervalo a, b En x , x se cumplen las condiciones del teorema del valor medio. Existe pues un c x , x tal que f x f x f c y como f c 0 (hipótesis) 1
1
2
2
1
2
2
1
x2 x f x2 f x1 0 f x2 f x1 x1 , x2 a, b f CONSTANTE x x 2
Función creciente.f continua en a, b f derivable en a, b f CRECIENTE en a, b f x 0 x a, b Hay que demostrar que si x1 x2 x1 , x2 a, b f x1 f x2
Prácticamente se demuestra como el anterior. Hazlo tú. Mínimo Relativo.f x0 0 f tiene un MÍNIMO relativo en x0 f x0 0 f x0 lím
f x0 h f x0
h 0
conservación sign o
h
f x0 0
lím
f x0 h 0 h
h 0 fun ción decreciente
a) si h 0 f x0 h 0 f decreciente izquierda de x0 conservación fun ción o f x0 h 0 creciente f creciente derecha x0 b)si h 0 sign
De a) y b) se deduce que f presenta un mínimo en
x0
153
5. Representación gráfica de funciones.A) Representación gráfica defunciones polinómicas.-
Para representar una función polinómica de grado mayor o igual que dos y f ( x) hay que tener en cuenta que: Son derivables y por tanto continuas en todo . No tienen asíntotas . Si solo tienen términos de grado par son simétricas respecto al eje Y. Si solo tienen términos de grado impar son simétricas respecto al orígen. Para obtener su gráfica se puede pues proceder en este orden: 1. Se observa si tiene al gún tipo de simetría( eje Y o el orígen) 2. Se hallan sus dos ramas infinitas. 3. Se resuelve la ecuación f ( x) 0 para hallar las abscisas de los puntos singulares.A continuación obtenemos sus ordenadas. 4. Se unen los puntos obtenidos entre sí, cuidando de no dibujar otros puntos singulares que los ya obtenidos. Así se averigua cuales son los máximos y los mínimos relativos, así como los puntos de inflexión. 5. Si se puede , conviene obtener también, los puntos de corte con los ejes para conseguir mayor precisión en la representación.
Ejemplo.-Dada la función polinómica: f ( x) x 3 3x 2 obtén su gráfica. 1. No tiene ningún tipo de simetría (tiene términos pares e impares) f ( x) y
f ( x)
x x 2. Ramas infinitas: lím lím P(1,4) Q(1,0) 3. f ( x) 0 3x 3 0 x 1 , por tanto: 4. P(1,4) Q(1,0) son los puntos singulares(de tangente horizontal) f ( x) 0 6 x 0 x 0 y como f ( x) 6 R(0,2) inflexión 5. Para hallar los puntos de corte con el eje X resolvemos x 3x 2 0 Cortes con eje X son: Q(1,0) S (2,0) ; Corte con eje Y es R(0,2) Uniendo todos los puntos obtenidos podemos dibujar la gráfica de f ( x) 2
3
(-1,4) P
y
f(x)
R(0,2)
(-2,0) S -4
-3 -
2
x -1
1
2
3 Q
4
(1,0)
B) gráfica de funciones racionales.-
Representación 154
En las funciones racionales y P( x) (cociente de dos polinomios) hay que prestar atención Q( x )
especial a los valores de x que anulan el denominador, no son de su dominio y en cada uno de ellos hay una asíntota vertical. La función es derivable y por tanto,según sabemos, es continua en todos los puntos de que no anulan el denominador. Dependiendo de los grados de P( x) y de Q( x) puede tener asíntota horizontal, oblicua o ninguna de ellas. Si tiene asínt. horizontal u oblicua es la misma para x y para x Para1. obtener su gráfica puedetipo pues Se observa si tienesealgún deproceder Simetría.en este orden: 2. Cálculo de asínt.verticales ( Q( x) 0 ) y posición respecto a la curva 3. *Si gradoP( x) gradoQ( x) hay asíntota horizontal (A.H.); si
lím f ( x) a x
entonces la recta es A.H. ya
*Si gradoP( x) gradoQ( x) 1 hay asíntota oblicua(A.O.); sabemos que la ecuación de una A.O. es de la forma y mx n y se obtiene como el Cociente de la división P ( x) . Tanto si hay (A.H.) como (A.O.) se estudia la posición Q( x)
respecto a la curva de cada una de ellas tanto para x y para x . *Si gradoP( x) gradoQ( x) 1 hay ramas parabólicas. 4. Se estudian los puntos singulares, que los obtenemos como solución de la ecuación:( f ( x) 0 ) y que según sabemos pueden ser máximos,mínimos o puntos de inflexión. 5. Por último podemos obtener también, para completar el estudio, los puntos de corte de la función con los ejes, así como los puntos de inflexión que son aquellos que se obtienen como solución de la ecuación:( f ( x) 0 ). Observación.- Podríamos representar otro tipo de funciones, que no son ni polinómicas ni racionales, de las que habría que hacer un estudio más pormenorizado que el efectuado para las citadas anteriormente. Como los objetivos de las pruebas PAUU no contemplan expresamente este otro tipo de funciones, dejamos al interés personal el estudio de las mismas. Al final del tema tienes un ejemplo de una de estas funciones.
Ejemplo.- Representa a) fx x
3
1 x
2
b) f x
x2 9 x2 4
155
156
Ejemplo.- Representa gráficamente la
función exponencial: f ( x) e x
2
157
Su dominio es todo ,esta función toma siempre valores positivos,es decir, su recorrido es 0, . Es una función simétrica respecto al eje Y pues: f ( x) f ( x) Tiene una asíntota horizontal, de ecuación: y 0 ,puesto que lím f ( x) 0 x
Para hallar los puntos singulares : f ( x) 0 2x.e x 0 que tiene por solución x 0 , el único 2
punto singular es P(0, e ) (0,1) este punto singular es un máximo relativo, para demostrarlo usamos el criterio del signo de la derivada segunda 0
2
2
f ( x) 2.e x 2x(2 x.e x ) (4 x 2 2)e x
2
f (0) 2 0 y por tanto el punto P(0, e ) (0,1) es un máximo relativo. Para calcular los puntos de inflexión resolvemos la ecuación: f ( x) 0 , es decir, 1 1 (4 x 2)e x 0 4 x 2 x x 0.7 , f e 0.6 0
1
2
2
2
2
2
2
Para ver si son inflexión estudiamos la curvatura de la curva y obtenemos que: en , 1 en , 2
en
1
1
f ( x) es cóncava pues f (1) (4 2)e 1 2 0 e 1 0 f ( x) es convexa pues f (0) (0 2)e 2 0 2
2
,
2
f ( x) es cóncava pues f (1) (4 2)e 0 e Los puntos: Q 0.7;0 .6 R 0.7;0.6 son puntos de inflexión. 2
1
y
(0,1) 1
f(x)
cóncava
-2
-1
P
co nvexa
Q
1
cóncava
R
x
2
(0.7;0.6)
(-0.7;0.6)
-1
Cálculo de Primitivas En la lección anterior hemos estudiado el problema siguiente: “dada una función f ( x) , ¿cual es su función derivada f ( x) ?”. En esta lección nos planteamos resolver el problema inverso: “dada una función f ( x) , se desea hallar una función F ( x) cuya derivada sea igual a f ( x) , es decir DF f ó f F . Observación.- en lugar de f F se suele utilizar f x dx F x 158
A la función F ( x) se le denomina primitiva de la función f ( x) El cálculo de una primitiva es: sencilla para algunas funciones (tabla de primitivas inmediatas). difícil para otras (aprender técnicas de cálculo de primitivas). imposible para la mayoría (no toda función primitiva, aunque exista, puede expresarse mediante combinaciones, en número finito, de funciones elementales. Para calcular la primitiva de funciones como: sen( x) ; e x ; 1 hay que recurrir a las “series”). 2
x
La derivada de la función
x
2
ln(x)
(como ya sabes) es 2 x Esto se expresa:
Dx 2 2 x ó
x 2 2x
Esto mismo se puede expresar diciendo que una primitiva de 2 x es
2 x dx x
x2 .
