LOGRO DE APRENDIZAJE Maneja el sustento teórico teórico práctico de los compo mponentes temáticos del área curriculares de su especialidad académica
SESIONES DE APRENDIZAJE: SESIÓN 01
CAPACIDADES DE LA DIMENSION PEDAGOGICA
Lógica proposicional
SESIÓN 02
4.1. 4.1. Impri Imprime me un un mane manejo jo educ educati ativo vo científico al proceso enseñanza y aprendizaje.
Sistemas numéricos.
4.2. Maneja contenidos de las disciplinas relacionadas con su especialidad.
EJES TRANSVERSALES
COMPRENSION LECTORA EDUCACIÓN INCLUSIVA E INTERCULTURALIDAD EDUCACIÓN INCL INCLUSIVA. FOR ORM M ACIÓ ACIÓN ÉTICA Y MORAL RAL.
3
LÓGICA PROPOSICIONAL
la Lógica me salva del aburrimiento a burrimiento
“
CONTENIDOS
”
APRENDIZAJES ESPERADOS
Cuantificadores existencial y universal Tablas
de
Analiza
verdad
de
proposiciones compuestas
proposiciones compuestas.
Relación entre la lógica y los conjuntos Los
argumentos
estructura
su
Determina la relación entre la lógica y los conjuntos
y
las tablas de verdad de
Define estructura
argumentos
y
su
INDICADORES Aplica
las propiedades
de la lógica
proposicional en situaciones
diversas,
propuestos en el material impreso. Infiere
aplicaciones de la equivalencia e
implicac implicación ión lógica lógica en el tratam tratamien iento to de los contenidos contenidos matemáticos propuestos propuestos en un listado de problemas.
I. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Resuelva cada uno de los siguientes ítems: 1. Dados los siguientes enunciados: a) La tierra es plana. b) – 17 + 38 = 21. c) x > y −9 . d) Alianza Lima Lima es campeón en la presente temporada de fútbol profesional. e) Hola ¿como estas? f) Lava la ropa por favor. ¿Cuáles son proposiciones? ¿Por qué? 2. Determine si las expresiones: a) ( p∧ q ) ↔ ( p ∨q )
∨q )
b) (
) ↔ ( p q ∧( p∨ q ) → p p∧
q
c) son tautologías, contradicciones o contingencia:
3. LÓGICA LÓGIC A DE PROPOSICIONES La lógica de proposiciones es la parte más e lem ent a l d e l a l ógi ca m o d er n a o matemática matemática o formal. Estudia Estudia las relaciones relaciones existentes existentes entre proposiciones proposiciones considerad consideradas as como un todo, sin penetr ar en su estructura interna.
La
proposición
es una oración aseverativa de la que tiene sentido d ecir que es ver dadera dadera o falsa.
Ejemplos : a) La ciudad de Trujillo Trujillo es la capital capital del departamento departamento de La Libertad. Libertad. (Es una proposición verdadera) b) El átomo átom o es una molécula. m olécula. (Es una proposición Falsa) c) 2 es un número primo. (Es una proposición verdadera) d) Todas las aves vuelan. vuelan. (Es una proposición proposición falsa)
II. DESARROLLO OLLO DE CONTE NTENIDO TEÓRICO LÓGICA 1. DEFINICIÓN La lógic lógica a es la disci discipl plina ina que trata trata de métodos métodos de razonami razonamiento ento.. En un nivel nivel elemental, elemental, la lógica proporciona reglas reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamie nto lógico se em p lea e n m at at em á tica p ara d em ostr a r teoremas; en ciencias de la computación para verificar verificar si son o no correctos correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, cotidiana, para r esolver esolver una multitud de problemas.
2. LENGUAJE El lenguaje, en sentido estricto, estricto, es un sistema sistema convencional de signos, es decir, un conjunto de sonidos y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna. Sirve para afirmar o negar (oraciones aseverativas aseverativas o declarativas); expresar deseos (oraci aciones desiderativas); formular preguntas (oraciones interrogativas); ex p r e s a r s o r pr e s a o a dm i r ac i ón ( o r ac io n e s e xc la m at iva s o admirativas) e indicar exhortación, mandato o prohibición (oraciones exhortativas o imperativas).
Exp res ion es lingüísticas que proposiciones
no son
L as or ac i o n es i nt e r r o g a t i v a s , las exhortativas o imperativas, las desiderativas y las las excl exclam amat ativ ivas as o admi admira rati tiva vass no son son pr o p os i c i o n e s p o r q ue n in g u n a d e e ll a s afirma o niega algo y, por lo ta nto, no son verdaderas ni f alsas. Asim ism o, o, las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor — no obstante afirmar afirmar algo— su verdad o falsedad no puede ser establecida.
Ejemplos: a) El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. (Es proposición verdadera) b) ¿Qué es la lógica? (No es proposición porque es una oración interrogativa) c) Debemos honrar a nuestros héroes. (No es proposi proposición ción porque porque es una oración oración imperativa o exhortativa) d) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería! (No es prop osición porque es una oración exclamativa o admirativa) e) Quizá llueva mañana. (No es proposición porque es una oración dubitativa) f) Valentín es bueno. (No es proposición porque constituye un juicio de valor). 7 1
En conclusión : Tod a proposición es una aseverativa, pero no toda aseverativa es una proposición.
oración oración
5
Ejemplos Son pseudoproposiciones : a) El triángulo es inteligente. b) Alejandro es un número racional. Son funciones proposicionales: c) 3x + 7 = 16. d) x es la capital del Perú. Las
descripciones in definidas No son proposiciones. e) El principal sospechoso de los atentados del 11 de setiembre de 2001 en los Estados
dentro de U un subconjunto de elementos que hacen verdadera a la proposición p (abril, junio, setiembre y noviembre) y un subconjunto de elementos que hacen falsa a la proposición p (enero, febrero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre). En caso de que se trate de dos proposiciones abiertas p y q cada una de ellas definirá dentro del referencial un subconjunto de elementos que la verifica, definiéndose así cuatro regiones.
Unidos.
U
f) El actual Presidente de la República del Perú.
En conclusión
B
I
II
Proposición es una oración o enunciado declarativo carente de ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero nunca las dos cosas simultáneamente.
III
Donde: mes x tiene 30 días‖, distinguir ―el
La veracidad o falsedad de un enunciado se llama su valor de verdad. Los términos verdadero o falso se consideran como atributos de una proposición, excluyéndose de ellos toda interpretación filosófica.
4. LAS PROPOSICIONES Y LOS CONJUNTOS Dado un conjunto referencial cualquiera U, una proposición abierta p definirá un subconjunto (eventualmente vacío) de elementos que hacen a la proposición verdadera y otro subconjunto (complemento del anterior) de elementos que hacen a la proposición falsa. Es decir, podemos diferenciar los elementos de U en dos conjuntos disjuntos, uno formado por los elementos que verifican a p y otro por los que no la verifican.
