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Mate mática I
Guía de Teoría y Práctica Matemática I Semana Nº 4
III. MODELOS MATEMATICOS Y APLICACIONES 3.1 Introducción 3.2 MODELOS LINEALES Función lineal
la función f definida por f ( x) mx b donde “m” y “b” son constantes, es una función lineal
Las funciones lineales desempeñan una importante función en el análisis cuantitativo de los problemas comerciales y económicos. En primer lugar, muchos problemas que surgen en estos y otros campos son lineales por naturaleza o en los intervalos de interés, por lo que pueden formularse en términos de funciones lineales. En segundo lugar como, como es relativamente relativamente sencillo trabajar con funciones lineales, con frecuencia frecuencia se establecen establecen hipótesis en la formulación de ciertos ciertos problemas que comprenden linealidad. En muchos casos estas hipótesis son justificadas y se obtienen modelos matemáticos aceptables que aproximan las situaciones reales.
Funciones de Costo, Ingreso y Ganancia G anancia sea x el número de unidades de un producto fabricadas o vendidas, entonces:
La función de costos costos totales es C ( x) Costo total de fabricación de x unidades del producto Costos fijos Costos var iables
La función de Ingresos es
I ( x) Ingresos totales obtenidos por la venta de x unidades
La función de Ganancia es
G ( x) Ganacia total obtenida por la fabricación y la venta de x unidades del producto
En general, es bastante probable que las funciones de costos totales , ingresos y ganancia relacionadas con una compañía no sean lineales ( estas funciones las estudiaremos mejor mediante las herramientas del cálculo), pero las funciones de costos, ingresos y ganancias lineales sí surgen en la práctica. Por lo general., los costos realizados al operar una empresa se clasifican en dos categorías. Los costos que permanecen más o menos constantes, constantes, cualquiera era que sea el nivel de actividad actividad de la compañía, son los costos fijos, por ejemplo pago de renta y sueldo sueldo de los ejecutivos. ejecutivos. Los costos que varían con la producción o las as ventas son los costos variables. Algunos ejemplos de costos variables son la mano de obra y los gastos en materia prima. Supongamos que una empresa tiene costos fijos por k dólares, un costo de producción de c dólares por unidad, y un precio de venta de s dólares por unidad, entonces la función de costo C(x), ingresos I(x) y ganancia G(x) para esta empresa está dada por:
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C ( x) cx k I ( x ) sx
G( x ) I ( x) C ( x), ingresos cos tos donde x denota la cantidad de unidades del artículo producidas y vendidas. Las funciones C, I y G son funciones lineales de x.
Ejemplo1 Isalmir, fabricante de filtros de agua, tiene costos fijos por $20,000, costos de producción de $20 por unidad y un precio de venta unitario de $30. determinar las funciones de costos, ingresos y ganancias para Isalmir.
Solución Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces. C ( x) 20 x 20 000 I ( x) 30 x
G ( x ) I ( x) C ( x )
30 x (20 x 20000) 10 x 20000 Punto de equilibrio cuando no la ganancia es nula, es decir: G ( x) I ( x) C ( x) 0 entonces I ( x) C ( x)
Ejemplo 2 La compañía Lalos fabrica sus productos con un costo de $4 por unidad y los vende a $10 la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de $12000 al mes, determinar el punto de equilibrio de la empresa.
Solución
Tenemos entonces: I ( x) C ( x) reemplazando se tiene I ( x) C ( x )
10 x 4 x 12000 6 x 12000 x 2000 Así, para una operación de equilibrio, la empresa debe fabricar 2000 unidades de su producto, a fin de producir un ingreso de I ( 2000) 10( 2000) $20000
EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Depreciación lineal. Cuando se terminó en 1995, un edificio de oficinas tenia un valor de $1 millón y se deprecia linealmente durante 50 años. ¿Cuál será el valor contable en el 2000 y en el 2005? (Suponga que su valor de desecho es de $0)
2- Depreciación lineal. Un automóvil adquirido por una empresa para uso del gerente a un precio de $14000 se deprecia linealmente durante 5 años. ¿Cuál será el valor contable del vehículo al final de 3 años? (Suponga que su valor de desecho es de $0)
3- Funciones de Ganancia. La gerencia de empresa TMI determina que los costos fijos mensuales correspondientes a la división que fabrica cierto tipo de cinta ascienden a $12100. si el costo de producción de cada cinta es de $0.60 y cada cinta se vende a $1.15, encuentre las funciones de costos, la de ingresos y de ganancias de la compañía.