2
Ejemplo.- Comprueba que las primitivas de las funciones son correctas. (Deriva el 2º miembro, ha de ser igual a la función bajo el signo integral) a)1 dx x b)
2
dx
e) 1x 2 dx x 1 5
g ) i)
x3
3 2 1
3
dx 3
5
2
1
x
2
3
x c) 3x dx x 2 d ) 2
e) x 2 dx
x 32
1
x dx x 2 dx x 3 1
ln 5 x
x dx
2 2
x2
5 5 2 5 x 1 1 f ) 3 dx x 2 1 x x 2 2x
5 x3 2
j )
2
k ) dx ln x l ) dx x 5x
2
2
3
1
3
h) x 2 x 2 x 3 2
3x
dx
m)
1
3
x dx
2 3 3
x3
dx ln x 5 n) cos x dx sin x x5 cos2 x e2x p) sin x dx cos x q) sin2 x dx r ) e 2 x dx 5
2
2
Definiciones y Nomenclatura. Propiedades.F ( x) es una primitiva de f ( x) si se cumple F ( x) f ( x) . Esto se expresa así: f x dx F x
Ahora bien, cada función tiene “infinitas” primitivas pues: Si F ( x) es una primitiva de f ( x) , también lo es F x k ; k es constante. Efectivamente, siendo k cualquier constante, su derivada es cero, por tanto F x k F x 0 f x así que F x k es primitiva de f ( x) . Por esta razón se suele escribir:
f x
dx F x k 159
Por ejemplo las funciones del tipo F x sen ( x) k son primitivas de f ( x) cos(x) ; ahora bien, ¿serán todas las primitivas de la función coseno de este tipo? La respuesta es afirmativa como se demuestra en el teorema: TEOREMA.Sea F ( x) una primitiva de f ( x) sobre un intervalo I. Si G( x) es otra primitiva de f ( x) entonces Gx F x k ( k constante). Efectivamente, puesto que F ( x) y G( x) son primitivas de f ( x) se tiene: Gx F x f x f x 0 Pero si una(consecuencia función tienedel derivada un intervalo intervalo teoremanula delenvalor medio) I, entonces es constante en dicho así pues: F x G x k ó Gx F x k como queríamos demostrar. Este teorema prueba que, en esencia, todas las primitivas de una función son iguales; conocida una, conocidas todas. Geométricamente:
A la expresión f x dx se le suele llamar integral indefinida de f ( x) y designa cualquier primitiva de f ( x) (que son infinitas). Si queremos precisar alguna de ellas, es necesaria alguna otra condición, por ejemplo que su gráfica pase por x0 , y0 (en la interpretación geométrica, la roja). Observación.La parte x dx del simbolismo f x dx no es imprescindible y podríamos escribir solamente f (como ya indicamos al principio de la lección). Sirve, no obstante, para poner de manifiesto, en caso de duda, la variable independiente, de la función que se integra. Así, las expresiones: A) x 2 t dx B) x 2 t dt son distintas. En la A), la “x” funciona como variable independiente y la “t” es constante, mientras que en la expresión B) se invierten los papeles. 160
Al cálculo de primitivas se le suele llamar integración, (en la siguiente lección justificaremos esta nomenclatura del cálculo de primitivas).
Propiedades de la integración.La linealidad de la derivada es una propiedad que se transmite de modo natural a la integración. Así se cumple: (siendo “c”: constante cualquiera) I ) f g f g II ) c. f c. f
La propiedad I) nos dice que para obtener una primitiva de f g se suma una primitiva de con otra de g Esta propiedad indica la conveniencia de las sumas sobre los productos: propiedad I x3 x 2 2 2 x x 1 dx x x dx x dx x dx k 3
f
2
La propiedad II) nos indica que las constantes (c) pueden “traspasar” el signo integral. 5cos x propiedad II 5 5 dx cos x dx senx k 3
3
3
Primitivas Inmediatas.En el cálculo de primitivas es necesario, como ocurría con las derivadas, conocer de partida las de algunas funciones sencillas. Más adelante, las reglas de integración permiten avanzar en el cálculo de primitivas de funciones más complicadas. Ahora bien, mientras que las reglas de derivación nos permiten hallar la derivada de cualquier combinación (suma, producto, composición) de las llamadas funciones elementales (polinomios, seno, logaritmo, exponencial). Con la integración no podemos decir lo mismo, por ejemplo las funciones:
f ( x)
sen ( x) 1 ; g ( x) e x ; h( x ) no tienen primitivas expresables mediante x ln( x) 2
combinaciones de funciones elementales. Vamos a dar una tabla con las primitivas inmediatas, es decir, todas las que bajo el signo integral reconocemos (a simple vista) la derivada de una función conocida.
Tabla de primitivas inmediatas Potencias
x x
x r 1 k r 1 r 1 1 dx ln x k
r
dx
161
senx dx cos x k ; cos x dx sen x k tgx dx ln cos x k; cot x dx ln sen x k 1 1 tg x dx cos xdx tg x k 2
Trigonométricas
2
1
1 x 1
1 x Exponenciales y Logarítmicas
e
x
2
2
dx arc sen x k;
1 1 x
2
dx arc cos x k
dx arc tg x k
dx e x k ;
lnx
a
x
dx
dx x. ln x x k ;
1 ax ln a
log a
k
x dx
1 ln a
x ln x x k
Nuevas Técnicas de Integración.Vamos a aprender dos nuevas técnicas de integración con las que mejoraremos nuestra destreza para determinar primitivas. Previamente recordamos que, si F una primitiva de f DF f ó f F Con esta notación para determinar una primitiva de f podemos escribir: DF F Es decir, derivación e integración son procesos inversos, como ya habíamos dicho al principio de la lección. Ahora vamos a darle sentido a la notación diferencial que usamos para calcular una primitiva de una función. En la lección anterior hemos estudiado el concepto de diferencial de una función f ( x) , que representamos como df x , y sabemos que: df x f x dx Sea F x una primitiva de f ( x) sabemos que se cumple: F x f x ó f x dx F x Por otro lado para la diferencial de F x escribimos: dF x F x dx En consecuencia tendremos:
dFx
def diferencial
F x
dx f x dx
F primitiva f
Fx 162
Fijándonos en el primero y último términos de esta igualdad en cadena:
dF x F x O sea, la diferenciación y la integración son procesos inversos. Para mejorar la destreza en la determinación de primitivas, vamos a aplicar una técnica basada en la regla de la cadena del Cálculo Diferencial y en esta última fórmula: dF x F x
Regla de la cadena en el cálculo de primitivas.La regla de la cadena para el cálculo de derivadas dice: Si x g f x entonces x g f x . f x En notación diferencial se escribe así:
d x x dx g f x . f x .dx
Por lo tanto se verifica que: dF x F x k
d x x k g f x k g f x. f x .dx x dx Quedándonos con el primero y últimos términos de la igualdad anterior: . f x .dx g f x k g f xescribir Esta última igualdad nos va a permitir una tabla en expresión compuesta de primitivas inmediatas.
Tabla en expresión compuesta de primitivas inmediatas Pot.
r f x . f x dx
f x r 1 k r 1 r 1
f x dx ln f x k f x sen f x. f x dx cos f x k; cos f x . f x dx sen f x k
tg f x . f x Trig.
