PANITIA MATEMATIK TAMBAHAN SMK MAT KILAU, 25150 KUANTAN NAMA : ……………………………………………………………………………………………………………. . KELAS : ................................................ DISEMBER 2010 : DIUBAH SUAI DARI MODUL JPN PAHANG
2
CONTENT TOPIC PROGRESSIONS 1. 2. LINEAR LAW 3. INTEGRATIONS 4. VECTORS 5. TRIGONOMETRIC 6.P ERMUTATIONSANCOM!INATIONS 7. PRO!A!ILIT" #. PRO!A!ILIT" ISTRI!UTIONS 9. LINEAR PROGRAMMING 10.MOTIONSALONGASTRAIG$TLINE
PAGE 3 19 27 42 61 77 79 #2 101 10#
3 PROGRESSIONS % C$APTER 1 &5 ' 1. T() *+- -(+)) -)+ / +-()- +/+)/ +) 82, 2, 21. & -() ;<=) / .
2. T() *+- -(+)) -)+ / +-()- +/+)/ +) 83, 283, 1. & -() ;<=) / .
3. T() -( -)+ / +-()- +/+)/ ;) @ T B 3 1. & %' -() *+- -)+, %@' -() // )+)).
>5?
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4. T() -( -)+ / +-()- +/+)/ ;) @ T B 4 8 9. &
5. G;) +-()- +/+)/ 2,6, 6. G;) +-()- +/+)/ 812, 89, 10, 14,... 86, 83, …, * -() <<)- ;<=) / =( -(* -() +)-)- ;<=) / =( -(-() -( -() -( -)+ -)+ +)-)+ -( 100. <<)+ -( 200.
>4 D 3?
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4
>85 D4?
>71? >26?
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>84 D 5? >83 D 4?
10. G;) +-()- +/+)/ 21, 1#, 15, 12, … . & -() = +/ );)-( -)+ -/ -() )(-))-( -)+.
9. G;) +-()- +/+)/ 2,6, 10, 14, … * -() = +/ *-( -)+ -/ -() -))-( -)+.
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11. G;) +-()- +/+)/ 86, 12. G;) +-()- +/+)/ 812, 1, #, 15,.. 89, 86, 83, * -() = +/ -( -)+ -/ -() * -() = +/ )<);)-( -)+ -/ -() -F)-)-( -)+. -F)-8 )(-( -)+.
5
>1062?
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14. G;) +-()- +/+)/ 21, 1#, 15, 12, … , * -() ;<=) / /+ F(( -() = / -() *+- -)+ 8#1.
15. T() = / -() *+- -)+ / +-()- +/+)/ ;) @ S B 22 . & %' -() *+- -)+, %@' -() // )+)).
>8162?
13. G;) +-()- +/+)/ 2, 6, 10, 14, …, * -() ;<=) / /+ F(( -() = / -() *+- -)+ #00.
>1#? >20?
16. T() = / -() *+- -)+ / +-()- +/+)/ ;) @ S B 22 85. & %' -() *+- -)+, %@' -() // )+)).
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17. G;) +-()- +/+)/ 2, 6, 10, 14,.. * -() <<)- ;<=) / =( -(-() = / -() *+- -)+ +)-)+ -( 200.
1#. G;) +-()- +/+)/ 812, 89, 86, 83, … * -() <<)- ;<=) / =( -(-() = / -() *+- -)+ +)-)+ -( 243.
6
>83D 4? >14? >11?
19. T() *+- <- -)+ / +-()- +) 3 21 +))-;)< -() = / -() )+) 240. & -() =@)+ / -)+.
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21. T() = / -() *+- /=+ -)+ / +-()- +/+)/ 36 -() = / -() )- -) -)+ 370. & -() *+- -)+ -() // )+)).
>24? >20? >3 D 4?
22. T() = / -() *+- -)+ / +-()- +/+)/ 42 -() = / -() )- -F)<;) -)+ 516. & -() *+- -)+ -() // )+)).
23. T() -( -)+ / +-()- +/+)/ 23 -() = / -() *+- -)+ 7#. & -() *+- -)+ -() // )+)).
24. T() )(-( -)+ / +-()- +/+)/ 25 -() = / -() *+)(- -)+ ##.& -() *+- -)+ -() // )+)).
7
>83 D 4?
>3 D 4?
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26. T() *+- -(+)) -)+ / 27. T() -( -)+ / )/)-+ )/)-+ +/+)/ +) 81, 2, +/+)/ ;) @ T B 2281. & #. & -() ;<=) / . %' -() *+- -)+, %@' -() // +-/.
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>83 D 4?
>2 D 4?
30. G;) )/)-+ +/+)/ 3,12, 4#, 192, … * -() <<)- ;<=) / =( -(-() -( -)+ +)-)+ -( 1#0000.
8
>3 D 27? 31. T() )/ -)+ *-( -)+ / )/)-+ +/+)/ +) 12 96 +))-;)<. & -() *+- -)+ -() // )+)).
>6
>11?
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32. T() -(+ -)+ -( -)+ / )/)-+ +/+)/ +) 10# 2916 +))-;)<. & -() *+- -)+ -() // )+)).
33. G;) )/)-+ +/+)/ 2, 6, 1#, 54, … * -() = +/ *-( -)+ -/ -() -( -)+.
>3 D 12?
>19602?
D 2?
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35. G;) )/)-+ +/+)/ 36. G;) +-()- +/+)/ 192, 145#, 4#6, 162, 54, …* -() = +/ 896, 4#, 824,… * -() = +/ *-( -)+ -/ -() )(-( -)+. );)-( -)+ -/ -() -)-( -)+.
>1047552?
>26.67?
>1.#75?
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3#. T() *+- -)+ -() = -/ *- / )/)-+ +/+)/ +) 5 15 +))-;)<. & -() // +-/.
39. T() // +-/ -() = -/
[ 12 ]
[ 23 ]
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1
3 30 +))-;)<. & -() *+- -)+.
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10 40. T() // +-/ -() = -/ *- / )/)-+ +/+)/ +) -
1 4
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*+- -)+.
> B 2 , B 33 ? >25?
m B n 0.345345345……. & -() ;<=) / .
43. G;) -(-
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44. G;) -(-
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B
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45. G;) -(-
169
m
B
H 5.012
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…… & -() ;<=) / , @ .
B @ …… & -() ;<=) / , @ , .
> B 33 , B 5.0 , @ B
11 >
0.012 B0.00012 ?
B 115 , B 333 ?
> B 166 , B0.01# , @ B 0.0001# ?
46. G;) )/)-+ +/+)/2, 6, 1#, 54, … * -() ;<=) / /+ F(( -() = / -() *+- -)+ 196#2.
47. G;) )/)-+ +/+)/3, 12, 4#, 192, … * -() ;<=) / /+ F(( -() = / -() *+- -)+ 65535.
4#. T() = / -() *+- -)+ / )/)-+ +/+)/ ;) @ S B 4 8 1. & %' -() *+- -)+, %@' -() // +-/.
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50. G;) )/)-+ +/+)/ 2, 6, 1#, 54,... * -() <<)- ;<=) / =( -(-() = / -() *+- -)+ +)-)+ -( 6000.
51. G;) )/)-+ +/+)/ 3,12, 4#, 192, … * -() <<)- ;<=) / =( -(-() = / -() *+- -)+ +)-)+ -( 2000.
12
> B 4 + B 83?
> B 6?
> B #?
52. T() = / -() *+- -(+)) -)+ / )/)-+ +/+)/ 35 -() // +-/ 2. & ' -() *+- -)+ / -() +/+)/ @' -() )(- -)+
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2 5
+))-;)<. &
54. T() *+- -(+)) -)+ / )/)-+ +/+)/ +) 27, 1#, 12. & -() = -/ *- / -() )/)-+ +/+)/.
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S
∞
B 62
1 2
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> S ∞ B #1 ?
SPM JUESTIONS PAPER 1 1. %SPM P1, 03, J7 ' T() *+- -(+)) -)+ / +-()- +/+)/ +) 3 , 3, 2 2 . & ' -() ;<=) / @' -() = / -() *+- 9 -)+ / -() +/+)/.
2. %SPM P1, 03, J11 ' I )/)-+ +/+)/ , -() *+-)+ 64 -() /=+-( -)+ 27 . C<=<-) ' -() // +-/ @' -() = / *- / -() )/)-+ +/+)/
3. %SPM P1, 04, J10 ' G;) +-()- +/+)/ 87, 83, 1 …. ,--) -(+)) /)=-;) -)+ -( +/+)/ F(( = = -/ 75.
13 > T10 B 29 , > B7 ,
S9
B252
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T9 B 25, T # B 21 ?
> + B 34 , S9
B 256
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4. %SPM P1, 04, J11 ' T() ;/<=) / F-)+ - 450 <-+) / -() *+- . S=@)=)-< , 10 <-+) / F-)+ ) -/ -() - );)+. C<=<-) -() ;/<=) , <-+), / F-)+ -() - - -() ) / -() 7-( .
5. %SPM P1, 04, J12 ' E+) -() +)=++ )< 0.969696…… +-/ - <)- /+
6. %SPM P1, 05, J10 ' T() *+- -(+)) -)+ / )=)) +) 2, , #. & -() /-;) ;<=) / / -(-() )=)) ' +-()- +/+)/ @' )/)-+ +/+)/
> 510 ?
> 3233 ?