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4- Análisis de equilibrio . Auto-Time fabricante de cronómetros, tiene gastos mensuales de $48000 y un costo unitario de producción de $8. los cronómetros de venden a $14 cada uno. a- trace la gráfica de función de costos y la función de ingresos y determine gráficamente el punto de equilibrio. b- encuentre el punto de equilibrio en forma algebraica. c- trace la gráfica de la función ganancia. d- ¿En que punto cruza la gráfica de la función de ganancia el eje x? Interprete el resultado.
5- Análisis de decisiones. Un producto se puede fabricar con la máquina I o la máquina II. El fabricante estima que los costos fijos mensuales por el uso de la maquina I son de $18000 y de $15000 con la maquina II. Los costos variables de fabricación de una unidad del producto utilizando la máquina I y la máquina II son de $15 y $20, respectivamente. El producto de vende a $50 cada uno. a- Halle las funciones de costos asociados con el uso de cada máquina. b- grafique las funciones de costo de a) y las funciones de ingresos en el mismo eje de coordenadas. c- ¿Cuál máquina debe elegir la gerencia para maximizar su ganancia, si las ventas proyectadas son de 450 unidades, 550 unidades y 650 unidades? d-¿Cuál es la ganancia para cada caso en c)?
3.3 MODELOS CUADRATICOS f ( x) ax 2 bx c
a0
Propiedades 1- el dominio de f es el conjunto de todos los números reales. 2- Si a 0 , la parábola se abre hacia arriba, y si a 0 , hacia abajo b b 3- El vértice de la parábola es ( , f ( )) 2a 2a 4- Las intersecciones con el eje x ( si existen ) se determinan resolviendo f ( x) 0 y con el eje y es f (0) c
Muchas aplicaciones requieren cierto conocimiento de las funciones cuadráticas y para esto es necesario el saber encontrar el vértice. Ya hemos visto que la gráfica de una función cuadrática f ( x ) ax 2 bx c vértice en (
b
2a
, f (
b
2a
a 0 , es una parábola con
) ) , este vértice es el punto más alto de la gráfica si a 0 y el más bajo si a 0 .
Si el vértice es el punto mas alto si a 0 , entonces f (
Si el vértice es el punto mas bajo si a 0 , entonces f (
b
2a b
2a
) es el valor máximo. ) es el valor mínimo.
Ejemplo1 En una tienda donde se venden calculadoras se ha encontrado que cuando las calculadoras se venden a un precio de x dólares por unidad, el ingreso I como una función del precio x es I ( x) 750 x 2 15000 x . ¿Cuál debe ser el precio unitario para poder maximizar el ingreso? Si se cobra ese precio, ¿cuál será el ingreso máximo?
Solución Nos damos cuenta fácilmente que en nuestro caso a 750 b 15000 y c 0 , ya que a 0 , el vértice es el punto mas alto de la parábola. Por lo tanto, el ingreso es máximo cuando el precio es
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x
b 2a
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15000 15000 10 1500 2 ( 750)
El ingreso máximo I es 2 I (10) 750(10) 15000(10) 75000
Ejemplo 2
La función de demanda para un producto es p 1000 2q , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semana) por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximizará el ingreso total del productor y determinar ese ingreso.
