SOLUCIÓN DE LA ASIGNACIÓN MODELADO E IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Presentado por: EDISON MARTINEZ OVIEDO JUAN JOSE ORTIZ JESUS PADILLA
Presentado a: Ph. D. Rocco Tarantino Alvarado
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE INGENIERIAS MAESTRIA EN CONTROLES INDUSTRIALES PAMPLONA 2009
INTRODUCCIÓN
En la literatura, un sistema se define como una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. En base a este concepto, los fenómenos físicos, biológicos, abstractos, económicos, etc., son ejemplos de sistemas, al igual que las maquinas, los equipos, las plantas y demás creaciones del hombre en su desarrollo tecnológico y científico. Un sistema tiene un comportamiento que lo define y por tanto una estructura o forma característica que hace posible dicho comportamiento. Cuando se conoce esa estructura se dice que se tiene un modelo del sistema, el cual puede estar basado en leyes matemáticas y físicas. Una vez se tiene claro el modelo, se pueden realizar acciones de control, puesto que se puede saber el comportamiento que el sistema va a tener en una determinada situación y la forma de cómo intervenir en él para modificarlo cuando se requiera. Esta tendencia, de identificar y modelar sistemas, la sociedad la ha venido desarrollando a través del tiempo, lo que le ha permitido entender la naturaleza y realizar actividades que garantizan la supervivencia y una mejor calidad de vida. El modelado de sistemas es un tema bastante amplío, que requiere de conceptos básicos, de estrategias y hasta herramientas computacionales. De esta forma, este trabajo tiene como propósito aplicar dichos conceptos, para el moldeamiento de un sistema particular, al igual que estudiar algunas ideas matemáticas importantes a la hora de realizar un modelo de algún fenómeno. También se busca el uso de las herramientas computacionales para simulación y apoyo en la solución de problemas e inconvenientes que surgen o se plantean. Finalmente, se enfoca el control de sistemas hacia el uso de las técnicas de inteligencia artificial, como una alternativa moderna en la solución de problemas de control a nivel industrial.
Punto uno
En términos generales, las ecuaciones de estado de un sistema se pueden describir como sigue:
La solución de estas ecuaciones permite definir cómo se comporta en el tiempo, pero hasta que no se presente su solución el problema no queda perfectamente definido, es decir, que al encontrar una solución basado en las condiciones iníciales (para un y una entrada definida con la condición de que ), quedan definidos los vectores para todo .
El inconveniente radica en hallar la solución del sistema cuando los parámetros de la ecuación de estado son variantes en el tiempo [1], específicamente referidos a la ecuación
Se puede caracterizar dos tipos de situaciones, que la ecuación diferencial sea una no homogénea, o en su caso más particular que sea homogénea, es decir que la entrada logrando que la ecuación se simplifique, quedando de la forma
0
Donde es la matriz variante en el tiempo, y debe ser una función con continuidad en el tiempo para que sea condición suficiente de la existencia y unicidad de la solución. En los casos de sistemas continuos se presentan dos posibilidades que permiten la solución de la ecuación de estado homogénea: Caso 1: Cuando la matriz
es conmutable con su integral
La solución se realiza por el caso
Φ,,
Caso 2: Cuando no existe conmutatividad de las matrices.
, esto es:
En el presente trabajo se aborda la solución del caso dos donde la matriz es conmutable con su integral [2] y [3].
Φ,, Φ,, Φ, Φ,, Φ, Φ,, I Φ,,
Propiedad transitiva:
•
Propiedad de inversión:
•
no
, y se considera que el sistema es continuo
Previamente se establecen las propiedades de la matriz de transición requerida en el proceso de solución: •
Φ,
Función de trayectoria
En el caso de sistemas estacionarios es de la forma
la matriz de transición
Determinación de la matriz de solución para sistemas continuos a partir de la matriz fundamental
0 , 1 , 2 , 3 , … , , , ,, ,, ,, ,, … ,, ,, ó
Sea, donde es una función continua de . Entonces para cada condición inicial existe una única solución . Si se toma un conjunto de condiciones iniciales se obtiene soluciones de la ecuación . Agrupando las soluciones en una matriz queda:
Cada es una solución, verificándose que la matriz satisface la ecuación
a si mismo
Si es no singular, es decir, las condiciones son linealmente independientes, entonces se establece como una matriz fundamental del sistema.
Ejemplo: Para la ecuación homogénea
0 00 0 0 d 0 20 0 0 10 0 12 1 1 ,, 2 ,, 2 2 1 1 2 2 2 La solución del primer componente de
segunda componente
, es
, es
; la solución de la , es decir,
.
Para
condiciones
iniciales
y
se
tendrán
respectivamente las soluciones
Como los casos
y
son linealmente independientes,
Siendo una matriz fundamental (que no es única), debido a que se pudo elegir de muchas formas garantizando que fueran linealmente independientes.
Teorema: No singularidad de la Matriz Fundamental
0 0, 0, 0
Una matriz para algún
es no singular para todo , debido a que si , entonces existiría un vector no nulo tal que
fuera singular .
Por linealidad del sistema, la función es una solución del sistema que cumple que . Como las soluciones son únicas, (la solución nula es única), y en particular para , es decir, . Llegando por tanto a una contradicción, debido a que fue asumida no singular en .
Como una matriz fundamental es no singular para todo , su inversa queda por tanto definida, permitiendo dar solución para ecuaciones de espacio de estado variantes en el tiempo [4].
Matriz de Transición de Estado
Sea matriz
Φ,,
cualquier matriz fundamental de
Se denomina matriz de transición de estados de
Ejemplo:
[5]. Entonces la
.
Para el sistema anterior obtener la matriz de transición de estado
De modo que:
4 1 1/2 4 1/2 1 1 1 1 4 Φ,, 2 2 2 4 12 2 1 0 Φ,, 2 1
Es importante denotar que el método para solucionar el caso estacionario no sirve para la solución del sistema variante en el tiempo homogéneo, y que en estos casos se debe recurrir a la matriz fundamental formada por soluciones linealmente independientes del sistema y la matriz de transición de estado.
Bibliografía del punto uno: [1] R. Tarantino y S. Aranguren. Modelado e Identificación de Sistemas, Apuntes de Clase . Universidad de Pamplona, 2009. [2] R. W. Brockett, Finite-Dimensional Linear Systems, Wiley , Wiley , 1970. [3] C. A. Desoer, Notes for a Second Course on Linear Systems , Systems , Van Nostrand Reinholt, 1970. [4] J. H. Braslavsky. Centre for Complex Dynamic System and Control. The University of Newcastle. 2007. Disponible on-line http://www-eng.newcastle.edu.au/~jhb519/ [5] B. C. Kuo. Sistemas de Control Automático . Automático . Prentice Hall, México, 1996.
7ª ed., Pearson Educación,
Segundo punto Leyes constitutivas Teorema del transporte:
, 1
Si
entonces se tiene la ecuación de conservación de la masa
Conservación de la masa:
· ·
Considerando una situación de estado transitorio transitorio se obtiene la ecuación de conservación de la masa para proceso de flujo no estacionario de llenado tanque Conservación de la masa para estado transitorio:
· ·
Una forma simplificada de la ecuación de conservación de la masa
Donde:
= Gasto másico
= Variación de la masa dentro del volumen de control
Así mismo:
Otra forma:
Donde:
= Caudal o Flujo Volumétrico
Ecuación de Bernoulli en términos de carga para fluidos incompresibles:
2
Donde:
= Presión = Velocidad = Altura
Todas estas leyes que se han formulado anteriormente se consideran de uso necesario para el desarrollo y comprensión de la parte fenomenológica de comportamiento de los fluidos, por ejemplo, el teorema del transporte [1] es la base para la formulación de la conservación de la masa [2]; la segunda ley de Newton [3] es la base para la formulación de la Ecuación de Bernoulli [1]. Para el caso del tanque con una entrada regulada y una salida por gravedad se tiene:
Aplicando la Ecuación de Bernoulli entre el punto uno y dos (uno la superficie libre libre del fluido y dos el punto de descarga del tanque.