U
A
Elementos que no verifican a p Elementos que verifican a p
Por ejemplo, si U tiene por elementos los meses del año y p es la proposición abierta
podemos
I. Elementos que verifican tanto a p como a q. II. Elementos que verifican solo p. III. Elementos que verifican solo q. IV. Elementos que no verifican ni p ni q. Las regiones I y II reúnen a todos los elementos que verifican p y las regiones I y III a todos los que verifican q.
Nota: En adelante usaremos la notación p, q, r,... etc. para referirnos indistintamente a proposiciones abiertas o cerradas, quedando claro su significado en el contexto. 5. CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones pueden separarse en simples (o atómicas) y compuestas (o moleculares). A. Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticale s típicas o conectivas ( y‘, o‘, si... entonces‘, ‗si y sólo si‘) o del adverbio de negación no‘. ‗
‗
‗
‗
Ejemplos: 1. San Marcos es la universidad más antigua de América. 2. Llueve. 3. 7 es un número primo. Las proposiciones atómicas pueden clasificarse en predicativas y relacionales.
predicativas a) Las proposiciones constan de sujeto y predicado. Ejemplos: 1. El número 2 es primo. 2. Carlos Marx fue el creador del Materialismo Dialéctico. 3. Gregorio Mendel es el padre de la Genética. proposiciones relacionales b) Las constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplos: 1. Margarita es hermana de Luz Elena. (relación de parentesco) 2. La selección Nacional jugó un partido intenso con su similar de Chile. (relación de acción.) 3. Vallejo y Mariátegui fueron contemporáneos. (relación de tiempo) B. Proposiciones moleculares, llamadas también compuestas o coligativas contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo no‘.
1. El número dos es par, pero el número tres es impar. 2. Ricardo es inteligente, sin embargo es flojo. Tanto el padre como el hijo son 3. melómanos. 4. La materia ni se crea ni se destruye. 5. Iré a verte aunque llueva. 6. Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión. 7. Perú así como Ecuador son países demócratas. 8. El átomo posee neutrones, protones también electrones.
Nota: Existen algunos términos de conjunción que merecen una mención particular:
No sólo la matemática es precisa sino también universal: p ∧q El ser Leninista es compatible con el ser Marxista: p ∧q La luna es un satélite no obstante gira alrededor de la tierra: p ∧q
‗
Ejemplos: 1. La lógica y la matemática son ciencias formales. 2. El tiempo es absoluto o es relativo. 3. Si dos ángulos adyacentes forman un entonces par lineal, son suplementarios. 4. Este número es par si y sólo si es divisible por dos. 5. El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño. 6. Hace calor y tengo ganas de ir a la playa. 7. Tengo hambre, frío y no consigo un taxi. 8. Si un número es divisible por 2 y por 3, es divisible por 6.
“Una proposición conjuntiva es verdadera cuando todos sus componentes son verdaderos. Es falsa cuando por lo menos uno de sus componentes es falso”
p V V F F
q p ∧ q V V F F F V F F
p 1 1 0 0
q p ∧ q 1 1 0 0 0 0 0 0
b) L a s llevan la
proposiciones disyuntivas conjunción disyuntiva o sus o‘, expresiones equivalentes como u‘, ya... ya‘, bien... bien‘, ora... ora‘, sea... sea‘, y/o‘, etc. En español la disyunción 'o' tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente. La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Ejemplos: Son proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles: 1. Alfredo es tío o es sobrino. 2. Rosa está viva o está muerta. ‗
Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación no‘ se llaman negativas. ‗
a) La s p r o p o s i c i o n e s c o n j u ntivas ll e v a n l a c o n j u n c i ó n copulativa y‘, o sus expresiones equivalentes como e‘, pero‘, aunque‘, aun cuando‘, tanto... como...‘, sino‘, ni... ni , ‗ sin embargo‘, además‘, etc. Ejemplos: ‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
‗
3. Perú y Ecuador se pondrán de acuerdo salvo que intervenga EE.UU.
Nota: Cuando aparece una disyunción al lado de un conjuntor o viceversa, la fórmula lógica será un Disyuntor débil. Ejemplo: 1. Las aves poseen pico excepto que también alas: p v q 2. Los números son reales y/o complejos: p v q. “Una proposición disyuntiva es falsa cuando todos sus componentes son falsos. Es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero”
p V V F F
q p ∨ q V V V F V V F F
p 1 1 0 0
q p ∨ q 1 1 1 0 1 0 0 0
c)
Las
p r o p o s i c i o n e s condicionales llevan la conjunción condicional compuesta si... entonces...‘, o sus expresiones equivalentes como si‘, siempre que‘, con tal que‘, puesto que‘, ‗ya que‘, porque‘, cuando‘, de‘, a menos que‘, a no ser que‘, salvo que‘, sólo si , solamente si‘. Ejemplos : 1. Si es joven, entonces es rebelde. 2. Es herbívoro si se alimenta de plantas. 3. El número cuatro es par puesto que es divisible por dos. 4. Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales. 5. De salir el sol iremos a la playa. 6. La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica. ‗
‗
‗
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Toda proposición condicional consta de antecedente dos elementos: y consecuente. La proposición que sigue a la palabra si‘ se llama antecedente y la que sigue a la palabra entonces‘ se denomina consecuente. Toda proposición implicativa es condicional, pero no toda proposición condicional es implicativa. En efecto, sólo las proposiciones condicionales que son tautologías son implicativas. ‗
‗
Son proposiciones disyuntivas ex clusivas o f u er t es 1. José es profesor o es estudiante. 2. Juana es soltera o es casada. 3. Eres campeón o subcampeón. 4. O estudias o trabajas.
Nota: Algunos disyuntores incluyentes pueden venir acompañados de las palabras: sólo, únicamente, solamente. Dando mayor fuerza al inclusor transformándolo en exclusor. Ejemplo: 1. Este año viajaré al extranjero salvo que sólo viaje a Lima: p v q 2. A menos que solamente seas Ingeniero, serás matemático: p v q “Una proposición Bidisyuntiva es verdadera cuando sus componentes tienen valores diferentes. Es falso si sus componentes tienen valores iguales”.
p V V F F
q p ∨ q F V V F V V F F
p 1 1 0 0
Finalmente, en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la proposición condicional ‗s i los cuerpos se calientan, entonces se dilatan‘, el consecuente ‗se dilatan‘ es condición necesaria del antecedente ‗s e calientan‘ y el antecedente ‗se calientan‘ es condición suficiente del consecuente ‗s e dilatan‘. “Una proposición condicional solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En los demás casos la proposición será verdadera”.
q p ∨ q 0 1 1 0 1 0 0 0
p V V F F 8
q p → q V V F F V V V F
p 1 1 0 0
q p 1 0 0 0
→ q 1 0 1 1
d) L a s proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta ... sí y sólo si...‘, o sus expresiones equivalentes como cuando y sólo cuando‘, si..., entonces y sólo entonces...‘, etc. Ejemplos: 1. Es fundamentalista si y sólo si es talibán. 2. Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva. 3. Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces ingresaré a la universidad. ‗
‗
p ∼p V F F V
‗
Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición bicondicional ―el triángulo es equilátero si y sólo si tiene tres lados iguales‖ establece dos condicionales de sentido inverso: si es triángulo equilátero, entonces tiene tres lados iguales‘ y si el triángulo tiene tres lados iguales, entonces es equilátero‘. ‗
‗
En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del consecuente y el consecuente es condición necesaria y suficiente del antecedente. “Una proposición Bicondicional es verdadera cuando sus componentes son iguales. Es falsa si sus componentes tienen valores diferentes”.