Solución
Recordemos que: Ingreso total = (precio) ( cantidad) I ( q) pq
(1000 2q) q 1000 q 2q 2 observe que I es una función cuadrática en q, con a 2 b 1000 y c 0 ya que a 0 , el vértice es el punto mas alto de la parábola. Por lo tanto, el ingreso es máximo cuando el precio es b 1000 q 250 2a 2 ( 2) el valor máximo de I esta dado por I ( 250) 1000 ( 250) 2( 250)
2
250,000 125,000 125,000 Así, el ingreso máximo que el fabricante puede recibir es de $125,000, y ocurre en un nivel de producción de 250 unidades.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Como aprovechar al máximo una cerca. Un granjero tiene 4000 metros de cerca y quiere bordear un terreno rectangular que colinda con un río. Si él no cerca el lado que está a lo largo del río, ¿ Cuál es la mayor área que puede abarcar?
2- Construcción de canalones. Un canalón para captar agua es fabricado con hojas de aluminio de 12 pulg. De ancho, doblando los lados 90 0 hacia arriba. ¿ Qué profundidad proporciona la mayor área de sección transversal y con ello permite el mayor flujo de agua?
3- Las papas fritas generan una ganancia enorme (150 a 300%) en muchos restaurantes de comida rápida. La gerencia desea, por lo tanto, maximizar el número de bolsas vendidas. Suponga que un modelo matemático que conecta p , la ganancia por día de la venta de papas fritas (en decena de dólares) y x , es el precio por bolsa (en décimos de dólar), es p = -2 x 2 +24 x + 8 . (a) Encuentre el precio por bolsa que conduce a la ganancia máxima. (b) ¿Cuál es la ganancia máxima? 4- Claudia Dávila es la dueña de una fábrica de cadenas. Su ganancia semanal (en cientos de dólares) está dada por P(x) = -2 x2 + 60 x – 120, donde x es el número de cajas de cadenas vendidas. (c) ¿Cuál es el mayor número de cajas que puede vender y aún obtener una ganancia? (d) Explique cómo es posible que pierda dinero si vende más cajas que la respuesta obtenida en la parte (a) (e) ¿Cuántas cajas debe fabricar y vender para maximizar su ganancia? 5- El ingreso de una empresa de autobuses depende del número de asientos no vendidos. Si se venden 100 asientos, el precio es de $50. Cada asiento no vendido incrementa el precio por asiento en $1. Sea x el número de asientos no vendidos. (f) Escriba una expresión para el ingreso. (g) Encuentre el número de asientos no vendidos que producirá el ingreso máximo
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(h) Encuentre el ingreso máximo. 6- La señora Linares quiere encontrar el mejor tiempo para llevar sus cerdos al mercado. El precio actual es de 88 centavos por libra y sus cerdos pesan en promedio 90 libras. Los cerdos ganan 5 libras por semana y el precio en el mercado para los cerdos está disminuyendo cada semana 2 centavos por libra. ¿Cuántas semanas debe la señora Linares esperar antes de llevar sus cerdos al mercado para recibir la máxima ganancia de dinero posible? En tal tiempo, ¿cuánto dinero (por cerdo) obtendrá? 7- Un jardín rectangular limitado por un lado por un río va a cercarse por los otros tres lados. El cerco para el lado paralelo al río cuesta $30 por pie y para los otros dos lados cuesta $10 por pie. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín de máxima área posible, si van a gastarse $1200 para el cerco?
3.4 MODELOS EXPONENCIALES Tradicionalmente, el estudio de los logaritmos ha ido inevitablemente acompañado de las tablas logarítmicas y del estudio de conceptos tales como el de mantisa, característica, cologaritmo... Hoy en día esto ya no es necesario. Con la creciente utilización de las calculadoras en todos los niveles, el cálculo logarítmico se ha simplificado enormemente. Por tanto, en este tema se prescindirá del manejo de las tablas y de su explicación.
FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función exponencial es una función de la forma: x
f ( x) a donde “a” es un número real positivo distinto de uno, y su dominio es el conjunto de los números reales
Si a 1 , tendremos una función creciente. (fig 1) Si 0 a 1 , tendremos una función decreciente (fig 2)
fig 1
fig 2
Observamos que en ambos caso su Dominio es todos los reales y su Rango los reales positivos.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Alcohol y Manejo.