2 2
Se supone que el fluido es incompresible por que no se presenta variación significativa de temperaturas. Donde
, 0
Entonces:
2 22 22 22 √
Recordar que h es función del tiempo
Con el cambio de variable
Con la ecuación de conservación de la la masa y su relación con la densidad constante del fluido se tiene
Como:
√ √
Entonces:
y
Reacomodando,
√ √ √
Ecuación que rige el comportamiento del nivel del tanque
Donde:
; 22 ; ;
Altura del nivel de fluido en el tanque ; Coeficiente de caudal de la válvula
Área de la base del tanque Caudal de entrada regulado
[variable] [constante] [constante] [variable]
Se puede observar que la ecuación diferencial que rige el proceso es de primer orden, no homogénea con parámetros invariantes en el tiempo pero no lineal, es decir, pertenece a un sistema NLTI
Si
,
y
Entonces representada en el espacio de estado:
Punto de equilibrio: Existe equilibrio cuando Luego
√
√ 0
Gráfica del caudal vs altura altura del tanque
9.806 /
entonces
0.8857
asumiendo que
,
Grafica del caudal
y de la altura
0.2 y
1
Definiendo la altura que se quiere mantener como 2.5m se obtiene:
1.4 /
Campo de direcciones de la solución para la ecuación diferencial que rige el proceso2
1
2
Gráfico obtenido mediante el uso del software EES versión académica
Gráfico obtenido mediante software Maple 12, con la condición de que
,
0 0 , 1.4 , 2
Como es no lineal, se debe linealizar en torno al punto de equilibrio mediante la expansión de Taylor.
2.5 1.4 / 0.44285√ 4285√ 0.5
Punto de equilibrio establecido
Ecuación diferencial del proceso
Proceso de linealización de la función entorno al punto de equilibrio [6], [7]. Expansión en series de Taylor con truncamiento antes de la segunda derivada
,, , 0.44285 0.5 0.221425 √ , 12, ,, 0 0.0.280082932 80082932 2. 2.5 0.0.5 1.44 ,, 0.280082932 2. 2.5 0.55 1. 1.44 2. 2.5 1. 1.4
En coordenadas normalizadas
y
Ecuaciones en espacio con coordenadas normalizadas para el punto de operación
0. 280082932 0.5
Verificación de la linealización entorno al punto de equilibrio3
Tanto la ecuación no lineal y la linealizada muestran la misma respuesta entorno al punto de equilibrio, esto garantiza que la linealización fue exitosa para este punto. En la figura hecha en Simulink 4 se pueden observar los modelos no lineal y linealizado
3
0 0
al punto de equilibrio mediante la ecuación diferencial el punto 4
0.280082932 0.5
Esta gráfica corresponde al sistema de control de nivel del tanque con las ecuaciones linealizadas entorno
.
, realizado con Maple 12
La figura corresponde al archivo mt21.mdl hecho en Simulink v2.2 de MatLab R2007b
evaluada en
Al correr el modelo se puede visualizar como los dos sistemas arrojan la misma tendencia, aunque el modelo linealizado tarda más tiempo en alcanzar el equilibrio.
Leyes constitutivas Teorema del transporte:
, 1 · ·
Si
entonces se tiene la ecuación de conservación de la masa
Conservación de la masa:
Considerando una situación de estado estable se obtiene la ecuación de conservación de la masa para proceso de flujo no estacionario de llenado tanque Conservación de la masa para estado transitorio:
· ·
Una forma simplificada de la ecuación de conservación de la masa
Donde:
= gasto másico
= Variación de la masa dentro del volumen de control
Así mismo:
Otra forma:
Donde:
= Caudal o Flujo Volumétrico
Ecuación de Bernoulli en términos de carga para fluidos incompresibles:
2
Donde:
= Presión = Velocidad = Altura
Ecuación general de la energía
La energía del sistema transformada a un volumen de control usando el teorema del transporte de Reynolds
· ·
De forma simplificada
La energía dentro del volumen de control se puede expresar como una propiedad intensiva al evaluarla por unidad de masa de la siguiente forma:
2 2
Y la energía específica tiene el siguiente significado:
Donde:
= Entalpía
= Energía interna
=Entalpía como función del tiempo y el calor específico
Asumiendo que el flujo es incompresible y que el tanque es adiabático y reversible la primera ley de la termodinámica para este proceso queda como sigue:
0
Es decir, la entrada de calor es a través de uno de los flujos de entrada y no por otras formas (como por ejemplo resistencias, combustión,..). Así mismo no se presenta transferencia de trabajo hacia el volumen de control de modo que
0 0
Entonces
Todas estas leyes que se han formulado anteriormente se consideran de uso necesario para el desarrollo y comprensión de la parte fenomenológica de comportamiento de los fluidos, por ejemplo, el teorema del transporte [1] es la base para la formulación de la conservación de la masa [2]; la segunda ley de Newton [3] es la base para la formulación de la Ecuación de Bernoulli [1]. La ecuación general de la energía corresponde al área de la termodinámica, por cuando se consideran no solo el comportamiento de los fluidos sino que también se involucran la influencia del trabajo y calor en sus fenomenología [4].
Para el caso de un tanque con una entrada de flujo constante y temperatura constante y otra entrada de flujo regulada y temperatura variable regulada se tiene según el gráfico:
Se tiene que:
Como es incompresible
Del volumen total el único parámetro que puede variar es la altura, de modo que
Asumiendo que el flujo que atraviesa la frontera presenta una variación de energía potencial, y cinética insignificante frente a la variación de energía interna no se considerará en este proceso.
En la superficie de control
Como
y
entonces
representa la derivada de un producto, entonces
De modo que
Si
√
Finalmente la ecuación que rige el comportamiento del nivel del tanque y la temperatura de salida de éste es:
√
Que debe ser complementada con la de conservación de la masa y su relación con la densidad constante del fluido:
Como:
√ √
Entonces:
y
Reacomodando,
√ √ √ √
Ecuaciones que rigen el comportamiento del proceso
Donde:
; ; ; 22 ; ; ; ; ; 0.8857 20
Altura del nivel de fluido en el tanque
[variable]
Temperatura dentro del tanque
[variable]
Temperatura del caudal de salida igual
; Coeficiente de caudal de la válvula
[constante]
Área de la base del tanque
[constante]
Caudal de entrada fijo
[constante]
Temperatura fija del caudal
Caudal de entrada regulado
[constante] [variable]
Temperatura regulable del caudal de entrada
Asignando valores a cada una de las constantes ,
°
[variable]
1
[variable]
2 10 10 0.55 0. 0.4428 442855√ ,
,
0.55 0.5 0.4428 442855√ ,, , 0.1050.0.550. 40.428544285 0.5 0.50.44285
Para hallar el espacio de estado, se reemplaza de modo que:
Simplificando
0.1050.0.550. 40.42855 0.5 100.50.0.550. 40.42855 0.5
Ecuaciones en espacio de estado
Definición del punto de operación para este sistema, proceso de linealización [8] La operación se debe efectuar: Nivel de líquido de 2,5m Temperatura Tempe ratura promedio de salida 60°C 60°C
4285 00 10 0.50.50.50.0.544285 0. 5 2.260.5
Solucionando mediante el EES5
Condiciones de equilibrio:
2.605 00 1600.4 0. 5 0. 5 0. 4 4285 , 10 0.5 0.5 0. 5 ,
Para linealizar las ecuaciones utilizando la matriz Jacobiana se tiene que
Matriz A
. . 0. 2 21425/ 0 100.5 0. 5 0.5 0.5 1 . .
