Índice general
1
Operadores vectoriales diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Gradiente. 1.1.1
3
Aplicación de la gradiente a la mecánica vectorial usando Matlab R2012a. . . 3
1.2 Divergencia. 1.2.1
5
Aplicación de la divergencia a la mecánica de fluidos usando Matlab R2012a. 6
1.3 Rotacional.
7
1.3.1
Aplicación del rotacional a la mecánica de fluidos usando Matlab R2012a. . . . 7
2
Teoremas integrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1
Teorema de Green.
2.1.1
Aplicación del teorema de green para hallar momentos de inercia usando Matlab R2012a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2
Teorema de Stokes.
2.2.1
Aplicación del teorema de Stokes a la mecánica de fluidos usando Matlab R2012a. 12
2.3
Teorema de la divergencia de Gauss.
2.3.1
Aplicación del teorema de la divergencia de Gauss al electromagnestismo usando Matlab R2012a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Bibliografía.
9 11 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 — Operadores vectoriales diferenciales.
Para poder realizar las operaciones con uso de los operadores vectoriales diferenciales, se tiene que conocer el operador vectorial diferencial nabla ∇ .
∇
=
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ i+ j + k ∂ x ∂ y ∂ z
Este operador vectorial posee propiedades análogas a las de los vectores comunes. Es útil para definir tres cantidades que aparecen en ciertas aplicaciones y que se conocen como gradiente, divergencia y rotacional. El operador ∇ también se conoce como nabla.
1.1 Gradiente. Definición 1.1 Sea φ ( x, y, z) una función escalar definida y diferenciable en cada punto ( x, y, z) en cierta región del espacio [es decir, φ define un campo escalar diferenciable].Entonces, el gradiente de φ , que se denota con ∇ φ o gradφ , se define como sigue:
∇φ =
∂
∂ ˆ ∂ ˆ ∂ φ ˆ ∂ φ ˆ ∂ φ ˆ iˆ + j + k φ = i+ j + k ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z
Observe que ∇ φ define un campo vectorial.
1.1.1 Aplicación de la gradiente a la mecánica vectorial usando Matlab R2012a. F respecto al punto M (2, 1, 1), siendo v = Problema 1.1 Hallar el momento del vector fuerza
−grad φ en el punto P (1, 3, 0) y siendo φ ( x, y, z) =
1
+ x2
y2 + z2
. sus unidades estan en el S.I
Solución: Lo primero que hacemos es hallar la gradiente de la función (grad φ ), usando Matlab R2012a tenemos:
4
Operadores vectoriales diferenciales.
Para graficar la gradiente hacemos lo siguiente en matlab:
1.2 Divergencia.
5
Por lo tanto:
∂ φ =− ∂ ∂ φ + =− + ∂ ∂ φ x
x
P
y
y
P
∂ z
x2
y2
z2
x2
y2
z2
= − z
P
=− , + =− , + = + +
x2
y2
3 2
0 032
P
3 2
0 095
P
z2
v = 0 ,032iˆ + 0,095 j ˆ
3 2
0
P
El momento generado por el vector fuerza F sobre r = ( −1, 2, −1) El momento sera:
ˆ [ Nm ] = −0,095iˆ + 0,032 j ˆ + 0,159k M
1.2 Divergencia. Definición 1.2 ˆ está definida y es diferenciable en cada punto ( x, y, z) Suponga que V ( x, y, z) = V iˆ + V jˆ + V k en una región del espacio (es decir, V define un campo vectorial diferenciable).Entonces,la divergencia de V , que se denota con ∇ .V o div V , se define como sigue:
∇.V
= =
∂
∂ ˆ ∂ ˆ ˆ) iˆ + j + k .(V iˆ + V jˆ + V k ∂ x ∂ y ∂ z ∂ V ˆ ∂ V ˆ ∂ V ˆ i+ j + k ∂ x ∂ y ∂ z
Aun cuando V es un vector, ∇ .V es un escalar.
6
Operadores vectoriales diferenciales.
1.2.1 Aplicación de la divergencia a la mecánica de fluidos usando Matlab R2012a. Problema 1.2 Sea el movimiento en régimen permanente definido en coordenadas eulerianas y dado por el campo de velocidades: v = (3 x2 − 2 y)iˆ + ( x − 3 y) j ˆ [ m/s].Demostrar que el fluido es compresible,cuando la linea de corriente pasa por x=1m. v Solución: Para que el fluido sea compresible se tiene que cumplir ∇ . = 0, resolviendo en matlab tenemos:
La gráfica seria de la siguiente forma:
Este gráfico muestra la divergencia de los datos de vectores en el plano XY, el uso del color es para indicar la
divergencia.