7. %SPM P1, 05, J11 ' T() *+- -(+)) -)+ / +-()-
#. %SPM P1, 05, J12 ' T() = / -() *+- -)+ / -()
9. %SPM P1, 06, J9 ' T() 9-( -)+ / +-()- +/+)/
+/+)/ +) 5, 9 , 13. & ' -() // )+)) / -() +/+)/ @' -() = / -() *+- 20 -)+ -)+ -() 3+ -)+ .
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> B 4 , 1100 ?
> +B3, B 7
10. %SPM P1, 06, J10 ' T() -(+ -)+ / )/)-+ +/+)/ 16. T() = / -() -(+ -)+ -() /=+-( -)+ #. & ' -() *+- -)+ -() // +-/ / -() +/+)/ @' -() = -/ *- / -() +/+)/
> B # ?
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11. %SPM P1, 07, J9 ' ' )-)+) F()-()+ -() /<
@' G;) +)/ /+ -() F)+
12. %SPM P1, 07, J10 ' T(+)) /)=-;) -)+ / +-()- +/+)/ +) 5 , # , 2 . & -() // )+)) / -() +/+)/.
14 11%'
> + B 812 B 64 , B 42
2 3
S
∞
> B 14 ? ?
13. %SPM P1, 07, J11 ' T() *+- -(+)) -)+ / )/)-+ +/+)/ +) 27, 1#, 12 & -() = -/ *- / -() )/)-+ +/+)/
14. %SPM P1, 0#, J9 ' I- ;) -(- -() *+- /=+ -)+ / )/)-+ +/+)/ +) 3, 86, 12 . & -() ;<=) / .
> B 824 > S ∞ B #1
?
16. %SPM P1, 0#, J11 ' I )/)-+ +/+)/ , -() *+-)+ 4 -() // +-/ +. G;) -(- -() = -/ *- / -( +/+)/ 16 ,* -() ;<=) / + .
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17. %SPM P1, 09, J9 ' G;) -(- )/)-+ +/+)/
− 5, 10 ,− 20 ,. * 3
15. %SPM P1, 0#, J10 ' T() *+- -(+)) -)+ / +-()- +/+)/ +) 46, 43 40. T() -( / -( +/+)/ )-;). & -() <)- ;<=) / .
9
/ -() +/+)/.
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> B 17
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1#. %SPM P1, 09, J11 ' T() *+- -(+)) -)+ / )/)-+ +/+)/ +) , 6 , 12. & ' -() ;<=) / @' -() = +/ -() /=+-( -)+ -/ -( -)+
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> S ∞ B 83
19. %SPM P1, 09, J10 ' + (/F -(+)) =+) +. 7 5
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B3D 1512
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3
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> ' 12, 20, 2#
@' B #
?
> ' 40
@' 14 ?
21. %SPM P1, 10 , J10 ' I- ;) -(- 1, 2, 4, 6, …. I )/)-+ +/+)/
22. %SPM P1, 10 , J11 ' T() *+- -(+)) -)+ / +-()- +/+)/ +) 3(, , (
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2'. E+) -)+ / ( @' & -() 10 -( -)+ / -() +/+)/ -)+ / (. > 3 + ?
> ' 2
@' 0.#165
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> ' B 2( 1
@' 45 15( ?
SPM QUESTION – PAPER 2 1. %SPM 04 , P2, J6 ' + (/F -() ++))- / -() *+- -(+)) / *-) )+) / <+ -+<). T() *+- -+<) (
2. %SPM 05 , P2, J3 ' + (/F +- / ++))- / @+ / )=< ).
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1 4
2 '
& -() = -/ *- / -() +), 2 / -() -+<)
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>+ B ,
3.
S
∞
B 2133
1 3
%SPM06,P2,J3'
B 5
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> B 49 , 294 , RM 1019.20 ?
4.
%SPM07,P2,J6'
17 TF/ /) , )<- O) , -+- -/ )<< + - -() ) -). ' )<- )<< + -() *+- /-( - <) +)) /--< @ + );)+ =@)=)/-(. I- )<< 240 + -() #-( /-( -() -/-< <) /+ -() *+- 10 /-( +) 1900 +. & -() ;<=) / / >5 + ? @' O) )<< #0 + -() *+- /-( - <) +)) /--< @ 22 + );)+ =@)=)/-(. I @/-( /) )<< -()) =@)+ / + -() -( /-(, * -() ;<=) / .
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925 955 9#5
15
> 2 + ? T() -() / )( @ 5 + ? @' C<=<-) -() = ()(- / -() -+ > 3 + ?
> T20 B 415 ,
18 S20B 14 000, 495
?
> B 20 , B 100 , B 11
?
5. %SPM 0# , P2, J3 ' M=-(= -+-) F/+ /+ / / 1 =+ 2002 F-( -< =< <+ / RM 1# 000. E;)+ =+ , -() / +)) ( <+ @5 / -() +);/= )+Q <+ . C<=<-) ' ( =< <+, -/ -() )+)- RM, /+ -() )+ 2007. > 3 + ? @' -() = ;<=) / =( -(- ( =< <+ -() -( )+ F<< ))) RM 36 000 > 2 + ? ' -() -/-< <+, -/ -() )+)- RM, -/ ( @ -() /, /+ -() )+ 2002 -/ 2007. > 2 + ?
6. %SPM 09 , P2, J6 ' A+ +/ @<< +/ ()(- / $ @/;) -() //+ . A-)+ -() *+- @/=) , -() @<< +)() ()(- / $1 , F()+) $1 B 0.# $. A-)+ -() )/ @/=) , -()@<< +)() ()(- / $2 , F()+) $2 B 0.# $ 1 . T() @<< /-=) @/= -( F =-< - -/. G;) -(- $ B 200 , * ' -() =@)+ / @/=) F() -() = ()(- / -() @<< +/ -() //+ <) -( 50 /+ -() *+- -) > 4 + ? @' -() -/-< -), , -+;)<<) @ -() @<< =-< - -/. > 2 + ?
19
> T6 B RM 22 973 , B 16, S6 B RM 122 434
?
7. % SPM 10 , P2 , J3 ' + @) V/<=) <)+ B +2( ?
# 6 4
' C<=<-) -() ;/<=) , 3, / -() 17 -( <)+, -)+ / . > 3 + ? @' G;) -() -/-< ;/<=) / -() *+- <)+ 1620 , * -() ;<=) / . > 3 + ?
> B 7 , 1#00
?
20
> 324 D B 12 '
LINEAR PROGRAMMING % C$APTER 2 &5 ' 1. T() + @)
2. TF/ ;+@<), +) /F -/ @) <)+< +)<-) (/F @ -() <) / @)- *- -() + @)
-() )=-/ / @)- *-() ;<=) / - F() B3
. .
-() )=-/ / @)- *-() ;<=) / F() B 15
-() ;<=) / F() -B4
.
-() ;<=) / F() B 5 %13, 30'
%0,2'
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X
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1
=− +t −2, 3
3,
2 3
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>B24, 5.5, 14? 5. T() + @)
y x
P%0,2 '
1
x
X
P%3,0
>2B824? 6. T() + @)
@)- *- /+ -() +( / x - . y -() /8<)+ )=-/ )-)+) /)- 2 . x %4, 5' %2,4' 0
21
>
y2
1 = 5 ÷ + 2 ? x
>
7. T() + @)
X
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y x2
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>
y x2
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1 2
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#. T() + @)
9. T() + @)
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X
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X
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X
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X
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11. T() + @)
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4
x
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12. T() + @)
X
X
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J%4,1 2'
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• %4,10'
2
• %1, 1'
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2
> y = 3 − ?x
> y=
x
3 13. T() + @)
y
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3
x
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2
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y
x
−
4
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x2
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4
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15. T() + @)
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y
y x2
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X
X
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3 4
y
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1 2
x2 + 5 x ?
17. T() + @)
%2,4' 0
> y=−
2 16. T() + @)
P%3,0 '
%12, 81'
y +1 x
- +F. E+)
J%6,1 2'
>
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1 + @)
23 -)+ / .
y
-() /8<)+ )=-/ /)-
y +1
2
F() x - +F. E+) =-/ / .
%0,#' x
%84,0'
> >
y=
1 2
x3 + 3 x 2
y
>B22#81?
1 2x − 6
?
?
19. T() + @)
)-)+) -() /8<)+ )=-/ /)- x %3,6'
y
%0,3' 0
20. T() + @)
log10 y
x ? x+3
X
21. T() +( /+ @)
%2,6'
X
>y=
=
> B 10 3 ?
%0,0'
%4,0'
> y = 10 −4 x +16 ?
24 22. T() + @)
log10 y
X
%2,6'
23. T() + @)
X
24. T() + @)
83
%0,2'
0
2
log10 x
>y=
x
?
2
>y= x ?
1000
>B 1002?
16
SPM QUESTIONS 1. SPM 03, P1, J10
+) +)<-) @ -() )=-/ y = px
2
+ qx , F()+) p q +)
/--. A -+(- <) /@-)
2. SPM 04 , P1 , J13
+ @)
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y @
-() + %2,9' @)
y x
%(, 3' 0
%6,1' 0
C<=<-) -() ;<=) / .
G;) -(- B 68 2, <=<-) -() ;<=) / k h >3 marks?
3. SPM 05 , P1 , J13 T() ;+@<) +) +)<-) @ -() )=-/ Bk4, F()+) /--.
%' C/;)+- -() )=-/ B k4 -/ <)+ /+. %@' + @)
log10 x
25 >4 marks ?
%' >(B3, B4?
>B 82, B13?
>3, 11?
