Las Ecuaciones Diferenciales Como Modelos Matematicos

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMATICOS. El comportamiento de un sistema o fenmeno !ue ocurre en la "ida real se puede descri#ir en t$rminos matem%ticos& modelo matem%tico. Estos sistemas pueden ser f'sicos& sociol(icos& ) posi#lemente econmicos. A la descripcin matem%tica del fenmeno o sistema se llama modelo matemático . El modelo matem%tico se estructura esta#leciendo el o#*eti"o p or alcan+ar ) el ni"el de comple*idad o resolucin. El proceso de estructuracin del modelo matem%tico es el si(uiente, i. Iden Identi tifi fica carr las las "ari "aria# a#le less !ue !ue inte inter" r"ie iene nen n en el sist sistem emaa ) !ue !ue det deter ermi minan nan los los cam#ios !ue se producen. Dependiendo del ni"el de resolucin esta#lecido se  pueden de*ar de incluir al(unas de las "aria#les identificadas. ii. ii. Esta Esta#l #lec ecer er un un con* con*unt unto o de -ip -ipt tes esis is ra+ ra+on ona#l a#les es acer acerca ca del del fen fenme meno no o sis siste tema ma !ue se trata de descri#ir. Estas -iptesis tam#i$n inclu)en las le)es emp'ricas !ue son aplica#les al fenmeno o sistema. Como las -iptesis relati"as a un sistema implican la razón de cambio  de una o m%s de las "aria#les& el enunciado matem%tico de todas esa -iptesis es una o m%s ecuaciones !ue contienen deri"adas. or lo tanto& el modelo matem%tico del sistema o fenmeno es una ecuacin o sistema de ecuaciones diferenciales. Una "e+ esta#lecido el modelo matem%tico del sistema& sea una ecuacin o un sistema de ecuaciones& se tiene !ue resol"er. Una "e+ determinada la solucin se puede compro#ar si es consistente con los datos e/perimentales o co nocidos del comportamiento del sistema. S' las predicciones con #ase en la solucin son deficientes se puede ele"ar el ni"el de resolucin esta#lecido o ela#orar -iptesis alternati"as so#re los elementos del cam#io en el sistema& "ol"iendo a repetir los pasos del proceso de modelado& se(0n el cuadro si(uiente.

3iptesis

E/presar las -iptesis en termino de ecuaciones diferenciales

Si es necesario modificar las -iptesis o aumentar la resolucin del modelo.

Compro#ar las  predicciones del modelo con -ec-os conocidos

Modelo Matem%tico

Resol"er las ecuaciones diferenciales

Mostrar las soluciones )  predicciones del modelo en forma (rafica

O#tener las soluciones

Cuando el modelo matem%tico induce a la "aria#le t & el tiempo1 la solucin de la ecuacin o ecuaciones diferenciales determinara el estado del sistema . De tal manera !ue para "alores adecuados de t & los "alores de la "aria o "aria#les dependientes descri#ir%n al sistema en el  pasado& presento o futuro& E2EMLOS DE MODELADO& Crecimiento o Decaimiento& De o#lacin.

El economista in(les Malt-us o#ser"o en el si(lo 45II& !ue el crecimiento demo(r%fico -umano& se #asa en la -iptesis de !ue la ra+n de cam#io de la po#lacin es proporcional a la po#lacin total P 6t 7& lo cual se puede descri#ir por el modelo matem%tico, dP dt

µ  P

o #ien

dP

  = P  dt  

donde P  representa a la po#lacin& ) k es una constante de proporcionalidad !ue inclu)e diferentes factores6sociales& econmicos& pol'ticos& f'sicos& etc. 7 !ue inclu)en en el crecimiento de la po#lacin Desinte(racin o decaimiento radioacti"o& En un elemento inesta#le o radioacti"o& los nucleos 6formados por neutrones ) protones7 de los atomos del elemento se desinte(ran o se con"ierten en n0cleos de atomos de otros elementos. or e*emplo& el elemento radio Ra 889 con el tiempo se transforma en (as radon Rn 888. para esta#lecer el modelo matem%tico de este fenmeno& se esta#lece la -iptesis de !ue la cantidad de material radioacti"o cam#ia con el tiempo con una ra+n proporcional a la cantidad de material e/istente en el tiempo actual. dA dt 

=

kA

donde A res la cantidad actual de material radioacti"o ) k  una constante de  proporcionalidad !ue in"olucra a la "ida media del material& es decir la cantidad de tiempo en !ue se desinte(ra la mitad de cual!uier cantidad del material.