EJEMPLO 1: Crecimiento de bacterias Inicialmente en un cultivo hay P 0 número de bacterias. En t = 1 h, se mide 3
que el número número de bacterias bacterias presentes presentes es
2
P0. Si la tasa de crecimiento
es prop propor orci cion onal al al númer número o de bact bacter eria ias s P(t P(t que que hay hay en el inst instan ante te t, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique.
Solución: Primero resolvemos la ecuaci!n di"erencial en (1 su#eta a la condici!n 3
inicial P(0 = P 0. $ue%o usamos la observaci!n emp&rica de que P(1=
2
P0
para determinar la constante de proporcionalidad '. hora ya ha visto que la ecuaci!n dP)dt= 'P es separable y lineal. *onde los s&mbolos P y t, a la ve+, desempean las partes de y y -, una "amilia de soluciones de la ecuaci!n di"erencial es P(t = e't
En t = 0, se concluye que de modo que P 0 = e0 = , de modo que P(t = 3
P0e't . En t = 1, tenemos
2
3
P0 = P0e't o e't =
2
. Por la última ecuaci!n,
3
'= ln
2
= 0./0. s&,
P(t= P0e0./0t
Para encontrar el momento en que el número de bacterias se triplica, resolvemos P0 = P0e0./0t para t. Se concluye que 0./0t = ln , de modo que
ln 3
t=
GRAFICA
E
0.4055
≊ 2.71
h.
LA
SOL!CI"#:
2ota3 $a "unci!n P(t obtenida en el e#emplo precedente puede escribirse en "orma alterna. Por la ley de los e-ponentes,
3 't
' t
P(t= P0e = P0(e = P0(
2
t ,
3 '
puesto que e =
2
. Esta última soluci!n es una "orma id!nea para
calcular P(t para valores enteros positivos pequeos de t4 tambi5n muestra con claridad la in6uencia de observaciones e-perimentales subsecuentes en t = 1 en la soluci!n durante todo el tiempo. simismo, observamos que el número verdadero de bacterias presentes inicialmente, en el instante t = 0, es bastante irrelevante para encontrar el tiempo requerido para triplicar el número de bacterias en el cultivo. El tiempo necesario para triplicar, por e#emplo, 100 e incluso 100 000 bacterias si%ue siendo apro-imadamente de 7.8 h.
Ejemplo: El isótopo radiactivo Plutonio 241 decae de forma que satisface la ecuación diferencial.
dQ =−0.0525 Q dt
En donde Q se mide en miligramos y t en años. a) Determine la vida media del plutonio 241. !) "i en este momento se cuenta con #$ %g de Plutonio% &'u(nto quedara en 1$ años
Solución: dQ =−0.0525 Q dt
=∫ −0.0525 dt ∫ dQ Q
ln ( Q )=−0.0525 t + C
−0.0525 t + C
Q= e
− C * e . e
Q (t )=C e
−0.0525 t
"ea Q +$), 'antidad inicial de Plutonio 241% en mg De donde, Q +$) *
Q0
, cantidad de Plutonio en t*$
0.0525 t
"ustituyendo se o!tiene, Q ( 0 )=C e
−0.0525( 0)
Q ( 0 ) =C e
0
Q0=C
Por lo que, − 0.0525 t
Q (t )=Q 0 e
a) -a vida media es el tiempo t que de!e transcurrir para que se desintegre la mitad del material radiactivo Q / 2 . De tal manera que , 0
− 0.0525 t
Q (t )=Q 0 e
−0.0525t
lne
=ln
=
Q0 2
1 2
ln
t ¿
1 2
−0.0525
−0.6931 * −0.0525
* 1 años
Repuesta, la vida media del Plutonio 241 es de 1 años.
!) "e tiene Q0
* #$ mg
t =10 años
"ustituyendo se o!tiene,
−0.0525 ( 10)
Q (10 )=−50 e
−0.525
Q (10 )=50 e
Q (10 )=50 x 0.592
Q (10 )=29.6
mg
Repuesta, en 1$ años quedara 2/.0 mg de Plutonio 241 9I* :E*I3 En "&sica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radioactiva. $a vida media es simplemente el tiempo necesario para que la mitad de ;tomos en una cantidad inicial 0 se desinte%re, o transmute, en los ;tomos de otro elemento. En t5rminos de la s oluci!n (t= e 't de (7, la 1
vida media de u elemento que decae es el tiempo t para el cual (t=
2
0.
:ientras m;s lar%a sea la vida media de una sustancia, m;s estable es. Por e#emplo, la vida media del radio altamente radiactivo,
, es alrededor de 1800 aos. En 1800 aos la mitad de una cantidad dada se transmuta en .
Ejemplo: +Edad de un fósil). 1
"e encontró que un ueso fosili3ado contiene
1000
de la cantidad
original de '14. Determine la edad del fósil. "-5'678, El punto de partida es la ecuación diferencial dA/dt = kA% donde A(t) es la cantidad de '14 restante en el instante t . "i A
0
es la cantidad inicial de '
14 en el ueso% como en el e9emplo 1 se concluye que,
kt . e
A 0
A(t) *
1
Podemos usar el eco de que A(5730) =
2
A0
para determinar l constante 1
de decaimiento k . :acer t * #;$ en A(t) implica
2
A0
* A . e 0
5730 k
y
1
entonces de #;$k * ln
* ln2 se encuentra que,
2
1
k *
5730
En consecuencia% A(t) * A . 0
ln2 * $.$$$12$/;
−0.00012097t
e
. Entonces% la edad del fósil se 1
determina a partir de la ecuación A(t) * 1 1000
A0
*
A 0
.