4. SPM 06, P1, J11 + 4%' (/F -() =+;) B 832 5. + 4%@' (/F -() -+(- <) +( /@-) F() B 832 5 )+)) -() <)+ " /+" B 5
B 832 5 O
O
5. SPM 07, P1, J12 T() ;+@<) +) +)<-) @ -() )=-/ 2 B 2 % 10 '. A -+(y2 <) +( /@-) @
•% 3, '
+ 4%' 4%@' E+) " + -)+ / /+ . > " B B
1
x2
y
> B 10 , B 14 ?
•
•
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% 0 ,82'
' E+) -() )=-/ B
>
8.
•%0,6' 2
k
5x <)+ /+ =) -/ /@- -() -+(- <) +( (/F + @/;). @' & -() ;<=) /
?
T() ;+@<) +) +)<-) @ )=-/ (B2 (. A -+(<) +( /@-) @
O
& -() ;<=) / / .
x2
7. SPM 10, P1, J12
O
6. SPM 0#, P1, J12 T() ;+@<) +) +)<-) @ -() k )=-/ B x , F()+) /-- . 5 + @)
83 O
,
> 4
( marks?
9.
10
-
B
26
G;) -() +)- / -() -+(- <) 3, * -() ;<=) / ( / . > 3 + ?
>B6 D (B2 ?
SPM JUESTION PAPER 2 1. SPM 2003 P)+ 2 J=)-/ 7
U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
2. SPM 2004 P)+ 2 J=)-/ 7 U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
27
1.59
1.#6
2.40
3.17
4.36
6.76
' P5 +? @' U) -() +( %' -/ * -() ;<=) / ' P ' K >5 +?
3.16
9.12
5.50
16.22
2#.#4
46.77
' P4 + ? @' U) /=+ +( +/ %' -/ * -() ;<=) / ' ' > 6 +?
> AF)+: B1.259 , B1.109 ? AF)+ : B1.#20, B1.309
3. SPM 2005 P)+ 2 J=)-/ 7
U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
1.0 5.5
2.0 4.7
r px
, F()+) + +) /--. 3.0 5.0
4.0 6.5
5.0 7.7
5.5 #.4
' P5 +? @' U) -() +( +/ %' -/ * -() ;<=) / ' P ' + >5 +?
4. SPM 2006 P)+ 2 J=)-/ 7 U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
12 4.0
5.7
34 #.7
13.2
5 20.0
6 2#.#
' P5 +? @' U) /= +( +/ %' -/ * -() ;<=) / ' P ' >5 +?
AF)+ :> B1.37, +B5.4#?
AF)+ : > B 1.77# , B 1.4#3 ?
5. SPM 2007 P)+ 2 J=)-/ 7 U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
y
= 2kx 2 +
p x , F()+) +) /--. k
6. SPM 200# P)+ 2 J=)-/ # U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
28
23 #
' P
13.2
45 20
27.5
6 36.6
7 45.5
y - , = <) / 2 -/ 1 =- / -() x
1.5
3.0
4.5
6.0
7.5
9.0
2.51
3.24
4.37
5.75
7.76
10.00
' !) / -@<) @/;) , /-+=- -@<) /+ -() ;<=) / 1 + ? @' P4 +? ' U) /= +( +/ %@' -/ * -() ;<=) / ' F() B 4.# ' ( >5 +?
@/-( ) . $)), +F -() <) / @)- *-. >4 +? @' U) /= +( +/ %' -/ * -() ;<=) / ' P ' ' F() B 1.2 >6 +? AF)+ :> B 0.754 , B 0.26D B 4.2 ?
AF)+ :> B 5 , ( B 1.91 , B 1.1 ?
7. SPM 2009 P)+ 2 J=)-/ # U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
1
1
y 1
y
1
x
x
, = <) / 2 -/ 0.1 =- / -() 1
)=-/ y
=
hx , F()+) ( +) /--. k
3
2.57
4 3.31
5 4.07
6 4.90
7 6.31
# 7.94
1
>2M? -
#. SPM 2010 P)+ 2 J=)-/ 7 U) +( )+ -/ F)+ -( =)-/. T@<) @)
8 2 -/ 0.5 =- / -() 8 . $)), +F -() y x <) / @)- *-. >3 +? ' U) /= +( +/ %@' -/ * -() ;<=) / ' ' >5 +?
' P4 +? @' ' ' '
U) /= +( +/ %@' -/ * -() ;<=) / ( F() B 2.7
> 6 +? AF)+ : >(B1.251, B0.75#6,B2.399?
29 AF)+ : > B 0.256, B 81.331?
INTEGRATIONS ( CHAPTER 3 F5 1. G;)
∫
d 1 6 x + c÷ dx 2
= 3 x5
, *
2
3 x 5 dx .
4. G;)
∫ h(x )dx
d ( 100 x dx
∫− x + c ) = (h) x
, *
d 2 dx x
2. G;)
2
2 2
, *
5. G;)
d 2 ÷ dx x − 3
=
g ( x ) , *
∫
6. G;)
∫ g ( x) dx .
.
".
∫x
11.
∫x
dy B 4 2 B 5 13.G;) dx
dy 14.G;) dx
5
F() B 1, * -)+ / .
y = 4x – x2 +2
−2
12 4
dx dx
d ( 4 x3 ) dx f ( x) dx .
3. G;)
dx .
∫ x dx = 10. ∫ − 3dx = !.
+ c÷ = − x
=
d 2x ÷ dx x + 1
f ( x) , *
=
f ( x) , *
∫ f ( x) dx .
= = B 32 2 B 4
F() B 81, * -)+ / .
#.
∫ 3x dx =
12.
∫ 5x
2
3
dx
=
dy B 3%2 4' B 30 15.G;) dx F() B 82, * -)+ / .
30 y =– x3 3 + 2x
dy dx
16.G;) F() .
B 2−
3 x2
17.G;)
B 1
dy B 3%2 1' B 5 dx
F() B 82, * -() ;<=) / F() B 1.
B 1 , * -)+ /
2
3x= y
1#.
– 12x – 6
G;)
dy dx
B 5−
3 B 1 F() x2
B 1 , * -() ;<=) / F() B 3
25 y = 2x +
3
x
+6
19.T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( A%1, 6' 5 3x2 . & -() )=-/ / -() =+;).
813
20.T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( R%2, 3' 6x2 – 4 . & -() )=-/ / -() =+;).
21.T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( A%1, 10' x( 6 – 3x) . & -() )=-/ / -() =+;).
B 3 2 3 #
y = 2x3 - 4x-5 3
B 5 2
22.T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( A%81, 7' 3x2 + 2x - 1 . & -() )=-/ / -() =+;).
23.T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( A%1, 812' 3x2 – 6x . & -() )=-/ / -() =+;).
24.T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( !%1, 5' 3x2 + 2 . & -() )=-/ / -() =+;).
31
y
= x3 + x 2 – x +6
∫
3 25. (2 x +5) dx
3
29.
∫ (2 x −1)
33.
∫ 3 (1 −2 x)
2
2
dx
3
=
26.
=
30. ∫
dx
=
B
3 3 10
34.
4
∫ ( x − 3) 15
(3x −5)
6
dx =
4
dx
15
∫ 2( x −3)
∫
=
dx
2
y = x3 + 2x + 2
27. (2 +4 x) dx 5
∫
−4 2#. ( x + 2) dx =
=
∫
∫
32. 30(4 + 3 x)
3 31. 6(2 − x) dx =
3
=
3
=
=
∫
3#. (2 x −1)(2 x +1) dx
0
∫
∫ 16(2 + 4 x) 0
3
dx =
42.
∫ 6( x +2) 0
1
∫
∫
2 39. (3x −2) dx
40. x(3 x −2) dx 0
2
1
1
41.
1
1
1
−3
dx
=
43.
=
2 36. (4 x −3 x) dx
3
2
∫
dx
3
∫
35. (2 −6 x) dx 0
37. x(2 x +1) dx
−3
1
3
6
∫ (2 x −1)
2
dx
=
44.
24
∫ (3x −5) 2
3
dx
=
=
=
32
[
[1280]
3
3
1
1
∫ f ( x) dx =4, ( )∫ g x6dx. =
G;) -(-
1
1.
5 12
]
[2]
& -() ;<=) / .....
3
∫ f ( x)dx
2.
B
3
3
∫[ 2 +
f ( x) ] dx B
3.
1
)x 2− x ] dx B
6.
1
3
B
∫ 1
3 f( ) x1 2
−
∫ 1
3
3
dx B
3 f ( x) +2 ( g) x1 10. 2 1
∫ [ 3 (f ) x −2 ( g) x ] dx
∫
84 3
B
#.
1
−
∫ 2 g( ) x 1
+
1 ( ) f x dx B 2
0
14 3
3
dx B
B
20
7.
5 9.
[ 6 (f )x −( g) x ]
∫ [ f ( x) − 4] dx 1
3
dx B
# 3
4.
# 3
∫ [ 4 (f
∫ [ 5 f ( x)] dx 1
84 3
5.
[3.75]
11.
∫ [5 + g ( x)]dx = 1
12.
1 ∫1 2 g ( x) − 4 f ( x)dx =
33
6
16
16 813
A$$%&')&*+, *- D/+&) I+)% k
1. G;) -(-
∫ (2 x −1) dx =12
k
k
, F()+)
2. G;) -(-
0
∫ (2x 3− ) dx =6
, F()+)
0, * -() ;<=) / .
∫ (3 −4 )x dx =20−
, F()+)
0
81, * -() ;<=) / .
0, * -() ;<=) / .