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Es posible medir concentración de alcohol en la sangre de una persona. Investigaciones medicas recientes siguieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener un accidente automovilístico se modela mediante la ecuación R 6e kx Donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k una constante. a) Suponga que una concentración de alcohol en la sangre de 0.04 produce un riesgo de 10% (R=10) de sufrir un accidente. Determine la constante K de la ecuación. b) Utiliza el valor de k e indique cual es el riesgo si la concentración es de 0.017 c) Con el mismo valor de k encuentre la concentración de alcohol correspondiente a un riesgo de 100 por ciento. d) Si la ley establece que las personas con riesgo de sufrir un accidente del 20% o de mayor no deben de manejar, ¿con cuál concentración de de alcohol en la sangre debe un conductor ser arrestado y multado?
Nota
En la mayor parte de los estados unidos, al conductor que rebasa el 0.10 de contenido de alcohol en la sangre se le multa y se le hace llegar un citatorio. En algunos estados basta con el 0.08
2- Curvas de aprendizaje En ocasiones los sicólogos utilizan la función. L (t ) A(1 e kt ) Para medir la cantidad L aprendida en el tiempo t. El número A representa la cantidad por aprender y k mide el nivel de aprendizaje. Suponga que un estudiante debe aprender un total de A=200 palabras del vocabulario. Un psicólogo determina que el estudiante aprendió 20 palabras del vocabulario cada 5 minutos. a) Determine la tasa de aprendizaje k. b) ¿Aproximadamente cuántas palabras habrá aprendido el estudiante después de 10 minutos? c) ¿Y después de 15 minutos? d) ¿Cuánto tiempo el estudiante tardará en aprender 180 palabras?
3- Recuperación de una herida La recuperación normal de una herida se puede modelar mediante una función exponencial. Si A0 representa el área original de la herida y A es igual al área de la herida después de n días, entonces la fórmula 0.35n
A A0 e
Describa el área de una herida en n-ésimo día después de una lesión, si no hay infecciones que retarden le recuperación. Suponga que una herida tiene un área inicial de 1 centímetro cuadrado. a) Si hay un proceso de recuperación, ¿Cuántos días deben transcurrir antes de que la herida tenga la mitad de su tamaño original? b) ¿Cuánto tiempo antes de que tenga 10% de su tamaño original?
El modelo logístico Anteriormente, cuando analizamos el crecimiento de poblaciones mencionamos que una función de crecimiento exponencial puede utilizarse para crecimientos de poblaciones sin restricciones de sus medios ambientes. Sin embargo cuando el hábitat impone limitaciones sobre el crecimiento, el crecimiento exponencial no continua de manera indefinida, y eventualmente el tamaño de la población se nivela. La función que se utiliza con mayor frecuencia para modelar un crecimiento con restricciones de esta clase se denomina modelo logístico. Tiene como base la ecuación siguiente par el tamaño de la población.
y
ym
1 Ce kt
Aquí y es el tamaño de la población en el instante t y ym , C y k son tres constante positivas. La gráfica común se muestra a continuación
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Observamos que cuando t se hace muy grande e kt se hace muy pequeño de modo que el denominador den la ecuación se hace cada vez más cercano a 1, por lo tanto se hace más próximo a ym , cuando t se hace mas grande. Esto es evidente que la gráfica se aproxima a la recta horizontal ym .
EJEMPLO (CRECIMIENTO LOGISTICO POBLACIONAL) Cierta población crece de acuerdo con la ecuación logística, con constantes ym 275 millones , C=54 y k= ( Ln12) /100 . La variable t se mide en años, ¿Cuál es el tamaño de la población cuando t=0, 100 y 200?