1 tg
f x . f x dx ln sen f x k dx ln cos f x k ; cot
f x dx tg f x k f x f x f x 1 f x2 .dx arc sen f x k; 1 f x2 dx arc cos f x k f x 1 f x2 dx arc tg f x k 2
f x . f x dx
cos2
163
e f x . f x dx e f x
1
k ;
a f x . f x dx ln a a f x k
Exp. y Log. ln f x .f x dx f x .ln f x f x k
log a f x .f x
dx
1 ln a
f x . ln f x f x k
Método de sustitución (o integración por cambio de variable).Queremos determinar una primitiva de la función h x , a la que llamamos I Es decir, I hx dx que no es inmediata, pero somos capaces de reconocer que hx f g x .g x (una función f (“en g”) por la derivada de g) Supongamos que resulta inmediato el cálculo de una primitiva F para la función que f t dt F t . En ese caso podemos calcular I haciendo el cambio de variable:
, o sea,
calculandol
ladiferencia l dt g x dx
t g x
Ahora podemos calcular
f
I
I hx dx f g x .g x dx
cambio variable tg x
f t
F primitiva de f
dt
vuelta var iable inicial
F t F g x
Este es el método de cálculo de primitivas más usado. Incluso cuando usamos algún otro método, frecuentemente estamos obligados a recurrir en las operaciones intermedias al cambio de variable. El éxito de la integración depende esencialmente de la habilidad en elegir la sustitución adecuada. Ejemplo.Aplica el método de sustitución para calcular las integrales: t senx dt cos x dx inmediata t 5 t senx sen 5 x 4 A) sen x cos x dx t 4 dt k 5
x dx B) sen x cos C ) tg x dx
t sen x dt cos x dt
inmediata
t dt
sen x dx cos x
t cos x dt sen x dx
1
E ) e
3 x 1
F ) 2
senx
dx
t 3 x 1 dt 3dt
t 2 x dt 2 dx
cos x dx
dt 3
t senx dt cos x dx
1 3
et dt
2t dt
2
1
t 2 sen
2
et .
t
inmediata 1
inmediata
sen x 2
2
k
dt inmediata ln t ln cos x k t
D) sen 2 x dx sen 2 x .2 dx
5
2
3 1
ln 2
dt
.e t
2t
inmediata 1
e 3 x1 3 2 senx ln 2
2
cos t
t 2 x
1
2 cos 2x
k
k k 164
G) e x 5 x 2 x 5dx 2
t x 2 5 x dt 2 x 5 dx
inmediata
et dt
2
e t e x 5 x k
t x 1 dx dt 2t
int egral
t 2 12t dt 2 t 2 1dt suma 2 t 2 dt 1 dt x dx H ) t x 1 3 t 3 2 2 2 t t 3 2t x 1 2 x 1 k 3 3 3 t x dx dt 2t
z t 1
dx 2t dt dt dz dt dz inmediata I ) 2 t 2 t t 1 2 z 2 ln z 2 ln t 1 x x 2 ln x 1 k
Vamos a calcular por sustitución dos integrales que no son inmediatas pero que convendría memorizar por resultar de uso muy frecuente. x mt
1 dx dxmdt m dt m dt dt J ) 2 x m 2 mt 2 m 2 m 2 t 2 1 m t 2 1
1
m
t
x m
arctg t
x arctg k m m 1
x m dx dt m
t
K )
dx m x2
preparar int egrando
2
m m
dt 2 1 t
inmediata
J )
dx x m 2 1 m
2
x m
1
2
1
m
m dt 1 t2
x arcsent arcsen k m
dx x 1 arctg k 2 x m m m 2
dx
1
m
K )
dx x arcsen k 2 2 m m x
Si memorizamos estas dos integrales podemos añadirlas a la tabla de inmediatas, ya que aparecen frecuentemente en el cálculo de primitivas.
165
Método de integración “por partes”.-
Recordamos la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones ux .v x u x .v x u x .v x En notación diferencial se escribe así: d ux v x du x .v x u x .dv x Si despejamos el último sumando de la igualdad anterior queda: ux .dv x d u x v x vx du x Si integramos los dos miembros, y por la linealidad de la integración:
ux .dv x
u x .v x v x .du x
Esta fórmula permite calcular la integral u x .dv x a partir de la integral vx .du x Para poder utilizarla hemos de reconocer que la integral que se formula es de la forma: u x .dv x y apreciar que la integral vx .du x resulta más accesible que la anterior. En general esta fórmula de integración es útil cuando hay que integrar producto de funciones algebraicas y no algebraicas. Ejemplo.ux x du x 1.dx A) x.e x dx; xe x dx xe x e x dx xe x e x k x x v x e dvx e dx 1 u x ln x du x dx 1 B) ln x dx; x ln x .dx x. ln x x. dx x dvx dx v x x x. ln x 1.dx x. ln x x k
La integral que vemos a continuación se resuelve “por partes” de un modo sencillo, (se podría resolver usando otro método de un modo más arduo). 1 u x arctgx du x dx x.dx C ) arctgx. dx; arctgx .dx x.arctgx 1 x2 x2 1 dvx 1.dx v x x 1 2 x.dx 1 x.arctgx x.arctgx ln 1 x 2 k 2 1 x2 2
A veces ha de utilizarse este método de integración reiteradamente:
166
u x x 2 du x 2 xdx D) I x 2 senx dx; I x 2 cos x 2 x cos x dx dv x senx dx v x cos x u x 2 x du x 2dx I1 2 x cos x dx; I1 2 xsenx 2senx dx La integral dv x cos x dx v x senx 2 xsenx 2 cos x k de partida I x 2 senx dx es suma de: I x 2 cos x I1 es decir
x senx dx x 2
2
cos x 2 xsenx 2 cos x k
dx I e x cos x e x senx dx E ) I e x cos x dx; u x cosx x dx senx x dv x e dx v x e du x cos x dx u x senx I1 e x senx dx; I1 e x senx e x cos x dx Como vemos la x x dv x e dx v x e I 2 e x cos x dx I
última integral
es igual a la de partida I e x cos x dx
I2
I e x cos x I1 e x cos x e x senx I 2 e x cos x e x senx I 2I
1
e x cos x e x senx I e x cos x senx 2
1
e x cos x dx cos x senx k 2
Por último, a veces el método es recurrente (integración por reducción): u x ln x 3 du x 3 ln x 2 dx F ) I 3 ln x 3 dx; I 3 xlnx 3 3 ln x 2 dx x dvx dx v x x u x ln x 2 du x 2 ln x I 2 ln x 2 dx; I 2 xln x 2 2 ln x dx x dvx dx v x x
I1 ln x dx
resuelta en B )
x ln x x
I 3 xln x 3x ln x 2 x ln x x k 3
2
ln x dx x ln x 3x ln x 3
3
2
6 x ln x 6 x k
Integración de funciones racionales.Las funciones racionales se expresan como cociente de dos polinomios
Px Q x
En este apartado vamos a estudiar como se integran estas funciones. 167
Si el grado del polinomio Px es mayor o igual que el grado del polinomio Q x se efectúa la división y se puede escribir: P x H x gradoH x grado Cx Q x y resulta que: Q x Q x P x H x Qx dx Cxdx Qx dx Como C(x) es un polinomio su integración es inmediata. El problema se reduce pues a integrar H x una función racional del tipo: dx Q x El método para calcular este tipo de integrales se basa en descomponer la función racional H x gradoH x grado Q x Q x en fracciones sencillas cuya integración es inmediata. Esta descomposición en fracciones sencillas viene condicionada por el tipo de raíces del denominador Qx . Se presentan varios casos que vamos a analizar con ejemplos: A) Si el denominador Qx tiene solamente raíces reales “simples”. P x 1 Calcula: 2dx x 4 Qx x 2 4 x 2 x 2 Raíces Q x 2,2
simples
La descomposición en fracciones simples, en este 1 A caso,Bes de la forma:
x2 4 x 2 x 2 Para determinar el valor de “A” y de “B” operamos las fracciones: 1 Ax 2 B x 2 Dando a “x” los valores de las distintas raíces, en la igualdad anterior obtenemos los valores de los coeficientes: “A” y “B”. x 2 1 A2 2 B 2 2 1 4 A A
1 4
x 2 1 A 2 2 B 2 2 1 4 B B
Ahora ya podemos escribir la igualdad: 1 1
1 4
1
4 x2
4 x2 4 x2 Por tanto la integral pedida se puede calcular como suma de dos inmediatas: 1 1 dx 1 dx 1 dx 1 1 4 dx x 2 4 x 2 x 42 dx 4 x 2 4 x 2 dx 4 ln x 2 4 ln x 2 k B) Si el denominador Qx tiene raíces reales “múltiples”.