4
k=5
k
4. G;) -(-
3. G;) -(-
−1
4
3
∫ (6x +1) dx B 14 ,
5. G;) -(-
0
5
∫ f ( x)dx = 5
6. G;) -(-
1
F()+) 0, * -() ;<=) / .
3
∫ f ( x)dx = 6 2
5
∫ (3 f ( x) + kx)dx = 23 , * -() ;<=)
∫ ( f ( x) + kx)dx = 10
/ .
.
1
, * -() ;<=) /
2
8 21
2 2 4
7. G;) -(-
∫ 1
3
6
f ( x)dx = 3
#. G ;) -(-
∫ f ( x)dx = 7 2
9. G;)-(-
∫ g ( x)dx = 8
−1
34 4
6
∫ (kf ( x) + 6 x)dx = 39 , * -()
3
∫ (2 f ( x) − kx)dx = 10 ,
1
* -() ;<=) / .
∫
−1
2
g ( x) + k
dx = 14 ,
4
* -() ;<=) / .
;<=) / .
3
>B82?
Q,)&*+, ,4 *+ SPM F*) 2
1. & -() ;<=) /
∫ 1
3 − x2
x2
4
dx .
k
15
∫ (3x −2)
2. & -() ;<=) /
2
dx .
3. G;) -(-
∫ (2 −2 )x dx =16−
, F()+) 0,
1
1
* -() ;<=) / .
4.5
4.
G;) -(-
∫ f ( x)dx = 10
k = 5
4
4
5. G;) -(-
1
∫ g ( x) dx =10
4
, *
6. G;) -(-
1
∫ (3 f ( x) − kx)dx = 0 , * -() ;<=) / .
%' -() ;<=) /
-() ;<=)
4
∫ 2 g( x) dx,
/ K
4
1
∫ g ( x) dx = 9 , * 1
1
4
∫ [ kx − 3g x( d)]x
B 4#.
1
4
%@' -() ;<=) /
∫ [ k + 2g x( dx)]
B
1
50.
B4
dy B 1 2 32 dx B 3 F() B 1, * -)+ / .
7.
G;)
B 10 %' 820
%@' B 10
#. T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( J%81, 4'
9. T() +)- =-/ / =+;) F(( ) -(+/=( P%1, 3' # 32. & -() )=-/ / -() =+;).
35 2x −
1
x2
. & -() )=-/ / -()=+;).
B 2 3 2 y = x2
10. + 9 (/F -() =+;) y = f(x) =-- -() 8 - x = a a! x = ".
1
+ +4
B 4 2 3
x
11. + 10 (/F +- / -() =+;) y = f(x).
12. + 11 (/F +- / -() =+;) y = f(x).
y
y 5
y
G;) -(- -() +) / -() () #
+ 10
y= $(x)
a
6 =-2, * -() ;<=) / .
b
∫
"
4 x y = f(x)
# + +)/ 9
x
∫ f ( x)dx
13. + 12 (/F -() )-( / +- / =+;).
+ 12
2
x
%' S(), / -() # ;) + , -()
14. + 13 (/F -() )-( / +/ =+;).
+)/ +)+))-) @
∫ x dy . 2
+ 13
&(6% 2) x
%' S(), / -() ;) +, -() +)/ 10
+)+))-) @
15. G;) -(-
12
∫ (3x −2)
3
dx B %3 2 '
, * -() ;<=) / .
#
8
∫ f (x)dx . 0
10
&(4% 8)
8
=-2, * -() ;<=) /
y y
+ 11
B 15 =- 2, * -()
0
+) / -() () +)/.
a
x
#
G;) -(- -() +) /8-() () +)/ 40
4
G;) -(-
(3 g ( x )dx
6 y= f(x)
∫ x dy . 2
36
%@' & -() ;<=) /
4
8
0
2
10
∫ y dx + ∫ x dy
∫ x dy
%@' I
B , * , -)+ / , -()
2
;<=) / 6
∫ y dx .
B 82 , B 82
0
16. G;) -(- 4 x + 3
dy dx
= 6,
)+)
17. G;) -(-
d2y dx 2
1
= 5x4+ 1 ,
18. G;) -(-
2
+10 kx +
k
2
0
-)+ / . F() B 1, B 3
∫ ( 16x
dy B 2 , * dx
4
) dx = 3 .
& -() /@<) ;<=) / .
-)+ / .
y = 2x −
2 3
2
x
y=
+c
19. G;) -(-
d x2 ÷ dx x − 1
= g ( x) ,
1 6
x+6
1
−x2+
2
4x
1
20. G;) -(-
*
∫ ( 2 x − g ( x) ) dx .
-() ;<=) /
= w( x) ,
*
21. G;) -(-
∫ ( 6 w(x)
− dx) . 3
d2y dx 2
= 2 − 6x ,
F() B 1 , B 3
0
2
.
d 12 ÷ dx ( x + 1)3 1
3
-() ;<=) /
k = -1 % -4
3
-)+ / . .
dy B 1 , * dx
37
y=x −2+ +x3
9 2
4x 5
> 66?
SPM QUESTIONS 7 PAPER 1 1. SPM 03 , P1 , J17 5
G;) -(-
∫ (1 + x)
4
2. SPM 03, P1 , J1#
* -() ;<=) / . +?
3. SPM 04, P1 , J22 k
dx B %1 ' , >3
+ (/F -()=+;) B 32 -() -+(- <) B .
∫ (2x −3) dx =6
G;) -(-
, F()+) 81, *
−1
-() ;<=) / .
B 32
O
B
I -() +) / -() () +)/ 64 =-2, * -() ;<=) / . > k
=−
5 3
>B4?
, n=− 3 ?
k=5
4. SPM 05, P1, J21 6
G;) -(-
∫ f ( x) = 7 2
5. SPM 06, P1, J20
6. SPM 06, P1,J21'
+ # (/F -() =+;) B %' =-- -() 8 - B B @.
5
G;) -(-
∫ g (x)dx = 8 , * 1
1
6
)= ∫ ( 2 f( ) x − kx10
, * -() ;<=) / .
%' -() ;<=) /
y y= f(x)
2
+ #
#
a
"
x
∫ g ( x)dx, 5
38 5
%@' -() ;<=) / G;) -(- -() +) / -() () +)/ 5
∫ [ kx − g (x )dx]
B 10.
1
b
=-2, * -() ;<=) /
∫ 2 f ( x)dx . a
%' 8#
> 810 ?
%@'
7. SPM 07 , P1 , J21 7
G;) -(-
∫ h(x)dx
=3,
* -()
2
#. SPM 0# , P1, J21 2 = +px+3 G;) -(- ( 6 x + 1) dx
) ∫ h(x dx
x
c,
%@'
(6 x
%@' -() ;<=) /
7
∫ [5 − h( x)] dx.
F() B 1.
2
+1)
dx = 13
∫
B 83 ,22
B 2, B 10
10.SPM 09 , P1, J21 + (/F +- / -() =+;) B %' F(( ) -(+/=( -() /% ( , 0 ' % 4 , 7 '.
11.SPM 10 , P1 , J19 d 2x = g ( x) , * G;) dx 3 − x
B %'
•% 4 , 7 '
-() )=-/ / -() =+;)
> y
2
∫ g ( x)dx 1
dy B dx
6 , F()+) /-- . I- ;) -(- -() =+;) ( -=+ /- - % 2, 1 ' . & @'
2
T() +)- =-/ / =+;)
F()+) +) /--, * %' -() ;<=) / ,
7
2
9. % SPM 09, P1, J19 '
∫
2
%'
3
=
3 2
x2
− 6x + 7
?
39
•
O
% ( , 0'
G;) -(- -() +) / -() /
∫ f ( x)dx
>3?
h
>6?
1. ( SPM 058 P28 Q2 A =+;) ( +)- =-/ 2 4, F()+) /-- . T() -)- -/ -() =+;) - -() /- % 1 , 3 ' +<<)< -/ -() -+(- <) 5 B 0. &
2. % SPM 05, P2 , J# ' I + @)
. ' -() ;<=) / , > 3 + ?
%)+)--/' y
P
@' -() )=-/ / -() =+;) > 3 + ?
=
x2 2
+1
A % 2, 3 '
O
J % , 0'
R & ' T() ;<=) / %)+)--/ ' > 3 + ? @' T() +) / -() () +)/ > 4 + ? ' T() ;/<=) ))+-) -)+ / , F() -() +)/ @/=) @ -() =+;), -() 8 -() -+(- <)
40 B 3 +);/<;) -(+/=( 360/ @/=- -() 8. > 3 + ?
> B 3, %' B 3 22 4 ?
3. % SPM 06, P2 , J# '
+ @)
= ( x − 2)2
!
B 4
J O
1
, 4 ?
3 9. ( SPM 0!8 P28 Q9
A =+;) F-( +)- =-/ 2 x − 22 x - % , # ' ' & -() ;<=) / % )+)--/ ' > 3 + ? ' & -() )=-/ / -() =+;) > 3 + ?
P
A
>B# ,
12
& ' -() ;<=) / %)+)--/ ' >2 + ? @' -() +) / -() () +)/ P > 5 + ?
( -=+ /-
41 ' -() ;/<=) ))+-) -)+ / , F() -() () +)/ J +);/<;) 360 / @/=- -() 8. > 3 + ?
> B1,
y
2
= x2 + + 5
?
x
20."3 8 32 π = 5 5. % SPM 07, P2 , J10 '
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6. % SPM 0#, P2 , J7 '
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O
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42
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> 4 +? ' -() ;/<=) / +);/<=-/, -)+ / , F() -() +)/ @/=) @ -() =+;) -() -+(- <) B7 +/--) -(+/=( 360 / @/=- -() 8 > 3 +?