5
Solución de las ecuaciones no lineales, con el objetivo de hallar las condiciones de equilibrio, mediante el uso de software EES versión académica
Matriz B
0.104004 0.208000 . . .0.5 .0 .
0.020. 5 0.008
.
Matriz C
. . 10 01
Sistema linealizado entorno al punto de operación, mediante las coordenadas normalizadas
0.104004 0.208000 0.020. 5 0.008 10 01
Modelos en Simulink6
En este modelo se tuvo en cuenta las ecuaciones de estado
100.50.0.550. 40.42855 0.5
Y sus respuestas referidas a la variable temporal
6
Modelos y gráficos desarrollados en simulink v2.2 de MatLab R2007b
Como se puede apreciar en las gráficas de respuestas del sistema tienden a estabilizar para un valor de temperatura de 60°C 60°C en un lapso de aproximadamente 7 segundos, mientras que el nivel se comporta constante a 2.5 m de nivel después de transcurrir 40 segundos
, , , 0.104004 0.208000 0.020. 5 0.008 10 01
Modelo linealizado entorno a las condiciones de equilibrio
La coordenada normalizada traslada el sistema coordenado al punto de operación, de tal modo que:
2.605
Respuestas del sistema del sistema linealizado referidas a la variable temporal
En la comparación entre la aproximación y los estados reales, se aprecia una desviación muy pequeña, debido a que el sistema lineal es una buena aproximación en un entorno del punto de operación. Entre más pequeñas sean las variaciones cerca del punto de operación la aproximación del estado será mejor. De tal forma que al utilizar modelos linealizados es conveniente que las fluctuaciones grandes en la operación provocaría que el sistema linealizado no respondiera de la forma adecuada [5].
Bibliografía del ejercicio
[1] Y. A. Cengel y J. M. Cimbala. Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones, 1ª. Ed., México: McGraw-Hill, 2006. [2] F. M. White. Mecánica de Fluidos, 6ª. Ed., Madrid, España: McGraw-Hill, 2008. [3] R. C. Hibbeler. Mecánica Vectorial para ingenieros, Dinámica, 10ª. ed., México: Pearson Educación, Prentice Hall, 2004. [4] G. J. Van Wylen y R. E. Sonntag. Fundamentos de Termodinámica, México: Limusa, Noriega Editores, 1997. [5] I.A.C.I. Grupo de investigación en Automatización y Control, Universidad Nacional de Quilmes, Control Automático problema resuelto. Argentina, 2003. Disponible on-line: http://iaci.unq.edu.ar/materias/control1/web/TP/tachos.pdf [6] A. Vodencarevic. Control Theory Pro, Introduction to the Mixing Tank Example. 2008. Disponible on-line: http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Mixing_Tank_Example [7] I. Díaz, Universidad de Oviedo, Apuntes de Clase Ingeniería de sistemas y automática. 2003. Disponible on-line: http://isa.uniovi.es/~idiaz/ADSTel/Tema2a_ADS.pdf [8] J. L. Rodríguez. Universidad Nacional Experimental del Táchira, Apuntes de Clase Maestría en Ingeniería Mecánica. 2006. Disponible on-line: http://www.unet.edu.ve/~jlrodri/
Sistemas LTI homogéneos Para ilustrar el comportamiento de los sistemas LTI homogéneos y no homogéneos se tomaron dos modelos: 1) Circuito RC en serie considerando como salida la carga del capacitor. 2) Sistema mecánico Masa – Resorte – Amortiguador considerando como salida de interés la posición en el centro de la masa
Sistema RC- serie
Figura. Esquema del sistema
En la figura anterior se muestra esquemáticamente el circuito que se usa para el desarrollo del modelo. Ley física que rige el sistema (ley de voltajes de Kirchoff)
∑V = 0 V = −V R − V c ε
V = − R ε
dq(t ) dt
−
1
c
q (t )
Considerando sistema homogéneo y tomando valores para los parámetros
1;1; 1 Con los valores
Solucionando la ecuación diferencial en Maple, obtenemos la forma general, así:
Con los valores
Campo direccional de la solución: En la figura se muestra el campo direccional y soluciones para varios valores de carga inicial
Campo direccional y soluciones para q(0)=1, 2 y 3 Columbs
Diagrama de fase Debido a que el modelo matemático es una ecuación diferencial de primer orden no se tiene diagrama de fase
Cambios paramétricos : variación de la resistencia y la capacitancia; para el análisis de la variación de estos parámetros y ruido se programó una pequeña aplicación que simula el modelo y grafica (anexo en Trabajo\LTIh1) Entrada Inputdlg
Simula el modelo con
Modelo
los parámetros
Muestra de la aplicación y el modelo de simulink
En las figuras se aprecia la influencia en el cambio del valor de la resistencia y la capacitancia en el comportamiento del sistema: circuito RC
Cambios paramétricos: Resistencia - Capacitancia
Conclusiones para el cambio de parámetros Se puede apreciar que el sistema continúa siendo estable a pesar de los cambios en los parámetros; los parámetros producen cambios en el tiempo de estabilización del sistema y son equivalentes entre sí aumentar la resistencia, causa el mismo efecto que aumentar la capacitancia, ya que en la solución esos valores van multiplicados.
Sensibilidad al ruido
Influencia del ruido
El ruido afecta el valor medio de la carga en el tiempo, pero no la forma general de la respuesta. Este ruido pude provenir de fuentes de ondas electromagnéticas, electromagnéti cas, fugas de corriente y defectos en la fabricación de los componentes
Estabilidad: Análisis de los polos
Por el lugar de los polos y la forma de la TF se puede decir que el sistema es completamente estable.
Sistema Masa – Resorte – Amortiguador: LTI Homogéneo
Figura. Esquema del sistema
En la figura anterior se muestra esquemáticamente el sistema Masa resorte Amortiguador que se usa para el desarrollo del modelo. Ley física que rige el sistema (segunda ley de Newton)
∑ F = ma u (t ) − kx(t ) − b
dx(t ) dt
2
=m
d x(t ) 2
dt
Considerando el caso de sistema LTI homogéneo, tomando valores y reordenando la ecuación nos queda:
5;5; 2; 2; 3;3; 0 Solucionando la ecuación diferencial en Maple, obtenemos la forma general, así:
Familia de soluciones: En este caso el campo direccional de la solución no es mostrado debido a que es una ecuación de segundo orden, pero podemos encontrar las familias de soluciones. En la siguiente gráfica comprobamos la influencia del valor inicial x(0) para x’(0)=0
Familia de soluciones: Influencia Influencia del valor inicial x(0)=1 x(0)=1 ,2 y 3 con x’(0)=0
La siguiente grafica muestra la influencia de la pendiente en la familia de soluciones, es decir la condición x’(0)
Familia de soluciones: influencia de x’(0)= 1, 2 y 3 con x(0)=1
Diagrama de fase Se inicia desarrollando el espacio de estado del sistema
0 Cambios de variable
1 ;2 ; 2 1 1 Sistema de ecuaciones
2 2 1 1 2 1
Diagrama de Fase y con co n las condiciones iniciales x(0)=1, x’(0)=0
Comportamiento del sistema: Para observar el comportamiento del sistema se generó una pequeña aplicación (anexo en Trabajo\solucion3\LTIh2)
Vista general de la aplicación
Cambios paramétricos: influencia de la masa del sistema en respuesta. En la figura se muestra que la masa altera el tiempo de estabilización, la frecuencia de oscilación y la amplitud.
Cambios paramétricos: masa
Cambios paramétricos: Cambio de la constante del resorte. En la figura se aprecia que se altera la frecuencia de oscilación y la amplitud, pero no el tiempo de estabilización
Cambios paramétricos: K del resorte
Cambios paramétricos: Cambio de la b del Amortiguador. En la figura se aprecia que se altera el tiempo de estabilización, la amplitud de la oscilación, pero no la frecuencia de la misma
Cambios paramétricos: Amortiguación
Se puede apreciar que el sistema continúa siendo estable a pesar de los cambios en los parámetros.