1.3 Rotacional.
7
1.3 Rotacional. Definición 1.3 ˆ es un campo vectorial diferenciable.Entonces, el Suponga que V ( x, y, z) = V 1 iˆ + V 2 j ˆ + V 3 k rotacional o rotación de V , que se denota ∇ x V , rotacional V o rot V, se define como sigue:
∇ × V ∇ × V
= =
∂ ∂ ∂
∂ ˆ ∂ ˆ ˆ iˆ + j + k × V 1 iˆ + V 2 j ˆ + V 3 k ∂ y ∂ z x V3 ∂ V2 ˆ ∂ V1 ∂ V3 ˆ ∂ V2 ∂ V1 − − − i+ j + ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y
ˆ k
1.3.1 Aplicación del rotacional a la mecánica de fluidos usando Matlab R2012a. ˆ [m/s]. Hallar la Problema 1.3 Dado el campo de velocidades : v = (5 x2 y)iˆ + 10( yz + x) j ˆ + 12k velocidad angular total de la partícula en el punto P (3, 1, 2).
Solución: ω = 12 (rotV ) = 12 (∇ × V ), resolviendo en matlab La velocidad angular en un fluido esta dado por tenemos:
Operadores vectoriales diferenciales.
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La gráfica seria de la siguiente forma:
la velocidad angular total de la partícula en el punto P (3, 1, 2) será:
= ω = = =
1 2 1
rotV P
ˆ )P (−10 yiˆ + (10 − 5 x2 )k
2 1 ˆ) (−10iˆ − 35k 2 ˆ −5iˆ − 17,5k
ω = 18,20[rad /s]
2 — Teoremas integrables.
2.1 Teorema de Green. Definición 2.1 Suponga que R es una región cerrada en el plano xy, limitada por una curva simple cerrada, C , y que M y N son funciones continuas de x e y que tienen derivadas continuas en R. Entonces:
Md x + Nd y =
c
∂ N R
∂ M − dxdy ∂ x ∂ y
donde C se recorre en la dirección positiva (en sentido contrario al movimiento de las maneci-
llas del reloj).A menos que se diga otra cosa, siempre supondremos que integral está descrita en el sentido positivo.
significa que la
2.1.1 Aplicación del teorema de green para hallar momentos de inercia usando Matlab R2012a. Problema 2.1 Determinar el momento de inercia respecto al eje x de una disco hueco homogéneo de radio interno 20cm y radio externo 50 cm y de masa 4 kg.
Teoremas integrables.
10 Solución: sabemos que el momento de inercia será : I x =
ρ y2 dA , donde ρ es la densidad superficial del
D
disco hueco, supuesta constante dado que es homogénea. Esta región no es simplemente conexa, pero se puede extender el teorema de Green a este tipo de regiones con agujeros, siendo:
∂ N D
∂ M − dA = ∂ x ∂ y
( Md x + Nd y) −
C 2
( Mdx + Nd y)
C 1
Por lo tanto podremos calcular la integral doble del momento de inercia como dos integrales. Para 1 ∂ N ∂ M ello debemos encontrar funciones M, N tales que: = y2 ⇒ N = 0 ∧ M = − y3 − 3 ∂ x ∂ y Parametrizando las dos curvas tenemos:
C 2 { x = 50 cos t ⇒ dx = −50sentdt ∧ y = 50sent ⇒ dy = 50cos tdt para 0 ≤ t ≤ 2π . C 1 { x = 20 cos t ⇒ dx = −20sentdt ∧ y = 20sent ⇒ dy = 20cos tdt para 0 ≤ t ≤ 2π . Aplicando el teorema de green tenemos:
I x
= ρ − c2
Resolviendo en matlab tenemos:
1 3 y dx + 3
1
c1
y3 dx 3
2.2 Teorema de Stokes. La gráfica del área seria de la siguiente forma:
Entonces:
reemplazando m = 4 kg
I x
= 725m
I x
= 2900kg.cm2
2.2 Teorema de Stokes. Definición 2.2 Suponga que S es una superficie abierta, de dos lados, limitada por una curva C cerrada que no se interseca a sí misma (curva simple cerrada), y suponga que A es una función vectorial de posición con derivadas continuas. Entonces:
11
Teoremas integrables.