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8
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13 8 2 =
". ( SPM 0#8 P28 Q!
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B 4
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9 2
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2 3
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10.
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0
1
34
2 15
π
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'
∫ g ( x)dx 1
3
∫
' [ x − 2 g ( x )]dx 1
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ECTORS ( CHAPTER 9 F5 E+) -() /<
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%4'
45
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TQ B
E&G$ +<<)
PR B
EG B
AC B
P
%5'
%6'
%7'
%7'
G;) :
G;) :
J
J
PQ
=
3x
RQ
S QR
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=
RS
=
SP
=
2y
1 3
RP
R
=
P
2x
RRP
=
2y
RS
=
2QP
PS
=
S
AD B
'srs: %6' BC
%1' AC
=− +y
= x+ y x ; =AD +
x %2' QR = −y + 1 2
y
1 2
x y PR ; = x+ %3' TQ =− 2+
y
1 2
x
&/+ )( / -() /<
PQ -)+ / x y .
%4' EG
= 2x + y
%5' FG
= −x + 2 y
46 1.
2.
3.
y
Q
y
P
x
y
x
x
x
2x
Q
−y P
P
PQ B 4.
Q
PQ B
PQ B
5.
6.
y
y
Q
y
P
y
x
x
x
P
Q
PQ B
Q
P
PQ B PQ B
'srs * %6' PQ
= −2 x + y
%1' PQ
= 2x + y P
%2' PQ
= x− y P
%3' PQ
= 3x + y P
%4' PQ
= 2x + 2 y P
%5' PQ
= 2x − y P
47 &/+ )( / -() /<
+j4
%2' !
P
-=) /
P B
P
%6' b = −7 i + 24 j P
-=) /
%7'
q
-=) / PQ
∧= == +
AB
B 6 #
B
%#'
p
U- ;)-/+ -() +)-/ / PQ ∧ ===+
PQ B
B 5i 7
j
%5' a = −4i + 3 j P P -=) / a
a B
PQ B
U- ;)-/+ -() +)-/ / AB
∧ ====+ ! B
∧= == +
P
AB
AB B
U- ;)-/+ -() +)-/ / !
P B
%4' PQ = 15i − 8 j
P
-=) /
! B
U- ;)-/+ -() +)-/ / P
P
%3' AB = 9 i − 12 j
= 12i j+ 5
-=) / !
P
U- ;)-/+ -() +)-/ / a
aˆ B
%9' c B 83 i 5
j
%10'
4' 17 D
15 17
p
B 84 i 8 5
j
b
b B U- ;)-/+ -() +)-/ / b
bˆ B
AF)+ :
−
4 5
i+ j 3 5
1' 5 D
3 5
i + 54 j
2' 13 D
12 13
i +135 j
3' 15 D
3 5
i − 54 j
i −178 j
5'
5D
48
− 257 i + 2524
6' 25 D
P
j
x y
&/+ )( / -() /<
8 6
%1' PQ =
15
%2' ST = − 8
-=) / PQ
-=) / ST
ST B
PQ B
− 6
%3' ' CD = 8 -=) / CD
U- ;)-/+ -() +)-/ / ST
U- ;)-/+ -() +)-/ / CD
∧ ===+
∧+ === ST B
CD B
− 24 7
%6' $ =
%7'
p
∧ ===+
B
-=) / $
2 3
%#'
q
-=) / "!
%5' # = − 9 -=) / # # B
"! B
CD B
U- ;)-/+ -() +)-/ / PQ
PQ B
− 12
−9
%4' "! = − 40
U- ;)-/+ -() +)-/ / "! ∧ ===+ B
"!
B
− 13 5
%9' m B
U- ;)-/+ -() +)-/ / #
#ˆ B
− 2
− 4 − 5
%10' n B − 2
$ B U- ;)-/+ -() +)-/ / $ $ˆ B
AF)+ : 1'
10 D
45 3÷ 5
2' 17 D
1715 − 8÷ 17
3' 10 D
− 53 4÷ 5
4' 41 D
− 419 − 40÷ 41
5' 15 D
− 45 − 3÷ 5
49
6'
− 2425 7÷ 25
25 D
A44&)&*+8 S)')&*+ +4 M%)&$%&')&*+ *- ')*,
a = 2i + 5 j , b = i − 4 j c = −3i + 7 j , * -() /<
1. G;) %1' 2b
%2' 3a
%3' 4c
B
B
B
%6' 2a + b B
%11' 3c − 2a B
%7' b + c B
%12' b − 12 a B
%#'
1 2
%4'
b+a
1 5
j . %5' a + 3b
a
B
B
%9' a − 3b
%10' 4b − c
B
B
%13'
1 2
a+
1 4
b
%14'
c
B
−
3b
%15'
4 5
a+b
50 AF)+ :
1'
−2i − 3 j
#'
P
P
5 2
5
P
−12i +28 j
3'
P
4'
i +3j
i+ j
P
5 2
5' 5i − 7 j
6' 5i + 6 j
P
P
−i + 17 j
10'
P
7i − 23 j P
−13i +11 j
11'
P
12'
− 132
j
13'
13 20
i
14'
−
5
j
i
3 ÷ 4
G;) a =
2.
−2 ÷ 5
, b=
6 x ÷ , )+) -() /<
c =
%4' 2a + b
%5' b + 3c
%1' 4b
%2' 2c
B
B
B
B
B
%6' 2c + a
%7' 3a − b
%#' 2b − c
%9' c − 2a
%10' 3c − 2b
B
B
B
B
B
%11'
3b + a B
7'
P
9'
13
2' 6i + 15 j
2i − 8 j
%12' 4a − c B
%3'
1 2
%13'
a
1 2
a + 2c
%14' − b − c
%15'
2a
−b+c
15'
51
AF)+ :
0 −9÷
10'
1'
−8 20÷
12 −2÷
2'
3'
32 2÷
4'
4 13÷
5'
16 2÷
6'
15 2÷
7'
11 7÷
#'
−10 11÷
9'
22 −13÷ 11'
3.
W+-) ;)-/+
−3 19÷
12'
6 17÷
x
PQ -() /+ )-)+) - -=). $)),* -() =- ;)-/+ -() +)-/ / ;)-/+ y
PQ . %1'
%2'
y P(118 2
x
%3'
y P(–5 8
Q(! 8 #
%4' J
9 O
O
x Q(3 8 – 9
− 54 −8 ÷ D 10 D − 3÷ −6 5
4.
W+-) ;)-/+
P%3,2'
6
O
P
#
82 J
O
12 12 13 ÷ D 13 D 5÷ 5 13
AB -)+ / i j * - -=). $)), *-() =- ;)-/+ -() +)-/ / ;)-/+
AB . %1' #%0 , 0' , '%4 , 30' %3 , 6'.
%2' #%0 , 0' , '%5 , 2' %3 , 4'.
%3' O% 0,0' , A%2,83' , !%7,9'
52
8i − 6 j D 10 D P
−7 i + 24 j P
D 25 D
− 257 i + 2524 P
4 5
i − 35 j
j
5 13
5.
G;)
i+
12 13
j
a = 3i + 4 j , b = 2 i − j c = −i + 5 j , * -)+ / i j , -() =- ;)-/+ -() +)-/ / -() ;)-/+
@)
%2' 3a − 2b + c
%3' a − b − c
4 i + 19 j D P
5 i + 4 j D 41 D %4' a − b + c
5 41
i+
P
4 41
377
D
4 377
i+ P
19 377
j
j %5'
2a
− 2b − 2c
%6' a − b + 2c
53
6. G;) -() /- P,J R +) /<<)+. /--. & -() ;<=) / -() +-/ / PJ : JR.
54 1.
PQ
=
3a
−
b
QR
> k 4.
PQ
QR
= 3a + (1 + 7 k )b
=
2a
−
=
=−
2a
5 3
+ (1 + k )b
2.
PQ
=
3 ka
+
b
QR
( 2k
+ 4)a + 2b
3.
PQ
=
2a
+
b
QR
= a + (1 − k )b
>(B5 D 3:2 ?
> B 1 5.
4b
PQ
= ( 2k − 1)a + b
QR
> k
> B 81
=
=
3 2
D B 81 ?
D 1:2 ? =
8a
+
4b
6.
PQ
=
3a
−
kb
D 1:4 ?
D 2 :3 ?
7. T() ;)-/+ a b +) /8)+/ /8+<<)<. W()+) ( +) /--. & -() ;<=) / ( .
QR
=
> k
=
4a
3 5
+ ( 4 − 8k )b
D 3:4 ?
55 1.
(h − 3)a
= (k − 7)b
4.
(h + 4)a
= (h + k + 5)b
>( B 3
2.
(5 + k )a
5.
(h − k
= (2 − h)b
(h + k
− 4)a = (k + 1)b
6.
( h + 2k
D B 7 ?
>( B 5 > B85
>( B 84
3.
D B 81 ?
D (B2 ?
+ 2)a = (h + k − 4)b
− 3)a = (−h + k + 6)b
D B 81 ? >( B 1
SPM JUESTIONS PAPER 1
D B3 ?
> B 81
D(B5 ?