p V V F F
una proposición es verdadera, su negación será falsa y viceversa‖ ―Si
q p ↔ q V V F F F V V F
p 1 1 0 0
q p ↔ q 1 1 0 0 0 0 1 0
e) Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negación no‘, o sus expresiones equivalentes como nunca‘, jamás‘, tampoco‘, ‗no es verdad que , ‗no es cierto que‘, ‗es falso que‘, ‗ el falta‘, carece de‘, sin‘, etc. Ejemplos: 1. Nunca he oído esa música. 2. Jamás he visto al vecino. 3. Es imposible que el átomo sea molécula. 4. Es falso que el juez sea fiscal. 5. Al papá de Oscar le falta carácter.
p ∼p 1 0 0 1
En resumen p q p ∧q p ∨q p ∆ q p → q p ↔ q p ↓ q p / q V V V V V F V V F V F F F V V F F F F V F F V V V F F F F F V F F V V V Regla práctica: V ∧V = V F ∨ F = F V → F = F F ← V = F V ↔ V = V , F ↔ F = V
V ∆ V = F , F ∆ F = F
6. EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL Existen dos tipos fundamentales de lenguajes: el natural y el formalizado. El lenguaje natural es el usado en la vida familiar, en la vida cotidiana. El lenguaje formalizado es el lenguaje usado en la actividad científica. Sólo sirve para formular conocimientos. Es un lenguaje especializado. Pertenecen a este lenguaje, el lógico y el matemático. El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado consta de dos clases de signos: variables proposicionales y operadores o conectores lógicos.
‗
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variables proposicionales a) Las representan a cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto castellano p‘, q‘, r‘, s‘, etc. ‗
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b) Los operadores lógicos además de enlazar o conectar proposiciones establecen determinadas operaciones entre ellas. Son de dos clases: diádicos y el monádico.
Los operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables. Y son los siguientes: conjuntivo: representa a la El conjunción y‘. Su símbolo es ∧‘. disyuntivo: representa a la El conjunción ―o‖ . Puede ser inclusivo y exclusivo. El símbolo del inclusivo es ―∨‖; el del exclusivo es ―∨‖ a la El condicional: representa conjunción compuesta si... entonces‘. Su símbolo es ―→‖ El bicondicional: representa a la conjunción compuesta si y sólo si‘. Su símbolo es ―↔‖ Negación conjunta: representa a las partículas ni...ni…‘. Su símbolo es ―↓‖ Negación alterna: representa a la expresión no… o no…‘. Su símbolo es ―/‖ ‗
‗
.
Ejemplo 2. Dadas las proposiciones: p: ―El dos es número primo‖ q: ―Los números pares no son primos‖. r: ―Todo número elevado al cuadrado es siempre positivo‖. Encontrar el valor de verdad de: [( p ∧q ) → r ] ∨[(q ∨r ) ↔ p] Resolución Paso 1
‗
.
‗
.
‗
Definimos el valor de verdad de cada proposición. p: V q: F r: V Paso 2
.
Asignamos el valor de verdad a las variables
‗
.
El operador monádico es el Negativo y tiene un solo alcance: hacia la derecha, es decir, afecta a una sola variable. Es el operador de la negación. Representa al adverbio negativo no‘. Su símbolo es ― ∼ ‖, ―¬‖ ‗
[( p ∧q ) → r ] ∨[(q ∨r ) ↔ p] V F
V
F
V
V
Paso 3 Aplicamos las reglas de los conectores de acuerdo a su jerarquía.
.
[( p ∧q ) → r ] ∨[(q ∨r ) ↔ p]
7. FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES
V F F
V
F V
V
V Formalizar una proposición significa abstraer V V su forma lógica, es decir, representarla V simbólicamente. ∴El valor de verdad es V (verdadero) Ejemplo 1. Formalizar la proposición: ― Ya que Inicial es un nivel educativo tanto como la primaria o secundaria, por ello es 8. DEFINICIÓN TABULAR DE FÓRMULAS MOLECULARES COMPLEJAS gratuito y no es educación superior ‖
Resolución Paso 1 Identificamos proposiciones simples y asignamos variables en orden alfabético. p: Inicial es un nivel educativo. q: La primaria es un nivel educativo. r: La secundaria es un nivel educativo. s: Inicial es gratuito. t: Inicial es educación superior.
le
Las fórmulas o esquemas moleculares complejas contienen dos o más operadores distintos o dos o más veces el mismo operador. Para definir tabularmente fórmulas moleculares complejas se deben observar los siguientes pasos: 1. Dada la fórmula molecular compleja se
Paso 2 Identificamos la estructura formal ― Ya que …p… tanto como …q… o …r…, por ello …s… y no …t… ‖ Paso 3 Escribimos la formula lógica (Formalización): p ∧( q ∨r ) ] → ( s ∧¬t )
[
10
establece la jerarquía entre sus operadores a través de los signos de agrupación: ~ [( p ∨q) ∧(~ q →~ p)] 2. Se construye las matrices secundarias que
corresponden a las de los operadores de
p
V V F F
menor jerarquía aplicando sus respectivas definiciones: q ~ [( p ∨ q) ∧ (~q → ~p )] V V F V F V F V F V F F V V V F V V F F F V V V construye, finalmente, la matriz principal que corresponde a la del operador de mayor jerarquía aplicando la definición correspondiente a las matrices de los operadores que la siguen en jerarquía:
1. TAUTOLOGICOS. Si su matriz principal está conformado solo de valores verdaderos. Ejemplo p 1 1 0 0
3. Se
p
q
V V F F
V F V F
~ [( p ∨ q) F V V V F V V F 3 5
∧ (~q
→ ~p )]
V F V F
F V F V
V F V V
F F V V
2
4
3
4
q 1 0 1 0
∧ q) → (p ∨
(p
1 1 1 1
1 0 0 0
q)
1 1 1 0
↑ Matriz principal Las fórmulas moleculares tautológicas son llamadas también leyes lógicas. 2. CONTRADICTORIOS. Si en su matriz principal todos los valores son falsos. Ejemplo p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
(p ∨ q) 1 1 1 0
↔ (¬p
∧
0 0 0 0
0 0 0 1
¬q)
La matriz principal (5), se ha obtenido aplicando la definición del operador negativo a los valores de la matriz 2. La matriz 2 se obtuvo ↑ aplicando la definición del operador conjuntivo Matriz principal a los valores de las matrices 3. La matriz 3 del lado izquierdo se ha obtenido aplicando la 3. CONTINGENTES. Si en su matriz principal aparece por lo menos un valor verdadero y un definición del operador disyuntivo inclusivo a falso. los valores de p‘ y q‘. La matriz 3 del lado Ejemplo derecho se ha obtenido aplicando la definición del operador condicional a los valores de las p q (p ∨ q) ↔ (p ∧ q) matrices 4. La matriz 4 del lado izquierdo se ha 1 1 1 1 1 obtenido aplicando la definición del operador 0 1 0 1 0 negativo a los valores de q‘ y la matriz 4 del 0 1 0 0 1 lado derecho, aplicando la definición del 1 0 0 0 0 operador negativo a los valores de p‘. ↑ Matriz principal Nota: Una fórmula proposicional será válida si Ahora es tu oportunidad: es Tautológica y se dirá que es falsa en toda Construir la tabla de verdad del siguiente interpretación si es contradictoria. esquema molecular: ‗
‗
‗
‗
[(p→ q) ∧(q → r)] → (p → r) Nota: La matriz principal es: VVVVVVVV
9. CLASIFICACIÓN MOLECULARES PRINCIPAL
DE LAS FÓRMULAS POR SU MATRIZ
Las tablas de verdad nos permiten clasificar a las fórmulas moleculares, atendiendo a su matriz principal, en tautológicas, consistentes y contradictorias.
