c Modelo Matemático: En ciencias aplicadas, un es aquel que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Un modelo matemático es la descripción matemática de una situación real. La rama de la matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente las propiedades de los modelos es la teoría de modelos. Un modelo matemático consta al menos de dos conjuntos básicos de elementos: 1.p Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar. 2.p Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo.
Esquema del proceso de modelado SITUACIÓN DEL MUNDO REAL MODELO DEL MUNDO REAL MODELO MATEMÁTICO
CONCLUSIONES
Sean x1 y x2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2, los parámetros son los costos de producción de ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si el tiempo total de producción está restringido a 500 horas y el tiempo de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como: C = 3x1 + 5x2 (Costo total de Producción) Sujeto a: 8x1 + 7x2
500
x1 0 y x2
0.
Una huerta de manzanos tiene 40 árboles por hectárea y el promedio de producción es de 300 manzanas por árbol y por año. Si por cada árbol que se plante por hectárea, además de los 40, la producción promedio disminuye en 5 manzanas y como restricción no puede haber más de 60 árboles por hectárea, exprésese la producción. La producción actual de la huerta puede obtenerse de la siguiente forma: (300)(40) = 12000 manzanas por hectárea y por año, y en general, la producción = (número de árboles por hectárea) (producción promedio anual de un árbol). Representemos por x el número de árboles plantados, además de los 40. Puesto que la producción promedio por árbol disminuye en 5 manzanas por cada árbol plantado, entonces: Producción: promedio anual de un árbol = 300 ʹ 5x; y la producción total será: P = (40 + x)(300-5x) Obsérvese que 0 ч x ч 60
ÿ c El empleo de métodos científicos (modelos matemáticos) en el análisis de procesos no es nuevo, pero la verdad es que se observa un creciente interés en los últimos diez años en este campo. Una gran parte de este crecimiento de las aplicaciones científicas se debe sin duda a la existencia y empleo de calculadoras de gran capacidad (digitales, analógicas e hibridas) que en la actualidad permiten el estudio de problemas de gran complejidad, que solamente hace unos años no se podían abordar. Para adquirir competencia en el análisis de procesos se requiere una doble capacidad por parte del ingeniero. La primera y más evidente de ellas es que debe poseer unos conocimientos sólidos y versátiles tanto en ingeniería como en matemáticas.
! !! "# !!$ El análisis de procesos se refiere a la aplicación de métodos científicos, al reconocimiento y definición de problemas, así como al desarrollo de procedimientos para su solución. Esto quiere decir: 1.- Especificación matemática. 2.- Análisis detallado para obtener modelos matemáticos. 3.- Síntesis y presentación de resultados para asegurar la total comprensión. La construcción de modelos matemáticos teóricos o semiteóricos constituye frecuentemente una necesidad preliminar. Tanto el diseño como la operación se pueden facilitar mediante la simulación del proceso o de sus partes, los modelos matemáticos de los procesos se pueden manipular mucho más fácilmente que los procesos reales, de forma más segura se puede simular una operación fuera de las condiciones o intervalos normales, y también se puede llevar a su punto más crítico o de quiebre, a fin de encontrar las condiciones de operación prohibidas.
ÿÿc c ÿ % rp Experimentación económica. Es posible estudiar procesos existentes de una forma más rápida, económica y completa que en un plano real. rp Extrapolación. Con un modelo matemático adecuado se pueden ensayar intervalos extremos de las condiciones de operación, que pueden ser imposibles de realizar en un modelo real, también es posible establecer características de funcionamiento. rp Estudio de conmutabilidad. Se pueden introducir nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros antiguos al examinar el sistema con el fin de ver si estas modificaciones son compatibles, con el fin de comparar distintos diseños y procesos que todavía no están en operación y ensayar hipótesis sobre sistemas o procesos antes de llevarlos a la práctica. rp Repetición de experimentos. En el modelo matemático se puede introducir o retirar a voluntad un error, lo cual no es posible en el plano real.
ÿÿc c Para los propósitos de ingeniería resulta conveniente, utilizar un tipo de modelo que tenga una base conceptual y no física, es decir representado por enunciados matemáticos y modelos en forma de símbolos, sobre descripciones matemáticas planteadas para ayudar y comprender procesos físicos complejos. Por supuesto que en la práctica todo esto no es tan fácil como puede parecer a primera vista. Los modelos se pueden clasificar de la siguiente manera: --Según su representación matemática rp
los que después de ser analizados matemáticamente, se representan por medio de una función lineal, se puede obtener el resultado mediante una grafica o una ecuación. rp #! los que se pueden expresar por medio de una ecuación cuadrática. Habrá ocasiones en las que no todos los datos pertenecen a la misma
curva. En dicha situación trataremos de encontrar aquella parábola que mejor represente el modelo que estamos analizando. rp &" se representan por medio de una función exponencial.Los modelos exponenciales son muy frecuentes en el estudio de crecimientos poblacionales, en el cálculo de intereses bancarios, así como también diversos fenómenos físicos. --Según la información de entrada rp
rp
! ' #(!! (del griego 'hallar, inventar'). Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado. ! "(#! (del griego relativo a la 'experiencia'). Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.
