Aportacio Aportaciones nes Matem Matematicas aticas Comu Comunicac nicacione iones s 17 (1996 (1996)) 11-24. 11-24.
Modelo odelo matem atemat atic ico o de un un reac reacto tor r PFT para mezclas continu continuas. as. Jon Chapm Chapman an Alistai listairr Fitt Guilm Guilmer er F. Gonz Gonzale alez z Flore Flores s Jesus Jesus Lopez Lopez Estrada Estrada Jesu Jesus s 0 bet bet Marro arroqu quin in de la Rosa Rosa Rodolfo Rodolfo Suarez Suarez Maria Lourdes Lourdes Velasco Velasco Arregui Arregui
En este trabajo trabajo se discute discute un mod modelo elo matem matemati atico co para para un reacto reactorr tubutubular de fiujo fiujo tap6n tap6n para para el hidrotra hidrotratam tamient iento o de una una mezcla mezcla de mucho muchos s componente nentes. s. Basa Basando ndose se en el el tratam tratamien iento to para para este este tipo tipo de corri corrien entes tes prop propue uesto sto par par R. Aris ris y G.R. G.R. Gaba Gabala las, s, expl explor orad ado o tam tambien bien por por otro otros s auto autore res, s, se llega llega a un sistem sistema a de ecuaci ecuacion ones es integr integroo-dife diferen rencia ciales. les. Para Para su resoluc resoluci6n i6n se propro pone pone el metod etodo o de resi residu duos os pesa pesado dos s con con proy proyec ecci ci6n 6n..
Dentro de la industria las corrientes terminados
petrolera,
de materia
en el area de la refinacion,
prima, como los produetos
(combustibles
tidad de componentes,
especificamente
y lubricantes),
intermedios
tanto
y los productos
son en realidad mezclas de una gran can-
cuya transformacion
involucra
a un considerable
numero
de reacciones. Para
tales casos se han desarrollado
pseudocomponentes En la primera propiedades
flsicas
0
de compuestos
reales que comparten
qufmicas segun sea la aplicacion;
como compuestos
(1) mediante
una mezcla de un continuo de componentes.
se consider an conjuntos
similares,
tos son tratados existente
y (2) suponiendo
dos formas de trabajar,
estos conjun-
simples a los que se les aplica la metodologfa
para sistemas de pocos componentes.
En la segunda, se considera que la mezcla contiene un numero infinito de com ponentes alguna
represent abIes mediante de las propiedades
peso molecular,
aplica asf alas
representativas
temperatura
La aplicacion
un continuo.
lugar de un sistema
de los compuestos,
como pueden
normal de ebullicion, numero de carbonos,
de la metodologfa
distribuciones
Para ello se elige como parametro
disponible
de concentracion
de ecuaciones
algebraicas
para
ser
etc.
sistemas
reaccionantes
se
de compuestos,
obtenfendose,
en
0
diferenciales
de balance,
un sis-
tema de ecuaciones integro-diferenciales.
Tomando masa,
como sistema
el balance
siguiente ecuacion:
total
a un volumen definido, al cual se Ie introduce de materiales
se expresa esquematicamente
y extrae
mediante
la
en el caso de los compuestos
en donde se considera transformacion conservacion
se tiene una posibilidad
mas, que es la
por 10 cual se incluye el termino correspondiente:
transformacion,
tivo cuando
individuales,
positivo
al termino
de los componentes el compuesto
distintos
"i" se transforma
de generaClon cuando
se refiere a la
de "i" para formar a este, y negaen algun otro.