−0.00012097t
e
1000
A0
. Es decir% 1
y as< $.$$$12$/;t * ln
1000
* ln1$$$
produce, ln 1000
t *
0.00012097
* #;1$ años.
-a feca encontrada en el e9emplo 2 est( en realidad en la frontera de la precisión para este m=todo. -a t=cnica de costum!re del car!ono 14 est( limitada a alrededor de / idas medias o apro>imadamente #$$$$ años. 5na ra3ón es que el an(lisis qu
del '14 restante se vuelve formida!le alrededor del punto de
1000
A0
.
?dem(s% este an(lisis demanda la destrucción de una muestra m(s !ien grande del esp=cimen. "i esta medición se logra indirectamente% con !ase en la radiactividad verdadera del esp=cimen% entonces resulta muy dif
niveles de '14 en el aire var
E$em%lo: En"riamiento de un pastel uando un pastel se retira del horno, su temperatura es de 00 BC. Dres minutos despu5s su temperatura es de 700 BC. *etermine la temperatura del pastel en cualquier instante despu5s que se ha sacado del horno si la temperatura ambiente es de 80BC.
Solución: $a temperatura ambiente (80 BC se identica como D m. Para encontrar la temperatura del pastel en el instante t, es necesario resolver el problema con valor inicial. dT = k ( T −70 ) , T ( 0 )=300 dt
F determinar el valor de ' de modo que D( = 700. $a ecuaci!n di"erencia es separable y lineal. En el supuesto de que D G 80, por separaci!n de variables se concluye que 1
T −70
dT =k dt
∫ T −170 dT =∫ k dt ln
( T −70 )= kt + C
T −70=C e T =70 + C e
kt
kt
300=70 + C
uando t = 0, D = 00, de modo que consecuencia T ( t )=70 + 230 e e
kt
.
partir
de
proporciona
C =230
T ( 3)= 200 se
y en
encuentra
= 13 y as&, hasta cuatro ci"ras decimales, con una calculadora da 23
kt
1
13
3
23
k = ln
Entonces,
=−0.1902 −0.1902 k
T ( t )=70 + 230 e
EJEMPLO “MEZCLA DE UNA SOLUC!N SALNA" 6nicialmente% #$ l! de sal se disuelven en un gran tanque que contiene $$ galones de agua. 5na solución de salmuera de !om!ea acia el tanque a ra3ón de galAmin% y luego la solución !ien me3clada se e>trae al mismo ritmo. "i la concentración de la solución que entra es 2 galAl!% determine la cantidad de sal en el tanque en el instante t. &'u(nta sal ay despu=s de #$ min &B despu=s de un gran tiempo SOLUC!N: "ea ? +t) la cantidad de sal +en li!ras) en el tanque en el instante t. Para pro!lema de esta clase% la ra3ón neta a la que ? +t) cam!ia est( dada por
(
dA razónde la sustancia = dt queentra
)−(
razóndela sustancia que sale
)=
R 1− R 2
(/
-uego% la ra3ón a la que la sal entra al tanque% en li!ras por minuto% es <1 = ( %al)min. (7 lb)%al = > lb)min.
Cientras que la ra3ón a la que la sal sale es A
<7= ( %al) min. (
Por tanto% la ecuación +4) se vuelve
300
A
lb)%al =
100
lb)min.
dA dt
A
= > H
dA dt
o
100
1
= >.
100
(
esolvemos la ltima ecuación su9eta a la condición inicial ? +$) * #$. t / Puesto que el factor de integración es e % podemos escri!ir +#) como 100
d dt
F por tanto
e
t / 100
(
t
e
100
)
A =6 e
A =6 e
t / 100
t / 100
+ CoA=600 + C e−t /
100
. uando t=0, =0, de
modo que = 0. Por último, obtenemos −t / 100
A ( t ) =600−550 e
(>
En t=0 se encuentra (0 = 7>>./1 lb. Dambi5n, cuando t y que
J por (>
>00. Por supuesto, esto es lo que esper;bamos4 durante un
lar%o periodo el número de libras de sal en la soluci!n debe ser (00 %al (7 lb)%al = >00lb. En el e#emplo / se asumi! que la ra+!n a la que se bombeaba la soluci!n era la misma que la ra+!n a que se e-tra&a la soluci!n. Sin embar%o, esto no
necesariamente es as&4 la soluci!n de salmuera me+clada puede
bombearse a una ra+!n m;s r;pida o m;s lenta que la ra+!n a que se bombea a otra soluci!n. Por e#emplo, si la soluci!n bien me+clada se e-trae a la ra+!n m;s lenta de 7 %al)min, entonces la soluci!n se acumula a ra+!n de (7 %al)min = 1 %al)min. l cabo de t minutos hay 00 t %alones de salmuera en el tanque. Entonces, la ra+!n a la que emer%e la sal es 2 A
A
<7 = (7 %al)min. (
300 + t
$b)%al =
En este caso, la ecuaci!n (/ se vuelve
300 + t
lb)min.
dA dt
2 A
= > H
300 + t
2 300 + t
= >.
(8
Se muestra que la ecuaci!n se observa que es lineal.
o
dA dt