Solución Cuando t=0, el tamaño es y0
ym
1 Ce
0
275 5 millones 1 54
Sustituimos t=100 en la ecuación y
ym
y
275
1 Ce k 100 100k Ln12 , por lo tanto e100k 1/12
, ahora bien tenemos que k= ( Ln12) /100 .es decir:
Reemplazando tenemos: 1 54(1 /12)
50 millones
Cuando t=200 en la ecuación y
ym
1 Ce
k100
ym
1 C ( e k 100 ) 2
275 275 200 millones 1 2 3 1 54( ) 1 ( ) 12 8
Este ejemplo proporciona una aplicación aproximada de la ecuación logística a la población de Estados Unidos en los años 1777 (t=0) a 1977(t=200) La ecuación logística se utiliza en muchas situaciones diferentes a las del crecimiento de poblaciones. Las características esenciales de la función logística son que para valores pequeños de t, se parece a una función exponencial, mientras que para valores grandes de t, se nivela y aproxima cada vez más a un cierto valor límite. Estas características acontecen en varios fenómenos y explica el amplio uso de esta función. Un ejemplo es la difusión de información en una población. Por ejemplo la información podría ser una noticia, un rumor, o el conocimiento de acerca de un nuevo producto que se ha lanzado recientemente al mercado. Si p representa la proporción de la población que está al corriente de la información, entonces para valores pequeños de t, p es pequeña y crece comúnmente de una manera exponencial. Sin embargo, p no puede exceder a 1, y cuando t se hace mas grande, p se hace más cercana a ese valor conforme la información se difunde en toda la población. Utilizando la ecuación logística, modelaríamos a p por medio de la siguiente expresión.
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p
1 Ce kt
EJEMPLO- (DIFUSION DE INFORMACIÓN) En t=0, 10% de los corredores de bolsa han escuchado acerca del inminente colapso financiero de una gran aerolínea. Dos horas después, 25% han escuchado tal información. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el 75% la haya escuchado?
Solución Si t=0, determinamos que p
1
Ahora para t 2 , tenemos: p
1
k (0)
1 Ce Por lo tanto: 1 C 10 , entonces C 9
1 Ce
k (2)
1 1 C
0.1
1 1 9e2 k
0.25
Entonces: 1 9e 2k 4 , es decir e2k
1 3
Tomando logaritmos naturales a ambos miembros, encontramos que: k
1 Ln3 2
Como ya hemos encontrado los valores de k y C, conocemos la forma precisa de p como una función de t. Deseamos calcular el valor de t en el punto p 0.75 p
1 1 9e
kt
1 9e kt e kt
0.75
3 4
4 3 1
27
Tomando nuevamente logaritmos naturales a ambos miembros tenemos.5770 kt Ln(
1 27
) Ln (27) kt Ln27
Despejando t se tiene: t
ln 27 k
Ln 27
1 Ln3 2
Ln3 2 Ln(33 ) 6 6 Ln3 Ln 3
Por lo que pasan 6 horas antes de que el 75% de los corredores de bolsa hayan escuchado acerca del colapso de la aerolínea.
Ejercicios Propuestos. 1-
Crecimiento exponencial - En condiciones iniciales ideales de laboratorio, la cantidad de bacterias en un cultivo crece de acuerdo con la ley Q(t ) Q0 ekt , donde Q0 denota el número de bacterias presentes en un principio en el cultivo, k es cierta constante determinada por el tipo de bacteria y t es el tiempo transcurrido medido en horas. Si existen 10000 bacterias presentes en un principio en un cultivo y hay 60000 dos horas después ¿Cuántas bacterias habrá el cabo de 4 horas?
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Decrecimiento exponencial - La cantidad de sustancias radiactivas disminuyen en forma exponencial; por ejemplo, la cantidad de radio presente en cualquier instante t obedece la ley Q(t ) Q0e kt , donde Q0 es la cantidad presente al inicio, k es cierta constante adecuada. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que una cantidad determinada se reduzca a la mitad. Se sabe que la vida media del radio es de unos 1660 años. Suponga que al principio hay 200 miligramos de radio puro. Determinar la cantidad restante después de t años. ¿Cuál es la cantidad restante después de 800 años?