De esta manera,'
la
de la masa se expresa de la siguiente manera
El reactor de flujo tapon es un equipo cil{ndrico, don de la corriente de proceso fluye en la direccion axial, sin que haya ningun retromezclado y con mezclado
completo,
La transformacion
~z ;
efectuar el balance a nivel diferencial.
un elemento
de volumen,
en donde los terminos
{acumulaci6n};
variacion,
en la direccion
radial.
de la corriente se efectua conforme se recorre el recipiente,
1 0 que es conveniente
considera
esto es, sin ninguna
en la direccion del flujo,
=0 ~z
Como primer paso se
con area de seccion transversal
de balance tienen la forma siguiente:
W
por
0 y longitud
a P i -1n -a- - (- - p;)a ; - + at v
Mediante continuos
M i
=
un procedimiento
(
LVij
r j
equivalente
se tiene que para
el balance de masa tiene la forma:
a (v;z(u))
J Vi(W) r(w)dw )
+
1
00
+ apa~u) = M(u)
v (u ,w )
donde se ha utilizado la variable Hamada velocidad
E l balance de los compuestos
La velocidad
una dependencia intervienen.
de reacci6n mediante
y de la composici6n
en cuesti6n.
Los modelos
lineal con respecto
La velocidad
las funciones
neta
de cada reacci6n
reactivos" , por ejemplo:
fl. en la forma de coeficientes
generalizadas:
como funci6n
que participan
mas simples
a la concentraci6n
y la de la reacci6n inversa,
se expresa
de las sustancias
cineticos
entre la de la Hamada reaccicSn directa, productos",
"v". definida como
pesos moleculares,
a la cual se Hevan a cabo las reacciones
de la temperatura reacci6n
superficial
discretos tambien puede expresarse
esta ultima ecuaci6n definiendo su concentraciones,
y velocidades
r (w ) dw
v y el area de secci6n transversal
el cociente del flujo volumetrico
estequiometricos
los componentes
son los que suponen
de los compuestos
que
es result ado de la diferencia
esto es, la que "va de los reactivos 0
en la
sea la que" va de los productos
a los a los
donde
[A] y [B] son las concentraciones
respeetivamente. termodinamica
En el caso de las reacciones proporciona
informacion
reaccion inversa en determinadas cinetico Hamado irreversible,
cineticos son molares, tienen en terminos
mientras
=
t f i\:)),
mejorar
sobre si es posible
las concentraciones
u,w
masicas.
la a la
Con el fin de trabajar
se
un mismo
se recurre a la siguiente equivalencia
)=k.(u,w ) M (u)'
Y
de estas corrientes,
como para acabado
de hidrocarburos
siguientes
no despreciar
que las ecuaciones de balance de los reaetores
k'(
u,w
)= k:(u,w ) M (w )'
tanto
del produeto.
reacciones:
aromaticos
de gasoleos, utilizado para
como etapa
intermedia
de proce-
En el proceso se busca eliminar el
contenido de azufre y nitrogeno de los compuestos, tracion
0
discretos
que intervienen en los modelos
como ejemplo el caso del hidrotratamiento
la calidad
samiento,
de los componentes
donde M(u) es el peso molecular,
k(
Tomaremos
y del produeto
condiciones, pudiendose as! simplificar al modelo
de concentraciones
tipo de concentraciones
del reaetivo
cuya expresion mas sencilla es la siguiente.
Como se dijo anteriormente,
[ X i( u ) ]
molares
convirtiendolos
as! como disminuir la concenen paraflnicos,
mediante
las
La caracterizacion de este tipo de corrientes se da, basicamente, mediante su rango de puntos de ebullicion normal (curvas de destilacion), composicion referida a contenido de hidrocarburos parafinicos, naftenicos y aromaticos, y analisis elemental, esto es, contenido global de carbono, hidrogeno, azufre y nitrogeno. En el sistema solo intervienen reacciones continuas, que al igual que los com ponentes continuos se han dividido 0 clasificado en diferentes familias. Asi 108 compuestos quedaran identificados por un indice icon el que se denotara a la familia a la que pertenecen (ver tabla) y con un parametro continuo u.
Indice i 1
2 3 4
5
Tipo de compuesto sulfurados nitrogenados naftenicos aromaticos parafinicos hidrogeno sulfhidrico amomaco
Formula General CSlHs2SS3 Cn,Hn2Nn3 C hH h C a, H a2 Cp,H p2 Hz H zS N H 3
As{ mismo alas reacciones se les identificara con las parejas de indices y de parametros continuos, correspondientes a los compuestos organicos que participan en ellas. Por ejemplo, la reaccion (I): CSlHs2SS3
+ (_PZ_5_ -I 2PI
_5 Z _- _2 _5 _ 3Hz ) ~ 2
tendra indices 1,5, y parametros u y
(~) PI
C p, H p2
w correspondientes
particulares que participan en dicha reaccion.