168
En este caso las raíces múltiples darán lugar a tantas fracciones simples, con denominadores de grados decrecientes, como su multiplicidad. Calcula: P x 3x 2 2 x 4 3x 2 2 x 4 dx x 4 x 3 3x 2 5x 2 Qx x 1 3 x 2 Raíces Q x 1,2 Las raíces de Q x son dos una triple que es -1 y otra simple que es -2. La descomposición en fracciones simples es, en este caso, la siguiente: 2 A B C D 3x 2 x 4 3
3
x 1 x 2 x 1
2 x 1 x 1 x 2
Para determinar los valores de los coeficientes A, B, C: 1. multiplicamos los dos miembros por x 13 , obtenemos: i 2x 4 D x 13 A B x 1 C x 1 2 x 2 x 2 Sustituimos la “x” por 1 en los dos miembros de i y obtenemos:
i
3x
2
5
5
3
3
x 1 A 0 0 0 A
2. derivamos la expresión (i ) y sustituimos por x 1 3x 2 12x 8 d 3x 2 2 x 4 7 7 2 B B dx x 2 x1 x 2 x1 9 9 3. derivamos otra vez y sustituimos por x 1 x 2 2 6 x 12 3x 2 12x 82 x 2 d 2 3x 2 2 x 4 dx 2 x 2 x 1 x 24 x 1
40 27
2C C
40 54
Para obtener el valor del coeficiente D: multiplicamos los dos miembros por x 2 , obtenemos: ii 3x 2 2 x 4 A x 2 B x 2 C x 2 ii D x 1 x 13 x 13 x 12 Sustituimos la x por -2 en los dos miembros de ii y obtenemos: x 2
20 27
000 DD
20 27
Así pues la integral pedida, se resuelve como suma de cuatro inmediatas:
169
5 7 20 20 2x 4 3 dx 9 dx 27 dx 27 dx dx 2 3 2 x 1 x 2 x 3x 5 x 2 x 1 x 1 5 1 7 20 20 x 1 2 1 x 1 1 ln x 1 ln x 2 k 3 2 9 27 27 5 7 20 x 1 ln k 2 9 x 1 27 x 2 6 x 1
x
3x
4
2
3
C) Si el denominador Q x tiene raíces complejas conjugadas simples. Este caso es algo complicado, de ahí que se propone como ampliación. Todo polinomio de coeficientes reales, si tiene la raíz compleja: a bi también tiene la raíz conjugada a bi También es importante señalar la siguiente igualdad: x a bi x a bi x a 2 b 2 Cuando el denominador Qx tiene raíces complejas conjugadas simples, la fracción correspondiente al binomio cuadrático x a 2 b 2 de las dos raíces complejas conjugadas es de la forma: Mx N x a 2 b 2 Calcula: Q x x 2 2 x 10 x 1 x 1 2 32 x 1 3x 2 dx x3 3x 2 12x 10 Raíces Qx 1 3i;1 3i;1 Por tanto según lo dicho más arriba tenemos la descomposición:
3x 2
x 1
2
3 x 1 2
Mx N A 2 2 x 1 3 x 1
Para determinar los valores de “M” y “N”: Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por x 12 32 A x 12 32 3x 2 Mx N x 1 x 1 Sustituyendo en esta última expresión por x 1 3i 1 9i x 1 3i 3M i M N 1 9i 3 M N i 9M 3i M 1 1 9 M 9 Resolviendo el sistema: 9 3 M N 28 N 9 170
Para determinar el valor de “A”: Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por x 1 Mx N x 1 3x 2 A 2 3 x 1 3 x 12 32 Sustituyendo en esta última expresión por x 1 1
1
9
9
x 1 0 A A
Así pues la integral pedida, se resuelve como suma de dos: 1 x 28
x
3
3 2 3x 2x12x 10 dx
integral:
x 1 9
2
3
9 dx
2
1 9 1 x 1dx 9
28 1 ln 1 xx1 2 32 dx 9 x k La
x 28 dx se resuelve por sustitución: x 1 3t x 12 32 x 13t
dx3dt x 28 t 9 1 2t 1 1 x 12 32 dx t 2 1 dt 2 t 2 1dt 9 t 2 1dt 2 ln t 2 1 9arctgt 1 x 2 2 x 10 x 1 9 arctg ln 2 9 3
Por tanto la integral inicial es: 2 1 1 x 2 x 10 x 1 1 dx ln x 3 3x 2 12x 10 9 2 9 9 arctg 3 9 ln x 1 k 1 x 2 2 x 10 x 1 1 arctg ln ln x 1 k 18 9 3 9
3x 2
Integral Definida. Aplicaciones Introducción.En el siglo III a.C el gran matemático Arquímedes obtuvo el área de algunos recintos curvos (círculo, segmento parabólico...) mediante un método, que contenía la idea no precisada del paso al límite, cuyo proceso fundamental se puede expresar así: “para hallar un área desconocida es preciso aproximarla por exceso y por defecto, cada vez con más aproximación, sumando áreas conocidas de “infinitos” trozos de área prácticamente nula”. De forma similar, otro gran matemático como Kepler (siglo XVII), obtuvo la longitud de algunas curvas y el volúmen de cuerpos de revolución. Basándose en la idea esbozada por el gran Arquímedes, cada uno de estos problemas (áreas curvilíneas, longitudes de curvas, volúmenes,....) necesitó un procedimiento específico de resolución. 171
El primer paso de unificación del enfoque de estos problemas fué advertir que todos ellos podían expresarse de la misma forma: (1) “cálculo del área encerrada entre una cierta curva y f x y el eje X” Gracias al genio de matemáticos como Newton, Leibniz o Barrow (s.XVII) este problema (1) encontró solución en el cálculo infinitesimal: “el área bajo una curva y f x se obtiene a partir de una función F x cuya derivada es f x es decir, F es una primitiva de f F f .” Esta última relación llamada Teorema fundamental del cálculo Infinitesimal, está considerado por muchos científicos como uno de los resultados más importantes en toda la Historia de las Matemáticas.
Aproximación al valor del área bajo una curva.Si conocemos la ecuación de una curva y f ( x) que toma valores no negativos. ¿Cómo calculamos el área del recinto entre la curva, el eje X y dos abscisas x a y x b ? Una idea consiste en dividir a, b en tramos (no necesariamente iguales) y aproximar el área mediante rectángulos sobre el eje X.
