BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA DOCENTE: MIRNA CUAUTLE AGUILAR ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES INTEGRANTES DEL EQUIPO: ANEL VIRIDIANA ALFONSO BOCARANDO DANAE TORRES ZARRABAL YANETH REYES AGUILAR MARÍA ELENA HERNÁNDEZ TREJO TEMA: MODELOS MA MAT TEMÁTICOS FECHA: 27 DE ENERO DE 2!"
INTRODUCCIÓ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ecuación diferencial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
MODELO MATEMÁTICO U* 4.(&%. 4#/&40/+1. &$ %# (&$1-+81+<* 4#/&40/+1# (& )* $+$/&4# (& &*<4&*.$ ' $& 1.*$/-)'& 1.* 1+&-/.$ .63&/+,.$5 L# .-4#1+<* (& )* 4.(&%. 4#/&40/+1. (& )* $+$/&4# $& +*+1+# 1.*: a)
I(&*/++1#1+<* (& %.$ ,#%.-&$ =)& .1#$+.*#* &% 1#46+. (&% $+$/&4#5 E* &$/& 8-.1&$. &$8&1++1#4.$ &% *+,&% (& -&$.%)1+<* (&% 4.(&%.5
D&$8)@$ b)
S& &$/#6%&1& )* 1.*3)*/. (& $+$/&4#$ -#>.*#6%&$ . 9+8&$+$ #1&-1# (&% $+$/&4# =)& &$/#4.$ /-#/#*(. (& (&$1-+6+-5 E$/# 9+8&$+$ /#46+@* +*1%)'& /.(#$ %#$ %&'&$ &48;-+1#$ =)& $& 8)&(#* #8%+1#- #% $+$/&4#5 A% #)4&*/#- %# -&$.%)1+<*5 A)4&*/#4.$ %# 1.48%&3+(#( (&% 4.(&%. 4#/&40/+1. ' %# 8-.6#6+%+(#( (& =)& *. 8.(#4.$ .6/&*&- )*# $.%)1+<* &?8%+1+/#5 SITUACIÓN DEL MUNDO REAL MODIFICACIÓN DE LA HIPÓTESIS (SI ES NECESARIO)
HIPÓTESIS
ANÁLISIS Y COMPROBACIÓ N
MODELO MATEMÁTICO
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
INTERPRETACIÓN
RESULTADOS MATEMÁTICOS
U*# $.%)1+<* (&% 4.(&%. &?8-&$# &% estado del sistema &* ./-#$ 8#%#6-#$ %.$ ,#%.-&$ (& %# ,#-+#6%& (&8&*(+&*/& . ,#-+#6%&$ 8#-# %.$ ,#%.-&$ #(&1)#(.$ (& t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
DINÁMICA POBLACIONAL E$/& 4.(&%. 4#/&40/+1. $)-& 8.- %.$ +*/&*/.$ &* 4.(&%#- &% 1-&1+4+&*/. (& %# 8.6%#1+<* 9)4#*# !7 8.- T9.4#$ M#%/9)$ . B0$+1#4&*/& &$ %# $)8.$+1+<* (& =)& %# -#><* (& 1#46+. -&$8&1/. #% /+&48. (& )*# 8.6%#1+<* P (t ) 1.* /#$# (& *#/#%+(#( ' 4.-/#%+(#( 1.*$/#*/&$ &$ &* 4)19.$ 1#$.$ $&*1+%%.$ 8-.8.-1+.*#% #% /#4#. (& %# 8.6%#1+<*5 S+:
P (t ) : denotala població n al tiempo t . t : tiempo ( variable independiente ) . P : número deindividuos enla población ( variable dependiente ) .