10.IMPLICANCIA Y EQUIVALENCIA LÓGICA Se llama Implicancia lógica (o simplemente IMPLICACIÓN) a toda condicional p → q que sea una TAUTOLOGÍA, y en tal caso a la condicional se le denota por p ⇒ q . Ejemplo El esquema:
( ∼ p ∨q ) ∧∼ q ⇒∼ p es
una implicación lógica. ¡Verifícalo!
11
Se llama Equivalencia lógica (o simplemente EQUIVALENCIA) a toda bicondicional p ↔ q que sea una TAUTOLOGÍA, y en tal caso a la condicional se le denota por p ⇔ q . Ejemplo
(p↔q) ≡ ¬(p∨q) ( p↔q) ≡ ¬(¬p↔q) (p↔) ≡ (¬p∨q) ( p∨q) ≡ ¬(p↔q)
El
EXPORTACIÓN ( p∧q)→r ≡ p→( q→r ) DISYUNTOR EXCLUYENTE (p∨q) ≡ ( p∨q)∧(¬p∨¬q)
esquema:
p ∧( p ∨q )
⇔ p es
una
equivalencia lógica. ¡Verifícalo!
11.LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL DOBLE NEGACION p ≡ ¬ ( ¬ p) ¬ p ≡ ¬ [ ¬ ( ¬ p)] LEYES DE D`MORGAN ¬ (p ∧q) ≡ ¬ p ∨¬ q ¬ (p ∨q) ≡ ¬ p ∧¬ q p ∧q ≡ ¬ ( ¬ p ∨¬ q) p ∨q ≡ ¬ ( ¬ p ∧¬ q) CONMUTACIÓN( ∨, ∧, /, ↓, ↔, (p ∨q) ≡ (q ∨p) (p↔q) ≡ (q↔p) CONTRAPOSICIÓN (,, ↔, (pq) ≡ ( ¬ q ¬ p) (p ∨q) ≡ ( ¬ q ∨¬ p)
∨)
∨)
ASOCIACIÓN ( ∧, ∨, ↔, ∨) (p ∧q ∧r) ≡ [p ≡ ∧q] ≡ [p ∧(q ∧r)] (p ↔ q ↔ r ↔ s) ≡ [(p ↔ q) ↔ (r ↔s)] DISTRIBUCIÓN p ∧(q ∨r) ≡ (p ∧q) ∨ (p ∧r) p ∨ (q ∧r) ≡ (p ∨q) ∧ (p ∨r) ABSORCIÓN p ∧(p ∨q) ≡ p ¬ p ∧(p ∨q) ≡ p ∨(p ∧q) ≡ p ¬ p ∨(p ∧q) ≡
¬ p ∧q ¬ p ∨q
IMPLICADOR p q ≡ ¬ p ∨q pq ≡ ¬ (p ∧¬ q) BIIMPLICADOR (p↔q) ≡ (pq) (p↔ q) ≡ (p ∧q)
∧ (pq) ∨ ( ¬ p ∧¬ q)
IDENTIDADES p∧1≡ p p∨1≡ 1
MUTACIÓN p→(q→r ) ≡ q→( p→r )
p∧0≡ 0 p∨0≡ p
Ejemplo
LEY DE EXPANSIÓN p ≡ [p∨( s ∧∼ s)] p→q ≡ [p ≡ ( p∧q)] p
Demostrar que ( p ∧q ) ⇔ ( p∧
q
) ∨(
p ∧q
) ∨(
p∧
q
)
Resolución En efecto tenemos que: ( p ∧q ) ⇔ p ∨ q ⇔ ( p ∧T ) ∨ ( q ∧ T )
≡ [p∧( t∨∼ t) ] p→q ≡ [q ≡ ( p∨q)]
⇔(
p ∧ ( q∨ q ) )
⇔ ( p ∧q ) ∨ ( ⇔ ( p∧ q ) ∨( ⇔ ( p∧ q ) ∨(
IDEMP OTENC IA p∧p ≡ p p∨p ≡ p COMPL EMENT O p∧¬p
∨(
q ∧ ( p∨ p ) )
p ∧ q )
∨(
q ∧ p ) ∨( q ∧ p )
p ∧q ) ∨( p ∧ q ) ∨( p ∧ q )
)
p ∧q ) ∨( p ∧ q )
Tarea. Justifique cada uno de los pasos realizados teniendo en cuenta las leyes del álgebra proposicional. 12. CUANTIFICADORES
Las expresiones todo y existe se denominan cuantificadores. En el lenguaje matemático:
≡ 0 p∨¬p ≡ 1
La palabra ―todo‖ (o sus equivalentes) en una proposición indica que cualquier elemento que 12
se elija dentro del conjunto posee la propiedad. El símbolo que se utiliza para ―todo‖ es ∀ (se lee ―para todo‖). La palabra ―existe‖ (o sus equivalentes) en una proposición indica que hay dentro del conjunto al menos un elemento que posee la propiedad. Puede ser uno, varios, o incluso todos. El símbolo que se utiliza para ―existe‖ es ∃ (se lee ―existe‖).
Por ejemplo
Usamos las palabras Todo Ninguno Cualquiera No hay Nadie Los / Las
Por ejemplo Todos los insectos alados tienen 6 patas. Ningún lugar está lejos Para Cualquier múltiplo de 6 referirnos puede dividirse por 3. a TODO No hay mamíferos acuáticos. Nadie es perfecto. Las cámaras digitales utilizan baterías.
Usamos las palabras Existe Un / Unos Alguno Algunos Hay
/
Por ejemplo Para referirnos a que EXISTE al menos uno
Existen hombres daltónicos. Unos pancitos tienen queso. Algunos mamíferos tienen alas. Hay algunos sitios de acampe donde no se puede hacer fuego..