Sensibilidad al ruido
Influencia del ruido
El sistema continúa siendo estable a pesar del ruido pero es bastante sensible al ruido por la segunda derivada.
Estabilidad.
Ubicación de los polos de la TF
En la figura anterior se muestra el lugar de los polos en la función de trasferencia, podemos ver que los polos (complejos conjugados) se encuentran en el semiplano izquierdo, de donde se puede concluir que el sistema es completamente estable. Lo mismo indica el diagrama de fase que converge hacia un punto interior, en este caso a (0,0).
Sistema LTI no homogéneo Sistema Masa Masa – Resorte Resorte – Amortiguador: Amortiguador: LTI no homogéneo
Figura. Esquema del sistema
En la figura anterior se muestra esquemáticamente el sistema Masa resorte Amortiguador que se usa para el desarrollo del modelo. Ley física que rige el sistema (segunda ley de Newton)
∑ F = ma u (t ) − kx(t ) − b
dx(t ) dt
2
=m
d x(t ) 2
dt
Considerando el caso de sistema LTI no homogéneo, tomando valores y reordenando la ecuación nos queda:
5; 5; 2; 2; 3;3; si sinn .
Solucionando la ecuación diferencial en Maple, obtenemos la forma general, así:
Se tomo una función de fuerza tal que se atenuara con el tiempo, si se tratara de un automóvil estaría saliendo de un terreno con rizado.
Familia de soluciones: En este caso el campo direccional de la solución no es mostrado debido a que es una ecuación de segundo orden, pero podemos encontrar las familias de soluciones. En la siguiente gráfica comprobamos la influencia del valor inicial x(0) para x’(0)=0
Familia de soluciones: Influencia Influencia del valor inicial x(0)=1 x(0)=1 ,2 y 3 con x’(0)=0
La siguiente grafica muestra la influencia de la pendiente en la familia de soluciones, es decir la condición x’(0)
Familia de soluciones: influencia de x’(0)= 1, 2 y 3 con x(0)=1
Diagrama de fase Se inicia desarrollando el espacio de estado del sistema
Cambios de variable Sistema de ecuaciones
sin sin . 1 ;2 ; 2 1 1 2 2 1 sin sin .; 1 2; 1
Diagrama de Fase y con co n las condiciones iniciales x(0)=1, x’(0)=0
Comportamiento del sistema: Para observar el comportamiento del sistema se generó una pequeña aplicación (anexo en Trabajo\solucion3\LTInh1)
Vista general de la aplicación
Cambios paramétricos: influencia de la masa del sistema en respuesta. En la figura se muestra que la masa altera el tiempo de estabilización, la frecuencia de oscilación y la amplitud.
Cambios paramétricos: masa
Cambios paramétricos: Cambio de la constante del resorte. En la figura se aprecia que se altera la frecuencia de oscilación y la amplitud, pero no el tiempo de estabilización
Cambios paramétricos: K del resorte
Cambios paramétricos: paramétricos: Cambio de la b del Amortiguador. En la figura se aprecia que se altera el tiempo de estabilización, la amplitud de la oscilación, pero no la frecuencia de la misma
Cambios paramétricos: Amortiguación
Se puede apreciar que el sistema continúa siendo estable a pesar de los cambios en los parámetros.
Sensibilidad al ruido
Influencia del ruido
El sistema continúa siendo estable a pesar del ruido pero es bastante sensible al ruido por la segunda derivada.
Estabilidad.
Ubicación de los polos de la TF
El sistema LTI no homogéneo es marginalmente estable, pues tiene un polo sobre el eje imaginario con multiplicidad igual a uno.
Sistema LTV no homogéneo Sistema Masa variable variable – Resorte Resorte – Amortiguador: LTV no homogéneo
Figura. Esquema del sistema
En la figura anterior se muestra esquemáticamente el sistema Masa variable, resorte y amortiguador que se usa para el desarrollo del modelo. Ley física que rige el sistema (segunda ley de Newton)
∑ F = m(t )a u (t ) − kx(t ) − b
dx(t ) dt
2
= m(t )
d x(t ) 2
dt
Considerando el caso de sistema LTV no homogéneo, tomando valores y reordenando la ecuación nos queda:
1 ; 0.5 0.5;; 5;5; .
Se tomo una función de fuerza tal que se atenuara con el tiempo y, la masa variando que podría ser resultado de consumo o la fuga de combustible en un vehículo. En este caso específico se tomó la solución numérica como alternativa y el desarrollo de un modelo en simulink y un script de matlab (Archivo .m) en el que se realiza la variación de parámetros para el análisis del comportamiento del sistema. En la siguiente figura aparece el diagrama de bloques (anexo en Trabajo\solucion3\LTVnh1).
Diagrama de bloques en Simulink
Familia de soluciones: En este caso el campo direccional de la solución no es mostrado debido a que es una ecuación de segundo orden, pero podemos encontrar las familias de soluciones. En la siguiente gráfica comprobamos la influencia del valor inicial x(0) para x’(0)=0
Familia de soluciones: Influencia Influencia de la posición inicial x(0) con x’(0)=0
La siguiente grafica muestra la influencia de la pendiente en la familia de soluciones, es decir la condición x’(0)
Familia de soluciones: influencia de x’(0) con x(0)=4
Diagrama de fase Se inicia desarrollando el espacio de estado del sistema
Cambios de variable Sistema de ecuaciones
. 1 ;2 ; 2 1 1 2 1 . ; 1 2; 1 2
Diagrama de Fase
Sensibilidad al ruido
Influencia del ruido
El sistema continúa siendo estable a pesar del ruido pero es bastante sensible al ruido por la segunda derivada.
Estabilidad. El sistema LTV no homogéneo es estable, esto se deduce del comportamiento del sistema en tiempos muy largos con diferentes condiciones de frontera, y del diagrama de fase que converge hacia un punto.
Sistema NL no homogéneo Tanques Interconectados Interconectados
Figura. Esquema del sistema
En la figura anterior se muestra esquemáticamente el sistema nolineal de tanques interconectados. Ley física que rige el sistema (Ecuación de conservación de la masa)
dmVC dt Para los tanques
& salida − m& entrada =m
1 2;
2 3
Con los flujos
1 ; 2 2 2 ; 3 3 3 Finalmente tenemos el modelo matemático (ecuaciones diferenciales), así:
1 1 2 ; Cambiando las variables
1 2 1 3
1 ; 2 ;
2 √ 1 1 2 1 1 2 2 3 √ 2 0 1 1 2 2 √ Tomando los siguientes valores:
2 0.7 3 3 0.4. 2 3
5 4 20 1.1180
Algunas condiciones iniciales
Aplicación y diagrama de bloques en Simulink
La aplicación y el diagrama de bloques en simulink permiten la variación de la mayoría de los parámetros para apreciar el comportamiento del sistema (anexo en Trabajo\solucion3\NoL)..
Familia de soluciones: Las figuras siguientes muestran el comportamiento del sistema para diferentes condiciones iniciales de nivel en los tanques. La estabilización se da en los mismos valores siempre y cuando no se varíe el flujo de entrada u(t), aunque la aplicación permite la variación de parámetros y probar el comportamiento.
Comportamiento del sistema: cambio en condiciones iniciales
Condiciones iniciales, parámetros y comportamiento del sistema
La estabilización seda para H1=7.5; H2=5; F3=2.5
Condiciones iniciales, parámetros y comportamiento del sistema
La estabilización seda para H1=7.5; H2=5; F3=2.5
Diagrama de fase
Diagrama de Fase
En el diagrama de fase se aprecia que la derivada de la altura tiende a cero lo que indica que el sistema se estabiliza en el tiempo
Sensibilidad al ruido
Influencia del ruido
El sistema continúa siendo estable a pesar del ruido pero es bastante sensible al ruido por la segunda derivada.