1. , 2003 1 /12
2. ,2003 1/13
3. SPM 2004 P1 Q16 G;) -(- O%0,0' A%83,4' !%2,16',
$ < 2 @3
* -)+ / =- ;)-/+, i and j , 56 P
<4 –
%' AB
< ( @ ((8 8 F()+) (
%@' -() =- ;)-/+ -() +)-/ /
U) -() /+-/ ;) -/ * -() ;<=) / h k F() + B 3 82
AB
>3+? >4marks?
+ (/F -F/ ;)-/+,
P andQ . E+) %' P -() /+
x y÷
%@' Q -() /+ xi + yj P >2+?
%
4.
5 3÷
h B 2 , k B 13'
%' 5i
, 8#4'
SPM 2004 P1 Q17
5. SPM 2005 P1Q15
6.
+ 12
j %@'
SPM 2005 P1 Q 16
G;) -(- A%82,6', !%4,2' C%m,p', * -() ;<=) / m /
p =( -(- A B
+ 2BC =10 i 12 − P
Q
j
6
>4 +? O
!
A M!
P
R
S
J
O
P
T
•
R%3,4' 9
R
5 13
i+
12 13
j
57 SPM QUESTIONS – PAPER 2 1. SPM 2003 P2 Q 6
2. SPM 2004 P2 Q 8 + (/F -+<) OA!. T() -+(<) AP -)+)- -() -+(- <) OJ - R. I- ;) -(- OPB
===+ 5 ===+ k 2 G;) -(- AB = ÷ , B = CD = ÷ , * 3 7 5
1 3 %' -() //+-) / A >2 marks? %@' -() =- ;)-/+ -() +)-/ / A >2marks? %' -() ;<=) / , CD i% para&&'& t( AB >2marks?
B , AQ
=
===+ 1 AB P =x6and , 4
A
= 2y
%' E+) -)+ / %' AP (ii ) Q >4marks] %@' %' G;) -(- AR
= h AP , --)
%' G;) -(- RQ
AR -)+ / (, xPand y
= k Q , --)
RQ -)+ / , x and y P
>2marks? %' U AR and RQ +/ %@' , * -() ;<=) / ( / . >4marks?
%:% 83,84',
1 −3
÷
5 −4
,
25 7
% : 826, 32 92, (%682', %92 32, B13, (B12' '
58 3.
SPM 2005 P2 J 6
4.
SPM 2006 P2 Q 5
+ (/F -+)= A!C. + (/F =+<-)+< A!C. AE E&C +) -+(- <).
EF
=
3 5
=24x ,
y AE
1 4
==== + ===+ 2 ==== + AD 6=, x AE = AD 3
= 2 y,
===+ 5 ==== + BC = AD . 6
I- ;) -(-
===+ ===+ ==== + AB = 20x, AE = 8 , =y −DC25
===+
I- ;) -(- AB
AD %' E+) AC , -)+ / xPand y
>2marks?
EC %@' P/- & <) ) -() -+)= A!C=( -(- 2 EF
%' E+) -)+ / x' and y
= m AB ,
/--.
%' BD (ii ) EC
%' E+) AF , -)+ / , x and y P
>3marks? %@' S(/F -(- -() /- !,& +) /<<)+
%' $)), -()/- A,& C+) /<<)+, *-() ;<=) / >5marks?
>3marks] %C' x
= 2 and
y
= 3 , * BD
>2
% : 82032, 25, 104 '
> PQ
=
2y
+
5x
D
AF
=
my
+
4x
D B
8 5
?
59
SPM 2007 P2Q8
5.
SPM 2008 P2Q6
6.
I -() +, A!C =+<-)+<. T() /< ! AC -)+)- /- R. P/- P <) / A. I- ;) -(- , , .
%' E+) -)+ / : %' C
+ (/F -+<) AO!. T() /- P <) / OA -() /- J <) / A!. T() -+(- <) !P -)+)- -() -+(-<) OJ - -() /- S. I- ;) -(- OA: OP B 4:1, A! : AJ B 2 : 1,
A
R
A
= 8x B , =y6 P
%'
>3 +?
• !
@' G;) -(- DC k x y AR = h AC , F()+) ( +) /--, * -() ;<=) / h / k. +? =
%' E+) -)+ / x and y : P
%' BP
−
>4
%'Q %@' U S = hQ BS = k BP , F()+) ( +) /--, * -() ;<=) / ( / . >5marks? % ' G;) -(- x
= 2#nit% , y
P
>%'%'
BP
=
2x
−
6y
%'
B3 =- ∠ AO! B90 ° , *
Q
=
4x
+
3y
%@' h
=
2 5
,k
=
4 5 %' 24.0#
>AF)+ : %'%'
DB
=
x
−
3y
%' AR =
2 3
x + y %@' h =
1 2
,k
=
4 3
?
60
7. SPM 09 P2 , J 5 + @)
#. SPM 10 P2 , J9 + @)
O
R
A
J P
E
A
! !
I- ;) -(
AC
B 4y
AR B 3RC, !J B
2 3
!C ,
AB
B3x I- ;) -(-
A B x
,
B
B
y
,
C
B
2 3
A
' E+) -)+ / x y 2 AD ' E+) -)+ / x y ' BC AQ ' @' BC ' > 3 + ? D > 4 + ? @' I- I ;) -(- AP B ( AQ AP B AR RB , F()+) ( +) /--. & -() ;<=) / @' I- I ;) -(- E B ( D BE B ( / . > 5 + ? +) /--. E+) E ' -)+ / (, x y ' -)+ / , x y > 3 + ? ' $)), * -() ;<=) / ( / . > 3 + ?
AB B
BC
, F()+) (
61 > BC
B
B3 x 4 9 11
,B
y , AQ
3 11
B x
8 3
y
,(
? TRIGONOMETR ( CHAPTER 5 F5
S&? T&*+*)&' F+')&*+, *- +> A+% (1 . 1. G;) -(-
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=
p 00 x 900. E+) )( / -() /<
%@' /) B x
%'
%' -
Bx
%' /- x B
) x B
%)' % 9008 x'B
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0
%' - % 90/ 8 x'B
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8 x'B
x' B
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0
8 x' B
%(' /) %900 x' B
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62
2. G;) -(-
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8
2700 x 3600.
17
%' / x B
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%)' / %900 x'B
2. 3. G;) -(%' x B
%)' ) %900 x'B
%' %90
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=-
8 17
xB
W-(/=- = -@<) /+ <=<-/+, * -() ;<=) /. %'/)
0
x' B
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x' B
1#00 x 2700. W-(/=- = -@<) /+ <=<-/+, * -() ;<=) /
%@' -
%' /-%90
xB
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0
x' B
%'%8
xB
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%')
%('/ %8
xB
x' B
63
S&? T&*+*)&' F+')&*+, *- A+> A+% (2 S/<;) )( / -() /<
0
x 3600.
1.
x / 40/0 B
x 40/0 B
2. /
3.%
x 10/' B 0.5 64
4.
/% x 40/B '0.5
7.
sin( 1 x + 80( )8= 2
10.
x 10/B '0.5
5. %2
0.5
2 B 31x
13. 2 x / x B x
#.
11.
cos( 1 x - 10 ( ) 2
) 2
14.
= 8 0.5
xB2
2 x / x B / x
x 40/' B 0.5
6. /%2
9.
12.
4 - 2x B 81
cot
1 2
x
=4
15. 2 -2x - x 3 B 0
y0 65 G+( / T+//)-+ &=-/ 1. S)-( -() +( / )( / -() /<
= 2 sin x
0≤x
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y
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%@'.
%'. y
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1
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y
= − sin x
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y
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y
2
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sin x
2 sin x
+1
y
%' y = sin 2 x
2. S)-( -() +( /)( / -() /<
y
= cos x
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y
= 2 cos x
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≤ 2π .
y
y
y
% G+( / ) '
= 3 sin x
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=
=
sin x
2 sin 2 x
≤ 2π . y
+1
% G+( / /) '
= 3 cos x
yy 66
xx
00
%'. y
%'
%'
y
y
=
1 2
cos x
= 2 cos x − 1
= −
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y = − cos x
%('
y
= 2 cos x + 1
%' y = cos 2 x
y
%'
%'
%<'
y
y
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y
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%'.
=
B
3. S)-( -() +( /)( / -() /<
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cos x
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67
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%)'
y
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%'
y
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tan 2 x
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2./
4. -2 x 2 x B ) 2 x /2x
5. -2 x 2 x B - 2 x 2 x
7.
10.
1 1 + cos x
+
1 1 - cos x
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= 2 cos 'c 2 x
= sec x + tan x
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11.
2
x 2 x B 1 8 2 2 x
1 1 + sin x
+
1 + cos x sin x
1 1 - sin x
+
= 2 sec 2
sin x 1 + cos x
x
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3.
6. /-
9.
12.
2
x / 2 y B 2 y /2 x
2
x /2 x B /- 2 x /2 x
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1 + sin x cos x
+
= cos 'c x + cot x
cos x 1 + sin x
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69
2
13.
1 - tan x 1 + tan x 2
= cos 2 x
2 y - sin
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14.
2 sec x
+1
2 sec x - 1
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17.-2 ) 2
2 sec 2 x
B
1#. 2 % /- /) 2 ' B / 2
/ 2
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> 45/ , 135/, 225/ , 315/?
3. 4 2 x 8 4 / x 1 B 0
> 60/ , 300 /?
70 > 30/ , 150/, 210/ , 330/?
4. 4 / 2 x 12 x 9 B 0
5. 4 ) 2 x 12 - x 5 B 0
6. 3 ) 2 x 5 % - x 1' B 0
> 56.31/ , 236.31?
> 63.43/ , 161.57/, 243.43/ , 341.57/?