--Según el tipo de representación rp
rp
! )! o " !, estos pueden usar figuras, gráficos o descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos. ! )! o #!, usan números para representar aspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos.
--Según la aleatoriedad rp
rp
c # ! . Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados. !!. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.
--según su aplicación u objetivo rp
rp
rp
! o !#"), de situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplo con aspectos de programación lineal cuando es de manera precisa, y probabilística o heurística cuando es aleatorio. Este tipo de modelos pretende predecir qué sucede en una situación concreta dada. " * . Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemática administrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización es entera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles, pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en su cuantificación. Este tipo de modelos requiere comparar diversas condiciones, casos o posibles valores de un parámetro y ver cuál de ellos resulta óptimo según el criterio elegido. # . Para saber con precisión como está algo en una organización, investigación, área de operación, etc. Este modelo pretende ayudar a decidir qué nuevas medidas, variables o qué parámetros deben ajustarse para lograr un resultado o estado concreto del sistema modelado.
ÿ+ÿ c $ El ingeniero puede recoger datos y ver la forma en que dichos datos se ajustan a las predicciones del modelo. Si el ingeniero dispone de dos series de datos (una correspondiente al proceso real y otra al modelo) para un modelo relativamente poco complicado, suele ser preciso introducir una cantidad considerable de subjetividad en el análisis a la hora de establecer la concordancia entre las dos series de datos. En cualquier caso, si la respuesta del modelo concuerda satisfactoriamente con los resultados experimentales, aumenta la confianza del ingeniero en la aptitud de las descripciones matemáticas. Si la concordancia es mal, tal vez convenga revisar el modelo o bien intentar otro modelos de ataque.Otros criterios a considerar, además de la fidelidad, para evaluar un modelo son: rp rp rp rp
Exactitud Reproductibilidad Coste Tiempo
rp Complejidad rp Capacidad y posibilidad de aplicación. Cuando el proceso que se ha de evaluar no se puede ensayar en una forma totalmente operacional (debido al coste, tiempo, riesgo etc.) la base de evaluación debe desplazarse hacia ensayos de algunas aproximaciones del sistema, estudios en planta piloto, o bien los ensayos se pueden llevar acabo modificando las condiciones de operación del proceso real. Tales simulaciones dan lugar a nuevos problemas.
,+c +c ÿ ÿ En muchos casos la construcción o creación de modelos matemáticos útiles sigue una serie de fases bien determinadas: 1.p - de un problema o situación compleja que necesita ser simulada, optimizada o controlada y por tanto requeriría un modelo matemático predictivo. 2.p " de modelo, esto requiere precisar qué tipo de respuesta u ͞output͟ pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores relevantes, y para qué pretende usarse el modelo. Esta elección debe ser suficientemente simple como para permitir un tratamiento matemático asequible con los recursos disponibles. Esta fase requiere además identificar el mayor número de datos fidedignos, rotular y clasificar las incógnitas (variables independientes y dependientes) y establecer consideraciones, físicas, químicas, geométricas, etc. que representen adecuadamente el fenómeno en estudio. 3.p # * del modelo en la que se detallarán qué forma tienen los datos de entrada, qué tipo de herramienta matemática se usará, como se adaptan a la información previa existente. También podría incluir la confección de algoritmos, ensamblaje de archivos informáticos, etc. etc. En esta fase posiblemente se introduzcan también simplificaciones suficientes para que el problema matemático de modelización sea tratable computacionalmente. 4.p " # # ! ! los resultados obtenidos como predicciones necesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo está prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, frecuentemente se vuelve a la fase 1.
Es importante mencionar que la inmensa mayoría de modelos matemáticos no son exactos y tienen un alto grado de idealización y simplificación, ya que una modelización muy exacta puede ser más complicada de tratar y por tanto menos útil.
ÿ Es preciso reconocer que el análisis de procesos tiene algunas limitaciones importantes: La primera de ellas reside en la disponibilidad y exactitud de los datos; es decir, el éxito del análisis de procesos depende grandemente de la información básica disponible para el análisis. Los estudios que se pueden realizar con el sistema son solamente tan exactos como los datos físicos y químicos que se introducen en el modelo. La segunda limitación reside en los recursos disponibles para la manipulación de los planteamientos matemáticos que componen el modelo. Hay estructuras que son fáciles de definir y describir matemáticamente pero que no se pueden manipular con los conocimientos actuales, debido a limitaciones teóricas o de las técnicas de cálculo. En estas condiciones, aunque el modelo este bien definido y resulte adecuado para la situación real, no resultaría un método razonable para el desarrollo de predicciones. La tercera limitante en la utilización de modelos consiste en suponer que representan al sistema real fuera del intervalo de las variables para el que el modelo ha sido originalmente propuesto. Dicha extrapolación puede constituir un aspecto valioso del modelo pero puede conducir también a errores.