Estabilidad. El sistema NLTV no homogéneo es estable. Esto se puede apreciar en el diagrama de fase y en la forma de la respuesta en tiempos muy grandes.
Bibliografía del ejercicio
[1] Y. A. Cengel y J. M. Cimbala. Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones, 1ª. Ed., México: McGraw-Hill, 2006. [2] F. M. White. Mecánica de Fluidos, 6ª. Ed., Madrid, España: McGraw-Hill, 2008. [3] A. Vodencarevic. Control Theory Pro, Introduction to the Mixing Tank Example. 2008. Disponible on-line: http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Mixing_Tank_Example [4] I. Díaz, Universidad de Oviedo, Apuntes de Clase Ingeniería de sistemas y automática. 2003. Disponible on-line: http://isa.uniovi.es/~idiaz/ADSTel/Tema2a_ADS.pdf [5] J. L. Rodríguez. Universidad Nacional Experimental del Táchira, Apuntes de Clase Maestría en Ingeniería Mecánica. 2006. Disponible on-line: http://www.unet.edu.ve/~jlrodri/ [6] Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall. 2003.
PUNTO 4
OBTENCIÓN DE LA PLANTA
El modelo matemático que define el comportamiento del llenado del tanque (inciso 2.1) es el que se muestra en la ecuación 1.
ó 1 Del proceso de linealización de dicho modelo matemático se obtuvo la siguiente ecuación diferencial lineal:
1 ó 2 Donde:
Á Para obtener la función de transferencia del sistema se aplica la transformada de Laplace a la ecuación 2. De esta forma, se tiene:
1 0 Considerando, condiciones iníciales iguales a cero:
1 Despejando:
1 Ordenando:
ó 3 1
Los valores de y , se obtienen del análisis del sistema en el punto de equilibrio (ver inciso 2.1). Estos son:
2.5 0.885 1.4 Por tanto, la ecuación 3 se resume a:
1.7865 ó 4 4.466 4.4666 6 1 Simplificando,
0.4 ó 5 0.22 Mediante la función de transferencia (planta) plasmada en la ecuación 4 se puede analizar el comportamiento de la salida del sistema (nivel de líquido) a cualquier flujo de entrada. Para verificar que la ecuación 4 es correcta, se analiza la respuesta del sistema ante un flujo de entrada igual a , que corresponde al flujo del punto de equilibrio, por tanto, el nivel de salida debe estabilizarse en . En la gráfica 1 se puede apreciar dicho comportamiento. La figura 1 muestra el diagrama de bloques desarrollado en Simulink.
Figura. 1. Planta con flujo de entrada
Gráfica 1. Respuesta del sistema ante un flujo igual a
CONTROL PI
El diseño del controlador PI está basado en la reglas de sintonización de Ziegler – Nichols. El método consiste en conocer la curva respuesta del sistema a la señal escalón unitario y con esta determinar las constantes del controlador por medio de una recta tangente al punto de inflexión de dicha curva. La respuesta del sistema en cuestión ante la señal escalón se aprecia en la gráfica 2. El código desarrollado en Matlab para obtener la gráfica 2 se encuentra en el anexo 1.
Gráfica 2. Respuesta del sistema a la señal escalón unitario.
Al observar la curva de respuesta no se aprecia claramente un punto de inflexión, por tanto, considerando que este se encuentra en un punto muy cercano al origen, tal y como se aprecia en la gráfica 3, se obtienen los siguientes valores de L y T:
0.2 0.6
Gráfica 3. Cuerva de respuesta con recta tangente al punto de inflexión De acuerdo con las reglas de Ziegler-Nichols, las constantes de controlador se obtienen mediante las siguientes expresiones:
0.6 0.9 0.9 2.7 0.2 0.2 0.66 0.3 0.3 Las constantes de proporcionalidad e integración son, matemáticamente, 2.7 y 0.66 respectivamente. Algunas modificaciones realizadas en las constantes del controlador para mejorar la respuesta del sistema, llevaron finalmente a obtener los siguientes valores.
2.6 0.6 Implementado el controlador diseñado en el sistema, se obtiene como respuesta de este, la curva que se aprecia en la gráfica 4. El Set point es de 2.5, que
corresponde al nivel de liquido deseado. Se aprecia entonces que el sistema se estabiliza en dicho punto. De igual forma, para cualquier Set point requerido el sistema responderá con una estabilización en ese punto (set point). El diagrama de bloques desarrollado en Simulink se muestra en la figura 2.
Gráfica 4. Respuesta al control PI.
Figura 2. Diagrama de bloques: control PI del sistema.
RED PERCEPTRÓNICA MULTICAPA – SISTEMA IDEAL
Las entradas de entrenamiento a la red neuronal están determinadas por la señal de error que entra al controlador PI y su integral, mientras que la salida de la neurona corresponde a la salida del controlador PI. Para obtener estos valores se adiciona al sistema de control un par de bloques que se encargan de recopilar esa información requerida, tal y como se aprecia en la figura 3. Dichos bloques se denominan InPI (entrada al controlador) y OutPI (Salida del controlador). Las señales de entrada y salida para el entrenamiento de la red se muestran en las gráficas 5 y 6 respectivamente. En la gráfica 5, la señal de color amarillo corresponde a la señal de error que entra al controlador y la de color violeta a la integral de esta señal. Los datos almacenados en InPI y OutPI son extraídos en el programa anexo 2 al final, desarrollado en Matlab, en el cual se crea y se entrena la red neuronal multicapa. En dicho anexo se encuentra la explicación del código empleado. La ejecución del programa arroja la red neuronal requerida.
Figura 3. Diagrama de bloques: Obtención de los datos de entrada para el entrenamiento de la red
Gráfica 5. Señal de error y su integral
Gráfica 6. Señal de salida controlador PI El diagrama de bloques mostrado en la figura 4 consiste en la red neuronal resultante. La respuesta de la red a los datos de entrada dados, se muestra en la gráfica 7. En esta gráfica se aprecia que la señal de salida es una constante aproximadamente igual a 1.4 que coincide con el valor final de la señal de salida del controlador PI que se muestra en la gráfica 6. Esto quiere decir, que la salida de la red está en el punto en el que la planta tenderá a estabilizarse en el Set Point dado. Por tanto, se puede decir que el entrenamiento de la red fue bastante óptimo.
Figura 4. Red Neuronal Multicapa resultante
Gráfica 7. Salida de la Red Neuronal La implementación de la red como controlador PI se muestra en la figura 5. La salida del sistema se estabiliza en el Set Point, el cual corresponde a 2.5. De esta forma, la red neuronal se ha convertido en una copia del controlador PI diseñado inicialmente y cumple de forma satisfactoria con la función que le corresponde al mismo. La gráfica 8 muestra la salida del sistema usando la Red obtenida como controlador PI.
Figura 5. Implementación de la Red neuronal como controlador PI
Gráfica 8. Respuesta del sistema-Red neuronal como controlador PI
RED PERCEPTRÓNICA MULTICAPA – SISTEMA SOMETIDO A RUIDO
Para simular el comportamiento del sistema ante el ruido se adiciona una señal aleatoria a la salida de la planta. Esta señal hace efecto sobre la señal de error que entra al controlador PI y por tanto en su salida de control. De esta forma, los datos recolectados para el entrenamiento de la red también se modifican. En la figura 6 se muestra el diagrama desarrollado en Simulink del sistema sometido a ruido. Dicha señal de ruido presenta variaciones entre -0.02 y 0.02. Las gráficas 9, 10 y 11 muestran la señal de error de entrada y su integral, la señal de salida del controlador y la respuesta del sistema, respectivamente.