E*/.*1&$ %# -#8+(&> (& 1-&1+4+&*/. (& %# 8.6%#1+<*
dP dt
$& 8)&(& &?8-&$#-
1.4.: dP = kP dt
T-#/&4.$ (& 8&*$#- &* )*# $.%)1+<* 8#-# %# &1)#1+<* !5 L# &1)#1+<* *.$ 8+(& 9#%%#- )*# )*1+<* 1)'# (&-+,#(# $ )* 4%/+8%. 1.*$/#*/& (& $; 4+$4#5 S#6&4.$ %#$ )*1+.*&$ &?8.*&*1+#%&$ /+&*&* &$# 8-.8+&(#(5 D& 9&19. $+ &$/#6%&1&4.$: P (t )=C e
kt
E*/.*1&$:
A$; 1)#%=)+&- )*1+<* &?8.*&*1+#% (& %# .-4# kt P (t )= C e &$ )*# $.%)1+<* (& %# &1)#1+<* !5
S+ C &$ )* *4&-. -% $& .6/+&*& %# familia kt (& $.%)1+.*&$ P (t )=C e 1)'#$ -#+1#$ $& 4)&$/-#* &* %# +)-# !5 P&-. %#$ 8.6%#1+.*&$ /+&*&* $.%. ,#%.-&$ 8.$+/+,.$ ' 8.- %. /#*/. $& &$/0 +*/&-&$#(. $.%. &* $.%)1+.*&$ 1.* C ¿ 5 Y 8-.6#6%&4&*/& $& /+&*& +*/&-@$ $.%. &* ,#%.-&$ (& t 4#'.-&$ =)& &% /+&48. +*+1+#% t 5 E* %# +)-# 2 $& 4)&$/-#* %#$ $.%)1+.*&$ 1.* $+*++1#(. ;$+1.5 S+ $& &$1-+6& t = $& .6/+&*& P Cek(0) C (& 4.(. =)& %# 1.*$/#*/& C -&$)%/# $&- %# 8.6%#1+<* +*+1+#% P 5 L# &1)#1+<* #*/&-+.-4&*/& 8-.8)&$/# 8&-4+/& (#- $.%)1+<* #% $+)+&*/& 8-.6%&4#: 1.
C.* 6#$& &* %#$ 4+$4#$ 9+8&$+$ (&/-0$ (&% 4.(&%. (& %# &1)#1+<* ! (&/&-4+*& )*# &1)#1+<* (+&-&*1+#% 8#-# %# 8.6%#1+<* P (t ) (& )* 8#;$ 1)#*(. $& %& 8&-4+/& # %#$ 8&-$.*#$ +*4+-#- # )* 8#;$ 1.* )*# -#><* 1.*$/#*/& r > 0 5 C)0% &$ %# &1)#1+<* (+&-&*1+#% 8#-# %# 8.6%#1+<* P (t ) (&% 8#;$ 1)#*(. $& %&$ 8&-4+/& # %#$ 8&-$.*#$ &4+-#- (&% 8#;$ 1.* )*# -#><* 1.*$/#*/& r > 0
SOLUCIÓN: E* 6#$& # %# &1)#1+<* ! $& 8-.8.*&* %#$ $+)+&*/&$ &1)#1+.*&$ (+&-&*1+#%&$:
C)#*(. &?+$/& +*4+-#1+<* # )*# /#$# 1.*$/#*/& r > 0 %# 8.6%#1+<* #)4&*/# # )* -+/4. 4#'.-5 P.- %. /#*/. $& ##(& - 8#-# +*(+1#- )* +*1-&4&*/. dP = k P + r dt dP = kP −r dt
C)#*(. &?+$/& &4+-#1+<* # )*# /#$# 1.*$/#*/& r < 0 %# 8.6%#1+<* (&1-&1&5 P.- %. /#*/. $& ##(& - 8#-# +*(+1#- )*# (+$4+*)1+<* (& %# 4+$4# K 1.*$&1)&*1+# (&%
Respuesta:
I*4+-#1+<*
E4+-#1+<*
dP = KP+ r dt dP = KP −r dt
MEZCLAS L#$ &1)#1+.*&$ (+&-&*1+#%&$ /#46+@* /+&*&* #8%+1#1+<* (&*/-. (& %.$ 8-.6%&4#$ (& 4&>1%#$5 C.*$+(@-&$& )* /#*=)& 4&>1%#(.- =)& 1.*/+&*& )*# $.%)1+<* $.%)/. ' $.%,&*/& /#% 1.4. $#% (+$)&%/# &* #)# ' &* (.*(& $& $)8.*& =)& 1#(# +*$/#*/& %# (+$/-+6)1+<* (&% $.%)/. &* %# 4&>1%# &$ )*+.-4&5 L# 1.*1&*/-#1+<* (& %# 4&>1%# &$/0 1.*/-.%#(# 8.- %.$ %)3.$ (& &*/-#(# ' $#%+(# ' $& =)+&-& 1#%1)%#- %# 1#*/+(#( (& $.%)/. (&% /#*=)& &* &% /+&48. t. S)-& &*/.*1&$ )*# &1)#1+<* (& 8-+4&- .-(&* =)& (&+*& %# 1#*/+(#( (& $#% 1.*/&*+(# &* %# 4&>1%#:
{ }{ }
dA razónde = entrada dt dela sal
razónde
− salida = R entra− Rsale delasal
E* (.*(&: A ( t ) : denotala cantidad de soluto en eltiempo t Rentra y Rsale : sonlas velocidades de entrada y salidade la solución
EJEMPLO:
2.
Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razón de
3
gal min y cuando la solución está bien revuelta, sale a la
misma razón. Determine una ecuación dierencial que e!prese la cantidad A ( t ) de sal que "ay en el tanque al tiempo
t .
#$uánto vale A ( 0 ) %
Datos: Sustancia 1 300 galones de agua
#%$ H2O
50 libras de sal
%6$ N#C%
Concentració n de sal =
1 6
Ib gal
Figura 3
Sustancia 2: Rentra ( aguapura )=3
Rsale=3
gal min
gal min
Concentraci ó n de sal = 0
Ib gal
Cálculos: Concentraci ó n de sal ( sustancia1)=
50 300
Ib 1 Ib = gal 6 gal
#%4+* H2O
Procedimiento: dA = ( Raz ó n de entrada )− ( Raz ó n de salida)= R entra − R sale dt
( )( ) ( )
Rentra =
Rsale=
(
0
Ib gal
3
A ( t ) Ibs 300 gal
gal min
=
0
Ib min
)( )= 3
gal min
A ( t ) Ib 100 min
A ( t ) Ib dA = 0 − dt 100 min dA 1 A=0 + dt 100 A ( 0 )=50
&a cantidad de sal presente en el tanque en inicial de la mezcla
t =0
es igual a la cantidad de sal
( )=50
∴ A 0
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NETON L# /-#*$&-&*1+# (& 1#%.- &$ 4)' +48.-/#*/& &* %.$ 8-.1&$.$ 8.-=)& &$ )* /+8. (& &*&-;# =)& $& &*1)&*/-# &* /-0*$+/. (&6+(. # )*# (+&-&*1+# (& /&48&-#/)-#$ ' 8.%. /#*/. &?+$/& %# 8.$+6+%+(#( (& 8-&$&*/#-$& &% &*-+#4+&*/.5 S+* &46#-. @$/# &*&-;# &* %)#- (& 8&-(&-$& $+* *+** )$. &$ $)$1&8/+6%& (& /-#*$.-4#-$& &* &*&-;# 4&10*+1# 8.- &3&48%.: 8#-# 8-.()1+- /-#6#3. &*&-#- ,#8.- 1#%&*/#- )*# 1.--+&*/& -;# &/1@/&-#5
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dT = k ( T −T m ) dt
Donde: T ( t ) : Represen! "! e#per!$r! de" %$erpo !" &e#po t
T m : Es "! e#per!$r! de" #ed&o '$e "o rode!
dT dt : Es "! r!p&de( %on "! '$e %!#)&! "! e#per!$r! de" %$erpo k : Es $n! %ons!ne de propor%&on!"&d!d
O)ser*e '$e s&:
T > T m
•
dT <0 dt
+ enon%es
+ por "o '$e "!
e#per!$r! es $n! ,$n%&-n de%re%&ene de
t
. e"
%$erpo se es/ en,r&!ndo T < T m
•
dT > 0 + por "o !no+ dt
+ enon%es
T es/
!$#en!ndo •
E,+(&*/&4&*/& &$/# &?8-&$+<* *. /.4# &* 1)&*/# ./-.$ #1/.-&$ 1.4. 8.(-;#* $&-: ! E% 1#%.- &*&-#(. 8.- ./-.$ .63&/.$ (+&-&*/&$ #% .63&/. (& &$/)(+. +*4&-$.$ &* &% 4&(+. #46+&*/& 1.4. %)1&$ 8&-$.*#$ .-(&*#(.-&$ &/15 2 E% 1#%.- &*&-#(. . &%+4+*#(. 8.- 4&(+.$ .->#(.$ =)& #&1/&* # /.(. &% 4&(+. #46+&*/& 1.4. %. 8.(-;#* $&- %# 1#%+<* . &% #+-& #1.*(+1+.*#(.5
EJEMPLO: 3.