Redactar las proposiciones del cuadro en la forma ―Todo...‖ o ―Existe...‖ por ,
Ejemplo: ― Algunos mamíferos tienen alas‖ se escribirá como ―Existe un mamífero que tiene alas‖ El valor de verdad de las proposiciones categóricas Como toda proposición, las proposiciones categóricas (las contienen que cuantificadores) poseen un valor de verdad (es decir, puede decirse de ellas que son Verdaderas o Falsas). En algunos casos decir de una proposición que es verdadera o falsa es sencillo. Para la proposición basta con mirar por la ―Llueve‖ , ventana para decidir.
¿Cómo podemos demostrar que afirmación que tiene un cuantificador verdadera o falsa?
una es
Por ejemplo: La afirmación ―Todo los perros son blancos‖ es falsa. ¿cómo lo sabemos? Basta con mostrar un perro que no sea blanco. La afirmación ―Todo número múltiplo de 6 es par ‖ es verdadera. Para mostrar que esto es cierto, dado que no hay posibilidades de revisar uno por uno todos los múltiplos de 6, hay que recurrir a una demostración general, a un razonamiento deductivo que nos permita evidenciar que la afirmación es cierta. En este caso es sencillo, porque para que un número sea múltiplo de 6, debe ser a la vez múltiplo de 3 y de 2. Al ser múltiplo de 2 es par. Por lo tanto la afirmación es cierta para cualquier múltiplo de 6.
CTIVIDADES DE APLICACIÓ CIÓN Estimado alumno, considerando la parte teórica desarrollada, resuelva cada una de los ítems propuestos a continuación
01.Si ∼ ( ∼ p
)
p ∨q
) ⊕ ( p ∧∼ ∧ ( r ∧ s ) ⊕ q
es
verdadera, ¿cuáles son los valores de verdad de las proposiciones s, p, r y q?
p ∨q ↔
( p∆ q )
02.Indicar el resultado de la matriz principal del
¿en cuál de los siguientes casos es suficiente dicha información para determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones? a) ( p ∨q ) → ( p∧ q )
esquema
03.Demostrar que
es una
b) ( q → p ) ∨ r
equivalencia lógica
04.Sabiendo que la proposición ―p‖ es verdadera, 13
c) ( p∧ q )
( p ∨q ) ↔ ( p∧ q )
→ r d) ( p ∨q ) ∧( r ∨ p )
05.Si ( s ↔ p ) ∆r ∨( p
es
verdadero
y
a) ∀ x ∈ A, ∀ y ∈ A, x2 + 3 y
< 12
∧q )
( p → q ) ∨ r es falsa, determine los valores
b) ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ A / x2 + 3 y <
p,― ‖ q y ―s‖ de verdad de ― ‖
12
06.Demostrar que las siguientes proposiciones son leyes lógicas (tautologías) a) ( p ∧q ) → q b) ( p∨ q )
∧
→ p
07.Simplificar: p )
3 y
d) ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ A, x 2 +
< 12 COMPROBACION DE SABERES
→(
p → q )
(
~ { p ∨q
( p ∧q ) ∨q ↔ q ∧( q∨ r ) ↔ ( q∧ p ) ∨ ( p ∨r
q(→
12
01.Calcular el valor de verdad de la fórmula:
c) d)
<
c) ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ A, x 2 + 3 y
∧
) ∧ p → ( ~ q ∨ p ) }
02.Determinar el valor de verdad de la proposición p y q, si: ~ p∨~ q ≡ F ; ( p ∧q ) ↔ ( p ∨q ) ≡ V 03.Suponiendo que p y q son verdaderas y r y s falsas, determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
08.Demostrar que el esquema p ↔ ( q∨ r
) ∧{ p → ( q ∧ r )
∧ → r ) }
a) p ∨( q ∧r )
q
es contradictorio.
09.Formalizar las siguientes proposiciones: a) No es cierto que José termine su tarea y vaya al cine. b) Iremos a nadar a menos que el cielo no esté despejado, ya que no hemos traído carpa.
10.Formalizar la siguiente proposición: Historia que es apolítica no es ciencia, pero la Historia es una ciencia; por consiguien te la Historia no es política. Sin embargo, la Historia no es apolítica‖. Respecto a este esquema podemos afirmar que: a) Es contingente y se reduce a un esquema condicional. b) Se reduce a un esquema conjuntivo. c) Es contradictorio. d) Es verdadero si la Historia es una ciencia. e) Es verdadero si la Historia es política. ―La
11.Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y negarlas simbólicamente.
b) p ∧( q ∧r )
c)
∨∼ ( p ∨q ) ∧( r ∨ s )
( ∼ ( p ∧q ) ∨∼ r ) ∨( ( ( ∼ p ∧q ) ∨∼ r ) ∧
s ) d) e)
( p ↔ r ) ∧( ∼ q → s )
( p ∨( q → ( r ∧∼ p ) ) ) ↔ ( q∨∼ s )
04.Construya las tablas de verdad para las siguientes expresiones lógicas:
b)
∼ ( ∼ p∨∼ ∼ ( ∼ p∧∼
c)
( ∼ p ∧( ∼ q ∧r ) ) ∨( q ∧r ) ∨( p ∧r )
d)
( ( ( ( p ∧q ) → r ) ∧( p ∧q ) )
e)
( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ q ) ∨ ( p∧∼ q ) ∨ ( ∼ p∧∼ q )
a)
q) q)
→ r )
05.Formaliza las siguientes proposiciones: a) Hace frío siempre que, apague la luz pero no cierre la puerta. b) La suma de los ángulos internos de un
triángulo+ es 180°, al igual que la suma de 2 a) ∀ x ∈ , x −1 2 x + 13 = b)
∈
∃ x
los ángulos internos de un cuadrilátero es 360°. c) Es falso que si juego y me divierto, entonces ingresaré a la carrera pública magisterial. d) Es incompatible que la Química y la Física
0
+
/ x
2
−12 x + 13 = 0
12.Sea A = {1; 2;3 } , determinar el valor de verdad
estudien la energía, a menos que ni la
de cada una de las siguientes proposiciones, así como indicar sus negaciones.
14
Lógica ni la Física estudien la materia.
06.La proposición: Si hay humedad, entonces las plantas crecen, es equivalente a: a) Las plantas crecen y hay humedad. b) Si las plantas no crecen, no hay humedad. c) No hay humedad y las plantas crecen. d) Las plantas no crecen y hay humedad. e) Todas las anteriores. 07.De la falsedad de: ( p → q ) ∨( r → s ), deducir el valor de verdad de los esquemas: a) ( ¬ p ∧¬q ) ∨¬q
( r ∨q ) ∧q ↔ ( q ∨r ) ∧ s c) ( p → r ) → ( p ∨q ) ∧ q b)
08.Simplificar:
p ∧q → ( r ∨ r ) ∧ b) ( p ∧q ) → q ∨ a)
c) ( p → q )
q
→ ( p ∧q ) ∨( p ∧r )
09.¿Cuántas F y cuántas V tiene la matriz del esquema
( p ∧q ) → r ∧( después s∨
de simplificarlo? 10.Indicar el valor de verdad de: a) ∀ x ∈ , ∀ y ∈ , ( − y )
= xy → xy > 0
b) ∃ x ∈ / ( −1) ( ) = 0 2 x c) ∀ x ∈ , =
∧ ∀ x ∈ , x 2 > x e) [∀ x ∈ , − x < 0] ∨[∃ x ∈ / − x = x] f) ∃ x ∈ / − x ∈ d)
[∃ x ∈
/ x + 2 = 5]
ACTIVIDADES DE EXT EXTENSIÓN
Investigue sobre la aplicación de la Lógica difusa y los circuitos lógicos en el Modelamiento e interpretación de situaciones de nuestra vida diaria.