Figura 6. Sistema sometido a ruido
Gráfica 9. Señal de error y su integral-efecto del ruido
Gráfica 10. Señal de salida del controlador PI
Gráfica 11. Respuesta del sistema La red obtenida con los nuevos datos extraídos del control del sistema, se creó y se entrenó con el programa anexo 2. Su desempeño como controlador PI se muestra en la gráfica 12 y el diagrama implementado para tal fin se aprecia en la figura 6.
Figura 6. Implementación red neuronal como controlador PI – Sistema con ruido
Gráfica 12. Respuesta del sistema con red neuronal como controlador
RED PERCEPTRÓNICA MULTICAPA – SISTEMA SOMETIDO A PERTURBACIÓN
Una perturbación consiste en una situación o hecho que se produce en el sistema y que tienden a afectar adversamente el desarrollo del proceso. Entonces, para observar el comportamiento del sistema y la reacción del controlador PI ante una perturbación, se simula esta, mediante la presencia de una pequeña señal no deseada durante un corto lapso de tiempo, como se muestra en la figura 7. El controlador PI tiende a corregir el efecto en la perturbación y así lograr que la salida se mantenga en el Set Point deseado. Las gráficas 13 y 14 muestran la señal de perturbación y la salida del sistema respectivamente. Los nuevos datos de entrada al controlador y salida del mismo son almacenados y extraídos en el programa anexo 2, empleado para crear y entrenar la red perceptrónica multicapa.
Gráfica 13. Señal de perturbación
Gráfica 14. Salida del sistema sometido s ometido a perturbación
Figura 7. Sistema sometido a perturbación La red neuronal obtenida del respectivo entrenamiento se evalúa como controlador PI en la figura 8. La respuesta del sistema con la red neuronal se aprecia en la gráfica 15, en la cual se puede observar que la salida del sistema es bastante similar a la salida con controlador PI (Gráfica 14).
Figura 6. Implementación red neuronal como controlador PI – Sistema con perturbación
Gráfica 15. Respuesta del sistema con red neuronal como controlador
RED PERCEPTRÓNICA MULTICAPA – SISTEMA SOMETIDO A FALLA
El efecto de una falla en el desarrollo normal del proceso es simulado mediante una modificación en algún valor de la función de transferencia del sistema. De esta forma, se modificó una parte del denominador de la función que paso de 0.22 a 0.1, como se muestra en la figura 9.
Gráfica 16. Respuesta del sistema con falla
Figura 9. Sistema sometido a falla El controlador PI, aún con la falla presente, mantiene la respuesta en el set point deseado, sin embargo a diferencia de los demás casos, esta presenta una oscilación por encima del set point y por tanto, tarda más tiempo en estabilizarse. La gráfica 16 muestra este comportamiento.
La red neuronal multicapa entrenada con los valores almacenados del sistema sometido a falla, hace que la respuesta de este presente una oscilación más pequeña comparada con la obtenida con el controlador PI como tal. Esto quiere decir, que además de cumplir con la función de control para la que fue entrenada, su desempeño como controlador fue más eficiente. La respuesta del sistema con la red neuronal se aprecia en la gráfica 17 y en la figura 10 se muestra el sistema en simulink.
Figura 10. Sistema sometido a falla con red neuronal como controlador
Gráfica 17. Respuesta del sistema sometido a falla con red neuronal como controlador
CONCLUSIONES DEL PUNTO 4
Al comparar las diferentes respuestas del sistema con el controlador PI respecto a las obtenidas con la red neuronal, en los diferentes escenarios (Ruido, Perturbación y falla), se puede apreciar que la red cumple satisfactoriamente con la función de controlador con la que fue entrenada. En los casos de sistema ideal, con ruido y perturbación, la red neuronal presenta una acción de control, que se podría decir, es exactamente igual a la realizada por el controlador PI como tal, puesto que, las respuestas del sistema presentan variaciones idénticas al igual que tiempos de estabilización. Para el caso del sistema sometido a falla, la respuesta de la red fue mejor que la del controlador PI, debido a que esta presenta una oscilación menor y se estabiliza en menor tiempo. En general, en todos los casos, la red presentó un entrenamiento bastante óptimo. Sin embargo, las redes obtenidas solo están entrenadas para un set point determinado, lo cual quiere decir que si al sistema de control con red neuronal le modificamos el set point (ver gráfica 18), esta de seguro no va responder de forma satisfactoria como lo hacia en los demás casos. A diferencia del controlador PI, si se modifica el set point este responde de forma adecuada. Por tanto, para implementar una red neuronal que funcione como controlador sin importar el set point habría que montar un sistema de entrenamiento on line apoyado de algoritmos genéticos para mejorar la respuesta. Un punto importante a considerar cuando se trabaja con redes neuronales multicapa, es que el desempeño de esta depende de la cantidad de neuronas que se asignen en su capa oculta, al igual que el umbral de error que se desee. Pero, hasta el momento no se ha podido establecer con que cantidad de neuronas la red puede responder de forma óptima, por lo cual se debe realizar diferentes entrenamientos y observar cual es la que mejor se comporta. Para el caso del controlador, las diferentes redes presentan una topología de 2 entradas, 12 neuronas de capa oculta y una salida. Esta red, con 12 neuronas, fue seleccionada de un conjunto de 20 redes, comprendidas por redes con 1 neurona de capa oculta hasta 20 neuronas de capa oculta. Cuando la red multicapa es entrenada con las modificaciones realizadas en los diferentes escenarios, esta trata de dar una respuesta que sea fiel copia a la que se obtiene con el controlador. Por tanto, si el controlador en su proceso por tratar de estabilizar el sistema presenta algún error, este se verá reflejado en el entrenamiento y en la respuesta de la red. Sin embargo, si se somete a ruido, perturbaciones y fallas la red entrenada con la información obtenida de un sistema ideal, tal vez la respuesta de esta sea mejor que la del controlador PI, puesto que cuando en su entrada se presente alguna anomalía que no hizo parte de su entrenamiento esta tratará de acerarla lo más posible al comportamiento al que
fue entrenada, por así decirlo. Las diferentes respuestas del sistema sometido a diferentes escenarios con la red neuronal entrenada idealmente como controlador, se muestran en las gráficas 19, 20 y 21.
Gráfica 19. Respuesta del sistema sometido a ruido con red neuronal ideal como controlador
Gráfica 21. Respuesta del sistema sometido a perturbación con red neuronal ideal como controlador
Gráfica 20. Respuesta del sistema sometido a falla con red neuronal ideal como controlador
Al comparar la gráfica 19 con la 11, se puede apreciar que la respuesta del sistema sometido a ruido es mejor con la red neuronal ideal que con el controlador PI, puesto que, la señal de salida se estabiliza más rápido y presenta variaciones más pequeñas. De igual forma, de la comparación entre las gráficas 20 y 14, se obtiene que la red ideal estabiliza más rápido el sistema y responde de mejor manera a la perturbación respecto al desempeño del controlador PI. Por ultimo, del análisis entre las gráficas 20 y 16, para el sistema sometido a falla, se concluye que la red ideal estabiliza más rápido la respuesta, pero presenta una oscilación inicial mayor que en el caso del sistema con controlador PI. Por tanto, para este último caso, se puede decir, que el desempeño del controlador PI es mejor que el de la red neuronal ideal. Todos los anexos en la carpeta (Trabajo\Solucion_4_5\Red Neuronal Multicapa)
ANEXOS 1. ANEXO 1: Programa que muestra la respuesta de la planta ante la señal escalón unitario. num=1.7865; den=[4.4666 1]; G=tf(num,den); step(G); xlabel('Tiempo' xlabel('Tiempo'); ); ylabel('Amplitud' ylabel('Amplitud'); ); title('Respuesta title('Respuesta del sistema al Escalón unitario'); unitario');
2. ANEXO 2: Programa para crear y entrenar una red neuronal multicapa con 2 entradas, 12 neuronas de capa oculta y 1 salida. In=InPI'; OutRed=OutPI'; RedP=newff(minmax(In),[12 1],{'tansig' 1],{'tansig', ,'purelin' 'purelin'}); }); RedP.trainparam.epochs=3000; RedP.trainparam.goal=1e-0013; RedP=train(RedP,In,OutRed); gensim(RedP);
In=InPI';
La datos recopilados en InPI son guardados en la variable In. La variable InPI corresponde a una matriz de 2x60. Una columna columna de InPI contiene datos sobre el error del controlador y la columna restante sobre la integral de dicho error.