172
Aproximación por defecto Si dividimos el intervalo en 9 trozos iguales tales que: a x0 x1 x2 ............... x9 b
Si llamamos mi al menor valor que toma la función en el tramo xi , xi el área coloreada es: 1
m1 x1 x0 ................. m9 x9 x8
Este área es menor (o como mucho igual) que el área buscada Nos aproximamos por defecto al área buscada. Aproximación por exceso Si dividimos el intervalo en 9 trozos iguales tales que: a x0 x1 x2 ............... x9 b
Si llamamos M i al mayor valor que toma la función en el tramo xi , xi el área 1
coloreada M x x es: ................. M x x Este área es mayor (o como poco igual) que el área buscada. Nos aproximamos por exceso al área buscada. 1
1
0
9
9
8
173
174
Evidentemente, si hacemos que los valores x estén cada vez más próximos, es decir, que la división del intervalo a, b sea cada vez más fina, tanto el área por defecto como el área por exceso se aproximan cada vez más al verdadero valor del área del recinto. i
Concepto de Integral de una función continua.-
Sea f una función continua en a, b tal que f ( x) 0 x a, b El área entre la gráfica de eje x y las abscisas x a y x b le llamamos b
Integral entre a y b de
y se representa por f o
f
a
f
el
b
f x dx a
El papel de la variable x en estas expresiones es irrelevante, ya que esta expresión no depende de x, el valor sería el mismo si en lugar de x pusiésemos otra variable (se dice que x es una variable muda). ¿cómo calculamos esta área? El proceso se basa en la idea que hemos visto anteriormente para aproximar el área bajo una curva. A cada colección de puntos a x x x ............... xn b le llamaremos partición de a, b . La mayor de las distancias xi xi le llamamos diámetro de la partición. A cada partición P de a, b le asociamos un área por defecto s y otra por exceso S tales que: 0
1
2
1
s
n
m x x i
i
S i 1
n
M x x i
i
i 1
y de a, b : P , P , P ........., P ...... Parauna sucesión de particiones i 1
i 1
1
2
3
k
le corresponde dos sucesiones de áreas: s1 , s 2 , s3 ,........., sk ........áreas por defecto S1 , S 2 , S 3 ,......., S k .......áreas por exceso
Los diámetros de las particiones tienden a cero y las diferencias: S1 s1 , S 2 s2 ,..........., S k sk ........
tienden a cero (necesitaría una demostración matemática rigurosa) Por tanto las dos sucesiones tienden al área buscada pues: b
s f S k
Sk
s
k
a
k
0
b s k f
ab S f k a
Si ambas sucesiones tienden a esa área también lo hará cualquier otra sucesión cuyos términos se formen del siguiente modo:
n
s k* f ci xi xi 1 ci xi , xi 1
pues s k sk* S k
i 1
Si la función f fuese negativa en el intervalo a, b , el proceso anterior para calcular el área del recinto determinado por f y el eje X entre las abscisas x a y x b nos llevaría a un número negativo. La idea de integral de una función continua para una función cualquiera (positiva o negativa) es la misma que se explicó para una función positiva. Este proceso de cálculo nos lleva a determinar el área comprendida entre la función f y el eje X de modo que se valoren adecuadamente los recintos de área positiva y los de área negativa.
Conclusión.-(cálculo de la integral de una función continua) Si
b
f
es una función continua en a, b ,para calcular el área f procedemos: definir una sucesión de particiones P , P , P ........., Pk ...... tales que la distancia entre cada dos puntos consecutivos tienda a cero si n tomar un punto c en cada subintervalo xi , xi a
1
2
3
i
1
n
obtener el término general de la sucesión s n f ci xi xi
1
i 1
b
calcular el área como límite de esa sucesión: lím s n f n
a
Ejemplo.2
Calcula x dx como límite de las sumas de las áreas de rectángulos. Dividimos 0,2en n partes iguales, sea la partición 0
P 0 x0 , x1 ,......,x n 2 2i 2i 2i xi x 0 0 tomamos ci xi f ci ci xi 2i n n n n xi xi 1
2
n
n
n
2i 2
i 1
nn
sn f ci xi xi 1 i 1
2
4
n
x dx lím i lím 2
0
n
n
i 1
n
4
n
2
n
i i 1
4 1 n 2
n lím
n
2
n
4n 2
4n 2
2
2n
Observa que la función continua f x x con el eje X en el intervalo 0,2 forma una región triangular de base 2 y altura 2 cuya area es: 175
A
base.altura 2
2. 2 2
2 u2
2. Propiedades de la Integral.La definición de integral de una función como el área de un determinado recinto, nos va a permitir establecer unas propiedades de la integral muy intuitivas y razonables desde un punto de vista geométrico. 1.
a
f x dx 0 para cualquier función
Ésto es evidente pues el
f
a
área de ese recinto es nula. b
2.
f
continua en a, b y f x 0 x a, b f x dx 0
f
continua en
a
b
a, b y f x 0 x a, b f x dx 0
La definición de integral que hemos
a
dado garantiza esos resultados Si la función
f
cambiase de signo en el intervalo a, b el valor de
b
f x dx nos da la suma algebraica a
de las áreas de los recintos situados por encima y por debajo del eje X. Por ello para calcular el área en términos absolutos, hay que calcular el área de cada recinto y antes de sumarlas cambiar el signo de las áreas de los recintos situados por debajo del eje X.En el ejemplo de arriba vemos que la función f determina tres recintos con el eje X, uno de área positiva entre c y d y dos de área negativa entre a y c y entre d y b respecivamente. 3. Si a b c y f es una función continua en a, c entonces: b
f x a
c
c
dx f x dx f x dx b
a
El resultado es evidente desde un punto de vista geométrico pues, la suma del área del recinto entre a y b y el área del recinto entre b y c es igual al área del recinto entre a y c. 176
4. Si f es una función continua en a, b y existen y son finitos los límites laterales
lím f x x a
si x a
si x b
y lím f x entonces la función definida por f x f x si a x b es 1
x b
b
b
continua en a, b . Definimos: a f x dx a f x dx Gráficamente el área del recinto determinado por f es la misma que el área del recinto determinado por f . Observa las gráficas: 1
1
177
5. La aplicación de las propiedades (3 y 4) a funciones continuas a trozos con la condición de que no tengan ramas infinitas (es decir,funciones con un número finito de discontinuidades de salto finito) amplía la definición de integral a estas funciones. Fíjate en la función f dada al lado, el valor del área del recinto encerrado por f con el eje X entre las abscisas x a y x c es igual a la suma del área del recinto encerrado por f entre x a y x b (A ) y del área del recinto encerrado por f entre x b y x c (B). Si f x tiene dos discontinuidades, una en x b y otra en x c tal que lím f x y xb
lím f x
definimos las funciones continuas
xc
f1 y f 2 :
f ( x) si a x b f1 ( x) si x b c
b
f x dx f x 3
a
a
f x si b x c f 2 ( x) si x c
c
b
c
b
4 a
b
dx f x dx f1 x dx f 2 x dx
Propiedades de linealidad de la integral: La intagral se comporta respecto de la suma de funciones y del producto de una constante por una función igual que la derivada: b
b
b
a
a
g x dx 6. f g x dx f x dx a b
b
a
a
7. c. f x dx c. f x dx c Otra propiedad geométricamente evidente es la siguiente: b
b
a
a
8. si x a, b f x g x f x dx g x dx
178
Teorema del valor medio del cálculo integral 9. Sea f una función continua en a, b entonces existe un c a, b b
f x
dx f c b a
a
Geométricamente significa que el área del recinto encerrada por la función f y el eje X entre x=a y x=b tiene un valor igual al área del rectángulo de base (b-a) y altura f(c). Demostración.Aplicamos Weierstrass: f continua en a, b alcanza el valor máximo y mínimo en dicho intervalo, es decir, x a, b m f x M . b
b
a
a
b
Por la propiedad (8) anterior tenemos: m dx f x dx M dx b
divi dim os por b a
a
b
1
m.b a f x dx M . b a m
b a a
Aplicamos Darboux: f continua en a, b , k
1
a
Existe un c a, b tal que f c
1
b
b a a
f x dx M
b
f x dx , (m k M ) b a a b
f x dx f xdx f c . b a a
3. Relación de la integral con la derivada.(T.Fundamental).En la introducción al tema ya indicamos la estrecha relación que existe entre la integración (cálculo del área bajo una curva) y derivación. Vamos a establecer esa relación con cierto rigor matemático.