VI. REFERENCIAS BIBL BIBLIOG IOGRAFICAS
15
1. Venero B., J. Armando (2004). Matemática Básica. Ediciones GEMAR, Lima – Perú. 2. Venero B., J. Armando (2004). Introducción al Análisis Matemático. Ediciones GEMAR, Lima – Perú. 3. Moth, Kart J. (1987). Introducción a la Lógica. Grupo Editorial Iberoamericana.México D.F. 4. Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2006). Álgebra y principios del análisis Tomo I y II. Segunda Edición, Lumbreras editores S.R.L., Lima – Perú. 5. Asociación Fondo de Investigadores y Editores (2006). Aritmética: Análisis del número y sus aplicaciones. Segunda Edición, Lumbreras editores S.R.L., Lima – Perú.
SISTEMAS NUMÉRICOS
“Una vez le preguntaron a Einstein, ¿Cuál es la velocidad del sonido? Y éste respondió: “No lo sé, procuro no cargar mi memoria con datos que puedo encontrar en cualquier manual, ya que el gran valor de la educación superior no consiste en atiborrarse de datos, sino en preparar el cerebro a pensar por su propia cuenta y así llegar a conocer algo que no figure en los libros” A. Einstein.
CONTENIDOS Relaciones entre los sistemas numéricos: N, Z, Q y R Interés simple y compuesto
APRENDIZAJES ESPERADOS
Demuestra axiomas y teoremas sobre números reales.
Identifica y aplica axiomas y teoremas de números reales
16
INDICADORES Resuelve situaciones problemáticas entorno aplicando los axiomas y teoremas de los números reales. Resuelve e interpreta problemas financieros
aplicando las ecuaciones de interés simple y compuesto.
SITUA TUACIÓ CIÓN PROBLEMÁTICA Analiza la propuesta de formación del sistema de números reales y fundamente la necesidad de ampliar cada conjunto numérico con argumentos válidos y confiables, y si es posible con ejemplos de la vida cotidiana.
Ubicación de Ι en la recta numérica Los números irracionales no son numerables, es decir, entre cualquier par de irracionales existen infinitos números irracionales. Varios de los números irracionales se ubican geométricamente del siguiente modo:
Operación de OOpopppo Sustracció n
√2
-
Operación
Operación de división con cifras dd iinecimales iferentes e determinadas.
de
división parcial.
-
Representación de una parte de la unidad.
-
Operación de división con cifras decimales periódicos
I
DESARROLLO OLLO DEL CONTENIDO TEÓRICO CIE CIENTÍFICO En el siglo V A. C., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los
0
-1
−√2
1
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ( ) Es el conjunto de los números racionales e irracionales.
= ∪Ι
Es decir:
GRAFICA
R
Q Z N
Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el
CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES A los números decimales cuya parte decimal es infinita no periódica, tales como: 2
=
(pi)
1,41421356 2... ,
π=
3,141592653 5...
I
⊂ ⊂ ⊂ Ι⊂
3; 5 ; 11 ,
son radicales.
√2
Observa que el número irracional 2 resulta ser la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1. Haciendo centro en 0, se traza un arco cuyo radio coincide con la longitud de la Hipotenusa. La intersección del arco con la recta numérica permite ubicar en ella a los números irracionales 2 y − 2
fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.
nombre de radicales. Por ejemplo:
1
LA RECTA NUMÉRICA REAL Es aquella recta geométrica donde existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de la recta y el conjunto de los números reales. (+) POSIT IVOS
, se les
−∞
números irracionales formal el Conjunto Ι de los Números Irracionales. Los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos. Algunos de estos
−
−π
denomina Números Irracionales. Todos los
1 5 -2 -1 - 1 1 0
son: Pi:
π
π
2
2
2
5
3
+∞
=
3,141592653 5...
Número
Neperiano:
e
=
-3 -
2,718281 8...
2
2
2
2
(-) NEGAT IVOS
Número Áureo: Φ =
1+ 5 2
Se observa que la representación de los números irracionales en la recta numérica, determina la completitud, es decir, que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto de la recta y cada punto de la recta es conjunto es continuo, es decir, no existe ningún vacío entre sus elementos.
=
1,61803398...
17
SISTEMA DE NÚMEROS REALES Es el conjunto provisto de dos operaciones: adición (+) y multiplicación ( ) y una relación de orden (<) que se lee ―menor que‖ y que satisface los siguientes axiomas:
1. Si x, y ∈ entonces ( x + y )
∈
(Cerradura
en la adición).
Definición de la
x y
División
−
= x ⋅ y 1 ; ∀ x, y ∈ ∧ y ≠ 0
Teoremas fundamentales en 1. Unicidad del 0 y 1. 2. Si x + y = x + entonces y = z ; ∀ x, y, z ∈ z
2. Si
x, y ∈ x
,
entonces
x + y
= y +
3. Unicidad de
(Conmutatividad).
elementos
simétrico
y
recíproco.
x, y, z ∈ ,
3. Si
los
entonces
( x + y ) + z = x + ( y (Asociatividad en la + z )
4.
− ( − x ) = x; ∀ x ∈
5. ( −1) x = − x; ∀ x ∈
adición). 6. x ( − y )
4. Existe 0 ∈ de manera que x + 0 = x para cualquier x ∈ (Neutro aditivo). 5. Para cada x ∈ existe un elemento − x ∈ que x + ( − x )
=
7. tal
0 (Inverso
x, y ∈ ,
x, y, z ∈ ,
x = 0 ∨ y = 0
Demostraciones en entonces
xy
=
yx
Teorema (Unicidad del 0)
(Conmutatividad en la multiplicación).
8. Si
z
(Cerradura en
la multiplicación).
7. Si
8. Si x ≠ 0 ∧ xy = xz entonces y = 9. Si xy = 0 entonces
aditivo).
6. Si x, y ∈ , entonces x y ∈
= ( − x ) y = − xy; ∀ x, y ∈ x ( y − z ) = xy − xz ; ∀ x, y, z ∈
entonces
( xy ) z = x (
Probar que existe un único elemento neutro aditivo.
yz )
(Asociatividad en la multiplicación). 9. Existe 1∈ de manera que x ⋅ 1∈ para cualquier x ∈
10.Para cada x ∈
(Neutro multiplicativo). existe un elemento x
Prueba Sea 0‘ otro número real que tiene la propiedad del 0. Entonces:
−1
∈
0' + 0 = 0 + 0'
=
0 ⇒ 0 = 0'
−
tal que x 1 ⋅ x = 1 (Inverso multiplicativo).