OutRed=OutPI';
La datos recopilados en OutPI son guardados en la variable OutRed. La variable OutPI corresponde a una vector 1x60. OutPI contiene datos sobre la salida del controlador PI.
RedP=newff(minmax(In),[12 1],{'tansig' 1],{'tansig', ,'purelin' 'purelin'}); });
Esta línea de código crea una red perceptrón multicapa con 12 neuronas en la capa oculta y una salida. El numero de entradas esta determinado por el tamaño de In, por tanto, la red tendrá 2 entradas. El código minmax obtiene los valores minimo y máximo de cada columna de la variable In.
RedP.trainparam.epochs=3000;
Se determinan las épocas de entrenamiento, es decir, el máximo numero procesos que se deben realizan en caso de que la respuesta no converja al error establecido.
RedP.trainparam.goal=1e-0013;
Determina el máximo error que debe haber entre la respuesta de la neurona y la deseada.
RedP=train(RedP,In,OutRed);
Este código inicial el entrenamiento de la red, teniendo en cuenta que la variable In corresponde a la entrada de la red y OutRed a su correspondiente salida.
gensim(RedP);
Crea el diagrama en bloques de la red perceptrón multicapa desarrollada.
Bibliografía del ejercicio
[1]. Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall. 2003. [2]. Nicolás de Abajo Martínez, Martí nez, Alberto Albert o Gómez Gómez. Introducción Int roducción a la inteligencia artificial: sistemas expertos, redes neuronales artificiales y computación evolutiva. Publicado por Universidad de Oviedo. 2001 – 106 Páginas. [3]. Edgar Robayo Espinel. Control difuso: fundamentos y aplicaciones. Ediciones Uninorte, Barranquilla. 2007. [4]. Bonifacio Martín del Brío, Brí o, Alfredo Alf redo Sanz Molina. Redes Neuronales Neuronale s y Sistemas Difusos. 2da Edición. Alfaomega, Universidad de Zaragoza. Mexico D.F. 2002
PUNTO 5 Para el desarrollo de los controladores basados en lógica fuzzy se tendrán como parámetros de entrada la señal de error y su derivada, y como parámetro de salida, la señal de salida del controlador PI. Es decir, los bloques de lógica fuzzy que se obtendrán en cada uno de los escenarios de entrenamiento consisten de dos entradas y una salida, tal y como se aprecia en la figura 1.
Figura 1. Herramienta fuzzy de MATLAB- Bloque de lógica fuzzy con dos entradas y una salida Las entradas a los bloques de lógica fuzzy se denominan Error y DerivadaError , mientras que la salida se denomina SalPI . Las variables lingüísticas de las entradas y las salidas se muestran en la tabla 1, las cuales se mantienen para todos los escenarios de entrenamiento, solo variarán en los intervalos de valores que manejan, pues estos dependen de las variaciones que ocurren en la señal de error y por tanto en su derivada para los diferentes casos de entrenamiento.
Error DerivadaError
SalPI
1
2
3
4
5
EC: error cero DMN: Derivada muy negativa CMB: Control muy bajo
EB: Error Bajo DN: Derivada Negativa
ECB: Error casi bajo DM: Derivada media
EA: Error Alto DC: derivada cero
CB: Control bajo
CM: Control Medio
EM: Error medio DBN: Derivada negativa baja CA: Control Alto
CMA: Control muy Alto
Tabla 1. Variables con sus membrecías La figura 2 muestra como se configuran las variables lingüísticas en la herramienta fuzzy de MATLAB y de que manera encierran el intervalo que las define.
Figura 2. Configuración de variables lingüísticas La tabla 2 muestra la relación entre las entradas y la salida del bloque lógico fuzzy, es decir, constituye el mapa de sentencias.
EMB EB EM EA EMA
DMN
DN
DM
DBN
DC
CM CB CMB CMB CMB
CA CM CB CMB CMB
CMA CA CM CB CB CMB
CMA CMA CA CM CB
CMA CMA CMA CA CM
Tabla 2. Mapa de sentencias Las reglas lógicas que se definen de acuerdo al mapa de sentencia se mantienen para todos los escenarios de entrenamiento y se configuran como se muestra en la figura 3.
Figura 3. Reglas para el control lógico fuzzy
A continuación se realiza el control lógico fuzzy para cada escenario de entrenamiento. Lo descrito anteriormente no cambia para ninguno de los casos siguientes. En cada escenario se muestran las variaciones en los intervalos de las variables lingüísticas, la respuesta del sistema con el controlador PI, la respuesta del sistema con el controlador lógico fuzzy y los diagramas realizados en simulink.
CONTROL LÓGICO FUZZY – SISTEMA IDEAL
Al observar la gráfica 1 que corresponde a la señal de error del sistema, se aprecia que esta se encuentra entre 0 y 2.5, por tanto, las variables lingüísticas de la señal de error deben estar comprendidas en un intervalo que encierre estos valores.
Gráfica 1. Señal de error – sistema ideal La gráfica 2, por otro lado, muestra la derivada de la señal de error, la cual se encuentra entre -1 y 0. Esta a su vez, presenta un valor de 2.5 inicialmente que no será considerado para evitar errores en la respuesta del controlador fuzzy.
Gráfica 2. Derivada del error – Sistema ideal
La salida del controlador PI, que se muestra en la gráfica 3, esta entre 1.4 y 6.5. De esta forma, para garantizar que la respuesta del control fuzzy sea la adecuada, los intervalos de las variables lingüísticas fueron definidos como se aprecia en la figura 4.
Gráfica 3. Señal de control PI – Sistema ideal
Figura 4. Variables lingüísticas controlador fuzzy – sistema ideal En la figura 5 se muestra el sistema ideal del cual se obtuvo la información de la señal de error, su derivada y la señal de control PI.
Figura 5. Sistema ideal Una vez definido correctamente las variables de entrada y salida del control fuzzy, su implementación se lleva a cabo como se muestra en la figura 6.
Figura 6. Sistema con control lógico fuzzy La respuesta del sistema ante la acción de control fuzzy se muestra en la gráfica 4. En ella se puede apreciar que la salida se estabiliza en el set point determinado.
Gráfica 4. Respuesta del sistema con controlador Fuzzy
CONTROL LÓGICO FUZZY – SISTEMA SOMETIDO A RUIDO
Las variaciones en la señal de error producto del ruido presente en el sistema son muy pequeñas, por tanto, no se realiza ninguna variación en los intervalos de las variables del controlador fuzzy. La señal de error, su derivada y la salida del controlador PI del sistema sometido a ruido se aprecian en las gráficas 5,6 y 7 respectivamente.
Gráfica 4. Señal de error – sistema sometido a ruido
Gráfica 5. Derivada del error – sistema sometido a ruido
Gráfica 6. Señal de control PI – Sistema sometido a ruido
El sistema sometido a ruido y del cual se extrae la información para el control fuzzy se muestra en la figura 7. Los intervalos de las variables lingüísticas se conservan iguales a las del sistema ideal, como se aprecia en la figura 8
Figura 7. Sistema sometido a ruido
Figura 8. Variables lingüísticas controlador fuzzy – sistema sometido a ruido La implementación del controlador fuzzy se aprecia en la figura 9. En la gráfica 7 se muestra la respuesta del sistema con controlador fuzzy. Se puede observar que el sistema se estabiliza y que presenta algunas variaciones mínimas producto de la señal ruido presente en el sistema. Se puede constatar que el control lógico fuzzy fue bueno antes las variaciones, a pesar de que su tiempo de estabilización es un poco alto.