179
Función área Dada una función f continua en a, b para cada número c a, b podemos calcular
c
a f t dt que sabemos
determina el área del recinto bajo la función f entre t a y t c. Definimos una función F que para cada punto variable x a, b nos da el área bajo la función f entre a y x , es decir:
x
F x f t dt a
Cuanto mayor sea f más rápidamente crece el área debajo de ella F y por tanto mayor será también su derivada F . Cuando f sea negativa, el área bajo f es un número negativo, por lo tanto F decrece y su derivada F es negativa. Vamos a precisar esta relación tan estrecha entre f y F
Teorema Fundamental del cálculo infinitesimal.Si
x
f
es una función continua en a, b entonces la función F x f t dt ,definida en dicho a
intervalo, es derivable y: F x f x x a, b
Antes de dar la demostración de este teorema vamos a interpretarlo. x
La función área F x f t dt es una primitiva de la función f x , o sea, queda establecida la a
relación entre el cálculo integral (área bajo una curva) y la derivación (la función área es una primitiva de f que define la curva). De ahí que al cálculo de primitivas también se le llame cálculo integral y que se utilice la notación f x dx para designar una primitiva de f x .
Demostración.Sabemos que: F x lím F x h F x . Por otro lado sabemos que: h0
h
180
xh
F x h F x
x
x h
f f f a
a
x
Como f es continua en x, x h según el teorema valor medio C Integral(9) existe un c x, x h xh
tal que:
f f c . x h x
f c .h Por tanto:
x
1 x h 1 f c lím f lím . f c .h lím h h0 h0 h0 h x h 0 h f es continua en x, x h tendremos: lím f c f x
F x lím
Como c x, x h y
F x h F x
h0
En consecuencia hemos demostrado que: F x f x El teorema fundamental nos abre las puertas del siguiente resultado:
Regla de Barrow.-
Si
f
es una función continua en a, b y Gx es una primitiva de
f
b
f Gb G a , a
Demostración.x
Sabemos que F x f t dt es una primitiva de f x ,es decir, F x f x a
Por hipótesis Gx es una primitiva de f , es decir, Gx f x Sabemos que dos primitivas de unaF misma x G xfunción difieren k Fx G en x una k constante a
F a f t dt 0 , por tanto: F a G a k 0 G a k G a k a
x G a sustituyendo x b tenemos: En consecuencia tenemos: F x G b
b
a
a
F b G b G a y además: F b f t dt f t dt G b G a
Este resultado nos va a permitir calcular las áreas de los recintos sin tener que recurrir a resolver un límite ( habitualmente complicado), sin más que calcular una primitiva Gx de la función dada f x (como ya sabemos) y valorarla en los extremos del intervalo que encierra el área. Ejemplo.- Calcula: 181
5
1
0
1 x 0
a) I 3x 2 x 3 dx b) I sen t dt c) I 2
2
1 2
dx
182
a) vamos a resolver esta área aplicando Barrow. Como la función f ( x) 3x 2x 3 es continua en 2,5 Una primitiva de f : Gx 3x 2x 3 dx x x 3x 2
2
3
2
Ga G 2 10 G b G 5 115 5
I 3x 2 2 x 3 dx G(5) G(2) 115 10 105 u 2 2
Observa que ese es geométricamente el valor del área del recinto encerrado por f y el eje X entre 2 y 5. b) Aplicamos de nuevo la regla de Barrow para resolver esta área. Una primitiva de f ( x) sen x es: G x sen x dx cos x
G( ) cos 1 1 ; G(0) cos0 1
I sen t dt G ( ) G(0) 1 1 2 0
c) Aplicamos finalmente la regla de Barrow para resolver esta área. Primitiva de f ( x) Gx
1
1 1 x2
dx arctg( x)
1 x2 G(1) arctg(1) 0.7854 1
I 0
1 1 x2
; G(0) arctg(0) 0
dx G(1) G (0) 0.7854
4. Aplicaciones matemáticas y físicas de la integral.1. Cálculo de áreas mediante la integral.Área entre dos curvas. Cuando una curva corta al eje X varias veces entre los valores x a y x b determina recintos de área positiva y recintos de área negativa. Para determinar el área absoluta de todos los recintos hay que sumar todas las cantidades en “positivo”. 183
Para ello tenemos que calcular todos los valores de “x” entre x a y x b para los que la función se anula (que son dónde se producen los cambios de signo de la función), aparecen así los recintos de área positiva y negativa. Se calcula el área de cada uno de éstos recintos (en positivo) y se suman para obtener el área absoluta buscada. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo.Calcula el área encerrada por la curva f x x x 6x y el eje X. Solución. 3
2
Determinamos los puntos de corte con el eje X. x 0 f ( x) 0 x3 x 2 6 x 0 x 2 x 3 0
I
(x
3 3
x 2 6 x) dx
2
(x
3
x 2 6 x) dx
0 0
3
x 4 x 3 6x 2 x 4 x 3 6 x 2 16 63 3 4 2 2 4 3 2 0 4 3
253 12
Geométricamente es relativamente fácil comprobar que: El área comprendida entre dos curvas f y g es igual al área del recinto determinado por la diferencia de ambas f g con el eje X. Pruébalo en el caso de dos curvas positivas, el caso general se convierte en el anterior (positivas) sumando una constante” k ”a cada curva: f k ; g k Ejemplo.- Calcula el área encerrada entre las curvas: f x x 4 x 3 y g ( x) x 4 x 2 6 x Como la diferencia de ambas es la curva: ( f g )(x) x 3 x 2 6x y ya hemos calculado el área
encerrada por esta curva con el eje X en el ejemplo anterior, el resultado es:
253 12
2. Volumen de un cuerpo de revolución (secciones planas). Dado un cuerpo en el espacio, designamos por A(x) al área de la sección determinada en el cuerpo por el plano de abscisa “x” perpendicular al eje X
184
Podemos considerar que el cuerpo está constituido por muchas “rebanadas”, cada una de ellas de área [A(x)] y espesor muy pequeño (dx). El volumen de cada rebanada será el producto: A(x).dx y
el volumen total“intuitiva” del cuerpo obtendrá sumando todas las Apoyándonos en suma esta consideración (alseigual que hicimos parael eldecálculo delrebanadas. ár ea bajo una curva como de las áreas de unos determinados rectágulos) podemos afirmar que el volumen del cuerpo V se obtiene con la integral: b
V A x dx a
(“a” y “b” son las abscisas extremas del cuerpo).
La clave de este método está en saber situar adecuadamente el eje X con respecto al sólido, de modo que las secciones sean figuras de área fácilmente calculables (círculos, rectángulos,.........). Vamos a aplicar el método de las secciones planas para el cálculo del volumen de un cuerpo y f x gira alrededor del eje X entre x a y x b engendra un de revolución. Si unaquecurva cuerpo de revolución tiene un determinado volumen.
Las secciones planas en cada abscisa ( x) son, en este caso, círculos de radio igual a f ( x) y por tanto el área es A( x) . f x . En consecuencia el volumen del cuerpo de revolución se obtiene: 2
b
b
b
V Ax dx . f x 2 dx f x 2 dx a
a
a
Ejemplo.Calcula el volumen del elipsoide de revolución generado por la elipse x2 y2 a 2 b 2 1 al girar sobre el eje X.
Sol.Podemos considerar el elipsoide engendrado por la semielipse superior. 185
(podríamos tomar la semielipse inferior y obtendíamos el mismo resultado ya que el integrando está elevado al cuadrado en la fórmula del volumen).