Teorema:
x − y = x + ( − y ) ; ∀ x, y ∈ 11.Si x, y, z ∈ , entonces x ( y + z )
= xy +
xz
(Distributividad de la multiplicación en la adición).
12.Si x, y ∈ , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía) (i) x < y (ii) x > y
Prueba a = x − y ∧b = x +
Tomando
que a Si a
=
, probaremos
b.
= x − y ⇒ x =
a + y
Por otro lado b = x
(iii) x =
( − y )
+ ( − y )
y
13.Si x, y, z ∈ , x < y y y < z entonces x < z (Transitividad).
14.Si x, y, z ∈
Sumando y a ambos miembros obtenemos:
b + y = x +
y x < y , entonces x + z < y + z
(Monotonía en la adición) 15.Si x, y, z ∈ ; x < y y 0 < z , entonces xz < yz
Como y +
( − y ) + y
( − y ) = 0 ⇒ b + y = x
De donde: b + y
= x =
a + y ⇒ a = b
(Monotonía en la multiplicación). Teorema:
Axioma del supremo (Axioma de la menor cita
−( − x ) = x; ∀ x ∈
Prueba
superior) Si E ⊂ es un conjunto acotado superiormente
Sean: x +
( − x ) = 0 ∧( − x ) + ( −( − x ) ) =
en
Entonces:
( − x ) + ( −( − x ) ) = x + ( − x )
De donde:
−( − x ) = x
, entonces E tiene supremo en
.
Definición de la Sustracción
x − y = x +
( − y ) ; ∀ x, y ∈ 18
0
Teorema: x + x = 2 x; ∀ x Prueba ∈ Sean: x
⋅
Teorema: x
= x
−1
1
, x ≠ 0
= x ; ∀ x ∈
Prueba
1
(
) = x
Entonces: x + x = x ⋅ 1 + x ⋅ 1 = x 1 + 1 De donde: ⋅ 2 = 2 ⋅ x
Teorema: Prueba
x + x
=
− x 1
=
2 x
(
x
−1
(
x
x x)
−1
−
( x 1 ) ( x
x ⋅ 0 = 0; ∀ x ∈
)
= x ⋅ 0 = x ⋅ 0 + 0 = x ⋅ 0 + ( x
=
+ ( − x ) ) = ( x ⋅ 0 + x ) + ( − x ) = ( x ⋅ 0 + x ⋅ 1) + ( − x ) = x ( 0 + 1) + ( − x ) = x ⋅ 1 + ( − x ) = x + ( − x ) = 0 Teorema:
)
1=
x 1 x
Teorema:
−
− − 1 ( x y ) = x 1 y 1; ∀ x, y ∈ , y ≠ 0
Prueba −1 −1 −1 xy x y
(
) (
=
= ( x y ) ( x y ) =
− x = ( −1) x; ∀ x ∈
−
−
) = ( xx 1 )( yy 1 )
1
x y
x ⋅
y ⋅
1
= ( 1) ( 1)
1
−1
1
Prueba Basta demostrar que:
x +
( −1) x =
en vista que
Por la
del
1 xy −
0
( −1) x y − x
unicidad
concluimos que: (
son inversos aditivos de x .
inverso
= x
multiplicativo,
−1 y −1
)
En efecto
x +
AXIOMAS DE ORDEN
( −1) x = 1⋅ x + ( −1) x = ( 1 + ( −1) ) x = 0 ⋅ x =0
Aquí, se establece una ordenación entre los números reales, la cual nos permite decidir si un número real es mayor que otro.
Por lo tanto, por la unicidad del inverso aditivo, se concluye que: − x
Teorema:
= ( −1) x
( − x ) ( − y ) = ( −1) x ( −1)
se llama positivo si y sólo si
a > 0.
2. Un número a ∈
( − x )( − y ) = x ⋅ y; ∀ x, y ∈
Prueba
Definiciones 1. Un número a ∈
a < 0.
y
= ( −1)
se llama negativo si y sólo si
3. a > b ⇔ ( a −b ) es positivo: ( a − b > 0 ) 4. a < b ⇔ ( a −b ) es negativo: ( a −b < 0 )
x ( ( −1) y )
5. a ≥ b ⇔ a > b ∨a = b 6. a < b < c ⇔ a < b ∧b < c
= ( −1) ( −1) x y = ( −1) ( − x ) y
1
= ( −1) ( − x ) y
7. Si
= xy
ayb
tienen el mismo signo y a < b ⇒
a
1
>
b
En consecuencia: Teorema: x y − z ( ) Prueba
x ( y − z )
= xy − xz ; ∀ x, y, z ∈
Si ab > 0 ∧a < x < b ⇔
1 b
1
1
x
a
< <
Nota: ―Una desigualdad PODEMOS INVERTIR, sólo cuando los extremos son positivos o cuando son negativos ‖.
= x y + ( − z ) = xy + x
( − z )
= xy + ( −( xz ) ) = xy − xz
19
En consecuencia: Si un extremo es negativo y el otro es positivo, entonces la desigualdad no se puede invertir. Nota:
∧≡ ∩ (Intersección)
Debemos leer: ―El valor absoluto de ―x‖ es igual a ―x‖, (al mismo número) si ―x‖ es positivo o cero. Pero es igual a ― – x‖ si ―x‖ es negativo‖. Ejemplos: ♦ 3 = 3 , pues 3 > 0
∨≡ ∪ (Unión)
♦ −5 = −(−5) = 5 , pues - 5 < 0 ♦
Teorema:
− 3 = −(
2
−3) =
2
3−
, pues
2
(
2
− 3) < 0
a < c ∧b < d ⇔ a + b < c + d ; ∀a,b, c, d
∈
Prueba
TEOREMAS FUNDAMENTALES 1. x ≥ 0; ∀ x ∈
a < c ⇒a + b < b + c b < d ⇒ b + c < c + d
Ejemplo: 2x −3 ≥ 0
De donde: a + b < c + d
Esta desigualdad siempre se cumple en los reales.
Teorema:
a < b ⇒−a > −b; ∀a,b
∈ 2. x = −x ; ∀ x ∈
Prueba
a < b ⇒b −a
>0
Ejemplo: −2x + 8
( b −a ) + ( −b) > 0 + ( −b ) −a + ( b + ( −b) ) > −b
=
3.
xy
2
*
a < b ∧c < 0 ⇒ ac > bc; ∀a,b, c ∈
> 0; ∀a ∈
x
y ;
=
x
; ∀ x, y ∈
y
=
x
4.
x
2
2
=
x
=
2 x
x ; ∀ x ∈
Ejemplo: * 32 = 3 = 3
Teorema:
a2
x
Ejemplo: * x (x −1) = x . x −1
Teorema:
> 0 ⇒−ac < −bc ⇒ ac > bc
=
y
−a + 0 > −b −a > −b
Prueba a < b ∧−c
2x −8
,a≠ 0
Prueba a ≠ 0 ⇒ a > 0 ∨a < 0
i. Si a > 0 ⇒ a ⋅ a < 0 ⋅
2
* ( −2) = −2 = −(−2) = 2
5. x
2
=
x
a
De donde: a2
>0
2
=
2
x ; ∀ x∈
Ejemplo: ii. Si a < 0 ⇒ ( −a )
>0
2
* x −1 = (x −1)2 * ( x + = (x + 3)2 2 3)
( −a )( −a ) > 0( −a ) De donde: a
2
>0
OTRAS PROPIEDADES 1. x = 0 ⇔ x = 0
VALOR ABSOLUTO
2.
