Modelos matemáticos Un modelo es producto de una abstracción de un sistema real: eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes, se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo.
Los modelos matemáticos matemáticos son representaciones representaciones ideales de un sistema y la forma en que este opera. Además son el elemento esencial en un simulador de procesos. Dicho de otro modo, son aquellos donde las entidades del sistema y sus atributos se representan mediante variables matemáticas. Y las actividades se describen mediante funciones matemáticas que interrelacionan las variables.
El objetivo de los modelos matemáticos es analizar el comportamiento de un sistema o bien predecir su comportamiento futuro. La construcción de un modelo matemático consiste en reemplazar las partes del balance por expresiones matemáticas, que sean tan rigurosas y a la vez contengan tan pocos parámetros desconocidos como sea posible. Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:
Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidas del sistema o bien que se pueden controlar.
Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa var iable no puede ser negativa.
La función objetivo Es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del s istema. Por ejemplo, si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución OPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2, ..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2, ..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2, ..., xn) b. Donde
x1, x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo , f es una función matemática. Principios de formulación
Suposiciones. De acuerdo al criterio ingeniería, haciendo simplificaciones razonables. Bases, leyes Químicas y Físicas así como leyes de conservación de masa, momento y energía. Habilidad, Ingenio y Practica.
Consistencia del modelo Matemático. Grados de Libertad y unidades consistentes.( sistema Ingles y SI).
Solución del modelo de Ecuaciones. Verificación. Que sea aplicado en la vida real
EMPÍRICOS. Se sustentan en la identificación de relaciones estadísticamente significativas entre ciertas variables que se asumen como esenciales y suficientes para modelar el comportamiento del sistema. Con tal motivo, debe disponerse previamente de una base de datos de tamaño adecuado Pueden subdividirse en tres categorías diferentes:
De Caja Negra: Sólo se analizan los datos de entrada y de salida del modelo.
De Caja Gris: Se explican algunos detalles del conocimiento existente sobre el comportamiento del sistema.
De Caja Blanca: Se conocen y explican todos los detalles del comportamiento del Sistema.
HEURÍSTICOS. Son los modelos que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
MODELOS TEÓRICOS. Hacen una serie de hipótesis con la finalidad de simplificar el análisis, la idea es que éstas hipótesis hagan que el proceso sea práctico intentando afectar lo menos posible a los resultados; nunca hay que perder de vista cual es el nivel de precisión necesario.
MODELOS SEMI-TEORICOS. Son modelos que buscan relacionar la subsidencia con un parámetro medible relacionado a ésta. Si bien no es una relación estrictamente teórica es más objetiva que relacionar solamente el tiempo ya que si cambia la relación de x durante el tiempo, los modelos pueden seguir funcionando.
DETERMINISTA. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hay incertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo son completamente conocidos y determinados.
ESTOCÁSTICO O PROBABILÍSTICO. Que no se conoce el resultado esperado, sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre.
LINEALES.
Se dice que una función es
lineal cuando su gráfica es una línea recta. Este tipo de funciones
crecen a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales.
El ejemplo clásico de un modelo lineal es: modelo de regresión lineal simple.
NO LINEALES. Son modelos en los cuales los parámetros aparecen en forma no lineal en la ecuación. Por ejemplo:
Modelos de estado no estacionario frente a modelos de estado estacionario
Estacionario quiere que los términos de a cumulación en los distintos balances son cero. En cada balance si las condiciones limite son independientes del tiempo, las variables dependientes del sistema pueden alcanzar un valor constante, esto se podría expresar que cuando el tiempo tiende a infinito desaparecen los estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo.
No estacionarios. Conocidos como transitorios o dinámicos. Ejemplo: una columna de destilación, que alcanzará eventualmente un conjunto de condiciones de operación de estado estacionario.
MODELOS DE GLOBALIZADO
PARAMETRO
DISTRIBUIDO
FRENTE
A
MODELOS
DE
PARAMETRO
Una representación de parámetro globalizado quiere decir que se ignoran las variables espaciales y que las distintas propiedades y el estado (variables dependientes) del sistema
pueden considerarse homogéneas en todo el sistema. Todos los sistemas reales son distribuidos debido a que existen variaciones en todo el conjunto, sin embargo, las variaciones con frecuencia son relativamente pequeñas de forma que se pueden ignorar y entonces el sistema se puede considerar globalizado. Todos los sistemas reales son distribuidos, debido a que existen algunas variaciones en todo el conjunto. Sin embargo las variaciones son con frecuencia relativamente pequeñas, de forma que se pueden ignorar, y entonces el sistema se puede considerar globalizado.
Ejemplo: Tanque de mezcla (a) Parámetro distribuido. Tanque de mezcla real con variaciones de concentración de un punto a otro (b) Parámetro globalizado. Tanque de mezcla idealizado suponiendo que el fluido tiene composición uniforme en todo el tanque
Estos sistemas se pueden modelar aplicando los principios de conservación de masa, energía y cantidad de movimiento, es decir, como modelos de fenómenos de transporte. Los modelos de fenómenos de transporte son representaciones matemáticas de los procesos reales en distintos niveles de descripción que se relacionan con la complejidad del detalle físico interno.
Descripción Atómica y Molecular Se caracteriza porque trata un sistema arbitrario como si estuviese compuesto de entidades individuales, cada una de las cuales sigue ciertas leyes. En consecuencia, las propiedades y las variables de estado del sistema se obtienen como suma de todas las entidades. La mecánica cuántica, la mecánica estadística de equilibrio y no equilibrio, así como la mecánica clásica constituirían métodos típicos de análisis mediante los cuales se podrían calcular teóricamente todas las propiedades y formas de respuesta de un sistema.