Despejando pues la “y” (al cuadrado) obtenemos: y b a x 2
2
2
2
a2 a a 2 a a 2 b b V f x 2 dx 2 a 2 x 2 dx 2 a 2 dx x 2 dx a a a a a a a 2 3 2 3 2 3 x b b 2a b 4a 4 2 2 (a 2 x) aa 2 2a 3 a 2 3 3 .a.b 3 3 a a a
Cuando el elipsoide es una esfera: a b r
y V 4 .r
3
3
Ejemplo.Deduce la fórmula del volumen de un cono. Sol Un cono de radio basede “r”ecuación: y altura “h” es engendrado pordelalarecta r y x al girar alrededor del eje X entre los h
valores x 0 y x h . Para calcular el volumen del cono aplicamos la fórmula vista anteriormente: h h r2 r 2 h3 1 r V .x dx 2 x 2 dx 2 r2 h h h 0 h 3 3 0 2
3. Longitud de un arco de curva. Dada una curva y f ( x) , donde f es una función con derivada continua. Consideremos una línea poligonal en de la curva. Intuitivamente puede definir la longitud de la curvapequeños. como el límite de inscrita la longitud la poligonal cuando sussesegmentos se hacen “infinitamente” 186
Supongamos que tenemos uno de esos pequenísimos segmentos (arriba) prácticamente confundido con un fragmento de la curva, correspondiente a un subintervalo de longitud (dx). La longitud de este segmento será: l
dx
cos
2 1 tg
1 f x
dx
2
dx
Por tanto la longitud total del arco de curva entre x a y x b es: b
L
1 f x
2
dx
a
Ejemplo.Calcula la longitud de una circunferencia de radio r. (Ya se sabe: L 2 r ) La circunferencia de centro el orígen y radio “r” tiene de ecuación: x y r . La longitud pedida es cuatro veces la del arco AB Por derivación implícita sabemos que: 2
y
2
x2 x y 2 2 y y r
l ARCO AB
2
r
1 f x
2
dx
0
1
0
r r r x2 y2 x2 r r dx dx dx dx 2 2 2 y y y r x2 0 0 0
x sen ( t ) r
rr r 0
1
x r
1
dx 2
dx r . cos(t ) dt
r. cost dt r t 0 2 r cos t 2 0 2
LCIRCUNF 4l ARCO 4. r 2 r AB
2
187
4. trabajo realizado por una fuerza variable.Cundo una fuerza constante F obliga a un cuerpo a recorrer una distancia d en la dirección de la propia fuerza, realiza un trabajo W que es igual al producto de la fuerza por el espacio recorrido: W F.d F b a . Si la fuerza varía a lo largo del trayecto, porque sea función de la posición que ocupe el cuerpo F F ( x) , en este caso el trabajo realizado en un subintervalo muy pequeño (dx) es dW F ( x).dx y el trabajo total realizado por la fuerza variable F F ( x) dirigida según el eje X al ir de x a a x b b
W F ( x)dx a
Ejemplo.-Calcula el trabajo realizado por una fuerza F F ( x) al alargar un muelle, hasta una longitud x . Sol Ley de “Hooke”: la fuerza es proporcional al desplazamiento: F ( x) k x x
b x t 2 k x2 1 W F ( x)dx k t dt k F ( x).x 2 2 2 0 a 0
5.la integral en el estudio del movimiento.Cuando un punto material se mueve a lo largo de una línea recta y su posición s sobre dicha línea en el instante t viene dada por s s(t ) , la velocidad y la aceleración del punto son las derivadas sucesivas de s s(t ) respecto a t . A) v(t ) st
B) a(t )v t s t
En consecuencia y recíprocamente, la función de posición del punto material st es una primitiva de vt y a su vez vt será una primitiva de at . Para determinar de que primitiva concreta se trata en cada caso, habrá que apoyarse en alguna condición impuesta sobre el movimiento(condición inicial) Ejemplo.En el instante t 0 se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde una altura h 10 m a una velocidad inicial v 30 m s ¿Cual es la ecuación del movimiento de esa piedra, es decir, la función h h(t ) siendo h la altura sobre el suelo que tiene la piedra en el instante t ? Sol.La aceleración de un cuerpo sometido a la gravedad es a(t ) g 10 m s el signo menos se debe a que el sentido positivo de la altura es hacia arriba mientras que el peso está dirigido 0
0
2
hacia v(t ) abajo. a(t )dt 10 dt 10 t k como v 30 m s : k 30 y v(t ) 10t 30 h(t ) v(t )dt 10t 30dt 5t 30t k como h 10 m : k 10 ;por tanto: 0
2
0
188
ht 5t 2 30t 10
189
ACTIVIDAD DE DERIVADAS 1) Resuelva las siguientes ecuaciones y determine su conjunto solución.
Respuesta: C.S. = {
21 6 x
x( x 9) 2 (2 x 1)( x 4)
11x
Respuesta: C.S. = {
2
x2
3 10
x7
1+
3;
1
3; 7/6}
3}
Respuesta: C.S. = {2; 3}
x( x 3) 2( x 2) 2
5
2
3
Respuesta: C.S. = {
5
(x1)(x2) = 6
4; 19 } 4
Respuesta: C.S. = 4; 1
2
3x 2 6
x 4 3 96
1
Respuesta: C.S. =
INTEGRALES DEFINIDA y CÁLCULO DE ÁREAS
Ejercicio 1 Calcula las siguientes integrales definidas: a)
b)
d)
e)
c)
f) g)
h)
i) 190
j)
l)
k)
m)
Respuestas:
a) b) -2
c)
e)
d)
f)
g)24,2 h)
i)
)
k)
l)
m) 0
1
Ejercicio 2 Sabiendo que:
halla:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
c) 21,9
d) 11,95 e) 3,45
Respuestas:
a) 4,6
b) 10,8
f) 7
Ejercicio 3
Calcula a)
siendo
Encuentra el valor de b tal que b)
. .
c) Calcula
Respuestas:
a) b) b = - 1, b = 2 c) TALLER TIPO TEST ( ICFES-SABER) 191
Marca la alternativa correcta. 1) Si sen = I) cos =
5 7
y es un ángulo agudo, entonces de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
2 3
II) sec
7
a) Sólo I
b) Sólo II
=
3 6
c)Sólo III 2
III) cosec
d) I y III
=7
5
e) Todas
2
2) El valor de la expresión sen 45º + cos 30º es: a)
2 3
2
b)
2 3 4
2
c)
5
d)
4
5
e) N.A.
4
3) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuando el ángulo de elevación del sol es de 50º? a) 23,8 m b) 12,8 m c) 15,3 m d) 16,8 m e) 1,53 m 4) ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con que la tangente sea un valor negativo? a) 181º
b) 335º
c) 85º
d) 0,52º
e) 258º
5) Sabiendo que sen = 3 , entonces el valor de cos + tg - sen es: 5
a) 1,55
b) 0,95
c) 1,45
d) 1,95
e) N.A.
6) En la cima de un cerro se ha levantado una antena de telefonía celular. Desde un punto ubicado en el valle se miden los ángulos de elevación del extremo superior y la base de la antena. ¿Cuál es la altura del cerro si estos ángulos son 57º y 42º respectivamente y además la antena mide 80 m de alto? a) 100 m
b) 112,6 m
c) 154 m
d) 168,3 m
e) N.A.
7) ¿En qué ángulo de elevación está el sol si un edificio proyecta una sombra de 25 m y tiene una altura de 70 m? a) 19,6º
b) 20,9º
c) 69º
d) 70,3º
e) N.A.