> 30/ , 150/?
7. 2 /- 2 x 5 /) x 4 B 0
#. 2 /-2 x B 7 /) x 8 #
9. 3 x 82 /) x 1 B 0
> 30/ ,41.#1/ ,13#.19/, 150/ ?
> 41.#1/ , 13#.19/, 270/ ?
> 30/ , 150/?
10. 6 / x 82 ) x 1 B 0
11. x 8 2 / x B 0
12. C/- x 2 / x B 0
> 64.43/ ,243.43?
> 4#.19/ , 120/, 240/ , 311.#1/?
> 30/ ,90/, 150/ ,270/?
SPM QUESTIONS 7PAPER 1 1. % SPM 2003 P1 N/.20' G;) -(- tanθ %'
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0
0
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2. % SPM 2003 P1 N/.21' 0
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71
%'
1 t
t
%@' 33.69/, 56.31/, 213.69/ , 236.31/
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3. % SPM 2004 P1 N/.1#'
4. % SPM 2005 P1 N/.17'
S/<;) -() )=-/ / 2 x 2 x B x /+ 0 0 ≤ x ≤ 360 0 . > 4 + ?
S/<;) -() )=-/ 3 / 2x B # x 85 /+ 0 0 ≤ x ≤ 360 0 . > 4 + ?
41.#1/, 13#.19/
30/, 150/ , 270/ 5. % SPM 2006 P1 N/.15'
6. % SPM 2007 P1 N/.15' 2
/
S/<;) -() )=-/ 15 x B x 4 30 /+ 0 0 ≤ x ≤ 360 0 . > 4 + ?
S/<;) -() )=-/ /- x 2 / x B 0 /+ 0 ( ≤ x ≤ 360( . > 4 + ?
72 23.5#/, 156.42/,
90/, 210/, 270/, 330/
199.47/, 340.53/ 7. % SPM 200# P1 N/.17'
#.
G;) -(- sin θ = p , F()+) /--
S/<;) -() )=-/ 360/ > 3 + ?
90
0
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≤
≤
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3
>
%' 2 p 1− p
1
%@' 8
p
>19/2#Q, 90/, 160/32Q , 270/?
2
9. %SPM 2009 P1 J17'
10. %SPM 2010 P1
J1# '
G;) / θ B , * - 2
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θ
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1. % SPM 2003 P2 N/. # ' %' P+/;) -(- tan θ + cot θ = 2 cos 'c 2θ . + ?
5 −
12
,−
33 65
p2
?
SPM JUESTIONS 8PAPER 2 2. % SPM 2004 P2 N/. 3 ' 4 >
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2
73 %@' %' S)-( -() +( y
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3 2
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.
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3 2
x
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3 4π
x - 1 /+ 0 ≤ " ≤ 2 ! .
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3. %SPM 2005 P2 N/.5' %' P+/;) -(- /) 2 x 2
4. % SPM 2006 P2 N/. 4 ' 2
x /-2 x B / 2 x.
%' S)-( -() +( B 82/ /+ 0 ≤ x ≤ 2π .
>4
74 > 2 + ?
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π
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5.%SPM2007P2N/.3'
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2 tan x
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%SPM2009P2 N/.4'
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3 2
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x
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3 2
π .
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x
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> 6 +?
> =@)+ / /<=-/ B 2 > =@)+ / /<=-/ B 3
0
?
77 PERMUTATIONS AND COMBINATIONS ( CHAPTER 6 F5 1. % SPM 2003 P1 N/.22'
2. % SPM 2003 P1 N/.23'
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3. % SPM 2004 P1 N/.23'
4. % SPM 2005 P1 N/.22'
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78 %' 120 %@' 4# %' 792 %@' 160
5. % SPM 2006 P1 N/.22' + (/F );) <)--)+ + U
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%' 60
7. % SPM 200# P1 N/.23' + (/F =@)+) + 3567#
9
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79
%' 5040 %' 360 %@'240
PRO!A!ILIT" % C$APTER 7 &5 '
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15 23
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7 36
7. A +@<) +F - +/ +/ #. !/ C /- +@<) / F((4 @/ /- 3 @< +@<), 4 +) @< 6 +) )<
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1 18
9. A- $<Q (/, -()+) +) 5 +)+)+-/+, % /% % , 4 F( (), '% , . I +)+)+-/+ F( () +) (/) - +/, <=<-) -() +/@@<- -(- +)+))+-/+ /+ /
81 SPM JUESTIONS 1.
SPM 2004 %N/.24 P)+ 1' 2. SPM 2005 %N/. 24 P)+ 1' A @/ /- 6 F(-) +@<) T() /<3 marks? ")<
3. SPM 2006 %N/. 23 P)+ 1' T() +/@@<- -(- $ =<*) /+ -() *< / -+ );)-
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TF/ + +) +F - +/ +/ -() @/. & -() +/@@<- -(- @/-( + +) / -() ) /3 marks?
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5. SPM 2009 %N/. 23 P)+ 1' T() +/@@<- -(- -=)- <@++ 0.2 . T(+)) -=)- +) (/) (//< +))- (/) - +/ . & -() +/@@<- 5 -(F(<) -() +/@@<- / A @) %' << -(+)) +) <@++, 7 (/) . & -() +/@@<- -(%@' /< /) / -() <@++. 12 >4 +? %' )-()+ / -() (/) (//< +))-, %@' /< /) / -() (/) (//< +))-. >4 +? 3
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29 60
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7 2 %' 15 %@' 15
19 66
4. SPM 200# %N/. 24 P)+ 1' T() +/@@<- / S+( @)
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6. SPM 2010 %NO. 24 P)+ 1 ' I )<)-/ / < /-/+, -() +/@@<- -(- -=)- (/) 1 3
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3 5
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82 PROBABILIT DISTRIBUTIONS ( CHAPTER " F5 1. L&,) %% $*,,&% % *- 4&,') +4* &% ' I +)+))- -() =@)+ / =< /+ 12A @' I +)+))- -() =@)+ / -) / )-- -() +/= / 5 =<, <- << -() /@<) ;<=) /. =@)+ 1 F() -/ + ) -(+)) -), <- << -() /@<) ;<=) / .
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2.
Determine the probability of an event in a binom ial distribution. n − P ( )) = =r C, r pr nqr1+= p q
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G;) p B 0.2 , ⇒ q B B 10 , r B2 & % B 2'.
'
>0.30#7?
G;) p B 0.12 , ⇒ q B B 10 , r B2 & % B 2'. '
G;) p B 0.45 , ⇒ q B B7, r B3 & % B 3'.
@'
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> 0.3020?
)' T() +/@@<- -(- !)++ F<< @) <-) /+ ))- 0.6. & -() +/@@<- -(- !)++ F<< @) <-) /+ 3 /=- / *;) ))-.
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' S; ( -/ < 4 ). T() +/@@<- -(- S; F<< @' A ) -/) 4 -). T() +/@@<- / )-- -() F ) 0.55. I -() @/< +/ ;+@<) 9 =@)+ Y2Z . I -() @/< +/ ;+@<) +)+))- -() =@)+ / ) -(S; F/,* -() > 0.2330? 20 +/@@<- -(- S; F 0, 1, 2, 3 /+ 4 ) . 0.3110? +)+))- -() =@)+/ -) / )-- -() =@)+>Y2Z, > 0.3456? P
> 0.32#0? > 0.2757?
3.
Plot binomial distribution graphs.
84
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σ ; npq =+1 p
q
85 ' G;) B200, p = ;<=) / ' q% ) σ
2
1 6
, & -()
' µ
@'
G;) B100, p =
;<=) / ' q%
' µ
) σ 2
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1 3
, & -()
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>15, 11.25 ,3.354?
' G;) -(-=)-, 70 /< -()/- / 30 -()- -)-. & %' -() ) =@)+ / -=)- -() -)-. %@' -() ;+) -() -+ );-/ / -() =@)+ / -=)- -() -)-
)' A + ) +/<<) 15 -) /-=/=<. T() +/@@<- /
>21, 6.3, 2.510?
>2.5, 2.0#3,1.443?
1
/@- -() =@)+ [2Q . & 6
%' -() ) =@)+ / -) -(=@)+ [2Q )+ %@' -() ;+) -() -+ );-/ / =@)+ [2Q /@-).
' G;) -(- 30-() @/@ F)+) +)<)) @ )- *(-)+, +/@@<- -(- @/@ F<< (- - -+)- 0.65. & %' -() ) =@)+ @/@ (- - -+)-. %@' -() ;+) -() -+ );-/ / -() =@)+ / @/@ (- -+)-
>19.5,6.#25,2.612?
86 1.
5.
S/<;) +/@<) ;/<; @/< -+@=-/. P ( )) = =r
− C, r pr nqr1+= p q
n
' I SMK S L, -() +/@@<- / =< @) <-) &/+ 3 #. C<=<-) -() +/@@<- -(- +/= / 10 -=)- +/ &/+ 3, -() =@)+ / =< @) <-) %' )-< -F/ %' <) -( -F/
@' G;) -(- 12 @/@ F)+) +)<)) @ )- *(-)+, -() +/@@<- -(- @/@ F<< (- - -+)- 0.65. <=<-) -() +/@@<- -(%' )-< 10 @/@ (- -() -+)%@' << -() @/@ (- -() -+)-
' I K=-, -() +/@@<- -(-
> 0.10##, 0.0056##?
> 0.2013, 0.677#?
' 72 / -() =< &/+ 5 -()+ --=) -)-. I 4 =< +) )<)-) - +/ +/ -() <.