Descripción Microscópica Corresponde a un tratamiento fenomenológico del problema y admite que el sistema puede considerarse como continuo. Se ignoran las interacciones moleculares detalladas y se plantean ciertas ecuaciones de balance diferencial para materia, energía y cantidad de movimiento. Cada balance, a través del sistema, puede expresarse en la siguiente forma:
Descripción de Gradiente Múltiple
La característica esencial de la descripción de gradiente múltiple es que son importantes uno o más términos de dispersión que deben ser retenidos en el modelo, con o sin los términos convectivos. El modelo de gradiente múltiple se aplica en procesos con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complicados como el que tiene lugar en lechos de relleno o medios porosos, procesos en los que no se puede medir ni calcular el campo de velocidad local.
Descripción de Gradiente Máximo En el modelo de gradiente máximo se desprecia toda la dispersión y solamente el mayor componente (unidimensional) del gradiente de la variable independiente se considera en cada balance. Por ejemplo, en la representación de gradiente máximo de un reactor químico o sistema de absorción de gases, solamente se consideran los gradientes de concentración en la dirección axial originados por el flujo global, mientras que los gradientes que los gradientes radiales, la dispersión, etc, se ignoran. Los modelos de gradiente máximo son los generalmente considerados en los libros elementales para los procesos continuos y se pueden generalizar a un balance con los siguientes términos:
Ejemplo Para un reactor tubular o de partículas de relleno, un tratamiento frecuente (y muchas veces suficientemente exacto) consiste en admitir que el flujo es en pistón, es decir, la descripción de gradiente máximo. Una suposición habitual es que el reactor opera en estado estacionario.
Los modelos matemáticos son el elemento esencial en un simulador de procesos. Los modelos de un proceso quimico son todas las relaciones matematicas derivadas de las leyes de consercvacion. Las leyes de la termodinamica y las restricciones de control y de diseño. Estos modelos matematicos constituyen para cada equipo en el proceso, un sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales que describen ese equipo. Los modelos matematicos de los equipos de proceso, en conjunto dan forma al modelo matematico del proceso completo. Este debe ser resuelto por medio de algun algoritmo de solucion para producir los resultados requeridos.
En el caso de simulacion de procesos en estado estacionario, el modelo matematico del proceso esta constituido, por lo general, por un enorme sistema de ecuaciones algebraicas no lineales para cuya solucion existen tres algortimos: el metodo modular secuencial, el metodo orientado a ecuaciones y el metodo modular simultaneo. Método modular secuencial La estructura modular secuencial implica la interpretacion del diagrama de flujo del proceso como un grupo de unidades de proceso (equipos), para cada una de las cuales existen subrutinas del calculo o módulos. En este método, un modulo o subrutina de ca lculo para una unidad de proceso dada, calcula las variables de las corrientes de salida de esa unidad de proceso con base en el modelo matemático o correspondiente a ese equipo, conocidas las variables de las corrientes de entrada y los parámetros de equipo de esa unidad de proceso. Los reciclos en un diagrama de flujo son resueltos, en este metodo, mediante un procedimiento iterativo. Se suponen valores iniciales de las variables de una o varias corrientes involucradas en el reciclo y se busca la convergencia de los valores de esas variables en el proceso iterativo. Este procedimiento se puede ilustrar con base en el conocido Diagrama de flujo de Lee Rudd (1966).
si las variables de las corrientes 2 y 7 fueran conocidas, el reciclo completo quedaria definido con las secuencia de calculo de unidades de proceso: 1, 4, 3, 5 y 2. en la solucion del reciclo, las variables de las corrientes 2 y 7 serian recalculadas, partiendo de valores iniciales, hasta lograr una convergencia en los valores de esas variables.
A las corrientes a supones de les conoce como corrientes de corte o rompimiento y en la literatura de simulacion existen tecnicas tanto para detectar reciclos en el diagrama de flujo de un proceso, como para determinar las corrientes de corte necesarias en la solucion de esos reciclos.
Metodo orientado a ecuaciones.
Consiste basicamente en la solucion simultanea de las ecuaciones que describen el diagrama de flujo, es decir, resolver el enorme sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que constituye el modelo matematico del proceso completo, por algun prcedimiento de solucion de sistemas de ecuaciones.
Para propositos de ilustracion , se presentaran dos ejemplos que estan basdos en un pequeño propuesto inicialmente por Crowe et al. (1971), para mostrar una corrida con el simulador Pacer. En estos ejemplos se pretende mostrar los dos algoritmos de solucion de los modelos matematicos presentados para, posteriormente, comentar acerca del tercer algoritmo, el modular simultaneo.
Metodo modular simultaneo
Este metodo intenta algunas ventajas de los dos metodos descritos anteriormente. Se usa la estructura modular tradicional, pero a su vez se resuelve un sistema de ecuaciones simultaneas incluyendo a todas las variables de las corrientes. La diferencia principal consiste en que el sistema de ecuaciones a resolver es un sistema simplificado de mas facil solucion que el sistema de ecuaciones que se resolveria en el metodo orientado a ecuaciones. Este sistema simplificado esta formado por modelos ingenieriles aproximados o representaciones lineales de los modelos r igurosos (ecuaciones no lineales).
Para la slucion se usa la estrategia de doble rompimiento (two-tier), que puede ser representado en forma ilustrativa por medio del diagrama de flujo adaptado por Montiel y Chavez, con base en la estrategia propuesta por Jirapongphan (1980).