U*# /#># (& 1#@ $& &*-;# (& #1)&-(. 1.* %# %&' (& &*-+#4+&*/. (& N&/.* &1)#1+<* 5 U/+%+1& %.$ (#/.$ (& %# -0+1# (& %# /&48&-#/)-#
T ( t )
&* %#
+)-# 8#-# &$/+4#- %#$ 1.*$/#*/&$
T 0
'
k
T m
&* )* 4.(&%. (& %# .-4#
(& )* 8-.6%&4# 1.* ,#%.-&$ +*+1+#%&$ (& 8-+4&- .-(&*:
dT = k ( T −T m ) + dt
T ( 0 )=T 0
SOLUCIÓN: S& &$/)(+# &% &*-+#4+&*/. (& )* 1)&-8. &* &$/& 1#$. )*# /#># (& 1#@5 A% &$/)(+#- %# -#8+(&> 1.* %# =)& 1#46+# %# /&48&-#/)-# &* )*1+<* (&% /+&48.
dT dt $& 8)&(&
.6$&-,#- =)& %# /&48&-#/)-# (&1#& &?8.*&*1+#%4&*/& &* )*1+<* (&% /+&48. t.
A% +*$8&11+.*#- %# -0+1# $& 8)&(&* &*1.*/-#- %.$ $+)+&*/&$
Datos T 0
&$ %# /&48&-#/)-# 1)#*(.
t =0
Figura 4 C)-,# (& &*-+#4+&*/. (&%
8.- %. /#*/.
8-.6%&4#
8.(&4.$ .6/&*&- (& %# -0+1#: T ( 0 )=170 T m
&$ %# /&48&-#/)-# #46+&*/& $& $#6& =)& $+ $& (&3# &*-+#- )*# /#># (& 1#@ %.
$)+1+&*/& %# /&48&-#/)-# (& (+19. 1#@ $&-0 %# /&48&-#/)-# #46+&*/&5 D& &$/& 4.(. 8.(&4.$ &*1.*/-#- %# /&48&-#/)-# #46+&*/& .6$&-,#*(. %# -0+1# 1)#*(. %# /&48&-#/)-# (&% 1#@ &$ 1.*$/#*/&5 T m=75
Y# =)& 9#' (.$ 1.*$/#*/&$ 8.- (&/&-4+*#- %# 1.*$/#*/& (& 8-.8.-1+.*#%+(#(
k
' %#
1.*$/#*/& (& +*/&-#1+<* C *&1&$+/#4.$ 1.*.1&- %# /&48&-#/)-# &* (.$ +*$/#*/&$ (+&-&*/&$5 D& +)#% 4#*&-# # 8#-/+- (& %# -0+1# &*1.*/-#4.$ =)&: T ( 12.5 )=100
A9.-# 8-.1&(&4.$ # %# $.%)1+<* (& %# &1)#1+<* 1.4. %# /&48&-#/)-# &$/0 (+$4+*)'&*(. &$ 1.*,&*+&*/& $&%&11+.*# 8-.8.-1+.*#%+(#(: dT =−k ( T −75 ) dt
S&8#-#*(. ,#-+#6%&$ dT =−kdt T −75
I*/&-#*(. 1#(# 4+&46-. (& %# &1)#1+<*
– k
1.4. %# 1.*$/#*/& (&
∫ T −dT 75 =−k ∫ dt O6/&*&4.$: ln
( T −75 )=−kt + C
T −75=C e
−kt
T ( 0 )=170
A% &,#%)#-
$& (&()1& (& +*4&(+#/. =)&
C =95
$)$/+/)'& &* %# &1)#1+<* #*/&-+.- 8#-# &*1.*/-#- &% ,#%.- (& T ( 12.5)= 100
k =
−1 t
( ln|T − 75|−C )
Y $& .6/+&*&: k =
−1
( ln |100− 75|− 95 )=7.342
12.5
−7.342t
T =75 +95 e
k
&$/& ,#%.- $& 1)#*(.
CONCLUSIÓ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
BIBLIOGRAFÍA
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