+ (53)
H zS
al sulfurado y al parafinico
En el problema son afectadas dependencia
aqui considerado,
por la concentracion
se asumira que las velocidades de los componentes
lineal con la concentracion
discretos,
de los componentes
de reaccion no
y que tienen una
continuos.
Se cons ide-
raran cineticas reversibles en todos los casos, aim cuando hay informacion en algunas
partes
del rango de ebullicion normal y bajo condiciones
apropiadas
es posible simplificar
a modelos
irreversibles,
10
la hidrodesulfuracion
de que
de operacion
y la hidrodenitrogenacion
cual no sucede con la hidrogenacion
0
saturacion
de
aromaticos. Los reactores
que se utilizan son usualmente
mas simplificado se supondra
traci6n
matematica
= M s (u )
= P i (t, z; u) es
2 .=
del reactor quimico tubular
1
que en el caso
En nuestro modelo
isotermicas.
da lugar al siguiente sistema de ecuaciones
atPS + v azps
P i (u )
como de flujo tap6n.
ademas que se tienen condiciones
La modelacion discusi6n
se pueden representar
react ores tubulares,
de hidrotratamiento
bajo
integro-diferenciales:
00
VS j (u , w )
la distribuci6n
de masa de los compuestos
[k j (u , w ) P j ( u ) - kj (u , w ) ps ( w) ] d w
con respecto tipo
i.
al parametro
u de la concen-
M; ( u ) es las distri bucion con respecto al parametro u de 10spesos moleculares de 10s compuestos
tipo i.
V ij (u, w ) es el coeficiente estequiometrico en la reaccion direct a del" compuesto" X i( u ) al "compuesto" X j(w ); V iS (u, w ) < 0, Y V S J (u, w ) > 0, si i, j < 5. k i (u , w) es la constante
de velocidad de reaccion de los compuestos (5, w )
reaccion direct a a los compuestos
k i ( u, w) es
la constante
de velocidad de reaccion de los compuestos
reaccion inversa a partir de 10s compuestos
en notacion matricial,
como
C (u ) = diag (C 1 (u) , ... , C s (u)),
! a o o V i S ( u, w )
M i( u)
=
4
C S(u )
M s( u )
=
[0 0
Lln
j=l
151
(u , w )
V S j( u,w )
k i( u ,w )
k j( u,w )
0
o
o 154
(u,w)
( i, u ) en la
(5, w ).
A su vez este sistema de ecuaciones se puede expresar,
C i(U )
( i, u ) en la
145
(u,w)
o
P i (u ) .d w ,
p s( w ) .d w ;
2. Resoluci6n de la Ecuaci6n de un Reactor Tubular de Hidrotratamiento En esta seccion estudiaremos integro-diferencial,
una propuesta
para la resolucion
de la ecuacion
que se obtuvo en la seccion anterior:
J
0 0
ate (u)
+ v aze (u)
- C (u) e (u)
=
r (u ,
w ) d w)
dw ,
(2.1)
o
en donde,
e(u) tras
por razones
de generalidad,
supondremos
que la funcion
incognita
= e (t,z ;u ), t 2 :: 0,0 : :; z ::; 1 ,0 : :; u < 00, toma valores en iR n, mien10 hacen en iR nxn , que eo(z;u), E!..e(t;u), son funciones que C (u ) , r (u , w)
con valores en 3?n. Todas ellas son cuadrado integrables
con respeeto al parametro
u sobre [0,00), con excepcion de las dos ultimas, trozos con respecto a z y t, respectivamente.
que supondremos continuas a
Empecemos mencionando que cuando C (u ) es una matriz constante, 10 cual evidentemente no es nuestro caso, la ecuacion (2.1) puede ser resuelta de manera aproximada por el metodo de nucleos degenerados, e incluso de manera exact a si la funcion nucleo r (u , w) es degenerada, inicialmente propuesto para la resolucion de ecuaciones integrales de Fredholm de segundo tipo (vease Tricomi [T] . 0 bien, por los metodos de expansion 0 en diferencias que se proponen en el Cap. 9 de Richmyer-Morton Morton [RM] (vease tambien el Cap. 14 en Delves-Walsh
[DW] ). Pasemos a la aplicaci6n del metodo de residuos pesados con proyecci6n para el caso que nos ocupa. Esto es, cuando C (u ) no es una matriz constante. El metodo de residuos pesados parte de la idea de hallar una solucion aproximada
m
(u ) l
L
=
0' j
~j
(u )
j=l
en donde ~. (u), J
j = 1, . 0 .