x
=
y
⇔
x
=
y
∨
x
= −y
El valor absoluto de un número real x, es un
3. x = y ⇔ y ≥ 0 ∧[x = y ∨ x = −y]
número no negativo, denotado por x y definido
4. Sean: x , y∈ , entonces:
por: x
=
x 0
−x
; si x ≥
; si x
x
≤
y
⇔ ( y ≥ 0 ) ∧( −y ≤
x
≥
y
⇔ ( x ≥ y ) ∨( x ≤ −y )
x
< y ⇔ ( y > 0 ) ∧( −y < x < y )
<
0
20
x
≤ y)
x
−y )
> y ⇔ ( x > y ) ∨( x <
ACTIVIDADES DE APLICACIÓ CIÓN
5. Sean: x , y∈ , entonces:
y
x
≤
Estimado colega,
⇔ ( x + y) ( x −y ) ≤
considerando la parte teórica desarrollada, resuelva cada una de los ítems propuestos a continuación
0 x
y
≥
⇔ ( x + y) ( x −y ) ≥ ⇔ ( x + y) ( x −y )
0y
< <0
x
x > y
⇔ ( x + y)
( x − y) >
0
6. ∀ x , y∈ : x + y ≤ x + y ,
(Desigualdad
+ 01. ∀a, b ∈ + , demostrar que:
ab
triangular)
MÁXIMO ENTERO Dado un número real x, se llama el MÁXIMO ENTERO DEL NÚMERO REAL x , al número entero denotado por x y que es el MAYOR DE TODOS LO ENTEROS QUE SON MENORES O IGUALES AL NÚMERO REAL x.
≤
a+b 2
.
02. ∀a, b, c ∈ , demostrar que: a
2
+ b2 + c2 ≥
ab + ac + bc .
03.Demostrar que: Si a < b entonces a <
a+b
< b; ∀a, b ∈
2
04.Si x + y + z = 0, demuestre que: x
=
máx M x
=
máx {n ∈ / n ≤ x}
x
3
+ y 3 + z 3 =
3 xyz .
PROPIEDAD FUNDAMENTAL Sea x ∈ , arbitrario; y sea
x
=
n∈
, entonces:
n ⇔ n ≤ x < n + 1; n ∈
(2004)3 −(1003) 3 −(1001) 3 05.Calcule: L = 2004 × 1003 × 1001 06.Sabiendo que x, y, z ∈
PROPIEDADES DEL MÁXIMO ENTERO 1. El máximo entero x siempre es un número entero tal que:
x
=
n
⇔ x ∈ n; n + 1
2. Para todos real x: x
<
≤
x
x
;n∈
satisfaciendo xyz = 1 ,
calcule el valor de la expresión: A =
1
1 + x + xy
+
1
1 + y + yz
+
1
. 1 + z + xz
07.Si x∈ −2;1] , ¿A qué intervalo pertenece la expresión x2
+ 2 x + 2 ?
+1
3. Para todos real x:
08.Si x2 + x + 1 = 0 , calcule el valor numérico de:
0≤ x− x
4.
x
=
x
<1
2 27 1 1 2 1 L = x x 2 + ... + 2 + x + + +
⇔x ∈
x
x
2
x
27
5.
=
x
6. x + n
x ; x∈
x
=
∈
+ n; ∀ x
,n∈
09.Si 2
x
<
n
⇔x<
n; ∀x ∈
8.
x
≥
n
⇔x≥
n; ∀x
,n∈
10. x
> n ⇔x ≥ ∈
n + 1; ∀x
≤
=
10 , ¿cuánto vale a
1
1
+ ?
b
y
,n∈
que 2
=
x + 16
+
4 x + 4 2 .
1
≤ n ⇔ x < n + 1; ∀x ∈ 11. x ≤ y ⇔ x
b 5
10.Encontrar y (en términos de x) de tal manera
∈
x
=
,n∈
7.
9.
a
∈
,n∈
11.Luz escribió una fracción irreducible. José escribió otra fracción. Para elegir el numerador, le sumó 11 al numerador de Luz y para elegir el denominador, multiplicó el denominador de Luz
y ; ∀ x, y ∈
21
por 2 y al resultado le sumo 3. Sabiendo que la fracción de Luz es igual al doble de la de José, ¿Qué fracción pensó Luz? 12.Si x2 + 8 x −2 = 0 , determinar el valor de: 4
x + 8 x 10
3
1−
1 4
número racional por un irracional? ¿Hay algún caso excepcional?
2 x + 1
, calcular el valor de:
1 + P ( 3) + ... + P ( 100) +2 P +3 P
P ( 2 )
ab ≤
04.¿Qué tipo de número es el producto de un
+ 16 x +
13.Si P ( x ) =
++ 03.Si a, b ∈ tal que a + b = 1, demostrar que:
05.La suma de un número racional y otro irracional, ¿Cómo es?
1
1 + ... + P 100 06.Demuestre que: 3
14.Tengo más de 27 chapitas, de las cuales regalo la mitad de las que no regalo y luego de las que me quedan pierdo 5 chapitas. ¿Cuántas chapitas me quedan dado que son menos de 17?
54 − 30 3
+ 3 54 + 30
la otra mitad a 6 por 7 soles. Vende los
3 5
del
un
número
natural. 07.Determinar la verdad o falsedad en:
x −4
15.Luís compra naranjas, la mitad a 5 por 6 soles y
3 es
I. x ∈[1;3 ] ⇒ x − 5
1 3 ∈ 2 4;
x + 7
II. x ∈ [1; 2] ⇒
x + 1
∈ [3; 4]
número a 3 por 5 soles y las demás a 4 por 7
III. x 2 ∈ 4;9 ⇒ ( x + 1) ∈ −2; −1 U 3;4
soles ¿Cuántas naranjas habrá vendido, si se sabe que ganó 930 soles?
Respuesta VVF 08.Si: a; b; c son tres números distintos y satisfacen las ecuaciones:
COMPROBACION DE SABE ABERES +
+
01.Si a ∈ ; −b ∈ valor de verdad de siguientes
, determinar el cada una de las
proposiciones:
1
a)
b
1
<
a
b) b ( b −a ) 3
b c) a
d) a
2
0
3 b + pb + q =
0
3 c + pc + q =
0,
Calcule: a + b + c . b) ∀a, b ∈ ⇒ a 2 < b2 c) a > b ⇒ b + c = a + c, ∀c ∈
,a
>0
−b 2 < 0 < b2
02.Determinar el proposiciones: a)
a3 + pa + q =
valor
( ∃ a ∈ / ( −1)
a
de 0)
verdad
de las