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-()-+/@@<- -(-(- -() -+)%' <)- 7 (/- %' - /- 3 / -() (/- (- -() -+)-.
> 0.9306, 0.0694?
>0.942#, 0.0000154?
> 0.9303,0.0697?
' I )-/, 70 /-() -=)- ). I <) / # -=)- +/< )<)-), * -() +/@@<- -(- 6 -=)- +/ -() <) ) -() )-/.
(' S)/+ -) ) = 20 / -() /=<-/ / )--<))-. I 7 )/<) +) +/< )<)-) +/ -() )--<))-, * -() +/@@<- -(- <)- -F/ / -() +) )/+ -).
' T() +)=<- / -= (/F -(- 20 / -() =< - <) -/ (//<. I # =< +/ -() - +) (/) +/, <=<-) -() +/@@<- -(%' )-< 2 / -() <) -/ (//<
4
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1
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87
88
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>0.3056?
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>0.9077?
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>0.1996?
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>0.2640?
p (−2.907 ≤ * ≤ 1.589)
> 0.4##2?
>0.49622?
>0.94216?
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≥ 1.334 '
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>0.1#24?
≥ 0.625 '
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> 0.5320?
≤ 1.112 '
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> 0.733#?
> 0.2630?
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>1.2?
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>80.203 ?
P% 81.2 ≤ * ≤ + ' B0.2369, 0
P% \ ' B0.066#
>80.6?
P% \ ' B 0.9332
>81.511?
P% + ≤ * ≤ 0.5 ' B0.6152, 0
>1.5?
p( +
≤ * ≤ 1.327) = 0.4882, + < 0
>80.203? >80.3#?
>81.431?
>81.5?
P% \ ' B 0.#757
>1.154?
p(0.2 ≤ *
≤ + ) = 0.3056, + > 0.2
>1.2?
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> 80.2 , 0.5793?
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>44.#4? >9.012?
92
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>0.1151,42.76? > 1.1, 61.2?
> 1.03, #2.09?
93
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> 0.7357, 1250?
' T() / )- / //) ( /+< -+@=-/ F-( ) / 24# -+ );-/ / 16 . & %' T() +/@@<- -(- )- / //) (/) - +/ ( @)-F)) 240 250 . %' -() ;<=) / x 20 / -() )- / //) (/) - +/ (;) +)-)+ -( x
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>0.2412, 261.47? >0.3#3, 71.5#?
94
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>0.#054, 57.93? > 2.4976, 93.92?
> 0.9452,3.0735,?
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>0.342#, 720,274?
>0.36, 0.9##5, 0.2523,174.4?
95
96
SPM JUESTIONS PAPER 1
SPM 2003 P1 Q 29 + (/F -+ /+< -+@=-/ +( . %'
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SPM 2003 P1 Q25 I )-/, 70 / -() -=)- ). I <) / # -=)- +/< )<)-), * -() +/@@<- -(- 6 -=)- +/ -()<) ) -() )-/.
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SPM 2009 P1 Q25 +/ ;+@<) / /+< F-( I P% 0 ' B 0.312# , * P% ) / 5.2 ;+) / 1.44 . & ' >2marks? ' T() \ /+) B 6.7 @' P% 5.2 ^ ^ 6.7 '
SPM 2005 P1 Q25 T() / -=)- (//< ( /+< -+@=-/ F-( ) / 54 -+ );-/ / 12 . & ' -() / -() -=)- F(( ;) -+ /+) / 0.5 @' -() )+)-) / -=)- F-( +)-)+ -( 4# . > 4 marks?
> 0.1#72 ? >1.25 , 0.3944?
SPM 2006 P1 Q25 + (/F -+ /+< -+@=-/ +( . %' 0.34#5 O
> B 60 , 69.146?
SPM 200! P1 Q25 /-=/= +/ ;+@<) / /+< -+@=-/ F-( ) / 52 -+ );-/ / 10. & ' -() 8/+) F() B 67.2 @' -() ;<=) / F() P% ' B
SPM 200" P1 Q25 T() ) / +/= / -=)- (//< (;) /+< -+@=-/ F-( ) / 40 -+ );-/ / 5 . C<=<-) -() +/@@<- -(- -=)- (/) - +/ +/ -(
0.##49. > 4 marks?
+/= 45 / ' ( /+) -( @' @)-F)) 35 47.# . > 4 marks?
T() +/@@<- +)+))-) @ -() +) / -() () +)/ 0.34#5 . ' & -() ;<=) / @' /-=/= +/ ;+@<) F(( /+<< -+@=-) F-( ) / 79 -+ );-/ / 3. & -() ;<=) / F() -() 8 /+) . > 4 marks? >B1.03 , B #2.09? > B1.52 , B 1.20?
SPM 200# P1 Q25 T() ) / <) -<< (;) /+< -+@=-/ F-( ) / 200 -+ );-/ / 30 . ' & -() , , / <) F(/) 8/+) 0.5 .
SPM 2010 P1 Q25 T() +)-) +/ ;+@<) ( @/< +/@@<- -+@=-/ F-( B 4 F()+) -() =@)+ / -+<. + @)
> 0.15#7 , 0.7#19?
97
98 SPM JUESTIONS 8 PAPER 2
SPM 2003 P2 Q 10
SPM 2009 P2 Q11
%' S)/+ -) ) = 20 / -() SPM 200#/ P2 11 /=<-/ Q )--<))-. A )+ /- / 40 =)-/. %' -)I 7 )/<) +) +/< )<)-) E( =)-/ /<5 E--) -() =@)+ / marks?' () F)+) %@' T() =)-/ / -() F/+)+ /++)-<. -/+ ' & -() -+ /+<< -+@=-) F-( ) / / / -()42.25 =@)+ 67.#6 );-/ ;+) 2. / =)-/ 200 / -() F/+)+ -()() -/+ F)+) /++ )-<. > F)( @)-F)) 50 70. 5 ? / F/+)+ -() & -() -/-<+ =@)+ @' !+ F)+ 30 =)-/ -/+. >5 /++)-< +/< marks? (// F)+ /+ )( / -() +) 10 =)-/. & -() +/@@<- -(- () F)+ ' 36 =)-/ /++)-< ' A- <)- 32 =)-/ /++)-<. > 5 + ?
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> 0.2936, 0.79691, 0.9452,3.0735,? >0.2, 0.4232, #00, 0.6259, 319? >0.6, 0.9993,0.2743,67.63?
>? SPM 2006 P2 Q 11 SPM 200! P2 Q11 A /+(+ +/=) <)/. O< %' I =+;) ++) /=- (//<, <)/ F-( )-)+, +)-)+ -( /= -(- 2 /=- / 5 -=)- (;) +) +) +)-). T@<) ((/). I # -=)- +/ -(> 10, 2.739 , 0.01622 , 0.7560?
SPM 200" P2 Q11 T() ) / /) +/ /+(+ ( /+< -+@=-/ F-( ) / 300 -+ );-/
99
100
LINEAR PROGRAMMING ( CHAPTER 10 F5 W+- <)+ )=<-) )=-/ )+@ -=-/. C/-+
I)=<-
C/-+
I)=<-
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16.T() ;<=) / 2 <) -( 10
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3x
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1 5
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46', RM3220
y
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≤ 500 , y ≤ 3x , y ≥ 200 , 200, /- %300,200'
, A+,:
x y
≤
80 20
,+x≤ y ≥80, >y1 0, x20
B200400, %21,59', RM27,#00
,
21 ≤ x
≤ 60 ,
25%300'20%200'B11500
102
103
SPM QUESTIONS – PAPER 2
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SPM 2004 P2 J14 A -+- )=-/ /`) -) -/ /+) /=+) / -() -)( / M-()- S)) E<(. 104 T() /=+) F<< @) --)) @ M-()- +-- S)) +--. T() )<)-/ / +-- @) / -() /<3marks? @' $)), @ = <) / 2 -/ 10 +-- / @/-( ), /-+=- () -() +)/ R F(( -*) << -() @/;) /-+-.
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x
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≤x 15,
3+y, 9≤ x 5 y 225,
R, 130
'sr *
x+ y
≥ 40, y ≤ 2 x,120x + 80 y ≤ 7200 %30% 53 (13%27) % 3720
SPM 2005 P2 J 14
SPM 2006 P2 J14
105
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D&,$%'+)8 %*'&)> +4
s = displacement (distance measured from a certain point + direction) v = velocity of moving object [usually towards the right is considered positive] a = acceleration of moving object
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106
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SPM
#2 #1 [Ans : 12 +s " 30 +s#1" t = 7s" 32+s )
[Ans : 6 +s#2" 25 +s#1" #10 +s#1" 14 13+ )
QUESTIONS
#2 [Ans : 10 +s " 4 +s#1" = 12 432 + )
1. SPM 200 3 P2 Q12 A +-<) /;) -+(- <) ) -(+/=( *) /- #, F-( ;)
2. SPM 2004 P2J15 A +-<) /;) 3 +? %@' -() -) -+;)<<) =+ -() -(+ )/, >3 +? %' -() ;<=) / / - F() -() +-<) ) -() /- P , >2+? %' -() -) @)-F)) <); P F() -() +-<) +);)+) - +)-/ / /-/. > 2 +?
Answers: 4" 12" 432
1 AF)+: 1#, 17 , 9, 6 3 3. SPM 2005 P2J15 + @)
4.SPM 2006 P2 J12 A +-<) /;) -+(- <) ) -(+/=( *) /- O. I- ;)