3-
Decrecimiento exponencial - El carbono 14, un isótopo radiactivo del carbono tiene una vida media de 5770 años. ¿Cuál es su constante de desintegración?
4-
Decrecimiento exponencial - Un cráneo encontrado en un sitio arqueológico tiene la décima parte de cantidad de C-14 que contenía originalmente. Determinar la edad aproximada del cráneo?
5-
Procesos de aprendizaje - La división de cámaras fotográficas de la compañía Eastman produce una cámara digital con un lente de 35 mm, el modelo M. El departamento de capacitación de Eastman determina que, después de concluir el programa de capacitación básico, un trabajador nuevo, sin experiencia previa, podría ensamblar.
Q(t ) 50 300 e
0.5t
Cámaras modelo A cada día, t meses después de iniciar su trabajo en la línea de ensamblaje. a- ¿Cuántas cámaras modelo A puede ensamblar diariamente un trabajador nuevo, después de la capacitación básicas? b- ¿Cuántas cámaras modelo A puede ensamblar al día un trabajador con uno, dos y seis meses de experiencia? c- ¿Cuántas cámaras modelo A puede ensamblar diariamente un trabajador experimentado promedio? 6-
Diseminación de una epidemia – Durante una epidemia de gripe, la cantidad de niños del sistema escolar del distrito de los Olivos que contrajeron la enfermedad después de t días está dado por
Q (t )
1000 1 199e 0.8t
a- ¿Cuántos fueron atacados por la enfermedad después del primer día? b- ¿Cuántos estaban contagiados después de 10 días? c- ¿Cuántos se contagiaron en algún momento durante la epidemia?
7-
Difusión de un rumor - 300 estudiantes asistieron a la ceremonia de inauguración de un nuevo edificio en el campus de su universidad. El presidente de la universidad(que tradicionalmente era sólo para mujeres) anunció un programa de estudiantes que supieron el nuevo programa t horas después está dado por la función
f (t )
3000 1 Be kt
Si 600 estudiantes del campus han escuchado acerca del nuevo programa dos horas después de la ceremonia, ¿Cuántos estudiantes habrán oído de esta política después de 4 horas? 8-
Crecimiento de una población – Suponga que la población de un país (en millones), en cualquier instante t aumenta de acuerdo con la regla
P P0
1
I
kt e k k
Donde P denota la población en cualquier instante t, k es una constante que refleja la tasa natural de crecimiento de la población, I es una constante que proporciona la razón (constante) de inmigración y P0 es la
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población total del país en el instante t 0 . La población de los Estados Unidos en 1980 ( t 0 ) era de 226.5 millones. Si la tasa natural de crecimiento es de 0.8% anual ( k 0.008 )y se permite una inmigración neta de a razón de medio millón de personas por año( I 0.5 ) hasta el final del siglo, ¿Mediante este modelo matemático cuál sería su población en el año 2000? 9-
Efecto de la publicidad sobre las ventas – Supermercado Metro ha determinado que t semanas después de promover cierta venta, el volumen de ventas está dado por una función de la forma
S (t ) B Ae kt , 0 t 4 Donde B=5000 y es igual al volumen promedio semanal de ventas antes de la promoción. El volumen de ventas al final de la primavera y la tercera semana fue de $83515 y $65055, respectivamente. Suponga que el volumen de ventas disminuye en forma exponencial y determine. a- La constante de decaimiento k b- El volumen de ventas después de la cuarta semana. 10- Respuesta a una publicidad. Suponga que el porcentaje R de personas responde a un anuncio periodístico relativo a un nuevo producto y que adquieren el articulo después de t días, se determina mediante la función. 0.3t
R(t ) 50 100e
a- ¿Qué porcentaje ha respondido y adquirido el artículo después de 5 días? b- ¿Qué porcentaje ha respondido y adquirido el artículo después de 10 días? c- ¿Cuál es el máximo porcentaje de personas que se esperan respondan y adquieran el artículo?
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