Figura 9. Sistema sometido a ruido – Control lógico fuzzy
Gráfica 7. Respuesta del sistema sometido sometido a ruido - Controlador fuzzy fuzzy
CONTROL LÓGICO FUZZY – SISTEMA SOMETIDO A PERTURBACIÓN
La perturbación es simulada mediante la presencia de una señal no deseada en un pequeño lapso de tiempo en el sistema, la cual se verá reflejada en un cambio repentino en la señal de error, en su derivada y en la señal de salida del controlador PI. La gráfica 8 muestra la señal de error cuando hay perturbación. Se puede apreciar que esta presenta una variación de 0 a 0.5 y luego rápidamente vuelve a cero. Se debe entonces, definir el intervalo de la variable Error de entrada de forma que dicha variación no afecte la respuesta del control fuzzy, es decir, que cuando esta ocurra, no haya un cambio de una variable lingüística a otra que ocasione una decisión errónea en la salida del controlador fuzzy.
Gráfica 8. Señal de error – sistema sometido a perturbación De igual forma, la gráfica 9 muestra el comportamiento de la derivada del error, en la cual se aprecia que ocurre una variación rápida al momento de presentarse la perturbación. Por tanto, la idea aplicada al intervalo de la entrada Error debe considerarse también para la entrada DerivadaError .
Gráfica 9. Derivada del error – sistema sometido a perturbación
En el caso de la salida del controlador PI (Gráfica 10) se presenta una variación que no debe considerarse en las variables lingüísticas de la salida del control lógico.
Gráfica 10. Respuesta del control PI – sistema sometido a perturbación Finalmente, los intervalos de las variables lingüísticas se definen como se muestra en la figura 10. Del sistema mostrado en la figura 11, se obtuvo la información para el diseño del control lógico fuzzy.
Figura 10. Variables lingüísticas controlador controlador fuzzy – sistema sometido a perturbación
Figura 11. Sistema sometido a perturbación La implementación del controlador fuzzy se muestra en la figura 12 y la respuesta del sistema se aprecia en la gráfica 11. De dicha respuesta se puede observar un pico sobre el set point considerablemente grande seguido de una estabilización.
Figura 12. Sistema sometido a perturbación - Controlador fuzzy
Gráfica 11. Respuesta del sistema sometido a perturbación – Controlador fuzzy
CONTROL LÓGICO FUZZY – SISTEMA SOMETIDO A FALLA
Cuando el sistema es sometido a falla, la señal de error (ver gráfica 12) presenta una pequeña variación negativa que se debe considerar en las variables lingüística del controlador fuzzy.
Gráfica 12. Señal de error – sistema sometido a falla Con respecto a la derivada del error (ver figura 13), la variación en la señal de error no provoca efecto significativo, por tanto, el intervalo que define la entrada DerivadaError no se modifica.
Gráfica 13. Derivada del error – sistema sometido a falla Por otro lado, la salida del controlador, a diferencia de los escenarios anteriores, ya no se estabiliza en 1.4 sino en 0.6 aproximadamente, como se puede ver en la gráfica 14. Por tanto, el intervalo que define la salida del control difuso debe ser modificado para que este no tenga una respuesta errónea. Finalmente, las modificaciones consideradas se plasman en la figura 13. De la figura 14, correspondiente al sistema sometido a falla, se obtuvo la información para el diseño del control fuzzy.
Gráfica 14. Salida de control PI –sistema sometido a falla
Figura 13. Variables lingüísticas controlador fuzzy – sistema sometido a falla
Figura 14. Sistema sometido a falla
La implementación del controlador fuzzy se muestra en la figura 15 y la respuesta del sistema se aprecia en la gráfica 15.
Figura 15. Sistema sometido a falla-Controlador fuzzy
Gráfica 15. Respuesta del sistema sometido a falla-Controlador fuzzy De la gráfica 15, se puede apreciar que el controlador fuzzy estabiliza el sistema, aunque, el tiempo de estabilización es considerablemente grande.
CONCLUSIONES DEL PUNTO 5
Al observar la respuesta del sistema en los distintos escenarios de entrenamiento, se obtiene que esta siempre estabiliza en el set point determinado. Lo que quiere decir, que la acción de control basada en lógica fuzzy cumple cabalmente con el propósito para el cual es usada. Sin embargo, aunque el sistema llegue a la estabilización, se presentan algunas diferencias significativas respecto a la respuesta que daría el controlador PI como tal. Estas diferencias están determinadas por el tiempo de estabilización del sistema, que se presenta en todos los escenarios, y picos no deseados en la respuesta, que se presentan cuando hay perturbaciones. Se debe tener en cuenta que la respuesta de control fuzzy se puede mejorar modificando algunos parámetros de entrenamiento, como el número de variables lingüísticas, el intervalo en el que estas se encuentran y la función de pertenencia o membrecía. El control basado en lógica fuzzy puede ser una herramienta muy importante, si se usa adecuadamente. Esto debido a que, si la respuesta de control del sistema presenta alguna forma no deseada, mediante un control fuzzy esta puede ser mejorada al tratar de ubicar el punto que esta llevando al error en una variable lingüística que le de menos importancia o quizás reordenando el intervalo de estas de forma que no se considere en ningún momento. Sin embargo, alguna modificación puede hacer el sistema vulnerable a errores en algún punto en el que había un buen desempeño. Por tanto, el manejar adecuadamente los parámetros que definen la lógica difusa se convierte en una buena estrategia de control.
CONCLUSIONES GENERALES (PUNTOS 4 Y 5) Las técnicas de inteligencia artificial empleadas para la clonación del controlador PI pueden realizar la acción de control de forma óptima, dependiendo en gran parte del manejo adecuado de los diferentes parámetros que las definen como tal. Esto quiere decir, que a pesar de que las respuestas de control presentadas en el punto 5 por parte de la lógica difusa, tienen un inconveniente en los tiempos de estabilización, no permiten concluir que esta técnica no sea efectiva, solo que los parámetros utilizados para la aplicación no son los más adecuados, tal vez modificándolos se podría mejorar el comportamiento en cuanto a dicho factor. Este aspecto también se ve reflejado en el desarrollo de las redes neuronales multicapa, pues su respuesta puede cambiar al variar, por ejemplo, las neuronas de la capa oculta. Sin embargo, haciendo un paralelo entre el desempeño de una red perceptrón multicapa como controlador y un control basado en lógica difusa, se podría decir que la red neuronal conlleva a una mejor acción de control. Esto debido a que la respuesta de la red ante un valor de entrada determinado es más precisa, puesto que, de su etapa de entrenamiento se obtienen unos valores fijos, denominados pesos, que conllevan a una respuesta fija. Mientras que la lógica difusa se basa en intervalos dentro de los cuales hay ciertos grados de pertenencia, por tanto, para un valor de entrada determinado se debe identificar en que intervalo se puede ubicar, que grado de pertenencia le corresponde y de acuerdo a ello, que intervalo de salida y que parte específicamente de esta se le asigna. Este proceso conlleva a que la respuesta sea menos precisa, para un mismo valor de entrada, en comparación con la red neuronal.
Todos los anexos en la carpeta (Trabajo\Solucion_4_5\ Logica Difusa)
Bibliografía del ejercicio
[1]. Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall. 2003. [2]. Nicolás de Abajo Martínez, Martí nez, Alberto Albert o Gómez Gómez. Introducción Int roducción a la inteligencia artificial: sistemas expertos, redes neuronales artificiales y computación evolutiva. Publicado por Universidad de Oviedo. 2001 – 106 Páginas. [3]. Edgar Robayo Espinel. Control difuso: fundamentos y aplicaciones. Ediciones Uninorte, Barranquilla. 2007.