, m, son funciones con valores en 2 / ? n cuadrado in-
tegrables sobre [0,00) linealmente independientes ( l o i.). j= 1, .. ,m , son funciones a determinar. O'j = O'j (t,z),
Aqul, los coeficientes
0
r (u )
=Def
8 t fl (u) + v 8 zl ( u) - C (u ) E* (n.)
-L X )
r (u ,
w ) E* (w ) dw
(2.5)
m
r
(U ) =
L (ataj + v azaj) 'P..j( u ) j=l
tj(U)=
m
-
L aj
m
C
(u ) 'P..j( u ) -
j= l
L aj t j (u )
j= l
l>Or(u,w)'P ..j(w)dw.
j = Se cuenta con varias formas de proceder para determinar los coeficientes a a j (t, z ) . El metodo de resid uos pesados por proyecci6n consiste en determinar los coeficientes a j de manera que
l°O h; (u)r(t,ziu)du
= 0,
en donde hi (u ) , i= 1, ... ,m , son funciones con valores en ~n cuadrado integrables y t. i. sobre [0,00). Luego, de estas condiciones se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales hiperb6licas de orden uno:
, = 1roohHu)
b i)·
, = 1 roo 0 h ;
!ij
(u )
( C (u) -
Ahora, si las funciones < p (u ) y )
i,j = 1, ... ,m ;
d u, i,j
1 / ;. (u), j=1, ... ,m ,
)
=
1 , . . . , m.
son elegidas de manera
que la matriz B sea no-singular entonces el sistema de ecuaciones hiperb6licas (2.6) se puede reescribir como sigue
Un caso especial muy import ante de este metodo consiste en tomar las funciones h j (u ) =< p . (u), j=1, ... , m. En dicho casa, se asegura que B en (2.6) es -)
no-singular, pues B result a ser el grammiano de las funciones < p (u), j=1, ... , m; -)
y por ello, B es simetrica y positiva definida.
La soluci6n del sistema hiperb6lico (2.7) se puede obtener mediante la aplicaci6n Jel metodo de lineas 0 mediante un metodo en diferencias.
Las condiciones iniciales y de frontera por la izquierda para el sistema (2.7) se obtienen proyectando las condiciones iniciales (2.2) y las condiciones de frontera (2.3) para el sistema integro-diferencial (2.1). Si las condiciones iniciales para (2.1) son
De manera amiloga, las condiciones de front era para el sistema (2.7) est an dadas por
p*(t) '--e
( rJ =o ri(u)p
=
(t,u)du,
'--e
J or =
r~(u)p
-e
(t,u)du,
... ,
J or =
r;,,(u)p
'--e
(t,u)du)t
Por ultimo, cabe hacer notar que en esta propuesta aun falta, entre otras cosas, desarrollar el analisis de convergencia y el estudio de estrategias para la eleccion de las fundones de ensayo 'P . (u), j = 1, ..., m ., ambas de importancia teorica J
y practica. Para abordar estos aspectos es de gran relevancia considerar casos espedficos del modelo matematico bajo estudio que ayuden a orientar el trabajo de investigaci6n que falta por desarrollar.
[T]
Tricomi F. G., Integral Equations,
Dover (1985).
[RM] Richtmyer R. D., Morton K. W., Difference lems, 2nd. Edition, Wiley (1967).
Methods
for Initial-
[DW] Delves 1. M., Walsh J. (Eds.), Numerical Clarendon Press, Oxford (1974).
Solution
of Integral
Value Prob-
Equations,