12
A · dr =
c
(∇ × A) · ˆndS =
s
(∇ × A) · dS
s
donde C se recorre en la dirección positiva.
2.2.1 Aplicación del teorema de Stokes a la mecánica de fluidos usando Matlab R2012a. Problema 2.2 Dado el campo de velocidades de un fluido dado por V ( x, y, z) = (2 x − 1)iˆ + ( y + ˆ [m/s2 ], calcular la circulación del vector velocidad de rotación( Γ ) a lo largo de la x) j ˆ + ( Z − y) k linea de corriente que pasa sobre un recipiente cilindrico con radio de 2 m y altura de 6 m.
Solución: La circulación de un campo de velocidad es su integral a lo largo de una línea cerrada. Recordemos que la razón entre la circulación del campo de velocidades y el área de la superficie encerrada por la curva tiende a un cierto valor a medida que el radio de la curva tiende a 0; si este valor es nulo, entonces el fluido es irrotacional y un molinillo ubicado en ese punto límite no rotará. Aplicando el teorema de Stokes, la circulación del vector velocidad estará dado por:
Γ =
(∇ × V ) · ˆndS
s
Parametrizando la ecuación del cilindro( x2 + y2 = 4) tenemos: r (r , θ ) : x = r cos θ ∧ y = rsenθ ∧ z = 6 para 0 ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π
2.2 Teorema de Stokes.
13
Donde:
Hallando el rotacional del campo de velocidades :
Por tanto la circulación del vector velocidad será de la siguiente forma: 2π
Γ =
2
0
rdrd θ
0
Resolviendo en matlab :
Entonces el vector velocidad de rotacion es : Γ = 4π [rad/s]
Teoremas integrables.
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El comando em matlab para la gráfica de la superficie cilíndrica es la siguiente:
2.3 Teorema de la divergencia de Gauss. Definición 2.3 Suponga que V es el volumen limitado por una superficie cerrada S y que A es una función vectorial de posición con derivadas continuas. Entonces:
V
∇. AdV =
S
S
A.ndS = A.dS
donde n es la normal positiva (dirigida hacia fuera) a S .
2.3.1 Aplicación del teorema de la divergencia de Gauss al electromagnestismo usando Matlab R2012a. 7 x3 + 1 C )a x [ 2 ].Hallar la carga total que se Problema 2.3 Dado la distribución de carga σ = ( 3 m produce sobre un cubo de 4m de arista, centrado en el origen y con las aristas paralelas a los ejes. La gráfica sería de la siguiente forma:
2.3 Teorema de la divergencia de Gauss.
15
La carga total estará determinada por el teorema de la divergencia de gauss: Q =
σ .dS =
(∇.σ )dV
Vol
Hallando el valor de la divergencia ∇ .σ en matlab :
Hallando los límites de integración de la integral triple: x {−2, +2} ∧ y {−2, +2} ∧ z {−2, +2} Entonces la integral quedaría de la siguiente forma :
Q =
+2 +2 +2
(∇.σ )dV =
Vol
Resolviendo la integral triple en matlab:
−2 −2 −2
(7 x2 )dxdydz
Teoremas integrables.
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El comando em matlab para la gráfica de la superficie cúbica es la siguiente:
CONCLUSIONES SOBRE EL TRABAJO REALIZADO. 1
El presente trabajo ayudó a entender de una manera más específica sobre el uso de los operadores diferenciales y teoremas integrables en aplicaciones de la mecánica, los cuales son muchos.Y el cual es como base para el curso de Dinámica.
2
Se desarrolló los problemas con ayuda del software de MATLAB, con el cual se pudo desarrollar las operaciones y gráficas correspondientes, para tener una mejor idea sobre como actúan en los espacios vectoriales los operadores diferenciales particularmente.
3 — Bibliografía.
1
MURRAY R. SPIEGEL Análisis Vectorial. Segunda edición.
2
María del Carmen Suárez Cálculo integral y aplicaciones con Matlab.
3
Cesar Lopez MATLAB. Calculo Diferencial. Una y Varias Variables.
4
José Vicente Romero . María Dolores Roselló , ,Ricardo Zalaya Báez Fundamentos matemáticos para la ingeniería con MATLAB.
5
Cesar Perez MATLAB y sus aplicaciones a las ciencias e ingeniería.
6
Adolfo Canahuari Condori Superficies con MATLAB.