öö.,ÿ/ÿ 1.p ANÁLISIS Y SIMULACIÓN DE PROCESOS. DAVID MAUTNER HIMMELBLAU,KENNETH B. BISCHOFF 2.p V . RÍOS, SIXTO (1995). ALIANZA UNIVERSIDAD 3.p http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico 4.p El modelo matemático. Salvador Gorbea Portal
+ ÿ, 0p +1 +c ÿ % $ 0p +1 ÿ%c , $ 20p ,ö c ÿÿc c ÿ % 30p .4ÿÿÿ,, , ÿÿ % ÿ +1c ,ÿ ÿ$ 50p .4ÿÿÿc ,ÿcÿ +1c ,ÿ ÿ$ 60p ,ö c, ,ÿc ,ÿ,ÿ,ÿ ÿ+ÿ,+c 70p ,ö ÿÿ,ÿÿ ,+c +c ÿ % 80p ,ö +ÿ ÿ ÿ,ÿÿ, ÿc +c ÿ % 90p c ,ö ö, c c , ÿ :0p + ,ÿÿc ÿÿ % ÿ +cÿÿÿ,ÿ ,/ ÿ; , cÿc c c ÿ %
+ ÿ,, + 0p +1 +c ÿ % $ Un modelo matemático es la descripción matemática de una situación real. 0p +1 ÿ%c , $ Es la aplicación de métodos científicos, para la definición de problemas, así como al desarrollo de procedimientos para su solución. 20p ,ö c ÿÿc c ÿ % rp Experimentación económica rp Extrapolación rp Estudio de conmutabilidad rp Repetición de experimentos 30p .4ÿÿÿ,, , ÿÿ % ÿ +1c ,ÿö,ÿc rp Modelo lineal rp Modelo cuadrático rp Modelo exponencial 50p .4ÿÿÿc ,ÿcÿ +1c ,ÿ ÿ$ rp Modelos heurísticos rp Modelos empíricos 60p ,ö c, ,ÿc ,ÿ,ÿ,ÿ ÿ+ÿ,+c rp Exactitud rp Reproductibilidad rp Coste rp Tiempo rp Complejidad rp Capacidad y posibilidad de aplicación. 70p ,ö ÿÿ,ÿÿ ,+c +c ÿ % Identificación, Elección del tipo, Formalización, Comparación de resultados.
80p ,ö +ÿ ÿ ÿ,ÿÿ, ÿc +c ÿ % rp Disponibilidad y exactitud de los datos. rp Recursos disponibles para la manipulación de los planteamientos matemáticos que componen el modelo. rp Suponer que representan al sistema real fuera de las variables para el que el modelo ha sido originalmente propuesto. 90p c ,ö ö, c c , ÿ Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados. :0p + ,ÿÿc ÿÿ % ÿ +cÿÿÿ,ÿ ,/ ÿ; , cÿc c c ÿ % Teoría de modelos.
Interacción con el asunto
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Construcción Matemática
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Modelo Matemático
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0
c ÿ ÿ %
# ! Una vez delineada la situación que se pretende estudiar, debe hacerse una investigación sobre el asunto. Tanto indirectamente (a través de libros y revistas especializadas) como directamente in situ (a través de datos experimentales obtenidos con especialistas del área). Aunque hayamos dividido esta etapa en dos sub etapas, los límites entre ambas no son tajantes: el reconocimiento de la situación-problema se torna cada vez más claro, a medida que se van conociendo los datos. !# Ésta es la etapa más compleja y desafiante. Estásubdividida en formulación del problema y solución. Esaquí que se da la ͞traducción͟ de la situación-problema allenguaje matemático. Intuición y creatividad son elementosindispensables en esta etapa. Se debe concluir esta subetapa con un conjunto de expresiones aritméticas y fórmulas, o ecuacionesalgebraicas, o gráfico, o representaciones, o programa computacional que nos lleven a la solución o nos permitandeducir una. Para poder concluir el modelo, se torna necesario un chequeo para así comprobar, en qué nivel éste se aproxima al problema real y a partir de ahí, poder utilizarlo. De esta forma, se hace primero la #"# del modelo y posteriormente, se comprueba la =) . Para interpretar el modelo se analizan las implicaciones de la solución, derivada del modelo que estásiendo investigado. Entonces, se comprueba la adecuación del mismo, volviendo al problemainvestigado, evaluando cuán significativa y relevante es la solución. Si el modelo no atiende a las necesidades que lo generó, el proceso debe ser retomado en la segunda etapacambiando hipótesis, variables, etc. Es importante al concluir el modelo, elaborar un informe en el que se comuniquen todas las facetas deldesarrollo, con el fin de propiciar su uso.