192
8) Si sen = 3 , entonces el valor de la tg es: 7
a)
7
b)
3
2 10 7
c)
3 10
d)
20
9) En la figura, BD = 100 dm. Entonces AC mide: a) 150 b) 100 c) 50 d) 25 e) 15
2 10
e) N.A.
3
C
3 dm 3 dm 3 dm 3 dm
60º
A
3 dm
30º
D
B
10) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base si uno de sus lados mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30º. a) 0,05 cm
b) 0,17 cm
c) 12,3 cm
d) 17,32 cm
e) N.A.
11) ¿Qué altura tiene un puente si al medir la elevación a 50 m de uno de sus pilares es de 22º? a) 18,7 m
b) 46,3 m
c) 20,2 m
d) 19,2 m
e) N.A.
12) Sea el triángulo ABC. ¿Cuánto vale el lado AB? a)
3 2
b)
4
C 2
c)
12
d)
4 3
e)
2 5
A
30º
30º
B
193
TALLER TIPO SABER-ICFES EL PARQUE (PREGUNTAS 1 Y 2): En un lote de forma rectangular cuyos lados miden 80 y 60 metros, se va a construir un parque. La figura muestra el plano del parque. Los puntos F y G son los puntos medios de los lados del rectángulo ACEH.
1. LA longitud de FG es: a) 70 mts. b) 50 mts. C) 40 mts. D) 40
3
mts.
2. AE mide respectivamente: a) 2400 mts b) 1000 mts c) 100 mts d) 240 mts 3. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared:
la medida en dm de la altura en que se apoya la parte superior de la escalera en la pared es: a) 4850 b) 90 c) 3600 d) 1625 Responde las preguntas 4 y 5 con la siguiente información: ” “SÍ en un triángulo rectángulo Sen θ=
θ a. 4. b.Entonces tangente c. de es: d.
5. Secante es: 194
a. b. c. d.
a.
c. 2
b.
d.
6. En un triángulo ABC, el ángulo con vértice en B es recto y la medida del ángulo en C es el doble de la medida del ángulo en A. ABC es un triángulo isósceles. El ángulo A mide 30º y el ángulo C mide 60º. La hipotenusa mide el doble de la longitud del cateto BC. El cateto BC mide la mitad del cateto AB.
7. En la siguiente igualdad del teorema de Pitágoras a. 2 b. 4 c. 3 d. 6
el término faltante es:
8. De acuerdo con el Teorema del señor Pitágoras, el cateto opuesto al ángulo α mide:
a.5 cm b. 8 cm c.12 cm d. 25 cm 9. La conversión de a. 60º b. 180º
a grados es: c. 120º d. 540º
10. La conversión de 30º a radianes es: a. b. c. d. 11. La inversa de la función secante es: a. seno b. coseno c. tangente. d. cosecante
195
12. según el triangulo, La secante de α equivale a: a. 4/5 b. 3/5 c. 5/4 d. 5/3 El siguiente plano representa la avenida central y sus dos zonas verdes, las cuales ocupan igual área, además muestra el tráfico a cierta hora del día
13. Un taxi que parte del centro hacia la iglesia San Mateo, a velocidad constante, no puede continuar por la avenida central y debe desviar por una de las vías alternas. Para gastar menos gasolina, el taxista debe: A. desviar por la avenida L, porque el ángulo es mayor que el ángulo B. elegir cualquiera de los desvíos, porque las zonas verdes son de igual área C. desviar por la avenida S, porque recorrerá una distancia menor D. desviar por la avenida L, porque la zona verde L es de menor área que la zona verde S 14. Andrea construyó una cometa con cuatro triángulos de papel que cortó de dos rectángulos con las medidas que se señalan en los dibujos
La cometa armada tiene la siguiente forma:
196
La distancia entre los puntos K y S es A. 40 cm. B. 55 cm. C. 60 cm. D. 75 cm. 16. Se puede afirmar que existe un triángulo que tiene un ángulo recto, y que los otros dos ángulos deben medir. a. 45º b. 180º c. 60º d. 90º 17.
El siguiente plano muestra las medidas de una sección del zoológico:
Según el plano, ¿cuánto mide la superficie total del pasillo?: A) 20 m² B) 33 m² C) 34 m² D) 40 m²
197
TALLER TIPO SABER-ICFES 1. ¿Cuál expresión se puede usar para calcular la altura del edificio en la siguiente figura?
a)
sen (35°) • 50 m
b)
cos (35°) • 50 m
c)
cot (35°) • 50 m
d)
tan (35°) • 50 m
2.
¿Cuál es la medida del ángulo A en radianes?
Las preguntas 3 y 4 se basan en la figura: 198
3.
Si A y B nos representan a dos personas en una parque, es cierto que:
a)
A y B se están alejando cada vez más.
b)
A y B se están acercando cada vez más.
c)
A y B se están acercando, se cruzan en el punto P y se comienzan a alejar.
d)
A y B se están acercando, se cruzan en el punto P y continúan juntos
4.
Es falso, durante el tiempo que nos representa la gráfica, que:
a)
El recorrido realizado por B es mayor que el realizado por A.
b)
La rapidez de A es mayor que la rapidez de B.
c)
La rapidez con que se acercan A y B es la suma de la rapidez de A y la rapidez de B.
d)
La rapidez con que se alejan A y B es la suma entre la rapidez de B y la rapidez de A.
CONTESTA LAS PREGUNTAS DE LA 5 A 8: La gráfica muestra la distancia recorrida por Pedro Pablo y Juan durante un entrenamiento de atletismo
199
5. De la gráfica anterior se puede afirmar que A.
los tres atletas recorrieron la misma distancia.
B.
los tres atletas estuvieron corriendo durante el mismo tiempo.
C.
Pablo recorrió más distancia que Pedro y más que Juan.
D.
Pedro corrió durante menos tiempo que Juan y que Pablo.
6. Durante el entrenamiento, la mayor velocidad que alcanzó Pablo la obtuvo A.
en los primeros 20 minutos.
B.
entre el minuto 20 y el minuto 30.
C.
entre el minuto 30 y el minuto 60.
D.
en los últimos 40 minutos.
7.La relación entre la distancia d recorrida por Juan y el tiempo t empleado para recorrerla está representada por la ecuación d 15 t 100 A. A. B.
d
100t
15
200
C. D.
d
1
t
15
10
d
10t
100
La figura representa la vista frontal de una casa. ADEC es un rectángulo, el ángulo ß mide 120°, y el ángulo α mide 30º y es congruente con el ángulo γ.
8. ¿Cuánto mide el ancho de la casa? A. 2 m. B. 2 √3 m. C. 4 m. D. 4 √3 m.
9. Los teoremas del Seno y el Coseno se aplica para solucionar triángulos: a. Oblicuángulos. b. Escalenos. c. Isósceles. d. la a y b son correctas
201
10. El teorema del Coseno se aplica cuando conocemos: a. Tres lados. b. Un lado y dos ángulos. c. Dos lados. d. Un ángulo recto. 11. En el triángulo que muestra la figura los valores de b y Sen α son:
RESPONDA LAS PREGUNTAS 13 A 15 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
202
13. Con base en la gráfica anterior, se puede afirmar que la producción de café, a nivel nacional, fue de A. 350 millones de ton. en 1996 B. 750 millones de ton. en 1995 C. 1.250 millones de ton. en 1998 D. 1.600 millones de ton. en 1999 14. En el año 2000 se exportó el 83% del café producido en Colombia. ¿Cuántas toneladas quedaron para abastecer de café a todo el país? A. 269 millones B. 269,5 millones C. 279,5 millones D. 297,5 millones 15. ¿Cuál fue, en promedio, la producción anual de café en Colombia entre 1995 y 2000? A. 1.125 millones de ton. B. 1.250 millones de ton. C. 1.750 millones de ton. D. 1.997,5 millones de ton. 203
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